“A Alın” video kursu ihtiyacınız olan tüm konuları içerir başarılı tamamlama Matematikte 60-65 puanlık Birleşik Devlet Sınavı. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematikte. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!
10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.
Tüm gerekli teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.
Kurs 5 içerir büyük konular, her biri 2,5 saat. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.
Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Kelime problemleri ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, kullanışlı hileler, geliştirme mekansal hayal gücü. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Görsel açıklama karmaşık kavramlar. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Çözümün temeli karmaşık görevler Birleşik Devlet Sınavının 2 bölümü.
Tanımı takip ederseniz, bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının limitidir. sen argüman artışına Δ X:
Her şey açık görünüyor. Ancak fonksiyonun türevini hesaplamak için bu formülü kullanmayı deneyin. F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X günah X. Her şeyi tanımı gereği yaparsanız, birkaç sayfalık hesaplamalardan sonra uykuya dalacaksınız. Bu nedenle daha basit ve etkili yollar var.
Başlangıç olarak, tüm fonksiyon çeşitliliğinden, temel fonksiyonlar olarak adlandırılanları ayırt edebildiğimizi not ediyoruz. Bu göreceli basit ifadeler türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloda listelenen. Bu tür fonksiyonların türevleriyle birlikte hatırlanması oldukça kolaydır.
Temel fonksiyonların türevleri
Temel işlevler aşağıda listelenenlerin tamamıdır. Bu fonksiyonların türevlerinin ezbere bilinmesi gerekir. Üstelik bunları ezberlemek hiç de zor değil; bu yüzden temel düzeydedirler.
Yani türevler temel işlevler:
| İsim | İşlev | Türev |
| Devamlı | F(X) = C, C ∈ R | 0 (evet, sıfır!) |
| Rasyonel üslü kuvvet | F(X) = X N | N · X N − 1 |
| Sinüs | F(X) = günah X | çünkü X |
| Kosinüs | F(X) = çünkü X | −günah X(eksi sinüs) |
| Teğet | F(X) = tg X | 1/cos2 X |
| Kotanjant | F(X) = ctg X | − 1/günah 2 X |
| Doğal logaritma | F(X) = günlük X | 1/X |
| Keyfi logaritma | F(X) = günlük A X | 1/(X içinde A) |
| Üstel fonksiyon | F(X) = e X | e X(hiçbir şey değişmedi) |
Bir temel fonksiyon keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni fonksiyonun türevi de kolaylıkla hesaplanır:
(C · F)’ = C · F ’.
Genel olarak sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:
(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası yapılabilir. Bu şekilde, artık özellikle basit olmayan, aynı zamanda aşağıdakilere göre türevlenebilir yeni işlevler ortaya çıkacaktır: belirli kurallar. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.
Toplam ve farkın türevi
Fonksiyonlar verilsin F(X) Ve G(X), türevleri tarafımızca bilinmektedir. Örneğin yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Daha sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:
- (F + G)’ = F ’ + G ’
- (F − G)’ = F ’ − G ’
Yani iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla şart olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.
Açıkça söylemek gerekirse cebirde “çıkarma” kavramı yoktur. Bir kavram var" negatif eleman" Bu nedenle fark F − G toplam olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.
F(X) = X 2 + günah x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
İşlev F(X) iki temel fonksiyonun toplamıdır, dolayısıyla:
F ’(X) = (X 2 + günah X)’ = (X 2)’ + (günah X)’ = 2X+ çünkü x;
İşlev için de benzer şekilde mantık yürütüyoruz G(X). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):
G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
Cevap:
F ’(X) = 2X+ çünkü x;
G ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Ürünün türevi
Matematik mantıksal bir bilimdir, pek çok kişi bir toplamın türevinin türevlerin toplamına eşit olması durumunda çarpımın türevinin alınacağına inanır. çarpmak">türevlerin çarpımına eşittir. Ama canınız cehenneme! Bir çarpımın türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:
(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’
Formül basit ama sıklıkla unutuluyor. Ve sadece okul çocukları değil, öğrenciler de. Sonuç yanlış çözülmüş problemlerdir.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = X 3 çünkü x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .
İşlev F(X) iki temel fonksiyonun ürünüdür, dolayısıyla her şey basittir:
F ’(X) = (X 3 çünkü X)’ = (X 3) çünkü X + X 3 (çünkü X)’ = 3X 2 çünkü X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X günah X)
İşlev G(X) ilk faktör biraz daha karmaşıktır, ancak genel şema bu değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(X) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:
G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .
Cevap:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X günah X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e
X
.
Lütfen son adımda türevin çarpanlara ayrıldığını unutmayın. Resmi olarak bunun yapılmasına gerek yoktur, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, fonksiyonu incelemek için hesaplanır. Bu, türevin ayrıca sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin belirleneceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, bir ifadenin çarpanlara ayrılması daha iyidir.
İki fonksiyon varsa F(X) Ve G(X), Ve G(X) ≠ 0 ilgilendiğimiz kümede yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(X) = F(X)/G(X). Böyle bir fonksiyonun türevini de bulabilirsiniz:
Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Ve bu yüzden! Bu en çok biri karmaşık formüller- Şişe olmadan çözemezsin. Bu nedenle, üzerinde çalışmak daha iyidir spesifik örnekler.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:
Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonları içerir, bu nedenle ihtiyacımız olan tek şey bölümün türevinin formülüdür:
Geleneğe göre, payı çarpanlara ayıralım - bu, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:
Karmaşık bir fonksiyonun mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül olması gerekmez. Örneğin fonksiyonu almanız yeterli F(X) = günah X ve değişkeni değiştirin X diyelim ki X 2 + ln X. İşe yarayacak F(X) = günah ( X 2 + ln X) - bu karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama yukarıda tartışılan kuralları kullanarak onu bulmak mümkün olmayacak.
Ne yapmalıyım? Bu gibi durumlarda değişkeni ve türev formülünü değiştirmek yardımcı olur karmaşık fonksiyon:
F ’(X) = F ’(T) · T', Eğer Xşununla değiştirilir: T(X).
Kural olarak, bu formülün anlaşılmasındaki durum, bölümün türevinden daha da üzücüdür. Bu nedenle spesifik örneklerle açıklamak daha doğru olacaktır. detaylı açıklama her adımda.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = günah ( X 2 + ln X)
Fonksiyonda ise şunu unutmayın F(X) ifade 2 yerine X+3 kolay olacak X sonra temel bir fonksiyon elde ederiz F(X) = e X. Bu nedenle bir değişiklik yapıyoruz: 2 olsun X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Aşağıdaki formülü kullanarak karmaşık bir fonksiyonun türevini ararız:
F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’
Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz: T = 2X+ 3. Şunu elde ederiz:
F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3
Şimdi fonksiyona bakalım G(X). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor X 2 + ln X = T. Sahibiz:
G ’(X) = G ’(T) · T' = (günah T)’ · T' = çünkü T · T ’
Ters değiştirme: T = X 2 + ln X. Daha sonra:
G ’(X) = çünkü ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = çünkü ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).
İşte bu! Buradan görülebileceği gibi son ifade, tüm sorun türev toplamının hesaplanmasına indirgenmişti.
Cevap:
F ’(X) = 2 · e
2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) çünkü ( X 2 + ln X).
Derslerimde sıklıkla "türev" terimi yerine "asal" kelimesini kullanıyorum. Örneğin, miktardan bir asal sayı toplamına eşit vuruşlar. Bu daha açık mı? Bu iyi.
Dolayısıyla türevi hesaplamak, yukarıda tartışılan kurallara göre aynı vuruşlardan kurtulmak anlamına gelir. Gibi son örnek Rasyonel bir üsle türev gücüne dönelim:
(X N)’ = N · X N − 1
Çok az kişi bunu rolde biliyor N iyi davranabilir kesirli sayı. Örneğin, kök X 0,5. Ya kökün altında süslü bir şey varsa? Sonuç yine karmaşık bir işlev olacaktır; bu tür yapıları testler ve sınavlar.
Görev. Fonksiyonun türevini bulun:
Öncelikle kökü rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:
F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Şimdi bir değişiklik yapıyoruz: izin ver X 2 + 8X − 7 = T. Türevi aşağıdaki formülü kullanarak buluyoruz:
F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.
Ters değiştirme işlemini yapalım: T = X 2 + 8X− 7. Elimizde:
F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 (2) X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Son olarak köklere dönelim:
Türevi bulma işlemine farklılaşma denir.
Türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak en basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin çözülmesi sonucunda, bir türev tablosu ortaya çıktı ve tam olarak belirli kurallar farklılaşma. Türev bulma alanında ilk çalışmalar yapanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olmuştur.
Bu nedenle günümüzde herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için yukarıda belirtilen fonksiyonun artımının argümanın artımına oranının limitini hesaplamanıza gerek yoktur, yalnızca tabloyu kullanmanız gerekir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.
Türevi bulmak için, asal işaretin altında bir ifadeye ihtiyacınız var bileşenlere ayırma basit işlevler ve hangi eylemlerin gerçekleştirileceğini belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler birbiriyle ilişkilidir. Daha sonra, türev tablosunda temel fonksiyonların türevlerini ve türev kurallarında ürünün, toplamın ve bölümün türevlerinin formüllerini buluyoruz. Türev tablosu ve türev kuralları ilk iki örnekten sonra verilmiştir.
Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Türev alma kurallarından, bir fonksiyon toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz;
Türev tablosundan “X” türevinin bire, sinüs türevinin kosinüse eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:
Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. İkinci terimin sabit bir faktöre sahip olduğu bir toplamın türevi olarak türev alıyoruz; bu, türevin işaretinden çıkarılabilir:
Bir şeyin nereden geldiğine dair hâlâ sorular ortaya çıkıyorsa, bunlar genellikle türev tablosuna ve türev almanın en basit kurallarına aşina olduktan sonra açıklığa kavuşturulur. Şu anda onlara doğru ilerliyoruz.
Basit fonksiyonların türevleri tablosu
Kural 1. Eğer işlevler
Bir noktada türevlenebilirse fonksiyonlar aynı noktada türevlenebilirdir
onlar. türev cebirsel toplam fonksiyonlar bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.
Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyonun farkı sabit bir terim ise türevleri eşittir yani
Kural 2. Eğer işlevler
Bir noktada türevlenebilirse çarpımları da aynı noktada türevlenebilirdir
onlar. İki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımları ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.
Sonuç 1. Türevin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir:
Sonuç 2. Çeşitli türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, her faktörün ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.
Örneğin üç çarpan için:
Kural 3. Eğer işlevler
bir noktada farklılaşabilir Ve , o zaman bu noktada onların bölümleri de türevlenebilir u/v ve
onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, pay, paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir ve payda, karesidir. eski pay.
Diğer sayfalardaki şeyleri nerede arayabiliriz?
Bir çarpımın türevini ve bölümünü bulurken gerçek sorunlar Aynı anda birden fazla farklılaşma kuralının uygulanması her zaman gereklidir, bu nedenle daha fazla örnek bu türevler için - makalede "Çarpının türevi ve fonksiyonların bölümü".
Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Terim durumunda türevi sıfıra eşit olup, sabit faktör olması durumunda türevlerin işareti dışına çıkarılır. Bu tipik hata, üzerinde meydana gelen başlangıç aşaması Türevleri inceliyorlar, ancak birkaç bir ve iki parçalı örnekleri çözdükçe, ortalama bir öğrenci artık bu hatayı yapmıyor.
Ve eğer bir ürünü veya bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen‘v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve dolayısıyla tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum örnek 10'da tartışılmıştır).
Diğer yaygın hata — mekanik çözüm basit bir fonksiyonun türevi olarak karmaşık bir fonksiyonun türevi. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.
Yol boyunca ifadeleri dönüştürmeden yapamazsınız. Bunu yapmak için kılavuzu yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirlerle işlemler.
Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan türevlerine çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde 
, ardından “Kesirlerin toplamlarının kuvvetleri ve kökleri olan türevi” dersini takip edin.
gibi bir göreviniz varsa 
, daha sonra “Basit denklemlerin türevleri” dersi için trigonometrik fonksiyonlar».
Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur
Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini tanımlarız: ifadenin tamamı bir çarpımı temsil eder ve faktörleri toplamlardır; ikincisinde terimlerden biri sabit bir faktör içerir. Çarpım farklılaşma kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımlarının diğerinin türevine göre toplamına eşittir:
Daha sonra, toplam farklılaşma kuralını uyguluyoruz: cebirsel fonksiyon toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamın ikinci teriminde bir eksi işareti vardır. Her toplamda hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani “X” bire, eksi 5 ise sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede “x” 2 ile çarpıldığı için ikiyi “x”in türeviyle aynı birim ile çarpıyoruz. Aşağıdaki türev değerlerini elde ederiz:
Bulunan türevleri çarpımların toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:
Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın çarpımları ile payın türevi ve pay ile payın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Şunu elde ederiz:
Örnek 2'de paydaki faktörlerin türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci faktör olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:
Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve kuvvet yığınının bulunduğu sorunlara çözüm arıyorsanız, örneğin, 
, o zaman sınıfa hoş geldiniz “Kesirlerin toplamlarının kuvvetleri ve kökleri olan türevi”.
Sinüs, kosinüs, teğet ve diğer trigonometrik fonksiyonların türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız, yani fonksiyon şuna benzer: o zaman sana bir ders "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri".
Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir çarpım görüyoruz. Ürünün farklılaşma kuralına ve türevin tablo değerine göre karekökşunu elde ederiz:
Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bir bölüm görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümlerin farklılaşma kuralını ve karekök türevinin tablolaştırılmış değerini kullanarak şunu elde ederiz:
Paydaki bir kesirden kurtulmak için pay ve paydayı şu şekilde çarpın:
Türevleri kendiniz bulun ve çözümlere bakın
Örnek 7. Bir fonksiyonun türevini bulun
Örnek 8. Bir fonksiyonun türevini bulun
.
Birlikte türevleri aramaya devam edelim
Örnek 9. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Cebirsel fonksiyon toplamının türevini hesaplamak için kuralları uygulayarak, türevin işaretinin dışına sabit bir faktör yerleştirerek ve türev gücü formülünü (türevler tablosunda - 3 numaranın altında) elde ederiz
.
Örnek 10. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Çarpım farklılaşması kuralını uygulayalım ve ardından tıpkı aşağıdaki gibi faktörlerin türevlerini bulalım. önceki görev türev tablosundaki formül 3'ü kullanarak. Sonra alırız
Örnek 11. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Örnek 4 ve 6'da olduğu gibi bölümlerin farklılaşma kuralını uyguluyoruz:
Şimdi paydaki türevleri hesaplayalım ve gerekli sonucu elde edelim:
Örnek 12. Bir fonksiyonun türevini bulun
Adım 1. Toplamın türevini almak için kuralı uyguluyoruz:
Adım 2. Birinci terimin türevini bulalım. Bu, karekökün tablo halindeki türevidir (türevler tablosunda 5 numara):
Adım 3. Bölümde payda aynı zamanda köktür ancak karesi değildir. Dolayısıyla bu kökü bir güce dönüştürüyoruz:
Tahmin edebileceğiniz gibi bir sabitin kökü de bir sabittir ve türev tablosundan bildiğimiz gibi bir sabitin türevi sıfıra eşittir:
ve problem ifadesinde gerekli olan türev:
33 örnek çözüm içeren PDF kılavuzunu edinin Türevi bulun: basit temel fonksiyonlar örneğini temel alan bir algoritma, ÜCRETSİZ
Size biraz daha hatırlatıyoruz karmaşık örnekler bir ürünün türevi ve bir bölüm hakkında - “Bir ürünün türevi ve fonksiyonların bölümü” ve “Üsleri ve kökleri olan bir kesir toplamının türevi” makalelerinde.
Farklılaşma kuralları. Fonksiyonların çarpımının türevi.
Farklılaşma- Ek olarak, tek değişkenli bir fonksiyondan tüm mertebelerdeki türevlerin ve diferansiyellerin ve kısmi türevlerin ve diferansiyellerin belirlenmesi, tam diferansiyellerçoğu değişkenin fonksiyonları hakkında.
2 fonksiyonun çarpımını ayırt etme kuralının kanıtı:
Fonksiyonların çarpımının artışının argümanın artışına oranının sınırını yazıyoruz. Şunu dikkate alıyoruz:
(Argümanın artışı 0'a yaklaştığında fonksiyonun artışı da 0'a yönelir).
Şimdi birkaç örnek kullanarak yukarıdaki kurala bakalım.
.
Bu örnekte. Çarpım türevi kuralını uygulayalım:
Ana temel fonksiyonların türevleri tablosuna bakıyoruz ve çözümü buluyoruz:
Fonksiyonun türevini bulalım:
İÇİNDE bu örnekte 
. Araç:
Şimdi 3 fonksiyonun çarpımının türevini belirleme seçeneğine bakalım. Bu sistem kullanılarak 4, 5 ve 25 fonksiyonların çarpımı türetilmektedir.
2 fonksiyonun çarpımının farklılaşması kuralından ilerliyoruz. İşlev f(x) işi say (1+x)sinx ve fonksiyon g(x) hadi alalım lnx:
Belirlemek için 
Çarpım türevi kuralını tekrar uyguluyoruz:
Türev toplamı kuralını ve türev tablosunu kullanalım:
Bulduğumuz sonucu yerine koyalım:
Yukarıda anlatılanlardan, bazen bir örnekte birden fazla farklılaşma kuralının uygulanmasının gerekli olduğu açıktır. Her şeyi tutarlı ve dikkatli bir şekilde yapmak önemlidir.
İşlev, ve ifadelerinin farkıdır; bunun anlamı şudur:
İlk ifadede türev işaretinden 2.'yi çıkarıyoruz ve 2. ifadede çarpımın türevini alma kuralını kullanıyoruz:
Türev nedir?
Türev ana kavramlardan biridir yüksek matematik. Bu dersimizde bu kavramı tanıtacağız. Katı matematiksel formülasyonlar ve kanıtlar olmadan birbirimizi tanıyalım.
Bu tanıdık şunları yapmanızı sağlayacaktır:
— türevlerle ilgili basit görevlerin özünü anlamak;
- bunları başarıyla çöz Olumsuz zor görevler;
— Türevlerle ilgili daha ciddi derslere hazırlanın.
İlk olarak - hoş bir sürpriz.)
Türevin kesin tanımı limitler teorisine dayanmaktadır ve olay oldukça karmaşıktır. Bu çok üzücü. Ancak türevlerin pratik uygulaması kural olarak bu kadar kapsamlı ve derin bilgi gerektirmez!
İçin başarılı uygulama okuldaki ve üniversitedeki çoğu görevi bilmek yeterlidir sadece birkaç terim- görevi anlamak ve sadece birkaç kural- çözmek için. Hepsi bu. Bu beni mutlu ediyor.
Hadi tanışmaya başlayalım mı?)
Terimler ve tanımlar.
İlköğretim matematikte birçok şey var matematiksel işlemler. Toplama, çıkarma, çarpma, üs alma, logaritma vb. Bu işlemlere bir tane daha eklersek; ilköğretim matematik en yüksek olur. Bu yeni operasyonun adı farklılaşma. Bu operasyonun tanımı ve anlamı ayrı derslerde tartışılacaktır.
Burada farklılaşmanın bir fonksiyon üzerinde basit bir matematiksel işlem olduğunu anlamak önemlidir. Herhangi bir işlevi alıp belirli kurallara göre dönüştürüyoruz. Sonuç olacak yeni özellik. Bu yeni fonksiyonun adı: türev.
Farklılaşma— bir fonksiyon üzerindeki eylem.
Türev- bu eylemin sonucu.
Tıpkı örneğin, toplam eklemenin sonucudur. Veya özel- bölmenin sonucu.
Terimleri bildiğiniz için en azından görevleri anlayabilirsiniz.) Formülasyonlar aşağıdaki gibidir: bir fonksiyonun türevini bulma; türevini alalım; işlevi ayırt etmek; türevi hesapla vesaire. Hepsi bu bir ve aynı. Elbette türevi bulmanın (farklılaşmanın) problemin çözümündeki adımlardan sadece biri olacağı daha karmaşık görevler de vardır.
Türev, fonksiyonun sağ üst köşesinde bir çizgi ile gösterilir. Bunun gibi: sen veya f"(x) veya S"(t) ve benzeri.
Okuma igrek vuruşu, x'ten ef vuruşu, te'den es vuruşu, peki, anlıyorsun.)
Bir asal aynı zamanda belirli bir fonksiyonun türevini de gösterebilir, örneğin: (2x+3)', (X 3 )’ , (sinx)' vesaire. Türevler genellikle diferansiyeller kullanılarak gösterilir, ancak bu derste bu tür gösterimleri dikkate almayacağız.
Görevleri anlamayı öğrendiğimizi varsayalım. Geriye sadece bunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek kalıyor.) Bir kez daha hatırlatayım: türevi bulmak Bir fonksiyonun belirli kurallara göre dönüştürülmesi.Şaşırtıcı bir şekilde, bu kuralların çok azı var.
Bir fonksiyonun türevini bulmak için yalnızca üç şeyi bilmeniz gerekir. Tüm farklılaşmanın dayandığı üç sütun. İşte bu üç sütun:
1. Türev tablosu (farklılaşma formülleri).
3. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
Sırayla başlayalım. Bu dersimizde türev tablosuna bakacağız.
Türev tablosu.
Dünyada - sonsuz küme işlevler. Bu çeşitlilik arasında en önemli işlevler vardır. pratik uygulama. Bu işlevler doğanın tüm yasalarında bulunur. Bu işlevlerden, tıpkı tuğlalardan olduğu gibi, diğerlerini de inşa edebilirsiniz. Bu fonksiyon sınıfına denir temel işlevler. Okulda incelenen bu fonksiyonlardır - doğrusal, ikinci dereceden, hiperbol vb.
Fonksiyonların “sıfırdan” farklılaştırılması, yani. Türevin tanımı ve limitler teorisine göre bu oldukça emek yoğun bir şeydir. Ve matematikçiler de insandır, evet, evet!) Böylece kendilerinin (ve bizim) hayatlarımızı basitleştirdiler. Bizden önce temel fonksiyonların türevlerini hesapladılar. Sonuç, her şeyin hazır olduğu bir türevler tablosudur.)
İşte burada, en popüler işlevlere yönelik bu plaka. Solda temel bir fonksiyon, sağda ise onun türevi var.
Farklılaşma formülleri
Temel fonksiyonların türevleri tablosu
Türev hesaplaması denir farklılaşma.
$y’$ veya $\frac$ türevini belirtin.
Bir fonksiyonun türevini bulmak için belirli kurallara göre başka bir fonksiyona dönüştürülür.
düşünelim türev tablosu. Fonksiyonların türevlerini bulduktan sonra başka fonksiyonlara dönüşmesine dikkat edelim.
Bunun tek istisnası kendine dönüşen $y=e^x$'dir.
Farklılaşma kuralları
Çoğu zaman, bir türev bulurken, yalnızca türev tablosuna bakmanız değil, önce türev alma kurallarını uygulamanız ve ancak daha sonra temel fonksiyonların türev tablosunu kullanmanız gerekir.
1. Sabit, türev işaretinden çıkarılır
$y=7x^4$ fonksiyonunun türevini alın.
$y’=(7x^4)’$’ı buluyoruz. $7$ sayısını türev işaretinden çıkarırsak şunu elde ederiz:
tabloyu kullanın ve güç fonksiyonunun türevinin değerini bulun:
Sonucu matematikte kabul edilen forma dönüştürelim:
2. Toplamın (farkın) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir:
$y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt +\frac -11\cot x$ fonksiyonunun türevini alın.
Türev alırken tüm kuvvetlerin ve köklerin $x^>$ biçimine dönüştürülmesi gerektiğini unutmayın;
Tüm sabitleri türev işaretinden çıkaralım:
Kurallar anlaşıldıktan sonra, uzun bir ifadenin yeniden yazılmasını önlemek için bunlardan bazıları (örneğin, son ikisi gibi) aynı anda uygulanır;
temel fonksiyonlardan türev işareti altında bir ifade elde ettik; Türev tablosunu kullanalım:
Bunu matematikte kabul edilen forma dönüştürelim:
$=1-25x^4+4 \cos x-\frac >+\frac +\frac $ . Sonucu bulurken terimlerin geçerli olduğunu lütfen unutmayın. kesirli kuvvetler köklere ve negatif olanlarla kesirlere dönüştürün.
Açık olmayan bir şey var mı?
Öğretmenlerinizden yardım istemeyi deneyin
3. Fonksiyonların çarpımının türevinin formülü:
$y=x^ \lnx$ fonksiyonunun türevini alın.
Öncelikle fonksiyonların çarpımının türevini hesaplamak için kuralı uyguluyoruz ve ardından türev tablosunu kullanıyoruz:
4. Bölüm fonksiyonlarının türevinin formülü:
$y=\frac $ fonksiyonunun türevini alın.
Matematiksel işlemlerin öncelik kurallarına göre, önce bölme, sonra toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştireceğiz, bu nedenle önce bir bölümün türevini hesaplamak için kuralı uyguluyoruz:
Toplam ve fark türevlerinin kurallarını uygulayalım, parantezleri açalım ve ifadeyi basitleştirelim:
$y=\frac $ fonksiyonunun türevini alalım.
Y işlevi iki işlevin bölümüdür, dolayısıyla bölümün türevini hesaplamak için kuralı uygulayabilirsiniz, ancak bu durumda hantal bir işlev elde edersiniz. Bu işlevi basitleştirmek için payı paydaya, terime ve terime bölebilirsiniz:
Fonksiyonların toplamını ve farkını alma kuralını basitleştirilmiş bir fonksiyona uygulayalım.