7. ve 8. sınıflarda doğru orantı grafiği işlenmektedir.
Doğru orantılılık grafiği nasıl oluşturulur?
Doğrudan orantı grafiği örneklerine bakalım.
Doğrudan orantı grafiği formülü
Doğru orantılılık grafiği bir fonksiyonu temsil eder.
Genel olarak doğru orantı şu formüle sahiptir:
Doğru orantı grafiğinin x eksenine göre eğim açısı, doğru orantı katsayısının büyüklüğüne ve işaretine bağlıdır.
Doğru orantılılık grafiği geçiyor
Doğru orantılılık grafiği orijinden geçer.
Doğru orantılılık grafiği düz bir çizgidir. Düz bir çizgi iki noktayla tanımlanır.
Dolayısıyla doğru orantılılık grafiği oluştururken iki noktanın konumunu belirlemek yeterlidir.
Ama her zaman bunlardan birini biliyoruz; bu koordinatların kökenidir.
Geriye kalan tek şey ikinciyi bulmaktır. Doğru orantılılık grafiği oluşturmanın bir örneğine bakalım.
Grafik doğru orantılılığı y = 2x
Görev .
Formül tarafından verilen doğru orantılılığın grafiğini çizin
Çözüm .
Bütün numaralar orada.
Doğru orantı alanından herhangi bir sayıyı alın, 1 olsun.
x 1'e eşit olduğunda fonksiyonun değerini bulun
Y=2x=
2 * 1 = 2
yani x = 1 için y = 2 elde ederiz. Bu koordinatlara sahip nokta y = 2x fonksiyonunun grafiğine aittir.
Doğru orantı grafiğinin düz bir çizgi olduğunu ve düz bir çizginin iki noktayla tanımlandığını biliyoruz.
Doğrusal fonksiyon
Doğrusal fonksiyon y = kx + b formülüyle belirtilebilen bir fonksiyondur,
burada x bağımsız değişkendir, k ve b bazı sayılardır.
Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.
k sayısına denir düz bir çizginin eğimi– y = kx + b fonksiyonunun grafiği.
Eğer k > 0 ise, y = kx + b düz çizgisinin eksene olan eğim açısı X baharatlı; eğer k< 0, то этот угол тупой.
İki doğrusal fonksiyonun grafiği olan doğruların eğimleri farklı ise bu doğrular kesişir. Açısal katsayılar aynıysa çizgiler paraleldir.
Bir fonksiyonun grafiği y=kx +B k ≠ 0 olmak üzere y = kx doğrusuna paralel bir doğrudur.
Doğrudan orantılılık.
Doğrudan orantılılık y = kx formülüyle belirtilebilen bir fonksiyondur; burada x bağımsız bir değişkendir, k ise sıfır olmayan bir sayıdır. k sayısına denir doğru orantılılık katsayısı.
Doğru orantılılık grafiği koordinatların orijininden geçen düz bir çizgidir (şekle bakın).
Doğru orantılılık doğrusal bir fonksiyonun özel bir durumudur.
Fonksiyon özellikleriy=kx:
Ters orantılılık
Ters orantılılık aşağıdaki formülle belirtilebilen bir fonksiyona denir:
k
y = -
X
Nerede X bağımsız değişkendir ve k– sıfır olmayan bir sayı.
Ters orantı grafiği, adı verilen bir eğridir. abartı(resme bakın).
Bu fonksiyonun grafiği olan bir eğri için eksen X Ve sen asimptot görevi görür. Asimptot- bu, eğrinin noktalarının sonsuza doğru uzaklaşırken yaklaştığı düz çizgidir.
k
Fonksiyon özellikleriy = -:
X
İki miktara denir doğru orantılı Biri birkaç kat arttığında diğeri de aynı oranda artıyorsa. Buna göre biri birkaç kat azaldığında diğeri de aynı miktarda azalır.
Bu miktarlar arasındaki ilişki doğrudan orantılı bir ilişkidir. Doğrudan orantılı bağımlılık örnekleri:
1) sabit bir hızda kat edilen mesafe zamanla doğru orantılıdır;
2) bir karenin çevresi ve kenarı doğru orantılı büyüklüklerdir;
3) Tek fiyattan satın alınan bir ürünün maliyeti, miktarıyla doğru orantılıdır.
Doğru orantılı bir ilişkiyi ters olandan ayırmak için şu atasözünü kullanabilirsiniz: "Ormana ne kadar uzaksa, o kadar yakacak odun olur."
Orantıları kullanarak doğrudan orantılı büyüklükleri içeren problemleri çözmek uygundur.
1) 10 parça yapmak için 3,5 kg metale ihtiyacınız vardır. Bu parçalardan 12 tanesini yapmak için ne kadar metal harcanacak?
(Şöyle mantık yürütüyoruz:
1. Dolu sütuna en büyük sayıdan en küçüğüne doğru bir ok yerleştirin.
2. Ne kadar çok parça olursa, bunları yapmak için o kadar çok metal gerekir. Bu, bunun doğrudan orantılı bir ilişki olduğu anlamına gelir.
12 parça yapmak için x kg metale ihtiyaç duyulduğunu varsayalım. Oranı oluşturuyoruz (okun başından sonuna kadar):
12:10=x:3,5
Bulmak için uç terimlerin çarpımını bilinen orta terime bölmeniz gerekir:
Bu, 4,2 kg metalin gerekli olacağı anlamına gelir.
Cevap: 4,2 kg.
2) 15 metre kumaş için 1680 ruble ödediler. Bu kumaşın 12 metre fiyatı ne kadar?
(1. Dolu sütuna en büyük sayıdan en küçüğüne doğru bir ok yerleştirin.
2. Ne kadar az kumaş satın alırsanız, o kadar az ödemeniz gerekir. Bu, bunun doğrudan orantılı bir ilişki olduğu anlamına gelir.
3. Bu nedenle ikinci ok birinciyle aynı yöndedir).
X rublenin 12 metre kumaşa mal olduğunu varsayalım. Bir orantı yaparız (okun başından sonuna kadar):
15:12=1680:x
Oranın bilinmeyen ekstrem terimini bulmak için orta terimlerin çarpımını oranın bilinen ekstrem terimine bölün:
Bu, 12 metrenin 1344 rubleye mal olduğu anlamına gelir.
Cevap: 1344 ruble.
Bağımlılık Türleri
Pili şarj etmeye bakalım. İlk miktar olarak şarj olması için gereken süreyi alalım. İkinci değer ise şarj edildikten sonra çalışacağı süredir. Pili ne kadar uzun süre şarj ederseniz, o kadar uzun süre dayanır. Pil tamamen şarj olana kadar işlem devam edecektir.
Pilin çalışma süresinin şarj edildiği zamana bağlı olması
Not 1
Bu bağımlılığa denir doğrudan:
Bir değer arttıkça ikincisi de artar. Bir değer azaldıkça ikinci değer de azalır.
Başka bir örneğe bakalım.
Bir öğrenci ne kadar çok kitap okursa, diktede o kadar az hata yapar. Veya dağlarda ne kadar yükseğe çıkılırsa atmosfer basıncı o kadar düşük olur.
Not 2
Bu bağımlılığa denir tersi:
Bir değer artarken ikincisi azalır. Bir değer azaldıkça ikinci değer artar.
Böylece, durumda doğrudan bağımlılık her iki miktar da eşit olarak değişir (hem artar hem de azalır) ve bu durumda ters ilişki– tam tersi (biri artar, diğeri azalır veya tam tersi).
Miktarlar arasındaki bağımlılıkların belirlenmesi
Örnek 1
Bir arkadaşı ziyaret etmek için gereken süre 20$ dakikadır. Hız (birinci değer) $2$ kat artarsa, arkadaşa giderken harcanacak zamanın (ikinci değer) nasıl değişeceğini bulacağız.
Açıkçası süre $2$ kat azalacak.
Not 3
Bu bağımlılığa denir orantılı:
Bir çokluğun değişme sayısı, ikinci çokluğun değişme sayısı.
Örnek 2
Mağazadaki 2$ somun ekmek için 80 ruble ödemeniz gerekiyor. 4$'lık somun ekmek almanız gerekiyorsa (ekmek miktarı 2$ kat artar), kaç kat daha fazla ödemeniz gerekir?
Açıkçası, maliyet de 2$ kat artacak. Orantılı bağımlılığa bir örneğimiz var.
Her iki örnekte de orantılı bağımlılıklar dikkate alınmıştır. Ancak ekmek somunları örneğinde miktarlar tek yönde değişir, dolayısıyla bağımlılık şu şekildedir: doğrudan. Bir arkadaşının evine gitme örneğinde hız ile zaman arasındaki ilişki şu şekildedir: tersi. Böylece var doğru orantılı ilişki Ve ters orantılı ilişki.
Doğrudan orantılılık
$2$ orantılı miktarları ele alalım: ekmek somunlarının sayısı ve maliyeti. 2 dolarlık somun ekmeğin fiyatı 80 dolar ruble olsun. Çöreklerin sayısı 4$ kat artarsa (8$$ çörek), toplam maliyeti 320$ ruble olacaktır.
Atma sayısının oranı: $\frac(8)(2)=4$.
Bun maliyet oranı: $\frac(320)(80)=$4.
Gördüğünüz gibi bu ilişkiler birbirine eşittir:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Tanım 1
İki oranın eşitliğine denir oran.
Doğrudan orantılı bir bağımlılıkla, birinci ve ikinci miktarlardaki değişiklik çakıştığında bir ilişki elde edilir:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Tanım 2
İki miktara denir doğru orantılı Bunlardan biri değiştiğinde (arttığında veya azaldığında), diğer değer de aynı miktarda değişirse (sırasıyla artar veya azalırsa).
Örnek 3
Araba 2$ saatte 180$ km yol kat etti. Aynı hızla mesafenin $2$ katı kadar mesafe kat edeceği süreyi bulun.
Çözüm.
Zaman mesafeyle doğru orantılıdır:
$t=\frac(S)(v)$.
Sabit bir hızla mesafe kaç kat artarsa, zaman da aynı miktarda artacaktır:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Araba 2$ saatte 180$ km yol kat etti
Araba $x$ saatte 180 $ \cdot 2=360$ km yol alacak
Araba ne kadar uzağa giderse, o kadar uzun sürecektir. Sonuç olarak büyüklükler arasındaki ilişki doğru orantılıdır.
Orantı kuralım:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Cevap: Arabanın 4$ saate ihtiyacı olacak.
Ters orantılılık
Tanım 3
Çözüm.
Zaman hız ile ters orantılıdır:
$t=\frac(S)(v)$.
Aynı yolda hız kaç kat artarsa zaman da aynı oranda azalır:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Sorunun durumunu tablo şeklinde yazalım:
Araba 6$ saatte 60$ km yol kat etti
Araba $x$ saatte 120$ km yol kat edecek
Araba ne kadar hızlı olursa, o kadar az zaman alır. Sonuç olarak büyüklükler arasındaki ilişki ters orantılıdır.
Orantı kuralım.
Çünkü orantılılık terstir, orandaki ikinci ilişki tersinedir:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Cevap: Arabanın 3$ saate ihtiyacı olacak.
Bugün hangi niceliklere ters orantı denildiğine, ters orantı grafiğinin neye benzediğine ve tüm bunların sadece matematik derslerinde değil okul dışında da sizin için nasıl yararlı olabileceğine bakacağız.
Böyle farklı oranlar
Orantılılık Birbirine bağımlı olan iki niceliği adlandırın.
Bağımlılık doğrudan ve ters olabilir. Sonuç olarak, nicelikler arasındaki ilişkiler doğrudan ve ters orantılılıkla açıklanmaktadır.
Doğrudan orantılılık– Bu, iki nicelik arasında, birinde bir artışın veya azalışın diğerinde de artışa veya azalmaya yol açtığı bir ilişkidir. Onlar. tavırları değişmiyor.
Örneğin, sınavlara ne kadar çok çalışırsanız notlarınız o kadar yüksek olur. Ya da yürüyüşe çıkarken yanınıza ne kadar çok şey alırsanız sırt çantanız o kadar ağır olur. Onlar. Sınavlara hazırlanmak için harcanan çaba, alınan notlarla doğru orantılıdır. Ve bir sırt çantasına konulan eşyaların sayısı, ağırlığıyla doğru orantılıdır.
Ters orantılılık– bu, bağımsız bir değerdeki (buna argüman denir) birkaç kat azalma veya artışın, bağımlı bir değerde orantılı (yani aynı sayıda) artışa veya azalmaya neden olduğu (buna argüman denir) fonksiyonel bir bağımlılıktır. işlev).
Basit bir örnekle açıklayalım. Pazardan elma almak istiyorsunuz. Tezgahtaki elmalar ile cüzdanınızdaki para miktarı ters orantılıdır. Onlar. Ne kadar çok elma alırsanız, o kadar az paranız kalır.
Fonksiyon ve grafiği
Ters orantı fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir: y = k/x. hangisinde X≠ 0 ve k≠ 0.
Bu fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Tanım alanı, hariç tüm gerçek sayılar kümesidir. X = 0. D(sen): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Aralığın tamamı gerçek sayılardır, ancak sen= 0. E(y): (-∞; 0) sen (0; +∞) .
- Maksimum veya minimum değerleri yoktur.
- Gariptir ve grafiği orijine göre simetriktir.
- Periyodik olmayan.
- Grafiği koordinat eksenlerini kesmez.
- Sıfırları yoktur.
- Eğer k> 0 (yani argüman artarsa), fonksiyon her aralıkta orantılı olarak azalır. Eğer k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Argüman arttıkça ( k> 0) fonksiyonun negatif değerleri (-∞; 0) aralığında, pozitif değerleri ise (0; +∞) aralığındadır. Argüman azaldığında ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Ters orantı fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:
Ters orantı problemleri
Daha açık hale getirmek için birkaç göreve bakalım. Çok karmaşık değiller ve bunları çözmek, ters orantılılığın ne olduğunu ve bu bilginin günlük yaşamınızda nasıl yararlı olabileceğini gözünüzde canlandırmanıza yardımcı olacaktır.
Görev No.1. Bir araba 60 km/saat hızla hareket etmektedir. Hedefine varması 6 saat sürdü. İki katı hızla hareket ederse aynı mesafeyi ne kadar sürede kat eder?
Zaman, mesafe ve hız arasındaki ilişkiyi açıklayan bir formül yazarak başlayabiliriz: t = S/V. Katılıyorum, bize ters orantı fonksiyonunu çok hatırlatıyor. Bu da bir otomobilin yolda geçirdiği süre ile hareket hızının ters orantılı olduğunu gösteriyor.
Bunu doğrulamak için duruma göre 2 kat daha yüksek olan V 2'yi bulalım: V 2 = 60 * 2 = 120 km/saat. Daha sonra S = V * t = 60 * 6 = 360 km formülünü kullanarak mesafeyi hesaplıyoruz. Artık problemin koşullarına göre bizden beklenen t 2 süresini bulmak zor değil: t 2 = 360/120 = 3 saat.
Gördüğünüz gibi yolculuk süresi ve hız aslında ters orantılıdır: Orijinal hızdan 2 kat daha yüksek bir hızda araç yolda 2 kat daha az zaman harcayacaktır.
Bu problemin çözümü orantı olarak da yazılabilir. O halde önce bu diyagramı yapalım:
↓ 60 km/saat – 6 saat
↓120 km/saat – xsaat
Oklar ters orantılı bir ilişkiyi gösterir. Ayrıca bir orantı kurarken kaydın sağ tarafının ters çevrilmesi gerektiğini de öne sürüyorlar: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 saati nereden bulacağız?
Görev No.2. Atölyede belirli bir işi 4 saatte tamamlayabilen 6 işçi çalışıyor. İşçi sayısı yarıya indirilirse kalan işçiler aynı işi ne kadar sürede tamamlar?
Sorunun koşullarını görsel bir şema halinde yazalım:
↓ 6 işçi – 4 saat
↓ 3 işçi – x h
Bunu oran olarak yazalım: 6/3 = x/4. Ve x = 6 * 4/3 = 8 saat elde ederiz. Eğer 2 kat daha az işçi varsa, geri kalanlar tüm işi yaparken 2 kat daha fazla zaman harcayacaklardır.
Görev No.3. Havuza giden iki boru var. Su bir borudan 2 lt/s hızla akıyor ve havuzu 45 dakikada dolduruyor. Başka bir boruyla havuz 75 dakikada dolacak. Su bu borudan havuza hangi hızla giriyor?
Başlangıç olarak problemin koşullarına göre bize verilen tüm büyüklükleri aynı ölçü birimlerine indirgeyelim. Bunun için havuzun dolum hızını dakikada litre cinsinden ifade ediyoruz: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/dak.
Bu durum, havuzun ikinci borudan daha yavaş dolduğunu ima ettiğinden su akış hızının daha düşük olduğu anlamına gelir. Orantılılık terstir. Bilinmeyen hızı x üzerinden ifade edelim ve aşağıdaki diyagramı çizelim:
↓ 120 l/dak – 45 dak
↓ x l/dak – 75 dak
Ve sonra şu oranı oluşturuyoruz: 120/x = 75/45, buradan x = 120 * 45/75 = 72 l/dak.
Problemde havuzun doluluk oranı litre/saniye cinsinden ifade ediliyor; aldığımız cevabı aynı forma indirgeyelim: 72/60 = 1,2 l/s.
Görev No.4. Küçük bir özel matbaa, kartvizit basıyor. Bir matbaa çalışanı saatte 42 kartvizit hızında ve tam gün, 8 saat çalışmaktadır. Eğer daha hızlı çalışsaydı ve bir saatte 48 kartvizit bassaydı, eve ne kadar erken gidebilirdi?
Kanıtlanmış yolu takip ediyoruz ve problemin koşullarına göre istenen değeri x olarak belirten bir diyagram çiziyoruz:
↓ 42 kartvizit/saat – 8 saat
↓ 48 kartvizit/saat – x saat
Ters orantılı bir ilişkimiz var: Bir matbaa çalışanının saatte ne kadar çok kartvizit bastığı, aynı işi tamamlamak için aynı sayıda daha az zamana ihtiyaç duyacağı. Bunu bilerek bir orantı oluşturalım:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 saat.
Böylece işi 7 saatte tamamlayan matbaa çalışanı, evine bir saat erken gidebiliyordu.
Çözüm
Bize öyle geliyor ki bu ters orantı problemleri aslında çok basit. Artık sizin de onları bu şekilde düşünmenizi umuyoruz. Ve asıl önemli olan, miktarların ters orantılı bağımlılığı hakkındaki bilginin sizin için gerçekten birden fazla kez yararlı olabileceğidir.
Sadece matematik derslerinde ve sınavlarda değil. Ancak o zaman bile, bir yolculuğa çıkmaya, alışverişe çıkmaya, tatillerde biraz ekstra para kazanmaya karar vermeye vb. hazır olduğunuzda.
Çevrenizde hangi ters ve doğru orantılı ilişki örneklerini fark ettiğinizi yorumlarda bize bildirin. Böyle bir oyun olsun. Ne kadar heyecan verici olduğunu göreceksiniz. Arkadaşlarınızın ve sınıf arkadaşlarınızın da oynayabilmesi için bu makaleyi sosyal ağlarda paylaşmayı unutmayın.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.