Vurgu yapmayalım, bu paragrafta her şey de oldukça basit. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun genel formülünü yazabilirsiniz, ancak konuyu açıklığa kavuşturmak için hemen belirli bir örneği yazacağım. Parametrik formda fonksiyon iki denklemle verilir: . Çoğu zaman denklemler küme parantezleri altında değil, sırayla yazılır: , .

Değişkene parametre denir ve “eksi sonsuz”dan “artı sonsuz”a kadar değerler alabilir. Örneğin değeri düşünün ve onu her iki denklemde değiştirin: . Veya insani terimlerle: "eğer x dörde eşitse, o zaman y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelecektir. Benzer şekilde “te” parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Normal" bir fonksiyona gelince, Amerikan Kızılderilileri için parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tüm haklarına da saygı duyulur: bir grafik oluşturabilir, türevleri bulabilirsiniz vb. Bu arada, parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekiyorsa, sayfadaki geometrik programımı indirin Matematiksel formüller ve tablolar.

En basit durumlarda fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade edelim: – ve bunu ikinci denklemde yerine koyun: . Sonuç sıradan bir kübik fonksiyondur.

Daha “ağır” vakalarda bu hile işe yaramaz. Ancak bunun önemi yok çünkü parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın bir formülü var:

“Te değişkenine göre oyunun” türevini buluyoruz:

Harf için doğal olarak tüm türev kuralları ve türev tablosu geçerlidir, dolayısıyla, Türev bulma sürecinde herhangi bir yenilik yok. Tablodaki tüm "X"leri zihinsel olarak "Te" harfiyle değiştirin.

“x”in te değişkenine göre türevini buluyoruz:

Şimdi geriye kalan tek şey bulunan türevleri formülümüzde yerine koymaktır:

Hazır. Fonksiyonun kendisi gibi türev de parametreye bağlıdır.

Gösterime gelince, bunu formülde yazmak yerine, alt simge olmadan basitçe yazabilirsiniz, çünkü bu "X'e göre" "düzenli" bir türevdir. Ancak edebiyatta her zaman bir seçenek vardır, bu yüzden standarttan sapmayacağım.

Örnek 6

Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Böylece:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın özel bir özelliği şudur: her adımda sonucu mümkün olduğunca basitleştirmek faydalıdır. Dolayısıyla ele alınan örnekte, bulduğumda kökün altındaki parantezleri açtım (gerçi bunu yapmamış olabilirim). Formüle ikame edildiğinde birçok şeyin iyi şekilde azaltılma ihtimali yüksektir. Tabii ki, beceriksiz cevaplara sahip örnekler var.

Örnek 7

Parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Makalede Türevlerle ilgili en basit tipik problemler Bir fonksiyonun ikinci türevini bulmamız gereken örneklere baktık. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci türevini de bulabilirsiniz ve bu, aşağıdaki formül kullanılarak bulunur: . İkinci türevi bulmak için önce birinci türevi bulmanız gerektiği oldukça açıktır.

Örnek 8

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

İlk önce birinci türevi bulalım.
Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Bulunan türevleri formülde yerine koyar. Basitleştirme amacıyla trigonometrik formülü kullanıyoruz:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulma probleminde, basitleştirme amacıyla sıklıkla şunu kullanmanın gerekli olduğunu fark ettim: trigonometrik formüller . Bunları hatırlayın veya el altında bulundurun ve her ara sonucu ve yanıtı basitleştirme fırsatını kaçırmayın. Ne için? Şimdi türevini almamız gerekiyor ve bu açıkça türevini bulmaktan daha iyi.

İkinci türevi bulalım.
Şu formülü kullanıyoruz: .

Formülümüze bakalım. Payda önceki adımda zaten bulunmuştur. Geriye “te” değişkenine göre birinci türevin türevi olan payı bulmak kalıyor:

Formülü kullanmaya devam ediyor:

Malzemeyi güçlendirmek için kendi başınıza çözmeniz için birkaç örnek daha sunuyorum.

Örnek 9

Örnek 10

Parametrik olarak belirtilen bir işlevi bulun ve bulun

Size başarılar diliyorum!

Umarım bu ders faydalı olmuştur ve artık örtülü olarak belirtilen fonksiyonların türevlerini ve parametrik fonksiyonlardan kolayca bulabilirsiniz.

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 3: Çözüm:






Böylece:

Şu ana kadar bu doğruların noktalarının güncel koordinatlarını doğrudan birleştiren bir düzlem üzerindeki doğruların denklemlerini ele aldık. Bununla birlikte, bir çizgiyi tanımlamanın başka bir yöntemi sıklıkla kullanılır; burada mevcut koordinatlar, üçüncü bir değişkenin fonksiyonları olarak kabul edilir.

Bir değişkenin iki fonksiyonu verilsin

t'nin aynı değerleri için kabul edilir. O zaman bu t değerlerinden herhangi biri belirli bir değere ve belirli bir y değerine ve dolayısıyla belirli bir noktaya karşılık gelir. T değişkeni, fonksiyonların tanım alanındaki (73) tüm değerleri geçtiğinde, nokta düzlemdeki belirli bir C çizgisini tanımlar. Denklemlere (73) bu doğrunun parametrik denklemleri denir ve değişken denir. bir parametre.

Fonksiyonun ters bir fonksiyona sahip olduğunu varsayalım. Bu fonksiyonu denklemlerin (73) ikincisinde yerine koyarsak denklemi elde ederiz.

y'yi bir fonksiyon olarak ifade etmek

Bu fonksiyonun parametrik olarak denklemler (73) ile verildiğini kabul edelim. Bu denklemlerden denklem (74)'e geçişe parametre eliminasyonu adı verilir. Parametrik olarak tanımlanan işlevler göz önüne alındığında, parametrenin hariç tutulması hem gerekli değildir hem de pratik olarak her zaman mümkün değildir.

Çoğu durumda, parametrenin farklı değerleri göz önüne alındığında, formülleri (73) kullanarak bağımsız değişkenin ve fonksiyonun karşılık gelen değerlerini hesaplamak çok daha uygundur.

Örneklere bakalım.

Örnek 1. Merkezi orijinde ve yarıçapı R olan bir daire üzerinde rastgele bir nokta olsun. Bu noktanın Kartezyen koordinatları x ve y, burada t ile gösterdiğimiz kutup yarıçapı ve kutup açısı aracılığıyla aşağıdaki gibi ifade edilir ( bkz. Bölüm I, § 3, paragraf 3):

Denklemlere (75) bir dairenin parametrik denklemleri denir. İçlerindeki parametre 0 ila 0 arasında değişen kutup açısıdır.

Denklemlerin (75) terimin karesi alınır ve eklenirse, o zaman özdeşlik sayesinde parametre elimine edilir ve iki temel fonksiyonu tanımlayan Kartezyen koordinat sistemindeki bir dairenin denklemi elde edilir:

Bu fonksiyonların her biri denklemler (75) ile parametrik olarak belirtilir, ancak bu fonksiyonlar için parametre değişim aralıkları farklıdır. Bunlardan ilki için; Bu fonksiyonun grafiği üstteki yarım dairedir. İkinci fonksiyonun grafiği alt yarım dairedir.

Örnek 2. Aynı anda bir elips düşünün

ve merkezi orijinde ve yarıçapı a olan bir daire (Şekil 138).

Elipsin her M noktasına, M noktasıyla aynı apsise sahip olan ve Ox ekseninin aynı tarafında yer alan dairenin bir N noktasını ilişkilendiririz. N noktasının ve dolayısıyla M noktasının konumu tamamen noktanın kutup açısı t tarafından belirlenir. Bu durumda ortak apsisleri için şu ifadeyi elde ederiz: x = a. M noktasındaki koordinatı elipsin denkleminden buluyoruz:

İşaret, M noktasının koordinatı ile N noktasının koordinatının aynı işaretlere sahip olması gerektiği için seçilmiştir.

Böylece elips için aşağıdaki parametrik denklemler elde edilir:

Burada t parametresi 0 ila 0 arasında değişir.

Örnek 3. Merkezi a) noktasında ve yarıçapı a olan ve orijin noktasında x eksenine açıkça değen bir daire düşünün (Şekil 139). Bu çemberin x ekseni boyunca kaymadan yuvarlandığını varsayalım. Daha sonra, ilk anda koordinatların başlangıcına denk gelen dairenin M noktası, sikloid adı verilen bir çizgiyi tanımlar.

Sabit noktasını O konumundan M konumuna hareket ettirirken dairenin dönme açısı MSV'yi t parametresi olarak alarak sikloidin parametrik denklemlerini türetelim. Daha sonra M noktasının koordinatları ve y'si için aşağıdaki ifadeleri elde ederiz:

Çemberin eksen boyunca kaymadan yuvarlanması nedeniyle OB parçasının uzunluğu BM yayının uzunluğuna eşittir. BM yayının uzunluğu a yarıçapı ile t merkez açısının çarpımına eşit olduğundan, o zaman . Bu yüzden . Ama Bu nedenle,

Bu denklemler sikloidin parametrik denklemleridir. T parametresi 0'dan değiştiğinde daire bir tam dönüş yapacaktır. M noktası sikloidin bir yayını tanımlayacaktır.

Burada t parametresinin hariç tutulması hantal ifadelere yol açar ve pratik olarak pratik değildir.

Çizgilerin parametrik tanımı özellikle mekanikte sıklıkla kullanılır ve parametrenin rolü zaman tarafından oynanır.

Örnek 4. Yatayla a açısında başlangıç ​​hızıyla bir toptan ateşlenen merminin yörüngesini belirleyelim. Maddi bir nokta olduğunu düşünerek hava direncini ve merminin boyutlarını ihmal ediyoruz.

Bir koordinat sistemi seçelim. Koordinatların başlangıç ​​noktası olarak merminin namludan çıkış noktasını alalım. Ox eksenini yatay olarak, Oy eksenini ise dikey olarak yönlendirerek silah namlusu ile aynı düzleme yerleştirelim. Eğer yerçekimi kuvveti olmasaydı, mermi Ox ekseniyle bir açı yaparak düz bir çizgide hareket ederdi ve t zamanında merminin t zamanındaki koordinatları sırasıyla eşit olurdu. ile: . Yerçekimi nedeniyle, merminin bu ana kadar belirli bir miktarda dikey olarak alçalması gerekir. Bu nedenle, gerçekte, t zamanında, merminin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Bu denklemler sabit miktarlar içerir. T değiştiğinde mermi yörünge noktasındaki koordinatlar da değişecektir. Denklemler, parametrenin zaman olduğu mermi yörüngesinin parametrik denklemleridir.

İlk denklemden ifade etmek ve onu yerine koymak

ikinci denklemde mermi yörüngesinin denklemini şu şekilde elde ederiz: Bu bir parabol denklemidir.

Örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi.
Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Bu makalede, yüksek matematik testlerinde sıklıkla karşılaşılan iki tipik göreve daha bakacağız. Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olabilmek için en azından orta düzeyde türevler bulabilmelisiniz. Türevleri pratik olarak sıfırdan bulmayı iki temel derste öğrenebilirsiniz ve Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Eğer farklılaştırma becerileriniz iyiyse, hadi gidelim.

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi

Veya kısacası örtülü bir fonksiyonun türevi. Örtük işlev nedir? Öncelikle tek değişkenli bir fonksiyonun tanımını hatırlayalım:

Tek değişkenli fonksiyon bağımsız değişkenin her değerinin, fonksiyonun yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır.

Değişken denir bağımsız değişken veya argüman.
Değişken denir bağımlı değişken veya işlev .

Şu ana kadar tanımlanan fonksiyonlara baktık. açık biçim. Bu ne anlama geliyor? Belirli örnekler kullanarak bir bilgilendirme yapalım.

İşlevi düşünün

Solda yalnız bir "oyuncumuzun" olduğunu görüyoruz ve sağda - yalnızca "X'ler". Yani, fonksiyon açıkça bağımsız değişken aracılığıyla ifade edilir.

Başka bir fonksiyona bakalım:

Değişkenlerin karıştığı yer burasıdır. Dahası hiçbir şekilde imkansız“Y”yi yalnızca “X” aracılığıyla ifade edin. Bu yöntemler nelerdir? Terimleri işaret değiştirerek parçadan parçaya aktarmak, parantezlerin dışına taşımak, orantı kuralına göre çarpanları atmak vb. Eşitliği yeniden yazın ve “y”yi açıkça ifade etmeye çalışın: . Denklemi saatlerce çarpıtıp çevirebilirsiniz ama başaramazsınız.

Sizi tanıştırayım: – örnek örtülü işlev.

Matematiksel analiz sırasında örtülü fonksiyonun olduğu kanıtlandı. var(ancak her zaman değil), bir grafiği vardır (tıpkı “normal” bir fonksiyon gibi). Örtülü işlev tamamen aynıdır var birinci türev, ikinci türev vb. Dedikleri gibi, cinsel azınlıkların tüm haklarına saygı duyulmaktadır.

Ve bu derste örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. O kadar da zor değil! Tüm türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu yürürlükte kalır. Aradaki fark, şu anda inceleyeceğimiz tuhaf bir andadır.

Evet, size iyi haberi vereceğim - aşağıda tartışılan görevler, üç parçanın önünde taş olmadan oldukça katı ve net bir algoritmaya göre gerçekleştirilir.

Örnek 1

1) İlk aşamada her iki parçaya da vuruşlar ekliyoruz:

2) Türevin doğrusallık kurallarını kullanıyoruz (dersin ilk iki kuralı) Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri):

3) Doğrudan farklılaşma.
Nasıl ayırt edileceği tamamen açıktır. Vuruşların altında “oyunların” olduğu yerde ne yapmalı?

- utanç verici derecede, bir fonksiyonun türevi türevine eşittir: .

Nasıl ayırt edilir
İşte elimizde karmaşık fonksiyon. Neden? Görünüşe göre sinüsün altında sadece bir "Y" harfi var. Ama gerçek şu ki, yalnızca bir "y" harfi var - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(Dersin başındaki tanıma bakınız). Dolayısıyla sinüs harici bir fonksiyondur ve dahili bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz :

Ürünü olağan kurala göre farklılaştırıyoruz :

Lütfen şunu unutmayın – aynı zamanda karmaşık bir fonksiyondur, herhangi bir “çın ve ıslıklı oyun” karmaşık bir işlevdir:

Çözümün kendisi şöyle görünmelidir:


Parantez varsa bunları genişletin:

4) Sol tarafta içinde asal sayı olan “Y” içeren terimleri topluyoruz. Diğer her şeyi sağ tarafa taşıyın:

5) Sol tarafta türevi parantezlerden çıkarıyoruz:

6) Ve orantı kuralına göre bu parantezleri sağ taraftaki paydaya bırakıyoruz:

Türevi bulunmuştur. Hazır.

Herhangi bir fonksiyonun örtülü olarak yeniden yazılabileceğini belirtmek ilginçtir. Örneğin, fonksiyon şu şekilde yeniden yazılabilir: . Ve az önce tartışılan algoritmayı kullanarak bunu ayırt edin. Aslında, "örtük işlev" ve "örtük işlev" ifadeleri bir anlamsal nüansta farklılık gösterir. “Örtülü olarak belirtilen işlev” ifadesi daha genel ve doğrudur, – bu işlev örtülü olarak belirtilmiştir, ancak burada “oyunu” ifade edebilir ve işlevi açıkça sunabilirsiniz. "Örtülü işlev" ifadesi, "y" ifade edilemediğinde "klasik" örtülü işlevi ifade eder.

İkinci çözüm

Dikkat!İkinci yönteme ancak güvenle bulabilirseniz alışabilirsiniz. kısmi türevler. Matematik'e yeni başlayanlar ve acemiler, lütfen okumayın ve bu noktayı atlamayın aksi takdirde kafanız tamamen karışacaktır.

İkinci yöntemi kullanarak örtülü fonksiyonun türevini bulalım.

Tüm terimleri sol tarafa taşıyoruz:

Ve iki değişkenli bir fonksiyonu düşünün:

Daha sonra türevimiz aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Kısmi türevleri bulalım:

Böylece:

İkinci çözüm, bir kontrol yapmanızı sağlar. Ancak ödevin son versiyonunu yazmaları tavsiye edilmez, çünkü kısmi türevler daha sonra öğrenilir ve "Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi" konusunu inceleyen bir öğrencinin henüz kısmi türevleri bilmemesi gerekir.

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçaya da kontur ekleyin:

Doğrusallık kurallarını kullanıyoruz:

Türevlerin bulunması:

Tüm parantezlerin açılması:

Tüm terimleri sol tarafa, geri kalanını sağ tarafa taşıyoruz:

Son cevap:

Örnek 3

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım.

Farklılaşma sonrasında kesirlerin ortaya çıkması alışılmadık bir durum değildir. Bu gibi durumlarda kesirlerden kurtulmanız gerekir. İki örneğe daha bakalım.

Örnek 4

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçayı da konturların altına alıyoruz ve doğrusallık kuralını kullanıyoruz:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak türev alma ve bölümlerin farklılaşma kuralı :

Parantezleri genişletiyoruz:

Artık kesirden kurtulmamız gerekiyor. Bu daha sonra yapılabilir, ancak hemen yapmak daha mantıklıdır. Kesrin paydası içerir. Çarp Açık . Ayrıntılı olarak şöyle görünecek:

Bazen farklılaşmadan sonra 2-3 fraksiyon ortaya çıkar. Örneğin başka bir kesirimiz olsaydı, işlemin tekrarlanması gerekirdi - çarpma her bölümün her dönemi Açık

Sol tarafta onu parantezlerin dışına çıkardık:

Son cevap:

Örnek 5

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Tek şey, kesirden kurtulmadan önce kesirin üç katlı yapısından kurtulmanız gerekecek. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Vurgu yapmayalım, bu paragrafta her şey de oldukça basit. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun genel formülünü yazabilirsiniz, ancak konuyu açıklığa kavuşturmak için hemen belirli bir örneği yazacağım. Parametrik formda fonksiyon iki denklemle verilir: . Çoğu zaman denklemler küme parantezleri altında değil, sırayla yazılır: , .

Değişkene parametre denir ve “eksi sonsuz”dan “artı sonsuza” kadar değerler alabilir. Örneğin değeri düşünün ve onu her iki denklemde değiştirin: . Veya insani terimlerle: "eğer x dörde eşitse, o zaman y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelecektir. Benzer şekilde “te” parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Normal" bir fonksiyona gelince, Amerikan Kızılderilileri için parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tüm haklarına da saygı duyulur: bir grafik oluşturabilir, türevleri bulabilirsiniz vb. Bu arada, parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekiyorsa programımı kullanabilirsiniz.

En basit durumlarda fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade edelim: – ve bunu ikinci denklemde yerine koyun: . Sonuç sıradan bir kübik fonksiyondur.

Daha “ağır” vakalarda bu hile işe yaramaz. Ancak bunun önemi yok çünkü parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın bir formülü var:

“Te değişkenine göre oyunun” türevini buluyoruz:

Harf için doğal olarak tüm türev kuralları ve türev tablosu geçerlidir, dolayısıyla, Türev bulma sürecinde herhangi bir yenilik yok. Tablodaki tüm "X"leri zihinsel olarak "Te" harfiyle değiştirin.

“x”in te değişkenine göre türevini buluyoruz:

Şimdi geriye kalan tek şey bulunan türevleri formülümüzde yerine koymaktır:

Hazır. Fonksiyonun kendisi gibi türev de parametreye bağlıdır.

Gösterime gelince, bunu formülde yazmak yerine, alt simge olmadan basitçe yazabilirsiniz, çünkü bu "X'e göre" "düzenli" bir türevdir. Ancak edebiyatta her zaman bir seçenek vardır, bu yüzden standarttan sapmayacağım.

Örnek 6

Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Böylece:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın özel bir özelliği şudur: her adımda sonucu mümkün olduğunca basitleştirmek faydalıdır. Dolayısıyla ele alınan örnekte, bulduğumda kökün altındaki parantezleri açtım (gerçi bunu yapmamış olabilirim). Formüle ikame edildiğinde birçok şeyin iyi şekilde azaltılma ihtimali yüksektir. Tabii ki, beceriksiz cevaplara sahip örnekler var.

Örnek 7

Parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Makalede Türevlerle ilgili en basit tipik problemler Bir fonksiyonun ikinci türevini bulmamız gereken örneklere baktık. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci türevini de bulabilirsiniz ve bu, aşağıdaki formül kullanılarak bulunur: . İkinci türevi bulmak için önce birinci türevi bulmanız gerektiği oldukça açıktır.

Örnek 8

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

İlk önce birinci türevi bulalım.
Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Bulunan türevleri formülde yerine koyarız. Basitleştirme amacıyla trigonometrik formülü kullanıyoruz:

Fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilmesine izin verin:
(1)
parametre adı verilen bazı değişkenler nerede? Ve fonksiyonların değişkenin belirli bir değerinde türevleri olsun.
(2)

Üstelik fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda da ters fonksiyona sahiptir.
;
.

O halde fonksiyon (1)'in, parametrik formda aşağıdaki formüllerle belirlenen noktada bir türevi vardır:

Kanıt

Koşul gereği, fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. olarak belirtelim
.
O zaman orijinal fonksiyon karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebilir:
.
Karmaşık ve ters fonksiyonların diferansiyel kurallarını kullanarak türevini bulalım:
.

Kural kanıtlandı.

İkinci şekilde kanıt

Fonksiyonun noktadaki türevinin tanımına dayanarak türevi ikinci şekilde bulalım:
.
Gösterimi tanıtalım:
.
Daha sonra önceki formül şu şekli alır:
.

Fonksiyonun noktanın komşuluğunda ters fonksiyona sahip olmasından yararlanalım.
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
; ;
; .
Kesrin payını ve paydasını şuna bölün:
.
, tarihinde. Daha sonra
.

Kural kanıtlandı.

Yüksek dereceli türevler

Daha yüksek dereceli türevleri bulmak için farklılaşmanın birkaç kez yapılması gerekir. Diyelim ki parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci dereceden türevini aşağıdaki biçimde bulmamız gerekiyor:
(1)

Formül (2)'yi kullanarak yine parametrik olarak belirlenen birinci türevi buluruz:
(2)

Birinci türevi değişkenle gösterelim:
.
Daha sonra bir fonksiyonun değişkene göre ikinci türevini bulmak için, fonksiyonun değişkene göre birinci türevini bulmanız gerekir.
(3)
Bir değişkenin bir değişkene bağımlılığı da parametrik bir şekilde belirtilir:

(3)'ü formül (1) ve (2) ile karşılaştırdığımızda şunu buluruz:
.
Şimdi sonucu ve fonksiyonları aracılığıyla ifade edelim.
.

Bunu yapmak için türev kesir formülünü yerine koyalım ve uygulayalım:

Daha sonra
.

Buradan fonksiyonun değişkene göre ikinci türevini elde ederiz:

Ayrıca parametrik formda da verilmektedir. İlk satırın şu şekilde de yazılabileceğini unutmayın:
;
.

İşleme devam ederek üçüncü ve daha yüksek dereceli bir değişkenden fonksiyonların türevlerini elde edebilirsiniz.

Türev için bir notasyon eklememiz gerekmediğine dikkat edin.

Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Örnek 1
Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulun:
;
.
Çözüm

.
göre türevlerini buluyoruz.

.
göre türevlerini buluyoruz.

Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.

Uygularız:

Burada .

Gerekli türev:

Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Cevap
.

Örnek 2

.

Parametre aracılığıyla ifade edilen fonksiyonun türevini bulun:

.

Güç fonksiyonları ve kökleri için formüller kullanarak parantezleri genişletelim:
.

Uygularız:

Türevi bulma:

Türevi bulma.

Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Bunu yapmak için bir değişken tanıtıyoruz ve karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin formülü uyguluyoruz.

İstenilen türevi buluyoruz:

Örnek 3

ile ayırt edelim.
.
Örnek 1'de türevini bulduk:
.
göre ikinci dereceden türev, aşağıdakilere göre birinci dereceden türeve eşittir:
.

Böylece parametrik forma göre ikinci dereceden türevi bulduk:

Şimdi üçüncü dereceden türevi buluyoruz. Tanımı tanıtalım.

Daha sonra fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilen birinci dereceden türevini bulmamız gerekiyor:
.
'ye göre türevini bulun.
.

Bunu yapmak için onu eşdeğer biçimde yeniden yazıyoruz:
.

İtibaren

Üçüncü dereceden türev, aşağıdakilere göre birinci dereceden türeve eşittir:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Uygularız:

Yorum

Sırasıyla ve'nin türevleri olan ve değişkenlerini girmenize gerek yoktur. Daha sonra şu şekilde yazabilirsiniz:

Parametrik gösterimde ikinci dereceden türev aşağıdaki forma sahiptir:

Üçüncü dereceden türev.

Logaritmik farklılaşma

Temel fonksiyonların türevleri

Farklılaşmanın temel kuralları Fonksiyon diferansiyeli Fonksiyon artışının ana doğrusal kısmı A D

Fonksiyon artışının ana doğrusal kısmı X(A)bir fonksiyonun diferansiyellenebilirliğini belirlemede(A 0)f=f(- F 0)=A(x - x 0)+o 0

x – x , x®x(A) fonksiyonun diferansiyeli denir A F

bu noktada(A 0)0 ve gösterilir(A df =f¢ Fonksiyon artışının ana doğrusal kısmı 0)D

x=A A 0 X. 0)D Diferansiyel noktaya bağlıdır A ve D artışından D'de 0)D

aynı zamanda buna bağımsız bir değişken olarak bakıyorlar, yani , x®x(A)her noktada diferansiyel, D artışının doğrusal bir fonksiyonudur Bir fonksiyon olarak düşünürsek =x Fonksiyon artışının ana doğrusal kısmı , sonra elde ederiz dx=

x,dy=Adx

. Bu Leibniz'in notasyonuyla tutarlıdır.

1) Bir teğetin ordinatının artışı olarak diferansiyelin geometrik yorumu. Pirinç. 4.3 f= 0yapı, f¢= ,df= 0.

2) 0 gün

3) x=

f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv. (f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.(A))Sonuçlar.(A), (bkz. 1 , x®x 1 (A)¢=cf¢(A))C 1 +…+c n f n 1 (A)¢=c(A)

4) f¢(A+…+ c n f¢ n f=u/v, v(0)¹0 ve türevi mevcutsa, o halde¢ f¢=)/u¢v-v 2 .

sen v(A)Kısaltmak için şunu belirteceğiz 0 sen=sen(A sen

=sen 0), sonra 0 D'deki sınıra geçme

x®

Gerekli eşitliği elde ederiz.(A 0)5) Karmaşık bir fonksiyonun türevi.(A 0)Teorem. f¢ varsa 0 , g¢(ve x 0)=g 0 T(, sonra bir mahallede t(ve x))karmaşık fonksiyon f tanımlanır 0 G

t noktasında türevlenebilir.

, x®x(A)bir fonksiyonun diferansiyellenebilirliğini belirlemede(A 0)0 ve gösterilir(A 0)(Ve 0)+ Kanıt A)(Ve 0)x-xÎ A((A 0).

, x®x(, sonra bir mahallede t(ve x)), X(, sonra bir mahallede t(ve x 0))sen(A 0)(- F(ve x)= f¢(ve x 0))+ Kanıt - F(ve x))(- F(ve x)= f¢(ve x 0)).

G - G 0) Bu eşitliğin her iki tarafını da ( t - t 0 .

ve hadi şu sınıra gidelim

t®t[6) Ters fonksiyonun türevinin hesaplanması.]Teorem. F'nin sürekli ve kesinlikle monoton olmasına izin verin 0 Î( 6) Ters fonksiyonun türevinin hesaplanması.)a,b(A. x noktasında olsun f¢ var -1 (0)¹ 0), sonra ters fonksiyon x=f 0 sen

t noktasında türevlenebilir y noktasında var , x®x türev eşittir , x®x -1 (0)¹ 0. sayıyoruz , x®x(kesinlikle monoton olarak artıyor, o zaman)) süreklidir, monoton olarak [ kadar artar(A)]. ,F 0)¹ 0 0 B(A 0)Hadi koyalım(A)=f, y=f , x - x

0 =D, y=f 0)¹ 0 X, 0)¹ 0 y - y A. Ters D fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı

®0 Ş D

7) Çift bir fonksiyonun türevi tektir, tek bir fonksiyonun türevi çifttir.

Gerçekten eğer x® - x 0 , O - x®x 0 , Bu yüzden

Çift işlev için Tek işlev için

1) Bir teğetin ordinatının artışı olarak diferansiyelin geometrik yorumu. yapı, f¢(A)=0.

2) , x®x(A)=x,f¢(A)=1.

3) , x®x(A)= e x, +…+c n f n(A)= ex ,

4) , x®x(A)=a x ,(bir x)¢ = balta içinde A.

5) içinde A.

6) , x®x(A)=ln X,

Sonuçlar. (çift bir fonksiyonun türevi tektir)

7) (X M )¢= M A m -1 x-x>0x-x M =e M içinde X .

8) (günah X)¢= çünkü X,

9) (çünkü X)¢=- günah X,(çünkü X)¢= (günah( x+ p/2)) ¢= çünkü( x+ p/2)=-sin X.

10) (tg) X)¢= 1/çünkü 2 0)D

11) (ctg X)¢= -1/günah 2 0)D

16)sh X, ch X.

f(x),, bundan şu sonuç çıkıyor +…+c n f n(A)B(A)(in F(A))¢ .

Aynı formül farklı şekilde elde edilebilir , x®x(A)=e içinde F(A) , f¢=e içinde F(A) (in F(A))¢.

Örnek. Bir fonksiyonun türevini hesaplama f=xx .

=x x = x x = x x = x x(in x+ 1).

Düzlemdeki noktaların geometrik konumu

buna bir fonksiyonun grafiği diyeceğiz, parametrik olarak verilmiştir. Ayrıca bir fonksiyonun parametrik spesifikasyonundan da bahsediyorlar.

Not 1. Eğer x, y için sürekli [6) Ters fonksiyonun türevinin hesaplanması.] Ve X(ve x) segmentte kesinlikle monoton (örneğin, kesinlikle monoton bir şekilde artar), sonra [ 6) Ters fonksiyonun türevinin hesaplanması.], a=x(A) , b=x(B) fonksiyon tanımlanmış F(A)=y(ve x(A)), nerede(A) – x(t)'ye ters fonksiyon. Bu fonksiyonun grafiği fonksiyonun grafiğiyle çakışıyor

Tanım alanı ise parametrik olarak verilen bir fonksiyon sonlu sayıda parçaya bölünebilir ,k= 1,2,...,N, her birinde bir fonksiyon var A(ve x) kesinlikle monotonsa, parametrik olarak tanımlanmış fonksiyon sonlu sayıda sıradan fonksiyona ayrışır f k(A)=y(ve x -1 (A)) alan adlarıyla [ A(A k)x-x(B k)] bölümleri artırmak için A(ve x) ve alan adlarıyla [ A(B k)x-x(A k)] fonksiyonu azalan alanlar için A(ve x). Bu şekilde elde edilen fonksiyonlara parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tek değerli dalları denir.

Şekilde parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun grafiği gösterilmektedir

Seçilen parametrelendirmeyle tanımlama alanı sin(2) fonksiyonunun katı monotonluğuna sahip beş bölüme ayrılmıştır ve x), Kesinlikle: ve xÎ TÎ ,TÎ ,TÎ , ve buna göre grafik, bu bölümlere karşılık gelen beş net dala bölünecektir.

Pirinç. 4.4

Pirinç. 4.5

Noktaların aynı geometrik konumu için farklı bir parametrelendirme seçebilirsiniz.

Bu durumda bu türden yalnızca dört dal olacaktır. Katı monotonluk alanlarına karşılık gelecekler ve xÎ ,TÎ , TÎ ,TÎ işlevler günah(2 ve x).

Pirinç. 4.6

Sin(2) fonksiyonunun monotonluğunun dört bölümü ve x) uzun bir segmentte.

Pirinç. 4.7

Her iki grafiğin tek bir şekilde gösterilmesi, parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini, her iki fonksiyonun monotonluk alanlarını kullanarak yaklaşık olarak tasvir etmenize olanak tanır.

Örnek olarak segmente karşılık gelen ilk dalı düşünün ve xÎ . Bu bölümün sonundaki fonksiyon ,df= günah(2 ve x) -1 değerlerini alır ve 1 yani bu dal [-1,1]'de tanımlanacaktır. Bundan sonra ikinci fonksiyonun monotonluk alanlarına bakmanız gerekiyor. y=çünkü( ve x), üzerinde var monotonluğun iki bölümü . Bu da bize ilk dalın iki monotonluk bölümü olduğunu söylememizi sağlıyor. Grafiğin uç noktalarını bulduktan sonra, grafiğin monotonluğunun doğasını belirtmek için bunları düz çizgilerle birleştirebilirsiniz. Bunu her dal için yaptıktan sonra grafiğin belirgin dallarının monotonluk alanlarını elde ederiz (bunlar şekilde kırmızıyla vurgulanmıştır)

Pirinç. 4.8

İlk tek değerli dal , x®x 1 (A)=y(ve x(A)) , siteye karşılık gelen için belirlenecek AО[-1,1] . İlk tek değerli dal ve xÎ , XО[-1,1].

Diğer üç dalın tümü de bir tanım alanına sahip olacaktır [-1,1] .

Pirinç. 4.9

İkinci şube ve xÎ XО[-1,1].

Pirinç. 4.10

Üçüncü şube ve xÎ XО[-1,1]

Pirinç. 4.11

Dördüncü şube ve xÎ XО[-1,1]

Pirinç. 4.12

Yorum 2. Aynı fonksiyonun farklı parametrik ayarları olabilir. Farklılıklar her iki fonksiyonun kendisiyle de ilgili olabilir X(ve x), sen(ve x) , ve tanım alanı bu işlevler.

Aynı fonksiyon için farklı parametrik atamalara örnek

Ve ve xО[-1, 1] .

Not 3. Eğer x,y sürekli ise , X(T)- segmentte kesinlikle monoton ve türevleri var y¢(ve x 0),x¢(ve x 0)¹0, o zaman var +…+c n f n(A 0)= .

Gerçekten mi, .

Son ifade aynı zamanda parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tek değerli dalları için de geçerlidir.

4.2 Yüksek dereceli türevler ve diferansiyeller

Daha yüksek türevler ve diferansiyeller. Parametrik olarak belirtilen fonksiyonların türevi. Leibniz'in formülü.