Ox ekseni, y=f(x) eğrisi ve iki düz çizgiyle (x=a ve x=b) sınırlanan kavisli bir yamuk düşünelim (Şekil 85). X'in keyfi bir değerini alalım (sadece a değil, b değil). Buna bir h = dx artışı verelim ve AB ve CD düz çizgileri, Ox ekseni ve söz konusu eğriye ait BD yayı ile sınırlanmış bir şerit düşünelim. Bu şeride temel şerit adını vereceğiz. Temel bir şeridin alanı, ACQB dikdörtgeninin alanından BQD eğrisel üçgeni ile farklıdır ve ikincisinin alanı, kenarları BQ = = h= olan BQDM dikdörtgeninin alanından daha azdır. dx) QD=Ay ve alan hAy = Ay dx'e eşittir. h tarafı azaldıkça Du tarafı da azalır ve h ile eş zamanlı olarak sıfıra doğru yönelir. Bu nedenle BQDM'nin alanı ikinci dereceden sonsuz küçüktür. Temel bir şeridin alanı, alanın artmasıdır ve AB-AC ==/(x) dx>'e eşit olan ACQB dikdörtgeninin alanı, alanın diferansiyelidir. Sonuç olarak, diferansiyelini entegre ederek alanın kendisini buluyoruz. Söz konusu şekilde, bağımsız değişken l: a'dan b'ye değişir, dolayısıyla gerekli alan 5, 5= \f(x) dx'e eşit olacaktır. (I) Örnek 1. y - 1 -x* parabolünün, X =--Fj-, x = 1 düz çizgilerinin ve O* ekseninin sınırladığı alanı hesaplayalım (Şekil 86). Şek. 87. Şek. 86. 1 Burada f(x) = 1 - l?, integralin sınırları a = - ve £ = 1'dir, dolayısıyla J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Örnek 2. Sinüsoid y = sinXy, Ox ekseni ve düz çizgi ile sınırlanan alanı hesaplayalım (Şekil 87). Formül (I)'i uygulayarak A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf elde ederiz. Örnek 3. Sinüsoidin yayı ile sınırlı alanı hesaplayın ^у = sin jc, ekte Ox ekseni ile iki bitişik kesişme noktası arasında (örneğin, orijin ile apsis i'nin bulunduğu nokta arasında). Geometrik değerlendirmelerden bu alanın önceki örneğin alanının iki katı olacağı açıktır. Ancak hesaplamaları yapalım: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Gerçekten de varsayımımızın doğru olduğu ortaya çıktı. Örnek 4. Bir periyotta sinüzoidin ve Ox ekseninin sınırladığı alanı hesaplayın (Şekil 88). Ön hesaplamalar, alanın Örnek 2'dekinden dört kat daha büyük olacağını göstermektedir. Ancak hesaplamalar yaptıktan sonra “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Bu sonuç açıklama gerektirir. Konunun özünü açıklığa kavuşturmak için, aynı sinüzoid y = sin l: ve Ox ekseni tarafından l ila 2i aralığında sınırlanan alanı da hesaplıyoruz. Formül (I)'i uygulayarak, 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 elde ederiz. Böylece bu alanın negatife döndüğünü görüyoruz. Bunu alıştırma 3'te hesaplanan alanla karşılaştırdığımızda mutlak değerlerinin aynı olduğunu ancak işaretlerin farklı olduğunu görüyoruz. V özelliğini uygularsak (bkz. Bölüm XI, § 4), şunu elde ederiz: 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Bu örnekte yaşananlar bir kaza değildir. İntegraller kullanılarak hesaplandığında, bağımsız değişkenin soldan sağa değişmesi koşuluyla daima Ox ekseninin altında bulunan alan elde edilir. Bu derste her zaman işaretlerin bulunmadığı alanları ele alacağız. Bu nedenle, az önce tartışılan örnekteki cevap şöyle olacaktır: gerekli alan 2 + |-2| = 4. Örnek 5. Şekil 2'de gösterilen BAB'nin alanını hesaplayalım. 89. Bu alan Ox ekseni, y = - xr parabolü ve y - = -x+\ düz çizgisiyle sınırlıdır. Eğrisel bir yamuğun alanı Gerekli alan OAB iki bölümden oluşur: OAM ve MAV. A noktası bir parabol ile düz bir çizginin kesişme noktası olduğundan, koordinatlarını 3 2 Y = mx denklem sistemini çözerek bulacağız. (Sadece A noktasının apsisini bulmamız gerekiyor). Sistemi çözerek l'yi buluyoruz; = ~. Bu nedenle alanın ilk kare olarak parçalar halinde hesaplanması gerekir. OAM ve ardından pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = 
[yenisiyle değiştirme:
] = 
Bu, uygunsuz integralin yakınsak olduğu ve değerinin eşit olduğu anlamına gelir.
Sorun 1(kavisli bir yamuğun alanının hesaplanması hakkında).
Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde xOy, x ekseni, düz çizgiler x = a, x = b (eğri bir yamuk) ile sınırlanan bir şekil verilir (şekle bakın). Kavisli yamuğun alanının hesaplanması gerekir.
Çözüm. Geometri bize çokgenlerin alanlarını ve bir dairenin bazı kısımlarını (sektör, parça) hesaplamak için tarifler verir. Geometrik değerlendirmeleri kullanarak, aşağıdaki mantıkla gerekli alanın yalnızca yaklaşık değerini bulabiliriz.
[a; segmentini bölelim; b] (kavisli bir yamuğun tabanı) n eşit parçaya bölünür; bu bölme x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 noktaları kullanılarak gerçekleştirilir. Bu noktalardan y eksenine paralel düz çizgiler çizelim. Daha sonra verilen eğrisel yamuk n parçaya, n dar sütuna bölünecektir. Tüm yamuğun alanı sütunların alanlarının toplamına eşittir.
K'inci sütunu ayrı ayrı ele alalım, yani. tabanı bir segment olan kavisli bir yamuk. Bunu, tabanı ve yüksekliği f(xk) ile aynı olan bir dikdörtgenle değiştirelim (şekle bakın). Dikdörtgenin alanı \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \'ye eşittir; burada \(\Delta x_k \) parçanın uzunluğudur; Ortaya çıkan ürünü k'inci sütunun alanının yaklaşık bir değeri olarak düşünmek doğaldır. 
Şimdi aynısını diğer tüm sütunlar için yaparsak, şu sonuca ulaşacağız: belirli bir eğrisel yamuğun S alanı, n dikdörtgenden oluşan basamaklı bir şeklin S n alanına yaklaşık olarak eşittir (şekle bakın):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Burada, gösterimin tekdüzeliği adına, a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - parçanın uzunluğu, \(\Delta x_1 \) - parçanın uzunluğu, vb.; bu durumda yukarıda anlaştığımız gibi, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Yani, \(S \approx S_n \) ve bu yaklaşık eşitlik, n ne kadar büyük olursa o kadar doğrudur.
Tanım gereği, eğrisel bir yamuğun gerekli alanının dizinin sınırına (S n) eşit olduğuna inanılmaktadır:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Sorun 2(bir noktanın taşınması hakkında)
Maddi bir nokta düz bir çizgide hareket eder. Hızın zamana bağımlılığı v = v(t) formülüyle ifade edilir. Bir noktanın belirli bir zaman periyodundaki hareketini bulun [a; B].
Çözüm. Eğer hareket tekdüze olsaydı sorun çok basit bir şekilde çözülürdü: s = vt, yani. s = v(b-a). Düzensiz hareket için, önceki problemin çözümünün dayandığı fikirlerin aynısını kullanmanız gerekir.
1) Zaman aralığını [a; b] n eşit parçaya bölünür.
2) Bir zaman periyodu düşünün ve bu zaman periyodu sırasında hızın t k zamanındakiyle aynı olduğunu varsayalım. Dolayısıyla v = v(t k) olduğunu varsayıyoruz.
3) Noktanın belirli bir zaman dilimindeki hareketinin yaklaşık değerini bulalım; bu yaklaşık değeri s k olarak göstereceğiz.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Yer değiştirme s'nin yaklaşık değerini bulun:
\(s \yaklaşık S_n \) burada
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Gerekli yer değiştirme dizinin sınırına eşittir (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Özetleyelim. Çeşitli problemlerin çözümleri aynı matematiksel modele indirgendi. Bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarındaki birçok problem, çözüm sürecinde aynı modelin kullanılmasına yol açmaktadır. Bu, bu matematiksel modelin özel olarak incelenmesi gerektiği anlamına gelir.
Belirli bir integral kavramı
[a; B]:
1) [a] parçasını bölün; b] n eşit parçaya bölünür;
2) toplamı oluşturun $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$'ı hesaplayın
Matematiksel analiz sırasında bu sınırın sürekli (veya parçalı sürekli) bir fonksiyon durumunda mevcut olduğu kanıtlanmıştır. Onu aradılar y = f(x) fonksiyonunun [a; parçası üzerinde belirli bir integrali; B] ve şu şekilde ifade edilir:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
A ve b sayılarına entegrasyon sınırları denir (sırasıyla alt ve üst).
Yukarıda tartışılan görevlere dönelim. Problem 1'de verilen alan tanımı artık aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
burada S, yukarıdaki şekilde gösterilen kavisli yamuğun alanıdır. Bu Belirli bir integralin geometrik anlamı.
Problem 2'de verilen, t = a'dan t = b'ye kadar geçen sürede v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesinin s tanımı aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:
Newton-Leibniz formülü
Öncelikle şu soruyu cevaplayalım: Belirli integral ile ters türev arasındaki bağlantı nedir?
Cevap Problem 2'de bulunabilir. Bir yandan, t = a'dan t = b'ye kadar geçen sürede v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesi s şu şekilde hesaplanır: formül
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Öte yandan, hareketli bir noktanın koordinatı hızın ters türevidir; buna s(t) diyelim; Bu, s yer değiştirmesinin s = s(b) - s(a) formülüyle ifade edildiği anlamına gelir. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
burada s(t), v(t)'nin ters türevidir.
Aşağıdaki teorem matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.
Teorem. Eğer y = f(x) fonksiyonu [a; b] ise formül geçerlidir
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
burada F(x), f(x)'in terstürevidir.
Verilen formüle genellikle denir Newton-Leibniz formülü Bunu birbirlerinden bağımsız olarak ve neredeyse aynı anda alan İngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve Alman filozof Gottfried Leibniz'in (1646-1716) onuruna.
Uygulamada, F(b) - F(a) yazmak yerine \(\left. F(x)\right|_a^b \) gösterimini kullanırlar (buna bazen denir) çift oyuncu değişikliği) ve buna göre Newton-Leibniz formülünü şu biçimde yeniden yazın:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Belirli bir integrali hesaplarken, önce ters türevi bulun ve ardından ikili ikame yapın.
Newton-Leibniz formülüne dayanarak belirli integralin iki özelliğini elde edebiliriz.
Mülk 1. Fonksiyonların toplamının integrali, integrallerin toplamına eşittir:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Mülk 2. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Belirli Bir İntegral Kullanarak Düzlem Şekillerin Alanlarını Hesaplama
İntegrali kullanarak, yalnızca eğrisel yamukların alanlarını değil, aynı zamanda daha karmaşık tipteki düzlemsel figürlerin, örneğin şekilde gösterilenin alanlarını da hesaplayabilirsiniz. P şekli x = a, x = b düz çizgileriyle ve y = f(x), y = g(x) sürekli fonksiyonlarının grafikleriyle ve [a; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği geçerlidir. Böyle bir şeklin S alanını hesaplamak için şu şekilde ilerleyeceğiz:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Dolayısıyla, x = a, x = b düz çizgileriyle ve y = f(x), y = g(x) fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan bir şeklin S alanı, parça üzerinde süreklidir ve parçadaki herhangi bir x için öyledir [A; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği sağlanır, formülle hesaplanır
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)