BAŞKORTO STAN CUMHURİYETİ BİLİM VE EĞİTİM BAKANLIĞI

SAOU DPT Başkurt Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Koleji

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

Bashkirsky'de matematik öğretmeni

Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Fakültesi

UFA

2014

Giriş __________________________________________________3

Bölüm BEN. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanmanın teorik yönleri_____________________________________________4

Bölüm II. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak polinomlarla ilgili problemlere çözüm arar___________________________________7

2.1.Bir polinomun çarpanlara ayrılması_____________________ 7

2.2. Parametrelerle ilgili sorunlar_________________________________ 10

2.3. Denklemleri çözme__________________________________________14

2.4. Fonksiyonel denklemler______________________________19

Sonuç____________________________________________________23

Kullanılan literatür listesi__________________________________________24

Başvuru ________________________________________________25

Giriiş.

Bu çalışma, belirsiz katsayılar yönteminin okul matematik dersine dahil edilmesinin teorik ve pratik yönlerine ayrılmıştır. Bu konunun alaka düzeyi aşağıdaki koşullarla belirlenir.

Hiç kimse bir bilim olarak matematiğin tek bir yerde durmadığını, sürekli geliştiğini, artan karmaşıklığa sahip yeni görevlerin ortaya çıktığını ve bu görevlerin genellikle araştırmayla ilişkili olması nedeniyle çoğu zaman belirli zorluklara neden olduğunu iddia etmeyecektir. Son yıllarda bu tür problemler okullarda, ilçelerde ve cumhuriyet matematik olimpiyatlarında öneriliyor ve Birleşik Devlet Sınavı versiyonlarında da mevcut. Bu nedenle, bunların en azından bir kısmının en hızlı, verimli ve uygun maliyetli bir şekilde çözülmesini sağlayacak özel bir yönteme ihtiyaç vardı. Bu çalışma, genel eğitim dersinde yer alan sorulardan en ileri kısımlarına kadar matematiğin çok çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılan belirsiz katsayılar yönteminin içeriğini net bir şekilde sunmaktadır. Özellikle parametrelerle, kesirli rasyonel ve fonksiyonel denklemlerle ilgili problemlerin çözümünde belirsiz katsayılar yönteminin uygulamaları özellikle ilginç ve etkilidir; matematiğe ilgi duyan herkesin kolaylıkla ilgisini çekebilirler. Önerilen çalışmanın ve problem seçiminin temel amacı, kısa ve standart dışı çözümler bulma yeteneğini geliştirmek ve geliştirmek için geniş fırsatlar sağlamaktır.

Bu çalışma iki bölümden oluşmaktadır. İlki, kullanımın teorik yönlerini tartışıyor

belirsiz katsayılar yöntemi ve ikinci olarak bu tür kullanımın pratik ve metodolojik yönleri.

Çalışmanın ekinde, bağımsız çözüm için belirli görevler için koşullar sağlanmaktadır.

Bölüm BEN . Kullanımın teorik yönleri belirsiz katsayılar yöntemi

“İnsan... usta olmak için doğmuştur,

hükümdar, doğanın kralı, ama bilgelik,

yönetmesi gereken şey ona verilmedi

doğumdan itibaren: öğrenerek edinilir"

N.I. Lobaçevski

Sorunları çözmenin çeşitli yol ve yöntemleri vardır ancak en uygun, en etkili, orijinal, zarif ve aynı zamanda herkes için çok basit ve anlaşılır olanlardan biri belirsiz katsayılar yöntemidir. Belirsiz katsayılar yöntemi, matematikte formu önceden bilinen ifadelerin katsayılarını bulmak için kullanılan bir yöntemdir.

Belirsiz katsayılar yönteminin çeşitli problem türlerinin çözümünde uygulanmasını düşünmeden önce, bir dizi teorik bilgi sunacağız.

Verilsinler

A N (X) = A 0 X N + A 1 X n-1 + A 2 X n-2 + ··· + A n-1 X + A N

B M (X ) = B 0 X M + B 1 X M -1 + B 2 X M -2 + ··· + B m-1 X + B M ,

polinomlar göreceli X her ihtimale karşı.

Teorem. Bire bağlı iki polinom ve aynı argüman ancak ve ancak şu durumda aynı şekilde eşittir:N = M ve bunlara karşılık gelen katsayılar eşittirA 0 = B 0 , A 1 = B 1 , A 2 = B 2 ,··· , A N -1 = B M -1 , A N = B M Ve T. D.

Açıkçası, eşit polinomlar tüm değerleri alır X aynı değerler. Tersine, eğer iki polinomun değerleri tüm değerler için eşitse X, sonra polinomlar eşittir, yani katsayıları aynı derecededirX kibrit.

Bu nedenle belirsiz katsayılar yöntemini problemlerin çözümünde uygulama fikri şu şekildedir.

Bazı dönüşümler sonucunda belli türden bir ifade elde edildiğini ve sadece bu ifadedeki katsayıların bilinmediğini bilelim. Daha sonra bu katsayılar harflerle gösterilir ve bilinmeyenler olarak kabul edilir. Daha sonra bu bilinmeyenleri belirlemek için bir denklem sistemi oluşturulur.

Örneğin polinomlar söz konusu olduğunda bu denklemler, katsayıların aynı kuvvetler için eşit olması koşulundan yapılır. X iki eşit polinom için.

Yukarıda söylenenleri aşağıdaki spesifik örneklerle göstereceğiz ve en basitinden başlayalım.

Yani, örneğin teorik değerlendirmelere dayanarak, kesir

toplam olarak temsil edilebilir

, Nerede A , B Ve C - katsayılar belirlenecektir. Bunları bulmak için ikinci ifadeyi birinciye eşitleriz:

=

ve kendimizi paydadan kurtarıp solda aynı kuvvetlere sahip terimleri toplamak X, şunu elde ederiz:

(A + B + C )X 2 + ( B - C )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Son eşitliğin tüm değerler için doğru olması gerektiğinden X, o zaman aynı derecelerdeki katsayılarX sağ ve sol aynı olmalıdır. Böylece üç bilinmeyen katsayıyı belirlemek için üç denklem elde edilir:

a+b+c = 2

B - C = - 5

A= 1, dolayısıyla A = 1 , B = - 2 , C = 3

Buradan,

=
,

Bu eşitliğin geçerliliğinin doğrudan doğrulanması kolaydır.

Ayrıca bir kesri temsil etmeniz gerektiğini varsayalım.

formda A + B
+ C
+ D
, Nerede A , B , C Ve D- bilinmeyen rasyonel katsayılar. İkinci ifadeyi birinciye eşitliyoruz:

A + B
+ C
+ D
=
veya, Kendimizi paydadan kurtararak, mümkünse rasyonel faktörleri köklerin işaretleri altından çıkararak ve benzer terimleri sol tarafa getirerek şunu elde ederiz:

(A- 2 B + 3 C ) + (- a+b +3 D )
+ (a+c - 2 D )
+

+ (b-c + D )
= 1 +
-
.

Ancak böyle bir eşitlik ancak her iki parçanın rasyonel terimlerinin ve aynı radikallerin katsayılarının eşit olması durumunda mümkündür. Böylece bilinmeyen katsayıları bulmak için dört denklem elde edilir A , B , C Ve D :

A- 2b+ 3C = 1

- a+b +3 D = 1

a+c - 2 D = - 1

B - C + D= 0, dolayısıyla A = 0 ; B = - ; C = 0 ; D= yani
= -
+
.

Bölüm II. Polinomlarla ilgili problemlere çözüm arar belirlenmemiş katsayılar yöntemi.

“Hiçbir şey bir konunun ustalaşmasına ondan daha iyi katkıda bulunamaz.

farklı durumlarda onunla birlikte hareket etmenin yolu"

Akademisyen B.V. Gnedenko

2. 1. Bir polinomun çarpanlara ayrılması.

Polinomları çarpanlarına ayırma yöntemleri:

1) ortak çarpanı parantezlerin dışına yerleştirmek; 2) gruplandırma yöntemi; 3) temel çarpma formüllerinin uygulanması; 4) yardımcı terimlerin tanıtılması; 5) belirli bir polinomun belirli formüller kullanılarak ön dönüşümü; 6) belirli bir polinomun köklerini bularak genişletme; 7) parametre girme yöntemi; 8)belirsiz katsayılar yöntemi.

Problem 1. Polinomu gerçek faktörlere ayırın X 4 + X 2 + 1 .

Çözüm. Bu polinomun serbest teriminin bölenleri arasında kök yoktur. Polinomun köklerini başka temel yollarla bulamayız. Dolayısıyla öncelikle bu polinomun kökleri bulunarak gerekli açılımın yapılması mümkün değildir. Geriye ya yardımcı terimlerin tanıtılmasıyla ya da belirlenemeyen katsayılar yöntemiyle soruna bir çözüm aranmaya devam edilmektedir. Açıkça görülüyor ki X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Ortaya çıkan ikinci dereceden üç terimlilerin kökleri yoktur ve bu nedenle gerçek doğrusal faktörlere ayrıştırılamaz.

Açıklanan yöntem teknik olarak basit ancak yapaylığından dolayı zordur. Aslında gerekli yardımcı terimleri bulmak çok zordur. Bu ayrıştırmayı bulmamıza yalnızca bir tahmin yardımcı oldu. Ancak

Bu tür sorunları çözmenin daha güvenilir yolları vardır.

Şu şekilde ilerlenebilir: Verilen polinomun çarpıma ayrıştığını varsayalım.

(X 2 + A X + B )(X 2 + C X + D )

tamsayı katsayılı iki kare trinomial.

Böylece buna sahip olacağız

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + B )(X 2 + C X + D )

Katsayıları belirlemek için kalırA , B , C Ve D .

Son eşitliğin sağ tarafındaki polinomları çarparak şunu elde ederiz:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (B + A C + D ) X 2 + (reklam + M.Ö. ) x + BD .

Ancak bu eşitliğin sağ tarafının, sol taraftaki polinomun aynısına dönüşmesine ihtiyacımız olduğundan, aşağıdaki koşulların karşılanması gerekecek:

a + c = 0

B + A C + D = 1

reklam + M.Ö. = 0

BD = 1 .

Sonuç dört bilinmeyenli dört denklemden oluşan bir sistemdirA , B , C Ve D . Bu sistemden katsayıları bulmak kolaydırA = 1 , B = 1 , C = -1 Ve D = 1.

Artık sorun tamamen çözüldü. Aldık:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Problem 2. Polinomu gerçek faktörlere ayırın X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Çözüm. Bu polinomu formda temsil edelim

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + C) , Nerede A , B Ve İle - katsayılar henüz belirlenmedi. İki polinom ancak ve ancak aynı kuvvetlerin katsayıları olması durumunda eşit olduğundanX eşittir, o zaman katsayılar sırasıyla eşitlenirX 2 , X ve serbest terimlerle, üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem elde ederiz:

a+b= - 6

ab + c = 14

klima = - 15 .

3 sayısının (serbest terimin böleni) bu denklemin kökü olduğunu hesaba katarsak, bu sistemin çözümü önemli ölçüde basitleşecektir ve bu nedenle,A = - 3 ,

B = - 3 Ve İle = 5 .

Daha sonra X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 X + 5).

Belirsiz katsayıların uygulanan yöntemi, yukarıdaki yardımcı terimlerin tanıtılması yöntemiyle karşılaştırıldığında yapay hiçbir şey içermez, ancak birçok teorik prensibin uygulanmasını gerektirir ve buna oldukça büyük hesaplamalar eşlik eder. Daha yüksek dereceli polinomlar için, bu belirlenmemiş katsayılar yöntemi, hantal denklem sistemlerine yol açar.

2.2.Görevler ve parametrelerle.

Son yıllarda Birleşik Devlet Sınavının versiyonları parametreli görevler sundu. Çözümleri çoğu zaman bazı zorluklara neden olur. Parametrelerle ilgili problemleri diğer yöntemlerle birlikte çözerken, belirsiz katsayılar yöntemini oldukça etkili bir şekilde kullanabilirsiniz. Çözümlerini büyük ölçüde basitleştirmenize ve hızlı bir şekilde yanıt almanıza olanak tanıyan bu yöntemdir.

Görev 3. Parametrenin hangi değerlerinde olduğunu belirleyin A denklem 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 0'ın tam olarak iki kökü vardır.

Çözüm. 1 yol. Türev kullanma.

Bu denklemi iki fonksiyon şeklinde temsil edelim

2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

F (X) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X– 3 ve φ( X ) = – A .

Fonksiyonu keşfedelimF (X) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3 türevini kullanarak grafiğini şematik olarak oluşturun (Şekil 1.).

F( – X )F (X ) , F (– X ) – F (X ). Fonksiyon ne çift ne de tektir.

3. Fonksiyonun kritik noktalarını, artış ve azalış aralıklarını, ekstremum değerlerini bulalım. F / (X ) = 6 X 2 – 6 X – 36. D (F / ) = R bu nedenle denklemi çözerek fonksiyonun tüm kritik noktalarını bulacağız F / (X ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 teoremi Vieta teoreminin tersidir.

F / (X ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ maksimum - dk. +

2 3 X

F / (X) > 0 hepsi için X< – 2 ve X > 3 ve fonksiyon noktalarda süreklidirx =– 2 ve X = 3 olduğundan her aralıkta artar (- ; -2] ve [3; ).

F / (X ) < 0 - 2'de < X< 3, dolayısıyla [- 2 aralığında azalır; 3 ].

X = - 2. maksimum nokta, çünkü bu noktada türevin işareti değişir"+"dan "-"ye.

F (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 minimum puan, çünkü bu noktada türevin işareti değişir"-" ila "+".

F (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

φ( fonksiyonunun grafiğiX ) = – A x eksenine paralel ve koordinatları (0) olan noktadan geçen düz bir çizgidir.; – A ). Grafiklerin iki ortak noktası var:A= 41, yani bir =– 41 ve – A= – 84, yani A = 84 .

en

41φ( X)

2 3 X

3 F ( X ) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3

Yöntem 2. Belirsiz katsayılar yöntemi.

Problemin koşullarına göre bu denklemin yalnızca iki kökü olması gerektiğine göre eşitlik açıktır:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + B ) 2 (2 X + C ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 X 3 + (4 B + C ) X 2 + (2 B 2 + +2 M.Ö. ) X + B 2 C ,

Şimdi katsayıları aynı derecelere eşitliyoruz X bir denklem sistemi elde ederiz

4 b + c = - 3

2B 2 + 2BC = - 36

B 2 C = A – 3 .

Bulduğumuz sistemin ilk iki denklemindenB 2 + B – 6 = 0, dolayısıyla B 1 = - 3 veya B 2 = 2 . İlgili değerlerİle 1 ve İle 2 sistemin ilk denkleminden bulmak kolaydır:İle 1 = 9 veya İle 2 = - 11 . Son olarak parametrenin istenilen değeri sistemin son denkleminden belirlenebilir:

A = B 2 C + 3 , A 1 = - 41 veya A 2 = 84.

Cevap: Bu denklemin tam olarak iki farklı değeri vardır.

kök salmak A= - 41 ve A= 84 .

Görev 4. Parametrenin en büyük değerini bulunA , bunun için denklemX 3 + 5 X 2 + Ah + B = 0

Tamsayı katsayılı sayıların biri –2’ye eşit olmak üzere üç farklı kökü vardır.

Çözüm. 1 yol. Değiştirme X= - 2 denklemin sol tarafında şunu elde ederiz:

8 + 20 – 2 A + B= 0, bunun anlamı B = 2 A – 12 .

-2 sayısı bir kök olduğundan ortak çarpanı çıkarabiliriz. X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Ah + B = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Ah + (2 A – 12) =

= X 2 (X + 2) + 3 X (X + 2) – 6 X + Ah + (2 A – 12) =

= X 2 (X + 2) + 3 X (X + 2) + (A – 6)(X +2) - 2(A – 6)+ (2 A - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 X + (A – 6) ) .

Koşula göre denklemin iki kökü daha vardır. Bu, ikinci faktörün diskriminantının pozitif olduğu anlamına gelir.

D =3 2 - 4 (A – 6) = 33 – 4 A > 0, yani A < 8,25 .

Cevap şu olacak gibi görünüyor bir = 8. Ancak orijinal denklemde 8 sayısını değiştirdiğimizde şunu elde ederiz:

X 3 + 5 X 2 + Ah + B = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 X + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

yani denklemin yalnızca iki farklı kökü vardır. Ama ne zaman bir = 7 aslında üç farklı kök üretiyor.

Yöntem 2. Belirsiz katsayılar yöntemi.

Denklem ise X 3 + 5 X 2 + Ah + B = 0'ın bir kökü var X = - 2 ise sayıları her zaman alabilirsinizC Ve D böylece herkesin önündeX eşitlik doğruydu

X 3 + 5 X 2 + Ah + B = (X + 2)(X 2 + İle X + D ).

Sayıları bulmak içinC Ve D Sağ taraftaki parantezleri açalım, benzer terimleri ekleyelim ve elde edelim

X 3 + 5 X 2 + Ah + B = X 3 + (2 + İle ) X 2 +(2 + D ) X + 2 D

Katsayıların karşılık gelen güçlere eşitlenmesi X bir sistemimiz var

2 + İle = 5

2 İle + D = A

2 D = B , Neresi c = 3 .

Buradan, X 2 + 3 X + D = 0 , D = 9 – 4 D > 0 veya

D < 2.25 yani D (- ; 2 ].

Sorun koşulları değer tarafından karşılanır D = 1. Parametrenin istenen son değeriA = 7.

CEVAP: ne zaman bir = 7 Bu denklemin üç farklı kökü vardır.

2.3. Denklem çözme.

“Unutmayın ki, küçük sorunları çözerek

kendinizi büyük ve zorlu mücadeleye hazırlayın

yeni görevler.”

Akademisyen S.L.

Bazı denklemleri çözerken beceriklilik ve zeka gösterebilir ve göstermelisiniz ve özel teknikler kullanmalısınız. Çeşitli dönüşüm tekniklerine hakim olmak ve mantıksal akıl yürütme becerisi matematikte büyük önem taşımaktadır. Bu püf noktalarından biri, iyi seçilmiş bir ifadeyi veya sayıyı toplamak ve çıkarmaktır. Belirtilen gerçeğin kendisi elbette herkes tarafından iyi bilinmektedir - asıl zorluk, belirli bir konfigürasyonda, uygulanmasının uygun ve uygun olduğu denklem dönüşümlerini görmektir.

Basit bir cebirsel denklem kullanarak, denklemleri çözmek için standart olmayan bir tekniği göstereceğiz.

Problem 5. Denklemi çözün

=
.

Çözüm. Bu denklemin her iki tarafını da 5 ile çarpıp aşağıdaki gibi yeniden yazalım.

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 veya
= 0

Ortaya çıkan denklemleri belirlenmemiş katsayılar yöntemini kullanarak çözelim

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + B )(X 2 + cx + D ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (B + A C + D ) X 2 + (reklam + M.Ö. ) x+ + BD

Katsayıların eşitlenmesi X 3 , X 2 , X ve ücretsiz şartlarla sistemi alıyoruz

a + c = -1

B + A C + D = 0

reklam + M.Ö. = -7

BD = -3, bulduğumuz yerden:A = -2 ; B = - 1 ;

İle = 1 ; D = 3 .

Bu yüzden X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 veya X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
kök yok.

Benzer şekilde bizde de var

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

Neresi X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Cevap: X 1,2 =

Problem 6. Denklemi çözün

= 10.

Çözüm. Bu denklemi çözmek için sayıları seçmeniz gerekirA Ve B böylece her iki kesrin payları aynı olur. Bu nedenle, sistemimiz var:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Yani görev sayıları bulmakA Ve B , eşitliğin geçerli olduğu yer

(bir + 6) X 2 + ah – 5 = X 2 + (5 + 2 B ) X + B

Şimdi polinomların eşitliği teoremine göre bu eşitliğin sağ tarafının sol taraftaki polinoma dönüşmesi gerekmektedir.

Başka bir deyişle ilişkilerin tatmin edilmesi gerekiyor.

bir + 6 = 1

A = 5 + 2 B

– 5 = B , değerleri nereden bulacağızA = - 5 ;

B = - 5 .

Bu değerlerdeA Ve B eşitlik A + B = - 10 da adildir.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 veya X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Cevap: X 1,2 =
, X 3,4 =

Problem 7. Denklemi çözün

= 4

Çözüm. Bu denklem öncekilerden daha karmaşıktır ve bu nedenle onu şu şekilde gruplandıracağız: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

İki polinomun eşitliği koşulundan

Ah 2 + (bir + 6) X + 12 = X 2 + (B + 11) X – 3 B ,

bilinmeyen katsayılar için bir denklem sistemi elde edip çözüyoruzA Ve B :

A = 1

bir + 6 = B + 11

12 = – 3 B , Neresi bir = 1 , B = - 4 .

Polinomlar - 3 – 6X + cx 2 + 8 cx Ve X 2 + 21 + 12 D – dx yalnızca aynı durumda birbirine eşit olduğunda

İle = 1

8 İle - 6 = - D

3 = 21 + 12 D , İle = 1 , D = - 2 .

Değerlerlebir = 1 , B = - 4 , İle = 1 , D = - 2

eşitlik
= - 4 doğrudur.

Sonuç olarak bu denklem aşağıdaki formu alır:

= 0 veya
= 0 veya
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Ele alınan örneklerden belirsiz katsayılar yönteminin ustaca kullanımının nasıl olduğu açıktır.

oldukça karmaşık, alışılmadık bir denklemin çözümünü basitleştirmeye yardımcı olur.

2.4. Fonksiyonel denklemler.

“Matematiğin en yüksek amacı...

içindeki gizli sırayı bulmaktır

etrafımızı saran kaos"

N. Wiener

Fonksiyonel denklemler, bilinmeyen fonksiyonun belirli bir fonksiyon olduğu çok genel bir denklem sınıfıdır. Kelimenin dar anlamıyla bir fonksiyonel denklem, karmaşık bir fonksiyon oluşturma işlemini kullanarak istenen fonksiyonların bir veya daha fazla değişkenin bilinen fonksiyonlarıyla ilişkili olduğu denklemler olarak anlaşılmaktadır. Fonksiyonel bir denklem aynı zamanda belirli bir fonksiyon sınıfını karakterize eden bir özelliğin ifadesi olarak da düşünülebilir.

[örneğin, fonksiyonel denklem F ( X ) = F (- X ) çift fonksiyonlar sınıfını, fonksiyonel denklemi karakterize ederF (X + 1) = F (X ) – periyodu 1 vb. olan fonksiyon sınıfı.].

En basit fonksiyonel denklemlerden biri denklemdirF (X + sen ) = F (X ) + F (sen ). Bu fonksiyonel denklemin sürekli çözümleri şu şekildedir:

F (X ) = CX . Ancak süreksiz fonksiyonlar sınıfında bu fonksiyonel denklemin başka çözümleri de vardır. Ele alınan fonksiyonel denklemle ilişkili olarak

F (X + sen ) = F (X ) · F (sen ), F (X sen ) = F (X ) + F (sen ), F (X sen ) = F (X )· F (sen ),

sırasıyla forma sahip olan sürekli çözümler

e cx , İLEiçindeX , X α (X > 0).

Böylece bu fonksiyonel denklemler üstel, logaritmik ve kuvvet fonksiyonlarını tanımlamak için kullanılabilir.

En yaygın kullanılan denklemler, gerekli fonksiyonların dış fonksiyonlar olduğu karmaşık fonksiyonlardaki denklemlerdir. Teorik ve pratik uygulamalar

Seçkin matematikçileri onları incelemeye iten tam da bu denklemlerdi.

Örneğin, en hizalama

F 2 (X) = F (X - sen)· F (X + sen)

N.I. Lobaçevskigeometrimde paralellik açısını belirlerken kullanılır.

Son yıllarda matematik olimpiyatlarında fonksiyonel denklemlerin çözümüne ilişkin problemler sıklıkla sunulmaktadır. Çözümleri orta okullardaki matematik müfredatının kapsamı dışında bilgi gerektirmez. Ancak fonksiyonel denklemlerin çözümü çoğu zaman bazı zorluklara neden olur.

Fonksiyonel denklemlere çözüm bulmanın yollarından biri belirsiz katsayılar yöntemidir. İstenilen fonksiyonun genel formu denklemin görünümü ile belirlenebildiğinde kullanılabilir. Bu, her şeyden önce, denklem çözümlerinin tamsayılı veya kesirli rasyonel fonksiyonlar arasında aranması gereken durumlar için geçerlidir.

Aşağıdaki problemleri çözerek bu tekniğin özünü özetleyelim.

Görev 8. İşlevF (X ) tüm gerçek x'ler için tanımlanır ve tümü için sağlanırX R durum

3 F(X) - 2 F(1- X) = X 2 .

BulmakF (X ).

Çözüm. Çünkü bu denklemin sol tarafında bağımsız değişken x ve fonksiyonun değerleri üzerindeF Yalnızca doğrusal işlemler gerçekleştirilir ve denklemin sağ tarafı ikinci dereceden bir fonksiyondur, bu durumda istenen fonksiyonun da ikinci dereceden olduğunu varsaymak doğaldır:

F (X) = balta 2 + bx + C , NeredeA, B, C – Belirlenecek katsayılar, yani belirsiz katsayılar.

Fonksiyonu denklemde yerine koyarsak özdeşliğe ulaşırız:

3(balta 2 + bx+ c) – 2(A(1 – X) 2 + B(1 – X) + C) = X 2 .

balta 2 + (5 B + 4 A) X + (C – 2 A – 2 B) = X 2 .

İki polinom eşitse aynı olacaktır

değişkenin aynı güçleri için katsayılar:

A = 1

5B + 4A = 0

C– 2 A – 2 B = 0.

Bu sistemden katsayıları buluyoruz

A = 1 , B = - , C = , Ayrıcatatmin edereşitlik

3 F (X ) - 2 F (1- X ) = X 2 tüm gerçek sayılar kümesinde. Aynı zamanda böyle bir şey varX 0 Görev 9. İşlevy =F(X) her x için tanımlıdır, süreklidir ve koşulu karşılarF (F (X)) – F(X) = 1 + 2 X . Böyle iki işlevi bulun.

Çözüm. İstenilen işlev üzerinde iki eylem gerçekleştirilir: karmaşık bir işlev oluşturma işlemi ve

çıkarma. Denklemin sağ tarafının doğrusal bir fonksiyon olduğu göz önüne alındığında, istenilen fonksiyonun da doğrusal olduğunu varsaymak doğaldır:F(X) = ah +B , NeredeA VeB – belirsiz katsayılar. Bu işlevi yerine koymakF (F ( (X ) = - X - 1 ;

F 2 (X ) = 2 X+ , bunlar fonksiyonel denklemin çözümleridirF (F (X)) – F(X) = 1 + 2 X .

Çözüm.

Sonuç olarak, bu çalışmanın, artan zorluk derecesi olan ve okul matematik dersi hakkında derin bilgi ve yüksek mantıksal bilgi gerektiren çeşitli matematik problemlerini çözmek için orijinal ve etkili bir yöntemin daha fazla araştırılmasına kesinlikle katkıda bulunacağına dikkat edilmelidir. kültür. Matematik bilgisini bağımsız olarak derinleştirmek isteyen herkes, bu çalışmanın, çözümü fayda ve memnuniyet getirecek, derinlemesine düşünme ve ilginç görevler içeren materyaller de bulacaktır.

Mevcut okul müfredatı çerçevesinde ve etkili algıya açık bir biçimde sunulan çalışma, okuldaki matematik dersinin derinleştirilmesine yardımcı olan belirsiz katsayılar yöntemini ortaya koyuyor.

Elbette belirsiz katsayılar yönteminin tüm yetenekleri tek bir çalışmada gösterilemez. Aslında yöntem hala daha fazla çalışma ve araştırma gerektiriyor.

Kullanılmış literatürün listesi.

Glazer G.I..Okulda matematik tarihi.-M.: Eğitim, 1983.

Gomonov S.A. Bir okul matematik dersinde fonksiyonel denklemler // Okulda matematik. – 2000. –№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. Matematik üzerine bir el kitabı - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Keyfi derecelerin cebirsel denklemleri - M .: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M.. Fonksiyonel denklemlere temel giriş. – St.Petersburg. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Matematiksel terimlerin açıklayıcı sözlüğü.-M .: Eğitim, 1971

Modenov V.P.. Matematik üzerine bir el kitabı. Bölüm 1.-M.: Moskova Devlet Üniversitesi, 1977.

Modenov V.P.. Parametrelerle ilgili sorunlar - M .: Sınav, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Cebir ve temel fonksiyonların analizi - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Okulda daha kolay çözebilirsin // Matematik. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Polinom 2'yi genişletinX 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X Tamsayı katsayılı çarpanlar için +3.

5. Hangi değerde A X 3 + 6X 2 + Ah+ 12 kişi başına X+ 4 ?

6. Parametrenin hangi değerindeA denklemX 3 +5 X 2 + + Ah + B = 0'ın tamsayı katsayılı iki farklı kökü vardır, bunlardan biri 1'dir ?

7. Polinomun kökleri arasında X 4 + X 3 – 18X 2 + Ah + B tam sayı katsayıları ile üç eşit tam sayı vardır. Değeri bulun B .

8. Parametrenin en büyük tamsayı değerini bulun A, denklemin olduğu yer X 3 – 8X 2 + ah +B = 0 tamsayı katsayılı bir sayının biri 2'ye eşit olmak üzere üç farklı kökü vardır.

9. Hangi değerlerde A Ve B Bölme işlemi kalansız yapılır X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Ah + B Açık X 2 – 3X + 2 ?

10. Faktör polinomları:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 D)X 4 + 12X – 5

B)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Denklemleri çözün:

A)
= 2 = 2 F (1 – X ) = X 2 .

Bulmak F (X) .

13. İşlev en= F (X) herkesin önünde X tanımlanmış, sürekli ve koşulu karşılayan F ( F (X)) = F (X) + X. Böyle iki işlevi bulun.

Bu hizmet, formun kesirlerini ayrıştırmak için tasarlanmıştır:

Basit kesirlerin toplamı için. Bu hizmet integrallerin çözümünde faydalı olacaktır. örneğe bakın.

Talimatlar. Kesrin payını ve paydasını girin. Çöz düğmesine tıklayın.

Değişken olarak tasarlarken x t z u p λ'yi kullanın

Not:Örneğin x 2, x^2, (x-2) 3, (x-2)^3 olarak yazılır. Faktörlerin arasına çarpma işareti (*) koyarız.

Bir işleve girme kuralları

Bu alan ifadenin payını girmek için tasarlanmıştır
Genel değişken x ilk önce parantezlerden çıkarılmalıdır. Örneğin, x 3 + x = x(x 2 + 1) veya x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

Bir işleve girme kuralları

Bu alan ifadenin paydasının girilmesi için tasarlanmıştır. Örneğin x2 x^2, (x-2)3 ise (x-2)^3 olarak yazılır. Faktörlerin arasına çarpma işareti (*) koyarız.
Genel değişken x ilk önce parantezlerden çıkarılmalıdır. Örneğin, x 3 + x = x(x 2 + 1) veya x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

Belirsiz katsayılar yöntemi için algoritma

1. Paydayı çarpanlara ayırma.
2. Bir kesrin, katsayıları belirlenemeyen basit kesirlerin toplamı olarak ayrıştırılması.
3. Payın x'in aynı kuvvetleriyle gruplanması.
4. Bilinmeyen olarak belirlenmemiş katsayılara sahip bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin elde edilmesi.
5. SLAE'nin Çözümü: Cramer yöntemi, Gauss yöntemi, ters matris yöntemi veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi.

Örnek. En basit olanlara ayrıştırma yöntemini kullanıyoruz. Fonksiyonu en basit terimlerine ayıralım:


Payları eşitleyelim ve katsayıların aynı güçlerde olduğunu dikkate alalım. X, solda ve sağda duranlar eşleşmelidir
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Çözdüğümüzde şunları buluyoruz:
A = 1/16 ;B = - 1/9 ;C = - 5/12 ;D = 7/144 ;

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integrali.
Belirsiz katsayı yöntemi

Kesirlerin integralini almaya devam ediyoruz. Derste bazı kesir türlerinin integrallerine zaten bakmıştık ve bu ders bir anlamda devamı sayılabilir. Materyali başarılı bir şekilde anlamak için temel entegrasyon becerileri gereklidir, bu nedenle integralleri çalışmaya yeni başladıysanız, yani yeni başlıyorsanız, o zaman makaleyle başlamanız gerekir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri .

Garip bir şekilde, artık integralleri bulmakla değil, lineer denklem sistemlerini çözmekle meşgul olacağız. Bu konuda acilen Derse katılmanızı tavsiye ederim. Yani yerine koyma yöntemleri (“okul” yöntemi ve sistem denklemlerinin dönem dönem eklenmesi (çıkarılması) yöntemi) konusunda bilgili olmanız gerekir.

Kesirli rasyonel fonksiyon nedir? Basit bir deyişle, kesirli-rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımlarını içeren bir kesirdir. Üstelik kesirler makalede tartışılanlardan daha karmaşıktır. Bazı Kesirlerin İntegrali .

Uygun Kesirli-Rasyonel Fonksiyonun İntegrasyonu

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integralini çözmek için hemen bir örnek ve tipik bir algoritma.

Örnek 1

Adım 1. Kesirli rasyonel bir fonksiyonun integralini çözerken HER ZAMAN yaptığımız ilk şey aşağıdaki soruyu açıklığa kavuşturmaktır: kesir doğru mu? Bu adım sözlü olarak gerçekleştirilir ve şimdi nasıl olduğunu açıklayacağım:

İlk önce paya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece polinom:

Payın baş kuvveti ikidir.

Şimdi paydaya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece payda. Bunun en açık yolu parantezleri açmak ve benzer terimleri getirmektir, ancak bunu daha basit bir şekilde yapabilirsiniz. her biri parantez içindeki en yüksek dereceyi bulun

ve zihinsel olarak çarpın: - böylece paydanın en yüksek derecesi üçe eşittir. Parantezleri gerçekten açarsak üçten büyük bir derece alamayacağımız çok açık.

Çözüm: Payın ana derecesi KESİNLİKLE paydanın en büyük kuvvetinden küçüktür, bu da kesrin uygun olduğu anlamına gelir.

Bu örnekte pay polinomu 3, 4, 5 vb. içeriyorsa derece, o zaman kesir olur yanlış.

Şimdi yalnızca doğru kesirli rasyonel fonksiyonları ele alacağız. Payın derecesinin paydanın derecesine eşit veya büyük olması durumu ders sonunda tartışılacaktır.

Adım 2. Paydayı çarpanlarına ayıralım. Paydamıza bakalım:

Genel olarak konuşursak, bu zaten faktörlerin bir ürünüdür, ancak yine de kendimize şunu soruyoruz: Başka bir şeyi genişletmek mümkün mü? İşkencenin nesnesi şüphesiz kare üçlü olacaktır. İkinci dereceden denklemin çözümü:

Diskriminant sıfırdan büyüktür, bu da trinomialin gerçekten çarpanlara ayrılabileceği anlamına gelir:

Genel kural: Paydadaki HER ŞEY çarpanlara ayrılabilir - çarpanlara ayrılabilir

Bir çözüm formüle etmeye başlayalım:

Adım 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali basit (temel) kesirlerin toplamına genişletiyoruz. Şimdi daha net olacak.

İntegral fonksiyonumuza bakalım:

Ve biliyorsunuz, bir şekilde, büyük kesirimizi birkaç küçük kesire dönüştürmenin güzel olacağına dair sezgisel bir düşünce ortaya çıkıyor. Örneğin şöyle:

Soru ortaya çıkıyor, bunu yapmak mümkün mü? Rahat bir nefes alalım, matematiksel analizin buna karşılık gelen teoremi şunu söylüyor: MÜMKÜN. Böyle bir ayrışma mevcuttur ve benzersizdir.

Sadece bir yakalama var, oranlar Güle güle Bilmiyoruz, dolayısıyla adı belirsiz katsayılar yöntemi.

Tahmin ettiğiniz gibi sonraki vücut hareketleri de bu şekilde, kıkırdamayın! sadece onları TANIMAYA, neye eşit olduklarını bulmaya yönelik olacaktır.

Dikkatli olun, yalnızca bir kez ayrıntılı olarak açıklayacağım!

O halde dans etmeye başlayalım:

Sol tarafta ifadeyi ortak bir paydaya indirgedik:

Artık paydalardan güvenli bir şekilde kurtulabiliriz (aynı oldukları için):

Sol tarafta parantezleri açıyoruz ancak bilinmeyen katsayılara şimdilik dokunmuyoruz:

Aynı zamanda polinomları çarpma konusundaki okul kuralını da tekrarlıyoruz. Öğretmenken bu kuralı ciddi bir ifadeyle telaffuz etmeyi öğrendim: Çoğaltmak için polinom Açık polinom bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız gerekir.

Açık bir açıklama açısından, katsayıları parantez içine almak daha iyidir (her ne kadar kişisel olarak zamandan tasarruf etmek için bunu asla yapmam):

Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz.
Öncelikle son derecelere bakıyoruz:

Ve karşılık gelen katsayıları sistemin ilk denklemine yazıyoruz:

Şu noktayı iyi hatırlayın. Sağ tarafta hiç s olmasaydı ne olurdu? Diyelim ki herhangi bir kare olmadan gösteriş yapar mı? Bu durumda sistemin denkleminde sağa sıfır koymak gerekir: . Neden sıfır? Ancak sağ tarafta aynı kareye her zaman sıfır atayabildiğiniz için: Eğer sağ tarafta hiçbir değişken ve/veya serbest terim yoksa, o zaman sistemin karşılık gelen denklemlerinin sağ taraflarına sıfır koyarız.

Karşılık gelen katsayıları sistemin ikinci denklemine yazıyoruz:

Ve son olarak maden suyuna ücretsiz üye seçiyoruz.

Eh... şaka yapıyordum. Şaka bir yana, matematik ciddi bir bilimdir. Enstitü grubumuzda doçentin üyeleri dağıtacağını söylemesine kimse gülmedi sayı doğrusu ve en büyüklerini seçecektir. Hadi ciddileşelim. Gerçi... kim bu dersin sonunu görecek kadar yaşarsa yine de sessizce gülümseyecektir.

Sistem hazır:

Sistemi çözüyoruz:

(1) Birinci denklemi sistemin 2. ve 3. denklemlerinde ifade edip yerine koyuyoruz. Aslında başka bir denklemden (veya başka bir harften) ifade etmek mümkündü, ancak bu durumda bunu 1. denklemden ifade etmek avantajlıdır, çünkü orada en küçük ihtimaller.

(2) 2. ve 3. denklemlerde benzer terimleri veriyoruz.

(3) 2. ve 3. denklemleri terim terim toplayarak eşitliği elde ederiz ve bundan şu sonuç çıkar:

(4) Bunu bulduğumuz yerden ikinci (veya üçüncü) denklemi yerine koyarız

(5) İlk denklemde ve yerine koyarak .

Sistemi çözme yöntemleriyle ilgili zorluk yaşıyorsanız bunları sınıfta uygulayın. Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?

Sistemi çözdükten sonra bulunan değerleri kontrol etmek - değiştirmek her zaman faydalıdır Her sistemin denklemi, sonuç olarak her şeyin “yakınlaşması” gerekir.

Neredeyse orada. Katsayılar bulundu ve:

Bitmiş iş şuna benzemelidir:

Gördüğünüz gibi, görevin asıl zorluğu bir doğrusal denklem sistemi oluşturmak (doğru!) ve çözmek (doğru!) oldu. Ve son aşamada her şey o kadar da zor değil: belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz ve integral alıyoruz. Lütfen üç integralin her birinin altında “serbest” bir karmaşık fonksiyona sahip olduğumuzu unutmayın; derste entegrasyonunun özelliklerinden bahsetmiştim; Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi .

Kontrol edin: Cevabı farklılaştırın:

Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru bulunmuştur.
Doğrulama sırasında ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek zorunda kaldık ve bu tesadüfi değil. Belirsiz katsayılar yöntemi ve bir ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek karşılıklı olarak ters eylemlerdir.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İlk örnekteki kesir konusuna dönelim: . Paydadaki tüm faktörlerin FARKLI olduğunu fark etmek kolaydır. Örneğin aşağıdaki kesir verilirse ne yapılacağı sorusu ortaya çıkıyor: ? Burada paydada derecelerimiz var, ya da matematiksel olarak, katlar. Ek olarak, çarpanlara ayrılamayan ikinci dereceden bir trinomiyal vardır (denklemin diskriminantının doğrulandığını doğrulamak kolaydır) negatif olduğundan üçlü çarpanlara ayrılamaz). Ne yapalım? Temel kesirlerin toplamına genişleme şuna benzer: üstte bilinmeyen katsayılar mı yoksa başka bir şey mi var?

Örnek 3

Bir işlev tanıtın

Adım 1. Uygun bir kesirimiz olup olmadığını kontrol ediyoruz
Ana pay: 2
En yüksek payda derecesi: 8
Bu, kesirin doğru olduğu anlamına gelir.

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Tabii ki hayır, her şey zaten planlanmış durumda. Yukarıda belirtilen nedenlerden dolayı kare trinomial bir ürüne genişletilemez. Kapüşon. Daha az iş.

Adım 3. Temel kesirlerin toplamı olarak kesirli-rasyonel bir fonksiyon hayal edelim.
Bu durumda genişleme aşağıdaki forma sahiptir:

Paydamıza bakalım:
Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu temel kesirlerin toplamına ayrıştırırken, üç temel nokta ayırt edilebilir:

1) Paydanın birinci kuvveti “yalnız” bir faktör içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman en üste belirsiz bir katsayı koyarız (bizim durumumuzda). 1 ve 2 numaralı örnekler yalnızca bu tür "yalnız" faktörlerden oluşuyordu.

2) Payda varsa çokluçarpanı kullanıyorsanız, bunu şu şekilde ayrıştırmanız gerekir:
- yani, birinci dereceden n'inci dereceye kadar “X”in tüm derecelerinden sırayla geçin. Örneğimizde iki çoklu faktör var: ve, verdiğim açılıma tekrar bakın ve bunların tam olarak bu kurala göre genişletildiğinden emin olun.

3) Payda ikinci dereceden ayrıştırılamaz bir polinom içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman payda ayrıştırırken, belirlenmemiş katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyon yazmanız gerekir (bizim durumumuzda belirlenmemiş katsayılar ve ).

Aslında 4. bir vaka daha var ama pratikte son derece nadir olduğu için bu konuda sessiz kalacağım.

Örnek 4

Bir işlev tanıtın katsayıları bilinmeyen temel kesirlerin toplamı olarak.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Algoritmayı kesinlikle takip edin!

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu toplama dönüştürmek için gereken ilkeleri anlarsanız, söz konusu türdeki hemen hemen her tür integrali kavrayabilirsiniz.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Adım 1. Açıkçası kesir doğrudur:

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Olabilmek. İşte küplerin toplamı . Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak paydayı çarpanlara ayırın

Adım 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali temel kesirlerin toplamına genişletiyoruz:

Lütfen polinomun çarpanlara ayrılamayacağını unutmayın (ayırt edicinin negatif olduğunu kontrol edin), bu nedenle en üste yalnızca bir harf değil, bilinmeyen katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyon koyarız.

Kesri ortak bir paydaya getiriyoruz:

Sistemi oluşturup çözelim:

(1) Birinci denklemden ifade edip sistemin ikinci denklemine yerleştiriyoruz (bu en rasyonel yoldur).

(2) Benzer terimleri ikinci denklemde de sunuyoruz.

(3) Sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerini terim terim topluyoruz.

Sistem basit olduğundan diğer tüm hesaplamalar prensip olarak sözlüdür.

(1) Kesirlerin toplamını bulunan katsayılara göre yazıyoruz.

(2) Belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz. İkinci integralde ne oldu? Dersin son paragrafında bu yönteme aşina olabilirsiniz. Bazı Kesirlerin İntegrali .

(3) Bir kez daha doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz. Üçüncü integralde tam kareyi izole etmeye başlıyoruz (dersin sondan bir önceki paragrafı) Bazı Kesirlerin İntegrali ).

(4) İkinci integrali alıyoruz, üçüncüde tam kareyi seçiyoruz.

(5) Üçüncü integrali alın. Hazır.