Yani iki gücümüz var. Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiyi yükseltmeniz gereken gücü kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için ikinin altıncı kuvvetini artırmanız gerekiyor. Bu tablodan görülebilmektedir.
Ve şimdi - aslında logaritmanın tanımı:
x'in logaritması tabanı, x'i elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken kuvvettir.
Tanım: log a x = b, burada a tabandır, x argümandır, b ise logaritmanın gerçekte eşit olduğu şeydir.
Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 olduğundan 8'in 2 tabanlı logaritması üçtür). Aynı başarı günlüğü ile 2 64 = 6, çünkü 2 6 = 64.
Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine logaritma denir. Şimdi tablomuza yeni bir satır ekleyelim:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| günlük 2 2 = 1 | günlük 2 4 = 2 | günlük 2 8 = 3 | günlük 2 16 = 4 | günlük 2 32 = 5 | günlük 2 64 = 6 |
Ne yazık ki tüm logaritmalar bu kadar kolay hesaplanamıyor. Örneğin, log 2 5'i bulmayı deneyin. Tabloda 5 sayısı yok ama mantık, logaritmanın parça üzerinde bir yerde olacağını söylüyor. Çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем daha fazla derece iki, sayı ne kadar büyükse.
Bu tür sayılara irrasyonel denir: Ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrarlanmaz. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, onu bu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Logaritmanın iki değişkenli (taban ve argüman) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta birçok kişi temelin nerede olduğunu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Kaçınmak için sinir bozucu yanlış anlamalar, sadece resme bakın:
Önümüzde bir logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Hatırlamak: logaritma bir kuvvettir Bir argüman elde etmek için tabanın içine inşa edilmesi gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızıyla vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste anlatıyorum ve hiçbir kafa karışıklığı ortaya çıkmıyor.
Tanımı çözdük; geriye kalan tek şey logaritmanın nasıl sayılacağını öğrenmek. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını not ediyoruz:
- Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, derecenin tanımından kaynaklanmaktadır. rasyonel gösterge Logaritmanın tanımı buraya gelir.
- Taban birden farklı olmalıdır, çünkü bir dereceye kadar bir hala bir olarak kalır. Bu nedenle “iki elde etmek için kişinin hangi güce yükseltilmesi gerekir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!
Bu tür kısıtlamalara denir kabul edilebilir değerler aralığı(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şu şekilde göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
b sayısı (logaritmanın değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlama olmadığını unutmayın. Örneğin logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = −1, çünkü 0,5 = 2 −1.
Ancak şimdi sadece düşünüyoruz sayısal ifadeler Logaritmanın CVD'sini bilmenin gerekli olmadığı durumlarda. Sorunların yazarları tarafından tüm kısıtlamalar zaten dikkate alınmıştır. Ama gittiklerinde logaritmik denklemler ve eşitsizlikler nedeniyle DHS gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Sonuçta, temel ve argüman, yukarıdaki kısıtlamalara tam olarak uymayan çok güçlü yapılar içerebilir.
Şimdi düşünelim genel şema Logaritmaların hesaplanması. Üç adımdan oluşur:
- A tabanını ve x argümanını mümkün olan minimum tabanı birden büyük olacak şekilde bir kuvvet olarak ifade edin. Bu arada ondalık sayılardan kurtulmak daha iyidir;
- b değişkeninin denklemini çözün: x = a b ;
- Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.
İşte bu! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın olması şartı birden fazla, çok önemlidir: hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Aynısı ondalık sayılar: Bunları hemen normal olanlara dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır.
Belirli örnekleri kullanarak bu şemanın nasıl çalıştığını görelim:
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 5 25
- Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak düşünelim: 5 = 5 1; 25 = 52;
- Cevabını aldık: 2.
Denklemi oluşturup çözelim:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Görev. Logaritmayı hesaplayın:
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 4 64
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 4 = 2 2; 64 = 26;
- Denklemi oluşturup çözelim:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Cevabını aldık: 3.
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
- Denklemi oluşturup çözelim:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Cevabını aldık: 0.
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14
- Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak düşünelim: 7 = 7 1; 7 1 olduğundan 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilemez< 14 < 7 2 ;
- İtibaren önceki paragraf buradan logaritmanın sayılmadığı sonucu çıkar;
- Cevap değişiklik yok: log 7 14.
Küçük bir not son örnek. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olabilirsiniz? Çok basit; sadece parçalara ayırın asal faktörler. Genişlemenin en az iki farklı faktörü varsa, sayı tam bir kuvvet değildir.
Görev. Sayıların tam kuvvetleri olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tam derece, çünkü yalnızca bir çarpan vardır;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - tam bir kuvvet değildir, çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tam derece;
35 = 7 · 5 - yine kesin bir kuvvet değil;
14 = 7 · 2 - yine kesin bir derece değil;
Şunu da belirtelim ki biz kendimiz asal sayılar her zaman kendilerinin kesin dereceleridir.
Ondalık logaritma
Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir isme ve sembole sahiptirler.
X'in ondalık logaritması, 10 tabanına göre logaritmasıdır; X sayısını elde etmek için 10 sayısının yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanım: lg x.
Örneğin log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.
Artık bir ders kitabında “Lg 0.01'i bul” gibi bir ifade çıktığında bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu ondalık logaritma. Ancak bu gösterime aşina değilseniz, istediğiniz zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x
Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık logaritmalar için de doğrudur.
Doğal logaritma
Kendi tanımı olan başka bir logaritma var. Bazı yönlerden ondalık sayıdan bile daha önemlidir. yaklaşık Doğal logaritma hakkında.
X'in doğal logaritması e tabanının logaritmasıdır, yani. x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken güç. Tanım: ln x .
Birçoğu şunu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel sayı, onun kesin değer bulmak ve kaydetmek imkansızdır. Sadece ilk rakamları vereceğim:
e = 2,718281828459...
Bu sayının ne olduğu ve neden gerekli olduğu konusunda ayrıntıya girmeyeceğiz. Sadece e'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = log e x
Böylece ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Kesinlikle, doğal logaritma herhangi rasyonel sayı mantıksız. Elbette biri hariç: ln 1 = 0.
Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.
Bir b sayısının a tabanına göre logaritması, b sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken üstür.
Eğer öyleyse.
Logaritma - aşırı önemli matematiksel miktar Logaritmik hesaplama yalnızca üstel denklemlerin çözülmesine değil, aynı zamanda üstellerle çalışmaya, üstel ve üstel denklemlerin türetilmesine de olanak tanıdığından, logaritmik fonksiyonlar, bunları entegre edin ve hesaplanacak daha kabul edilebilir bir forma getirin.
Logaritmanın tüm özellikleri üstel fonksiyonların özellikleriyle doğrudan ilişkilidir. Örneğin, gerçek şu ki 
şu anlama gelir:
Çözerken şunu belirtmek gerekir. belirli görevler Logaritmanın özellikleri, kuvvetlerle çalışma kurallarından daha önemli ve faydalı olabilir.
Bazı kimlikleri sunalım:
Temel cebirsel ifadeler şunlardır:
;
.
Dikkat! yalnızca x>0, x≠1, y>0 için var olabilir.
Doğal logaritmanın ne olduğu sorusunu anlamaya çalışalım. Matematiğe özel ilgi iki türü temsil eder- birincisi tabanı “10” olan sayıya “ondalık logaritma” denir. İkincisine doğal denir. Doğal logaritmanın tabanı “e” sayısıdır. Bu yazımızda detaylı olarak konuşacağımız şey budur.
Tanımlar:
- lg x - ondalık;
- ln x - doğal.
Özdeşliği kullanarak ln e = 1 olduğunu ve lg 10=1 gerçeğini görebiliriz.
Doğal logaritma grafiği
Standart klasik yöntemi nokta nokta kullanarak doğal logaritmanın bir grafiğini oluşturalım. Dilerseniz fonksiyonu inceleyerek fonksiyonu doğru kurup kurmadığımızı kontrol edebilirsiniz. Ancak logaritmanın nasıl doğru şekilde hesaplanacağını bilmek için onu "manuel" olarak nasıl oluşturacağınızı öğrenmek mantıklıdır.
Fonksiyon: y = ln x. Grafiğin geçeceği noktaların bir tablosunu yazalım:
Neden x argümanının bu özel değerlerini seçtiğimizi açıklayalım. Her şey kimlikle ilgili: . Doğal logaritma için bu özdeşlik şöyle görünecektir:
Kolaylık sağlamak için beş referans noktası alabiliriz:
;
;
.
;
.
Dolayısıyla, doğal logaritmaların hesaplanması oldukça basit bir iştir; üstelik kuvvetlerle yapılan işlemlerin hesaplanmasını basitleştirir ve bunları logaritmalara dönüştürür. sıradan çarpma.
Bir grafiği noktadan noktaya çizerek yaklaşık bir grafik elde ederiz:
Doğal logaritmanın tanım alanı (yani tüm geçerli değerler argüman X) - tüm sayılar sıfırdan büyüktür.
Dikkat! Doğal logaritmanın tanım alanı yalnızca pozitif sayılar! Tanımın kapsamına x=0 dahil değildir. Logaritmanın varlığına ilişkin koşullar göz önüne alındığında bu imkansızdır.
Değer aralığı (yani y = ln x fonksiyonunun tüm geçerli değerleri), aralıktaki tüm sayılardır.
Doğal log sınırı
Grafiği incelerken şu soru ortaya çıkıyor: fonksiyon y noktasında nasıl davranıyor?<0.
Açıkçası, fonksiyonun grafiği y eksenini geçme eğilimindedir, ancak x'in doğal logaritması nedeniyle bunu yapamayacaktır.<0 не существует.
Doğallığın sınırı kayıtşu şekilde yazılabilir:
Logaritmanın tabanını değiştirme formülü
Doğal bir logaritmayla uğraşmak, keyfi bir tabanı olan bir logaritmayla uğraşmaktan çok daha kolaydır. Bu nedenle herhangi bir logaritmayı doğal logaritmaya nasıl indirgeyebileceğimizi veya doğal logaritmalar aracılığıyla keyfi bir tabana nasıl ifade edebileceğimizi öğrenmeye çalışacağız.
Logaritmik özdeşlikle başlayalım:
O zaman herhangi bir sayı veya değişken y şu şekilde temsil edilebilir:
burada x herhangi bir sayıdır (logaritmanın özelliklerine göre pozitif).
Bu ifade her iki tarafta logaritmik olarak alınabilir. Bunu keyfi bir z tabanı kullanarak yapalım:
Özelliği kullanalım (sadece “c” yerine şu ifadeyi kullanalım):
Buradan evrensel formülü elde ederiz:
.
Özellikle z=e ise:
.
İki doğal logaritmanın oranı aracılığıyla bir logaritmayı keyfi bir tabana göre temsil edebildik.
Sorunları çözüyoruz
Doğal logaritmayı daha iyi anlamak için çeşitli problem örneklerine bakalım.
Sorun 1. ln x = 3 denklemini çözmek gerekir.
Çözüm: Logaritmanın tanımını kullanarak: eğer öyleyse, şunu elde ederiz:
Sorun 2. (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 denklemini çözün.
Çözüm: Logaritmanın tanımını kullanarak: if ,then ise şunu elde ederiz:
.
Logaritmanın tanımını tekrar kullanalım:
.
Böylece:
.
Cevabı yaklaşık olarak hesaplayabilir veya bu formda bırakabilirsiniz.
Görev 3. Denklemi çözün.
Çözüm: Bir değişiklik yapalım: t = ln x. O zaman denklem aşağıdaki formu alacaktır:
.
İkinci dereceden bir denklemimiz var. Diskriminantını bulalım:
Denklemin ilk kökü:
.
Denklemin ikinci kökü:
.
t = ln x değişimini yaptığımızı hatırlayarak şunu elde ederiz:
İstatistik ve olasılık teorisinde logaritmik büyüklüklere çok sık rastlanır. Bu şaşırtıcı değil, çünkü e sayısı genellikle üstel niceliklerin büyüme oranını yansıtır.
Bilgisayar bilimi, programlama ve bilgisayar teorisinde, örneğin N biti bellekte depolamak için logaritmalara oldukça sık rastlanır.
Fraktallar ve boyut teorilerinde logaritmalar sürekli olarak kullanılmaktadır, çünkü fraktalların boyutları yalnızca onların yardımıyla belirlenmektedir.
Mekanik ve fizikte Logaritmanın kullanılmadığı bölüm bulunmamaktadır. Barometrik dağılım, istatistiksel termodinamiğin tüm ilkeleri, Tsiolkovsky denklemi vb. yalnızca logaritma kullanılarak matematiksel olarak tanımlanabilecek süreçlerdir.
Kimyada Nernst denklemlerinde ve redoks işlemlerinin açıklamalarında logaritmalar kullanılır.
Şaşırtıcı bir şekilde, müzikte bile bir oktavın parça sayısını bulmak için logaritmalar kullanılıyor.
Doğal logaritma Fonksiyon y=ln x özellikleri
Doğal logaritmanın ana özelliğinin kanıtı
Doğal logaritmanın temel özellikleri, grafik, tanım kümesi, değerler kümesi, temel formüller, türev, integral, açılımı güç serisi ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılar kullanılarak temsili.
Tanım
Doğal logaritma fonksiyon y = x olarak, üstel sayının tersi, x = e y ve e sayısının tabanının logaritmasıdır: ln x = log e x.
Doğal logaritma matematikte yaygın olarak kullanılır çünkü türevi en basit forma sahiptir: (ln x)' = 1/ x.
dayalı tanımlar doğal logaritmanın tabanı sayıdır e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
y = fonksiyonunun grafiği x olarak.
Doğal logaritmanın grafiği (fonksiyonlar y = x olarak), y = x düz çizgisine göre ayna yansımasıyla üstel grafikten elde edilir.
Doğal logaritma, x değişkeninin pozitif değerleri için tanımlanır.
Tanım alanında monoton bir şekilde artar. 0 x'te →
doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur (-∞).
X → + ∞ olduğundan doğal logaritmanın sınırı artı sonsuzdur (+ ∞). Büyük x için logaritma oldukça yavaş artar. Pozitif bir a üssüne sahip herhangi bir xa kuvvet fonksiyonu logaritmadan daha hızlı büyür.
Doğal logaritmanın özellikleri
Tanım alanı, değerler kümesi, ekstremum, artış, azalma
Doğal logaritma monotonik olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Doğal logaritmanın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır.
lnx değerleri
1 = 0
Doğal logaritmalar için temel formüller Tanımı takip eden formüller:
ters fonksiyon
Logaritmanın temel özelliği ve sonuçları
Baz değiştirme formülü
Herhangi bir logaritma, baz ikame formülü kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:
Bu formüllerin ispatları Logaritma bölümünde sunulmuştur.
Ters fonksiyon
Doğal logaritmanın tersi üstür.
Eğer öyleyse.
Eğer öyleyse
Türev ln x
.
Modül x'in doğal logaritmasının türevi:
.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >
İntegral
İntegral, parçalara göre entegrasyonla hesaplanır:
.
Bu yüzden,
Karmaşık sayılar kullanan ifadeler
Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün:
.
Karmaşık değişkeni ifade edelim z modül aracılığıyla R ve tartışma φ
:
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Eğer koyarsan
n bir tamsayı olmak üzere,
farklı n'ler için aynı sayı olacaktır.
Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak doğal logaritma, tek değerli bir fonksiyon değildir.
Kuvvet serisi genişletmesi
Genişleme gerçekleştiğinde:
Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
Logaritma nedir?
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Logaritma nedir? Logaritmalar nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak logaritma konusunun karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu olduğu düşünülür. Özellikle logaritmalı denklemler.
Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! Bana inanmıyor musun? İyi. Şimdi sadece 10 - 20 dakika içinde:
1. Anlayın logaritma nedir.
2. Bütün bir sınıfı çözmeyi öğrenin üstel denklemler. Onlar hakkında hiçbir şey duymamış olsanız bile.
3. Basit logaritmaları hesaplamayı öğrenin.
Üstelik bunun için çarpım tablosunu ve bir sayının üssünü nasıl yükselteceğinizi bilmeniz yeterli...
Şüphelerin varmış gibi hissediyorum... Peki, tamam, zamanı işaretle! Hadi gidelim!
Öncelikle şu denklemi kafanızda çözün:
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Konularla ilgili ders ve sunum: "Doğal logaritma. Doğal logaritmanın tabanı. Doğal sayının logaritması"
Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"
Doğal logaritma nedir
Arkadaşlar, son derste yeni bir şey öğrendik. özel numara– e. Bugün bu sayı ile çalışmaya devam edeceğiz.Logaritmaları inceledik ve bir logaritmanın tabanının 0'dan büyük birçok sayı olabileceğini biliyoruz. Bugün ayrıca tabanı e olan bir logaritmaya da bakacağız. Bu tür bir logaritma genellikle doğal logaritma olarak adlandırılır. Kendi gösterimi vardır: $\ln(n)$ doğal logaritmadır. Bu girdi şu girdiye eşdeğerdir: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar terstir, bu durumda doğal logaritma fonksiyonun tersidir: $y=e^x$.
Ters fonksiyonlar $y=x$ düz çizgisine göre simetriktir.
Üstel fonksiyonu $y=x$ düz çizgisine göre çizerek doğal logaritmayı çizelim.
$y=e^x$ fonksiyonunun grafiğine (0;1) noktasındaki teğetin eğim açısının 45° olduğunu belirtmekte fayda var. Bu durumda (1;0) noktasındaki doğal logaritmanın grafiğine teğetin eğim açısı da 45° olacaktır. Bu teğetlerin her ikisi de $y=x$ doğrusuna paralel olacaktır. Teğetlerin diyagramını çizelim: 
$y=\ln(x)$ fonksiyonunun özellikleri
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Ne çift ne de tektir.
3. Tanımın tüm alanı boyunca artar.
4. Yukarıdan sınırlı değildir, aşağıdan sınırlı değildir.
5. En büyük değer HAYIR, en düşük değer HAYIR.
6. Sürekli.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Yukarı doğru dışbükey.
9. Her yerde türevlenebilir.
biliyorum yüksek matematik kanıtlanmıştır bir ters fonksiyonun türevi, belirli bir fonksiyonun türevinin tersidir.
Kanıtlara girmeye gerek yok çok anlamlı, sadece şu formülü yazalım: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Örnek.
Fonksiyonun türevinin değerini hesaplayın: $y=\ln(2x-7)$ $x=4$ noktasında.
Çözüm.
İÇİNDE genel görünüm fonksiyonumuz $y=f(kx+m)$ fonksiyonu ile temsil ediliyor, bu tür fonksiyonların türevlerini hesaplayabiliyoruz.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
İstenilen noktada türevin değerini hesaplayalım: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Cevap: 2.
Örnek.
$y=ln(x)$ fonksiyonunun grafiğine $х=е$ noktasında bir teğet çizin.
Çözüm.
Bir fonksiyonun grafiğine $x=a$ noktasındaki teğet denklemini iyi hatırlıyoruz.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Gerekli değerleri sırayla hesaplıyoruz.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ noktasındaki teğet denklem $y=\frac(x)(e)$ fonksiyonudur.
Doğal logaritmayı ve teğet doğrusunu çizelim. 
Örnek.
Fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyin: $y=x^6-6*ln(x)$.
Çözüm.
$D(y)=(0;+∞)$ fonksiyonunun tanım alanı.
Verilen fonksiyonun türevini bulalım:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Türev, tanım alanındaki tüm x'ler için mevcuttur, o zaman kritik noktalar HAYIR. Durağan noktaları bulalım:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
6$*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
$х=-1$ noktası tanım alanına ait değildir. O zaman elimizde bir tane var sabit nokta$x=1$. Artma ve azalma aralıklarını bulalım: 
$x=1$ noktası minimum noktadır, bu durumda $y_min=1-6*\ln(1)=1$ olur.
Cevap: Fonksiyon (0;1] segmentinde azalır, $ ışınında fonksiyon artar)