Problem, işin tamamını üç günde tamamlamak için gereken süreyi belirlemeyi gerektiriyor. birlikte çalışan ekipler, yani büyüklük1/ .

Açıkçası, yeni değişkenler eklerseniz (1)-(3) denklem sistemini çözmek daha uygundur: , değerini bulmamız lazım

ben/(sen + v+ w) .Sonra elimizde eşdeğer sistem

Bu doğrusal sistemi çözerek kolayca buluruzsen= O halde gerekli değer 1/ Bu yüzdenBöylece üç ekip birlikte çalışarak tüm işi 16 günde tamamlayacak.

Cevap: 16 gün içinde.İkinci fabrikanın verimliliği iki katına çıkarsa şuna eşit olur: neredeyse her türlü üretkenlik göreviyle karşılaşılır.

Görevler

İki işçi birlikte bir işi 10 günde bitirebiliyor. 7 gün birlikte çalıştıktan sonra biri hastalandı, diğeri ise 9 gün daha çalıştıktan sonra işten ayrıldı. Gün olarak saat kaçta?Her işçi tek başına tüm işi yapabilir mi?

Birkaç işçi birkaç gün içinde işi tamamladı. İşçi sayısı artırılırsa3 ise iş 2 gün, işçi sayısı 12 artarsa ​​5 gün daha erken yapılır. İşçi sayısını ve bu işi tamamlamak için gereken süreyi belirleyin.

Farklı güçlerdeki iki pompa birlikte çalışarak bir havuzu 4 saatte dolduruyor. Havuzun yarısını doldurmak için, ilk pompanın havuzun dörtte üçünü doldurması için ikinci pompadan 4 saat daha fazla zaman gerekiyor. Havuzun her pompayla ayrı ayrı doldurulması ne kadar sürer?

10. Gemi vinçlerle dolu. Önce eşit güçteki dört vinç 2 saat çalıştı, ardından daha düşük güçteki iki vinç daha onlara bağlandı ve bundan 3 saat sonra yükleme tamamlandı. Tüm vinçler aynı anda çalışmaya başlasaydı yükleme kalan iş. Üçüncü tugayın üretkenliği, birinci ve ikinci tugayların üretkenliğinin toplamının yarısına eşittir. İkinci takımın verimliliği üçüncü takımın verimliliğinden kaç kat daha fazladır?

15. Birlikte çalışan iki sıvacı ekibi, bir konut binasını 6 günde sıvadı. Başka bir sefer, bir kulübü sıvadılar ve bir konut binasının sıvanması için yapacakları işin üç katını yaptılar. İlk önce kulüpte ilk takım çalıştı, daha sonra ikinci takım onun yerine geçerek işi tamamladı ve birinci takım, ikincinin iki katı kadar işi tamamladı. Kulübü 35 günde sıvadılar. İlk tugay kaç günde başarabilir?İkinci ekibin orada 14 günden fazla zaman harcayacağı biliniyorsa bir konut binasını gezmek?

İki ekip saat 8'de çalışmaya başladı. 72 parçayı bir arada yapan ekipler ayrı ayrı çalışmaya başladı. Saat 15.00'te, ayrı çalışma sırasında birinci ekibin ikinciden 8 parça daha fazla yaptığı ortaya çıktı. Ertesi gün birinci takım 1 saatte bir bölüm fazla, ikinci takım ise 1 saatte ilk güne göre bir bölüm eksik yaptı. Saat 08.00'de birlikte çalışmaya başlayan ekipler, 72 parçayı tamamladıktan sonra yeniden ayrı ayrı çalışmaya başladı. Şimdi ayrı çalışma sırasında saat 13:00'e kadar birinci takım ikinci takımdan 8 parça daha fazla yaptı. Her takım saatte kaç parça yaptı?

Üç işçi 80 özdeş parça yapmalıdır. Üçünün birlikte saatte 20 parça oluşturduğu biliniyor. İlk önce işe başladıçalışma Üretimi için 3 saatten fazla zaman harcayarak 20 parça yaptı. İşin geri kalanı ikinci ve üçüncü işçiler tarafından birlikte yapıldı. İşin tamamı 8 saat sürdü. İlk işçi 80 parçanın tamamını kaç saatte yapar?

Havuz, birinci borudan ikinci boruya göre 5 saat, üçüncü boruya göre ise 30 saat daha hızlı suyla doluyor. biliniyor kiüçüncü borunun taşıma kapasitesi birinci borunun kapasitesinden 2,5 kat daha az ve 24 m 3 /h ikinci borunun kapasitesinden daha azdır. Bulmak verim birinci ve üçüncü borular.

İlkinin verimliliği daha az olan iki ekskavatör,ortak çalışma, 240 m hacimli bir çukur 3 . Sonra birincisi ikinci çukuru kazmaya başladı, ikincisi ise birincisini kazmaya devam etti. Çalışmaların başlamasından 7 saat sonra ilk çukurun hacmi 480 m3 oldu 3 ikinci çukurun hacminden daha büyük. Ertesi gün ikinci ekskavatör verimliliğini 10 m artırdı 3 /h ve ilki 10 m azaldı 3 /H. Önce birlikte 240 m yükseklikte bir çukur kazdılar. 3 , ardından birincisi başka bir çukur kazmaya başladı ve ikincisi ilkini kazmaya devam etti. Artık ilk çukurun hacmi 480 m3 oldu 3 ekskavatörler çalışmaya başladıktan 5 saat sonra ikinci çukurun hacminden daha büyüktü. Ekskavatörler işin ilk gününde saatte ne kadar toprak çıkardı?

Her yolculukta üç araç tam yüklü olarak tahıl taşıyor. Bir uçuş sırasında birinci ve ikinci vagon birlikte taşınır6 ton tahıl taşıyor ve birinci ve üçüncüsü birlikte 2 uçuşta, ikincisinin 3 uçuşta taşıdığı miktarda tahıl taşıyor. İkinci ve üçüncü araçların birlikte belirli miktarda tahıl taşıdığı biliniyorsa, ikinci araç bir seferde ne kadar tahıl taşır?Üçüncü bir aracın aynı miktarda tahıl taşıması için gerekenden 3 kat daha az yolculuk mu yapıyorsunuz?

İki ekskavatör farklı tasarımlar aynı genişlikte iki hendek döşenmelidar kesit uzunluğu 960mi180 m Çalışmanın tamamı 22 gün sürdü ve bu süre zarfında ilk ekskavatör büyük bir hendek açtı. İkinci ekskavatör ilkinden 6 gün sonra çalışmaya başladı, daha küçük bir hendek kazdı, 3 gün tamirat yaptı ve ardından birinciye yardım etti. Eğer tamiratla vakit kaybetmeye gerek olmasaydı iş 21 günde tamamlanacaktı. Her bir ekskavatör günde kaç metre hendek kazabilir?

Üç tugay iki tarlayı sürdü toplam alan 120 hektar. İlk tarla, üç ekibin birlikte çalışmasıyla 3 gün içinde sürüldü. İkinci tarla birinci ve ikinci tarladan 6 gün sonra sürüldü.Igadami. Her üç takım da ikinci tarlada 1 gün çalışırsa, birinci takım ikinci tarlanın geri kalanını 8 günde sürebilir. İkinci takım günde kaç hektar tarla işledi?

İki havuza eşit çapta iki boru bağlanır(İleher havuzun kendi borusu vardır). Birinci borudan birinci havuza belli bir hacimde su döküldü, hemen ardından ikinci borudan aynı hacimde su ikinci havuza döküldü ve tüm bunlar, birinci borudan su akması durumunda 16 saat sürdü. ikinciden geçen süre kadar ve ikinciden geçen süre kadar - birinciden geçen süre kadar, sonra ilk borudan 320 m boyunca su dökülecekti. 3 ikincisinden daha az. İlkinden geçseydi 10 m geçerdi 3 daha az ve ikinciden sonra - 10 m kadar 3 daha fazla su, o zaman ilk hacimdeki suyun havuza dökülmesi 20 saat sürer (önce birinciye, sonra ikinciye). Su her bir borudan ne kadar süre aktı?

oluşan iki konvoy aynı numara kargo taşıyan arabalar. Arabaların her birindeAraçlar aynı taşıma kapasitesine sahip olup uçuş sırasında tam yüklüdür. Farklı konvoylardaki araçların taşıma kapasiteleri farklıdır ve ilk konvoy bir seferde ikinci konvoydan 40 ton daha fazla yük taşımaktadır. Birinci konvoydaki araç sayısını 2, ikinci konvoydaki araç sayısını 10 azaltırsak ilk konvoy 1 seferde 90 ton, ikinci konvoy ise 3 seferde 90 ton yük taşıyacaktır. İkinci konvoydaki araçların taşıma kapasitesi nedir?

Bir işçi bir parti parçayı 12 saatte üretebilir. Bir işçi işe başladı, bir saat sonra bir başkası ona katıldı, bir saat sonra üçte biri vb. iş tamamlanana kadar. İlk işçi ne kadar süre çalıştı? (Tüm işçilerin emek üretkenliği aynıdır.)

Aynı niteliklere sahip çalışanlardan oluşan bir ekibin bir parti parça üretmesi gerekiyordu. Öğle yemeğiİlk önce bir işçi çalışmaya başladı, bir saat sonra ikinci bir işçi ona katıldı, bir saat sonra üçüncüsü vs. ta ki tüm ekip çalışmaya başlayana kadar. Ekibin tüm üyeleri en başından beri çalışsaydı iş 2 saat daha hızlı tamamlanırdı. Ekipte kaç işçi var?

Üç işçi hendek kazıyordu. İlk başta ilk işçi yarım saat çalışıyordu, hayırdiğer ikisinin tüm hendeği kazması gerekti, sonra ikinci işçi diğer ikisinin tüm hendeği kazması için gereken sürenin yarısı kadar çalıştı ve son olarak üçüncü işçi diğer ikisinin tüm hendek kazması için gereken sürenin yarısı kadar çalıştı. Sonuç olarak hendek kazıldı. Eğer üç işçi de en başından beri aynı anda çalışsaydı hendek kaç kat daha hızlı kazılırdı?

Görev türleri

Görev türleri.

“Doğal sayılar” konusundaki problemlerin incelenmesi

Her biri ortalama 150 ton ağırlığında olan 6 yetişkin balina, bir balina avcılığı gemisine bindirildi ve kafaları testereyle kesildi. Yetişkin bir balinanın uzunluğu 18 m ve kafa uzunluğu tüm balinanın 1/3'ü ise, başsız 6 balina karkasının tamamı ne kadar mesafe kat eder?

1 kg süt elde etmek için ineğin memesinden 500 kg kanın akması gerekir. Bir inekten günde 20 kg süt elde etmek için memesinden kaç ton kan akar? Bir ineğin 40 kg kanı varsa, ineğin memesinden günde kaç kez kan geçer?

Bir metreküp rafine edilmemiş atık su ortalama 12,5 m3 temiz alanı kirletiyor. Okul bahçenizdeki su havuzunu kirletmek için kaç metreküp arıtılmamış atık suyun yeterli olduğunu hesaplayın.

Doğal sayılarla toplama ve çıkarma

Görevler, toplama ve çıkarma işlemleriyle "... daha fazla" ve "daha az" ilişkileri arasındaki bağlantıyı tekrarlamayı amaçlamaktadır.

Bir çırak tornacı vardiya başına 120 parça döndürdü ve bir tornacı 36 parça daha fazlasını döndürdü. Kaç parça bir araya getirildi?

Koleksiyonda 128 pul yer alıyor. Bunlardan 93'ü Rus, geri kalanı ise yabancı. Koleksiyonda yabancı pullardan kaç tane daha fazla Rus pulu var?

Bir sayı düşündük, 45'e çıkardık ve 66'yı bulduk. Aklınıza gelen sayıyı bulun.

Bu sorunu çözmek için kullanabilirsiniz şematik çizim 4, toplama ve çıkarma işlemleri arasındaki ilişkiyi görselleştirmeye yardımcı olur. Özellikle etkili yardımçizim şu saatte olacak Daha büyüklüğü bilinmeyen eylemler.

Şekil.4 Problemin grafiksel çözümü.

Bir sayı düşündük, 120 artırdık, sonucu 49 azalttık. 200 bulduk. Aklımıza gelen sayıyı bulun.

Üç sınıfta 44 kız öğrenci var, bu da erkeklerden 8 eksik. Üç sınıfta kaç erkek var?

50 ruble'den alıcı. Satın alınan malların ödemesi olarak 30 ruble verdim. ve 2 ruble aldı. değiştirmek. Ne kadar parası kaldı?

Doğal sayılarda çarpma ve bölme

Problemler, “...'de daha fazla” ve “...'de daha az” ilişkilerinin çarpma ve bölme işlemleriyle bağlantısını gözden geçirmek için tasarlanmıştır. Bazılarında “daha ​​fazla...” ve “daha ​​az…” ilişkileriyle ilgili adımların eklenmesiyle çözüm karmaşıklaşıyor.

48 sayısını 3 artırın, sonucu 3 kat artırın. (Eski bir sorun.)

Fabrikadan her birinde 2 kutu ve her kutuda 45 düzine tabak bulunan 9 adet tabak arabası gönderildi. Fabrikadan kaç tabak çıktı?

Bisikletçi 10 günde 36 km yol kat etti. 9 günde geri dönmek için günde kaç kilometre yol kat etmesi gerekir?

Parçalara ayrılmış görevler

Reçel yapmak için 2 ölçü ahududu ve 3 ölçü şeker alın. 2 kg 600 gr çilek için kaç kilo şeker almalısınız?

İlk rafta 4 kez vardı daha fazla kitap ikincisinden daha. Bu, ikinci raftakinden 12 kitap daha fazla. Her rafta kaç kitap vardı?

İki sayının toplamı 230'dur. Bunlardan ilki 20 azaltılırsa sayılar eşit olur.

Nehir hareketi sorunları

Bu materyale başarılı bir şekilde hakim olmak için, akıntı boyunca ve akıntıya karşı hızların, kişinin kendi hızı ile akıntının hızının toplamı ve farkı olduğunu anlamalısınız.

Gemi A noktasından B noktasına 1 saat 40 dakika, dönüşte ise 2 saat harcamıştır. Nehir hangi yöne akmaktadır?

Kendi hızı 15 km/saat olan bir yangın, 2 saat boyunca nehir boyunca ve 3 saat boyunca nehre karşı yüzdü. Nehrin akış hızı 2 km/saat ise tüm zaman boyunca ne kadar yüzmüştür?

Bir motorlu tekne akıntı yönünde 48 km'yi 3 saatte, akıntıya karşı ise 4 saatte kat etmiştir.

Farklı türde hareket görevleri

Hareket sorunları geleneksel olarak öğrenciler için zordur. Onları problemdeki ortadan kalkma hızı kavramına getirmek için şunları yapmalısınız: 3 adımda harekete katılanlar arasındaki mesafeyi bulmalı, yazmalısınız sayısal ifade(örneğin 3-4 + 3-5), ortak çarpanı parantezlerden çıkarın ve şu soruyu sorun: 4 + 5 toplamı neyi gösterir?

Bundan sonra kaldırma oranını kullanarak soruna iki adımda çözüm göstermeniz gerekiyor. Yaklaşma hızı kavramı da benzer şekilde tanıtılmıştır.

İki yaya aynı anda dışarı çıktı zıt yönler bir noktadan. Birincisinin hızı 4 km/saat, ikincisinin hızı ise 5 km/saattir. 3 saat sonra aralarındaki mesafe ne kadar olacak? Yayalar birbirlerinden saatte kaç kilometre uzaklaşıyor? (Bu miktara kaldırma oranı denir.)

Aralarındaki mesafe 36 km olan iki köyden iki yaya aynı anda birbirine doğru çıktı. Hızları 4 km/saat ve 5 km/saattir. Yayalar saatte kaç kilometre birbirine yaklaşıyor? (Bu miktara kapanma hızı denir).

“Rasyonel sayılar” konusundaki problemler

Kesir problemleri bize kadar gelen en eski problemlerdir. yazılı kaynaklar; Sıradan kesirler için gösterimler icat edilene ve bunlarla başa çıkma kuralları geliştirilinceye kadar bunların çözümü çok zor bir problemdi. İÇİNDE Eski Mısırörneğin, yalnızca hiyeroglifler vardı

payı 1 olan kesirler için gösterimler. Bunun tek istisnası

2, karşılık gelen bir atamanın olduğu kesir 3 9'du.

Sonuç olarak, temel kesir problemlerini çözerken ondalık kesirlerin kullanılmasının yeni bir şey getirmediğini not ediyoruz, çünkü ondalık sayılar bazı sıradan kesirlerin başka bir gösterimidir.

Kesir problemleri:

Sorun 1. 600 ruble vardı, 4 miktar harcandı. Ne kadar para harcadın? Çözüm:

600 ruble'den 4'ü bulmak için bu miktarı 4'e bölmeniz gerekir:

600:4=150(ovmak)

2 Sorun 2. 1000 ruble vardı, bunun 5'i harcandı. Kaç tane

hiç para harcadın mı?

Çözüm:

Önce 1000 rublenin beşte birini, sonra da beşte ikisini bulalım:

1)1000: 5 = 200 (ovmak),

2) 200 2 = 400 (ovmak)

Bu iki eylem birleştirilebilir:

1000: 5-2 = 400 (ovmak) 2

1000'in 5'ini bulmak için 1000'i paydaya böleriz

kesirleri bulun ve sonucu payı ile çarpın.

Problem 2 kurala göre çözülebilir:

Bir bütünün bir kısmı kesir olarak ifade edilirse bu parçayı bulmak için;

Tam sayıyı kesrin paydasına bölüp sonucu çarpabilirsiniz.

payına.

Sorun 3. Orijinal paranın 6'sına tekabül eden 50 ruble harcadık. Orijinal para miktarını bulun. Çözüm:

50 ovmak. Orijinal miktardan 6 kat daha az, yani 50 rubleden 6 kat fazla. Bu miktarı bulmak için 50 rubleye ihtiyacınız var. 6 ile çarpın:

50 6 = 300 (r.).

2 Sorun 4. 600 ruble harcadık, bu 3 oldu

orijinal para miktarı. Orijinal para miktarını bulun.

Çözüm:

üçte ikisinin 600 olması koşuluyla. Önce üçte birini bulalım

orijinal miktar ve ardından üçte üç:

600: 2 - 300 (r.),

300 3 = 900 (r.).

Bu iki eylem birleştirilebilir: 600: 2 3 = 900 (r.).

3'ü 600'e eşit olan sayıyı bulmak için 600'ü kesrin payına bölüp sonucu paydasıyla çarpabilirsiniz.

Problem 4 kurala göre çözülebilir: İstenilen bütünün bir kısmı kesir olarak ifade edilirse, bu bütünü bulmak için şunları yapabilirsiniz: bu kısım

kesrin payına bölün ve sonucu paydasıyla çarpın.

Ortak Kesirlerde Toplama ve Çıkarma Problemleri

Tüm miktarın bir olarak alındığı problemlere daha fazla dikkat edeceğiz ve öncelikle bu daha iyi olacaktır.

2 3_

2 y s vb. olarak temsil edilir. miktarlar.

Sorun 1. İlk traktör sürücüsü toprağı sürdü mü? alanlar, ikinci - ? alanlar.

Birlikte 10 hektarlık araziyi sürdüler. Alanın alanını belirleyin.

Görev 2. Serçeler bir dalda oturuyordu. Üçüncü kısım uçup gittiğinde,

o zaman 6 tane kalmış. Başlangıçta dalda kaç tane serçe vardı?

Bu sorunu çözmek için öğrencilere teklif edilmesi tavsiye edilir.

aşağıdaki çizim:

Adi Kesirlerde Çarpma ve Bölme Problemleri

Sorun 1. Her gün bir turist amaçlanan rota boyunca yürüyor.

I 2 günde güzergahın ne kadarını kat edecek; 2 gün içinde; 4 gün içinde mi?

2 Problem 2. 5. sayı olan 60'ı bulun.

3_ 4

Problem 3. 45 m'den 5'ten veya 30 m'den 5'ten büyük olan nedir?

Problem 4. 5'i 60'a eşit olan bir sayı bulun.

İşbirliği görevleri

Sorun 1. Tavuk çiftliğine ördeklere 30 gün, kazlara ise 45 gün yetecek yem getirildi. Getirilen yiyeceğin ördek ve kazlara birlikte kaç gün yeteceğini hesaplayınız?

Sorun 2. (L.F. Magnitsky'nin “Aritmetik” kitabından.) Bir adam bir kadayı 14 günde, karısıyla birlikte 10 günde içecektir. Soru şu; karısı aynı Kad'ı ayrı ayrı kaç gün içecek?

Görev 3. Birinci ve ikinci tugaylar görevi 9 günde tamamlayabilir; ikinci ve üçüncü tugaylar - 18 gün içinde; birinci ve üçüncü tugaylar - 12 gün içinde. Birlikte çalışan üç ekip bu görevi kaç günde tamamlayabilir?

Bir yük treni 80 km/saat hızla 720 km yol kat etmiştir. Bir yolcu treni aynı anda 60 km/saat hızla ne kadar yol katedecektir? Yol, sabit bir hareket anında hız ile orantılıdır,

80 80

Bu, hızın 60 kat azalmasıyla mesafenin 60 kat azalacağı anlamına gelir.

80 720-60

720: 60 = 80 = 540 (km).

Hız azalmamış ancak artmışsa, miktarlar doğrudan değil ters orantılıysa, sorunu çözmek için aynı teknik kullanılır.

Oranlarla ilgili problemler.

Basit orantı problemleri

Sorun 1. Birkaç aynı kalem için 8 ruble ödediler. Aynı kalemi 2 kat daha ucuza alırsanız ne kadar ödersiniz?

Sorun 2. Birkaç aynı kalem için 8 ruble ödediler. Her biri 2 kat daha pahalı olan aynı kalemlere ne kadar ödemelisiniz?

Sorun 3. 30 kalem alacak para var. Bir defter kalemin yarı fiyatına ise aynı paraya kaç defter satın alabilirsiniz?

Problem 4. Bir bisikletçi birkaç saatte 36 km yol kat etti. Hız bir bisikletçinin hızından 3 kat daha az ise yaya aynı sürede ne kadar yol kateder?

Problem 5. Bir bisikletçi belli bir mesafeyi 3 saatte katetmiştir. Hızı bisikletçinin hızının 5 katı olan bir motosikletçi bu mesafeyi kaç saatte kat eder? Oranları kullanarak problemleri çözmeye geçelim.

Sorun 6. Tren 6 saatte 480 km yol kat etti. Hızı sabitse tren ilk 2 saatte ne kadar yol kat etti? Sorun durumlarının kısa bir kaydına ihtiyacınız olacak:

Sözlü tartışma sırasında, zamanın ve mesafenin aynı sayıda azaldığı ortaya çıktı. sabit hız bu miktarlar doğru orantılıdır.

Problem 7. Bir yolcu treni iki şehir arasındaki mesafeyi 80 km/saat hızla 3 saatte kat etmektedir. Bir yük treninin aynı mesafeyi 40 km/saat hızla kat etmesi kaç saat sürer?

Sorun 8. 2 saatte 12 havuz sazanı yakalandı. 3 saatte kaç tane havuz sazanı yakalanacak?

Sorun 9. Üç horoz 6 kişiyi uyandırdı. 5 horoz kaç kişiyi uyandıracak?

Sorun 10. Vasya kitabın 10 sayfasını okuduğunda okunacak 90 sayfası daha kalmıştır. 30 sayfa okuduğunda okuyacak kaç sayfası kalır?

Bir kitabın okunan sayfa sayısı ile kalan sayfa sayısı arasındaki ilişki genellikle ters orantılı olarak kabul edilir: ne kadar çok sayfa okunursa, okunacak o kadar az sayfa kalır.

Ancak bir sayfanın büyütülmesi ve diğerinin küçültülmesi aynı sayıda gerçekleşmez.

Karmaşık görevler oranlar üzerinde

Kadim bir görev. Günde 12 saat makinelerle çalışan 26 kişilik kazıcı ekip, 96 m uzunluğunda, 20 m genişliğinde ve 12 cm derinliğinde bir kanalı 40 günde kazabiliyor. Kanal genişliği 10 m, derinliği 18 dm ise, 39 kazıcı tarafından 80 gün, günde 10 saat çalışan bir kanal ne kadar süre kazılabilir?

Kanalın uzunluğu kişi sayısının 26 kat artmasıyla artacak.

30 18-

gün sayısını 40 kat arttırmak ve genişliği 12 kat azaltmak.

P£ 39 80 20 12 18

x = 96: -: -

26 40 10 10 12

Sonunda x = 320 elde ederiz.

Bir sayının yüzdesini bulma

Sorun 11. Ürünün maliyeti 5000 ruble. Fiyatı yüzde 20 arttı. Fiyat kaç ruble arttı? Ürünün yeni fiyatı nedir?

Sorun 12. Banka, yatırılan tutarın yıllık %2'si oranında gelir ödüyor. Bir yıl sonra para yatırılırsa hesapta kaç ruble vardı: 100 ruble; 200 ovmak; 1000 ovmak; 12.000 RUB mu?

Problem 13. Yüzde bilgisini göstermek isteyen Vasya, kitabın %60'ını geçen hafta, kalan %50'sini ise bu hafta okuduğunu söyledi. Vasya bir hata mı yaptı?

Problem 14. Bir okulda 400 öğrenci vardır ve bu sayının %52'si kızdır. Okulda kaç erkek öğrenci bulunmaktadır?

Problem 15. 200 sayısını %10 artırın. Ortaya çıkan sayıyı %10 azaltın. Sayı yine 200 olacak mı? Neden?

Bir sayıyı yüzdesine göre bulma

Sorun 16. Bir elektrikli eşya mağazasına ampuller getirildi. Bunların arasında 16 adet kırık ampul vardı ve bu da sayının %2'sini oluşturuyordu. Mağazaya kaç tane ampul getirdiniz?

Problem 17. %110'u 33 olan bir sayı bulun.

Sorun Sınıfın %18,60'ı sinemaya, geri kalan 12 kişi ise sergiye gitti. Sınıfta kaç öğrenci var?

Sorun 19. Çim kurutulduğunda kütlesinin %80'ini kaybeder. 4 ton taze ottan kaç ton saman elde edilecektir? 4 ton samanın kurutulması için kaç ton ot kesilmesi gerekir? 100 - 80 - 20 (%) - çim kütlesi saman kütlesidir; 4 0,2 = 0,8 (t) - 4 ton ottan saman elde edilecek; 4: 0,2 = 20 (t) - çimlerin biçilmesi gerekiyor.

Yüzde Bulma

Sorun 20. 16 kg taze armuttan 4 kg kurutulmuş armut elde ediyoruz. Taze armut kütlesinin ne kadarı kurutulmuş olanların kütlesidir? Bu kısmı yüzde olarak ifade edin. Kurutma sırasında kütlenin yüzde kaçı kaybolur?

Problem 21. 50 sayısının yüzde kaçı 40 sayısıdır? 40 sayısının yüzde kaçı 50 sayısıdır?

Problem 22. Ayda 12 güneşli ve 18 bulutlu gün vardı. Ayın yüzde kaçı güneşli günlerdir? bulutlu günler mi?

Sorun 23. Bir ürünün fiyatı 40 rubleden düştü. 30 ovuşturmaya kadar. Fiyat kaç ruble düştü? Fiyat yüzde kaç düştü?

Problem çözme Dersin özetlenmesi Dersin ilerleyişi I. Organizasyon anı- sayfa No. 1/1

Üç veya daha fazla büyüklüğün doğrudan ve ters orantılılığı ile ilgili problemler

Dersin amacı: Doğrudan ve ters orantılılık problemlerini çözme yolları hakkında bilginin derinleştirilmesi

Ders hedefleri:

• 
  Hızlı güncellemeyi teşvik edin ve pratik uygulama standart dışı bir durumda önceden edinilmiş bilgi, beceri ve eylem yöntemleri
• 
  Eski pratik problemleri çözerken öğrencilerin ufkunu genişletecek koşullar yaratın

1. 
   Organizasyon anı
2. 
   Sözlü sayma
3. 
   Sorun çözme
4. 
   Dersi özetlemek

Dersin ilerlemesi

I. Organizasyon anı

1. Doğru olanı tartışmak,

Hayattaki başarısızlıkları bilmemek için,

Cesurca yürüyüşe çıkıyoruz

Gizemlerin ve karmaşık görevlerin dünyasına.

Yolun uzun olması önemli değil

Yolun zor olacağından korkmuyoruz.

İnsanlar için büyük başarılar

Hiçbir zaman kolay olmadı.

2. Bugünkü dersin sloganı “Un olmadan bilim olmaz” sözü olacak.

3. Şimdi bulmacayı çözün

ORAN
II. Sözlü sayma

1 . İle. Aşağıdaki durumlarda aynı kalemler için ne kadar ödemeniz gerekir:

a) 2 kat daha mı fazla? b) 2 kat daha az mı?

2. Birkaç özdeş kalem için 80 ödediler İle. Aynı sayıda kalem için ne kadar ödemeniz gerekir; bunların her biri:

a) 2 kat daha mı pahalı? b) 2 kat daha mı ucuz?

3. 30 kalem alacak para var.

a) Bir defter kalemden 2 kat daha ucuzsa, aynı parayla kaç defter satın alabilirsiniz?

b) Aynı parayla kaç kalem satın alınabilir? kalemden daha pahalı 10 kez mi?

III. Sorun çözme

Antik çağda, birçok türdeki problemi çözmek için, bunları çözmek için özel kurallar vardı. İki büyüklüğün üç değerinden dördüncü değerin bulunması gereken, bilinen doğrudan ve ters orantılılık problemlerine “üçlü kural” problemleri adı verildi.

Üç miktar için beş değer verildiyse ve altıncıyı bulmak gerekiyorsa, bu kurala "beşli" adı verildi. Benzer şekilde dört büyüklük için de “yediler kuralı” vardı. Bu kuralların uygulanmasını içeren problemlere “karmaşık üçlü kural” problemleri de deniyordu.

Hadi deneyelim!!!

Görev1. Üç tavuk 3 günde 3 yumurta yumurtladı. 12 tavuk 12 günde kaç yumurta yumurtlar?

Sorunun cevabı ………?

Sorunun çözümünü toplu olarak inceleyelim, sorunun durumunu kısaca yazalım:

Tavuk sayısı kaç kat arttı? (4 kez)

Gün sayısı değişmediyse yumurta sayısı nasıl değişti? (4 kat arttı)

Gün sayısı kaç kat arttı? (4 kez)

Yumurta sayısı nasıl değişti? (4 kat arttı)

X = 3*4*4 =48(yumurtalar)

Sorun 2(I. Newton'un “Evrensel Aritmetik” kitabından)
Isaac Newton- İngiliz fizikçi, matematikçi ve astronom, yaratıcılardan biri klasik fizik. Birinci matematiksel keşifler Newton geri dönmeyi başardı öğrenci yılları. Newton Evrensel Aritmetik adlı eserinde "bilimlerin incelenmesinde örneklerin kurallardan daha yararlı olduğu" inancını ifade etti. Newton'un evrensel aritmetiği, 18. yüzyılın ikinci yarısında Rusya'da en yaygın kullanılan ders kitabı haline geldi.

Bir katip 8 günde 15 yaprak yazabiliyorsa 9 günde 405 yaprak yazabilmek için kaç katip gerekir?

Öğrenciler kolektif olarak soru sormaya ve cevaplamaya çalışırlar.

(çarşafların artmasıyla katip sayısı artar ve azalır

artan çalışma günlerinden (yazarlar)).

Dört niceliği olan daha karmaşık bir problemi ele alalım.

18 odayı aydınlatmak için 48 günde 120 ton gazyağı kullanıldı ve her odada 4 lamba yandı. 20 oda aydınlatılırsa ve her odada 3 lamba yakılırsa 125 kilo gazyağı kaç gün dayanır?
Kiselev Andrey Petrovich - Rus, Sovyet öğretmeni, yasa koyucu okul matematik. Kiselyov'un “Aritmetik” - ilk okul ders kitabı aritmetik üzerine, 1884'te yayınlandı. 1938'de 5-6. Sınıflar için aritmetik ders kitabı olarak onaylandı. lise. Kiselev'in aritmetik ders kitabı devrimden önce 29 baskıdan (bir milyondan fazla kopya) çıktı ve ayrıca Kiselev'in yaşamı boyunca 10 milyon kopya daha basıldı. Fizmatlit yayınevi 2002'den beri A.P. Kiselyov'un klasik ders kitaplarını yeniden basıyor.

Kaydedildi kısa durum problem ve buna paralel olarak tahtaya kademeli olarak eklenen X = ..... girişinin yazılabileceği bir gerekçe verilir.

Gazyağı miktarının kat kat arttırılması ve lamba sayısının bir defada azaltılmasıyla gazyağı kullanım gün sayısı artar.

Oda sayısı arttıkça gazyağı kullanılan gün sayısı azalmaktadır. 20 kez.

X = 48 * * : = 60 (gün)

Nihai değer X = 60'tır. Bu, 125 kilo gazyağının 60 gün yettiği anlamına gelir.

Sorun 4(L. F. Magnitsky'nin "Aritmetik" adlı eserinden). Birisinin 100'ü vardı R. 1 yıldır tüccar sınıfındayım ve sadece 7 tane aldım R. Ve tüccarlara 1000 verdiğimde R. 5 yıl boyunca kaç tane alacaklar?
Leonty Filippovich Magnitsky bir Rus matematikçi ve öğretmendir. Öğretmen, Rusya'daki ilkin yazarı eğitim ansiklopedisi matematikte. O doğdu köylü ailesi, Seliger Gölü kıyısında. Leonty Filippovich Magnitsky'nin "Aritmetik" kitabı başlangıçta gelecekteki ordu ve donanma subayları için bir ders kitabı olarak yaratıldı. Magnitsky ders kitabında sadece açıkça açıklamaya çalışmadı matematik kuralları ama aynı zamanda öğrencilerin öğrenmeye olan ilgilerini de teşvik etmek. O sürekli açık spesifik örnekler itibaren günlük yaşam, askeri ve denizcilik uygulaması Matematik bilgisinin önemine vurgu yaptı.

Görev 5. Günde 12 saat makinelerle çalışan 26 kişilik kazıcı ekip, 96 metre uzunluğunda, 20 metre genişliğinde ve 12 metre derinliğinde bir kanalı 40 günde kazabiliyor. Genişliği 10 m ve derinliği 18 dm olan bir kanal, 80 gün, günde 10 saat çalışan 30 kazıcı tarafından ne kadar süre kazılabilir?

X = 320

Görev 6: Önerilen görevlerin metinlerini okuyun. Doğru veya ters orantılı olup olmadığını belirleyin orantılı bağımlılık miktarlar arasındadır. Aşağıdaki tablonun “P, O” sütununa bağımlılık doğrudan ise “P” harfini, bağımlılık ters ise “O” harfini, bağımlılık yoksa kısa çizgi koyunuz.

Eski sorun 7. Günde 12 saat makinelerle çalışan 26 kişilik kazıcı ekip, 96 m uzunluğunda, 20 m genişliğinde ve 12 cm derinliğinde bir kanalı 40 günde kazabiliyor. Kanal genişliği 10 m, derinliği 18 dm ise, 39 kazıcı tarafından 80 gün, günde 10 saat çalışan bir kanal ne kadar süre kazılabilir?

Sorun 290 S.I. Şokhor-Troçki bunu yetersiz buldu yaşam koşulları ve için uygun değil okul uygulaması, bunu "Aritmetik Yöntemleri" (1935) adlı eserinde "kendisi için" değerlendirdi. Geliştirdiğimiz “son formülü” uygulayalım. İÇİNDE güçlü sınıf bu yöntem öğrencilere gösterilebilir, ancak yalnızca onların karara aktif katılımıyla - aksi takdirde iş anlamsız olacaktır. Aşağıda problemin kısa bir açıklaması yazılmış ve buna paralel olarak sağda gösterilen tahtada kademeli olarak eklenen bir kaydın tutulabileceği bir gerekçe verilmiştir.

Dl. Kişi Gün Saat. Büzgü. Ch.

96 26 40 12 20 12

x 39 80 10 10 18

Kanal uzunluğu artacak

insan sayısını 39/26 kat arttırırsak, x = 96·39/26

gün sayısını 80/40 kat artırmaktan x = 96 39/26 80/40

ve genişliğin 20/10 kat azaltılması; x = 96·39/26·80/40.

Kanal uzunluğu azalacak

saat sayısını 12/10 kat azaltıp x = 96 39/26 80/40 20/10: 12/10

ve derinliğin 18/12 kat artmasından: x = 96·39/26·80/40·20/10: 12/10: 18/12.

Sonunda elimizde: x = 320. Bu, 39 kazıcının 320 m uzunluğunda bir kanal kazabileceği anlamına gelir.
IV. Dersi özetlemek. Refleks
Her gün ve her saat olsun

Sana yeni bir şey alacak.

Aklınız iyi olsun

Ve kalp akıllı olacak.

Tüm görevler şuradan: bu bölüm tüm öğrencilerin bunları çözebilmesi gerekmediği için isteğe bağlıdır. Bunları öğrencileriniz için ilginç olduğu kadar kullanın.

1. 
   Üç tavuk 3 günde 3 yumurta yumurtladı. 12 tavuk 12 günde kaç yumurta yumurtlar?

Öğrenciler "12 yumurta" şeklindeki "açık" cevabın yanlış olduğunu öğrenince çok şaşıracaklar. Bu bölümdeki ilk sorunun çözümünü, belki evde düşündükten sonra, sorunun durumunu kısaca yazarak toplu olarak analiz etmek daha iyidir:

Tavuk Günleri Yumurtaları

3 33
12 12x

Diyalog sırasında tavuk sayısının kaç kat arttığını (4 kat) bulmanız gerekiyor; Gün sayısı değişmediyse (4 kat arttı) yumurta sayısı nasıl değişti; gün sayısı kaç kat arttı (4 kat); yumurta sayısı nasıl değişti (4 kat arttı). Yumurta sayısı: x = 3 4 4 = 48.

2. Üç ressam 5 günde 60 pencereyi boyayabilir. 64 pencereyi 2 günde boyayabilmek için pencereleri boyamak için kaç boyacı işe alınmalıdır?

3. Yabancı dil kursları okulda sınıf alanı kiralar. Yılın ilk yarısında okul, haftanın 6 günü dört derslik kiralama karşılığında 336 ruble aldı. ayda. Aynı şartlarda haftanın 5 günü 5 dersliğin yılın ikinci yarısında aylık kirası ne kadar olacak?

4. (I. Newton'un “Evrensel Aritmetik” kitabından.) Bir katip 8 günde 15 yaprak yazabiliyorsa 9 günde 405 yaprak yazabilmek için kaç katip gerekir?

5. (Eski bir sorun.) 45 kişinin bakımı için 56 gün boyunca 2040 ruble harcandı. 75 kişiye 70 gün boyunca destek vermenin maliyeti ne kadar olmalı?

Dört ve hatta altı niceliklerle ilgili daha karmaşık problemleri ele alalım. İsteğe bağlı olarak ayarlanabilirler Ev ödeviŞaşırtıcı problemleri çözmekten hoşlanan en güçlü öğrenciler.

6. (AL. Kiselev'in “Aritmetik” kitabından.) 18 odayı aydınlatmak için 48 günde 120 kilo gazyağı kullanıldı ve her odada 4 lamba yandı. 20 oda aydınlatılırsa ve her odada 3 lamba bulunursa 125 kilo gazyağı kaç gün dayanır?

7. (Eski bir sorun.) Günde 12 saat makinelerle çalışan 26 kişilik kazıcı ekip, 96 m uzunluğunda, 20 m genişliğinde ve 12 cm derinliğinde bir kanalı 40 günde kazabiliyor. Kanal genişliği 10 m, derinliği 18 dm ise, 39 kazıcı tarafından 80 gün, günde 10 saat çalışan bir kanal ne kadar süre kazılabilir?