Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya kamunun taleplerine veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Excel'deki LN işlevi, bir sayının doğal logaritmasını hesaplamak ve karşılık gelen değeri döndürmek için tasarlanmıştır. sayısal değer. Doğal logaritma, e tabanlı logaritmadır (Euler sayısı yaklaşık 2,718'dir).
Excel'deki LOG işlevi bir sayının logaritmasını hesaplamak için kullanılır ve logaritmanın tabanı, işlevin ikinci argümanı olarak açıkça belirtilebilir.
Excel'deki LOG10 işlevi, 10 tabanındaki bir sayının logaritmasını hesaplamak için tasarlanmıştır ( ondalık logaritma).
Excel'de LN, LOG ve LOG10 işlevlerini kullanma örnekleri
Arkeologlar eski bir hayvanın kalıntılarını buldular. Yaşlarını belirlemek için radyokarbon tarihleme yönteminin kullanılmasına karar verildi. Yapılan ölçümler sonucunda içeriğin radyoaktif izotop C 14, genellikle canlı organizmalarda bulunan miktarın %17'sine tekabül ediyordu. İzotop karbon 14'ün yarı ömrü 5760 yıl ise kalıntıların yaşını hesaplayın.
Kaynak tablonun görünümü:
Çözmek için kullanıyoruz aşağıdaki formül:
Bu formül, x=t*(lgB-lgq)/lgp formülüne dayanarak elde edildi; burada:
- q – karbon izotop miktarı başlangıç anı(hayvanın ölümü anında), bir (veya %100) olarak ifade edilir;
- B – kalıntıların analizi sırasındaki izotop miktarı;
- t izotopun yarı ömrüdür;
- p – bir maddenin (karbon izotopu) miktarının belirli bir t süresi boyunca kaç kez değiştiğini gösteren sayısal bir değer.
Hesaplamalar sonucunda şunu elde ederiz:
Bulunan kalıntılar neredeyse 15 bin yaşında.
Excel'de bileşik faizli mevduat hesaplayıcı
Bir banka müşterisi, faiz oranı %14,5 (bileşik faiz) ile 50.000 ruble tutarında mevduat yatırdı. Yatırılan tutarı ikiye katlamanın ne kadar süreceğini belirleyin?
İlginç gerçek! İçin hızlı çözüm Bu sorun için, bileşik faiz oranıyla yapılan yatırımların iki katına çıkarılması için gereken süreyi (yıl olarak) yaklaşık olarak tahmin etmek amacıyla ampirik bir yöntem kullanabilirsiniz. Sözde kural 72 (veya 70 veya kural 69). Bunu yapmak için basit bir formül kullanmanız gerekir - 72 sayısını faiz oranına bölün: 72/14,5 = 4,9655 yıl. Ana dezavantaj“Sihirli” 72 sayısının kuralı hatadır. Faiz oranı ne kadar yüksek olursa, kural 72'deki hata da o kadar yüksek olur. Örneğin, yıllık %100'lük bir faiz oranıyla, yıllardaki hata 0,72'ye kadar ulaşır (ve yüzde olarak bu, %28'e kadardır!).
Yatırımların ikiye katlanmasının zamanlamasını doğru bir şekilde hesaplamak için LOG fonksiyonunu kullanacağız. Öncelikle yıllık %14,5 faiz oranında kural 72'nin hata değerini kontrol edelim.
Kaynak tablonun görünümü:
Bir yatırımın gelecekteki değerini bilinen bir faiz oranında hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz: S=A(100%+n%) t, burada:
- S – vadenin bitiminde beklenen tutar;
- A – depozito tutarı;
- n – faiz oranı;
- t – mevduat fonlarının bankada saklanma süresi.
Bu örnek için bu formül 100000=50000*(100%+%14,5) t veya 2=(%100+%14,5) t şeklinde yazılabilir. Daha sonra t'yi bulmak için denklemi t=log (%114,5) 2 veya t=log 1,1452 olarak yeniden yazabilirsiniz.
T'nin değerini bulmak için Excel'de bir mevduatın bileşik faizi için aşağıdaki formülü yazıyoruz:
GÜNLÜK(B4/B2;1+B3)
Argümanların açıklaması:
- B4/B2 – logaritmanın bir göstergesi olan beklenen ve başlangıç tutarlarının oranı;
- 1+B3 – yüzde artış (logaritma tabanı).
Hesaplamalar sonucunda şunu elde ederiz:
Depozito 5 yıldan biraz daha uzun bir sürede iki katına çıkacak. İçin kesin tanım yıllar ve aylar boyunca şu formülü kullanırız:
DROP işlevi, TAM SAYI işlevine benzer şekilde, ondalık noktadan sonraki her şeyi kesirli olarak atar. DROP ve INTEGER fonksiyonları arasındaki fark sadece negatif olan hesaplamalardadır. kesirli sayılar. Ek olarak OTBR'nin bırakılacak ondalık basamak sayısını belirtebileceğiniz ikinci bir argümanı vardır. Bu nedenle bu durumda Kullanıcının tercihine göre bu iki fonksiyondan herhangi birini kullanabilirsiniz.
5 yıl 1 ay 12 gün olduğu ortaya çıktı. Şimdi kesin sonuçları kural 72 ile karşılaştırıyoruz ve hatanın büyüklüğünü belirliyoruz. Bu örnek için formül aşağıdaki gibidir:
Yüzde formatında görüntülenen mevcut değeri 0,145 olduğundan B3 hücresinin değerini 100 ile çarpmamız gerekiyor. Sonuç olarak:
Daha sonra formülü B6 hücresinden B8 hücresine ve B9 hücresine kopyalayın:
Hata sürelerini hesaplayalım:
Daha sonra formülü B6 hücresinden tekrar B10 hücresine kopyalayın. Sonuç olarak şu farkı görüyoruz:
Ve son olarak, sapmanın boyutunun nasıl değiştiğini ve faiz oranındaki artışın kural 72 ile gerçek arasındaki tutarsızlık düzeyini ne kadar önemli ölçüde etkilediğini kontrol etmek için farkı yüzde olarak hesaplayalım:
Şimdi netlik için orantılı bağımlılık Hata büyüdükçe ve faiz seviyesi arttıkça faiz oranını yıllık %100'e çıkaracağız:
İlk bakışta, hatadaki fark, 3 ay içinde yıllık %14,5 - yalnızca yaklaşık 2 ay ve yıllık %100 - ile karşılaştırıldığında önemli değildir. Ancak geri ödeme süresinde hatanın payı ¼'den fazla, daha doğrusu %28'dir.
Faiz oranındaki değişikliklerin bağımlılığının ve Kural 72'nin hata yüzdesinin gerçekle nasıl bağlantılı olduğuna dair görsel analiz için basit bir grafik yapalım:
Faiz oranı ne kadar yüksek olursa, 72 numaralı kural o kadar işe yarar. sonraki çıktı: Yıllık %32,2'ye kadar 72 kuralını güvenle kullanabilirsiniz. O zaman hata yüzde 10'dan azdır. Kesin olanlara ihtiyacınız yoksa sorun değil, ancak karmaşık hesaplamalar Yatırım getirisinin 2 katı.
Excel'de büyük harf kullanımıyla bileşik faiz yatırım hesaplayıcısı
Banka müşterisine toplam tutarda sürekli bir artışla (bileşik faizli kapitalizasyon) para yatırması teklif edildi. Faiz oranı yıllık %13'tür. Başlangıç tutarını (250.000 ruble) üç katına çıkarmanın ne kadar süreceğini belirleyin. Bekleme süresini yarıya indirmek için faiz oranının ne kadar artırılması gerekir?
Not: bulunduğumuzdan beri bu örnekte Yatırım miktarı üç katına çıkarsa 72 kuralı artık işe yaramaz.
Orijinal veri tablosunun görünümü:
Sürekli büyüme ln(N)=p*t formülüyle açıklanabilir; burada:
- N – oran nihai miktar ilkine katkı;
- p – faiz oranı;
- t – para yatırma işleminin yapılmasından bu yana geçen yıl sayısı.
O zaman t=ln(N)/p olur. Bu eşitliğe dayanarak Excel'deki formülü yazıyoruz:
Argümanların açıklaması:
- B3/B2 – nihai ve ilk depozito tutarlarının oranı;
- B4 – faiz oranı.
İlk yatırılan tutarın üç katına çıkması neredeyse 8,5 yıl alacak. Bekleme süresini yarı yarıya azaltacak oranı hesaplamak için şu formülü kullanırız:
LN(B3/B2)/(0,5*B5)
Sonuç:
Yani başlangıç faiz oranını ikiye katlamanız gerekiyor.
Excel'de LN, LOG ve LOG10 işlevlerini kullanma özellikleri
LN işlevi aşağıdaki sözdizimine sahiptir:
LN(sayı)
- sayı, bir aralıktaki gerçek sayıları kabul eden tek bir zorunlu bağımsız değişkendir pozitif değerler.
Notlar:
- LN işlevi ters fonksiyon EXP. İkincisi, e sayısını belirtilen güce yükselterek elde edilen değeri döndürür. LN işlevi, logaritma üssünü (sayı argümanı) elde etmek için e'nin (taban) hangi kuvvetine yükseltilmesi gerektiğini belirtir.
- Sayı bağımsız değişkeni aralıktan bir sayı ise negatif değerler veya sıfırsa, LN işlevinin yürütülmesinin sonucu #NUM! hata kodu olacaktır.
LOG fonksiyonunun sözdizimi aşağıdaki gibidir:
LOG(sayı;[taban])
Argümanların açıklaması:
- sayı - logaritma üssünün sayısal değerini karakterize eden gerekli bir argüman, yani logaritmanın tabanını belirli bir güce yükselterek elde edilen ve LOG işlevi tarafından hesaplanacak sayı;
- [taban] – logaritmanın tabanının sayısal değerini karakterize eden isteğe bağlı bir argüman. Argüman açıkça belirtilmemişse logaritmanın ondalık sayı olduğu varsayılır (yani taban 10'dur).
Notlar:
- LOG işlevinin sonucu negatif bir sayı olabilse de (örneğin, =LOG(2;0,25) -0,5 değerini döndürecektir), işlevin bağımsız değişkenleri bir pozitif değer aralığından alınmalıdır. Bağımsız değişkenlerden en az biri negatif sayı ise, GÜNLÜK işlevi#NUM! hata kodunu döndürecektir.
- Eğer 1 değeri [radix] argümanı olarak aktarıldıysa, 1'in herhangi bir üssüne yükseltmenin sonucu her zaman aynı ve 1'e eşit olacağından LOG işlevi #DIV/0! hata kodunu döndürecektir.
LOG10 işlevi aşağıdaki sözdizimine sahiptir:
LOG10(sayı)
- sayı, anlamı LN ve LOG fonksiyonlarındaki aynı isimli argümanla aynı olan tek ve zorunlu bir argümandır.
Not: argüman olarak bir sayı aktarıldıysa negatif sayı veya 0 ise, LOG10 işlevi #NUM! hata kodunu döndürecektir.
Logaritma verilen numara başka bir sayının yükseltilmesi gereken üsse denir. temel Bu sayıyı elde etmek için logaritma. Örneğin 100'ün 10 tabanındaki logaritması 2'dir. Yani 100'ü elde etmek için 10'un karesi alınmalıdır (10 2 = 100). Eğer N– belirli bir sayı, B– taban ve ben– logaritma, o zaman b ben = n. Sayı N taban antilogaritma olarak da adlandırılır B sayılar ben. Örneğin 2'nin 10 tabanına göre antilogaritması 100'e eşittir. Bu, ilişkiler günlüğü şeklinde yazılabilir. bn = ben ve antilog b l = N.
Logaritmanın temel özellikleri:
Herhangi pozitif sayı, birlik dışında logaritmanın temeli olabilir, ancak ne yazık ki şu şekilde ortaya çıkıyor: B Ve N rasyonel sayılardır, o zaman nadir durumlardaöyle bir rasyonel sayı var ki ben, Ne b ben = n. Ancak belirlemek mümkün irrasyonel sayı benörneğin, öyle ki 10 ben= 2; bu irrasyonel bir sayı ben rasyonel sayılarla gerekli herhangi bir doğrulukla tahmin edilebilir. Verilen örnekte ortaya çıkıyor ben yaklaşık olarak 0,3010'a eşittir ve 2'nin 10 tabanlı logaritmasının bu yaklaşımı, dört basamaklı ondalık logaritma tablolarında bulunabilir. 10 tabanlı logaritmalar (veya 10 tabanlı logaritmalar) hesaplamalarda o kadar yaygın olarak kullanılır ki bunlara denir. sıradan logaritmalar ve log2 = 0,3010 veya log2 = 0,3010 olarak yazılır, logaritmanın tabanının açık göstergesi atlanır. Tabana göre logaritmalar e, yaklaşık olarak 2,71828'e eşit olan aşkın bir sayıya denir doğal logaritmalar. Esas olarak şu konulardaki çalışmalarda bulunurlar: matematiksel analiz ve uygulamaları çeşitli bilimler. Doğal logaritmalar da tabanı açıkça belirtmeden, ancak özel ln gösterimi kullanılarak yazılır: örneğin, ln2 = 0,6931, çünkü e 0,6931 = 2.
Sıradan logaritma tablolarının kullanılması.
Bir sayının normal logaritması, belirli bir sayıyı elde etmek için 10'a yükseltilmesi gereken bir üstür. 10 0 = 1, 10 1 = 10 ve 10 2 = 100 olduğundan, hemen log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 vb. değerlerini elde ederiz. 10'un tamsayı kuvvetlerini arttırmak için. Benzer şekilde, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 ve dolayısıyla log0,1 = –1, log0,01 = –2, vb. tüm tamsayılar için negatif güçler 10. Geriye kalan sayıların olağan logaritmaları, 10 sayısının en yakın tamsayı kuvvetlerinin logaritmaları arasında bulunur; log2 0 ile 1 arasında, log20 1 ile 2 arasında ve log0.2 -1 ile 0 arasında olmalıdır. Dolayısıyla logaritma, 0 ile 1 arasında yer alan bir tam sayı ve bir ondalık sayı olmak üzere iki bölümden oluşur. tamsayı kısmı denir karakteristik logaritma ve sayının kendisi tarafından belirlenir, kesirli kısım isminde mantis ve tablolardan bulunabilir. Ayrıca log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2'nin logaritması 0,3010'dur, yani log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Benzer şekilde log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Çıkarma işleminden sonra log0.2 = – 0.6990 elde ederiz. Ancak log0.2'yi 0,3010 – 1 veya 9,3010 – 10 olarak temsil etmek daha uygundur; formüle edilebilir ve genel kural: Belirli bir sayının 10'un kuvvetleriyle çarpılmasıyla elde edilen tüm sayılar aynı mantislere sahiptir, mantislere eşittir verilen numara. Çoğu tablo, 1'den 10'a kadar olan aralıktaki sayıların mantislerini gösterir, çünkü diğer tüm sayıların mantisleri tabloda verilenlerden elde edilebilir.
Çoğu tablo, dört veya beş ondalık basamaklı logaritmalar verir, ancak yedi basamaklı tablolar ve daha fazla ondalık basamaklı tablolar da vardır. Bu tür tabloların nasıl kullanılacağını öğrenmenin en kolay yolu örneklerdir. Log3.59'u bulmak için öncelikle 3.59 sayısının 10 0 ile 10 1 arasında yer aldığını, dolayısıyla karakteristiğinin 0 olduğunu not ediyoruz. Tabloda 35 sayısını (solda) buluyoruz ve satır boyunca hareket ederek üst kısmında 9 rakamının bulunduğu sütun; bu sütun ile 35. satırın kesişimi 5551'dir, yani log3.59 = 0.5551. Dörtlü bir sayının mantisini bulmak için önemli rakamlar, enterpolasyona başvurmak gerekir. Bazı tablolarda enterpolasyon, tabloların her sayfasının sağ tarafındaki son dokuz sütunda verilen oranlar sayesinde kolaylaştırılmıştır. Şimdi log736.4'ü bulalım; 736.4 sayısı 10 2 ile 10 3 arasındadır, dolayısıyla logaritmasının özelliği 2'dir. Tabloda solunda 73 ve 6 numaralı sütunların bulunduğu bir satır buluyoruz. Bu satır ile bu sütunun kesişiminde 8669 sayısı. Doğrusal parçalar arasında bulduğumuz sütun 4 73. satır ile 4. sütunun kesişiminde 2 sayısı bulunur. 8669'a 2 ekleyerek mantis elde ederiz - 8671'e eşittir. Böylece log736.4 = 2,8671.
Doğal logaritmalar.
Tablolar ve Özellikler doğal logaritmalar sıradan logaritmanın tablolarına ve özelliklerine benzer. Her ikisi arasındaki temel fark, doğal logaritmanın tam sayı kısmının konumu belirlemede anlamlı olmamasıdır. ondalık nokta ve bu nedenle mantis ile karakteristik arasındaki fark özel bir rol oynamaz. 5.432 sayısının doğal logaritması; 54,32 ve 543,2 sırasıyla 1,6923'e eşittir; 3,9949 ve 6,2975. Bu logaritmalar arasındaki ilişki, aralarındaki farklara bakıldığında daha da netleşecektir: log543.2 – log54.32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; son sayı 10 sayısının doğal logaritmasından başka bir şey değildir (şu şekilde yazılır: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; son sayı 2ln10'dur. Ancak 543,2 = 10'54,32 = 10 2'5,432. Böylece, belirli bir sayının doğal logaritmasına göre A sayıların doğal logaritmasını bulabilirsiniz, ürünlere eşit sayılar A herhangi bir derece için N 10 sayısı ln ise A ln10 ile çarpılarak ekle N yani In( Aґ10N) = günlük A + N ln10 = ln A + 2,3026N. Örneğin, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Bu nedenle, doğal logaritma tabloları, sıradan logaritma tabloları gibi, genellikle yalnızca 1'den 10'a kadar sayıların logaritmasını içerir. Doğal logaritma sisteminde antilogaritmalardan söz edilebilir, ancak daha sıklıkla üstel bir fonksiyondan veya üs hakkında konuşurlar. Eğer X= günlük sen, O sen = eski, Ve senüssü denir X(tipografik kolaylık sağlamak için sıklıkla yazarlar sen= deneyim X). Üs, sayının antilogaritmasının rolünü oynar X.
Ondalık ve doğal logaritma tablolarını kullanarak, 10 ve 10 dışında herhangi bir tabanda logaritma tabloları oluşturabilirsiniz. e. Günlük ise ba bir = X, O bx = A ve bu nedenle günlük cbx=günlük ca bir veya X kayıt cb=günlük ca bir, veya X=günlük ca bir/kayıt cb=günlük ba bir. Bu nedenle, temel logaritma tablosundan bu ters çevirme formülünü kullanarak C başka herhangi bir tabanda logaritma tabloları oluşturabilirsiniz B. Çarpan 1/günlük cb isminde geçiş modülü tabandan C tabana B. Örneğin ters çevirme formülünün kullanılmasını veya bir logaritma sisteminden diğerine geçişi, sıradan logaritma tablosundan doğal logaritmaların bulunmasını veya ters geçiş yapılmasını hiçbir şey engellemez. Örneğin, log105.432 = log e 5.432/günlük e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Sıradan bir logaritma elde etmek için belirli bir sayının doğal logaritmasının çarpılması gereken 0,4343 sayısı, sıradan logaritma sistemine geçiş modülüdür.
Özel tablolar.
Logaritmalar başlangıçta özellik loglarını kullanarak icat edildi. ab=günlük A+günlük B ve kayıt A/B=günlük A-kayıt B, ürünleri toplamlara, bölümleri farklara dönüştürün. Başka bir deyişle, eğer günlük A ve kayıt B biliniyorsa, toplama ve çıkarma işlemlerini kullanarak çarpımın ve bölümün logaritmasını kolayca bulabiliriz. Ancak astronomide sıklıkla verilen değerler kayıt A ve kayıt B günlüğü bulmam gerekiyor( A + B) veya günlük( A – B). Elbette ilk olarak logaritma tablolarından bulunabilir. A Ve B, daha sonra belirtilen toplama veya çıkarma işlemini gerçekleştirin ve yine tablolara bakarak gerekli logaritmaları bulun, ancak böyle bir prosedür tablolara üç kez başvurmayı gerektirir. Z. Leonelli 1802'de sözde tabloları yayınladı. Gauss logaritmaları– toplamların ve farkların eklenmesi için logaritmalar – bu da tablolara tek bir erişimin sınırlandırılmasını mümkün kıldı.
1624'te I. Kepler orantılı logaritma tabloları önerdi; sayıların logaritmaları A/X, Nerede A– biraz olumlu devamlı. Bu tablolar öncelikle gökbilimciler ve gezginler tarafından kullanılır.
Orantılı logaritmalar A= 1 denir koloaritmalar ve çarpımlar ve bölümlerle uğraşmak gerektiğinde hesaplamalarda kullanılır. Bir sayının kologaritması N logaritmaya eşit karşılıklı sayı; onlar. kolonya N= günlük1/ N= – günlük N. Log2 = 0,3010 ise, colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Koloaritma kullanmanın avantajı, aşağıdaki gibi ifadelerin logaritmasının değerini hesaplarken olmasıdır. pq/R pozitif ondalık sayıların üçlü toplamı günlüğü P+günlük Q+kolog R karışık toplam ve fark logunu bulmaktan daha kolaydır P+günlük Q-kayıt R.
Hikaye.
Herhangi bir logaritma sisteminin altında yatan prensip çok uzun zamandır bilinmektedir ve kökeni eski Babil matematiğine (M.Ö. 2000 civarı) kadar uzanabilmektedir. O günlerde tam sayıların tablo değerleri arasında enterpolasyon yapılıyordu. pozitif derece hesaplamak için tamsayılar kullanıldı bileşik faiz. Çok daha sonra Arşimet (MÖ 287-212) 108'in kuvvetlerini kullanarak üst sınır O zamanlar bilinen Evreni tamamen doldurmak için gereken kum tanesi sayısı. Arşimed, logaritmanın etkinliğinin altında yatan üslü sayılar özelliğine dikkat çekti: kuvvetlerin çarpımı üslerin toplamına karşılık gelir. Orta Çağ'ın sonu ve modern çağın başlangıcında matematikçiler giderek geometrik ve aritmetik ilerlemeler arasındaki ilişkiye yönelmeye başladılar. M. Stiefel makalesinde Tamsayı Aritmetiği(1544) 2 sayısının pozitif ve negatif kuvvetlerini gösteren bir tablo verdi:
Stiefel, ilk satırdaki (üsler doğrusu) iki sayının toplamının iki üssüne eşit olduğunu, yani ikinin çarpımına karşılık geldiğini fark etti. karşılık gelen sayılar alt satırda (derece çizgisi). Bu tabloyla bağlantılı olarak Stiefel dört kurala eşdeğer dört kural formüle etti. modern kurallarüslü sayılar üzerinde işlemler veya logaritma işlemleri için dört kural: üst satırdaki toplam, alt satırdaki çarpıma karşılık gelir; üst satırdaki çıkarma işlemi alt satırdaki bölme işlemine karşılık gelir; üst satırdaki çarpma, alt satırdaki üstel sayıya karşılık gelir; Üst satırdaki bölünme, alt satırdaki köklenmeye karşılık gelir.
Görünüşe göre, Stiefel'in kurallarına benzer kurallar, J. Naper'in çalışmalarında ilk logaritma sistemini resmi olarak tanıtmasına yol açtı. Şaşırtıcı logaritma tablosunun açıklaması Ancak Napier'in düşünceleri, çarpımları toplamlara dönüştürme sorunuyla meşguldü; o zamandan beri, çalışmasının yayınlanmasından on yıldan fazla bir süre önce Napier, Danimarka'dan Tycho Brahe Gözlemevi'nde asistanlarının bunu yapan bir yönteme sahip olduğuna dair bir haber aldı. Ürünleri toplamlara dönüştürmek mümkündür. Napier'in aldığı mesajda bahsedilen yöntem, kullanıma dayanıyordu. trigonometrik formüller tip
bu nedenle Naper'in tabloları esas olarak logaritmalardan oluşuyordu trigonometrik fonksiyonlar. Her ne kadar Napier tarafından önerilen tanımda taban kavramı açıkça yer almasa da, onun sisteminde logaritma sisteminin tabanına eşdeğer rol, yaklaşık olarak 1/'e eşit olan (1 – 10 –7)`10 7 sayısı tarafından oynanıyordu. e.
Naper'den bağımsız olarak ve neredeyse onunla eşzamanlı olarak, tip olarak oldukça benzer bir logaritma sistemi J. Bürgi tarafından Prag'da icat edildi ve yayınlandı, 1620'de yayınlandı. Aritmetik ve geometrik ilerleme tabloları. Bunlar (1 + 10 –4) ґ10 4 tabanına göre antilogaritma tablolarıydı; sayının oldukça iyi bir tahmini e.
Naper sisteminde 10 7 sayısının logaritması sıfır alınmış, sayılar azaldıkça logaritmalar artmaktaydı. G. Briggs (1561–1631) Napier'i ziyaret ettiğinde her ikisi de 10 sayısını taban olarak kullanmanın ve bir'in logaritmasını almanın daha uygun olacağı konusunda hemfikirdi. sıfıra eşit. Daha sonra sayılar arttıkça logaritmaları da artacaktır. Yani elimizde modern sistem Briggs'in çalışmasında yayınladığı bir tablo olan ondalık logaritmalar Logaritmik aritmetik(1620). Tabana göre logaritmalar e Her ne kadar tam olarak Naper tarafından tanıtılanlar olmasa da, genellikle Naper's olarak anılır. "Karakteristik" ve "mantis" terimleri Briggs tarafından önerildi.
Yürürlükte olan ilk logaritmalar tarihsel nedenler sayılara yönelik kullanılan yaklaşımlar 1/ e Ve e. Bir süre sonra doğal logaritma fikri hiperbolün altındaki alanların incelenmesiyle ilişkilendirilmeye başlandı. xy= 1 (Şekil 1). 17. yüzyılda bu eğrinin sınırladığı alanın, eksenin olduğu gösterildi X ve koordinatlar X= 1 ve X = A(Şekil 1'de bu alan daha kalın ve seyrek noktalarla kaplıdır) aritmetik ilerleme, Ne zaman A artışlar geometrik ilerleme. Üslü ve logaritmalı işlemlere ilişkin kurallarda ortaya çıkan tam da bu bağımlılıktır. Bu, Naperian logaritmalarının "hiperbolik logaritmalar" olarak adlandırılmasına yol açtı.
Logaritmik fonksiyon.
Logaritmanın yalnızca bir hesaplama aracı olarak kabul edildiği bir dönem vardı, ancak 18. yüzyılda esas olarak Euler'in çalışmaları sayesinde bu kavram oluştu. logaritmik fonksiyon. Böyle bir fonksiyonun grafiği sen= günlük X Koordinatları aritmetik bir ilerlemeyle artarken apsisleri geometrik bir ilerlemeyle artan Şekil 2'de gösterilmektedir. 2, A. Ters veya üstel bir fonksiyonun grafiği y = e x Geometrik ilerlemede koordinatları artan ve aritmetik ilerlemede apsisleri artan, sırasıyla Şekil 2'de gösterilmektedir. 2, B. (Eğriler sen=günlük X Ve sen = 10Xşekil olarak eğrilere benzer sen= günlük X Ve sen = eski.) Ayrıca önerildi alternatif tanımlar logaritmik fonksiyon, örneğin,
kpı; ve benzer şekilde -1 sayısının doğal logaritması karmaşık sayılar türleri (2 k + 1)pi, Nerede k– bir tamsayı. Benzer ifadeler genel logaritmalar veya diğer logaritma sistemleri için de geçerlidir. Ayrıca, logaritmanın tanımı Euler'in kimlikleri kullanılarak genelleştirilebilir. karmaşık logaritmalar karmaşık sayılar.
Logaritmik fonksiyonun alternatif bir tanımı şunu verir: fonksiyonel analiz. Eğer F(X) – sürekli fonksiyon gerçek sayı X aşağıdaki üç özelliğe sahiptir: F (1) = 0, F (B) = 1, F (UV) = F (sen) + F (v), O F(X) sayının logaritması olarak tanımlanır X dayalı B. Bu tanımın, bu makalenin başında verilen tanıma göre birçok avantajı vardır.
Uygulamalar.
Logaritmalar başlangıçta yalnızca hesaplamaları basitleştirmek için kullanıldı ve bu uygulama hala en önemlilerinden biridir. Çarpımların, bölümlerin, kuvvetlerin ve köklerin hesaplanması, yalnızca yayınlanmış logaritma tablolarının geniş çapta bulunmasıyla değil, aynı zamanda sözde kullanımıyla da kolaylaştırılmıştır. sürgülü hesap cetveli - çalışma prensibi logaritmanın özelliklerine dayanan bir hesaplama aracıdır. Cetvel logaritmik ölçeklerle donatılmıştır; 1 numaradan herhangi bir numaraya olan mesafe X loga eşit olacak şekilde seçilmiş X; Bir ölçeği diğerine göre kaydırarak, logaritmaların toplamlarını veya farklarını çizmek mümkündür; bu, ilgili sayıların çarpımlarını veya bölümlerini doğrudan ölçekten okumayı mümkün kılar. Sayıları temsil etmenin avantajlarından yararlanın logaritmik form izin verir vb. grafikleri çizmek için logaritmik kağıt (her iki koordinat ekseninde üzerine logaritmik ölçekler basılmış kağıt). Bir fonksiyon formun güç yasasını karşılıyorsa y = kxn, sonra onu logaritmik grafik düz bir çizgiye benziyor çünkü kayıt sen=günlük k + N kayıt X– loga göre doğrusal denklem sen ve kayıt X. Aksine, logaritmik grafik herhangi ise fonksiyonel bağımlılık düz bir çizgiye benziyorsa bu bağımlılık güç yasasıdır. Yarı logaritmik kağıt (y ekseninin logaritmik bir ölçeğe sahip olduğu ve apsis ekseninin tekdüze bir ölçeğe sahip olduğu), tanımlamanız gereken durumlarda kullanışlıdır. üstel fonksiyonlar. Formun denklemleri y = kb rx nüfus, radyoaktif madde miktarı veya banka bakiyesi gibi bir miktarın, mevcut radyoaktif madde miktarıyla orantılı bir oranda azalması veya artması durumunda meydana gelir. şu anda sakinlerin sayısı, radyoaktif madde veya para. Böyle bir bağımlılık yarı logaritmik kağıda çizilirse grafik düz bir çizgi gibi görünecektir.
Logaritmik fonksiyon, çok çeşitli doğal formlarla bağlantılı olarak ortaya çıkar. Ayçiçeği salkımlarındaki çiçekler logaritmik spiraller halinde düzenlenir ve yumuşakça kabukları bükülür. Nautilus, dağ koyunu boynuzları ve papağan gagaları. Bütün bunlar doğal formlar Logaritmik spiral olarak bilinen bir eğrinin örnekleri olarak hizmet edebilir çünkü kutup sistemi koordinatlar, denklemi şu şekildedir r = ae bq, veya ln R= günlük A + bq. Böyle bir eğri, kutuptan uzaklığı geometrik ilerlemeyle artan ve yarıçap vektörüyle açıklanan açı aritmetik ilerlemeyle artan hareketli bir noktayla tanımlanır. Böyle bir eğrinin ve dolayısıyla logaritmik fonksiyonun her yerde bulunması, bu kadar uzak ve tamamen uzak görünmesi gerçeğiyle iyi bir şekilde gösterilmektedir. çeşitli alanlar eksantrik bir kamın dış hatları ve ışığa doğru uçan bazı böceklerin yörüngesi gibi.
Yani iki gücümüz var. Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiyi yükseltmeniz gereken gücü kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için ikinin altıncı gücünü artırmanız gerekir. Bu tablodan görülebilmektedir.
Ve şimdi - aslında logaritmanın tanımı:
x'in logaritması tabanı, x'i elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken kuvvettir.
Tanım: log a x = b, burada a tabandır, x argümandır, b ise logaritmanın gerçekte eşit olduğu şeydir.
Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 olduğundan 8'in 2 tabanlı logaritması üçtür). Aynı başarı günlüğü ile 2 64 = 6, çünkü 2 6 = 64.
Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine logaritma denir. Şimdi tablomuza yeni bir satır ekleyelim:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| günlük 2 2 = 1 | günlük 2 4 = 2 | günlük 2 8 = 3 | günlük 2 16 = 4 | günlük 2 32 = 5 | günlük 2 64 = 6 |
Ne yazık ki tüm logaritmalar bu kadar kolay hesaplanamıyor. Örneğin, log 2 5'i bulmayı deneyin. Tabloda 5 sayısı yok ama mantık, logaritmanın parça üzerinde bir yerde olacağını söylüyor. Çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем daha fazla derece iki, sayı ne kadar büyükse.
Bu tür sayılara irrasyonel denir: Ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrarlanmaz. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, onu bu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Logaritmanın iki değişkenli (taban ve argüman) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta birçok kişi temelin nerede olduğunu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Kaçınmak için sinir bozucu yanlış anlamalar, sadece resme bakın:
Önümüzde bir logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Hatırlamak: logaritma bir kuvvettir Bir argüman elde etmek için tabanın içine inşa edilmesi gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızıyla vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste anlatıyorum ve hiçbir kafa karışıklığı ortaya çıkmıyor.
Tanımı çözdük; geriye kalan tek şey logaritmanın nasıl sayılacağını öğrenmek. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını not ediyoruz:
- Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, derecenin tanımından kaynaklanmaktadır. rasyonel gösterge Logaritmanın tanımı buraya gelir.
- Taban birden farklı olmalıdır, çünkü bir dereceye kadar bir hala bir olarak kalır. Bu nedenle “iki elde etmek için kişinin hangi güce yükseltilmesi gerekir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!
Bu tür kısıtlamalara denir bölge kabul edilebilir değerler (ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şu şekilde göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
b sayısı (logaritmanın değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlama olmadığını unutmayın. Örneğin logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = −1, çünkü 0,5 = 2−1.
Ancak şimdi sadece düşünüyoruz sayısal ifadeler Logaritmanın CVD'sini bilmenin gerekli olmadığı durumlarda. Sorunların yazarları tarafından tüm kısıtlamalar zaten dikkate alınmıştır. Ama gittiklerinde logaritmik denklemler ve eşitsizlikler nedeniyle DHS gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Sonuçta, temel ve argüman, yukarıdaki kısıtlamalara tam olarak uymayan çok güçlü yapılar içerebilir.
Şimdi düşünelim genel şema Logaritmaların hesaplanması. Üç adımdan oluşur:
- A tabanını ve x argümanını mümkün olan minimum tabanı birden büyük olacak şekilde bir kuvvet olarak ifade edin. Bu arada ondalık sayılardan kurtulmak daha iyidir;
- b değişkeninin denklemini çözün: x = a b ;
- Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.
İşte bu! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın olması şartı birden fazla, çok önemlidir: hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Aynısı ondalık sayılar: Bunları hemen normal olanlara dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır.
Belirli örnekleri kullanarak bu şemanın nasıl çalıştığını görelim:
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 5 25
- Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak düşünelim: 5 = 5 1; 25 = 52;
- Cevabını aldık: 2.
Denklemi oluşturup çözelim:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Görev. Logaritmayı hesaplayın:
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 4 64
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 4 = 2 2; 64 = 26;
- Denklemi oluşturup çözelim:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Cevabını aldık: 3.
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
- Denklemi oluşturup çözelim:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Cevabını aldık: 0.
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14
- Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak düşünelim: 7 = 7 1; 7 1 olduğundan 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilemez< 14 < 7 2 ;
- İtibaren önceki paragraf buradan logaritmanın sayılmadığı sonucu çıkar;
- Cevap değişiklik yok: log 7 14.
Küçük bir not son örnek. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olabilirsiniz? Çok basit; sadece parçalara ayırın asal faktörler. Genişlemenin en az iki farklı faktörü varsa, sayı tam bir kuvvet değildir.
Görev. Sayıların tam kuvvetleri olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tam derece, çünkü yalnızca bir çarpan vardır;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - tam bir kuvvet değildir çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tam derece;
35 = 7 · 5 - yine kesin bir kuvvet değil;
14 = 7 · 2 - yine kesin bir derece değil;
Şunu da belirtelim ki biz kendimiz asal sayılar her zaman kendilerinin kesin dereceleridir.
Ondalık logaritma
Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir isme ve sembole sahiptirler.
X'in ondalık logaritması, 10 tabanına göre logaritmasıdır; X sayısını elde etmek için 10 sayısının yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanım: lg x.
Örneğin log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.
Artık bir ders kitabında "Lg 0.01'i bul" gibi bir ifade göründüğünde şunu bilin: bu bir yazım hatası değil. Bu bir ondalık logaritmadır. Ancak bu gösterime aşina değilseniz, istediğiniz zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x
Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık logaritmalar için de doğrudur.
Doğal logaritma
Kendi tanımı olan başka bir logaritma var. Bazı yönlerden ondalık sayıdan bile daha önemlidir. bu yaklaşık Doğal logaritma hakkında.
X'in doğal logaritması e tabanının logaritmasıdır, yani. x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken güç. Tanım: ln x .
Birçoğu şunu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır ve kesin değer bulmak ve kaydetmek imkansızdır. Sadece ilk rakamları vereceğim:
e = 2,718281828459...
Bu sayının ne olduğu ve neden gerekli olduğu konusunda ayrıntıya girmeyeceğiz. E'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = log e x
Böylece ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak herhangi bir sayının doğal logaritması rasyonel sayı mantıksız. Elbette biri hariç: ln 1 = 0.
Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.
Logaritma nedir?
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Logaritma nedir? Logaritmalar nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak logaritma konusunun karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu olduğu düşünülür. Özellikle logaritmalı denklemler.
Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! Bana inanmıyor musun? İyi. Şimdi sadece 10 - 20 dakika içinde:
1. Anlayacaksınız logaritma nedir.
2. Bütün bir sınıfı çözmeyi öğrenin üstel denklemler. Onlar hakkında hiçbir şey duymamış olsanız bile.
3. Basit logaritmaları hesaplamayı öğrenin.
Üstelik bunun için çarpım tablosunu ve bir sayının üssünü nasıl yükselteceğinizi bilmeniz yeterli...
Şüphelerin olduğunu hissediyorum... Peki, tamam, zamanı işaretle! Hadi gidelim!
Öncelikle şu denklemi kafanızda çözün:
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.