Denklem sistemi. Örneklerle ayrıntılı teori (2019)

I. Adi diferansiyel denklemler

1.1. Temel kavramlar ve tanımlar

Diferansiyel denklem bağımsız bir değişkeni ilişkilendiren bir denklemdir X, gerekli fonksiyon sen ve türevleri veya diferansiyelleri.

Sembolik olarak diferansiyel denklem şu şekilde yazılır:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Gerekli fonksiyon bir bağımsız değişkene bağlıysa, diferansiyel denklem sıradan olarak adlandırılır.

Diferansiyel denklem çözme bu denklemi bir kimliğe dönüştüren fonksiyona denir.

Diferansiyel denklemin sırası bu denklemde yer alan en yüksek türevin mertebesidir

Örnekler.

1. Birinci dereceden bir diferansiyel denklem düşünün

Bu denklemin çözümü y = 5 ln x fonksiyonudur. Aslında ikame sen" denklemde özdeşliği elde ederiz.

Bu da y = 5 ln x– fonksiyonunun bu diferansiyel denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir.

2. İkinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün y" - 5y" +6y = 0. Fonksiyon bu denklemin çözümüdür.

Gerçekten mi, .

Bu ifadeleri denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz: , – özdeşlik.

Bu da fonksiyonun bu diferansiyel denklemin çözümü olduğu anlamına gelir.

Diferansiyel denklemlerin integrali diferansiyel denklemlere çözüm bulma sürecidir.

Diferansiyel denklemin genel çözümü formun bir fonksiyonu denir Denklemin sırası kadar bağımsız isteğe bağlı sabit içerir.

Diferansiyel denklemin kısmi çözümü keyfi sabitlerin çeşitli sayısal değerleri için genel bir çözümden elde edilen bir çözümdür. Rasgele sabitlerin değerleri, argümanın ve fonksiyonun belirli başlangıç ​​değerlerinde bulunur.

Bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünün grafiğine denir integral eğrisi.

Örnekler

1. Birinci dereceden diferansiyel denkleme özel bir çözüm bulun

xdx + ydy = 0, Eğer sen= 4 saat X = 3.

Çözüm. Denklemin her iki tarafının integralini alırsak,

Yorum. Entegrasyon sonucunda elde edilen keyfi bir sabit C, daha sonraki dönüşümler için uygun herhangi bir biçimde temsil edilebilir. Bu durumda, bir dairenin kanonik denklemi dikkate alındığında, keyfi bir C sabitini şu şekilde temsil etmek uygundur.

- diferansiyel denklemin genel çözümü.

Başlangıç ​​koşullarını sağlayan denklemin özel çözümü sen = 4 saat X = 3, genel çözümde başlangıç ​​koşullarının yerine konulmasıyla genelden bulunur: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Genel çözümde C=5 yerine koyarsak şunu elde ederiz: x 2 +y 2 = 5 2 .

Bu, verilen başlangıç ​​koşulları altında genel bir çözümden elde edilen diferansiyel denklemin özel bir çözümüdür.

2. Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun

Bu denklemin çözümü, C'nin keyfi bir sabit olduğu formun herhangi bir fonksiyonudur. Gerçekten de, denklemlerde yerine yerine şunu elde ederiz: , .

Sonuç olarak, bu diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü C sabitinin farklı değerleri için eşitlik, denklemin farklı çözümlerini belirler.

Örneğin, doğrudan değiştirme yoluyla işlevlerin doğrulandığını doğrulayabilirsiniz. denklemin çözümleridir.

Denklemin belirli bir çözümünü bulmanız gereken bir problem y" = f(x,y) başlangıç ​​koşulunu karşılayan y(x 0) = y 0 buna Cauchy problemi denir.

Denklemin çözümü y" = f(x,y) başlangıç ​​koşulunu sağlayan, y(x 0) = y 0, Cauchy probleminin çözümü olarak adlandırılıyor.

Cauchy probleminin çözümünün basit bir geometrik anlamı vardır. Nitekim bu tanımlara göre Cauchy problemini çözmek için y" = f(x,y) buna göre y(x 0) = y 0, denklemin integral eğrisini bulmak anlamına gelir y" = f(x,y) Belirli bir noktadan geçen M 0 (x 0,y 0).

II. Birinci dereceden diferansiyel denklemler

2.1. Temel Kavramlar

Birinci dereceden diferansiyel denklem, formdaki bir denklemdir F(x,y,y") = 0.

Birinci dereceden diferansiyel denklem, birinci türevi içerir ve daha yüksek dereceli türevleri içermez.

Denklem y" = f(x,y) türevine göre çözülmüş birinci dereceden denklem denir.

Birinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümü, keyfi bir sabit içeren formun bir fonksiyonudur.

Örnek. Birinci dereceden bir diferansiyel denklem düşünün.

Bu denklemin çözümü fonksiyondur.

Aslında, bu denklemi değeriyle değiştirirsek şunu elde ederiz:

yani 3x=3x

Bu nedenle fonksiyon, herhangi bir C sabiti için denklemin genel bir çözümüdür.

Bu denklemin başlangıç ​​koşulunu karşılayan özel bir çözümünü bulun y(1)=1 Başlangıç ​​koşullarının değiştirilmesi x = 1, y =1 Denklemin genel çözümüne nereden ulaşıyoruz? C=0.

Böylece, elde edilen değeri bu denkleme koyarak genel çözümden özel bir çözüm elde ederiz. C=0– özel çözüm.

2.2. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem şu şekilde bir denklemdir: y"=f(x)g(y) veya diferansiyeller yoluyla, burada f(x) Ve g(y)– belirtilen işlevler.

Bunlar için sen bunun için denklem y"=f(x)g(y) denklemine eşdeğerdir, burada değişken sen yalnızca sol tarafta bulunur ve x değişkeni yalnızca sağ taraftadır. Şöyle diyorlar: "Denk. y"=f(x)g(y Değişkenleri ayıralım."

Formun denklemi ayrılmış değişken denklemi denir.

Denklemin her iki tarafının integrali İle X, alıyoruz G(y) = F(x) + C denklemin genel çözümüdür, burada G(y) Ve F(x)– sırasıyla fonksiyonların bazı antiderivatifleri ve f(x), C keyfi sabit.

Ayrılabilir değişkenli birinci dereceden diferansiyel denklemi çözme algoritması

Örnek 1

Denklemi çöz y" = xy

Çözüm. Bir fonksiyonun türevi sen"şununla değiştir:

değişkenleri ayıralım

Eşitliğin her iki tarafını da entegre edelim:

Örnek 2

2yy" = 1- 3x 2, Eğer y 0 = 3 en x 0 = 1

Bu ayrılmış değişkenli bir denklemdir. Bunu diferansiyellerde hayal edelim. Bunu yapmak için bu denklemi formda yeniden yazıyoruz. Buradan

Son eşitliğin her iki tarafını da entegre ederek şunu buluruz:

Başlangıç ​​değerlerinin değiştirilmesi x 0 = 1, y 0 = 3 bulacağız İLE 9=1-1+C yani C = 9.

Bu nedenle gerekli kısmi integral şu ​​şekilde olacaktır: veya

Örnek 3

Bir noktadan geçen eğrinin denklemini yazın M(2;-3) ve açısal katsayılı bir teğete sahip olmak

Çözüm. Şarta göre

Bu ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir. Değişkenleri bölerek şunu elde ederiz:

Denklemin her iki tarafını da entegre edersek şunu elde ederiz:

Başlangıç ​​koşullarını kullanarak, x = 2 Ve y = - 3 bulacağız C:

Bu nedenle gerekli denklem şu şekildedir:

2.3. Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler

Birinci dereceden doğrusal bir diferansiyel denklem, formun bir denklemidir y" = f(x)y + g(x)

Nerede f(x) Ve g(x)- bazı belirtilen işlevler.

Eğer g(x)=0 daha sonra doğrusal diferansiyel denkleme homojen denir ve şu forma sahiptir: y" = f(x)y

Eğer o zaman denklem y" = f(x)y + g(x) heterojen denir.

Doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümü y" = f(x)y formülle verilir: nerede İLE– keyfi sabit.

Özellikle eğer C =0, o zaman çözüm y = 0 Doğrusal bir homojen denklem şu şekle sahipse y" = ki Nerede k bir sabitse, genel çözümü şu şekildedir: .

Doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemin genel çözümü y" = f(x)y + g(x) formülle verilir ,

onlar. karşılık gelen doğrusal homojen denklemin genel çözümünün ve bu denklemin özel çözümünün toplamına eşittir.

Formun doğrusal homojen olmayan bir denklemi için y" = kx + b,

Nerede k Ve B- bazı sayılar ve belirli bir çözüm sabit bir fonksiyon olacaktır. Bu nedenle genel çözüm şu şekildedir:

Örnek. Denklemi çöz y" + 2y +3 = 0

Çözüm. Denklemi formda temsil edelim y" = -2y - 3 Nerede k = -2, b= -3 Genel çözüm formülle verilir.

Bu nedenle burada C keyfi bir sabittir.

2.4. Birinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklemlerin Bernoulli yöntemiyle çözülmesi

Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemin Genel Çözümünü Bulma y" = f(x)y + g(x) ikame kullanarak ayrılmış değişkenlere sahip iki diferansiyel denklemin çözülmesine indirgenir y=uv, Nerede sen Ve v- bilinmeyen işlevler X. Bu çözüm yöntemine Bernoulli yöntemi denir.

Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemi çözmek için algoritma

y" = f(x)y + g(x)

1. Oyuncu değişikliğini girin y=uv.

2. Bu eşitliğin türevini alın y" = u"v + uv"

3. Yedek sen Ve sen" bu denklemde: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) veya u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Denklemin terimlerini öyle gruplandırın ki sen parantezlerin dışına çıkaralım:

5. Parantezden sıfıra eşitleyerek fonksiyonu bulun

Bu ayrılabilir bir denklemdir:

Değişkenleri bölelim ve şunu elde edelim:

Nerede . .

6. Ortaya çıkan değeri değiştirin v denklemin içine (4. adımdan itibaren):

ve fonksiyonu bulun Bu, ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir:

7. Genel çözümü aşağıdaki forma yazın: yani .

Örnek 1

Denklemin belirli bir çözümünü bulun y" = -2y +3 = 0 Eğer y =1 en x = 0

Çözüm. Değiştirmeyi kullanarak çözelim y=uv,.y" = u"v + uv"

Değiştirme sen Ve sen" bu denklemde şunu elde ederiz

İkinci ve üçüncü terimleri denklemin sol tarafında gruplandırarak ortak çarpanı çıkarırız sen parantez dışında

Parantez içindeki ifadeyi sıfıra eşitliyoruz ve ortaya çıkan denklemi çözdükten sonra fonksiyonu buluyoruz v = v(x)

Ayrılmış değişkenlere sahip bir denklem elde ederiz. Bu denklemin her iki tarafının integralini alalım: Fonksiyonu bulun v:

Ortaya çıkan değeri yerine koyalım v elde ettiğimiz denklemde:

Bu ayrılmış değişkenli bir denklemdir. Denklemin her iki tarafını da entegre edelim: Fonksiyonu bulalım sen = u(x,c) Genel bir çözüm bulalım: Denklemin başlangıç ​​koşullarını sağlayan özel bir çözümünü bulalım. y = 1 en x = 0:

III. Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler

3.1. Temel kavramlar ve tanımlar

İkinci dereceden diferansiyel denklem, ikinci dereceden daha yüksek olmayan türevleri içeren bir denklemdir. Genel durumda, ikinci dereceden diferansiyel denklem şu şekilde yazılır: F(x,y,y",y") = 0

İkinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümü, iki keyfi sabit içeren formun bir fonksiyonudur. C1 Ve C2.

İkinci dereceden diferansiyel denklemin özel bir çözümü, keyfi sabitlerin belirli değerleri için genel bir çözümden elde edilen bir çözümdür. C1 Ve C2.

3.2. İkinci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklemler sabit katsayılar.

Sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklem formun denklemi denir y" + py" +qy = 0, Nerede P Ve Q- sabit değerler.

Sabit katsayılı homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemleri çözmek için algoritma

1. Diferansiyel denklemi şu şekilde yazın: y" + py" +qy = 0.

2. Karakteristik denklemini oluşturun: sen" başından sonuna kadar r2, sen" başından sonuna kadar R, sen 1'de: r 2 + pr +q = 0

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Denklem sistemleri ekonomik sektörde çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesi için yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretim yönetimi ve planlaması, lojistik rotaları (nakliye sorunu) veya ekipman yerleşimi sorunlarını çözerken.

Denklem sistemleri sadece matematikte değil aynı zamanda fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerini çözerken kullanılır.

Doğrusal denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu, birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklemden oluşur. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya bu dizinin var olmadığını kanıtlayan böyle bir sayı dizisi.

Doğrusal denklem

ax+by=c formundaki denklemlere doğrusal denir. X, y isimleri değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Bir denklemi çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi gibi görünecektir.

Doğrusal denklem sistemi türleri

En basit örneklerin iki değişkeni X ve Y olan doğrusal denklem sistemleri olduğu kabul edilir.

F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.

Denklem sistemini çözme - bu, sistemin gerçek eşitliğe dönüştüğü (x, y) değerlerini bulmak veya uygun x ve y değerlerinin bulunmadığını tespit etmek anlamına gelir.

Bir noktanın koordinatları olarak yazılan (x, y) değer çiftine doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.

Sistemlerin tek bir ortak çözümü varsa veya çözümü yoksa bunlara eşdeğer denir.

Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. Eşittir işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa böyle bir sistem heterojendir.

Değişken sayısı ikiden çok daha fazla olabiliyorsa, üç veya daha fazla değişkenli bir doğrusal denklem sistemi örneğinden bahsetmemiz gerekir.

Sistemlerle karşı karşıya kaldıklarında okul çocukları, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla mutlaka örtüşmesi gerektiğini varsayarlar, ancak durum böyle değildir. Sistemdeki denklemlerin sayısı değişkenlere bağlı değildir; istenilen sayıda olabilir.

Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler

Bu tür sistemlerin çözümü için genel bir analitik yöntem yoktur; tüm yöntemler sayısal çözümlere dayanmaktadır. Okul matematik dersinde permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemleri, Gauss yöntemiyle çözüm ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Çözüm yöntemlerini öğretirken asıl görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Önemli olan, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi kullanmanın ilkelerini anlamaktır.

7. sınıf genel eğitim müfredatında yer alan doğrusal denklem sistemi örneklerinin çözümü oldukça basit ve detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Herhangi bir matematik ders kitabında bu bölüme yeterince önem verilmektedir. Doğrusal denklem sistemi örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözülmesi yükseköğretimin ilk yıllarında daha detaylı olarak işlenir.

Yerine koyma yöntemini kullanarak sistemleri çözme

İkame yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikinciye göre ifade etmeyi amaçlamaktadır. İfade kalan denklemde yerine konulur, daha sonra tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyenlerin sayısına bağlı olarak eylem tekrarlanır.

Değiştirme yöntemini kullanarak sınıf 7'nin bir doğrusal denklem sistemi örneğine bir çözüm verelim:

Örnekte görüldüğü gibi x değişkeni F(X) = 7 + Y şeklinde ifade edilmiştir. Sonuçta sistemin 2. denkleminde X yerine yazılan ifade, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı olmuştur. . Bu örneği çözmek kolaydır ve Y değerini elde etmenizi sağlar. Son adım, elde edilen değerleri kontrol etmektir.

Bir doğrusal denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkeni ikinci bilinmeyen cinsinden ifade etmek daha sonraki hesaplamalar için çok zahmetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda yerine koyma yöntemiyle çözüm yapılması da uygun değildir.

Doğrusal homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:

Cebirsel toplama kullanarak çözüm

Toplama yöntemini kullanarak sistemlere çözüm ararken denklemler terim terim toplanır ve çeşitli sayılarla çarpılır. Matematiksel işlemlerin nihai amacı tek değişkenli bir denklemdir.

Bu yöntemin uygulanması pratik ve gözlem gerektirir. 3 veya daha fazla değişkenin olduğu bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.

Çözüm algoritması:

1. Denklemin her iki tarafını da belirli bir sayıyla çarpın. Aritmetik işlem sonucunda değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
2. Ortaya çıkan ifadeyi terim terim toplayın ve bilinmeyenlerden birini bulun.
3. Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde değiştirin.

Yeni bir değişken getirerek çözüm yöntemi

Sistem ikiden fazla denklem için bir çözüm bulmayı gerektirmiyorsa yeni bir değişken eklenebilir; bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.

Yöntem, yeni bir değişken ekleyerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem, tanıtılan bilinmeyen için çözülür ve elde edilen değer, orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.

Örnek, yeni bir t değişkeninin eklenmesiyle sistemin 1. denkleminin standart ikinci dereceden üç terimliye indirgenmesinin mümkün olduğunu göstermektedir. Diskriminantını bularak bir polinomu çözebilirsiniz.

Diskriminantın değerini iyi bilinen formülü kullanarak bulmak gerekir: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen diskriminanttır, b, a, c polinomun faktörleridir. Verilen örnekte a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Diskriminant sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, diskriminant sıfırdan küçükse tek çözüm vardır: x = -b / 2*a.

Ortaya çıkan sistemlerin çözümü toplama yöntemiyle bulunur.

Sistemleri çözmek için görsel yöntem

3 denklem sistemine uygundur. Yöntem, sisteme dahil edilen her denklemin koordinat ekseninde grafiğinin oluşturulmasından oluşur. Eğrilerin kesişim noktalarının koordinatları sistemin genel çözümü olacaktır.

Grafik yönteminin bir takım nüansları vardır. Doğrusal denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğine bakalım.

Örnekten görülebileceği gibi, her çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. X değerlerine göre y değerleri bulundu: 3 ve 0. Grafikte koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar işaretlendi ve bir çizgiyle birbirine bağlandı.

İkinci denklem için adımların tekrarlanması gerekir. Doğruların kesişme noktası sistemin çözümüdür.

Aşağıdaki örnek, bir doğrusal denklem sistemine grafiksel bir çözüm bulmayı gerektirir: 0,5x-y+2=0 ve 0,5x-y-1=0.

Örnekte görüldüğü gibi grafiklerin paralel olması ve tüm uzunlukları boyunca kesişmemesi nedeniyle sistemin çözümü yoktur.

Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir ancak oluşturulduklarında çözümlerinin farklı olduğu aşikar hale gelir. Unutulmamalıdır ki bir sistemin çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir; her zaman bir grafik oluşturmak gerekir.

Matris ve çeşitleri

Matrisler, bir doğrusal denklem sistemini kısaca yazmak için kullanılır. Matris sayılarla dolu özel bir tablo türüdür. n*m'de n satır ve m sütun bulunur.

Sütun ve satır sayıları eşit olduğunda bir matris karedir. Matris vektörü, sonsuz sayıda satıra sahip bir sütundan oluşan bir matristir. Köşegenlerinden biri boyunca birler ve diğer sıfır elemanları olan bir matrise birim denir.

Ters bir matris, çarpıldığında orijinalin bir birim matrise dönüştüğü bir matristir; böyle bir matris yalnızca orijinal kare için mevcuttur.

Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları

Denklem sistemleriyle ilgili olarak denklemlerin katsayıları ve serbest terimleri matris sayıları olarak yazılır; bir denklem matrisin bir satırıdır.

Satırın en az bir elemanı sıfır değilse, bir matris satırının sıfırdan farklı olduğu söylenir. Bu nedenle denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa eksik bilinmeyenin yerine sıfır girilmesi gerekir.

Matris sütunları değişkenlere tam olarak karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna yazılabildiği anlamına gelir; örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikincisinde.

Bir matris çarpılırken matrisin tüm elemanları sırayla bir sayıyla çarpılır.

Ters matrisi bulma seçenekleri

Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 ters matristir ve |K| matrisin determinantıdır. |K| sıfıra eşit olmaması durumunda sistemin bir çözümü vardır.

Determinant ikiye ikilik bir matris için kolayca hesaplanır; yalnızca köşegen elemanları birbiriyle çarpmanız yeterlidir. “Üçe üç” seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formülü vardır. 3 + a 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya çalışmadaki sütun ve satır sayılarının tekrarlanmaması için her satırdan ve her sütundan bir öğe almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.

Matris yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemi örneklerini çözme

Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal girişleri azaltmanıza olanak tanır.

Örnekte, bir nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir vektördür x n değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.

Gauss yöntemini kullanarak sistemleri çözme

Yüksek matematikte Gauss yöntemi Cramer yöntemiyle birlikte incelenir ve sistemlere çözüm bulma sürecine Gauss-Cramer çözüm yöntemi adı verilir. Bu yöntemler çok sayıda doğrusal denklem içeren sistemlerde değişkenleri bulmak için kullanılır.

Gauss yöntemi, ikame ve cebirsel toplama yoluyla çözümlere çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde 3 ve 4 denklemli sistemler için Gauss yöntemiyle çözüm kullanılır. Yöntemin amacı sistemi ters yamuk formuna indirgemektir. Cebirsel dönüşümler ve ikameler yoluyla sistemin denklemlerinden birinde bir değişkenin değeri bulunur. İkinci denklem 2 bilinmeyenli, 3 ve 4 ise sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.

Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerinde sıralı olarak yer değiştirmesine indirgenir.

7. sınıf okul ders kitaplarında Gauss yöntemine göre bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:

Örnekten görülebileceği gibi (3) adımında iki denklem elde edildi: 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7. Denklemlerden herhangi birini çözmek, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.

Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtmektedir.

Gauss yöntemini ortaokul öğrencilerinin anlaması zordur, ancak matematik ve fizik derslerinde ileri öğrenim programlarına kayıtlı çocukların yaratıcılığını geliştirmenin en ilginç yollarından biridir.

Kayıt kolaylığı için hesaplamalar genellikle şu şekilde yapılır:

Denklemlerin ve serbest terimlerin katsayıları, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris biçiminde yazılır. Denklemin sol tarafını sağdan ayırır. Romen rakamları sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.

Önce üzerinde çalışılacak matrisi, ardından satırlardan birinde gerçekleştirilen tüm eylemleri yazın. Ortaya çıkan matris “ok” işaretinden sonra yazılır ve gerekli cebirsel işlemler sonuç elde edilene kadar devam ettirilir.

Sonuç, köşegenlerden birinin 1'e eşit olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu, yani matrisin birim forma indirgendiği bir matris olmalıdır. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmamalıyız.

Bu kayıt yöntemi daha az hantaldır ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmasına izin vermez.

Herhangi bir çözüm yönteminin serbestçe kullanılması dikkat ve biraz deneyim gerektirecektir. Yöntemlerin tümü uygulamalı nitelikte değildir. Bazı çözüm bulma yöntemleri, belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri eğitim amaçlıdır.

Birinci dereceden denklemler ve denklem sistemleri

“=” işareti formuyla birbirine bağlanan iki sayı veya herhangi bir ifade eşitlik. Verilen sayıların veya ifadelerin harflerin herhangi bir değerine eşit olması durumunda bu eşitliğe eşitlik denir. kimlik.

Örneğin, bunu herhangi bir şey için iddia ettiklerinde A geçerli:

A + 1 = 1 + A Burada eşitlik kimliktir.

Denklem harflerle gösterilen bilinmeyen sayıları içeren eşitlik denir. Bu harflere denir bilinmiyor. Denklemde birden fazla bilinmeyen bulunabilir.

Örneğin, denklem 2'de X + en = 7X– 3 iki bilinmeyen: X Ve en.

Denklemin solundaki ifade (2 X + en) denklemin sol tarafı, sağ tarafındaki ifade ise (7) olarak adlandırılır. X– 3), sağ tarafı olarak adlandırılır.

Denklemin özdeşlik haline geldiği bilinmeyenin değerine denir. karar veya kök denklemler

Örneğin, eğer denklem 3'te ise X Bilinmiyor yerine + 7=13 X 2 rakamını yerine koyarsak özdeşliği elde ederiz. Bu nedenle değer X= 2 verilen denklemi karşılar ve 2 sayısı verilen denklemin çözümü veya köküdür.

İki denklem denir eş değer(veya eş değer), eğer birinci denklemin tüm çözümleri ikincinin çözümüyse ve bunun tersi de geçerliyse, ikinci denklemin tüm çözümleri birincinin çözümüdür. Eşdeğer denklemler aynı zamanda çözümü olmayan denklemleri de içerir.

Örneğin, denklemler 2 X– 5 = 11 ve 7 X+ 6 = 62 aynı köke sahip oldukları için eşdeğerdir X= 8; denklemler X + 2 = X+ 5 ve 2 X + 7 = 2X eşdeğerdir çünkü her ikisinin de çözümü yoktur.

Eşdeğer denklemlerin özellikleri

1. Denklemin her iki tarafına, bilinmeyenin izin verilen tüm değerleri için anlamlı olan herhangi bir ifadeyi ekleyebilirsiniz; ortaya çıkan denklem verilen denklemle eşdeğer olacaktır.

Örnek. Denklem 2 X– 1 = 7’nin bir kökü var X= 4. Her iki tarafa da 5 eklersek denklem 2'yi elde ederiz X– 1 + 5 = 7 + 5 veya 2 X+ 4 = 12, aynı köke sahip X = 4.

2. Denklemin her iki tarafında da aynı terimler varsa bu terimler ihmal edilebilir.

Örnek. Denklem 9 x + 5X = 18 + 5X bir kökü var X= 2. Her iki kısımda da 5 atlanırsa X, denklem 9'u elde ederiz X= 18, aynı köke sahip X = 2.

3. Denklemin herhangi bir üyesi, işaretinin tersi yönde değiştirilerek denklemin bir kısmından diğerine aktarılabilir.

Örnek. Denklem 7 X - 11 = 3'ün tek kökü vardır X= 2. 11'i ters işaretle sağa kaydırırsak denklem 7'yi elde ederiz. X= 3 + 11, aynı çözüme sahip X = 2.

4. Denklemin her iki tarafı da bilinmeyenin kabul edilebilir tüm değerleri için anlamlı ve sıfırdan farklı olan herhangi bir ifadeyle (sayı) çarpılabilir, ortaya çıkan denklem verilene eşdeğer olacaktır.

Örnek. Denklem 2 X - 15 = 10 – 3X bir kökü var X= 5. Her iki tarafı da 3 ile çarparsak 3(2) denklemini elde ederiz. X - 15) = 3(10 – 3X) veya 6 X – 45 =30 – 9X aynı köke sahip olan X = 5.

5. Denklemin tüm terimlerinin işaretleri tersine çevrilebilir (bu, her iki tarafı da (-1) ile çarpmaya eşdeğerdir).

Örnek. Denklem – 3 x + 7 = – 8 her iki tarafı da (-1) ile çarptıktan sonra 3 formunu alacaktır X - 7 = 8. Birinci ve ikinci denklemlerin tek kökü var X = 5.

6. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı (yani sıfıra eşit olmayan) aynı sayıya bölünebilir.

Örnek..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28">, aynı iki köke sahip olduğundan buna eşdeğerdir: ve https: / /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width = "125" height = "48 src = "> her iki parçayı da 14 ile çarptıktan sonra şöyle görünecektir:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, burada isteğe bağlı sayılar, X- bilinmeyene denir birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem(veya doğrusal bir bilinmeyenli denklem).

Örnek. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Bir bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemin her zaman bir çözümü vardır; doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmayabilir () veya sonsuz sayıda çözümü olabilir (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48" >.

Çözüm. Denklemdeki tüm terimleri paydaların en küçük ortak katı olan 12 ile çarpın.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width = "183 height=24" height = "24">.gif" width = "371" height = "20 src = "> .

Bilinmeyeni içeren terimleri bir bölümde (solda) ve diğer bölümde (sağda) serbest terimleri gruplayalım:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Her iki parçayı da (-22)'ye bölerek şunu elde ederiz: X = 7.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklem sistemleri

https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width = "87" height = "24 src = "> biçimindeki bir denklem çağrılır birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem x Ve en. İki veya daha fazla denklemin genel çözümleri bulunursa, bu denklemlerin bir sistem oluşturduğunu söylerler; genellikle alt alta yazılır ve küme paranteziyle birleştirilirler.

Sistemin her iki denklemini aynı anda karşılayan her bir bilinmeyen değer çiftine denir. sistem çözümü. Sistemi çöz- bu, bu sisteme yönelik tüm çözümlerin bulunması veya bunlara sahip olmadığının gösterilmesi anlamına gelir. İki denklem sistemine denir eş değer (eş değer), eğer birinin tüm çözümleri diğerinin çözümüyse ve bunun tersi de geçerliyse, diğerinin tüm çözümleri birincinin çözümüdür.

Örneğin sistemin çözümü bir sayı çiftidir. X= 4 ve en= 3. Bu sayılar aynı zamanda sistemin tek çözümüdür. . Bu nedenle bu denklem sistemleri eşdeğerdir.

Denklem sistemlerini çözme yöntemleri

1. Cebirsel toplama yöntemi. Her iki denklemdeki bazı bilinmeyenlerin katsayıları mutlak değerde eşitse, her iki denklemi toplayarak (veya birini diğerinden çıkararak), bir bilinmeyenli bir denklem elde edebilirsiniz. Bu denklem çözülerek bir bilinmeyen belirlenir ve sistemin denklemlerinden birine yerleştirilerek ikinci bilinmeyen bulunur.

Örnekler: Denklem sistemlerini çözün: 1) .

Burada katsayılar en Mutlak değer olarak eşit fakat işaret olarak zıttır. Bir bilinmeyenli bir denklem elde etmek için sistem denklemlerini terim terim ekleriz:

Alınan değer X= 4'ü sistemin bir denkleminde, örneğin birincisinde yerine koyarız ve değeri buluruz en: .

Cevap: X = 4; en = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width = "112" height = "57 src = ">.gif" width = "220" height = "87 src = " >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width = "103" height = "47 src = ">.

2. Değiştirme yöntemi. Sistemin herhangi bir denkleminden bilinmeyenlerden birini diğerleri aracılığıyla ifade eder ve bu bilinmeyenin değerini geri kalan denklemlerde yerine koyarız. Belirli örnekleri kullanarak bu yönteme bakalım:

1) Denklem sistemini çözelim. Örneğin ilk denklemdeki bilinmeyenlerden birini ifade edelim. X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width = "483" height = "24 src = ">

Hadi değiştirelim en= 1 ifadesinde X, alıyoruz .

Cevap: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width = "99" height = "55 src = ">. Bu durumda ifade etmek uygundur en ikinci denklemden:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Değeri değiştirin X= 5 ifadesinde en, https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width = "96" height = "24 src = "> değerini alıyoruz.

3) Denklem sistemini çözelim https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Bu değeri ikinci denklemde yerine koyarak şunu elde ederiz: bir bilinmeyenli denklem en: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" genişlik = "128" yükseklik = "48">

Cevap: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width = "95" height = "108 src = "> .

Sistemi şu şekilde yeniden yazalım: . Bilinmeyenleri koyarak yerine koyarız ve doğrusal bir sistem elde ederiz. ..gif" width=11 height=17" height=17"> ikinci denklemde bir bilinmeyenli bir denklem elde ederiz:

Değerin değiştirilmesi v için bir ifadeye T, şunu elde ederiz: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> buluyoruz.

Cevap: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, bilinmeyenler için katsayılar nerede, https://pandia.ru/text / 78/105/images/image065_10.gif" width = "67" height = "52 src = ">, o zaman sistem tek şeyçözüm.

B) https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width = "105" height = "52 src = "> ise, sistem sonsuz küme kararlar.

Örnek..gif" width="47" height="48 src=">", bu da sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir.

Gerçekten mi, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" genişlik = "115" yükseklik = "48 src = ">.

Örnek..gif" width="91 height=48" height="48"> veya indirgeme sonrasında sistemin çözümü yoktur.

Örnek..gif" width = "116 yükseklik = 48" yükseklik = "48"> veya azaltmadan sonra Bu da sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir.

Modül içeren denklemler

Modül içeren denklemleri çözerken gerçek sayının modülü kavramı kullanılır. Modül (mutlak değer) gerçek sayı A karşıt sayı ise bu sayının kendisi çağrılır (– A), eğer https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Yani, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width = "44" height = "28 src = ">, sayı 3> 0 olduğundan; sayı 5 olduğundan< 0, поэтому ; , Çünkü (); , Çünkü .

Modül özellikleri:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" genişlik = "72" yükseklik = "28 src = ">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" genişlik = "123" yükseklik = "56 src = ">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" genişlik = "73" yükseklik = "28 src = ">.

Modülün altındaki ifadenin iki değer alabildiğini düşünürsek https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src="> o zaman bu denklem iki denklemin çözümüne gelir: ve veya Ve ..gif" width = "52" height = "20 src = ">. Her değeri değiştirerek kontrol edelim Xşu durumda: if https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 kaynak =>.

Cevap: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width = "49" height = "20 src = ">.

Örnek..gif" width = "408" yükseklik = "55">

Cevap: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width = "41" height = "20 src = ">.

Örnek..gif" width="137" height="20"> ve . Alınan değerleri bir kenara koyun X sayı doğrusunda aralıklara bölerek:

If https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, çünkü bu aralıkta modül işaretinin altındaki her iki ifade de sıfırdan küçüktür ve Modülü çıkararak ifadenin işaretini tersiyle değiştirmeliyiz. Ortaya çıkan denklemi çözelim:

Gif" width="75 height=24" height='24">. Sınır değeri hem birinci hem de ikinci aralığa dahil edilebilir, tıpkı değerin hem ikinci hem de üçüncü aralığa dahil edilebilmesi gibi. İkinci aralıkta, Denklemimiz şu şekli alacaktır: - Bu ifade anlamlı değildir, yani bu aralıkta denklemin modül işareti altında çözümü yoktur, bunları sıfıra eşitleriz.

Sonraki aralık https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width = "225" height = "20">..gif" width = "52" yükseklik = "20 src = "> .gif" genişlik = "125" yükseklik = "25">, burada a, b, c– keyfi sayılar ( A≠ 0) ve X- adı verilen bir değişken kare. Böyle bir denklemi çözmek için diskriminantı hesaplamanız gerekir. D=b 2 – 4klima. Eğer D> 0 ise ikinci dereceden denklemin iki çözümü (kökleri) vardır: Ve .

Eğer D= 0, ikinci dereceden denklemin açıkça iki özdeş çözümü vardır (kökün katları).

Eğer D< 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Katsayılardan biri ise B veya C sıfıra eşitse, ikinci dereceden denklem diskriminant hesaplanmadan çözülebilir:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" genişlik = "28" yükseklik = "18 src = "> X(balta+ B)=0

2)balta 2 + C = 0 balta 2 = – C; if https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" genişlik = "101" yükseklik = "52">.

Formüller veya Vieta teoremi olarak bilinen ikinci dereceden bir denklemin katsayıları ve kökleri arasında bağımlılıklar vardır:

Biquadratic denklemler https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29"> biçimindeki denklemlerdir, daha sonra orijinal denklemden ikinci dereceden bir denklem elde ederiz: bulduğumuz en ve daha sonra X, formüle göre.

Örnek. Denklemi çöz . Eşitliğin her iki tarafındaki ifadeleri ortak bir paydaya indirgeyelim..gif" width=212" height=29 src=>. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi çözün: , bu denklemde A= 1, B= –2,C= –15 ise diskriminant: D=b 2 – 4klima= 64. Denklemin kökleri: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Yer değiştirmeyi yapıyoruz. Daha sonra denklem şu şekli alıyor: – ikinci dereceden denklem, burada A= 1, B= – 4,C= 3, diskriminantı şuna eşittir: D=b 2 – 4klima = 16 – 12 = 4.

İkinci dereceden denklemin kökleri sırasıyla eşittir: Ve .

Orijinal denklemin kökleri , , , ..gif" genişlik = "78" yükseklik = "51">, burada Pn(X) Ve Öğleden sonra(X) – derece polinomları N Ve M sırasıyla. Pay sıfırsa ve payda sıfır değilse kesir sıfıra eşittir, ancak böyle bir polinom denklemi genellikle yalnızca uzun dönüşümlerden, bir denklemden diğerine geçişlerden sonra elde edilir. Bu nedenle, çözme sürecinde her denklemin yerini yeni bir denklem alır ve yenisinin yeni kökleri olabilir. Köklerdeki bu değişiklikleri takip etmek, kök kaybını önlemek ve gereksiz olanları eleyebilmek denklemleri doğru çözmenin görevidir.

En iyi yolun her seferinde bir denklemi eşdeğeriyle değiştirmek olduğu açıktır, o zaman son denklemin kökleri orijinal denklemin kökleri olacaktır. Ancak böyle ideal bir yolun pratikte uygulanması zordur. Kural olarak, denklem, mutlaka ona eşdeğer olmayan sonucuyla değiştirilir, ilk denklemin tüm kökleri ikincinin kökleridir, yani hiçbir kök kaybı olmaz, ancak yabancı olanlar görünebilir (veya görünmeyebilir). Dönüşüm sürecinde en az bir kez denklemin eşit olmayan bir denklemle değiştirilmesi durumunda, ortaya çıkan köklerin zorunlu olarak kontrol edilmesi gerekir.

Dolayısıyla, eğer karar eşdeğerlik ve yabancı köklerin kaynakları analiz edilmeden verildiyse, doğrulama kararın zorunlu bir parçasıdır. Doğrulama olmadan, yabancı kökler ortaya çıkmasa bile çözüm tamamlanmış sayılmayacaktır. Ortaya çıktıklarında ve atılmadıklarında, bu karar tamamen yanlıştır.

Polinomun bazı özellikleri şunlardır:

Bir polinomun kökü değeri çağır X polinomun sıfıra eşit olduğu nokta. N dereceli herhangi bir polinomun tam olarak değeri vardır N kökler Bir polinom denklemi formda yazılırsa, o zaman , Nerede X 1, X 2,…, xn denklemin kökleridir.

Gerçek katsayıları olan tek dereceli herhangi bir polinomun en az bir gerçek kökü vardır ve genel olarak her zaman tek sayıda gerçek kökü vardır. Çift dereceli bir polinomun gerçek kökleri olmayabilir ve varsa sayıları çift olur.

Bir polinom her koşulda negatif diskriminantlı doğrusal faktörlere ve ikinci dereceden üç terimlilere ayrıştırılabilir. Kökünü biliyorsak X 1, o zaman Pn(X) = (X -X 1) Pn- 1(X).

Eğer Pn(X) = 0 çift dereceli bir denklemdir, o zaman onu çarpanlara ayırma yöntemine ek olarak, denklemin derecesinin azalacağı bir değişken değişikliği getirmeyi deneyebilirsiniz.

Örnek. Denklemi çözün:

Üçüncü (tek) derecedeki bu denklem, denklemin derecesini düşürecek bir yardımcı değişken eklemenin imkansız olduğu anlamına gelir. Sol tarafı çarpanlara ayırarak çözülmesi gerekiyor, bunun için önce parantezleri açıp sonra standart formda yazıyoruz.

Şunu elde ederiz: X 3 + 5X – 6 = 0.

Bu indirgenmiş bir denklemdir (en yüksek derecedeki katsayı bire eşittir), bu nedenle köklerini serbest terimin - 6 faktörleri arasında ararız. Bunlar ±1, ±2, ±3, ±6 sayılarıdır. Değiştirme x = Denklemde 1 olduğunu görüyoruz x = 1 onun köküdür, yani polinom X 3 + 5X–6 = 0 bölü ( X - 1) iz bırakmadan. Bu bölmeyi yapalım:

X 3 + 5X –6 = 0 X - 1

X 3 – X 2 X 2+x+ 6

X 2 + 5X - 6

X 2- X

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 X - 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 X - 6

Bu yüzden X 3 + 5X –6 = 0; (X - 1)(X 2+x+ 6) = 0

İlk denklem kökü verir x = Zaten seçilmiş olan 1 ve ikinci denklemde D< 0 ise gerçek bir çözümü yoktur. Çünkü bu denklemin ODZ'sini kontrol etmek gerekli değildir.

Örnek..gif" width="52" height="21 src=">. Birinci çarpanı üçüncüyle, ikinciyi dördüncüyle çarparsanız, bu çarpımların birbirine bağlı özdeş parçaları olacaktır. X: (X 2 + 4X – 5)(X 2 + 4X – = 0.

İzin vermek X 2 + 4X = sen, sonra denklemi forma yazarız ( sen – 5)(y – 21) – 297 = 0.

Bu ikinci dereceden denklemin çözümleri vardır: sen 1 = 32, sen 2 = - 6 ..gif" genişlik = "140" yükseklik = "61 src = ">; ODZ: X ≠ – 9.

Bu denklemi ortak bir paydaya indirgersek payda dördüncü dereceden bir polinom belirir. Yani denklemin derecesini düşürecek bir değişkeni değiştirmek mümkündür. Dolayısıyla bu denklemi hemen ortak bir paydaya indirmeye gerek yok. Burada solda karelerin toplamının olduğunu görüyorsunuz. Yani bunu toplamın veya farkın tam karesine ekleyebilirsiniz. Aslında bu karelerin tabanlarının çarpımının iki katını çıkarıp ekleyeceğiz: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width = "80" height = "59 src = ">, ardından sen 2 + 18sen– 40 = 0. Vieta teoremine göre sen 1 = 2; sen 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32"> ve ikincisinde D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Cevap: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width = "191 height=51" height = "51">.gif" width = "73 yükseklik = 48" yükseklik = " 48"> .gif" genişlik = "132" yükseklik = "50 src = ">.

İkinci dereceden bir denklem elde ederiz A(sen 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

İrrasyonel denklemler

mantıksız değişkenin radikalin işareti altında yer aldığı bir denklem denir (kök ) veya kesirli güce yükseltme işareti altında ()..gif" width="120" height="32"> ve bilinmeyenin tanımı aynı alana sahiptir. Birinci ve ikinci denklemlerin kareleri alındığında aynı denklemi elde ederiz . Bu denklemin çözümleri her iki irrasyonel denklemin de çözümleridir.