Fonksiyonların 8 özelliği. İkinci dereceden bir fonksiyonun temel özellikleri

Sınırlar ve süreklilik

Setler

Altında birçok homojen nesnelerin bir koleksiyonu olarak anlaşılmaktadır. Bir küme oluşturan nesnelere denir elemanlar veya noktalar bu çokluğun. Kümeler büyük harflerle, elemanları ise küçük harflerle gösterilir. Eğer A kümenin bir elemanıdır A, daha sonra giriş kullanılır AÎ A. Eğer B kümenin bir elemanı değil A, o zaman şöyle yazılır: B Ï A. Tek bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve şu şekilde gösterilir: Ø.

Eğer set B setin elemanlarının bir kısmından oluşur A veya onunla çakışıyorsa, o zaman set B isminde alt küme kümeler ve belirtir BÌ A.

İki kümeye denir eşit, eğer aynı unsurlardan oluşuyorlarsa.

Dernek iki takım A Ve B set denir C kümelerden en az birine ait tüm öğelerden oluşan: C=AÈ B.

Karşıya geçerek iki takım A Ve B set denir C, bu kümelerin her birine ait tüm öğelerden oluşan: C=AÇ B.

Farkına göre setleri A Ve B set denir e A, sete ait olmayanlar B: .

Ek setleri AÌ B set denir C setin tüm elemanlarından oluşan B ait değil A.

Elemanları gerçel sayılardan oluşan kümelere denir sayısal:

Aynı zamanda NÌ ZÌ QÌ R, BENÌ R Ve R=BENÈ Q.

Birçok X Elemanları eşitsizliği sağlayan şeye denir bölüm(bölüm) ve gösterilir [ A; B]; eşitsizlik A<X<B – aralık ve () ile gösterilir; eşitsizlikler ve - yarım aralıklar ve sırasıyla ve ile gösterilir. Ayrıca sıklıkla sonsuz aralıklar ve yarım aralıklarla da uğraşmanız gerekir: , , , ve . Hepsini aramak uygun aralıklarla .

Aralık, yani eşitsizliği sağlayan noktalar kümesi (burada), noktanın -komşusu denir A.

Fonksiyon kavramı. Bir fonksiyonun temel özellikleri

Eğer her bir eleman X setleri X tek bir öğe eşleştirilir sen setleri e, sonra sette bunu söylüyorlar X verildi işlev sen=F(X). Aynı zamanda X isminde bağımsız değişken veya argüman, A sen – bağımlı değişken veya işlev, A F yazışma yasasını ifade eder. Birçok X isminde tanım alanı işlevler ve bir dizi e – değer aralığı işlevler.

İşlevleri belirtmenin birkaç yolu vardır.

1) Analitik yöntem - fonksiyon, formun formülüyle verilir sen=F(X).

2) Tablo yöntemi - işlev, bağımsız değişken değerlerini ve karşılık gelen işlev değerlerini içeren bir tabloyla belirtilir. sen=F(X).

3) Grafiksel yöntem - bir fonksiyonun grafiğini tasvir etmek, yani. nokta kümesi ( X; sen) apsisleri argümanın değerlerini temsil eden koordinat düzlemi ve koordinatlar fonksiyonun karşılık gelen değerlerini temsil eder sen=F(X).

4) Sözlü yöntem - bir işlev, bileşimine ilişkin kuralla tanımlanır. Örneğin Dirichlet işlevi şu durumda 1 değerini alır: X bir rasyonel sayıdır ve 0 ise X– irrasyonel sayı.

Fonksiyonların aşağıdaki ana özellikleri ayırt edilir.

1 Çift ve tekİşlev sen=F(X) denir eşit, eğer herhangi bir değer için X tanım alanından memnun F(–X)=F(X), Ve garip, Eğer F(–X)=–F(X). Listelenen eşitliklerden hiçbiri sağlanmıyorsa, o zaman sen=F(X) denir genel fonksiyon. Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir Oy ve tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

2 Monotonlukİşlev sen=F(X) denir artan (azalan) aralıkta X, bu aralıktaki daha büyük bir bağımsız değişken değeri daha büyük (daha küçük) bir işlev değerine karşılık geliyorsa. İzin vermek X 1 ,X 2 Î X, X 2 >X 1. Daha sonra fonksiyon aralıkta artar X, Eğer F(X 2)>F(X 1) ve eğer azalırsa F(X 2)<F(X 1).

Artan ve azalan fonksiyonların yanı sıra azalmayan ve artmayan fonksiyonlar da dikkate alınır. Fonksiyon çağrılır azalmayan (artmayan), eğer X 1 ,X 2 Î X, X 2 >X 1 eşitsizlik geçerli F(X 2)≥F(X 1) (F(X 2)≤F(X 1)).

Artan ve azalan fonksiyonlar ile artmayan ve azalmayan fonksiyonlara monoton denir.

3 Sınırlıİşlev sen=F(X) aralıkta sınırlı olarak adlandırılır X eğer böyle pozitif bir sayı varsa M>0, ne | F(X)|≤M herkes için XÎ X. Aksi takdirde fonksiyonun sınırsız olduğu söylenir. X.

4 Frekansİşlev sen=F(X) bir periyotla periyodik olarak adlandırılır T≠0, eğer varsa X fonksiyonun etki alanından F(X+T)=F(X). Aşağıda periyot derken bir fonksiyonun en küçük pozitif periyodunu kastediyoruz.

Fonksiyon çağrılır açıkşeklinde bir formülle veriliyorsa sen=F(X). Fonksiyon denklemle veriliyorsa F(X, sen)=0, bağımlı değişkene göre izin verilmez sen, o zaman denir örtülü.

İzin vermek sen=F(X) sette tanımlanan bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur X menzilli e. Her birini eşleştirelim senÎ e tek anlam XÎ X, hangisinde F(X)=sen.Sonra ortaya çıkan fonksiyon X=φ (sen), sette tanımlı e menzilli X, isminde tersi ve belirlenmiş sen=F –1 (X). Karşılıklı ters fonksiyonların grafikleri, birinci ve üçüncü koordinat çeyreklerinin açıortaylarına göre simetriktir.

Fonksiyona izin ver sen=F(sen) bir değişkenin fonksiyonudur sen, sette tanımlı sen menzilli e ve değişken sen sırasıyla bir fonksiyondur sen=φ (X), sette tanımlı X menzilli sen. Daha sonra sette verilen X işlev sen=F(φ (X)) denir karmaşık fonksiyon(fonksiyonların bileşimi, fonksiyonların süperpozisyonu, bir fonksiyonun fonksiyonu).

Temel işlevler

Ana temel işlevler şunları içerir:

güç fonksiyonu sen=xn; sen=x-n Ve sen=X 1/ N;
üstel fonksiyon sen=bir x;
logaritmik fonksiyon sen=günlük bir x;
trigonometrik fonksiyonlar sen=günah X, sen=çünkü X, sen=tg X Ve sen=ctg X;
ters trigonometrik fonksiyonlar sen= arksin X, sen=arccos X, sen=arktg X Ve sen=arkcctg X.

Temel temel fonksiyonlardan, cebirsel işlemler ve fonksiyonların süperpozisyonu kullanılarak yeni fonksiyonlar elde edilebilir.

Sonlu sayıda cebirsel işlem ve sonlu sayıda süperpozisyon işlemi kullanılarak temel temel fonksiyonlardan oluşturulan fonksiyonlara denir. temel.

Cebirsel argüman üzerinde sonlu sayıda cebirsel işlemin gerçekleştirildiği bir fonksiyondur. Cebirsel fonksiyonlar şunları içerir:

· tam bir rasyonel fonksiyon (polinom veya polinom)

· kesirli-rasyonel fonksiyon (iki polinomun oranı)

· irrasyonel fonksiyon (eğer argümandaki işlemler kökün çıkarılmasını içeriyorsa).

Cebirsel olmayan herhangi bir fonksiyona denir transandantal. Transandantal fonksiyonlar üstel, logaritmik, trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonları içerir.

Üstel fonksiyona ilişkin temel özellikler, grafikler ve formüller hakkında referans verileri sağlar. Aşağıdaki konular ele alınmaktadır: tanım alanı, değerler kümesi, monotonluk, ters fonksiyon, türev, integral, kuvvet serilerinin açılımı ve karmaşık sayılarla temsil.

Tanım

Üstel fonksiyon a'ya eşit n sayıların çarpımının bir genellemesidir:
sen (n) = a n = a·a·a···a,
x reel sayılar kümesine:
sen (x) = balta.
Burada a sabit bir gerçek sayıdır ve buna denir üstel fonksiyonun temeli.
a tabanına sahip üstel fonksiyona da denir a tabanına ait üs.

Genelleme şu şekilde yapılır.
Doğal x için = 1, 2, 3,... üstel fonksiyon x faktörlerinin çarpımıdır:
.
Ayrıca, sayıları çarpma kurallarından kaynaklanan (1.5-8) () özelliklerine sahiptir. Tam sayıların sıfır ve negatif değerleri için üstel fonksiyon, formüller (1.9-10) kullanılarak belirlenir. Kesirli değerler için x = m/n rasyonel sayılar, (1.11) formülü ile belirlenir. real için üstel fonksiyon dizinin limiti olarak tanımlanır:
,
x'e yakınsayan rastgele bir rasyonel sayılar dizisi: .
Bu tanımla, üstel fonksiyon hepsi için tanımlanır ve doğal x için olduğu gibi (1,5-8) özelliklerini karşılar.

Üstel bir fonksiyonun tanımının ve özelliklerinin kanıtının titiz bir matematiksel formülasyonu “Üstel bir fonksiyonun özelliklerinin tanımı ve kanıtı” sayfasında verilmiştir.

Üstel Fonksiyonun Özellikleri

Üstel fonksiyon y = a x, gerçek sayılar () kümesinde aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.1) tanımlanmış ve sürekli, herkes için, herkes için;
(1.2) bir ≠ için 1 birçok anlamı vardır;
(1.3) kesinlikle artar, kesinlikle azalır,
sabittir;
(1.4) ;
;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Diğer faydalı formüller.
.
Farklı bir üstel tabana sahip üstel bir fonksiyona dönüştürme formülü:

b = e olduğunda üstel fonksiyonun ifadesini üstel yoluyla elde ederiz:

Özel değerler

, , , , .

Şekilde üstel fonksiyonun grafikleri gösterilmektedir
sen (x) = balta
dört değer için derece üsleri: bir = 2 , bir = 8 , bir = 1/2 ve bir = 1/8 . 1 > için görüldüğü gibi 0 < a < 1 üstel fonksiyon monoton olarak artar. A derecesinin tabanı ne kadar büyük olursa, büyüme o kadar güçlü olur. Şu tarihte:

üstel fonksiyon monoton olarak azalır. a üssü ne kadar küçükse, azalma o kadar güçlü olur.

Artan, azalan

	Üstel fonksiyon kesinlikle monotondur ve bu nedenle hiçbir ekstremusu yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır. 1	y = a x , a > 0 < a < 1
y = balta,	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Tanım alanı	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Değer aralığı	Monoton	monoton olarak artar
monoton olarak azalır 0	Sıfırlar, y =	Sıfırlar, y =
HAYIR 0	Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 1	Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

y =

Ters fonksiyon

Tabanı a olan bir üstel fonksiyonun tersi, a tabanının logaritmasıdır.
.
Eğer öyleyse
.

Eğer öyleyse

Üstel bir fonksiyonun türevi

Üstel bir fonksiyonun türevini almak için tabanı e sayısına indirilmeli, türev tablosunu ve karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamalıdır.
Bunu yapmak için logaritmanın özelliğini kullanmanız gerekir.
.

ve türevler tablosundaki formül:
.
Üstel bir fonksiyon verilsin:

Onu e üssüne getiriyoruz:

Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın

Daha sonra
.
Elimizdeki türev tablosundan (x değişkenini z ile değiştirin):
.
Bir sabit olduğundan z'nin x'e göre türevi eşittir
.

Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre:

.
Üstel bir fonksiyonun türevi
.
N'inci dereceden türev:

Formüllerin türetilmesi > > >

Üstel bir fonksiyonun türevini almaya bir örnek
Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = Bir fonksiyonun türevini bulun

3 5x

Çözüm
Üstel fonksiyonun tabanını e sayısı üzerinden ifade edelim.
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın
.
3 = e ln 3
.
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın

Bir değişken girin
.
Türev tablosundan şunları buluyoruz: Çünkü 5ln3
.
bir sabit ise z'nin x'e göre türevi şuna eşittir:
.

Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre elimizde:

Cevap

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Karmaşık sayı fonksiyonunu düşünün z:
F (z) = az
burada z = x + iy; 2 = - 1 .
Ben
Karmaşık sabit a'yı r modülü ve φ argümanı cinsinden ifade edelim:
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın

.
a = r e ben φ
φ = φ φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Genel olarak,
0 + 2 πn burada n bir tam sayıdır. Bu nedenle f fonksiyonu(z)
.

da belli değil. Başlıca önemi sıklıkla dikkate alınır

Seri genişletme
Kullanılan literatür:

İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009. Tanım

: Sayısal bir fonksiyon, belirli bir kümedeki her x sayısını tek bir y sayısıyla ilişkilendiren bir yazışmadır.

Tanım:

burada x bağımsız değişkendir (argüman), y ise bağımlı değişkendir (fonksiyon). X'in değerleri kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir (D(f) ile gösterilir). Y'nin değerleri kümesine fonksiyonun değer aralığı denir (E(f) ile gösterilir). Bir fonksiyonun grafiği, koordinatları (x, f(x)) olan düzlemdeki noktaların kümesidir.

Bir işlevi belirtme yöntemleri.
analitik yöntem (matematiksel bir formül kullanarak);
tablo yöntemi (bir tablo kullanarak);
betimleyici yöntem (sözlü açıklamayı kullanarak);

grafiksel yöntem (bir grafik kullanarak).

Fonksiyonun temel özellikleri.

1. Çift ve tek
Bir fonksiyon şöyle olsa bile çağrılır:
– fonksiyonun tanım bölgesi sıfıra göre simetriktir

f(-x) = f(x) Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir

0 yıl
Bir fonksiyona tek ise denir
– fonksiyonun tanım bölgesi sıfıra göre simetriktir – tanım alanındaki herhangi bir x için

f(-x) = –f(x)

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

2. Frekans Bir f(x) fonksiyonu, tanım tanım kümesinden herhangi bir x için ise periyotlu periyodik olarak adlandırılır. .

f(x) = f(x+T) = f(x-T)

Periyodik bir fonksiyonun grafiği sınırsız tekrarlanan özdeş parçalardan oluşur.

3. Monotonluk (artan, azalan)

f(x) fonksiyonu, eğer bu kümeden herhangi bir x 1 ve x 2 için x 1 olacak şekilde P kümesi üzerinde artıyorsa

f(x) fonksiyonu P kümesinde bu kümeden herhangi bir x 1 ve x 2 için x 1 f(x 2) olacak şekilde azalır.

4. Aşırılıklar

Xmax noktasına, Xmax'ın herhangi bir komşuluğundaki tüm x'ler için f(x) f(Xmax) eşitsizliği sağlanıyorsa, f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir.

Y max =f(X max) değerine bu fonksiyonun maksimumu denir.
X max – maksimum nokta

Maksimum - maksimumda

Y min =f(X min) değerine bu fonksiyonun minimumu denir.

X dk – minimum nokta
Y dk – minimum

X min, X max – ekstrem noktalar
Y min , Y max – ekstrema.

5. Fonksiyonun sıfırları

Bir y = f(x) fonksiyonunun sıfırı, fonksiyonun sıfır olduğu x argümanının değeridir: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – y = f(x) fonksiyonunun sıfırları.

"Bir fonksiyonun temel özellikleri" konulu görevler ve testler

Fonksiyon Özellikleri - Sayısal fonksiyonlar 9. sınıf
Dersler: 2 Ödevler: 11 Testler: 1
Logaritmanın özellikleri - Üstel ve logaritmik fonksiyonlar 11. sınıf
Dersler: 2 Ödevler: 14 Testler: 1
Karekök fonksiyonu, özellikleri ve grafiği - Karekök fonksiyonu. Karekök 8. sınıfın özellikleri
Dersler: 1 Ödevler: 9 Testler: 1
Güç fonksiyonları, özellikleri ve grafikleri - Dereceler ve kökler. Güç fonksiyonları 11. sınıf
Dersler: 4 Ödevler: 14 Testler: 1
Fonksiyonlar - Matematikte Birleşik Devlet Sınavının gözden geçirilmesi için önemli konular
Görevler: 24

Bu konuyu inceledikten sonra, çeşitli fonksiyonların tanım tanım kümesini bulabilmeli, bir fonksiyonun monotonluk aralıklarını grafikler kullanarak belirleyebilmeli ve fonksiyonları düzgünlük ve teklik açısından inceleyebilmelisiniz. Aşağıdaki örnekleri kullanarak benzer problemleri çözmeyi düşünelim.

Örnekler.

1. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun.

Çözüm: fonksiyonun tanım alanı koşuldan bulunur

Fonksiyon sıfırları
Bir fonksiyonun sıfırı değerdir X burada fonksiyon 0'a döner, yani f(x)=0 olur.

Sıfırlar, fonksiyon grafiğinin eksenle kesişme noktalarıdır Ah.

İşlev paritesi
Herhangi bir şey için olsa bile bir işlev çağrılır X tanım alanından f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır

Çift fonksiyon eksene göre simetriktir Ah

Tek eşlik işlevi
Herhangi biri için bir fonksiyona tek sayı denir X Tanım alanından f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanır.

Tek fonksiyon orijine göre simetriktir.
Ne çift ne de tek olan fonksiyona genel fonksiyon denir.

Artan fonksiyon
Eğer argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa, f(x) fonksiyonunun artan olduğu söylenir;

Azalan işlev
Eğer argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, f(x) fonksiyonuna azalan fonksiyon denir;

Fonksiyonun sadece azaldığı ya da sadece arttığı aralıklara denir monotonluk aralıkları. f(x) fonksiyonunun 3 monotonluk aralığı vardır:

Artan ve azalan fonksiyon aralıkları hizmetini kullanarak monotonluk aralıklarını bulun

Yerel maksimum
Nokta x 0 herhangi bir durum için yerel maksimum noktası denir. X bir noktanın yakınlarından x 0 eşitsizlik geçerlidir: f(x 0) > f(x)

Yerel minimum
Nokta x 0 varsa yerel minimum noktası denir X bir noktanın yakınlarından x 0 eşitsizlik geçerlidir: f(x 0)< f(x).

Yerel maksimum noktalar ve yerel minimum noktalara yerel ekstremum noktalar denir.

Yerel ekstremum noktalar.