Teorem

Fonksiyonun kesin olarak monoton ve belirli bir aralıkta sürekli olarak tanımlandığını ve değerlerinin kümesi olduğunu varsayalım. O zaman kümedeki ters fonksiyon kesin, kesinlikle monoton ve sürekli.

Kanıt

Kesinlik için, fonksiyona izin verin kadar artar, yani herhangi biri için , koşulu karşılayan eşitsizlik geçerlidir:

(), ().

1. Ters fonksiyonun tekliğini kanıtlayalım.

Ters fonksiyonun benzersizliği fonksiyonun artması nedeniyle eşitsizlik geçerlidir:

Şu tarihte: ,

ve bu nedenle herkese tek bir değerle eşleşiyor .

2. Şimdi ters fonksiyonun olduğunu kanıtlayalım. kadar artar.

Gerçekten eğer , Daha sonra (Ve ), çünkü eğer öyle olsaydı , daha sonra artandan öyle olmalı varsayımıyla çelişecek olan . Böylece, ters fonksiyonun katı monotonluğu gerçeği yüklü.

3. Ve son olarak ters fonksiyonun olduğunu kanıtlıyoruz. üzerinde süreklidir.

Çünkü kümede monoton olarak artar, daha sonra sınırlanır ve kümedeki en büyük ve en küçük değerleri alır. Küme, uçları ve olan bir aralıktır; burada , .

İzin vermek , . Önce şu durumu ele alalım . Bu durumda noktanın aralığın iç noktası olduğu açıktır.

Bir değer seçelim Öyle ki Ve ve koy Ve . Daha sonra artış nedeniyle şunu elde ederiz:

.

Şimdi alalım öyle ki aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:

Ve .

O halde eşitsizlikler sağlanırsa

,

O ,

ve bu nedenle artış nedeniyle sahibiz:

Bunu göz önünde bulundurarak ve

şunu elde ederiz: sağlanan
.

Böylece, yeterince küçük herhangi bir değer için kanıtlanmıştır. var öyle ki eşitsizliği sağlayan herkes için eşitsizlik geçerli yani ters fonksiyon noktada süreklidir. Ancak - aralığın isteğe bağlı noktası . Yani ters fonksiyon sürekli açık .

Eğer veya o zaman benzer akıl yürütmeyi kullanarak sürekliliği kanıtlayabiliriz noktada sağda ve noktada solda. Yani ters fonksiyonun sürekliliği gerçeği kanıtlanmadı.

Fonksiyonun azalması durumunda teoremin ispatı da benzer şekilde gerçekleştirilir.

Modül

Konu No.5

Ana süreklilik

Temel işlevler. Bir kümedeki bir fonksiyonun düzgün sürekliliği

Ders No. 17

1. Fonksiyonların sürekliliği: ; ; ; ;
;
;
; ; ; .

2. Rasyonel sayılar kümesinde üstel fonksiyon.

3. Reel sayılar kümesinde üstel fonksiyon.

ﻫ Temel fonksiyonların sürekliliği

1. Fonksiyonun olduğunu kanıtlayın ,

Kanıt

1) İsteğe bağlı bir nokta seçin R,Çünkü üzerinde belirlendi R.

2) Bu nokta için R Fonksiyonun limitini ve değerini bu noktada belirleyelim:

A)
,

B) .

3) Bu nedenle, yani işlev herhangi bir noktada sürekli .

,

sayı doğrusu üzerinde her noktada süreklidir.

5) İspat, bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin 1 numaralı tanımına göre yapılır. Vesaire.

2. Fonksiyonun olduğunu kanıtlayın sayı doğrusu üzerinde sıfır dışında herhangi bir noktada süreklidir, yani R\0.

Kanıt

R\0, fonksiyon tanımlandığı için R\0 ve içindeki fonksiyon artışını tanımlayın:

.

3) Limiti hesaplayın

,

Çünkü . Yani fonksiyon

4) Nokta keyfi olarak seçildiği için fonksiyon herhangi bir noktada sürekli R\0. Vesaire.

3. Fonksiyonun olduğunu kanıtlayın Reel sayılar kümesinin herhangi bir noktasında süreklidir.

Kanıt

1) Bir fonksiyonun tanım alanı gerçel sayılar kümesidir.

2) İsteğe bağlı bir nokta seçin R ve içindeki fonksiyonun artışını tanımlayın:

3) Limiti hesaplayın
. Yani fonksiyon herhangi bir noktada sürekli .

4) Nokta keyfi olarak seçildiği için fonksiyon Reel sayılar kümesinin herhangi bir noktasında sürekli .

5) İspat, artışlar dilinde bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin 5 numaralı tanımına dayanarak gerçekleştirildi. Vesaire.

4. Fonksiyonun kümenin herhangi bir noktasında sürekli olduğunu kanıtlayın R.

Kanıt

Kanıt, cebirsel bir toplamın sürekliliği, sürekli fonksiyonların çarpımı ve bölümü ve bir fonksiyonun sürekliliği hakkındaki teoremden gelir. sayı ekseninin herhangi bir noktasında. Vesaire.

5. Fonksiyonun olduğunu kanıtlayın
kesrin paydasının sıfır olduğu noktalar dışında, gerçek sayılar kümesindeki herhangi bir noktada süreklidir.

Kanıt

Kanıt, cebirsel toplamın sürekliliği, sürekli fonksiyonların çarpımı ve bölümü ve fonksiyonların sürekliliği hakkındaki teoremden gelir.

Ve .

Bu, verilen fonksiyonun kümenin herhangi bir noktasında sürekli olduğu anlamına gelir R paydanın sıfır olduğu noktalar hariç. Vesaire.

6. Fonksiyonun olduğunu kanıtlayın sayı doğrusu üzerinde her noktada süreklidir.

Kanıt

1) Artışlar dilinde bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin 5 numaralı tanımına dayanarak ispatı yapacağız.

2) İşlev sayı doğrusu üzerinde herhangi bir noktada tanımlanır.

3) İsteğe bağlı bir nokta seçin R ve bu noktada fonksiyonun artışını belirleyin:

4) Fonksiyonun artış limitini hesaplayalım:

Yani fonksiyon keyfi bir noktada süreklidir.

5) Nokta keyfi olarak seçildiği için fonksiyon sayı doğrusu üzerinde her noktada süreklidir. Vesaire.

7. Fonksiyonun sürekliliği benzer şekilde kanıtlanır sayı ekseninin herhangi bir noktasında. Kanıtı kendiniz gerçekleştirin.

8. Fonksiyonların sürekliliğinden Ve sayı doğrusu üzerinde herhangi bir noktada, sürekli fonksiyonların bir noktadaki bölümünün sürekliliği teoremine göre, fonksiyonun sürekliliği şöyledir:

A) ; noktalar hariç sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalarda

, - herhangi bir tam sayı;

b) fonksiyonun sürekliliğinin yanı sıra Ve noktalar hariç tüm noktalarda , herhangi bir tam sayı nerede.

9. Fonksiyonun olduğunu kanıtlayın sayı doğrusu boyunca süreklidir.

Kanıt

1) Aralıkta işlev benziyor , Çünkü . Ve bu fonksiyon sayı doğrusu üzerinde her noktada süreklidir.

2) Aralıkta işlev benziyor , Çünkü . Ve bu fonksiyon iki sürekli fonksiyonun çarpımı olarak süreklidir ve .

3) Fonksiyonun sürekliliğini sağlamak kalır bu noktada .

4) Bunu yapmak için noktada tek taraflı limitleri hesaplıyoruz. :

A) ; B) .

5) O zamandan beri
Ve , ardından fonksiyon bir noktada sürekli . Ve bu nedenle tüm sayı doğrusu boyunca süreklidir.

Çözüm:

1. Ele alınan tüm işlevler kendi varlık alanlarında süreklidir.

2. Sürekli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümünün sürekliliği teoremlerine dayanarak, sürekli fonksiyonlar üzerinde sonlu sayıda aritmetik işlem kullanılarak elde edilen fonksiyonların, varlık tanım kümesinde de sürekli fonksiyonlar olduğu ileri sürülebilir.

Çok rasyonel sayılarda üstel fonksiyon

Tanım 1. Diyelim ki herhangi bir rasyonel sayı için değer belirlenecek. Bu işlevi tanımlar. Bu fonksiyona rasyonel sayılar kümesinde üstel fonksiyon denir.

Üstel Fonksiyonun Özellikleri

ben... yani. , nerede , .1.Let . O zaman:a) eğer , o zaman ;b) eğer , o zaman .2.a) ;b) ;c) .3. .4. .5. , herhangi bir rasyonel sayı için: .

Belge: 5. özellik1. Eğer ve ise, o zaman ilk özellik sayesinde: .

2. , a olduğundan, 0,3. İkinci özelliğe dayanarak: , ve dolayısıyla .4. Eşitsizliği de benzer şekilde kanıtlanır.

II. Lemma 1. Let . O halde eşitsizliği sağlayan tüm rasyonel sayılar için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: . Yardım: adresinde.

Belge: I.1. İzin vermek .

2. O zamandan bu yana: ve .3. O zamandan beri, ilk özelliğe dayanarak, iki çift eşitsizlik aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

4. .5 şeklinde bir rasyonel sayı olsun. Üstel fonksiyonun ilk özelliğine göre şunu yazabiliriz: veya veya .II. Lemma açıktır. III. Lemma benzer şekilde kanıtlandığında, yalnızca ilk özelliğin eşitsizliğine göre işaretin tersiyle değiştirilmesi gerekir (durum 1b).

2 Gerçek sayılar kümesinde üstel fonksiyon

Tanım 2. a keyfi bir gerçek sayı olsun, yani . 'ye yakınsayan bir rasyonel sayılar dizisi olsun. Açıkçası böyle bir sıralama her zaman vardır. O halde , her zaman mevcuttur ve sıra seçimine bağlı değildir.

Bu durum araştırma açısından ilgi çekici değildir, çünkü .

Teorem 1. Gerçel sayılar kümesindeki bir üstel fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir: 1) sayı doğrusu üzerindeki her noktada sürekli; 2) sayı doğrusu üzerindeki kesin artışlar ve kesin azalmalar için 3) ; 4) , ; 5) a) ;b) ;6)a) ;b) .

Belge: 1. özellik1. Şu bilinmektedir: .2. Bu ifade reel sayılar için de geçerlidir.3. Rasgele bir gerçel sayı olsun ve , , gerçel sayılar kümesinde üstel bir fonksiyon olsun.4. Argümanın şu şekilde değiştiği bir noktada fonksiyonun artışını bulalım: .

5. Rasyonel sayılar kümesindeki üstel fonksiyon lemmasına göre: eşitsizliği karşılayan ), aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: , ve , .6 için. 5. noktadaki eşitsizliğin her iki tarafını da pozitif bir sayıyla çarpalım: 0,7. Fonksiyonun artışını ve son eşitsizliği karşılaştıralım, for , yani. yani bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin 5 numaralı tanımına göre, fonksiyon .8 noktasında süreklidir. Nokta keyfi olarak seçildiği için fonksiyon sayı doğrusu üzerinde herhangi bir noktada süreklidir.

Belge: 2. özellik1. Kesinlik için ve .2 olsun. Reel sayılar kümesinde rasyonel sayıların yoğunluğundan dolayı rasyonel sayılar vardır ve öyle ki

3. İki rasyonel sayı dizisi seçelim ve böylece ve , ve böylece 0,4 için. Rasyonel sayılar kümesindeki üstel fonksiyonun ilk özelliğine dayanarak şunu yazabiliriz:

5. Son eşitsizliğin (üslü) limitine geçelim: ; ; ; bu nedenle gerçek sayılar kümesindeki üstel fonksiyonun tanımına dayalıdır: ; ; .6. 4. noktadaki eşitsizlik şu şekilde olacaktır: veya .7. Ve artan bir fonksiyonun tanımına dayanarak, bu nedenle, 'de kesinlikle artar.

Not 1. Durum benzer şekilde ele alınır.

Not 2. Fonksiyon grafikleri şöyle görünür:

Belge: 3. özellikler1. Öyle rasyonel sayı dizileri olsun ki, ve bu nedenle, iki yakınsak dizinin toplamının limiti teoremine dayanmaktadır.2. O halde reel sayılar kümesindeki üstel fonksiyonun tanımı gereği, .3. Rasyonel sayılar kümesindeki üstel fonksiyonun 2 numaralı özelliğine göre, bu nedenle a>0.

Sonuç 1. Herhangi bir reel sayı için aşağıdaki eşitlik geçerlidir: dolayısıyla, . 2. Bu nedenle.

Belge: 4. özellik

I.1. Pozitif bir tamsayı olsun, yani. .2. Üstel fonksiyonun 2 numaralı özelliğini rasyonel sayılar kümesinde bir kez daha uygulayalım: Bu nedenle, .

II.1. , , burada pozitif bir tamsayı, 0,2 olsun. Şunu kanıtlayalım: , yani. sayının kuvvetinin kökü olan: .3. Eşitliğe ve bir kökün tanımına dayanarak: if , Then . Veya . Buradan, .

III.1. , , nerede .2 olsun. Daha önce kanıtlanmış olanlara dayanarak şunu yazabiliriz: . Buradan, .

IV. O zaman şimdi izin ver. Buradan, .

V. Açıktır ki .Sonuç: böylece kanıtlanmıştır ki , : .

VI.1. .2 olsun. Aşağıdakilere yakınsayan rastgele bir rasyonel sayılar dizisini düşünün: .3. O halde eşitlikten dolayı aşağıdakiler meydana gelecektir:

4. O halde, reel sayılar kümesindeki üstel fonksiyonun tanımına uygun olarak şunu yazabiliriz: a) ; b) , çünkü .5. 3. noktadaki eşitlikteki limite geçelim:

6. 4. paragrafa uygun olarak yazılı eşitliği yeniden yazıyoruz: , .

Belge: 5. özellikI.1. Bunu 0,2 için kanıtlayalım. .3 olsun. O halde , .4. O halde (Bernoulli eşitsizliğine göre) .5. Bunun için 0,6. Eğer , a , o zaman at , dolayısıyla, sonsuz büyük bir fonksiyonun tanımı (bir fonksiyonun sonsuzdaki sonsuz sınırı) ile eşdeğerdir.

II.1. Eğer ise, o zaman 0,2 karşılanır. O zamandan beri, yani. .3. Bu nedenle .4. Eğer ve , o zaman , bu nedenle, özellikle sıkıştırılmış değişken teoremi temelinde.

Belge: 6. özellik1. 0,2'de. İspat, 5 numaralı mülkiyet ispatına benzer şekilde gerçekleştirilir.

Modül

TERS FONKSİYONUN SÜREKLİLİĞİ

Tanım 1.İzin vermek F– kümeler arasındaki yazışma X Ve e. Tüm çiftlerin kümesi (( y,x)| (x,y)Î F) denir için ters yazışma uyumluluk F ve belirlenmiş F –1 .

Tanım 2. Eşleşirse F Ve F–1 fonksiyonlardır, ardından fonksiyon F isminde geri dönüşümlü, A F –1 –tersi fonksiyon için F .

Fonksiyonlar F Ve F–1 karşılıklı olarak terstir çünkü ( F –1) –1 = F ve ekran

f: X e bire birdir.

Karşılıklı ters fonksiyonların özellikleri:

1. D(F -1) = e(F), e(F -1) = D(F).

2. F –1 (F(X)) = X "XОD( F); F(F –1 (sen)) = sen "senÎ e(F).

3. Fonksiyon grafikleri F Ve F–1 – düz bir çizgiye göre simetrik sen = X.

Aşağıdaki teoremi kanıtsız kabul edelim

Teorem 1. Eğer fonksiyon F tanım alanının bire bir eşlenmesidir D(F) değer aralığına e(F), o zaman ters yazışması F–1 – işlev.

Teorem 2 ( ters fonksiyonun varlığı ve sürekliliği üzerine). F fonksiyonu, bir aralık olan D(f) tanımının tanım kümesinde tam olarak artan (azalan) ve sürekli olsun. O halde ters yazışma f –1, artan (azalan) fonksiyonudur ve D(f) tanım bölgesinde süreklidir. –1 ) = E(f), bu aynı zamanda aralıktır.

Not Bolzano-Cauchy teoremi II'nin sonucuna göre, bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun değer aralığı E(f) = D(f–1) – aralık.

Kanıt Bunu 3 aşamada artan bir fonksiyon için gerçekleştireceğiz.

Aşama 1.İzin vermek F- artan, f olduğunu kanıtlayalım –1 - işlev yani bunu herkese göstereceğiz

senÎ D(F –1) = e(F) tek bir değere karşılık gelir XÎ e(F–1) = D( F).

Bazıları için tam tersini varsayalım. senÎ e(F) ikiye karşılık gelir x 1, x 2Î D(F) öyle ki f(x1) = sen і f(x2)= sen, Ancak x 1 ≠ x 2. Kesinlik için izin ver x 1< x 2. Fonksiyonun artması durumundan Fşu şekildedir f(x1) < f(x2)Û sen< y o ama bu imkansızdır.

Aşama 2.f olduğunu kanıtlayalım –1 - artan etki alanındaki işlev D(F –1) = e(F). Bolluk içinde e(F) herhangi birini alalım 1'de Ve saat 2'deÖyle ki 1'de < saat 2'de ve bunu göster F –1 (1'de)< F –1 (saat 2'de).

Tam tersini varsayalım: F –1 (1'de) ³ F –1 (2'de). Artan fonksiyon nedeniyle F işaretleyeceğiz

f(f –1 (y 1)) ³ f(f –1 (2'de)) Þ y 1 ³ y 2, bu durumla çelişiyor 1'de < saat 2'de. Bu fonksiyondaki artışı kanıtlar F –1 .

Aşama 3.Diyelim ki f fonksiyonu –1 E'de sürekli(F).

Bunu kanıtladık F–1 – aralıkta artan e(F) işlevi, değerlerinin kümesi e(F -1) = D(F) teoremin koşullarına göre – bir aralık. Daha sonra T.2 §4 ile F–1 – sürekli fonksiyon açık E(f). ◄

Örnek 1. Bir fonksiyon fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulun F (X) = 2X - 4.

Çözüm.İşlev F (X) = 2X- 4 – sürekli ve artan D(F) = R. T.2'ye göre yine sürekli olan ve artan bir ters fonksiyon vardır. e(F) = R. Fonksiyonun formülünü bulalım F –1 (en), bunun için ifade ediyoruz X = en/2 + 2 veya

sen = X/2 + 2 (X Ve en yerleri değiştirildi).

Örnek 2. Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulun

ve grafiğini oluşturun.

Çözüm. D(F) = R - açıklık. Fonksiyon (1)'i Þ Þ biçiminde yeniden yazalım. e y-e-y= 2XÞ e y - 1/e y= 2X Þ e 2 yıl - 2xe y- 1 = 0 ½gösterir e y = t> 0½Þ

Teorem(Ters fonksiyonun varlığı ve sürekliliği üzerine). (a,b) aralığında sürekli artan (azalan) bir fonksiyon y=f(x) tanımlansın. Haydi belirtelim

Daha sonra (A, B) aralığında, bu aralıkta artan (azalan) ve bu aralığın her noktasında sürekli olan bir ters fonksiyon tanımlanır.

SORU 22: Türevlenebilir fonksiyonlar. Türevlenebilirlik kriteri

Tanım . İşlev F, bir noktanın yakınında tanımlanan X, isminde türevlenebilir bu noktada eğer formül doğruysa

f (x vuruş+ ▲ x vuruş)- f (x üssü)=S Ai▲ xi+Sai (▲ x vuruş)▲ xi (3)

Nerede ben bir sayılar ve işlevler ai'dir (▲ x vuruş) koşulu karşılamak

yapay zeka (▲ x vuruş)→ 0 (Ben=1,2 ,…, N) ▲'da X→0 . (4)

Teorem . Fonksiyona izin ver F noktada diferansiyellenebilir X . O zaman bu noktada kısmi türevleri vardır ve eşitlikler sağlanır

(df(x üssü))/ (dxi)= Ai(i=1,2,…,n).

Kanıt . Formül (3)'ten şu sonuç çıkıyor:

(f (x1 ,...,xi-1 ,xi+▲ xi ,xi+1,...,xn)- f (x1 ,...,xi-1 ,xi ,xi+1 ,..., x n))/(▲Xi)= Ai+αi(▲Xi).

▲x'te limite geçme ben → 0, eşitliği elde ederiz (5).

Teorem (bir fonksiyonun türevlenebilirliği için yeterli koşullar). Eğer fonksiyon F noktanın bazı komşuluklarındaki tüm değişkenlere göre kısmi türevleri vardır x vuruşu , ve tüm bu kısmi türevler tam da süreklidir

nokta x vuruşu , o zaman belirtilen fonksiyon bu noktada türevlenebilirdir.

Teorem ( bir fonksiyonun türevlenebilirliği için kriter). İşlev F(X), noktanın komşuluğunda tanımlanmış X, ancak ve ancak türevi mevcutsa bu noktada türevlenebilirdir F׳( X). Aynı zamanda F= F׳( X).

Kanıt . Bir türevi olsun F׳( X). Haydi belirtelim

a(t) =(((f(t)-f(x)) /(t-x)) - F'(X)

f(t) =f (x)+ (t-x) f׳(x)+ (t-x)α (t),(α(t)→0). (2)

Şimdi eşitlik (1) sağlansın. Daha sonra

((f(t)-f(x)) /(t-x) = F+ α(t) ,limα(t) = 0.

Bu nedenle, bir türev var F׳( X)= F.

SORU 23: İki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve bölümünün türevi.

Toplam ve farkın türevi

Türevlerini bildiğimiz f(x) ve g(x) fonksiyonları verilsin. Örneğin yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Daha sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

1. (f + g)' = f ' + g '

2. (f − g)' = f ' − g '

Yani iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla şart olabilir. Örneğin, (f + g + h)' = f' + g' + h'.

Açıkça söylemek gerekirse cebirde “çıkarma” kavramı yoktur. “Negatif unsur” diye bir kavram var. Bu nedenle, f - g farkı, f + (−1) g toplamı olarak yeniden yazılabilir ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

· Görev . Fonksiyonların türevlerini bulun: f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Çözüm. f(x) fonksiyonu iki temel fonksiyonun toplamıdır, dolayısıyla:

f '(x) = (x 2 + sin x)' = (x 2)' + (sin x)' = 2x + cos x;

g(x) fonksiyonu için de benzer şekilde mantık yürütüyoruz. Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

g '(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)' = (x 4 + 2x 2 + (−3))' = (x 4)' + (2x 2)' + (−3)' = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).

Cevap:
f '(x) = 2x + çünkü x;
g '(x) = 4x · (x 2 + 1).

Ürünün türevi

Bir ürünün türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(fg)' = f'g + fg'

Formül basit ama sıklıkla unutuluyor. Ve sadece okul çocukları değil, öğrenciler de. Sonuç yanlış çözülmüş problemlerdir.

· Görev . Fonksiyonların türevlerini bulun: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x − 7) e x .

Çözüm

Cevap:
g '(x) = x(x + 9) e x .

Lütfen son adımda türevin çarpanlara ayrıldığını unutmayın. Resmi olarak bunun yapılmasına gerek yoktur, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, fonksiyonu incelemek için hesaplanır. Bu, türevin ayrıca sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin belirleneceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, bir ifadenin çarpanlara ayrılması daha iyidir.

Bölümün türevi

İlgilendiğimiz kümede f(x) ve g(x) olmak üzere iki fonksiyon ve g(x) ≠ 0 varsa, yeni bir h(x) = f(x)/g(x) fonksiyonu tanımlayabiliriz. . Böyle bir fonksiyonun türevini de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Neden g2? Ve bu yüzden! Bu en karmaşık formüllerden biridir; şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle spesifik örneklerle incelemek daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x − 7) e x .

Çözüm. f(x) fonksiyonu iki temel fonksiyonun çarpımı olduğundan her şey basittir:

f '(x) = (x 3 çünkü x)' = (x 3)' çünkü x + x 3 (çünkü x)' = 3x 2 çünkü x + x 3 (− sin x) = x 2 · (3cos x − x · günah x)

g(x) fonksiyonunun biraz daha karmaşık bir birinci çarpanı vardır, ancak bu genel şemayı değiştirmez. Açıkçası, g(x) fonksiyonunun ilk çarpanı bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

g '(x) = ((x 2 + 7x − 7) e x)' = (x 2 + 7x − 7)' e x + (x 2 + 7x − 7) (e x)' = (2x + 7 ) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) · e x .

Cevap:
f '(x) = x 2 · (3cos x − x · sin x);
g '(x) = x(x + 9) e x