Bu videoyla türevlerle ilgili uzun bir ders serisine başlıyorum. Bu ders birkaç bölümden oluşmaktadır.
Öncelikle genel olarak türevlerin ne olduğunu ve nasıl hesaplanacağını size anlatacağım ama karmaşık bir akademik dille değil, kendi anladığım ve öğrencilerime nasıl anlattığımı anlatacağım. İkinci olarak, toplamların türevlerini, farkların türevlerini ve bir güç fonksiyonunun türevlerini arayacağımız problemlerin çözümü için en basit kuralı ele alacağız.
Daha karmaşık birleştirilmiş örneklere bakacağız ve bunlardan özellikle kökleri ve hatta kesirleri içeren benzer problemlerin bir kuvvet fonksiyonunun türevi formülü kullanılarak çözülebileceğini öğreneceksiniz. Ek olarak elbette birçok sorun ve çeşitli karmaşıklık düzeylerinde çözüm örnekleri olacaktır.
Genel olarak başlangıçta 5 dakikalık kısa bir video kaydedecektim ama nasıl sonuçlandığını görüyorsunuz. Bu kadar şarkı sözü yeter - hadi işe koyulalım.
Türev nedir?
O halde uzaktan başlayalım. Yıllar önce, ağaçlar daha yeşil ve hayat daha eğlenceliyken matematikçiler şunu düşündüler: Grafiğiyle tanımlanan basit bir fonksiyonu düşünün, buna $y=f\left(x \right)$ adını verin. Elbette grafik kendi başına mevcut değildir, dolayısıyla $y$ ekseninin yanı sıra $x$ eksenlerini de çizmeniz gerekir. Şimdi bu grafikte herhangi bir noktayı seçelim, kesinlikle herhangi bir noktayı. Abscissa'ya $((x)_(1))$ diyelim, ordinat tahmin edebileceğiniz gibi $f\left(((x)_(1)) \right)$ olacaktır.
Aynı grafiğin başka bir noktasına bakalım. Hangisi olduğu önemli değil, asıl önemli olan orijinalinden farklı olmasıdır. Yine bir apsisi var, buna $((x)_(2))$ diyelim ve ayrıca bir ordinat - $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Yani iki noktamız var: farklı apsislere ve dolayısıyla farklı fonksiyon değerlerine sahipler, ancak ikincisi gerekli değil. Ancak asıl önemli olan planimetri kursundan bildiğimizdir: iki noktadan düz bir çizgi çizebilirsiniz, üstelik sadece bir tane. Öyleyse bunu gerçekleştirelim.
Şimdi ilkinden apsis eksenine paralel düz bir çizgi çizelim. Bir dik üçgen elde ediyoruz. Buna $ABC$, dik açıya $C$ diyelim. Bu üçgenin çok ilginç bir özelliği var: Gerçek şu ki, $\alpha $ açısı aslında $AB$ düz çizgisinin apsis ekseninin devamı ile kesiştiği açıya eşittir. Kendiniz karar verin:
- $AC$ düz çizgisi yapı itibarıyla $Ox$ eksenine paraleldir,
- $AB$ çizgisi $\alpha $ altında $AC$ ile kesişiyor,
- dolayısıyla $AB$, $Ox$ ile aynı $\alpha $ altında kesişir.
$\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ hakkında ne söyleyebiliriz? Belirli bir şey yok, ancak $ABC$ üçgeninde $BC$ kenarının $AC$ kenarına oranının bu açının tanjantına eşit olması dışında. O halde bunu yazalım:
Elbette bu durumda $AC$ kolayca hesaplanır:
Benzer şekilde $BC$ için:
Başka bir deyişle aşağıdakileri yazabiliriz:
\[\operatöradı(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1))))\]
Artık bunların hepsini aradan çıkardığımıza göre, grafiğimize geri dönelim ve yeni $B$ noktasına bakalım. Eski değerleri silip $B$'ı $((x)_(1))$'a yakın bir yere alalım. Abscissa'sını yine $((x)_(2))$ ile ve ordinatını $f\left(((x)_(2)) \right)$ ile gösterelim.
Şimdi içindeki küçük $ABC$ ve $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ üçgenimize tekrar bakalım. Bunun tamamen farklı bir açı olacağı oldukça açık, teğet de farklı olacak çünkü $AC$ ve $BC$ parçalarının uzunlukları önemli ölçüde değişti, ancak açının tanjantı formülü hiç değişmedi. - bu hala fonksiyondaki bir değişiklik ile argümandaki bir değişiklik arasındaki ilişkidir.
Son olarak, $B$'ı orijinal $A$ noktasına yaklaştırmaya devam ediyoruz, bunun sonucunda üçgen daha da küçülecek ve $AB$ parçasını içeren düz çizgi giderek daha çok grafiğine teğet gibi görünecektir. işlev.
Sonuç olarak, eğer noktaları birbirine yaklaştırmaya devam edersek, yani mesafeyi sıfıra indirirsek, o zaman $AB$ düz çizgisi gerçekten de belirli bir noktada grafiğe teğet haline gelecektir ve $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$, normal bir üçgen elemanından grafiğe teğet ile $Ox$ ekseninin pozitif yönü arasındaki açıya dönüşecektir.
Ve burada sorunsuz bir şekilde $f$ tanımına geçiyoruz, yani bir fonksiyonun $((x)_(1))$ noktasındaki türevi, $\alpha $ açısının teğeti ile arasındaki $\alpha $ açısının tanjantıdır. $((x)_( 1))$ noktasındaki grafik ve $Ox$ ekseninin pozitif yönü:
\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatöradı(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]
Grafiğimize dönecek olursak, grafik üzerinde herhangi bir noktanın $((x)_(1))$ olarak seçilebileceğini belirtelim. Örneğin, aynı başarı ile şekilde gösterilen noktadaki darbeyi kaldırabiliriz.
Eksenin teğeti ile pozitif yönü arasındaki açıya $\beta$ diyelim. Buna göre, $((x)_(2))$ içindeki $f$, bu $\beta $ açısının tanjantına eşit olacaktır.
\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]
Grafikteki her noktanın kendi teğeti ve dolayısıyla kendi fonksiyon değeri olacaktır. Bu durumların her birinde, bir farkın veya toplamın türevini veya bir kuvvet fonksiyonunun türevini aradığımız noktaya ek olarak, ondan biraz uzakta bulunan başka bir noktayı almak ve sonra onu yönlendirmek gerekir. bu, orijinaline işaret eder ve elbette, bu süreçte böyle bir hareketin eğim açısının teğetini nasıl değiştireceğini öğrenin.
Bir güç fonksiyonunun türevi
Ne yazık ki böyle bir tanım bize hiç yakışmıyor. Tüm bu formüller, resimler, açılar bize gerçek problemlerde gerçek türevin nasıl hesaplanacağı konusunda en ufak bir fikir vermiyor. Bu nedenle, resmi tanımdan biraz uzaklaşalım ve gerçek sorunları zaten çözebileceğiniz daha etkili formül ve teknikleri ele alalım.
En basit yapılarla, yani $y=((x)^(n))$ biçimindeki işlevlerle başlayalım, yani. güç fonksiyonları. Bu durumda şunu yazabiliriz: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Yani üssün derecesi ön çarpanda gösterilir, ve üssün kendisi birim azaltılır. Örneğin:
\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]
İşte başka bir seçenek:
\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]
Bu basit kuralları kullanarak aşağıdaki örneklerin dokunuşunu ortadan kaldırmaya çalışalım:
Böylece şunu elde ederiz:
\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
Şimdi ikinci ifadeyi çözelim:
\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ asal ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]
Elbette bunlar çok basit işlerdi. Ancak gerçek sorunlar daha karmaşıktır ve yalnızca işlev dereceleriyle sınırlı değildir.
Yani kural 1 - eğer bir fonksiyon diğer ikisi şeklinde sunulursa, bu toplamın türevi türevlerin toplamına eşittir:
\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]
Benzer şekilde, iki fonksiyonun farkının türevi, türevlerin farkına eşittir:
\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]
\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ asal ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]
Ek olarak, başka bir önemli kural daha vardır: Eğer bazı $f$'ın önünde bu fonksiyonun çarpıldığı bir $c$ sabiti varsa, o zaman tüm bu yapının $f$'si aşağıdaki şekilde hesaplanır:
\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]
\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ asal ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
Son olarak, çok önemli bir kural daha: problemlerde genellikle $x$ içermeyen ayrı bir terim bulunur. Mesela bugün ifadelerimizde bunu gözlemleyebiliyoruz. Bir sabitin, yani herhangi bir şekilde $x$'a bağlı olmayan bir sayının türevi her zaman sıfıra eşittir ve $c$ sabitinin neye eşit olduğunun hiçbir önemi yoktur:
\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]
Örnek çözüm:
\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]
Tekrar önemli noktalar:
- İki fonksiyonun toplamının türevi her zaman türevlerin toplamına eşittir: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
- Benzer nedenlerden dolayı, iki fonksiyonun farkının türevi iki türevin farkına eşittir: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
- Bir fonksiyonun sabit bir faktörü varsa, bu sabit türev işareti olarak çıkarılabilir: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
- Fonksiyonun tamamı bir sabitse, türevi her zaman sıfırdır: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.
Gerçek örneklerle her şeyin nasıl çalıştığını görelim. Bu yüzden:
Şunları yazıyoruz:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(hizala)\]
Bu örnekte hem toplamın türevini hem de farkın türevini görüyoruz. Toplamda türev $5((x)^(4))-6x$'a eşittir.
Gelelim ikinci fonksiyona:
Çözümü yazalım:
\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]
İşte cevabı bulduk.
Üçüncü fonksiyona geçelim; bu daha ciddi:
\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(hizala)\]
Cevabı bulduk.
En karmaşık ve en uzun olan son ifadeye geçelim:
Yani şunu düşünüyoruz:
\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]
Ancak çözüm burada bitmiyor, çünkü bizden sadece bir konturu kaldırmamız değil, aynı zamanda belirli bir noktadaki değerini hesaplamamız da isteniyor, bu nedenle ifadede $x$ yerine −1 yazıyoruz:
\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
Daha da ileri gidelim ve daha da karmaşık ve ilginç örneklere geçelim. Gerçek şu ki, güç türevini çözme formülü $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ genellikle inanıldığından daha geniş bir kapsama sahiptir. Onun yardımıyla kesirler, kökler vb. ile örnekleri çözebilirsiniz. Şimdi yapacağımız şey bu.
Başlangıç olarak bir kuvvet fonksiyonunun türevini bulmamıza yardımcı olacak formülü bir kez daha yazalım:
Ve şimdi dikkat: şu ana kadar sadece doğal sayıları $n$ olarak ele aldık, ancak hiçbir şey bizi kesirleri ve hatta negatif sayıları dikkate almaktan alıkoyamaz. Örneğin aşağıdakileri yazabiliriz:
\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ asal ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\bit(hizala)\]
Karmaşık bir şey yok, o halde bu formülün daha karmaşık sorunları çözerken bize nasıl yardımcı olacağını görelim. Yani bir örnek:
Çözümü yazalım:
\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3))))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(hizala)\]
Örneğimize geri dönelim ve şunu yazalım:
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]
Bu çok zor bir karar.
İkinci örneğe geçelim; sadece iki terim var ama her biri hem klasik dereceyi hem de kökleri içeriyor.
Şimdi, ek olarak kökü de içeren bir kuvvet fonksiyonunun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]
Her iki terim de hesaplandı, geriye kalan tek şey nihai cevabı yazmak:
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
Cevabı bulduk.
Bir kesirin kuvvet fonksiyonu aracılığıyla türevi
Ancak formülün bir güç fonksiyonunun türevini çözme olanakları burada bitmiyor. Gerçek şu ki, onun yardımıyla sadece köklü örnekleri değil aynı zamanda kesirli örnekleri de hesaplayabilirsiniz. Bu, tam da bu tür örneklerin çözümünü büyük ölçüde basitleştiren, ancak genellikle yalnızca öğrenciler tarafından değil öğretmenler tarafından da göz ardı edilen ender fırsattır.
Şimdi iki formülü aynı anda birleştirmeye çalışacağız. Bir yandan, bir güç fonksiyonunun klasik türevi
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Öte yandan, $\frac(1)(((x)^(n)))$ biçimindeki bir ifadenin $((x)^(-n))$ olarak temsil edilebileceğini biliyoruz. Buradan,
\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1))))\]
\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2))))\]
Böylece payın sabit, paydanın derece olduğu basit kesirlerin türevleri de klasik formül kullanılarak hesaplanır. Bunun pratikte nasıl çalıştığını görelim.
Yani ilk fonksiyon:
\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ sağ))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]
İlk örnek çözüldü, ikinciye geçelim:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x))^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ left(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ bitiş(hizalama)\]...
Şimdi tüm bu terimleri tek bir formülde topluyoruz:
\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]
Bir cevap aldık.
Ancak devam etmeden önce orijinal ifadelerin kendilerinin yazılma şekline dikkatinizi çekmek isterim: İlk ifadede $f\left(x \right)=...$ yazdık, ikincide: $y =...$ Birçok öğrenci farklı kayıt biçimleri gördüklerinde kayboluyor. $f\left(x \right)$ ve $y$ arasındaki fark nedir? Gerçekten hiçbir şey. Bunlar sadece aynı anlama sahip farklı girişlerdir. $f\left(x \right)$ dediğimizde, her şeyden önce bir fonksiyondan bahsediyoruz ve $y$ hakkında konuştuğumuzda çoğunlukla bir fonksiyonun grafiğini kastediyoruz. Aksi takdirde bu aynı şeydir, yani her iki durumda da türev aynı kabul edilir.
Türevlerle ilgili karmaşık problemler
Sonuç olarak, bugün ele aldığımız her şeyi kullanan birkaç karmaşık birleşik problemi ele almak istiyorum. Kökleri, kesirleri ve toplamları içerirler. Ancak bu örnekler yalnızca bugünkü video eğitiminde karmaşık olacaktır çünkü gerçekten karmaşık türev fonksiyonları ileride sizi bekliyor olacak.
Bugünkü video dersinin iki birleşik görevden oluşan son kısmı. Bunlardan ilkiyle başlayalım:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]
Fonksiyonun türevi:
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^) (2))))\]
İlk örnek çözüldü. İkinci sorunu ele alalım:
İkinci örnekte de aynı şekilde ilerliyoruz:
\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\astar vurmak ))\]
Her terimi ayrı ayrı sayalım:
\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]
Tüm terimler hesaplanmıştır. Şimdi orijinal formüle dönüyoruz ve üç terimin tamamını topluyoruz. Nihai cevabın şu şekilde olacağını anlıyoruz:
\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]
Ve hepsi bu. Bu bizim ilk dersimizdi. Aşağıdaki derslerde daha karmaşık yapılara bakacağız ve ayrıca neden türevlere ihtiyaç duyulduğunu da öğreneceğiz.
Üstel (e üzeri x kuvveti) ve üstel fonksiyonun (a üzeri x kuvveti) türevi için formüllerin kanıtı ve türetilmesi. e^2x, e^3x ve e^nx'in türevlerini hesaplama örnekleri. Yüksek dereceli türevler için formüller.
Bir üssün türevi üssün kendisine eşittir (e üzeri x'in türevi e üzeri x'e eşittir):
(1)
(e x )' = e x.
Üstel bir fonksiyonun a tabanlı türevi, fonksiyonun kendisinin a'nın doğal logaritması ile çarpımına eşittir:
(2)
.
Üstel e üzeri x kuvvetinin türevi için formülün türetilmesi
Üstel, güç tabanı aşağıdaki limit olan e sayısına eşit olan üstel bir fonksiyondur:
.
Burada ya doğal sayı ya da gerçek sayı olabilir. Daha sonra üstel sayının türevi için formül (1)'i türetiyoruz.
Üstel türev formülünün türetilmesi
Üstel sayıyı, e üzeri x'i düşünün:
y = ex.
Bu fonksiyon herkes için tanımlanmıştır.
(3)
.
x değişkenine göre türevini bulalım.
Tanım gereği türev aşağıdaki limittir: Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgeyecek şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için aşağıdaki gerçeklere ihtiyacımız var:
(4)
;
A)Üs özelliği:
(5)
;
B) Logaritmanın özelliği:
(6)
.
Burada limiti olan bir fonksiyon var ve bu limit pozitif.
G)İkinci dikkat çekici sınırın anlamı:
(7)
.
Bu gerçekleri limitimize (3) uygulayalım. Özelliği (4) kullanıyoruz:
;
.
Bir değişiklik yapalım.
Daha sonra ; .
.
Üstel sayının sürekliliği nedeniyle,
.
Bu nedenle, ne zaman , .
.
Sonuç olarak şunu elde ederiz:
Bir değişiklik yapalım.
.
Daha sonra . , tarihinde. Ve elimizde:
.
Logaritma özelliğini (5) uygulayalım:
.
.
Daha sonra
(6) özelliğini uygulayalım. Pozitif bir limit olduğundan ve logaritma sürekli olduğundan:
(8)
Burada da dikkat çeken ikinci limiti (7) kullandık. Daha sonra
Böylece üstelin türevi için formül (1)'i elde ettik. Üstel bir fonksiyonun türevinin formülünün türetilmesiŞimdi a dereceli üstel fonksiyonun türevi için formül (2)'yi türetiyoruz.
;
.
Buna inanıyoruz ve.
.
Daha sonra üstel fonksiyon
Herkes için tanımlanmış.
(14)
.
(1)
.
Formül (8)'i dönüştürelim. Bunun için kullanacağız
;
.
üstel fonksiyonun özellikleri
.
ve logaritma.
Böylece formül (8)'i aşağıdaki forma dönüştürdük:
.
e üzeri x'in yüksek dereceli türevleri
(15)
.
Şimdi daha yüksek mertebeden türevleri bulalım. Önce üsse bakalım:
;
.
Fonksiyon (14)'ün türevinin fonksiyon (14)'ün kendisine eşit olduğunu görüyoruz. (1)'in farklılığını alarak ikinci ve üçüncü dereceden türevleri elde ederiz:
.
Bu, n'inci dereceden türevin de orijinal fonksiyona eşit olduğunu gösterir:
Üstel fonksiyonun daha yüksek mertebeden türevleri
Şimdi derece tabanı a olan üstel bir fonksiyonu düşünün:
Birinci dereceden türevini bulduk:
(15)'in farklılığını alarak ikinci ve üçüncü dereceden türevleri elde ederiz:
Her farklılaşmanın orijinal fonksiyonun çarpımına yol açtığını görüyoruz. Bu nedenle, n'inci dereceden türev aşağıdaki forma sahiptir: Güç-üstel fonksiyonun tanımı. Türevini hesaplamak için bir formül türetme. Kuvvet-üstel fonksiyonların türevlerini hesaplama örnekleri ayrıntılı olarak analiz edilmiştir. Bu nedenle, n'inci dereceden türev aşağıdaki forma sahiptir:.
Güç-üstel fonksiyon kuvvet fonksiyonu biçiminde olan bir fonksiyondur y = sen v ,
burada u tabanı ve v üssü x değişkeninin bazı fonksiyonlarıdır:
.
sen = sen (X).
;
v = v
(2)
,
Bu fonksiyona aynı zamanda denir
üstel
.
veya .
(3)
.
Üs-üstel fonksiyonunun üstel biçimde temsil edilebileceğini unutmayın: karmaşık fonksiyonların türevini alma kuralları ve çalışır:
;
.
(3)'te yerine koyarız:
.
Buradan
.
Böylece kuvvet üstel fonksiyonunun türevini bulduk:
(1)
.
Eğer üs sabitse, o zaman .
.
O halde türev, karmaşık bir güç fonksiyonunun türevine eşittir:
.
Derecenin tabanı sabitse, o zaman .
O zaman türev karmaşık bir üstel fonksiyonun türevine eşittir:
ve x'in fonksiyonları olduğunda, üstel fonksiyonun türevi, karmaşık güç ve üstel fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir.
(2)
,
Türevin karmaşık bir üstel fonksiyona indirgenerek hesaplanması
(4)
.
Şimdi üstel fonksiyonun türevini bulalım
.
bunu karmaşık bir üstel fonksiyon olarak gösteriyoruz:
.
Ürünü farklılaştıralım:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için kuralı uyguluyoruz:
Ve yine formül (1)'i elde ettik.
.
Örnek 1
Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulun:
Çözüm .
Logaritmik türevi kullanarak hesaplıyoruz. Orijinal fonksiyonun logaritmasını alalım:
;
.
(A1.1)
.
Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Ürün türevi formülünü kullanarak şunları elde ederiz:
,
Farklılaştırıyoruz (A1.1):
.
O zamandan beri
O
Cevap
.
Örnek 1
Örnek 2
Fonksiyonun türevini bulun .
- Türev hesaplama
Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri tablosu
Verilen formülleri referans değerleri olarak kullanın. Diferansiyel denklemlerin ve problemlerin çözümünde yardımcı olacaklardır. Resimde, basit fonksiyonların türevleri tablosunda, kullanımı anlaşılır bir biçimde bir türev bulmanın ana durumlarının bir "kopya sayfası" vardır, yanında her durum için açıklamalar vardır.Basit fonksiyonların türevleri
1. Bir sayının türevi sıfırdır
с' = 0
Örnek::
5' = 0
2. Açıklama Türev, bir fonksiyonun argümanı değiştiğinde değerinin değişme hızını gösterir. Sayı hiçbir koşulda hiçbir şekilde değişmediğinden değişim oranı her zaman sıfırdır.
Bir değişkenin türevi
Örnek::
bire eşit
x' = 1
(x) argümanının her bir artışıyla, fonksiyonun değeri (hesaplamanın sonucu) aynı miktarda artar. Dolayısıyla y = x fonksiyonunun değerindeki değişim oranı, argümanın değerindeki değişim oranına tam olarak eşittir.
3. Bir değişkenin ve bir faktörün türevi bu faktöre eşittir
сx` = с
Örnek:
(3x)' = 3:
(2x)' = 2 Açıklama Bu durumda, fonksiyon argümanı her değiştiğinde ( X bir kere. Böylece, argümanın değişim hızına göre fonksiyon değerinin değişim hızı, değere tam olarak eşittir. X.
Buradan şu sonuç çıkıyor
(cx + b)" = c
yani y=kx+b doğrusal fonksiyonunun diferansiyeli (k) doğrusunun eğimine eşittir.
4. Bir değişkenin modulo türevi bu değişkenin modülüne oranına eşit
|x|"= x / |x| x ≠ 0 olması koşuluyla
Örnek::
Bir değişkenin türevi (bkz. formül 2) birliğe eşit olduğundan, modülün türevi yalnızca fonksiyonun değişim hızının değerinin başlangıç noktasından geçerken tersine değişmesi bakımından farklılık gösterir (bir grafik çizmeyi deneyin) y = |x| fonksiyonunun değerini kendiniz görün ve bu tam olarak hangi değerdir ve x / |x| ifadesini döndürür.< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - bir. Yani, x değişkeninin negatif değerleri için, argümandaki her artışla birlikte, fonksiyonun değeri tam olarak aynı değerde azalır ve pozitif değerler için tam tersine artar, ancak tamamen aynı değerde .
5. Bir değişkenin bir kuvvete göre türevi bu gücün bir sayısının çarpımına ve bir birim azaltılmış güce bağlı bir değişkene eşittir
(x c)"= cx c-1 x c ve cx c-1'in tanımlı olması ve c ≠ 0 olması şartıyla
3. Bir değişkenin ve bir faktörün türevi bu faktöre eşittir
(x 2)" = 2x
(x3)" = 3x2
Formülü hatırlamak için:
Değişkenin derecesini bir faktör olarak aşağı taşıyın ve ardından derecenin kendisini bir azaltın. Örneğin, x 2 için - ikisi x'in önündeydi ve sonra azaltılmış güç (2-1 = 1) bize basitçe 2x'i verdi. Aynı şey x 3 için de oldu - üçlüyü "aşağı doğru hareket ettiriyoruz", onu bir azaltıyoruz ve küp yerine bir karemiz var, yani 3x 2. Biraz "bilim dışı" ama hatırlaması çok kolay.
6.Bir kesrin türevi 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
3. Bir değişkenin ve bir faktörün türevi bu faktöre eşittir
Bir kesir negatif bir kuvvete yükselen bir şekilde temsil edilebildiğinden
(1/x)" = (x -1)" ise türev tablosunun 5. kuralındaki formülü uygulayabilirsiniz.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Bir kesrin türevi keyfi derece değişkeniyle paydada
(1/xc)" = - c / x c+1
3. Bir değişkenin ve bir faktörün türevi bu faktöre eşittir
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Kökün türevi(değişkenin karekök altındaki türevi)
(√x)" = 1 / (2√x) veya 1/2 x -1/2
3. Bir değişkenin ve bir faktörün türevi bu faktöre eşittir
(√x)" = (x 1/2)", kural 5'teki formülü uygulayabileceğiniz anlamına gelir
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Keyfi bir derecenin kökü altındaki bir değişkenin türevi
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
Bir güç fonksiyonunun türevinin formülünün türetilmesi (x üzeri a). X'in köklerinden türevler dikkate alınır. Daha yüksek dereceli bir güç fonksiyonunun türevinin formülü. Türev hesaplama örnekleri.
x üzeri a'nın türevi eşittir a çarpı x üzeri a eksi bir:
(1)
.
X'in n'inci kökünün m'inci kuvvetinin türevi:
(2)
.
Bir güç fonksiyonunun türevinin formülünün türetilmesi
Durum x > 0
x değişkeninin a üssüne sahip bir kuvvet fonksiyonunu düşünün:
(3)
.
Burada a keyfi bir gerçek sayıdır. Öncelikle olayı ele alalım.
Fonksiyon (3)'ün türevini bulmak için bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini kullanırız ve onu aşağıdaki forma dönüştürürüz:
.
Şimdi türevi şunu kullanarak buluyoruz:
;
.
Burada .
Formül (1) kanıtlanmıştır.
Derece n'nin kökünün m derecesine kadar türevi için formülün türetilmesi
Şimdi aşağıdaki formun kökü olan bir fonksiyonu düşünün:
(4)
.
Türevi bulmak için kökü bir kuvvet fonksiyonuna dönüştürürüz:
.
Formül (3) ile karşılaştırdığımızda şunu görüyoruz:
.
Daha sonra
.
Formül (1)'i kullanarak türevi buluyoruz:
(1)
;
;
(2)
.
Pratikte formül (2)'yi ezberlemeye gerek yoktur. İlk önce kökleri kuvvet fonksiyonlarına dönüştürmek ve daha sonra formül (1)'i kullanarak türevlerini bulmak çok daha uygundur (sayfanın sonundaki örneklere bakın).
Durum x = 0
Eğer ise, x = değişkeninin değeri için güç fonksiyonu tanımlanır. 0
. 0
Fonksiyon (3)'ün türevini x ='de bulalım.
.
. 0
:
.
Bunu yapmak için türevin tanımını kullanırız:
x = yerine koyalım
.
Bu durumda türev derken sağ taraftaki limiti kastediyoruz.
Böylece şunu bulduk:
Böylece şunu bulduk:
Buradan şunu açıkça görüyoruz ki , .
(1)
.
, tarihinde. 0
.
Bu sonuç aynı zamanda formül (1)'den de elde edilir:< 0
Dolayısıyla formül (1) x = için de geçerlidir.
(3)
.
Durum x
,
Fonksiyon (3)'ü tekrar düşünün:
A sabitinin belirli değerleri için, x değişkeninin negatif değerleri için de tanımlanır. 3
Yani a rasyonel bir sayı olsun. O zaman indirgenemez bir kesir olarak temsil edilebilir: 1
burada m ve n ortak böleni olmayan tam sayılardır.
.
Eğer n tek ise, o zaman x değişkeninin negatif değerleri için güç fonksiyonu da tanımlanır.
Örneğin, n =
.
ve m =
.
x'in küp köküne sahibiz:
.
Ayrıca x değişkeninin negatif değerleri için de tanımlanır.
.
Tanımlandığı a sabitinin rasyonel değerleri için güç fonksiyonunun (3) türevini bulalım. Bunu yapmak için x'i aşağıdaki biçimde hayal edin:
.
Daha sonra
.
Daha sonra ,
(1)
.
Türevi, sabiti türevin işaretinin dışına yerleştirerek ve karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulayarak buluruz:
Burada . Ancak
(3)
.
O zamandan beri
.
Yani formül (1) aşağıdakiler için de geçerlidir:
.
Yüksek dereceli türevler
;
.
Şimdi kuvvet fonksiyonunun yüksek mertebeden türevlerini bulalım Birinci dereceden türevi zaten bulduk: Türevin işareti dışındaki a sabitini alarak ikinci dereceden türevi buluruz:
.
Dikkat a bir doğal sayı ise, o zaman n'inci türev sabittir:
.
O zaman sonraki tüm türevler sıfıra eşittir:
,
.
Türev hesaplama örnekleri
Örnek
Fonksiyonun türevini bulun:
.
Örnek 1
Kökleri kuvvetlere dönüştürelim:
;
.
Daha sonra orijinal fonksiyon şu şekli alır:
.
Kuvvetlerin türevlerini bulma:
;
.
Sabitin türevi sıfırdır:
.