Tanım 1: determinantı sıfır olan bir matrise tekil matris denir.
Tanım 2: determinantı sıfıra eşit değilse bir matrise tekil olmayan matris denir.
Matris "A" denir ters matris, eğer A*A-1 = A-1 *A = E (birim matris) koşulu karşılanıyorsa.
Bir kare matris yalnızca tekil değilse tersinirdir.
Ters matrisi hesaplama şeması:
1) Eğer "A" matrisinin determinantını hesaplayın: ∆ A = 0 ise ters matris mevcut değildir.
2) "A" matrisinin tüm cebirsel tümleyenlerini bulun.
3) Cebirsel toplamalardan oluşan bir matris oluşturun (Aij)
4) Cebirsel tümleyenler (Aij )T matrisinin transpoze edilmesi
5) Transpoze matrisi bu matrisin determinantının tersiyle çarpın.
6) Kontrolü gerçekleştirin:
İlk bakışta karmaşık görünebilir ama aslında her şey çok basittir. Tüm çözümler basit aritmetik işlemlere dayanmaktadır, çözerken asıl önemli olan “-” ve “+” işaretleriyle karıştırılmaması ve onları kaybetmemektir.
Şimdi ters matrisi hesaplayarak pratik bir problemi birlikte çözelim.
Görev: Aşağıdaki resimde gösterilen "A" ters matrisini bulun:
1. Yapılacak ilk şey "A" matrisinin determinantını bulmaktır:
Açıklama:
Determinantımızı temel fonksiyonlarını kullanarak basitleştirdik. Öncelikle 2. ve 3. satırlara birinci satırın elemanlarını bir sayıyla çarparak ekledik.
İkinci olarak determinantın 2. ve 3. sütunlarını değiştirerek özelliklerine göre önündeki işareti değiştirdik.
Üçüncü olarak ikinci satırın ortak çarpanını (-1) çıkardık ve böylece işareti tekrar değiştirdik ve pozitif oldu. Ayrıca 3. satırı da örneğin en başında olduğu gibi basitleştirdik.
Köşegenin altındaki elemanları sıfıra eşit olan ve 7 özelliği gereği köşegen elemanlarının çarpımına eşit olan bir üçgen determinantımız var. Sonunda elimizde ∆ A = 26, dolayısıyla ters matris mevcuttur.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Bir sonraki adım, elde edilen eklemelerden bir matris derlemektir:
5. Bu matrisi determinantın tersiyle, yani 1/26 ile çarpın:
6. Şimdi şunu kontrol etmemiz gerekiyor:
Test sırasında bir kimlik matrisi aldık, bu nedenle çözüm kesinlikle doğru bir şekilde gerçekleştirildi.
Ters matrisi hesaplamanın 2 yolu.
1. Temel matris dönüşümü
2. Temel bir dönüştürücü aracılığıyla matrisi ters çevirin.
Temel matris dönüşümü şunları içerir:
1. Bir dizeyi sıfıra eşit olmayan bir sayıyla çarpmak.
2. Herhangi bir satıra bir sayıyla çarpılarak başka bir satır eklemek.
3. Matrisin satırlarını değiştirin.
4. Bir temel dönüşüm zinciri uygulayarak başka bir matris elde ederiz.
A -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
Buna gerçek sayılarla pratik bir örnek kullanarak bakalım.
Egzersiz yapmak: Ters matrisi bulun.
Çözüm:
Hadi kontrol edelim:
Çözüme dair küçük bir açıklama:
Önce matrisin 1. ve 2. satırlarını yeniden düzenledik, ardından ilk satırı (-1) ile çarptık.
Daha sonra ilk satırı (-2) ile çarpıp matrisin ikinci satırına ekledik. Daha sonra 2. satırı 1/4 ile çarptık.
Dönüşümün son aşaması, ikinci satırı 2 ile çarpıp birinciyle eklemekti. Sonuç olarak solda bir birim matrisimiz var, dolayısıyla ters matris sağdaki matristir.
Kontrol ettikten sonra kararın doğru olduğuna ikna olduk.
Gördüğünüz gibi ters matrisin hesaplanması çok basittir.
Bu dersin sonunda böyle bir matrisin özelliklerine de biraz zaman ayırmak istiyorum.
Ters matrisi bulma.
Bu yazıda ters matris kavramını, özelliklerini ve bulma yöntemlerini anlayacağız. Belirli bir matris için ters bir matris oluşturmanın gerekli olduğu örnekleri çözme üzerinde ayrıntılı olarak duralım.
Sayfada gezinme.
Ters matris - tanım.
Cebirsel tümleyenlerden bir matris kullanarak ters matrisi bulma.
Ters bir matrisin özellikleri.
Gauss-Jordan yöntemini kullanarak ters matrisin bulunması.
Karşılık gelen doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözerek ters matrisin elemanlarını bulma.
Ters matris - tanım.
Ters matris kavramı yalnızca determinantı sıfır olmayan kare matrisler, yani tekil olmayan kare matrisler için tanıtılmıştır.
Tanım.
Matrisbir matrisin tersi denir Eşitlikler doğruysa determinantı sıfırdan farklı olan 
, Nerede e– birim sıra matrisi N Açık N.
Cebirsel tümleyenlerden bir matris kullanarak ters matrisi bulma.
Belirli bir matrisin ters matrisi nasıl bulunur?
İlk önce kavramlara ihtiyacımız var. aktarılmış matris, matris küçük ve bir matris elemanının cebirsel tamamlayıcısı.
Tanım.
Küçükkth emir matrisler A emir M Açık N sıra matrisinin determinantıdır k Açık k matris elemanlarından elde edilen A seçilen yerde bulunur kçizgiler ve k sütunlar. ( k en küçük sayıyı geçmez M veya N).
Küçük (n-1)inci hariç tüm satırların öğelerinden oluşan düzen i-th ve hariç tüm sütunlar j., Kare matris A emir N Açık N olarak belirtelim.
Başka bir deyişle minör bir kare matristen elde edilir A emir N Açık N elemanların üstünü çizerek i-thçizgiler ve j. kolon.
Mesela minör yazalım 2. matristen elde edilen sıra 
ikinci, üçüncü satırlarının ve birinci, üçüncü sütunlarının öğelerini seçme 
. Ayrıca matristen elde edilen minörü de göstereceğiz. 
ikinci satırın ve üçüncü sütunun üzerini çizerek 
. Bu küçüklerin yapımını örnekleyelim: ve .
Tanım.
Cebirsel tamamlayıcı kare matrisin elemanına küçük denir (n-1)inci matristen elde edilen sıra A, içindeki unsurların üzerini çiziyorum i-thçizgiler ve j. sütun ile çarpılır.
Bir elemanın cebirsel tümleyeni ile gösterilir. Böylece, 
.
Örneğin, matris için 
Bir elemanın cebirsel tamamlayıcısı .
İkinci olarak, determinantın bu bölümde tartıştığımız iki özelliğine ihtiyacımız olacak. bir matrisin determinantının hesaplanması:
Belirleyicinin bu özelliklerine dayanarak, tanım bir matrisi bir sayıyla çarpma işlemleri ve ters matris kavramı doğrudur: 
burada elemanları cebirsel tamamlayıcılar olan yer değiştiren bir matristir.
Matris 
aslında matrisin tersidir A eşitlikler sağlandığından 
. Hadi gösterelim 
Hadi oluşturalım ters matrisi bulmak için algoritma eşitliği kullanmak 
.
Bir örnek kullanarak ters matrisi bulma algoritmasına bakalım.
Örnek.
Bir matris verildiğinde 
. Ters matrisi bulun.
Çözüm.
Matrisin determinantını hesaplayalım A, onu üçüncü sütunun elemanlarına ayrıştırıyoruz: 
Determinant sıfırdan farklı olduğundan matris A geri dönüşümlü.
Cebirsel eklemelerden oluşan bir matris bulalım: 
Bu yüzden 
Cebirsel toplamalardan matrisi transpoze edelim: 
Şimdi ters matrisi şu şekilde buluyoruz: 
:
Sonucu kontrol edelim: 
Eşitlikler 
sağlanır, bu nedenle ters matris doğru bulunur.
Ters bir matrisin özellikleri.
Ters matris kavramı, eşitlik 
, matrisler üzerindeki işlemlerin tanımları ve bir matrisin determinantının özellikleri, aşağıdakileri doğrulamayı mümkün kılar ters matrisin özellikleri:
Karşılık gelen doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözerek ters matrisin elemanlarını bulma.
Bir kare matrisin ters matrisini bulmanın başka bir yolunu düşünelim A emir N Açık N.
Bu yöntem çözüme dayalıdır. N doğrusal homojen olmayan cebirsel denklem sistemleri N Bilinmeyen. Bu denklem sistemlerindeki bilinmeyen değişkenler ters matrisin elemanlarıdır.
Fikir, çok basit. Ters matrisi şu şekilde gösterelim: X, yani, 
. Ters matrisin tanımı gereği, o zaman 
Karşılık gelen elemanları sütunlarla eşitleyerek şunu elde ederiz: N doğrusal denklem sistemleri 
Bunları herhangi bir şekilde çözüyoruz ve bulunan değerlerden ters bir matris oluşturuyoruz.
Bu yönteme bir örnekle bakalım.
Örnek.
Bir matris verildiğinde 
. Ters matrisi bulun.
Çözüm.
Kabul edelim 
. Eşitlik bize üç doğrusal homojen olmayan cebirsel denklem sistemi verir: 
Gerekiyorsa bu sistemlerin çözümünü anlatmayacağız; bölüme bakınız; Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.
İlk denklem sisteminden, ikincisinden - , üçüncüsünden - elimizde. Bu nedenle gerekli ters matris şu şekildedir: 
. Sonucun doğru olduğundan emin olmak için kontrol etmenizi öneririz.
Özetleyin.
Ters matris kavramına, özelliklerine ve onu bulmanın üç yöntemine baktık.
Ters matris yöntemini kullanan çözüm örnekleri
1. Egzersiz. SLAE'yi ters matris yöntemini kullanarak çözün. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4
Formun başlangıcı
Formun sonu
Çözüm. Matrisi şu şekilde yazalım: Vektör B: B T = (1,2,3,4) (1,1)'in ana determinantı Minör): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minör (2,1 için): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minör (3 ,1 için): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 (4,1) için küçük): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Minörün determinantı ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Transpoze matris Cebirsel toplamalar ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7) 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Ters matris Sonuç vektörü X X = A -1 ∙ B 
X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1
Ayrıca bakınız Ters matris yöntemini kullanan SLAE'lerin çözümleriçevrimiçi. Bunu yapmak için verilerinizi girin ve ayrıntılı yorumlar içeren bir çözüm alın.
Görev 2. Denklem sistemini matris formunda yazın ve ters matrisi kullanarak çözün. Ortaya çıkan çözümü kontrol edin. Çözüm:xml:xls
Örnek 2. Denklem sistemini matris formunda yazın ve ters matrisi kullanarak çözün. Çözüm:xml:xls
Örnek. Üç bilinmeyenli üç doğrusal denklem sistemi verilmiştir. Gerekli: 1) kullanarak çözümünü bulun Cramer formülleri; 2) Sistemi matris formunda yazın ve matris hesabını kullanarak çözün. Yönergeler. Cramer yöntemiyle çözdükten sonra "Kaynak veriler için ters matris yöntemiyle çözme" düğmesini bulun. Uygun çözümü alacaksınız. Böylece verileri tekrar doldurmanıza gerek kalmayacaktır. Çözüm. Bilinmeyenler için katsayılar matrisini A ile gösterelim; X - bilinmeyenlerin sütun matrisi; B - serbest üyelerin matris sütunu:
|
|
Vektör B: B T =(4,-3,-3) Bu gösterimler dikkate alındığında, bu denklem sistemi aşağıdaki matris formunu alır: A*X = B. A matrisi tekil değilse (determinantı sıfırdan farklıysa) , bu durumda ters bir A -1 matrisi vardır. Denklemin her iki tarafını A -1 ile çarparsak şunu elde ederiz: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. Bir doğrusal denklem sisteminin çözümünün matris gösterimi. Denklem sistemine bir çözüm bulmak için ters matris A -1'i hesaplamak gerekir. A matrisinin determinantı sıfırdan farklı ise sistemin bir çözümü olacaktır. Ana belirleyiciyi bulalım. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Yani determinant 14 ≠ 0, yani biz çözüme devam. Bunu yapmak için cebirsel toplamalar yoluyla ters matrisi buluyoruz. Tekil olmayan bir A matrisimiz olsun:
|
|
Cebirsel tamamlayıcıları hesaplıyoruz.
|
|
∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1
|
|
∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3
|
|
∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3
|
|
∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5
|
|
∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1
|
|
∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1
|
|
∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
|
|
∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7
|
|
|
|
|
|
X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Sınav. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doktor:xml:xls Cevap: -1,1,2.
Belirli bir matris için ters matris, orijinal matrisi çarparak kimlik matrisini veren böyle bir matristir: Ters bir matrisin varlığı için zorunlu ve yeterli bir koşul, orijinalin determinantının eşit olmamasıdır. sıfıra (bu da matrisin kare olması gerektiği anlamına gelir). Bir matrisin determinantı sıfıra eşitse buna tekil denir ve böyle bir matrisin tersi yoktur. Yüksek matematikte ters matrisler önemlidir ve bir takım problemleri çözmek için kullanılır. Örneğin, ters matrisi bulma denklem sistemlerini çözmek için bir matris yöntemi oluşturuldu. Hizmet sitemiz izin verir ters matrisi çevrimiçi hesapla iki yöntem: Gauss-Jordan yöntemi ve cebirsel toplamalar matrisinin kullanılması. Birincisi matris içinde çok sayıda temel dönüşümü içerir, ikincisi ise tüm elemanlara determinant ve cebirsel toplamaların hesaplanmasını içerir. Bir matrisin determinantını çevrimiçi hesaplamak için diğer hizmetimizi kullanabilirsiniz - Bir matrisin determinantının çevrimiçi olarak hesaplanması
.Sitenin ters matrisini bulun
İnternet sitesi bulmanı sağlar ters matris çevrimiçi hızlı ve ücretsiz. Sitede hizmetimiz kullanılarak hesaplamalar yapılmakta ve sonuç, bulma konusunda ayrıntılı bir çözüm ile verilmektedir. ters matris. Sunucu her zaman yalnızca doğru ve doğru bir cevap verir. Tanım gereği görevlerde ters matris çevrimiçi determinantının olması gerekir matrisler sıfır değildi, aksi halde İnternet sitesi orijinal matrisin determinantının sıfıra eşit olması nedeniyle ters matrisin bulunmasının imkansızlığını bildirecektir. Bulmak görevi ters matris Matematiğin birçok dalında bulunan, cebirin en temel kavramlarından biri ve uygulamalı problemlerde matematiksel bir araçtır. Bağımsız ters matrisin tanımı Hesaplamalarda yazım hatalarından veya küçük hatalardan kaçınmak için büyük çaba, çok zaman, hesaplamalar ve büyük özen gerektirir. Bu nedenle hizmetimiz ters matrisi çevrimiçi bulma işinizi çok kolaylaştıracak ve matematik problemlerinin çözümünde vazgeçilmez bir araç haline gelecektir. Sen bile ters matrisi bul kendiniz, çözümünüzü sunucumuzda kontrol etmenizi öneririz. Orijinal matrisinizi web sitemize girin Ters matrisi çevrimiçi hesaplayın ve cevabınızı kontrol edin. Sistemimiz asla hata yapmaz ve bulmaz ters matris modunda verilen boyut çevrimiçi aniden! Sitede İnternet sitesiÖğelerde karakter girişlerine izin verilir matrisler, bu durumda ters matris çevrimiçi genel sembolik biçimde sunulacaktır.
Tipik olarak karmaşık cebirsel ifadeleri basitleştirmek için ters işlemler kullanılır. Örneğin, problem bir kesre bölme işlemini içeriyorsa, bunu bir kesrin tersiyle çarpma işlemiyle değiştirebilirsiniz; bu, ters işlemdir. Üstelik matrisler bölünemez, bu nedenle ters matrisle çarpmanız gerekir. 3x3'lük bir matrisin tersini hesaplamak oldukça sıkıcıdır, ancak bunu manuel olarak yapabilmeniz gerekir. Karşılığını iyi bir grafik hesap makinesi kullanarak da bulabilirsiniz.
Adımlar
Ek matrisi kullanma
Orijinal matrisi transpoze edin. Transpozisyon, matrisin ana köşegenine göre satırların sütunlarla değiştirilmesidir, yani (i,j) ve (j,i) elemanlarını değiştirmeniz gerekir. Bu durumda ana köşegenin elemanları (sol üst köşede başlar ve sağ alt köşede biter) değişmez.
- Satırları sütunlara dönüştürmek için birinci satırın elemanlarını birinci sütuna, ikinci satırın elemanlarını ikinci sütuna, üçüncü satırın elemanlarını da üçüncü sütuna yazın. Elemanların konumunu değiştirme sırası, karşılık gelen elemanların renkli dairelerle daire içine alındığı şekilde gösterilmiştir.
Her 2x2 matrisin tanımını bulun. Herhangi bir matrisin her elemanı, aktarılmış olanı da dahil olmak üzere, karşılık gelen 2x2'lik bir matrisle ilişkilendirilir. Belirli bir öğeye karşılık gelen 2x2'lik bir matris bulmak için, verilen öğenin bulunduğu satır ve sütunun üzerini çizin, yani orijinal 3x3'lük matrisin beş öğesinin üzerini çizmeniz gerekir. Karşılık gelen 2x2 matrisin elemanları olan dört eleman çaprazlanmadan kalacaktır.
- Örneğin, ikinci satır ile birinci sütunun kesişiminde bulunan eleman için 2x2'lik bir matris bulmak için, ikinci satır ve birinci sütundaki beş elemanın üzerini çizin. Geriye kalan dört eleman karşılık gelen 2x2 matrisin elemanlarıdır.
- Her 2x2 matrisin determinantını bulun. Bunu yapmak için, ikincil köşegen elemanlarının çarpımını ana köşegen elemanlarının ürününden çıkarın (şekle bakın).
- 3x3'lük bir matrisin belirli öğelerine karşılık gelen 2x2'lik matrisler hakkında ayrıntılı bilgi internette bulunabilir.
Bir kofaktör matrisi oluşturun. Daha önce elde edilen sonuçları yeni bir kofaktör matrisi biçiminde yazın. Bunu yapmak için, her 2x2 matrisin bulunan determinantını, 3x3 matrisin karşılık gelen elemanının bulunduğu yere yazın. Örneğin, (1,1) elemanı için 2x2'lik bir matris düşünüyorsanız, bunun determinantını (1,1) pozisyonuna yazın. Daha sonra ilgili elemanların işaretlerini şekilde gösterilen belirli bir şemaya göre değiştirin.
- İşaret değiştirme şeması: İlk satırın ilk elemanının işareti değişmez; birinci satırın ikinci elemanının işareti ters çevrilir; ilk satırın üçüncü elemanının işareti değişmez ve bu durum satır satır devam eder. Diyagramda gösterilen “+” ve “-” işaretlerinin (şekle bakın), ilgili elemanın pozitif veya negatif olacağını göstermediğini lütfen unutmayın. Bu durumda “+” işareti elemanın işaretinin değişmediğini, “-” işareti ise elemanın işaretinin değiştiğini gösterir.
- Kofaktör matrisleri hakkında detaylı bilgi internette bulunabilir.
- Bu şekilde orijinal matrisin ek matrisini bulacaksınız. Bazen karmaşık eşlenik matris olarak da adlandırılır. Böyle bir matris adj(M) olarak gösterilir.
Birleşik matrisin her elemanını determinantına bölün. M matrisinin determinantı, ters matrisin varlığını kontrol etmek için en baştan hesaplandı. Şimdi birleşik matrisin her elemanını bu determinantla bölün. Her bölme işleminin sonucunu ilgili elemanın bulunduğu yere yazın. Bu şekilde orijinal matrisin tersi olan matrisi bulacaksınız.
- Şekilde gösterilen matrisin determinantı 1'dir. Dolayısıyla burada ek matris ters matristir (çünkü herhangi bir sayı 1'e bölündüğünde değişmez).
- Bazı kaynaklarda bölme işleminin yerini 1/det(M) ile çarpma işlemi almaktadır. Ancak nihai sonuç değişmiyor.
Ters matrisi yazın. Büyük matrisin sağ yarısında yer alan elemanları ayrı bir matris yani ters matris olarak yazın.
Orijinal matrisi hesap makinesinin belleğine girin. Bunu yapmak için varsa Matrix düğmesine tıklayın. Texas Instruments hesap makinesi için 2. ve Matrix düğmelerine basmanız gerekebilir.
Düzenle menüsünü seçin. Bunu ok düğmelerini veya hesap makinesinin klavyesinin üst kısmında bulunan uygun işlev düğmesini kullanarak yapın (düğmenin konumu hesap makinesi modeline göre değişir).
Matris gösterimini girin.Çoğu grafik hesap makinesi, A-J harfleriyle gösterilebilecek 3-10 matrisle çalışabilir. Tipik olarak, orijinal matrisi belirlemek için yalnızca [A] seçeneğini seçin. Daha sonra Enter tuşuna basın.
Matris boyutunu girin. Bu makale 3x3 matrislerden bahsediyor. Ancak grafik hesap makineleri büyük matrislerle çalışabilir. Satır sayısını girin, Enter'a basın, ardından sütun sayısını girin ve tekrar Enter'a basın.
Her matris öğesini girin. Hesap makinesi ekranında bir matris görüntülenecektir. Daha önce hesap makinesine bir matris girdiyseniz ekranda görünecektir. İmleç matrisin ilk elemanını vurgulayacaktır. İlk öğenin değerini girin ve Enter tuşuna basın. İmleç otomatik olarak bir sonraki matris elemanına geçecektir.
$A^(-1)$ matrisine $A$ kare matrisinin tersi denir, eğer $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ koşulu sağlanırsa, burada $E $, sırası $A$ matrisinin sırasına eşit olan birim matristir.
Tekil olmayan bir matris, determinantı sıfıra eşit olmayan bir matristir. Buna göre tekil bir matris, determinantı sıfıra eşit olan bir matristir.
Ters matris $A^(-1)$ ancak ve ancak $A$ matrisinin tekil olmaması durumunda mevcuttur. Eğer $A^(-1)$ ters matrisi mevcutsa, bu benzersizdir.
Bir matrisin tersini bulmanın birkaç yolu vardır ve biz bunlardan ikisine bakacağız. Bu sayfada çoğu yüksek matematik dersinde standart olarak kabul edilen birleşik matris yöntemi tartışılacaktır. Gauss yöntemini veya Gauss-Jordan yöntemini kullanmayı içeren ters matrisi bulmanın ikinci yöntemi (temel dönüşümler yöntemi) ikinci bölümde tartışılmaktadır.
Birleşik matris yöntemi
$A_(n\times n)$ matrisi verilsin. $A^(-1)$ ters matrisini bulmak için üç adım gereklidir:
- $A$ matrisinin determinantını bulun ve $\Delta A\neq 0$ olduğundan emin olun; A matrisi tekil değildir.
- $A$ matrisinin her bir elemanının cebirsel tamamlayıcılarını $A_(ij)$ oluşturun ve bulunan cebirden $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ matrisini yazın tamamlar.
- $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formülünü dikkate alarak ters matrisi yazın.
$(A^(*))^T$ matrisine genellikle $A$ matrisine ek (karşılıklı, müttefik) adı verilir.
Çözüm manuel olarak yapılırsa, ilk yöntem yalnızca nispeten küçük dereceli matrisler için iyidir: ikinci (), üçüncü (), dördüncü (). Daha yüksek dereceli bir matrisin tersini bulmak için başka yöntemler kullanılır. Örneğin ikinci bölümde tartışılan Gauss yöntemi.
Örnek No.1
$A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 matrisinin tersini bulun & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Dördüncü sütunun tüm elemanları sıfıra eşit olduğundan, $\Delta A=0$ (yani $A$ matrisi tekildir). $\Delta A=0$ olduğundan, $A$ matrisinin ters matrisi yoktur.
Örnek No.2
$A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ matrisinin tersini bulun.
Ek matris yöntemini kullanıyoruz. Öncelikle verilen $A$ matrisinin determinantını bulalım:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
$\Delta A \neq 0$ olduğuna göre ters matris mevcut olduğundan çözüme devam edeceğiz. Cebirsel tamamlayıcıları bulma
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)
Cebirsel toplamalardan oluşan bir matris oluşturuyoruz: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Ortaya çıkan matrisin yerini değiştiririz: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the ortaya çıkan matrise genellikle $A$ matrisine ek veya müttefik matris denir. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Böylece ters matris bulunur: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\sağ) $. Sonucun doğruluğunu kontrol etmek için eşitliklerden birinin doğruluğunu kontrol etmek yeterlidir: $A^(-1)\cdot A=E$ veya $A\cdot A^(-1)=E$. $A^(-1)\cdot A=E$ eşitliğini kontrol edelim. Kesirlerle daha az çalışmak için, $A^(-1)$ matrisini $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 biçiminde değil) değiştireceğiz & 5/103 \ end(array)\right)$ ve $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & biçiminde -5 \end(dizi )\sağ)$:
Cevap: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Örnek No.3
$A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ matrisinin ters matrisini bulun .
$A$ matrisinin determinantını hesaplayarak başlayalım. Yani $A$ matrisinin determinantı:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
$\Delta A\neq 0$ olduğuna göre ters matris mevcut olduğundan çözüme devam edeceğiz. Belirli bir matrisin her elemanının cebirsel tamamlayıcılarını buluruz:
Cebirsel eklemelerden oluşan bir matris oluşturuyoruz ve onu değiştiriyoruz:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Yani $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Sonucun doğruluğunu kontrol etmek için eşitliklerden birinin doğruluğunu kontrol etmek yeterlidir: $A^(-1)\cdot A=E$ veya $A\cdot A^(-1)=E$. $A\cdot A^(-1)=E$ eşitliğini kontrol edelim. Kesirlerle daha az çalışmak için, $A^(-1)$ matrisini $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ biçiminde olmayan bir şekilde değiştireceğiz. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ve $\frac(1)(26 biçiminde) )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Kontrol başarılı oldu, $A^(-1)$ ters matrisi doğru bulundu.
Cevap: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Örnek No. 4
$A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 matrisinin tersini bulun & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Dördüncü dereceden bir matris için cebirsel toplamaları kullanarak ters matrisi bulmak biraz zordur. Ancak test kağıtlarında bu tür örneklere rastlanmaktadır.
Bir matrisin tersini bulmak için öncelikle $A$ matrisinin determinantını hesaplamanız gerekir. Bu durumda bunu yapmanın en iyi yolu determinantı bir satır (sütun) boyunca genişletmektir. Herhangi bir satır veya sütunu seçiyoruz ve seçilen satır veya sütunun her bir öğesinin cebirsel tümleyenlerini buluyoruz.