Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamusal önem amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Sistemi çöz iki bilinmeyenle - bu, verilen denklemlerin her birini karşılayan tüm değişken değer çiftlerini bulmak anlamına gelir. Bu çiftlerin her birine denir sistem çözümü.
Örnek:
\(x=3\);\(y=-1\) değer çifti ilk sistemin çözümüdür, çünkü bu üçleri ve eksileri sisteme yerleştirirken \(x\) ve \ yerine (y\), her iki denklem de doğru eşitliklere dönüşecektir \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( vakalar)\)
Ancak \(x=1\); \(y=-2\) - birinci sistemin çözümü değildir, çünkü ikame sonrasında ikinci denklem “yakınsamaz” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(case)\)
Bu tür çiftlerin genellikle daha kısa yazıldığını unutmayın: "\(x=3\); \(y=-1\)" yerine şu şekilde yazarlar: \((3;-1)\).
Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?
Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin üç ana yolu vardır:
- Değiştirme yöntemi.
-
\(\begin(case)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(case)\)
İkinci denklemde her terim çifttir, dolayısıyla denklemi \(2\)'ye bölerek basitleştiririz.
\(\begin(case)13x+9y=17\\6x-y=13\end(case)\)
Bu sistem aşağıdaki yollardan herhangi biriyle çözülebilir, ancak bana öyle geliyor ki ikame yöntemi burada en uygun olanı. İkinci denklemden y'yi ifade edelim.
\(\begin(case)13x+9y=17\\y=6x-13\end(case)\)
İlk denklemde \(y\) yerine \(6x-13\) yazalım.
\(\begin(case)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(case)\)
İlk denklem sıradan bir denklem haline geldi. Hadi çözelim.
Öncelikle parantezleri açalım.
\(\begin(case)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(case)\)
\(117\)'yi sağa taşıyıp benzer terimleri sunalım.
\(\begin(case)67x=134\\y=6x-13\end(case)\)
İlk denklemin her iki tarafını da \(67\)'ye bölelim.
\(\begin(case)x=2\\y=6x-13\end(case)\)
Yaşasın, \(x\)'i bulduk! Değerini ikinci denklemde yerine koyalım ve \(y\)'yi bulalım.
\(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)
Cevabını yazalım.
\(\begin(case)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(case)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)
Elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.
\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)
Denklem sistemlerinin iki tür çözümünü analiz edelim:
1. Sistemin yerine koyma yöntemini kullanarak çözülmesi.
2. Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) sistemi çözmek.
Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemiyle basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. Ekspres. Herhangi bir denklemden bir değişkeni ifade ederiz.
2. Değiştir. Ortaya çıkan değeri, ifade edilen değişken yerine başka bir denklemde değiştiririz.
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.
karar vermek terim dönem toplama (çıkarma) yöntemiyle sistemşunları yapmanız gerekir:
1. Katsayılarını aynı yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri topluyor veya çıkarıyoruz, sonuçta tek değişkenli bir denklem elde ediliyor.
3. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.
Sistemin çözümü fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarıdır.
Örnekleri kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.
Örnek #1:
Yerine koyma yöntemiyle çözelim
Bir denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözme2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)
1. Ekspres
İkinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeninin olduğu görülmektedir, bu da x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay olduğu anlamına gelir.
x=3+10y
2.İfade ettikten sonra ilk denklemde x değişkeni yerine 3+10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün.
2(3+10y)+5y=1 (parantezleri açın)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişim noktalarıdır, dolayısıyla x ve y'yi bulmamız gerekiyor çünkü kesişim noktası x ve y'den oluşuyor. x'i bulalım, ifade ettiğimiz ilk noktada yerine y'yi yazalım. .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
X değişkenini yazdığımız ilk yere, y değişkenini ikinci sıraya yazmak gelenekseldir.
Cevap: (1; -0,2)
Örnek #2:
Terim terim toplama (çıkarma) yöntemini kullanarak çözelim.
Toplama yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözme3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)
1. Bir değişken seçiyoruz, diyelim ki x'i seçiyoruz. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayıya bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz ve toplam 6 katsayısını elde ediyoruz.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. X değişkeninden kurtulmak için ikinciyi birinci denklemden çıkarın. Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. x'i bulun. Bulunan y'yi denklemlerden herhangi birinin yerine koyarız, diyelim ki ilk denklemin içine.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Kesişme noktası x=4,6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)
Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? Çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yok.
Bu videoyla denklem sistemlerine adanmış bir dizi derse başlıyorum. Bugün doğrusal denklem sistemlerinin çözümü hakkında konuşacağız ekleme yöntemi- Bu en basit yöntemlerden biridir, ancak aynı zamanda en etkili yöntemlerden biridir.
Ekleme yöntemi üç basit adımdan oluşur:
- Sisteme bakın ve her denklemde aynı (veya zıt) katsayılara sahip bir değişken seçin;
- Denklemlerin cebirsel olarak çıkarılmasını (zıt sayılar için - toplama) gerçekleştirin ve ardından benzer terimleri getirin;
- İkinci adımdan sonra elde edilen yeni denklemi çözün.
Her şey doğru yapılırsa çıktıda tek bir denklem elde edeceğiz tek değişkenli- bunu çözmek zor olmayacak. Daha sonra geriye kalan tek şey, bulunan kökü orijinal sisteme yerleştirmek ve nihai cevabı almaktır.
Ancak pratikte her şey o kadar basit değil. Bunun birkaç nedeni var:
- Toplama yöntemini kullanarak denklemleri çözmek, tüm satırların eşit/karşıt katsayılara sahip değişkenler içermesi gerektiği anlamına gelir. Bu gereksinim karşılanmazsa ne yapmalı?
- Her zaman değil, denklemleri belirtilen şekilde toplayıp/çıkardıktan sonra kolayca çözülebilecek güzel bir yapı elde ederiz. Hesaplamaları bir şekilde basitleştirmek ve hesaplamaları hızlandırmak mümkün mü?
Bu soruların cevabını bulmak ve aynı zamanda birçok öğrencinin başarısız olduğu birkaç ek inceliği anlamak için video dersimi izleyin:
Bu dersle denklem sistemlerine ayrılmış bir dizi derse başlıyoruz. Ve bunların en basitinden, yani iki denklem ve iki değişken içerenlerden başlayacağız. Her biri doğrusal olacaktır.
Sistemler 7. sınıf materyalidir ancak bu ders aynı zamanda bu konudaki bilgilerini tazelemek isteyen lise öğrencileri için de faydalı olacaktır.
Bu tür sistemlerin çözümü için genel olarak iki yöntem vardır:
- Ekleme yöntemi;
- Bir değişkeni diğerine göre ifade etme yöntemi.
Bugün ilk yöntemle ilgileneceğiz - çıkarma ve toplama yöntemini kullanacağız. Ancak bunu yapmak için şu gerçeği anlamanız gerekir: İki veya daha fazla denkleminiz olduğunda bunlardan herhangi ikisini alıp birbirine ekleyebilirsiniz. Üye üye eklenirler, yani. “X”lere “X”ler eklenir ve benzerleri verilir, “Y” ile “Y” yine benzer olur ve eşittir işaretinin sağındakiler de birbirine eklenir, benzerleri de verilir. .
Bu tür entrikaların sonuçları, eğer kökleri varsa, kesinlikle orijinal denklemin kökleri arasında yer alacak yeni bir denklem olacaktır. Bu nedenle bizim görevimiz, çıkarma veya toplama işlemini $x$ veya $y$ kaybolacak şekilde yapmaktır.
Bunu nasıl başaracağız ve bunun için hangi aracı kullanacağız - şimdi bunun hakkında konuşacağız.
Toplama yöntemini kullanarak kolay problemleri çözme
Böylece iki basit ifade örneğini kullanarak toplama yöntemini kullanmayı öğreniyoruz.
Görev No.1
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
$y$'ın birinci denklemde $-4$, ikinci denklemde ise $+4$ katsayısına sahip olduğunu unutmayın. Birbirlerine zıttırlar, bu yüzden onları toplarsak sonuçta ortaya çıkan "oyunların" karşılıklı olarak yok edileceğini varsaymak mantıklıdır. Bunu ekleyin ve şunu elde edin:
En basit yapıyı çözelim:
Harika, "x"i bulduk. Şimdi bununla ne yapmalıyız? Bunu denklemlerden herhangi birinin yerine koyma hakkımız var. İlkinde yerine koyalım:
\[-4y=12\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]
Cevap: $\left(2;-3 \right)$.
Sorun No. 2
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
Buradaki durum tamamen benzer, sadece “X'ler” için. Bunları toplayalım:
En basit doğrusal denklemimiz var, hadi çözelim:
Şimdi $x$'ı bulalım:
Cevap: $\left(-3;3 \right)$.
Önemli noktalar
Toplama yöntemini kullanarak iki basit doğrusal denklem sistemini çözdük. Tekrar önemli noktalar:
- Değişkenlerden birinin zıt katsayıları varsa denklemdeki tüm değişkenlerin toplanması gerekir. Bu durumda bunlardan biri yok edilecektir.
- İkincisini bulmak için bulunan değişkeni sistem denklemlerinden herhangi birinin yerine koyarız.
- Nihai yanıt kaydı farklı şekillerde sunulabilir. Örneğin, bunun gibi - $x=...,y=...$ veya noktaların koordinatları biçiminde - $\left(...;... \right)$. İkinci seçenek tercih edilir. Hatırlanması gereken en önemli şey, ilk koordinatın $x$ ve ikincisinin $y$ olmasıdır.
- Cevabı nokta koordinatları şeklinde yazma kuralı her zaman geçerli değildir. Örneğin, değişkenler $x$ ve $y$ değil, örneğin $a$ ve $b$ olduğunda kullanılamaz.
Aşağıdaki problemlerde katsayılar zıt olmadığında çıkarma tekniğini ele alacağız.
Çıkarma yöntemini kullanarak kolay problemleri çözme
Görev No.1
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
Burada zıt katsayıların olmadığını, ancak aynı katsayıların olduğunu unutmayın. Bu nedenle ikinciyi birinci denklemden çıkarıyoruz:
Şimdi $x$ değerini sistem denklemlerinden herhangi birinin yerine koyarız. İlk önce gidelim:
Cevap: $\left(2;5\right)$.
Sorun No. 2
\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
Birinci ve ikinci denklemde yine $x$ için aynı $5$ katsayısını görüyoruz. Bu nedenle ikinciyi birinci denklemden çıkarmanız gerektiğini varsaymak mantıklıdır:
Bir değişkeni hesapladık. Şimdi ikinci yapıyı $y$ değerini değiştirerek bulalım:
Cevap: $\left(-3;-2 \right)$.
Çözümün nüansları
Peki ne görüyoruz? Esasen, şema önceki sistemlerin çözümünden farklı değildir. Tek fark, denklemleri toplamamamız, çıkarmamızdır. Cebirsel çıkarma işlemi yapıyoruz.
Yani iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem gördüğünüzde ilk bakmanız gereken şey katsayılardır. Her yerde aynı ise denklemler çıkarılır, zıt ise toplama yöntemi kullanılır. Bu her zaman bunlardan birinin ortadan kalkması için yapılır ve çıkarmadan sonra kalan son denklemde yalnızca bir değişken kalır.
Tabii ki hepsi bu değil. Şimdi denklemlerin genel olarak tutarsız olduğu sistemleri ele alacağız. Onlar. İçlerinde aynı veya zıt olan hiçbir değişken yoktur. Bu durumda, bu tür sistemleri çözmek için, denklemlerin her birinin özel bir katsayı ile çarpılması gibi ek bir teknik kullanılır. Nasıl bulunur ve genel olarak bu tür sistemlerin nasıl çözüleceği, şimdi bunun hakkında konuşacağız.
Bir katsayı ile çarparak problemleri çözme
Örnek No.1
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
Ne $x$ ne de $y$ için katsayıların yalnızca karşılıklı olarak zıt olmadığını, aynı zamanda diğer denklemle hiçbir şekilde ilişkili olmadığını görüyoruz. Denklemleri birbirine eklesek veya çıkarsak bile bu katsayılar hiçbir şekilde kaybolmayacaktır. Bu nedenle çarpma işlemine başvurmak gerekir. $y$ değişkeninden kurtulmaya çalışalım. Bunun için ilk denklemi ikinci denklemdeki $y$ katsayısıyla, ikinci denklemi ise birinci denklemdeki $y$ katsayısıyla işarete dokunmadan çarpıyoruz. Çarpıyoruz ve yeni bir sistem elde ediyoruz:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
Şuna bakalım: $y$'da katsayılar zıttır. Böyle bir durumda ekleme yöntemini kullanmak gerekir. Ekleyelim:
Şimdi $y$'ı bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için ilk ifadeye $x$ yazın:
\[-9y=18\sol| :\sol(-9 \sağ) \sağ.\]
Cevap: $\left(4;-2 \right)$.
Örnek No.2
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
Yine hiçbir değişkenin katsayıları tutarlı değildir. $y$ katsayılarıyla çarpalım:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
Yeni sistemimiz bir öncekinin eşdeğeridir ancak $y$'ın katsayıları birbirine zıttır ve bu nedenle burada toplama yöntemini uygulamak kolaydır:
Şimdi ilk denklemde $x$ yerine $y$ koyalım:
Cevap: $\left(-2;1 \right)$.
Çözümün nüansları
Buradaki temel kural şudur: Her zaman yalnızca pozitif sayılarla çarparız - bu sizi işaret değiştirmeyle ilgili aptalca ve saldırgan hatalardan kurtaracaktır. Genel olarak çözüm şeması oldukça basittir:
- Sisteme bakıyoruz ve her denklemi analiz ediyoruz.
- Ne $y$ ne de $x$ katsayılarının tutarlı olduğunu görürsek, yani ne eşit ne de zıt, o zaman şunu yapıyoruz: kurtulmamız gereken değişkeni seçiyoruz ve sonra bu denklemlerin katsayılarına bakıyoruz. İlk denklemi ikincinin katsayısı ile çarparsak ve ikinciyi buna göre birincinin katsayısı ile çarparsak, sonunda bir öncekine tamamen eşdeğer bir sistem ve $ katsayıları elde ederiz. y$ tutarlı olacaktır. Tüm eylemlerimiz veya dönüşümlerimiz yalnızca bir değişkeni tek bir denklemde elde etmeye yöneliktir.
- Bir değişken buluyoruz.
- Bulunan değişkeni sistemin iki denkleminden birine yerleştirip ikincisini buluyoruz.
- $x$ ve $y$ değişkenlerimiz varsa cevabı noktaların koordinatları şeklinde yazıyoruz.
Ancak bu kadar basit bir algoritmanın bile kendi incelikleri vardır; örneğin, $x$ veya $y$ katsayıları kesirler ve diğer "çirkin" sayılar olabilir. Şimdi bu durumları ayrı ayrı ele alacağız çünkü bunlarda standart algoritmaya göre biraz farklı davranabilirsiniz.
Kesirlerle ilgili problemleri çözme
Örnek No.1
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]
Öncelikle ikinci denklemin kesirler içerdiğine dikkat edin. Ancak 4$'ı 0,8$'a bölebileceğinizi unutmayın. 5$ alacağız. İkinci denklemi $5$ ile çarpalım:
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]
Denklemleri birbirinden çıkarırız:
$n$'ı bulduk, şimdi $m$'ı sayalım:
Cevap: $n=-4;m=5$
Örnek No.2
\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Sağ.\]
Burada, önceki sistemde olduğu gibi kesirli katsayılar vardır, ancak hiçbir değişken için katsayılar birbirine tam sayı kadar uymamaktadır. Bu nedenle standart algoritmayı kullanıyoruz. $p$'dan kurtulun:
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]
Çıkarma yöntemini kullanıyoruz:
İkinci yapıya $k$ koyarak $p$'ı bulalım:
Cevap: $p=-4;k=-2$.
Çözümün nüansları
Hepsi optimizasyon bu. İlk denklemde hiçbir şeyle çarpmadık ama ikinci denklemi 5$ ile çarptık. Sonuç olarak, ilk değişken için tutarlı ve hatta özdeş bir denklem elde ettik. İkinci sistemde standart bir algoritma izledik.
Peki denklemlerin çarpılacağı sayıları nasıl bulacaksınız? Sonuçta kesirlerle çarparsak yeni kesirler elde ederiz. Bu nedenle kesirlerin yeni bir tam sayı verecek bir sayı ile çarpılması ve ardından standart algoritmaya göre değişkenlerin katsayılarla çarpılması gerekir.
Sonuç olarak, yanıtın kaydedilme biçimine dikkatinizi çekmek isterim. Daha önce de söylediğim gibi, burada $x$ ve $y$ değil, diğer değerlere sahip olduğumuz için, formun standart olmayan bir gösterimini kullanıyoruz:
Karmaşık denklem sistemlerini çözme
Bugünkü video eğitimine son not olarak, gerçekten karmaşık birkaç sisteme bakalım. Karmaşıklıkları, hem solda hem de sağda değişkenlere sahip olmaları gerçeğinden oluşacaktır. Bu nedenle bunları çözmek için ön işleme uygulamamız gerekecek.
Sistem No.1
\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1) \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]
Her denklem belirli bir karmaşıklık taşır. Bu nedenle her ifadeyi düzenli doğrusal yapıyla ele alalım.
Toplamda orijinal sisteme eşdeğer olan son sistemi elde ediyoruz:
\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
$y$ katsayılarına bakalım: $3$, $6$'a iki kez sığar, o halde ilk denklemi $2$ ile çarpalım:
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
$y$'ın katsayıları artık eşit olduğundan ikinciyi birinci denklemden çıkarırız: $$
Şimdi $y$'ı bulalım:
Cevap: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
Sistem No.2
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]
İlk ifadeyi dönüştürelim:
Gelelim ikincisine:
\[-3\sol(b-2a \sağ)-12=2\left(a-5 \sağ)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
Toplamda, ilk sistemimiz aşağıdaki formu alacaktır:
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
$a$ katsayılarına baktığımızda ilk denklemin $2$ ile çarpılması gerektiğini görüyoruz:
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
İkinciyi ilk yapıdan çıkarın:
Şimdi $a$'ı bulalım:
Cevap: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
Hepsi bu. Bu video eğitiminin bu zor konuyu, yani basit doğrusal denklem sistemlerini çözmenizi anlamanıza yardımcı olacağını umuyorum. Gelecekte bu konuyla ilgili çok daha fazla ders olacak: Daha fazla değişkenin olacağı ve denklemlerin doğrusal olmayacağı daha karmaşık örneklere bakacağız. Tekrar görüşürüz!
Denklem sistemleri ekonomik sektörde çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesi için yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretim yönetimi ve planlaması, lojistik rotaları (nakliye sorunu) veya ekipman yerleşimi sorunlarını çözerken.
Denklem sistemleri sadece matematikte değil aynı zamanda fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerini çözerken kullanılır.
Doğrusal denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu, birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklemden oluşur. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya bu dizinin var olmadığını kanıtlayan böyle bir sayı dizisi.
Doğrusal denklem
ax+by=c formundaki denklemlere doğrusal denir. x, y isimleri değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Bir denklemi çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi gibi görünecektir.
Doğrusal denklem sistemi türleri
En basit örneklerin iki değişkeni X ve Y olan doğrusal denklem sistemleri olduğu kabul edilir.
F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.
Denklem sistemini çözme - bu, sistemin gerçek eşitliğe dönüştüğü (x, y) değerlerini bulmak veya uygun x ve y değerlerinin bulunmadığını tespit etmek anlamına gelir.
Bir noktanın koordinatları olarak yazılan (x, y) değer çiftine doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.
Sistemlerin tek bir ortak çözümü varsa veya çözümü yoksa bunlara eşdeğer denir.
Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. Eşittir işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa böyle bir sistem heterojendir.
Değişken sayısı ikiden çok daha fazla olabiliyorsa, üç veya daha fazla değişkenli bir doğrusal denklem sistemi örneğinden bahsetmemiz gerekir.
Sistemlerle karşı karşıya kaldıklarında okul çocukları denklem sayısının mutlaka bilinmeyenlerin sayısıyla örtüşmesi gerektiğini varsayarlar, ancak durum böyle değildir. Sistemdeki denklemlerin sayısı değişkenlere bağlı değildir; istenilen sayıda olabilir.
Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler
Bu tür sistemlerin çözümü için genel bir analitik yöntem yoktur; tüm yöntemler sayısal çözümlere dayanmaktadır. Okul matematik dersinde permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemleri, Gauss yöntemiyle çözüm ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.
Çözüm yöntemlerini öğretirken asıl görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Önemli olan, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi kullanmanın ilkelerini anlamaktır.
7. sınıf genel eğitim müfredatında yer alan doğrusal denklem sistemi örneklerinin çözümü oldukça basit ve detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Herhangi bir matematik ders kitabında bu bölüme yeterince önem verilmektedir. Doğrusal denklem sistemi örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözülmesi yükseköğretimin ilk yıllarında daha ayrıntılı olarak işlenir.
Yerine koyma yöntemini kullanarak sistemleri çözme
İkame yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikinciye göre ifade etmeyi amaçlamaktadır. İfade kalan denklemde yerine konulur, daha sonra tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyen sayısına bağlı olarak eylem tekrarlanır.
Değiştirme yöntemini kullanarak sınıf 7'nin bir doğrusal denklem sistemi örneğine bir çözüm verelim:
Örnekte görüldüğü gibi x değişkeni F(X) = 7 + Y şeklinde ifade edilmiştir. Sonuçta sistemin 2. denkleminde X yerine yazılan ifade, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı olmuştur. . Bu örneği çözmek kolaydır ve Y değerini elde etmenizi sağlar. Son adım, elde edilen değerleri kontrol etmektir.
Bir doğrusal denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkeni ikinci bilinmeyen cinsinden ifade etmek daha sonraki hesaplamalar için çok zahmetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda ikame yoluyla çözüm yapmak da pratik değildir.
Doğrusal homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:
Cebirsel toplama kullanarak çözüm
Toplama yöntemini kullanarak sistemlere çözüm ararken denklemler terim terim toplanır ve çeşitli sayılarla çarpılır. Matematiksel işlemlerin nihai amacı tek değişkenli bir denklemdir.
Bu yöntemin uygulanması pratik ve gözlem gerektirir. 3 veya daha fazla değişkenin olduğu bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.
Çözüm algoritması:
- Denklemin her iki tarafını da belirli bir sayıyla çarpın. Aritmetik işlem sonucunda değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
- Ortaya çıkan ifadeyi terim terim toplayın ve bilinmeyenlerden birini bulun.
- Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde değiştirin.
Yeni bir değişken getirerek çözüm yöntemi
Sistem ikiden fazla denklem için bir çözüm bulmayı gerektirmiyorsa yeni bir değişken eklenebilir; bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.
Yöntem, yeni bir değişken ekleyerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem, tanıtılan bilinmeyen için çözülür ve elde edilen değer, orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.
Örnek, yeni bir t değişkeninin eklenmesiyle sistemin 1. denkleminin standart ikinci dereceden üç terimliye indirgenmesinin mümkün olduğunu göstermektedir. Bir polinomu diskriminantını bularak çözebilirsiniz.
Diskriminantın değerini iyi bilinen formülü kullanarak bulmak gerekir: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen diskriminanttır, b, a, c polinomun faktörleridir. Verilen örnekte a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Diskriminant sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, diskriminant sıfırdan küçükse tek çözüm vardır: x = -b / 2*a.
Ortaya çıkan sistemlerin çözümü toplama yöntemiyle bulunur.
Sistemleri çözmek için görsel yöntem
3 denklem sistemine uygundur. Yöntem, sisteme dahil edilen her denklemin koordinat ekseninde grafiğinin oluşturulmasından oluşur. Eğrilerin kesişim noktalarının koordinatları sistemin genel çözümü olacaktır.
Grafik yönteminin bir takım nüansları vardır. Doğrusal denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğine bakalım.
Örnekten görülebileceği gibi, her çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. X değerlerine göre y değerleri bulundu: 3 ve 0. Grafikte koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar işaretlendi ve bir çizgiyle birbirine bağlandı.
İkinci denklem için adımların tekrarlanması gerekir. Doğruların kesişme noktası sistemin çözümüdür.
Aşağıdaki örnek, bir doğrusal denklem sistemine grafiksel bir çözüm bulmayı gerektirir: 0,5x-y+2=0 ve 0,5x-y-1=0.
Örnekte görüldüğü gibi grafiklerin paralel olması ve tüm uzunlukları boyunca kesişmemesi nedeniyle sistemin çözümü yoktur.
Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir ancak oluşturulduklarında çözümlerinin farklı olduğu açıkça ortaya çıkar. Unutulmamalıdır ki bir sistemin çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir; her zaman bir grafik oluşturmak gerekir.
Matris ve çeşitleri
Matrisler, bir doğrusal denklem sistemini kısaca yazmak için kullanılır. Matris sayılarla dolu özel bir tablo türüdür. n*m'de n satır ve m sütun bulunur.
Sütun ve satır sayıları eşit olduğunda bir matris karedir. Matris vektörü, sonsuz sayıda satıra sahip bir sütundan oluşan bir matristir. Köşegenlerinden biri boyunca birler ve diğer sıfır elemanları olan bir matrise birim denir.
Ters bir matris, çarpıldığında orijinalin bir birim matrise dönüştüğü bir matristir; böyle bir matris yalnızca orijinal kare için mevcuttur.
Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları
Denklem sistemleriyle ilgili olarak denklemlerin katsayıları ve serbest terimleri matris sayıları olarak yazılır; bir denklem matrisin bir satırıdır.
Satırın en az bir elemanı sıfır değilse, matris satırının sıfırdan farklı olduğu söylenir. Bu nedenle denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa eksik bilinmeyenin yerine sıfır girilmesi gerekir.
Matris sütunları değişkenlere tam olarak karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna yazılabildiği anlamına gelir; örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikincisinde.
Bir matris çarpılırken matrisin tüm elemanları sırayla bir sayıyla çarpılır.
Ters matrisi bulma seçenekleri
Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 ters matristir ve |K| matrisin determinantıdır. |K| sıfıra eşit olmamalıdır, o zaman sistemin bir çözümü vardır.
Determinant ikiye ikilik bir matris için kolayca hesaplanır; yalnızca köşegen elemanları birbiriyle çarpmanız yeterlidir. “Üçe üç” seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 formülü vardır. + a 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya çalışmadaki sütun ve satır sayılarının tekrarlanmaması için her satırdan ve her sütundan bir öğe almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.
Matris yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemi örneklerini çözme
Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal girişleri azaltmanıza olanak tanır.
Örnekte, bir nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir x n vektörüdür ve değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.
Gauss yöntemini kullanarak sistemleri çözme
Yüksek matematikte Gauss yöntemi Cramer yöntemiyle birlikte incelenir ve sistemlere çözüm bulma sürecine Gauss-Cramer çözüm yöntemi adı verilir. Bu yöntemler çok sayıda doğrusal denklem içeren sistemlerde değişkenleri bulmak için kullanılır.
Gauss yöntemi, yerine koyma ve cebirsel toplama yoluyla çözümlere çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde 3 ve 4 denklemli sistemler için Gauss yöntemiyle çözüm kullanılır. Yöntemin amacı sistemi ters yamuk formuna indirgemektir. Cebirsel dönüşümler ve ikameler yoluyla sistemin denklemlerinden birinde bir değişkenin değeri bulunur. İkinci denklem 2 bilinmeyenli, 3 ve 4 ise sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.
Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerinde sıralı olarak yer değiştirmesine indirgenir.
7. sınıf okul ders kitaplarında Gauss yöntemine göre bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:
Örnekten görülebileceği gibi (3) adımında iki denklem elde edildi: 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7. Denklemlerden herhangi birini çözmek, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.
Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtmektedir.
Gauss yöntemini ortaokul öğrencilerinin anlaması zordur, ancak matematik ve fizik derslerinde ileri öğrenim programlarına kayıtlı çocukların yaratıcılığını geliştirmenin en ilginç yollarından biridir.
Kayıt kolaylığı için hesaplamalar genellikle şu şekilde yapılır:
Denklemlerin ve serbest terimlerin katsayıları, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris biçiminde yazılır. Denklemin sol tarafını sağdan ayırır. Romen rakamları sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.
Önce üzerinde çalışılacak matrisi, ardından satırlardan birinde gerçekleştirilen tüm eylemleri yazın. Ortaya çıkan matris “ok” işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemlere devam edilir.
Sonuç, köşegenlerden birinin 1'e eşit olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu, yani matrisin birim forma indirgendiği bir matris olmalıdır. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmamalıyız.
Bu kayıt yöntemi daha az hantaldır ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmasına izin vermez.
Herhangi bir çözüm yönteminin serbestçe kullanılması dikkat ve biraz deneyim gerektirecektir. Yöntemlerin tümü uygulamalı nitelikte değildir. Bazı çözüm bulma yöntemleri belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri eğitim amaçlıdır.