Talimatlar
Doğrusal fonksiyonları çözmenin birkaç yolu vardır. Bunların çoğunu listeleyelim. En sık kullanılan adım adım yöntem ikameler. Denklemlerden birinde bir değişkeni başka bir değişken cinsinden ifade etmek ve onu başka bir denklemde değiştirmek gerekir. Ve bu, denklemlerden birinde yalnızca bir değişken kalana kadar devam eder. Bunu çözmek için, sayının işaretini değiştirmeyi unutmadan, eşit işaretin bir tarafında bir değişkeni (katsayılı olabilir) ve eşit işaretin diğer tarafında tüm sayısal verileri bırakmanız gerekir. aktarırken tam tersi. Bir değişkeni hesapladıktan sonra onu diğer ifadelerle değiştirin ve aynı algoritmayı kullanarak hesaplamalara devam edin.
Örneğin doğrusal bir sistemi ele alalım işlevler, iki denklemden oluşur:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
X'i ikinci denklemden ifade etmek uygundur:
x=y+2.
Gördüğünüz gibi eşitliğin bir kısmından diğerine geçerken yukarıda anlatıldığı gibi y'nin ve değişkenlerin işareti değişti.
Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemde yerine koyarız, böylece x değişkenini ondan hariç tutarız:
2*(y+2)+y-7=0.
Parantezleri genişletiyoruz:
2y+4+y-7=0.
Değişkenleri ve sayıları bir araya getirip topluyoruz:
3у-3=0.
Denklemin sağ tarafına taşıyıp işaretini değiştiriyoruz:
3y=3.
Toplam katsayıya bölersek şunu elde ederiz:
y=1.
Ortaya çıkan değeri ilk ifadenin yerine koyarız:
x=y+2.
x=3 elde ederiz.
Benzerleri çözmenin bir başka yolu da, tek değişkenli yeni bir denklem elde etmek için iki denklemi terim terim eklemektir. Denklem belirli bir katsayı ile çarpılabilir, asıl mesele denklemin her bir üyesini çarpmak ve unutmamak ve ardından bir denklem eklemek veya çıkarmaktır. Bu yöntem doğrusal bulmada çok ekonomiktir. işlevler.
Zaten tanıdık olan iki değişkenli denklem sistemini ele alalım:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Y değişkeninin katsayısının birinci ve ikinci denklemlerde aynı olduğunu ve yalnızca işaret bakımından farklı olduğunu fark etmek kolaydır. Bu, bu iki denklemi terim terim topladığımızda yeni bir denklem elde ettiğimiz anlamına gelir, ancak tek değişkenli.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Sayısal verileri aktarıyoruz Sağ Taraf denklemler, işareti değiştirerek:
3x=9.
Bulduk ortak çarpan, katsayıya eşit, x'te durup denklemin her iki tarafını da buna bölün:
x=3.
Sonuç, y'yi hesaplamak için sistem denklemlerinden herhangi birine ikame edilebilir:
x-y-2=0;
3-y-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.
Doğru bir grafik oluşturarak da verileri hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için sıfırları bulmanız gerekir işlevler. Değişkenlerden biri sıfıra eşitse, böyle bir fonksiyona homojen denir. Bu tür denklemleri çözdükten sonra, düz bir çizgi oluşturmak için gerekli ve yeterli iki nokta elde edeceksiniz - bunlardan biri x ekseninde, diğeri y ekseninde yer alacak.
Sistemin herhangi bir denklemini alıp x=0 değerini yerine koyarız:
2*0+y-7=0;
y=7 elde ederiz. Böylece, ilk nokta, buna A diyelim, A(0;7) koordinatlarına sahip olacaktır.
X ekseni üzerinde bulunan bir noktayı hesaplamak için sistemin ikinci denkleminde y=0 değerini kullanmak uygundur:
x-0-2=0;
x=2.
İkinci nokta (B), B (2;0) koordinatlarına sahip olacaktır.
Açık koordinat ızgarası Elde edilen noktaları işaretliyoruz ve aralarından düz bir çizgi çiziyoruz. Oldukça doğru bir şekilde çizerseniz, x ve y'nin diğer değerleri doğrudan buradan hesaplanabilir.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamusal önem amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
y=k/y fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun grafiği matematikte hiperbol adı verilen bir çizgidir. Bir hiperbolün genel görünümü aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. (Grafik, k'nin bire eşit olduğu y eşittir k bölü x fonksiyonunu gösterir.)
Grafiğin iki bölümden oluştuğu görülmektedir. Bu parçalara hiperbolün dalları denir. Ayrıca hiperbolün her dalının, koordinat eksenlerine giderek daha yakın yönlerden birine yaklaştığını da belirtmekte fayda var. Bu durumda koordinat eksenlerine asimptot denir.
Genel olarak, bir fonksiyonun grafiğinin sonsuz olarak yaklaştığı ancak onlara ulaşmadığı herhangi bir düz çizgiye asimptot denir. Parabol gibi hiperbolün de simetri eksenleri vardır. Yukarıdaki şekilde gösterilen hiperbol için bu y=x doğrusudur.
Şimdi iki tanesiyle ilgilenelim genel durumlar abartı. y = k/x fonksiyonunun grafiği, k ≠0 için, dalları k>0 için birinci ve üçüncü koordinat açılarında veya ikinci ve dördüncü koordinat açılarında bulunan bir hiperbol olacaktır, çatal<0.
k>0 için y = k/x fonksiyonunun temel özellikleri
k>0 için y = k/x fonksiyonunun grafiği
5. x>0'da y>0; y6. Fonksiyon hem (-∞;0) aralığında hem de (0;+∞) aralığında azalır.
10. Fonksiyonun değer aralığı (-∞;0) ve (0;+∞) olmak üzere iki açık aralıktır.
k için y = k/x fonksiyonunun temel özellikleri<0
y = k/x fonksiyonunun grafiği, k'de<0
1. (0;0) noktası hiperbolün simetri merkezidir.
2. Koordinat eksenleri - hiperbolün asimptotları.
4. Fonksiyonun tanım tanım kümesi, x=0 dışındaki tüm x'lerdir.
5. x0'da y>0.
6. Fonksiyon hem (-∞;0) aralığında hem de (0;+∞) aralığında artar.
7. Fonksiyon aşağıdan veya yukarıdan sınırlandırılmamıştır.
8. Bir fonksiyonun ne maksimum ne de minimum değeri vardır.
9. Fonksiyon (-∞;0) aralığında ve (0;+∞) aralığında süreklidir. X=0'da bir boşluk var.
>>Matematik: Doğrusal fonksiyon ve onun programı
Doğrusal fonksiyon ve grafiği
Matematikçiler, tüm açıklığı ve kesinliği nedeniyle, § 28'de formüle ettiğimiz ax + by + c = 0 denkleminin grafiğini oluşturma algoritmasını pek sevmiyorlar. Genellikle algoritmanın ilk iki adımıyla ilgili iddialarda bulunurlar. Denklemi neden y değişkeni için iki kez çözelim diyorlar: önce ax1 + by + c = O, sonra ax1 + by + c = O? Y'yi ax + ile + c = 0 denkleminden hemen ifade etmek daha iyi değil mi, o zaman hesaplamaları yapmak daha kolay (ve en önemlisi daha hızlı) olacak mı? Hadi kontrol edelim. Önce düşünelim denklem 3x - 2y + 6 = 0 (bkz. § 28'deki örnek 2).
x'i vermek belirli değerler y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplamak kolaydır. Örneğin x = 0 olduğunda y = 3 elde ederiz; x = -2'de y = 0'a sahibiz; x = 2 için y = 6; x = 4 için şunu elde ederiz: y = 9.
§ 28'deki örnek 2'de vurgulanan (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) ve (4; 9) noktalarının ne kadar kolay ve hızlı bulunduğunu görüyorsunuz.
Aynı şekilde, bx - 2y = 0 denklemi (bkz. § 28'deki örnek 4) 2y = 16 -3x formuna dönüştürülebilir. ayrıca y = 2,5x; bu denklemi sağlayan (0; 0) ve (2; 5) noktalarını bulmak zor değildir.
Son olarak aynı örnekteki 3x + 2y - 16 = 0 denklemi 2y = 16 -3x formuna dönüştürülebilir ve daha sonra onu sağlayan (0; 0) ve (2; 5) noktalarını bulmak zor değildir.
Şimdi belirtilen dönüşümleri ele alalım. Genel görünüm.
Böylece iki değişkenli x ve y doğrusal denklemi (1) her zaman şu forma dönüştürülebilir:
y = kx + m,(2) burada k,m sayılardır (katsayılar) ve .
Bu özel görünüm doğrusal denklem doğrusal fonksiyon olarak adlandırılacaktır.
Eşitlik (2)'yi kullanarak belirli bir x değeri belirlemek ve karşılık gelen y değerini hesaplamak kolaydır. Örneğin,
y = 2x + 3. O zaman:
eğer x = 0 ise y = 3;
eğer x = 1 ise y = 5;
eğer x = -1 ise y = 1;
x = 3 ise y = 9 vb.
Tipik olarak bu sonuçlar şu şekilde sunulur: tablolar:
Tablonun ikinci satırındaki y değerlerine, x = 0, x = 1, x = -1, x = - noktalarında sırasıyla y = 2x + 3 doğrusal fonksiyonunun değerleri denir. 3.
Denklem (1)'de hnu değişkenleri eşittir, ancak denklem (2)'de değildir: bunlardan birine belirli değerler atarız - değişken x, değişken y'nin değeri ise x değişkeninin seçilen değerine bağlıdır. Bu nedenle genellikle x'in bağımsız değişken (veya argüman), y'nin bağımlı değişken olduğunu söyleriz.
Lütfen dikkat: doğrusal bir fonksiyon özel Tip iki değişkenli doğrusal denklem. Denklem grafiği y - kx + m, iki değişkenli herhangi bir doğrusal denklem gibi düz bir çizgidir - buna aynı zamanda y = kx + m doğrusal fonksiyonunun grafiği de denir. Dolayısıyla aşağıdaki teorem geçerlidir.
Örnek 1. y = 2x + 3 doğrusal fonksiyonunun grafiğini oluşturun.
Çözüm. Bir tablo yapalım:
İkinci durumda ise ilk durumda olduğu gibi gün sayısını ifade eden bağımsız değişken x yalnızca 1, 2, 3, ..., 16 değerlerini alabilmektedir. Nitekim x = 16 ise, daha sonra y = 500 - 30x formülünü kullanarak şunu buluruz: y = 500 - 30 16 = 20. Bu, 17. günde 30 ton kömürü depodan çıkarmanın mümkün olmayacağı anlamına gelir, çünkü bugüne kadar sadece 20 ton kömür var. ton depoda kalacak ve kömür çıkarma işleminin durdurulması gerekecek. Dolayısıyla ikinci durumun geliştirilmiş matematiksel modeli şuna benzer:
y = 500 - ZOD:, burada x = 1, 2, 3, .... 16.
Üçüncü durumda ise bağımsız değişken x teorik olarak negatif olmayan herhangi bir değeri alabilir (örneğin, x değeri = 0, x değeri = 2, x değeri = 3,5 vb.), ancak pratikte bir turist onunla yürüyemez sabit hızİstenildiği kadar uyumadan veya dinlenmeden. Bu yüzden x'e (örneğin 0) makul kısıtlamalar getirmemiz gerekiyordu.< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).
Katı olmayan çift eşitsizliğin geometrik modelinin 0 olduğunu hatırlayın< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .
“x, X kümesine aittir” ifadesi yerine yazmayı kabul edelim (okuyun: “x öğesi X kümesine aittir”, e üyeliğin işaretidir). Gördüğünüz gibi matematik diliyle tanışıklığımız sürekli devam ediyor.
Doğrusal fonksiyon y = kx + m ise x'in tüm değerleri için değil, yalnızca belirli bir x'ten gelen değerler için dikkate alınmalıdır. sayısal aralık X, sonra şunu yazarlar:
Örnek 2. Doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizin:
Çözüm, a) y = 2x + 1 doğrusal fonksiyonu için bir tablo oluşturalım.
Hadi üzerine inşa edelim koordinat uçağı xОу (-3; 7) ve (2; -3) noktalarını belirleyin ve bunların arasından düz bir çizgi çizin. Bu, y = -2x: + 1 denkleminin grafiğidir. Daha sonra oluşturulan noktaları birleştiren bir doğru parçası seçin (Şekil 38). Bu parça, xe [-3, 2] olan y = -2x+1 doğrusal fonksiyonunun grafiğidir.
Genellikle şunu söylerler: [- 3, 2] parçası üzerinde y = - 2x + 1 doğrusal fonksiyonunu çizdik.
b) Bu örneğin öncekinden farkı nedir? Doğrusal fonksiyon aynıdır (y = -2x + 1), bu da grafiği olarak aynı düz çizginin kullanıldığı anlamına gelir. Ama dikkat et! - bu sefer x e (-3, 2), yani x = -3 ve x = 2 değerleri dikkate alınmaz, (- 3, 2) aralığına ait değildir. Koordinat doğrusu üzerinde bir aralığın uçlarını nasıl işaretledik? Işık çemberleri (Şekil 39), bundan § 26'da bahsetmiştik. Aynı şekilde (- 3; 7) ve B noktaları; - 3) çizimde açık renkli dairelerle işaretlenmesi gerekecektir. Bu bize sadece y = - 2x + 1 doğrusu üzerinde dairelerle işaretlenmiş noktalar arasında kalan noktaların alındığını hatırlatacaktır (Şekil 40). Ancak bazen bu gibi durumlarda açık renkli daireler yerine okları kullanırlar (Şek. 41). Bu temel değil, asıl önemli olan ne söylendiğini anlamaktır.
Örnek 3. Doğrusal bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulun.
Çözüm. Doğrusal bir fonksiyon için bir tablo yapalım
Koordinat üzerine inşa edelim xOy düzlemi(0; 4) ve (6; 7) noktalarını bulun ve bunların içinden düz bir çizgi çizin - doğrusal x fonksiyonunun bir grafiği (Şekil 42).
Bu doğrusal fonksiyonu bir bütün olarak değil, bir parça üzerinde, yani x e için dikkate almamız gerekir.
Grafiğin ilgili bölümü çizimde vurgulanmıştır. Seçilen parçaya ait noktaların en büyük koordinatının 7'ye eşit olduğunu fark ediyoruz - bu en yüksek değer segment üzerinde doğrusal fonksiyon. Genellikle şu gösterim kullanılır: y max =7.
Şekil 42'de vurgulanan çizginin kısmına ait noktaların en küçük koordinatının 4'e eşit olduğunu not ediyoruz - bu, segment üzerindeki doğrusal fonksiyonun en küçük değeridir.
Genellikle şu gösterim kullanılır: y adı. = 4.
Örnek 4. Y naib ve y naim'i bulun. doğrusal bir fonksiyon için y = -1,5x + 3,5
a) segmentte; b) (1.5) aralığında;
c) yarım aralıklarla.
Çözüm. Y = -l.5x + 3.5 doğrusal fonksiyonu için bir tablo yapalım:
xOy koordinat düzleminde (1; 2) ve (5; - 4) noktalarını oluşturalım ve bunların içinden düz bir çizgi çizelim (Şekil 43-47). Oluşturulan düz çizgi üzerinde segmentten (Şekil 43), A, 5 aralığından (Şekil 44), yarım aralıktan (Şekil 47) x değerlerine karşılık gelen kısmı seçelim.
a) Şekil 43'ü kullanarak y max = 2 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 1'de ulaşır) ve y min olduğu sonucunu çıkarmak kolaydır. = - 4 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 5'te ulaşır).
b) Şekil 44'ü kullanarak şu sonuca varıyoruz: bu doğrusal fonksiyon, belirli bir aralıkta ne en büyük ne de en küçük değerlere sahiptir. Neden? Gerçek şu ki, önceki durumdan farklı olarak, en büyük ve en küçük değerlere ulaşılan segmentin her iki ucu da değerlendirme dışı bırakılmıştır.
c) Şekil 45'i kullanarak y max sonucunu çıkarıyoruz. = 2 (ilk durumda olduğu gibi) ve en düşük değer doğrusal fonksiyon bunu yapmaz (ikinci durumda olduğu gibi).
d) Şekil 46'yı kullanarak şu sonuca varıyoruz: y max = 3,5 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 0'da ulaşır) ve y max. bulunmuyor.
e) Şekil 47'yi kullanarak şu sonuca varıyoruz: y max = -1 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 3'te ulaşır) ve y max yoktur.
Örnek 5. Doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizin
y = 2x - 6. Grafiği kullanarak aşağıdaki soruları yanıtlayın:
a) x'in hangi değerinde y = 0 olur?
b) x'in hangi değerleri için y > 0 olur?
c) x'in hangi değerlerinde y olacak< 0?
Çözüm y = 2x-6 doğrusal fonksiyonu için bir tablo oluşturalım:
(0; - 6) ve (3; 0) noktaları boyunca düz bir çizgi çiziyoruz - y = 2x - 6 fonksiyonunun grafiği (Şekil 48).
a) x = 3'te y = 0. Grafik x eksenini x = 3 noktasında kesiyor, ordinatı y = 0 olan nokta burası.
b) x > 3 için y > 0. Aslında, eğer x > 3 ise düz çizgi x ekseninin üzerinde yer alır, yani ordinatlar karşılık gelen noktalar doğrudan olumludur.
kedi< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A
Lütfen bu örnekte aşağıdakileri çözmek için grafiği kullandığımızı unutmayın:
a) denklem 2x - 6 = 0 (x = 3 elde ettik);
b) eşitsizlik 2x - 6 > 0 (x > 3 elde ettik);
c) eşitsizlik 2x - 6< 0 (получили х < 3).
Yorum. Rusça'da aynı nesne genellikle farklı şekilde adlandırılır, örneğin: "ev", "bina", "yapı", "yazlık", "konak", "kışla", "kulübe", "kulübe". Matematik dilinde de durum yaklaşık olarak aynıdır. Diyelim ki, k, m'nin belirli sayılar olduğu y = kx + m iki değişkenli eşitlik doğrusal bir fonksiyon olarak adlandırılabilir, çağrılabilir Doğrusal Denklem iki değişken x ve y ile (veya iki bilinmeyen x ve y ile) formül olarak adlandırılabilir, x ile y'yi birbirine bağlayan bir ilişki olarak adlandırılabilir ve son olarak x ile y arasında bir bağımlılık olarak adlandırılabilir. Önemli değil, asıl önemli olan her durumda bunu anlamaktır Hakkında konuşuyoruzÖ matematiksel model y = kx + m
.
Şekil 49, a'da gösterilen doğrusal fonksiyonun grafiğini düşünün. Bu grafikte soldan sağa doğru hareket edersek, grafikteki noktaların koordinatları sanki "tepeye tırmanıyormuşuz" gibi sürekli artıyor. Bu gibi durumlarda matematikçiler artış terimini kullanır ve şunu söylerler: eğer k>0 ise o zaman y = kx + m doğrusal fonksiyonu artar.
Şekil 49, b'de gösterilen doğrusal fonksiyonun grafiğini düşünün. Bu grafikte soldan sağa doğru hareket edersek, grafikteki noktaların koordinatları sanki "tepeden aşağı iniyormuşuz" gibi sürekli azalıyor. Bu gibi durumlarda matematikçiler azalma terimini kullanırlar ve şunu söylerler: eğer k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.
Hayatta doğrusal fonksiyon
Şimdi bu konuyu özetleyelim. Doğrusal fonksiyon gibi bir kavramla zaten tanıştık, özelliklerini biliyoruz ve grafiklerin nasıl oluşturulacağını öğrendik. Ayrıca doğrusal bir fonksiyonun özel durumlarına baktınız ve neye bağlı olduğunu buldunuz. karşılıklı düzenleme Doğrusal fonksiyonların grafikleri. Ama öyle görünüyor ki bizim Gündelik Yaşam biz de sürekli bu matematiksel modelle kesişiyoruz.
Doğrusal fonksiyonlar gibi bir kavramla hangi gerçek yaşam durumlarının ilişkilendirildiğini düşünelim. Ve ayrıca hangi miktarlar arasında veya yaşam durumları belki doğrusal bir ilişki kurabilirim?
Birçoğunuz muhtemelen neden doğrusal fonksiyonları incelemeniz gerektiğini tam olarak anlamıyorsunuz çünkü bunun yararlı olması pek mümkün değil. Daha sonra yaşam. Ancak burada çok yanılıyorsunuz çünkü işlevlerle her zaman ve her yerde karşılaşıyoruz. Çünkü düzenli bir aylık kira bile aynı zamanda birçok değişkene bağlı bir fonksiyondur. Ve bu değişkenler metrekareyi, sakinlerin sayısını, tarifeleri, elektrik kullanımını vb. içerir.
Tabii ki, fonksiyonların en yaygın örnekleri doğrusal bağımlılık Karşılaştığımız matematik dersleridir.
Sen ve ben, arabaların, trenlerin veya yayaların belirli bir hızda kat ettiği mesafeyi bulduğumuz problemleri çözdük. Bunlar hareket zamanının doğrusal fonksiyonlarıdır. Ancak bu örnekler sadece matematikte geçerli değil, günlük yaşamımızda da mevcut.
Süt ürünlerinin kalori içeriği yağ içeriğine bağlıdır ve böyle bir ilişki genellikle doğrusal bir fonksiyondur. Örneğin ekşi kremadaki yağ yüzdesi arttığında ürünün kalori içeriği de artar.
Şimdi denklem sistemini çözerek hesaplamaları yapalım ve k ve b değerlerini bulalım:
Şimdi bağımlılık formülünü türetelim:
Sonuç olarak doğrusal bir ilişki elde ettik.
Sıcaklığa bağlı olarak sesin yayılma hızını bilmek için aşağıdaki formülü kullanarak bulmak mümkündür: v = 331 +0,6t, burada v hızdır (m/s cinsinden), t ise sıcaklıktır. Bu ilişkinin grafiğini çizersek doğrusal olacağını yani düz bir çizgiyi temsil edeceğini göreceğiz.
Ve benzeri pratik kullanımlar doğrusal uygulama bilgisi fonksiyonel bağımlılık Liste uzun sürebilir. Telefon şarjlarından başlayarak, saç uzunluğu ve uzamasına ve hatta edebiyattaki atasözlerine kadar. Ve bu liste uzayıp gidiyor.
Matematikte takvim-tematik planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda Matematik indir
A. V. Pogorelov, 7-11. Sınıflar için Geometri, Ders Kitabı Eğitim Kurumları
DOĞRUSAL DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER I
§ 3 Doğrusal fonksiyonlar ve grafikleri
Eşitliği düşünün
en = 2X + 1. (1)
Her harf değeri X bu eşitlik tam bir yazışma sağlar belirli değer edebiyat en . Örneğin, X = 0 ise en = 2 0 + 1 = 1; Eğer X = 10 ise en = 2 10 + 1 = 21; en X = - 1/2 elimizde y = 2 (- 1/2) + 1 = 0 vb. Başka bir eşitliğe dönelim:
en = X 2 (2)
Her değer X bu eşitlik, eşitlik (1) gibi, çok özel bir değeri ilişkilendirir en . Örneğin, X = 2 ise en = 4; en X = - 3 elde ederiz en = 9, vb. Eşitlikler (1) ve (2) iki niceliği birbirine bağlar X Ve en böylece bunlardan birinin her değeri ( X ) başka bir miktarın iyi tanımlanmış bir değeriyle ( en ).
Miktarın her değeri ise Xçok spesifik bir değere karşılık gelir en, o zaman bu değer en fonksiyonu denir X. Büyüklük X buna fonksiyon argümanı denir en.
Böylece formül (1) ve (2) iki şeyi tanımlar: çeşitli işlevler argüman X .
Bağımsız değişken işlevi X , forma sahip
y = balta + b , (3)
Nerede A Ve B - bazı verilen sayılar, isminde doğrusal. Doğrusal fonksiyon örneği aşağıdaki fonksiyonlardan herhangi biri olabilir:
y = x
+ 2 (A
= 1, B
= 2);
en
= - 10 (A
= 0, B
= - 10);
en
= - 3X
(A
= - 3, B
= 0);
en
= 0 (a = b
= 0).
Kurstan bildiğiniz gibi VIII sınıfı, fonksiyon grafiği y = balta + b düz bir çizgidir. Bu yüzden bu fonksiyon ve doğrusal olarak adlandırılır.
Doğrusal bir fonksiyonun grafiğinin nasıl oluşturulacağını hatırlayalım y = balta + b .
1. Bir fonksiyonun grafiği y = b . Şu tarihte: A = 0 doğrusal fonksiyon y = balta + b benziyor y = b . Grafiği düz bir çizgidir, eksene paralel X ve kesişen eksen en ordinat ile bir noktada B . Şekil 1'de y = 2 ( fonksiyonunun grafiğini görüyorsunuz. B > 0) ve Şekil 2'de fonksiyonun grafiği yer almaktadır. en = - 1 (B < 0).
sadece değilse A , ama aynı zamanda B sıfıra eşitse fonksiyon y= balta+b benziyor en = 0. Bu durumda grafiği eksenle çakışır X (Şek. 3.)
2. Bir fonksiyonun grafiği y = ah . Şu tarihte: B = 0 doğrusal fonksiyon y = balta + b benziyor y = ah .
Eğer A =/= 0 ise grafiği orijinden geçen ve eksene eğimli düz bir çizgidir X bir açıyla φ tanjantı eşit olan A (Şekil 4). Düz bir çizgi oluşturmak için y = ah Koordinatların orijininden farklı noktalarından herhangi birini bulmak yeterlidir. Örneğin eşitlikte varsayarsak y = ah X = 1, şunu elde ederiz en = A . Bu nedenle koordinatları (1;) olan M noktası A ) bizim düz çizgimizde yer alır (Şek. 4). Şimdi başlangıç noktasından ve M noktasından geçen düz bir çizgi çizerek istenilen düz çizgiyi elde ederiz. y = balta .
Şekil 5'te örnek olarak düz bir çizgi çizilmiştir. en = 2X (A > 0) ve Şekil 6'da - düz y = - x (A < 0).
3. Bir fonksiyonun grafiği y = balta + b .
İzin vermek B > 0. Sonra düz çizgi y = balta + b y = ah Açık B birimler yukarı. Örnek olarak Şekil 7'de düz bir çizginin yapısı gösterilmektedir. en = X / 2 + 3.
Eğer B < 0, то прямая y = balta + b çizginin paralel kaydırılmasıyla elde edilir y = ah Açık - B birimler aşağı. Örnek olarak Şekil 8'de düz bir çizginin yapısı gösterilmektedir en = X / 2 - 3
Doğrudan y = balta + b başka bir şekilde inşa edilebilir.
Herhangi bir düz çizgi tamamen iki noktası tarafından belirlenir. Bu nedenle fonksiyonun grafiğini çizmek için y = balta + b Herhangi iki noktasını bulup bunların içinden düz bir çizgi çizmeniz yeterlidir. Bunu fonksiyon örneğini kullanarak açıklayalım. en = - 2X + 3.
Şu tarihte: X = 0 en = 3 ve X = 1 en = 1. Bu nedenle, iki nokta: (0; 3) koordinatlı M ve (1; 1) koordinatlı N - doğrumuz üzerinde yer alır. Bu noktaları koordinat düzleminde işaretleyip düz bir çizgiyle birleştirerek (Şekil 9), fonksiyonun bir grafiğini elde ederiz. en = - 2X + 3.
M ve N noktaları yerine elbette diğer iki nokta da alınabilir. Örneğin değerler olarak X yukarıdaki gibi 0 ve 1'i değil, -1 ve 2,5'i seçebilirdik. Bundan dolayı en sırasıyla 5 ve - 2 değerlerini alırdık. M ve N noktaları yerine, koordinatları (- 1; 5) olan P ve koordinatları (2.5; - 2) olan Q noktalarımız olurdu. Bu iki noktanın yanı sıra M ve N noktaları da istenen çizgiyi tamamen tanımlar en = - 2X + 3.
Egzersizler
15. Aynı şekilde fonksiyon grafiklerini oluşturun:
A) en = - 4; B) en = -2; V) en = 0; G) en = 2; D) en = 4.
Bu grafikler koordinat eksenlerini kesiyor mu? Kesişiyorlarsa kesişme noktalarının koordinatlarını belirtin.
16. Aynı şekilde fonksiyon grafiklerini oluşturun:
A) en = X / 4; B) en = X / 2; V) en =X ; G) en = 2X ; D) en = 4X .
17. Aynı şekilde fonksiyon grafiklerini oluşturun:
A) en = - X / 4; B) en = - X / 2; V) en = - X ; G) en = - 2X ; D) en = - 4X .
Bu fonksiyonların grafiklerini (No. 18-21) oluşturun ve bu grafiklerin koordinat eksenleriyle kesiştiği noktaların koordinatlarını belirleyin.
18. en = 3+ X . 20. en = - 4 - X .
19. en = 2X - 2. 21. en = 0,5(1 - 3X ).
22. Bir fonksiyonun grafiğini çizin
en = 2X - 4;
Bu grafiği kullanarak şunları öğrenin: a) hangi değerlerde xy = 0;
b) hangi değerlerde X değerler en olumsuz ve hangi koşullar altında - olumlu;
c) hangi değerlerde X miktarları X Ve en sahip olmak aynı işaretler;
d) hangi değerlerde X miktarları X Ve en farklı işaretleri var.
23. Şekil 10 ve 11'de verilen doğruların denklemlerini yazınız.
24. Hangilerini biliyorsunuz? fiziksel yasalar doğrusal fonksiyonlar kullanılarak açıklanıyor mu?
25. Bir fonksiyonun grafiği nasıl çizilir en = - (balta + b ), eğer fonksiyonun grafiği verilirse y = balta + b ?