Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin üç tanımı. Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri

Sürekli bir fonksiyon, "atlama" olmayan, yani koşulun karşılandığı bir fonksiyondur: argümandaki küçük değişiklikleri, fonksiyonun karşılık gelen değerlerinde küçük değişiklikler takip eder. Böyle bir fonksiyonun grafiği düzgün veya sürekli bir eğridir.

Belirli bir küme için bir limit noktasındaki süreklilik, limit kavramı kullanılarak tanımlanabilir; yani: bir fonksiyonun bu noktada, limit noktasındaki değerine eşit bir limiti olmalıdır.

Belli bir noktada bu koşullar ihlal edilirse bu noktadaki fonksiyonun süreksizliğine uğradığını, yani sürekliliğinin bozulduğunu söylüyorlar. Limit dilinde kırılma noktası, bir fonksiyonun kırılma noktasındaki değeri ile fonksiyonun limiti (varsa) arasındaki tutarsızlık olarak tanımlanabilir.

Kırılma noktası çıkarılabilir; bunun için fonksiyonun bir limitinin varlığı gereklidir, ancak bu, belirli bir noktadaki değeriyle örtüşmez. Bu durumda bu noktada “düzeltilebilir” yani süreklilik olarak daha da tanımlanabilir.
Verilen fonksiyonun bir sınırı varsa bambaşka bir tablo ortaya çıkar. İki olası kesme noktası seçeneği vardır:

birinci türden - her iki tek taraflı limit de mevcuttur ve sonludur ve bunlardan birinin veya her ikisinin değeri, belirli bir noktadaki fonksiyonun değeriyle çakışmaz;
ikinci türden, tek taraflı limitlerden biri veya her ikisi mevcut olmadığında veya değerleri sonsuz olduğunda.

Sürekli fonksiyonların özellikleri

Aritmetik işlemler sonucunda elde edilen fonksiyon ve sürekli fonksiyonların tanım bölgelerine süperpozisyonu da süreklidir.
Eğer size bir noktada pozitif olan sürekli bir fonksiyon verilirse, o zaman bunun işaretini koruyacağı yeterince küçük bir mahalleyi her zaman bulabilirsiniz.
Benzer şekilde, A ve B noktalarındaki değerleri sırasıyla a ve b'ye eşitse ve a, b'den farklıysa, o zaman ara noktalar için tüm değerleri (a ; b) aralığından alacaktır. Bundan ilginç bir sonuç çıkarabiliriz: Gerilmiş bir elastik bandın sarkmaması (düz kalması) için sıkışmasına izin verirseniz, noktalarından biri hareketsiz kalacaktır. Geometrik olarak bu, A ile B arasındaki herhangi bir ara noktadan geçen ve fonksiyonun grafiğiyle kesişen bir doğrunun olduğu anlamına gelir.

Sürekli (tanımlarının alanında) temel fonksiyonlardan bazılarını not edelim:

devamlı;
akılcı;
trigonometrik.

Matematikteki iki temel kavram olan süreklilik ve türevlenebilirlik arasında ayrılmaz bir bağlantı vardır. Bir fonksiyonun türevlenebilmesi için sürekli bir fonksiyon olması gerektiğini hatırlamak yeterlidir.

Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada süreklidir. Ancak türevinin sürekli olması zorunlu değildir.

Belirli bir kümede sürekli türevi olan bir fonksiyon, düzgün fonksiyonların ayrı bir sınıfına aittir. Başka bir deyişle sürekli türevlenebilir bir fonksiyondur. Türevin sınırlı sayıda süreksizlik noktası varsa (yalnızca birinci türden), bu tür bir fonksiyona parçalı düzgün denir.

Bir diğer önemli kavram ise bir fonksiyonun düzgün sürekliliğidir, yani tanım kümesindeki herhangi bir noktada eşit derecede sürekli olabilme yeteneğidir. Dolayısıyla bu herhangi bir noktada değil, birçok noktada dikkate alınan bir özelliktir.

Bir noktayı sabitlersek, sürekliliğin tanımından başka bir şey elde edemeyiz, yani düzgün sürekliliğin varlığından sürekli bir fonksiyona sahip olduğumuz sonucu çıkar. Genel olarak konuşursak, bunun tersi doğru değildir. Ancak Cantor teoremine göre bir fonksiyon kompakt bir küme üzerinde, yani kapalı bir aralıkta sürekli ise, o zaman onun üzerinde düzgün süreklidir.

Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini belirleme
Fonksiyon f (X) isminde x noktasında sürekli 0 mahalle U (x0) bu noktada ve eğer x'in limiti x'e doğru gidiyorsa 0 vardır ve fonksiyonun x noktasındaki değerine eşittir 0 :
.

Bu şu anlama gelir: x 0 - bu son noktadır. İçindeki fonksiyon değeri yalnızca sonlu bir sayı olabilir.

Sağda sürekliliğin tanımı (solda)
Fonksiyon f (X) isminde sağda (solda) x noktasında sürekli 0 , eğer bu noktanın sağ taraftaki (sol taraftaki) bir komşuluğunda tanımlanmışsa ve x noktasındaki sağ (sol) limit ise 0 x'teki fonksiyon değerine eşit 0 :
.

Örnekler

Örnek 1

Heine ve Cauchy tanımlarını kullanarak fonksiyonun her x için sürekli olduğunu kanıtlayın.

Rastgele bir sayı olsun. Verilen fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olduğunu kanıtlayalım.

Fonksiyon tüm x için tanımlanmıştır.

Dolayısıyla bir noktada ve onun herhangi bir mahallesinde tanımlanır.
.
Heine'nin tanımını kullanıyoruz
.
Süreklilik kanıtlanmıştır.

Cauchy tanımını kullanıyoruz

Kullanalım.
Olayı ele alalım.
Noktanın herhangi bir mahallesindeki işlevi dikkate alma hakkımız var. .

Bu nedenle şunu varsayacağız:
.
(A1.1)

;
Formülü uygulayalım: .

(A1.1) dikkate alınarak aşağıdaki tahminde bulunulur:
;
(A1.2) .
.
(A1.2)'yi uygulayarak farkın mutlak değerini tahmin ederiz:

(A1.3)
.
.

.
Eşitsizliklerin özelliklerine göre (A1.3) sağlanırsa, if ve if , o zaman .

Şimdi asıl noktaya bakalım.

Bu durumda

Bu, fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, n'nin bir doğal sayı olduğu fonksiyonun tüm reel eksen üzerinde sürekli olduğu kanıtlanabilir.

Örnek 2
Kullanarak fonksiyonun herkes için sürekli olduğunu kanıtlayın.
Verilen fonksiyon adresinde tanımlanır. .

Bu nedenle şunu varsayacağız:
noktasında sürekli olduğunu kanıtlayalım. .
Olayı ele alalım.
.

Noktanın herhangi bir mahallesindeki işlevi dikkate alma hakkımız var.

.
Bu nedenle şunu varsayacağız:
.

(A2.1)

.
Bu nedenle şunu varsayacağız:
(A2.2) .

Hadi koyalım.
.
Daha sonra

(A2.1) dikkate alınarak aşağıdaki tahminde bulunulur:
.
Eşitsizliklerin özelliklerine göre (A1.3) sağlanırsa, if ve if , o zaman .

Bu yüzden,
.
Bu eşitsizliği uygulayarak ve (A2.2)'yi kullanarak farkı tahmin ediyoruz:
.

(A2.3)
.
Pozitif sayıları tanıtıyoruz ve bunları ilişkilerle birleştiriyoruz:

Eşitsizliklerin özelliklerine göre (A2.3) sağlanırsa, if ve if , o zaman .

Bu, herhangi bir pozitif için her zaman bir olduğu anlamına gelir.
Daha sonra eşitsizliği sağlayan tüm x'ler için aşağıdaki eşitsizlik otomatik olarak sağlanır:
Şimdi asıl noktaya bakalım.
Verilen fonksiyonun sağdaki bu noktada sürekli olduğunu göstermemiz gerekiyor. Bu durumda

Pozitif sayıları girin ve:

Bu, herhangi bir pozitif için her zaman var olduğunu gösterir.

O halde tüm x'ler için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

Bu şu anlama geliyor.

Yani fonksiyon sağ tarafta süreklidir.

Benzer şekilde, n'nin bir doğal sayı olduğu fonksiyonun için sürekli olduğu kanıtlanabilir.

Kullanılan literatür:

O.I. Besov. Matematiksel analiz üzerine dersler. Bölüm 1. Moskova, 2004. L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 2003. SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983. 1. Giriş. 2. Bir fonksiyonun sürekliliğinin belirlenmesi. 3. Kırılma noktalarının sınıflandırılması yani spazmodik olarak. Para birimi eşit şekilde değer kaybediyor mu, çöküyor mu, kademeli bir evrim mi yoksa devrimsel bir sıçrama mı var? Olan bitene ilişkin niteliksel ve niceliksel değerlendirmeleri birleştirmek için, belirli içerikten soyutlanmalı ve sorun işlevsel bağımlılık açısından incelenmelidir. Bu, geçen derste tartıştığımız limitler teorisi ile yapılabilir.

10.2. Bir fonksiyonun sürekliliğinin tanımı

Bir fonksiyonun sürekliliği, grafiğinin hiçbir yerde kırılmayan sürekli bir eğri olması gerçeğiyle sezgisel olarak ilişkilidir. Böyle bir fonksiyonun grafiğini kalemimizi kağıttan kaldırmadan çiziyoruz. Bir fonksiyon bir tabloda verilmişse, o zaman kesin olarak konuşursak, sürekliliği değerlendirilemez çünkü belirli bir tablo adımı için fonksiyonun aralıklardaki davranışı tanımlanmamıştır.

Gerçekte süreklilik halinde şu durum meydana gelir: Durumu karakterize eden parametreler Biraz o zaman değiştir Biraz durum değişecek. Burada önemli olan durumun değişmesi değil, “biraz” değişmesidir.

Süreklilik kavramını artışlar dilinde formüle edelim. Bazı fenomenlerin bir fonksiyon ve nokta ile tanımlanmasına izin verin A fonksiyonun tanım alanına aittir. Fark denir argüman artışı bu noktada A, fark - fonksiyon artışı bu noktada A.

Tanım 10.1.İşlev bir noktada sürekli a, eğer bu noktada tanımlanmışsa ve argümandaki sonsuz küçük bir artış, fonksiyondaki sonsuz küçük bir artışa karşılık geliyorsa:

Örnek 10.1. Fonksiyonun noktadaki sürekliliğini inceleyin.

Çözüm. Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım ve üzerindeki D artışlarını işaretleyelim. X ve D sen(Şekil 10.1).

Grafik, D artışının ne kadar küçük olduğunu gösteriyor X, daha az D sen. Bunu analitik olarak gösterelim. Bağımsız değişkenin artışı eşittir, o zaman fonksiyonun bu noktadaki artışı şuna eşit olacaktır:

Bundan, eğer , o zaman ve olduğu açıktır:

Bir fonksiyonun sürekliliğinin başka bir tanımını verelim.

Tanım 10.2.Fonksiyon çağrılır sürekli a noktasında:

1) a noktasında ve çevresinden bazılarında tanımlıdır;

2) tek taraflı limitler mevcuttur ve birbirine eşittir:

;

3) fonksiyonun x'teki limiti® a, fonksiyonun bu noktadaki değerine eşittir:

Bu koşullardan en az birinin ihlal edilmesi durumunda işlevin bozulacağı söylenir. açıklık.

Bu tanım bir noktada sürekliliğin sağlanması açısından işlevseldir. Algoritmasını takip ederek, tanımın gereklilikleri ile belirli bir örnek arasındaki örtüşmelere ve tutarsızlıklara dikkat çekerek, fonksiyonun bir noktada sürekli olduğu sonucuna varabiliriz.

Tanım 2'de limit kavramını tanıttığımızda yakınlık fikri açıkça ortaya çıkıyor. Argümanın sınırsız bir yaklaşımıyla X sınır değerine A, bir noktada sürekli A işlev F(X) sınırlayıcı değere keyfi olarak yaklaşır F(A).

10.3. Kırılma noktalarının sınıflandırılması

Bir fonksiyonun süreklilik koşullarının ihlal edildiği noktalara denir. kırılma noktaları bu fonksiyon. Eğer X 0, fonksiyonun kırılma noktasıdır; fonksiyonun sürekliliği için şartlardan en az biri karşılanmamıştır. Aşağıdaki örneği düşünün.

1. Fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlıdır. A, ancak noktanın kendisinde tanımlanmadı A. Örneğin, fonksiyon şu noktada tanımlanmamıştır: A=2, bu nedenle bir süreksizliğe maruz kalır (bkz. Şekil 10.2).

Pirinç. 10.2 Şek. 10.3

2. Fonksiyon bir noktada tanımlıdır A ve bazı mahallelerinde tek taraflı sınırları mevcut, ancak birbirine eşit değil: ise fonksiyon süreksizliğe uğrar. Örneğin, fonksiyon

noktada tanımlanır, ancak fonksiyonda bir süreksizlik yaşanır (bkz. Şekil 10.3), çünkü

Ve ().

3. Fonksiyon bir noktada tanımlıdır A ve bazı komşuluklarında fonksiyonun 'deki bir limiti vardır, ancak bu limit fonksiyonun noktadaki değerine eşit değildir. A:

Örneğin, fonksiyon (bkz. Şekil 10.4)

İşte kırılma noktası:

Tüm süreksizlik noktaları, çıkarılabilir süreksizlik noktalarına, birinci ve ikinci tür süreksizlik noktalarına bölünmüştür.

Tanım 10.1. Kırılma noktasına nokta denir onarılabilir boşluk , eğer bu noktada fonksiyonun solda ve sağda birbirine eşit sonlu limitleri varsa:

Fonksiyonun bu noktadaki limiti mevcuttur ancak fonksiyonun limit noktasındaki değerine eşit değildir (eğer fonksiyon limit noktasında tanımlanmışsa) veya fonksiyon limit noktasında tanımlanmamıştır.

Şek. 10.4 Süreklilik koşullarının ihlal edildiği ve fonksiyonun süreksiz olduğu noktada. Grafikteki nokta (0; 1) oyulmuş. Ancak bu boşluk kolayca ortadan kaldırılabilir; bu işlevi yeniden tanımlamak, bu noktadaki sınırına eşitlemek yeterlidir; koymak . Bu nedenle bu tür boşluklara çıkarılabilir denir.

Tanım 10.2. Kırılma noktası denir 1. tür süreksizlik noktası , eğer bu noktada fonksiyonun sol ve sağda sonlu limitleri varsa ancak bunlar birbirine eşit değilse:

Bu noktada fonksiyonun deneyimlediği söylenir sıçramak.

Şek. 10.3 fonksiyonun bu noktada 1. türden bir süreksizliği var. Bu noktada sol ve sağ limitler eşittir:

Ve .

Fonksiyonun süreksizlik noktasındaki sıçraması eşittir.

Böyle bir fonksiyonu sürekli olarak tanımlamak mümkün değildir. Grafik bir atlamayla ayrılan iki yarım çizgiden oluşur.

Tanım 10.3. Kırılma noktası denir 2. tür süreksizlik noktası fonksiyonun tek taraflı limitlerinden en az biri (sol veya sağ) mevcut değilse veya sonsuza eşitse.

Şekil 10.3'te bir noktadaki fonksiyon 2. türden bir süreksizliğe sahiptir. Ele alınan fonksiyon sonsuz büyüktür ve ne sağda ne de solda sonlu bir limiti yoktur. Dolayısıyla böyle bir noktada süreklilikten bahsetmeye gerek yok.

Örnek 10.2. Bir grafik oluşturun ve kırılma noktalarının doğasını belirleyin:

Çözüm. Fonksiyonun grafiğini çizelim F(X) (Şekil 10.5).

Şekil orijinal fonksiyonun üç süreksizlik noktasına sahip olduğunu göstermektedir: , X 2 = 1,
X 3 = 3. Sırasıyla ele alalım.

Bu nedenle asıl nokta 2. tür yırtılma.

a) Fonksiyon bu noktada tanımlanır: F(1) = –1.

B) , ,

onlar. bu noktada X 2 = 1 mevcut onarılabilir boşluk. Bu noktada fonksiyon değerini yeniden tanımlayarak: F(1) = 5 ise süreksizlik ortadan kalkar ve bu noktadaki fonksiyon sürekli hale gelir.

a) Fonksiyon bu noktada tanımlanır: F(3) = 1.

Yani bu noktada X 1 = 3 mevcut 1. tür yırtılma. Bu noktada fonksiyon D'ye eşit bir sıçrama yaşar sen= –2–1 = –3.

10.4. Sürekli fonksiyonların özellikleri

Limitlerin karşılık gelen özelliklerini hatırlayarak, aynı noktada sürekli olan fonksiyonlar üzerinde yapılan aritmetik işlemlerin sonucu olan fonksiyonların da sürekli olduğu sonucuna varıyoruz. Not:

1) ve fonksiyonları noktada sürekli ise A, ve (şartıyla) fonksiyonları da bu noktada süreklidir;

2) Eğer fonksiyon bu noktada sürekli ise A ve fonksiyon bu noktada sürekliyse, karmaşık fonksiyon da o noktada süreklidir A Ve

onlar. limit işareti sürekli bir fonksiyonun işaretinin altına yerleştirilebilir.

Bunu söylüyorlar Bir fonksiyon bir kümenin her noktasında sürekli ise bu küme üzerinde süreklidir. Böyle bir fonksiyonun grafiği, tek bir kalem darbesiyle üzeri çizilebilen sürekli bir çizgidir.

Tüm önemli Temel fonksiyonlar tanımlandıkları her noktada süreklidir.

Fonksiyonlar, sürekli segmentte, bir takım önemli ayırt edici özelliklere sahiptir. Bu özelliklerden bazılarını ifade eden teoremleri formüle edelim.

Teorem 10.1 (Weierstrass teoremi ). Bir fonksiyon bir segment üzerinde sürekli ise bu segment üzerinde minimum ve maksimum değerlerine ulaşır.

Teorem 10.2 (Cauchy teoremi ). Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise, o zaman bu aralıkta en küçük ve en büyük değerler arasındaki tüm ara değerler.

Aşağıdaki önemli özellik Cauchy teoreminden kaynaklanmaktadır.

Teorem 10.3. Bir fonksiyon bir doğru parçası üzerinde sürekli ise ve parçanın uçlarında farklı işaretlerin değerlerini alıyorsa, o zaman a ile b arasında fonksiyonun sıfır olduğu bir c noktası vardır:.

Bu teoremin geometrik anlamı açıktır: Sürekli bir fonksiyonun grafiği alt yarı düzlemden üst yarı düzleme (veya tersi) giderse, o zaman en az bir noktada eksenle kesişecektir. Öküz(Şekil 10.6).

Örnek 10.3. Denklemin kökünü yaklaşık olarak hesaplayın

, (yani yaklaşık olarak değiştir) karşılık gelen derecenin polinomu.

Bu, sürekli fonksiyonların pratik açısından çok önemli bir özelliğidir. Örneğin, sıklıkla sürekli fonksiyonlar tablolarla (gözlemsel veya deneysel veriler) belirtilir. Daha sonra bazı yöntemleri kullanarak tablolanmış fonksiyonu bir polinomla değiştirebilirsiniz. Teorem 10.3'e göre bu her zaman yeterince yüksek bir doğrulukla yapılabilir. Analitik olarak tanımlanmış bir fonksiyonla (özellikle bir polinomla) çalışmak çok daha kolaydır.

10.5. Sürekliliğin ekonomik anlamı

İktisatta kullanılan işlevlerin çoğu süreklidir ve bu, kişinin ekonomik içerikle ilgili oldukça anlamlı açıklamalarda bulunmasına olanak tanır.

Açıklamak için aşağıdaki örneği inceleyin.

Vergi oranı NŞekil 2'deki ile yaklaşık olarak aynı grafiğe sahiptir. 10.7a.

Aralıkların uçlarında sürek yoktur ve bu süreksizlikler 1. tür süreksizliklerdir. Ancak gelir vergisinin miktarı P(Şekil 10.7b) yıllık gelirin sürekli bir fonksiyonudur Q. Buradan, özellikle iki kişinin yıllık gelirleri arasında önemsiz bir fark varsa, ödemeleri gereken gelir vergisi tutarlarındaki farkın da önemsiz derecede farklı olması gerektiği sonucu çıkıyor. İlginçtir ki, insanların büyük çoğunluğu bu durumu tamamen doğal olarak algılıyor ve bunu düşünmüyorlar bile.

10.6. Çözüm

Sona doğru kendimize küçük bir inzivaya izin verelim.

Eskilerin üzücü gözlemini grafiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:

Sic transit Gloria mundi...

(Dünyevi ihtişam böyle geçer …)

İşin sonu -

Bu konu şu bölüme aittir:

Fonksiyon kavramı

Fonksiyon kavramı.. her şey akar ve her şey değişir Herakleitos.. tablo x x x x y y y y..

Bu konuyla ilgili ek materyale ihtiyacınız varsa veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:

Alınan materyalle ne yapacağız:

Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:

Bir noktadaki süreklilik için bir fonksiyonun incelenmesi, üç süreklilik koşulunun kontrol edilmesini içeren, önceden belirlenmiş bir rutin şemaya göre gerçekleştirilir:

Örnek 1

Süreklilik açısından fonksiyonu inceleyin. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.

Çözüm:

1) Kapsam içindeki tek nokta, fonksiyonun tanımlanmadığı yerdir.

Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir.

Böylece fonksiyon bu noktada çıkarılabilir bir süreksizlikle karşı karşıya kalır.

Bu fonksiyonun grafiği neye benziyor?

basitleştirmek isterim ve sıradan bir parabol elde edilmiş gibi görünüyor. ANCAK orijinal fonksiyon noktasında tanımlanmadığından aşağıdaki cümle gereklidir:

Çizimi yapalım:

Cevap: Fonksiyon, çıkarılabilir bir süreksizliğin olduğu nokta dışında tüm sayı doğrusunda süreklidir.

Fonksiyon iyi veya çok iyi olmayan bir şekilde daha ayrıntılı olarak tanımlanabilir, ancak duruma göre bu gerekli değildir.

Bunun çok uç bir örnek olduğunu mu söylüyorsunuz? Hiç de bile. Bu, pratikte onlarca kez yaşandı. Sitenin görevlerinin neredeyse tamamı gerçek bağımsız çalışma ve testlerden gelmektedir.

Favori modüllerimizden kurtulalım:

Örnek 2

İşlevi keşfedin süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.

Çözüm: Bazı nedenlerden dolayı öğrenciler, karmaşık bir yanı olmamasına rağmen modül içeren işlevlerden korkuyorlar ve hoşlanmıyorlar. Zaten derste bu tür konulara biraz değinmiştik. Grafiklerin geometrik dönüşümleri. Modül negatif olmadığından aşağıdaki şekilde genişletilir: , burada "alfa" bir ifadedir. Bu durumda fonksiyonumuzun parçalı olarak yazılması gerekir:

Ancak her iki parçanın kesirlerinin de azaltılması gerekir. Azaltma, önceki örnekte olduğu gibi, sonuçsuz gerçekleşmeyecektir. Payda sıfıra gittiği için orijinal fonksiyon bu noktada tanımlı değildir. Bu nedenle sistem ek olarak koşulu belirtmeli ve ilk eşitsizliği katı yapmalıdır:

Şimdi ÇOK FAYDALI bir karar tekniği hakkında: Taslak üzerinde işi bitirmeden önce (şartlar gerektirip gerektirmediğine bakılmaksızın) çizim yapmak avantajlıdır. Bu, öncelikle süreklilik noktalarını ve süreksizlik noktalarını anında görmenize yardımcı olacak ve ikinci olarak, tek taraflı limitleri bulurken sizi hatalardan %100 koruyacaktır.

Çizimi yapalım. Hesaplamalarımıza uygun olarak, noktanın soluna bir parabol parçası (mavi renk) ve sağa - bir parabol parçası (kırmızı renk) çizmek gerekirken, fonksiyon şu noktada tanımlanmamıştır: kendisini işaret eder:

Şüpheniz varsa birkaç x değeri alın ve bunları fonksiyona takın (modülün olası eksi işaretini yok ettiğini unutmayın) ve grafiği kontrol edin.

Süreklilik fonksiyonunu analitik olarak inceleyelim:

1) Fonksiyon bu noktada tanımlı olmadığı için bu noktada sürekli olmadığını hemen söyleyebiliriz.

2) Süreksizliğin doğasını belirleyelim; bunun için tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir. Kesme noktasındaki fonksiyonun tanımlı olup olmamasının önemli olmadığını unutmayın.

Şimdi geriye kalan tek şey çizimi taslaktan aktarmak (sanki araştırma yardımıyla yapılmış gibi ;-)) ve görevi tamamlamak:

Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizlik yaşadığı nokta dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Bazen süreksizlik sıçramasının ek göstergesine ihtiyaç duyarlar. Basitçe hesaplanır - sağ limitten sol limiti çıkarmanız gerekir: yani kırılma noktasında fonksiyonumuz 2 birim aşağıya sıçradı (eksi işaretinin bize söylediği gibi).

Örnek 3

İşlevi keşfedin süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Bir çizim yapın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnek, dersin sonundaki örnek çözümdür.

İşlev üç bölümden oluştuğunda görevin en popüler ve yaygın versiyonuna geçelim:

Örnek 4

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve fonksiyonun grafiğini çizin

Çözüm: Fonksiyonun üç bölümünün de karşılık gelen aralıklarda sürekli olduğu açıktır, bu nedenle parçalar arasındaki yalnızca iki "birleşim" noktasını kontrol etmek kalır. Öncelikle bir taslak çizim yapalım; yazımın ilk bölümünde yapım tekniğini yeterince detaylı bir şekilde anlattım. Tekil noktalarımızı dikkatlice takip etmemiz gerekiyor: eşitsizlik nedeniyle değer düz çizgiye (yeşil nokta) ve eşitsizlik nedeniyle değer parabole (kırmızı nokta) aittir:

Prensip olarak her şey açık =) Geriye kalan tek şey kararı resmileştirmek. İki "birleşme" noktasının her biri için standart olarak 3 süreklilik koşulunu kontrol ederiz:

BEN)

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir.

Süreksizlik sıçramasını sağ ve sol limitler arasındaki fark olarak hesaplayalım:
yani grafik bir birim yukarı sarsıldı.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri bulun:

- Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir, yani genel bir limit vardır.

Son aşamada çizimi son versiyona aktarıyoruz, ardından son akoru koyuyoruz:

Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizlik yaşadığı nokta dışında, tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Örnek 5

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve grafiğini oluşturun .

Bu, dersin sonunda bağımsız çözüm, kısa çözüm ve problemin yaklaşık bir örneği için bir örnektir.

Bir noktada fonksiyonun sürekli olması gerektiği, diğer noktada ise süreksizliğin olması gerektiği izlenimine kapılabilirsiniz. Uygulamada bu her zaman böyle değildir. Kalan örnekleri ihmal etmemeye çalışın; birkaç ilginç ve önemli özellik olacaktır:

Örnek 6

Bir fonksiyon verildiğinde . Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Bir grafik oluşturun.

Çözüm: ve tekrar taslaktaki çizimi hemen yürütün:

Bu grafiğin özelliği parçalı fonksiyonun apsis ekseni denklemi ile verilmesidir. Burada bu alan yeşil renkle çizilmiştir, ancak bir defterde genellikle basit bir kalemle kalın harflerle vurgulanmıştır. Ve tabii ki koçlarımızı da unutmayın: değer teğet dalına (kırmızı nokta) ve değer de düz çizgiye aittir.

Çizimde her şey açıktır - fonksiyon tüm sayı doğrusu boyunca süreklidir, geriye kalan tek şey, 3-4 benzer örnekten sonra kelimenin tam anlamıyla tam otomasyona getirilen çözümü resmileştirmektir:

BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

yani genel bir limit var.

Burada küçük komik bir şey oldu. Gerçek şu ki, pek çok materyal yarattım bir fonksiyonun sınırları hakkında ve birkaç kez istedim, ancak birkaç kez basit bir soruyu unuttum. Ve böylece, inanılmaz bir irade çabasıyla, kendimi düşüncemi kaybetmemeye zorladım =) Büyük olasılıkla, bazı "aptal" okuyucular şüphe ediyor: sabitin limiti nedir? Bir sabitin limiti sabitin kendisine eşittir. Bu durumda sıfırın limiti sıfırın kendisine eşittir (sol limit).

3) - Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri bulun:

Ve burada, sağdaki limitte, birliğin sınırı birliğin kendisine eşittir.

- genel bir sınır vardır.

3) - Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

Her zamanki gibi araştırma sonrasında çizimimizi son versiyona aktarıyoruz.

Cevap: Fonksiyon noktalarda süreklidir.

Lütfen, bu durumda bize süreklilik için tüm fonksiyonun incelenmesi hakkında hiçbir şey sorulmadığını ve bunun formüle edilmesinin iyi bir matematiksel form olarak kabul edildiğini unutmayın. kesin ve net sorulan sorunun cevabı. Bu arada, eğer koşullar bir grafik oluşturmanızı gerektirmiyorsa, o zaman onu oluşturmama hakkına sahipsiniz (ancak daha sonra öğretmen sizi bunu yapmaya zorlayabilir).

Sorunu kendi başınıza çözmek için küçük bir matematiksel "tekleme":

Örnek 7

Bir fonksiyon verildiğinde .

Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Varsa kesme noktalarını sınıflandırın. Çizimi yürütün.

Tüm "kelimeleri" doğru "telaffuz etmeye" çalışın =) Ve grafiği daha kesin, doğru çizin, her yerde gereksiz olmayacak;-)

Hatırlayacağınız üzere çizimi taslak olarak hemen tamamlamanızı önermiştim ancak zaman zaman grafiğin neye benzediğini hemen anlayamadığınız örneklerle karşılaşıyorsunuz. Bu nedenle, bazı durumlarda, önce tek taraflı limitleri bulmak ve ancak daha sonra çalışmaya dayalı olarak dalları tasvir etmek avantajlıdır. Son iki örnekte ayrıca bazı tek taraflı limitlerin hesaplanmasına yönelik bir teknik de öğreneceğiz:

Örnek 8

Fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve şematik grafiğini oluşturun.

Çözüm: kötü noktalar açıktır: (üssün paydasını sıfıra indirir) ve (tüm kesrin paydasını sıfıra indirir). Bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediği belli değil, bu da ilk önce biraz araştırma yapmanın daha iyi olduğu anlamına geliyor:

BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz

2) Tek taraflı limitleri bulun:

lütfen aklınızda bulundurun tek taraflı limiti hesaplamak için tipik yöntem: "x" yerine . Paydada suç yoktur: “toplama” “eksi sıfır” rol oynamaz ve sonuç “dört” olur. Ancak payda biraz gerilim devam ediyor: önce göstergenin paydasında -1 ve 1'i öldürüyoruz, sonuçta . Birim bölünmüş , “eksi sonsuz”a eşittir, dolayısıyla: . Ve son olarak “iki” sonsuz büyük negatif derece sıfıra eşit: . Veya daha spesifik olmak gerekirse: .

Sağdan limiti hesaplayalım:

Ve burada "X" yerine . Paydada “katkı maddesi” yine bir rol oynamaz: . Payda önceki sınıra benzer işlemler gerçekleştirilir: zıt sayıları yok ederiz ve birer birer böleriz :

Sağdan limit sonsuzdur, bu da fonksiyonun noktasında 2. türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) Fonksiyon bu noktada tanımlanmamıştır.

2) Sol taraftaki limiti hesaplayalım:

Yöntem aynıdır: Fonksiyonun yerine "X" koyarız. Payda ilginç bir şey yok - sonlu bir pozitif sayı olduğu ortaya çıkıyor. Ve paydada parantezleri açıyoruz, "üçleri" kaldırıyoruz ve "katkı maddesi" belirleyici bir rol oynuyor.

Sonuç olarak, son pozitif sayı bölünür sonsuz küçük pozitif sayı, “artı sonsuzluğu” verir: .

Sağdaki limit, paydada görünmesi dışında ikiz kardeş gibidir. sonsuz küçük negatif sayı:

Tek taraflı limitler sonsuzdur, bu da fonksiyonun noktasında 2. türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir.

Böylece grafiğin iki kırılma noktası ve tabii ki üç dalı var. Her dal için noktadan noktaya bir inşaat yapılması tavsiye edilir, yani. birkaç “x” değeri alın ve bunları yerine koyun. Durumun şematik bir çizimin oluşturulmasına izin verdiğini ve bu tür bir rahatlamanın manuel çalışma için doğal olduğunu lütfen unutmayın. Bir program kullanarak grafikler oluşturuyorum, bu yüzden bu kadar zorluk çekmiyorum, işte oldukça doğru bir resim:

Doğrudan dikey asimptotlar Bu fonksiyonun grafiği için.

Cevap: Fonksiyon, 2. tür süreksizliklere maruz kaldığı noktalar dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir işlev:

Örnek 9

Fonksiyonun sürekliliğini inceleyin ve şematik bir çizim yapın.

Sonunda fark edilmeden ortaya çıkan yaklaşık bir çözüm örneği.

Yakında görüşürüz!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 3:Çözüm : fonksiyonu dönüştürün: . Modül açıklama kuralı dikkate alındığında ve gerçeği fonksiyonu parçalı biçimde yeniden yazıyoruz:

Fonksiyonun sürekliliğini inceleyelim.

1) Fonksiyon bu noktada tanımlı değil .

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktada bir sıçrama ile 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir. . Çizimi yapalım:

Cevap: fonksiyon nokta dışında tüm sayı doğrusunda süreklidir burada bir sıçramayla birinci türden bir süreksizlik yaşanıyor. Atlama Boşluğu: (iki birim yukarı).

Örnek 5:Çözüm : Fonksiyonun üç parçasından her biri kendi aralığında süreklidir.
BEN)
1)

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

yani genel bir limit var.
3) - Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.
Yani fonksiyon bir noktada sürekli Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini tanımlayarak.
II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır. fonksiyon bu noktada 2. türden bir süreksizliğe maruz kalır

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur?

Çözüm örnekleri

Bir yerde bir şey eksikse bir yerlerde bir şeyler var demektir

“Fonksiyonlar ve Grafikler” bölümünü incelemeye devam ediyoruz ve yolculuğumuzun bir sonraki istasyonu İşlev Etki Alanı. Bu kavramın aktif bir tartışması ilk derste başladı. fonksiyon grafikleri hakkında, temel işlevlere ve özellikle bunların tanım alanlarına baktım. Bu nedenle bazı temel noktalar üzerinde tekrar durmayacağım için kuklaların konunun temelleriyle başlamasını tavsiye ederim.

Okuyucunun temel fonksiyonların tanım alanlarını bildiği varsayılmaktadır: doğrusal, ikinci dereceden, kübik fonksiyonlar, polinomlar, üstel, logaritma, sinüs, kosinüs. Üzerinde tanımlanırlar. Teğetler, arksinüsler için öyle olsun, sizi affediyorum =) Daha nadir grafikler hemen hatırlanmaz.

Tanımın kapsamı basit gibi görünüyor ve mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: Makale ne hakkında olacak? Bu derste bir fonksiyonun tanım kümesini bulmayla ilgili yaygın sorunlara bakacağım. Üstelik tekrar edeceğiz tek değişkenli eşitsizlikler yüksek matematiğin diğer problemlerinde de çözüm becerileri gerekli olacaktır. Bu arada materyalin tamamı okul materyali olduğundan sadece öğrenciler için değil öğrenciler için de faydalı olacaktır. Bilgiler elbette ansiklopedik gibi görünmüyor, ancak burada abartılı "ölü" örnekler değil, gerçek pratik çalışmalardan alınan kavrulmuş kestaneler var.

Konuya hızlı bir giriş yaparak başlayalım. Kısaca asıl konuya değinelim: Tek değişkenli bir fonksiyondan bahsediyoruz. Onun tanım alanı "x"in birçok anlamı, bunun için var olmak"Oyuncular"ın anlamları. Varsayımsal bir örneğe bakalım:

Bu fonksiyonun tanım alanı aralıkların birleşimidir:
(unutanlar için: - birleştirme simgesi). Başka bir deyişle, aralıktan veya aralığından herhangi bir "x" değeri alırsanız, bu tür her "x" için bir "y" değeri olacaktır.

Kabaca söylemek gerekirse, tanımın tanım kümesinin olduğu yerde, fonksiyonun bir grafiği vardır. Ancak yarı aralık ve “tse” noktası tanım alanına dahil edilmediğinden orada grafik yoktur.

Evet, bu arada, ilk paragrafların terminolojisinde ve/veya içeriğinde anlaşılmayan bir şey varsa yazıya geri dönmek daha iyi olur. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri.

Tanım
Fonksiyon f (X) isminde x noktasında sürekli 0 bu noktanın komşuluğu ve eğer x'in limiti x'e doğru gidiyorsa 0 x'teki fonksiyon değerine eşit 0 :
.

Bir fonksiyonun limitinin Cauchy ve Heine tanımlarını kullanarak şunu verebiliriz: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğine ilişkin genişletilmiş tanımlar .

Süreklilik kavramını şu şekilde formüle edebiliriz: artışlar açısından. Bunu yapmak için, x değişkeninin o noktadaki artışı adı verilen yeni bir değişken tanıtıyoruz.
.
O halde fonksiyon şu noktada süreklidir:
.
Yeni bir fonksiyon tanıtalım: fonksiyon artışı Onu aradılar
.

noktada.
O halde fonksiyon şu noktada süreklidir: (X) Sürekli bir fonksiyonun sınırlılığı üzerine teorem 0 f fonksiyonu olsun (x0) x noktasında süreklidir

.
Sonra bir mahalle U var
.
, işlevin sınırlı olduğu.
Sürekli bir fonksiyonun işaretinin korunmasına ilişkin teorem

Fonksiyon bir noktada sürekli olsun.
Ve bu noktada pozitif (negatif) bir değere sahip olsun:
Daha sonra fonksiyonun pozitif (negatif) bir değere sahip olduğu noktanın bir komşuluğu vardır:
.

Sol-sağ süreklilik özelliği
Bir fonksiyon bir noktada süreklidir ancak ve ancak sağda ve solda süreklidir.

Özelliklerin ispatları “Bir noktada sürekli olan fonksiyonların özellikleri” sayfasında verilmiştir.

Karmaşık bir fonksiyonun sürekliliği

Karmaşık bir fonksiyon için süreklilik teoremi
Fonksiyon bir noktada sürekli olsun.
Fonksiyonun bu noktada sürekli olmasına izin verin.

O halde karmaşık fonksiyon bu noktada süreklidir.

Karmaşık bir fonksiyonun limiti
Bir fonksiyonun sürekli fonksiyonunun limiti üzerine teorem
.
Fonksiyonun 'da bir limiti olsun ve bu şuna eşit olsun: 0 İşte t noktası
sonlu veya sonsuz uzaklıkta olabilir: .
Fonksiyonun bu noktada sürekli olmasına izin verin.
.

O halde karmaşık bir fonksiyonun bir limiti vardır ve bu şuna eşittir:
Karmaşık bir fonksiyonun sınırına ilişkin teorem
Fonksiyonun bir limiti olsun ve bir noktanın delinmiş komşuluğunu bir noktanın delinmiş komşuluğuna eşleyin.
Fonksiyon bu komşuluk üzerinde tanımlansın ve üzerinde bir limit olsun.
.

İşte son veya sonsuz uzaklıktaki noktalar: .

Mahalleler ve onlara karşılık gelen sınırlar iki taraflı veya tek taraflı olabilir.
O zaman karmaşık bir fonksiyonun bir limiti vardır ve şuna eşittir: Kırılma noktaları Kırılma noktasının belirlenmesi
Fonksiyonun noktanın bazı delinmiş komşuluklarında tanımlanmasına izin verin.
Nokta denir

fonksiyon kırılma noktası
iki koşuldan biri karşılanırsa: 1) 'de tanımlanmamış; 2) 'da tanımlıdır, ancak bu noktada değildir.
.

1. tür süreksizlik noktasının belirlenmesi
Nokta denir Birinci türden süreksizlik noktası
.

if bir kırılma noktasıdır ve solda ve sağda sonlu tek taraflı limitler vardır:
iki koşuldan biri karşılanırsa: Fonksiyon atlamanın tanımı Atlama Δ işlevi
,
bir noktada sağdaki ve soldaki sınırlar arasındaki farktır

Kırılma noktasının belirlenmesi

çıkarılabilir kırılma noktası
iki koşuldan biri karşılanırsa: eğer bir sınır varsa ancak noktadaki fonksiyon ya tanımlı değil ya da sınır değerine eşit değil: .

Dolayısıyla çıkarılabilir süreksizlik noktası, fonksiyonun sıçramasının sıfıra eşit olduğu 1. tür süreksizlik noktasıdır.

2. tür süreksizlik noktasının belirlenmesi
ikinci türün süreksizlik noktası

1. türden bir süreksizlik noktası değilse.
Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta sınırlıdır.

Maksimumun (minimum) ulaşılabilirliğinin belirlenmesi
Bir fonksiyon, eğer bir argüman varsa, kümedeki maksimum (minimum) değerine ulaşır.
herkes için.

Üst (alt) yüzün ulaşılabilirliğinin belirlenmesi
Bir fonksiyon, eğer bir argüman varsa, kümedeki üst (alt) sınırına ulaşır.
.

Weierstrass'ın sürekli bir fonksiyonun maksimum ve minimumuna ilişkin ikinci teoremi
Bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyon, onun üzerinde üst ve alt sınırlarına ulaşır veya aynı şekilde, doğru parçası üzerinde maksimum ve minimum değerlerine ulaşır.

Bolzano-Cauchy ara değer teoremi
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin.
.

Ve C'nin, segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerleri arasında yer alan rastgele bir sayı olmasına izin verin: ve.
O zaman bir nokta var
.

Sonuç 1
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin.
Sürekli bir fonksiyonun işaretinin korunmasına ilişkin teorem

Ve segmentin uçlarındaki fonksiyon değerlerinin farklı işaretlere sahip olmasına izin verin: veya .

Sonra fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu bir nokta vardır:
Sonuç 2
herkes için.
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin. Ve öyle olsun. Daha sonra fonksiyon, tüm değerlerin aralığını ve yalnızca bu değerlerden alır:
.

Ters fonksiyonlar
;
Ters fonksiyonun tanımı
herkes için.

Bir fonksiyonun X tanım alanına ve Y değerlerine sahip olmasına izin verin.
Ve şu özelliğe sahip olmasına izin verin:

O zaman Y kümesindeki herhangi bir öğe için X kümesinin yalnızca bir öğesi ilişkilendirilebilir.
Bu yazışma, adı verilen bir işlevi tanımlar.

ters fonksiyon
İle . Ters fonksiyon şu şekilde gösterilir:

Tanımdan şu sonuç çıkıyor

herkes için;
Doğrudan ve ters fonksiyonların karşılıklı monotonluğuna ilişkin Lemma

Eğer bir fonksiyon kesin olarak artıyorsa (azalansa), o zaman yine kesin olarak artan (azalan) bir ters fonksiyon vardır.
Doğrudan ve ters fonksiyonların grafiklerinin simetrisinin özelliği

Benzer şekilde ters fonksiyonun yarı aralıkta varlığı ve sürekliliğine ilişkin teoremi de formüle edebiliriz.

Temel fonksiyonların özellikleri ve sürekliliği

Temel fonksiyonlar ve bunların tersi, tanım alanlarında süreklidir. Aşağıda karşılık gelen teoremlerin formülasyonlarını sunuyoruz ve kanıtlarına bağlantılar sağlıyoruz.

Üstel fonksiyon

Üstel fonksiyon f (x) = a x, a tabanlı > 0 dizinin limiti
,
x'e yönelen rastgele bir rasyonel sayılar dizisi nerede:
.

Teorem. Üstel Fonksiyonun Özellikleri
Üstel fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(S.0) tanımlanmış, için, herkes için;
(S.1) bir ≠ için 1 birçok anlamı vardır;
(S.2) kesinlikle artar, kesinlikle azalır, sabittir;
(S.3) ;
(S.3*) ;
(S.4) ;
(S.5) ;
(S.6) ;
(S.7) ;
(S.8) herkes için sürekli;
(S.9);
Sürekli bir fonksiyonun işaretinin korunmasına ilişkin teorem

Logaritma

Logaritmik fonksiyon veya logaritma, y = günlük balta, a tabanlı a tabanlı üstel fonksiyonun tersidir.

Teorem. Logaritmanın özellikleri
a tabanlı logaritmik fonksiyon, y = x'i günlüğe kaydet, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(L.1) argümanın pozitif değerleri için ve için tanımlanmış ve sürekli;
(L.2) birçok anlamı vardır;
(L.3) kesinlikle artar, kesinlikle azalır;
(L.4);
;
(L.5) ;
(L.6);
(L.7);
(L.8);
(L.9) Sürekli bir fonksiyonun işaretinin korunmasına ilişkin teorem

Üs ve doğal logaritma

Üstel fonksiyon ve logaritmanın tanımlarında kuvvetin tabanı veya logaritmanın tabanı olarak adlandırılan bir sabit ortaya çıkar. Matematiksel analizde, çoğu durumda, e sayısı temel olarak kullanılırsa daha basit hesaplamalar elde edilir:
.
e tabanına sahip bir üstel fonksiyona üs: denir ve e tabanına sahip bir logaritmaya doğal logaritma: denir.

Üssün özellikleri ve doğal logaritmanın özellikleri sayfalarda sunulmaktadır.
"Üs, e üzeri x'in kuvveti",
"Doğal logaritma, ln x fonksiyonu"

Güç fonksiyonu

p üssü ile kuvvet fonksiyonu f fonksiyonu (x) = xp x noktasındaki değeri, p noktasındaki x tabanlı üstel fonksiyonun değerine eşittir.
Ayrıca, f (0) = 0 p = 0 p için > 0 .

Burada argümanın negatif olmayan değerleri için y = x p kuvvet fonksiyonunun özelliklerini ele alacağız.
Rasyonellerde tek m için kuvvet fonksiyonu negatif x için de tanımlanır.

Bu durumda özellikleri çift veya tek kullanılarak elde edilebilir.
p üssüne sahip bir kuvvet fonksiyonu, y = x p, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(C.1) sette tanımlanmış ve sürekli
,
"de.

Trigonometrik fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonların sürekliliği üzerine teorem
Trigonometrik fonksiyonlar: sinüs ( günah x), kosinüs ( çünkü x), teğet ( tgx) ve kotanjant ( ctgx

Ters trigonometrik fonksiyonların sürekliliğine ilişkin teorem
Ters trigonometrik fonksiyonlar: arksinüs ( ark sin x), ark kosinüs ( arkcos x), arktanjant ( arktan x) ve ark teğet ( arkctg x), tanım alanlarında süreklidir.