Rasyonel fonksiyonların entegrasyonu Kesirli - rasyonel fonksiyon En basit rasyonel kesirler Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Basit kesirlerin entegrasyonu Rasyonel kesirlerin entegrasyonu için genel kural

derece polinomu Kesirli - rasyonel fonksiyon Kesirli - rasyonel fonksiyon, iki polinomun oranına eşit bir fonksiyondur: Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani m rasyonel kesir olarak adlandırılır.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Kesirli - rasyonel fonksiyon Uygunsuz bir kesri doğru forma indirgeyin: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

En basit rasyonel kesirler Formun uygun rasyonel kesirleri: Bunlara türlerin en basit rasyonel kesirleri denir. balta A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teorem: Paydası çarpanlara ayrılmış herhangi bir uygun rasyonel kesir: ayrıca, basit kesirlerin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teoremin formülasyonunu aşağıdaki örnekleri kullanarak açıklayalım: A, B, C, D... belirsiz katsayılarını bulmak için iki yöntem kullanılır: katsayıları karşılaştırma yöntemi ve yöntem. bir değişkenin kısmi değerleri. Bir örnek kullanarak ilk yönteme bakalım. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Rasyonel bir kesrin basit kesirlere ayrıştırılması Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterin: En basit kesirleri ortak bir paydaya getirelim Ortaya çıkan kesirlerin paylarını ve orijinal kesirleri eşitleyin Katsayıları aynı kuvvetlere eşitleyin x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x.CBxxx.A 33252 222 xx.CBx.Cx.Bx.AAx.Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

En basit kesirlerin integrali En basit rasyonel kesirlerin integrallerini bulalım: Bir örnek kullanarak tip 3 kesirlerin integraline bakalım. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Basit kesirlerin integralidx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arktgt 33 2 9 ln 2 32 C x arktgxx 3 1 3 2 102 ln

Basit kesirlerin integrali Yer değiştirme kullanan bu tür bir integral: iki integralin toplamına indirgenir: İlk integral, diferansiyel işaretinin altına t getirilerek hesaplanır. İkinci integral şu ​​yineleme formülü kullanılarak hesaplanır: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk dt'de N dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Basit kesirlerin integrali a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Rasyonel kesirlerin integrali için genel kural Kesir uygunsuzsa, bunu bir polinom ve uygun kesirin toplamı olarak gösterin. Uygun bir rasyonel kesirin paydasını çarpanlara ayırdıktan sonra, onu belirsiz katsayılı basit kesirlerin toplamı olarak temsil edin. Katsayıları karşılaştırma yöntemiyle veya bir değişkenin kısmi değerleri yöntemiyle belirsiz katsayıları bulun. Polinomu ve elde edilen basit kesirlerin toplamını entegre edin.

Örnek Kesri doğru forma koyalım. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x

Örnek Uygun bir kesrin paydasını çarpanlara ayıralım Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterelim xxx xx değişkeninin kısmi değerleri yöntemini kullanarak belirlenmemiş katsayıları bulalım 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Örnek dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

“Tıpkı bir sanatçı veya şair gibi bir matematikçi de modeller yaratır. Ve eğer kalıpları daha istikrarlıysa, bunun nedeni sadece fikirlerden oluşmasıdır... Bir matematikçinin desenleri, tıpkı bir sanatçının ya da şairin desenleri gibi, güzel olmalı; Renkler veya kelimeler gibi fikirlerin de birbiriyle uyumlu olması gerekir. Güzellik ilk şart: Dünyada çirkin matematiğe yer yok».

G.H.Hardy

Birinci bölümde, oldukça basit fonksiyonların, artık temel fonksiyonlarla ifade edilemeyen ters türevlerinin bulunduğuna dikkat çekilmişti. Bu bağlamda, antitürevlerinin temel fonksiyonlar olduğunu doğru bir şekilde söyleyebileceğimiz fonksiyon sınıfları çok büyük pratik önem kazanır. Bu fonksiyon sınıfı şunları içerir: rasyonel fonksiyonlar, iki cebirsel polinomun oranını temsil eder. Birçok problem rasyonel kesirlerin entegrasyonuna yol açmaktadır. Bu nedenle bu tür fonksiyonları entegre edebilmek çok önemlidir.

2.1.1. Kesirli rasyonel fonksiyonlar

Rasyonel kesir(veya kesirli rasyonel fonksiyon) iki cebirsel polinomun ilişkisidir:

nerede ve polinomlardır.

şunu hatırlatalım polinom (polinom, tüm rasyonel fonksiyon) Nderece formun bir fonksiyonu denir

Nerede – gerçek sayılar. Örneğin,

– birinci dereceden polinom;

– dördüncü dereceden polinom vb.

Rasyonel kesir (2.1.1) denir doğru, eğer derece, dereceden düşükse, yani. N<M aksi halde kesir denir yanlış.

Herhangi bir uygunsuz kesir, bir polinomun (tam kısım) ve uygun bir kesirin (kesirli kısım) toplamı olarak temsil edilebilir. Uygunsuz bir kesirin tam ve kesirli kısımlarının ayrılması, polinomları bir "köşe" ile bölme kuralına göre yapılabilir.

Örnek 2.1.1. Aşağıdaki uygunsuz rasyonel kesirlerin tam ve kesirli kısımlarını tanımlayın:

A) , B) .

Çözüm . a) “Köşe” bölme algoritmasını kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece elde ederiz

.

b) Burada ayrıca “köşe” bölme algoritmasını kullanıyoruz:

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

.

Özetleyelim. Genel durumda, rasyonel bir kesirin belirsiz integrali, polinomun ve uygun rasyonel kesrin integrallerinin toplamı olarak temsil edilebilir. Polinomların ters türevlerini bulmak zor değildir. Bu nedenle, aşağıda esas olarak uygun rasyonel kesirleri ele alacağız.

2.1.2. En basit rasyonel kesirler ve bunların entegrasyonu

Uygun rasyonel kesirler arasında dört tür vardır ve bunlar şöyle sınıflandırılır: en basit (temel) rasyonel kesirler:

3) ,

4) ,

bir tam sayı nerede, yani ikinci dereceden üç terimli gerçek kökleri yoktur.

Tip 1 ve tip 2'nin basit kesirlerini entegre etmek çok fazla zorluk yaratmaz:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Şimdi 3. türdeki basit kesirlerin integralini ele alalım, ancak 4. türdeki kesirleri dikkate almayacağız.

Formun integralleriyle başlayalım

.

Bu integral genellikle paydanın tam karesinin ayrılmasıyla hesaplanır. Sonuç, aşağıdaki formun bir tablo integralidir

veya .

Örnek 2.1.2.İntegralleri bulun:

A) , B) .

Çözüm . a) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kare seçin:

Buradan buluyoruz

b) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kareyi izole ederek şunu elde ederiz:

Böylece,

.

İntegrali bulmak için

paydanın türevini payda izole edebilir ve integrali iki integralin toplamına genişletebilirsiniz: bunlardan ilki yerine koyma yoluyla görünüşe geliyor

,

ve ikincisi - yukarıda tartışılana.

Örnek 2.1.3.İntegralleri bulun:

.

Çözüm . Dikkat . Paydanın türevini payda izole edelim:

İlk integral ikame kullanılarak hesaplanır :

İkinci integralde paydadaki tam kareyi seçiyoruz

Sonunda elde ettik

2.1.3. Uygun rasyonel kesir açılımı
basit kesirlerin toplamı için

Herhangi bir uygun rasyonel kesir basit kesirlerin toplamı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir. Bunu yapmak için paydanın çarpanlara ayrılması gerekir. Yüksek cebirden, gerçek katsayılı her polinomun

İntegralleri temel fonksiyonlarla ifade edilen en önemli fonksiyon sınıflarından biri rasyonel fonksiyonlar sınıfıdır.

Tanım 1. Formun işlevi
- derece polinomlarıNVeMrasyonel denir. Tam bir rasyonel fonksiyon, yani. polinom, doğrudan integral alır. Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integrali, standart bir şekilde temel tablosal integrallere dönüştürülen terimlere ayrıştırılarak bulunabilir.

Tanım 2. Kesir
payın derecesi doğruysa doğru denirNpaydanın kuvvetinden daha azM.

Payın derecesinin paydanın derecesinden büyük veya ona eşit olduğu kesire uygunsuz kesir denir.

Herhangi bir uygunsuz kesir, bir polinom ile bir uygun kesrin toplamı olarak temsil edilebilir. Bu, sayıları bölmek gibi bir polinomu bir polinoma bölerek yapılır.

Örnek.
Bir kesir hayal edelim

bir polinom ve uygun bir kesirin toplamı olarak:

3

3

3

x - 1
İlk dönem
bölümde, baştaki terimin bölünmesi sonucu elde edilir , baş terime bölünür X
bölücü Sonra çarpıyoruz bölen başına x-1

ve ortaya çıkan sonuç temettüden düşülür; Eksik bölümün geri kalan terimleri de benzer şekilde bulunur.

Polinomları böldüğümüzde şunu elde ederiz:

Bu eyleme bir parçanın tamamının seçilmesi denir.

Tanım 3. En basit kesirler, aşağıdaki türlerin uygun rasyonel kesirleridir:

BEN.
II.

(K=2, 3,…).
III.

kare trinomial nerede
IV.
burada K=2, 3, …; ikinci dereceden üç terimli

gerçek kökleri yoktur.
en basit gerçek faktörlere (cebirin temel teoremine göre, bu genişleme şu formdaki doğrusal binomları içerebilir:
ve ikinci dereceden trinomialler
, kökleri olmayan);

b) belirli bir kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasının bir diyagramını yazın. Ayrıca formun her faktörü
karşılık gelir k tip I ve II'nin bileşenleri:

formun her faktörüne
III ve IV tipi e şartlarına karşılık gelir:

Herhangi bir uygunsuz kesir, bir polinom ile bir uygun kesrin toplamı olarak temsil edilebilir. Bu, sayıları bölmek gibi bir polinomu bir polinoma bölerek yapılır.

Kesir genişletme şemasını yazın
en basitinin toplamı.

c) elde edilen en basit kesirlerin toplamasını yapın.

Ortaya çıkan ve orijinal kesirlerin paylarının eşitliğini yazın;
d) karşılık gelen genişlemenin katsayılarını bulun:

(çözüm yöntemleri aşağıda tartışılacaktır);

e) katsayıların bulunan değerlerini ayrıştırma şemasına değiştirin.

(k Herhangi bir uygun rasyonel kesirin ayrıştırmadan sonra en basit terimlerle bütünleştirilmesi, aşağıdaki türlerden birinin integrallerinin bulunmasına indirgenir: Ve =2, 3, …).

e İntegralin hesaplanması

formül III'e indirgenir: integral

- formül II'ye: integral ikinci dereceden bir üç terimli içeren fonksiyonların entegrasyon teorisinde belirtilen kuralla bulunabilir;

- aşağıda örnek 4'te gösterilen dönüşümler yoluyla.

Örnek 1.

a) paydayı çarpanlarına ayırın:

b) integrali terimlere ayırmak için bir diyagram yazın:

c) basit kesirlerin eklenmesini gerçekleştirin:

Kesirlerin paylarının eşitliğini yazalım:

d) Bilinmeyen katsayılar A, B, C'yi bulmak için iki yöntem vardır. , baş terime bölünürİki polinom ancak ve ancak katsayıları aynı kuvvetler için eşitse eşittir

, böylece karşılık gelen denklem sistemini oluşturabilirsiniz. Bu çözüm yöntemlerinden biridir.

Katsayılar ):ücretsiz üyeler (katsayısı

4A=8. Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz:, A=2, B=1.

C= - 10

Diğer bir yöntem olan özel değerler ise aşağıdaki örnekte ele alınacaktır;

e) bulunan değerleri ayrıştırma şemasına değiştirin:

Ortaya çıkan toplamı integral işareti altında yerine koyarsak ve her terimi ayrı ayrı entegre edersek şunu buluruz:

Örnek 2. Kimlik, içinde yer alan bilinmeyenlerin her türlü değeri için geçerli olan bir eşitliktir. Buna dayanarak , baş terime bölünürözel değer yöntemi.

verilebilir herhangi bir değer. Eşitliğin sağ tarafındaki terimleri ortadan kaldıran değerlerin alınması hesaplamalar için daha uygundur.İzin vermek x = 0 . Daha sonra 1 = Bir (0-1)(0+2).

0(0+2)+V 0 (0-1)+Ç Benzer şekilde x = - 2 sahibiz 1= - 2V*(-3), en x = 1.

sahibiz

1 = 3A

Buradan,

verilebilir herhangi bir değer. Eşitliğin sağ tarafındaki terimleri ortadan kaldıran değerlerin alınması hesaplamalar için daha uygundur.Örnek 3. x = 0 d) İlk önce kısmi değer yöntemini kullanıyoruz..

, Daha sonra 1, A = 1 Benzer şekilde - Şu tarihte: veya x = - 1, 1+4+2+1 = - B(1+1+1).

C ve D katsayılarını bulmak için iki denklem daha oluşturmanız gerekir. Bunun için başka değerleri de alabilirsiniz , baş terime bölünür, Örneğin x = 1 Ve x = 2. İlk yöntemi kullanabilirsiniz, yani. , baş terime bölünür herhangi bir özdeş güçteki katsayıları eşitleyin örneğin ne zaman Ve

.Aldık1 = A+B+C ve 4 = C +

D - İÇİNDE., bilmek bir = 1 B = -2, Aldık = 0 .

, bulacağız

C = 2 Böylece katsayılar hesaplanırken her iki yöntem de birleştirilebilir.

Son integral
yeni bir değişken belirleme yönteminde belirtilen kurala göre ayrı ayrı buluyoruz.
Paydada bir tam kare seçelim:

=

diyelim ki

Daha sonra

Şunu elde ederiz:

Önceki eşitliği yerine koyarsak, şunu buluruz:

Örnek 4.

Bulmak

B)

D)

Entegrasyonla elimizde:

İlk integrali formül III'e dönüştürelim:

İkinci integrali formül II'ye dönüştürelim:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Üçüncü integralde değişkeni değiştiriyoruz:

(Dönüşümleri gerçekleştirirken trigonometri formülünü kullandık

İntegralleri bulun:

Kendi kendine test soruları.
Bu rasyonel kesirlerden hangisi doğrudur:

2. Bir kesri basit kesirlerin toplamına ayırma şeması doğru yazılmış mı? Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integrali..

Belirsiz katsayı yöntemi Kesirlerin integralini almaya devam ediyoruz. Derste bazı kesir türlerinin integrallerine zaten bakmıştık ve bu ders bir anlamda bir devamı olarak düşünülebilir. Materyali başarılı bir şekilde anlamak için temel entegrasyon becerileri gereklidir, bu nedenle integralleri çalışmaya yeni başladıysanız, yani yeni başlıyorsanız, o zaman makaleyle başlamanız gerekir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri

Garip bir şekilde, artık integralleri bulmakla değil, lineer denklem sistemlerini çözmekle meşgul olacağız. Bu konuda acilen.

Derse katılmanızı tavsiye ederim. Yani yerine koyma yöntemleri (“okul” yöntemi ve sistem denklemlerinin dönem dönem eklenmesi (çıkarılması) yöntemi) konusunda bilgili olmanız gerekir.

Kesirli rasyonel fonksiyon nedir? Basit bir ifadeyle kesirli-rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımlarını içeren bir kesirdir. Üstelik kesirler makalede tartışılanlardan daha karmaşıktır.

Bazı Kesirlerin İntegrali

Uygun Kesirli-Rasyonel Fonksiyonun İntegrasyonu Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integralini çözmek için hemen bir örnek ve tipik bir algoritma. Örnek 1 Adım 1.

İlk önce paya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece polinom:

Payın baş kuvveti ikidir.

Şimdi paydaya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece payda. Bunun en açık yolu parantezleri açmak ve benzer terimleri getirmektir, ancak bunu daha basit bir şekilde yapabilirsiniz. her biri parantez içindeki en yüksek dereceyi bulun

ve zihinsel olarak çarpın: - böylece paydanın en yüksek derecesi üçe eşittir. Parantezleri gerçekten açarsak üçten büyük bir derece elde edemeyeceğimiz çok açık.

Çözüm: Payın ana derecesi KESİNLİKLE paydanın en büyük kuvvetinden küçüktür, bu da kesrin uygun olduğu anlamına gelir.

Bu örnekte pay polinomu 3, 4, 5 vb. içeriyorsa derece, o zaman kesir olur yanlış.

Şimdi yalnızca doğru kesirli rasyonel fonksiyonları ele alacağız. Dersin sonunda payın derecesinin paydanın derecesine eşit veya büyük olması durumunu inceleyeceğiz.

Adım 2. Paydayı çarpanlarına ayıralım. Paydamıza bakalım:

Genel olarak konuşursak, bu zaten faktörlerin bir ürünüdür, ancak yine de kendimize soruyoruz: Başka bir şeyi genişletmek mümkün mü? İşkencenin nesnesi şüphesiz kare üçlü olacaktır. İkinci dereceden denklemin çözümü:

Diskriminant sıfırdan büyüktür, bu da trinomialin gerçekten çarpanlara ayrılabileceği anlamına gelir:

Genel kural: Paydadaki HER ŞEY çarpanlara ayrılabilir - çarpanlara ayrılabilir

Bir çözüm formüle etmeye başlayalım:

Adım 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali basit (temel) kesirlerin toplamına genişletiyoruz. Şimdi daha net olacak.

İntegral fonksiyonumuza bakalım:

Ve biliyorsunuz, bir şekilde, büyük kesirimizi birkaç küçük kesire dönüştürmenin güzel olacağına dair sezgisel bir düşünce ortaya çıkıyor. Örneğin şöyle:

Soru ortaya çıkıyor, bunu yapmak mümkün mü? Rahat bir nefes alalım, matematiksel analizin ilgili teoremi şöyle diyor: MÜMKÜN. Böyle bir ayrışma mevcuttur ve benzersizdir.

Sadece bir yakalama var, ihtimaller Güle güle Bilmiyoruz, dolayısıyla adı belirsiz katsayılar yöntemi.

Tahmin ettiğiniz gibi sonraki vücut hareketleri de bu şekilde, kıkırdamayın! sadece onları TANIMAYA, neye eşit olduklarını bulmaya yönelik olacaktır.

Dikkatli olun, detaylı olarak sadece bir kez anlatacağım!

O halde dans etmeye başlayalım:

Sol tarafta ifadeyi ortak bir paydaya indirgedik:

Artık paydalardan güvenli bir şekilde kurtulabiliriz (aynı oldukları için):

Sol tarafta parantezleri açıyoruz ancak bilinmeyen katsayılara şimdilik dokunmuyoruz:

Aynı zamanda polinomları çarpma konusundaki okul kuralını da tekrarlıyoruz. Öğretmenken bu kuralı ciddi bir ifadeyle telaffuz etmeyi öğrendim: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız gerekir..

Açık bir açıklama açısından, katsayıları parantez içine almak daha iyidir (her ne kadar kişisel olarak zamandan tasarruf etmek için bunu asla yapmam):

Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz.
İlk önce üst düzey derecelere bakıyoruz:

Ve karşılık gelen katsayıları sistemin ilk denklemine yazıyoruz:

Şu noktayı iyi hatırlayın. Sağ tarafta hiç s olmasaydı ne olurdu? Diyelim ki herhangi bir kare olmadan gösteriş yapar mı? Bu durumda sistemin denkleminde sağa sıfır koymak gerekir: . Neden sıfır? Ancak sağ tarafta aynı kareye her zaman sıfır atayabildiğiniz için: Eğer sağ tarafta hiçbir değişken ve/veya serbest terim yoksa, o zaman sistemin karşılık gelen denklemlerinin sağ taraflarına sıfır koyarız.

Karşılık gelen katsayıları sistemin ikinci denklemine yazıyoruz:

Ve son olarak maden suyuna ücretsiz üye seçiyoruz.

Eh,...bir şekilde şaka yapıyordum. Şaka bir yana, matematik ciddi bir bilimdir. Enstitü grubumuzda yardımcı doçent, terimleri sayı doğrusuna dağıtıp en büyüklerini seçeceğini söylediğinde kimse gülmedi. Hadi ciddileşelim. Gerçi... kim bu dersin sonunu görecek kadar yaşarsa yine de sessizce gülümseyecektir.

Sistem hazır:

Sistemi çözüyoruz:

(1) Birinci denklemi sistemin 2. ve 3. denklemlerinde ifade edip yerine koyuyoruz. Aslında başka bir denklemden (veya başka bir harften) ifade etmek mümkündü, ancak bu durumda bunu 1. denklemden ifade etmek avantajlıdır, çünkü orada en küçük ihtimaller.

(2) 2. ve 3. denklemlerde benzer terimleri veriyoruz.

(3) 2. ve 3. denklemleri terim terim toplayarak eşitliği elde ederiz ve bundan şu sonuç çıkar:

(4) Bunu bulduğumuz yerden ikinci (veya üçüncü) denklemi yerine koyarız

(5) İlk denklemde ve yerine koyarak .

Sistemi çözme yöntemleriyle ilgili zorluk yaşıyorsanız bunları sınıfta uygulayın. Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?

Sistemi çözdükten sonra bulunan değerleri kontrol etmek - değiştirmek her zaman faydalıdır Her sistemin denklemi, sonuç olarak her şeyin “yakınlaşması” gerekir.

Neredeyse orada. Katsayılar bulundu ve:

Bitmiş iş şuna benzemelidir:

Gördüğünüz gibi, görevin asıl zorluğu bir doğrusal denklem sistemi oluşturmak (doğru!) ve çözmek (doğru!) oldu. Ve son aşamada her şey o kadar da zor değil: belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz ve integral alıyoruz. Lütfen üç integralin her birinin altında “serbest” bir karmaşık fonksiyona sahip olduğumuzu unutmayın; derste entegrasyonunun özelliklerinden bahsetmiştim; Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Kontrol edin: Cevabı farklılaştırın:

Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru bulunmuştur.
Doğrulama sırasında ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek zorunda kaldık ve bu tesadüfi değil. Belirsiz katsayılar yöntemi ve bir ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek karşılıklı olarak ters eylemlerdir.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İlk örnekteki kesir konusuna dönelim: . Paydadaki tüm faktörlerin FARKLI olduğunu fark etmek kolaydır. Örneğin aşağıdaki kesir verilirse ne yapılacağı sorusu ortaya çıkıyor: ? Burada paydada derecelerimiz var, ya da matematiksel olarak, katlar. Ek olarak, çarpanlara ayrılamayan ikinci dereceden bir trinomiyal vardır (denklemin diskriminantının doğrulandığını doğrulamak kolaydır) negatif olduğundan üçlü çarpanlara ayrılamaz). Ne yapalım? Temel kesirlerin toplamına genişleme şuna benzer: üstte bilinmeyen katsayılar mı yoksa başka bir şey mi var?

Örnek 3

Bir işlev tanıtın

Uygun Kesirli-Rasyonel Fonksiyonun İntegrasyonu Uygun bir kesirimiz olup olmadığını kontrol ediyoruz
Ana pay: 2
En yüksek payda derecesi: 8
Bu, kesirin doğru olduğu anlamına gelir.

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Tabii ki hayır, her şey zaten planlanmış durumda. Yukarıda belirtilen nedenlerden dolayı kare trinomial bir ürüne genişletilemez. Kapüşon. Daha az iş.

Adım 3. Temel kesirlerin toplamı olarak kesirli-rasyonel bir fonksiyon hayal edelim.
Bu durumda genişleme aşağıdaki forma sahiptir:

Paydamıza bakalım:
Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu temel kesirlerin toplamına ayrıştırırken, üç temel nokta ayırt edilebilir:

1) Paydanın birinci kuvveti “yalnız” bir faktör içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman en üste belirsiz bir katsayı koyarız (bizim durumumuzda). 1 ve 2 numaralı örnekler yalnızca bu tür "yalnız" faktörlerden oluşuyordu.

2) Payda varsa çokluçarpanı kullanıyorsanız, bunu şu şekilde ayrıştırmanız gerekir:
- yani, birinci dereceden n'inci dereceye kadar “X”in tüm derecelerinden sırayla geçin. Örneğimizde iki çoklu faktör var: ve, verdiğim açılıma tekrar bakın ve bunların tam olarak bu kurala göre genişletildiğinden emin olun.

3) Payda ikinci dereceden ayrıştırılamaz bir polinom içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman payda ayrıştırırken, belirlenmemiş katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyon yazmanız gerekir (bizim durumumuzda belirlenmemiş katsayılar ve ).

Aslında 4. bir vaka daha var ama pratikte son derece nadir olduğu için bu konuda sessiz kalacağım.

Örnek 4

Bir işlev tanıtın katsayıları bilinmeyen temel kesirlerin toplamı olarak.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Algoritmayı kesinlikle takip edin!

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu toplama dönüştürmek için gereken ilkeleri anlarsanız, söz konusu türdeki hemen hemen her tür integrali kavrayabilirsiniz.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Uygun Kesirli-Rasyonel Fonksiyonun İntegrasyonu Açıkçası kesir doğrudur:

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Olabilmek. İşte küplerin toplamı . Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak paydayı çarpanlara ayırın

Adım 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali temel kesirlerin toplamına genişletiyoruz:

Lütfen polinomun çarpanlara ayrılamayacağını unutmayın (ayırt edicinin negatif olduğunu kontrol edin), bu nedenle en üste yalnızca bir harf değil, bilinmeyen katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyon koyarız.

Kesri ortak bir paydaya getiriyoruz:

Sistemi oluşturup çözelim:

(1) Birinci denklemden ifade edip sistemin ikinci denklemine yerleştiriyoruz (bu en rasyonel yoldur).

(2) Benzer terimleri ikinci denklemde de sunuyoruz.

(3) Sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerini terim terim topluyoruz.

Sistem basit olduğundan diğer tüm hesaplamalar prensip olarak sözlüdür.

(1) Kesirlerin toplamını bulunan katsayılara göre yazıyoruz.

(2) Belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz. İkinci integralde ne oldu? Dersin son paragrafında bu yönteme aşina olabilirsiniz. acilen.

(3) Bir kez daha doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz. Üçüncü integralde tam kareyi izole etmeye başlıyoruz (dersin sondan bir önceki paragrafı) acilen).

(4) İkinci integrali alıyoruz, üçüncüde tam kareyi seçiyoruz.

(5) Üçüncü integrali alın. Hazır.

1. ve 2. sınıf öğrencilerine rasyonel kesirleri de içeren fonksiyonların integralini konu alan bir test verilmektedir. İntegral örnekleri esas olarak matematikçilerin, ekonomistlerin ve istatistikçilerin ilgisini çekecektir. Bu örnekler LNU'daki test sırasında sorulmuştu. Ben Frank. Aşağıdaki örneklerin koşulları “İntegral bulun” veya “İntegral hesaplayın” şeklinde olduğundan yerden ve zamandan tasarruf etmek için bunlar yazılmamıştır.

Örnek 15. Kesirli-rasyonel fonksiyonların integraline geldik. İntegraller arasında özel bir yere sahiptirler çünkü hesaplamak için çok zaman gerektirirler ve öğretmenlerin sadece integralle ilgili değil, bilginizi test etmelerine yardımcı olurlar. İntegralin altındaki fonksiyonu basitleştirmek için payda, integralin altındaki fonksiyonu iki basit ifadeye bölmemizi sağlayacak bir ifade ekleyip çıkarıyoruz.

Sonuç olarak, oldukça hızlı bir şekilde bir integral buluyoruz, ikincisinde kesri temel kesirlerin toplamına genişletmemiz gerekiyor

Ortak bir paydaya indirgendiğinde aşağıdaki sayıları elde ederiz

Ardından parantezleri açın ve gruplayın

Sağdaki ve soldaki “x”in aynı kuvvetleri için değeri eşitliyoruz. Sonuç olarak, üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden (SLAE) oluşan bir sisteme ulaşıyoruz.

Denklem sistemlerinin nasıl çözüleceği sitedeki diğer makalelerde anlatılmaktadır. Son versiyonda aşağıdaki SLAE çözümünü alacaksınız
bir=4; B=-9/2; C=-7/2.
Kesirlerin basit olanlara genişletilmesinde sabitleri değiştiririz ve entegrasyonu gerçekleştiririz


Bu, örneği sonlandırıyor.

Örnek 16. Yine kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulmamız gerekiyor. Başlangıç ​​olarak, kesrin paydasında yer alan kübik denklemi basit faktörlere ayıracağız.

Daha sonra kesri en basit formlarına ayırıyoruz.

Sağ tarafı ortak bir paydaya indirgeyip paydaki parantezleri açıyoruz.


Değişkenin aynı dereceleri için katsayıları eşitliyoruz. Üç bilinmeyenle tekrar SLAE'ye gelelim

A, B, C değerlerini açılımda yerine koyarız ve integrali hesaplarız

İlk iki terim logaritmayı verir, sonuncusunu bulmak da kolaydır.

Örnek 17. Kesirli rasyonel fonksiyonun paydasında küp farkı var. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak bunu iki basit faktöre ayırıyoruz

Daha sonra elde edilen kesirli fonksiyonu basit kesirlerin toplamına yazıyoruz ve bunları ortak bir paydaya indiriyoruz.

Payda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

Buradan 3 bilinmeyeni hesaplamak için bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz

bir=1/3; B=-1/3; C=1/3.
A, B, C'yi formülde yerine koyuyoruz ve integral alıyoruz. Sonuç olarak şu cevaba ulaşıyoruz:


Burada ikinci integralin payı logaritmaya dönüştürülür ve integralin altındaki geri kalan arktanjantı verir.
İnternette rasyonel kesirlerin entegrasyonuyla ilgili pek çok benzer örnek var. Benzer örnekleri aşağıdaki malzemelerden bulabilirsiniz.