Matematik öğretmeni
Belediye eğitim kurumu "Belgorod Spor Salonu No. 5"
Ders konusu: Rasyonel denklemler.
Sınıf: 10. sınıf.
UMK : Cebir ve analizin başlangıcı: ders kitabı. 10kl'ye. Genel Eğitim kurumlar/[S.M. Potapov].-5. baskı, ek-M.: Eğitim, 2006.-432 s. s.65-74., 45-47.
Dersin Hedefleri:
Eğitsel: Temel okuldan bilinen rasyonel ifadelerle ilgili bilgileri sistematik hale getirin ve özetleyin; çözümleri göster rasyonel denklemler;
Eğitici: öğrenmeyi genişletin ve derinleştirin çeşitli türlerÇeşitli yöntemler kullanarak rasyonel denklemler.
Eğitimsel: Matematik bölümünde çalışılan konunun önemini gösterin.
Ders türü: ders-ders.
Ders yapısı:
- Ders hedefini belirleme (1 dk).
- Yeni materyali çalışmaya hazırlanmak (2 dk).
- 3.Yeni materyale giriş (38 dk).
- 4. Ders özeti (2 dk)
- 5.Ödev (2 dk)
Ders ekipmanları: interaktif tahta, projektör, bilgisayar.
Dersler sırasında:
Plan.
1. Rasyonel ifadeler.
2. Rasyonel denklemler.
3. Rasyonel denklem sistemleri.
BEN. Tekrarlama.
Cebir çözümden doğdu pratik problemler denklemleri kullanma. Cebirin hedefleri binlerce yıl boyunca değişmeden kaldı - denklemler çözüldü: önce doğrusal, sonra ikinci dereceden ve sonra daha da fazla denklem daha yüksek dereceler. Ancak cebirsel sonuçların sunulduğu biçim tanınmayacak kadar değişti.
Denklem, matematik problemlerinin en yaygın biçimidir. Denklem doktrini ana içeriktir okul kursu cebir. Denklemleri çözmek için monomlar, polinomlar, cebirsel kesirler üzerinde işlem yapabilmeniz, çarpanlara ayırabilmeniz, parantez açabilmeniz vb. gerekir. Bilginizi sıraya koymanız gerekir. İncelemeye “rasyonel ifadeler” kavramıyla başlayacağız. Temel okuldan bilinen rasyonel ifadelerle ilgili öğrenci raporu. Bu nedenle, eylem yasalarını incelemeden denklemlerin incelenmesi imkansızdır.
II. Ana bölüm.
Denklem kavramındaki en önemli şey, çözüm sorununun formülasyonudur. Sol ve sağ tarafları x için rasyonel ifadeler olan bir denkleme bilinmeyen x'li rasyonel denklem denir.
Örneğin, 5x denklemleri 6 - 9x 5 + 4x - 3x + 1 = 0, rasyoneldirler.
Bilinmeyen x'li bir denklemin kökü (veya çözümü), denklemde x yerine değiştirildiğinde gerçek bir sayısal eşitlik üreten bir sayıdır.
Bir denklemi çözmek, onun tüm köklerini bulmak veya hiç kök olmadığını göstermek anlamına gelir. Rasyonel denklemleri çözerken denklemin her iki tarafını çarpmanız ve bölmeniz gerekir. sıfıra eşit sayı, bir denklemin terimlerini bir bölümden diğerine aktarma, toplama ve çıkarma kurallarını uygulama cebirsel kesirler. Sonuç, bir öncekine eşdeğer bir denklem, yani aynı köklere sahip ve yalnızca onlara sahip bir denklem olacaktır.
Hadi listeleyelim standart denklemler biz bunu inceledik. Öğrenci cevapları (doğrusal denklem, ikinci dereceden denklem, en basit) güç denklemi X N =a). Denklemleri standart olanlardan birine dönüştürmek, bir denklem çözmenin ana adımıdır. Dönüştürme sürecini tamamen algoritma haline getirmek imkansızdır ancak tüm denklem türlerinde ortak olan bazı teknikleri hatırlamakta fayda vardır.
1).A(x) ve B(x)'in x'e göre polinom olduğu A(x) B(x) = O formundaki bir denklem denir.çürüyen denklem.
Azalan bir denklemin tüm köklerinin kümesi, A(x)=0 ve B(x)=0 olmak üzere iki denklemin tüm köklerinin kümelerinin birleşimidir. Çarpanlara ayırma yöntemi A(x) = 0 formundaki denklemlere uygulanır. Bu yöntemin özü: A(x)=0 olan A(x)=A denklemini çözmeniz gerekir. 1 (x)A 2 (x)A 3 (X). A(x)=0 denkleminin yerine şu set gelir: basit denklemler: A 1 (x)=0,A 2 (x)=0,A 3 (x)=0. Bu setin denklemlerinin köklerini bulun ve bir kontrol yapın. Çarpanlara ayırma yöntemi esas olarak rasyonel ve trigonometrik denklemler.
ÖRNEK 1.
(x 2 - 5x + 6) (x 2 + x - 2) = 0 denklemini çözelim.
Denklem iki denkleme ayrılır.
x 2 - 5x + 6 = 0 x 1 = 2 ve x 2 = 3
x 2 + x - 2 = 0. x 3 = -2 ve x 4 = 1
Bu, orijinal denklemin köklerinin x olduğu anlamına gelir 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = -2, x 4 =1.
Cevap. -2; 1; 2; 3.
ÖRNEK. Denklemi çözelim x 3 -7x+6=0.
x 3 -x-6x+6=0
x(x 2 -1)-6(x-1)=0
x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0
(x-1)(x(x+1)-6)=0
(x-1)(x 2 +x-6)=0
x-1=0, x1 =1; x 2 + x-6 = 0, x 2 = 2, x 3 = -3.
Cevap:1;2;-3.
2). Formun denklemi, burada A(x) ve B(x) polinomlardır x'e göre.
ÖRNEK 2.
Denklemi çözelim
İlk önce denklemi çözelim
x 2 + 4x - 21 = 0. x 1 = 3 ve x 2 = -7
Bu sayıları orijinal denklemin sol tarafının paydasına koyarsak, şunu elde ederiz:
x 1 2 - x 1 -6 = 9-3-6 = 0,
x 2 2 - x 2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.
Bu gösteriyor ki x sayısı 1 = 3 orijinal denklemin kökü değil, x sayısıdır 2 =- 7 bu denklemin köküdür.
Cevap. -7.
3). Formun denklemi
burada A(x), B(x), C(x) ve D(x), x'e göre polinomlardır ve genellikle aşağıdaki kurala göre çözülür.
A(x) D(x) - C(x)·B(x) = 0 denklemi çözülerek denklemin paydasını ortadan kaldırmayanlar köklerinden seçilir.
ÖRNEK 3.
Denklemi çözelim
Denklemi çözelim
x 2 - 5x + 6 - (2x + 3) (x - 3) = 0.
x 2 + 2x - 15 = 0
x 1 = -5 ve x 2 = 3.
Sayı x 1 payda x - 3'ü ortadan kaldırmaz, ancak x sayısını ortadan kaldırır 2 dönüştürür. Bu nedenle denklemin tek kökü vardır = -5.
Cevap. -5.
Rasyonel bir denklemin köklerini bulmak çoğu zaman bilinmeyeni değiştirerek yardımcı olur. Yeni bir değişkeni başarıyla tanıtma yeteneği - önemli unsur matematik kültürü. Yeni bir değişkenin başarılı seçimi denklemin yapısını daha şeffaf hale getirir.
ÖRNEK 4.
Denklemi çözelim x 8 + 4x 6 -10x 4 + 4x 2 + 1 = 0.
Sayı x 0 = 0 denklemin kökü değildir, dolayısıyla denklem denkleme eşdeğerdir
x 4 + 4x 2 - 10 + + =0
t ='yi gösterelim, sonra x 4 + =t 2 -2,
t 2 + 4t - 12 = 0, x 1 = 2 ve x 2 = -6 elde ederiz.
Bu nedenle, iki denklemin tüm köklerini birleştirerek denklemin köklerini buluruz:=2 ve =-6,
İlk denklemin -1 ve 1 olmak üzere iki kökü vardır, ancak ikinci denklemin kökleri yoktur. gerçek kökler, dolayısıyla denklemin yalnızca iki kökü vardır: -1 ve 1. Cevap. -1; 1.
4). Simetrik denklemler.
Birkaç değişkenli bir polinomun biçimi bu değişkenlerin herhangi bir permütasyonu ile değişmiyorsa simetrik polinom olarak adlandırılır.
Örneğin polinomlar x + y, a 2 + b 2 - 1, zt ve 5a 3 + 6ab + 5b 3 - iki değişkenli simetrik polinomlar, a polinomları x + y + z, a 3 + b 3 + c 3 , - üç değişkenli simetrik polinomlar.
Aynı zamanda x - y, a polinomları 2 –b 2 ve a 3 + ab – b 3 - simetrik olmayan polinomlar.
Denklem ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, burada a R/ ,b R, c R'ye simetrik dördüncü derece denklem denir. Bu denklemi çözmek için ihtiyacınız olan:
1). Denklemin her iki tarafını da x'e bölün 2 ve elde edilen ifadeleri gruplandırın:.
2).Bir değişkenin tanıtılmasıdenklem ikinci dereceden indirgenir.
Örnek.
Denklemi çöz x 4 +5x 3 +4x 2 -5x+1=0.
0 sayısı denklemin kökü değildir. Denklemin her iki tarafını da x'e bölün 2 ≠0.
Cevap. .
Rasyonel denklem sistemleri.
Çeşitli büyüklüklerin bilinmediği problemleri çözerken denklem sistemleri ortaya çıkar. Bu miktarlar, denklemler şeklinde yazılan belirli bir ilişkiyle ilişkilidir.
Sol ve sağ tarafları x ve y'nin rasyonel ifadeleri olan bir denkleme iki bilinmeyen x ve y içeren rasyonel denklem denir.
Her biri iki bilinmeyen x ve y içeren verilen denklemlerin her birinin çözümü olan tüm x ve y sayı çiftlerini bulmamız gerekiyorsa, o zaman iki bilinmeyen x ve y içeren bir denklem sistemini çözmemiz gerektiğini söyleriz. ve bu çiftlerin her birine bu sistemin çözümü denir.
Bilinmeyenler başka harflerle de gösterilebilir. Bilinmeyenlerin sayısının ikiden büyük olduğu bir denklem sistemi de benzer şekilde belirlenir.
Birinci denklem sisteminin her çözümü ikinci sistemin çözümü ise ve ikinci denklem sisteminin her çözümü birinci sistemin çözümü ise bu tür sistemlere eşdeğer denir. Özellikle çözümü olmayan iki sistem eşdeğer kabul edilir.
Örneğin, sistemler eşdeğerdir
1). İkame yöntemi.
ÖRNEK 1. Denklem sistemini çözelim
Sistemin ilk denkleminden y'den x'e kadar ifade ederek denklemi elde ederiz:
y = 3x - 1.
5x denklemini çözme 2 -4(3x-1)+3(3x-1) 2 =9, köklerini bulun x 1 = 1 ve x2 = . Bulunan sayıları yerine koyma x 1 ve x2 y = 3x - 1 denkleminde y elde ederiz 1 = 2
ve y = Sonuç olarak sistemin iki çözümü vardır: (1; 2) ve (; )
Cevap. (12), (; )
2). Cebirsel toplama yöntemi.
ÖRNEK 2. Denklem sistemini çözelim
Sistemin ilk denklemini değiştirmeden bırakıp birinci denklemi ikinciye ekleyerek sisteme eşdeğer bir sistem elde ederiz.
Sistemin tüm çözümleri iki sistemin tüm çözümlerinin birleşimidir:
(2; 1), (-2; -1),
Cevap. (2; 1), (-2; -1), .
3). Yeni bilinmeyenleri tanıtma yöntemi.
ÖRNEK 3. Denklem sistemini çözelim
u = xy, v = x - y şeklinde sistemi yeniden yazıyoruz
Çözümlerini bulalım: u 1 = 1, v 1 = 0 ve u 2 = 5, v 2 = 4. Sonuç olarak sistemin tüm çözümleri iki sistemin tüm çözümlerinin birleşimidir:
Bu sistemlerin her birini ikame yöntemini kullanarak çözdükten sonra sistemin çözümlerini buluyoruz: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
Cevap. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
4). Ah formunun denklemi 2 + bxy + su 2 a, b, c'ye sıfırdan farklı sayılar verildiğinde = 0'a x ve y bilinmeyenlerine göre homojen denklem denir.
İçinde bir denklem sistemi düşünün homojen denklem.
ÖRNEK 4. Denklem sistemini çözelim
t'nin belirtilmesi = , sistemin ilk denklemini t biçiminde yeniden yazıyoruz 2 +4t+3=0.
Denklemin iki kökü var t 1 = -1 ve t2 = -3 olduğundan sistemin tüm çözümleri iki sistemin tüm çözümlerinin birleşimidir:
Bu sistemlerin her birini çözdükten sonra sistemin tüm çözümlerini buluruz:
(2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ,(1,5;-0,5).
Cevap. (2,5; -2,5), (0,5; -0,5),,(1,5;-0,5).
Bazı sistemleri çözerken simetrik polinomların özelliklerinin bilinmesi yardımcı olur.
Örnek.
Yeni bilinmeyenleri tanıtalım: α = x + y ve β = xy, sonra x 4 +у 4 = α 4 -4 α 2 β+2 β 2
Bu nedenle sistem şu şekilde yeniden yazılabilir:
β için ikinci dereceden denklemi çözelim: β 1 =6, β2 =44.
Bu nedenle sistemin tüm çözümleri birleşimlidir.
iki sistemin tüm çözümleri:
İlk sistemin iki çözümü var x 1 = 2, y 1 = 3 ve x 2 = 3, y 2 =2, ancak ikinci sistemde yok geçerli çözümler. Dolayısıyla sistemin iki çözümü vardır: (x: 1; y 1) ve (x 2;y 2)
Cevap. (2; 3), (3; 2).
Bugün rasyonel denklemler konusunu çalışmanın sonuçlarını özetledik. Genel fikirlerden bahsettik. genel yöntemler, tüm okul denklem çizgisinin dayandığı yer.
Denklemleri çözme yöntemleri belirlendi:
1) çarpanlara ayırma yöntemi;
2) yeni değişkenleri tanıtma yöntemi.
Denklem sistemlerini çözme yöntemlerine ilişkin anlayışımızı genişlettik.
Sonraki 4 derste pratik alıştırmalar yapacağız. Bunu yapmak için öğrenmeniz gerekir teorik materyal ve denklemleri ve denklem sistemlerini çözmek için dikkate alınan yöntemler hakkında ders kitabından 2 örnek seçin, 6. derste bu konuyla ilgili bir seminer düzenlenecek, bunun için sorular hazırlamanız gerekiyor: Newton'un binom formülü, 3.5 dereceli simetrik denklemlerin çözümü . Son Ders bu konu hakkında - test edin.
Edebiyat.
- Cebir ve analizin başlangıcı: ders kitabı. 10kl'ye. Genel Eğitim kurumlar/[S.M. Potapov].-5. baskı, ek-M.: Eğitim, 2006.-432 s. s.65-74., 45-47.
- Matematik: eğitim tematik ödevler artan karmaşıklık Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmaya ve diğer final ve giriş sınavlarına / sınavlara hazırlanmaya yönelik cevaplarla birlikte. G.I. Kovaleva, T.I. Buzulina - Volgograd: Öğretmen, 2009.-494 s. – sayfa 62-72,194-199.
- Titarenko A.M. Matematik: 9-11. Sınıflar: 6000 problem ve örnekler/A.M. Titarenko.-M.: Eksmo, 2007.-336 s.
Denklemler hakkında söylenecek çok şey var. Matematiğin bu alanında matematikçilerin henüz cevaplayamadığı sorular var. Belki bazılarınız bu soruların cevaplarını bulacaksınız.
Albert Einstein şöyle dedi: “Zamanımı siyaset ve denklemler arasında bölmek zorundayım. Ancak denklemler bence çok daha önemli. Siyaset sadece onlar için vardır şu anda. Ve denklemler sonsuza kadar var olacak.”
2-5 arası dersler atanır pratik dersler. Bu derslerdeki ana faaliyet türü, öğrencilerin derste sunulan teorik materyali pekiştirmek ve derinleştirmek için bağımsız çalışmalarıdır. Her birinde teorik sorular tekrarlanır ve öğrencilere anket uygulanır. Temelli bağımsız iş sınıfta ve evde teorik soruların tekrarı ve ustalığı sağlanır, amaçlı çalışma problem çözme becerilerini geliştirmek çeşitli seviyeler zorluklarla karşılaşan öğrencilerle anket yapılıyor. Amaç: Derste sunulan teorik materyali pekiştirmek ve derinleştirmek, pratikte uygulamayı öğrenmek ve çözüm algoritmalarında uzmanlaşmak tipik örnekler ve görevler, tüm öğrencilerin çalışılan bölümün ana içeriğine program gereksinimleri düzeyinde hakim olmalarını sağlamak.
6. ve 7. dersler seminere ayrılmış olup, 6. derste seminer, 7. derste ise test yapılması tavsiye edilir.
Ders-seminer planı.
Amaç: kapsanan materyalin tekrarı, derinleştirilmesi ve genelleştirilmesi, temel yöntem, yöntem ve çözüm tekniklerinin geliştirilmesi matematik problemleri, yeni bilgilerin edinilmesi, eğitim bağımsız kullanım Standart olmayan durumlarda bilgi.
1. Dersin başında program kontrolü düzenlenir. Etkinliğin amacı iş kontrolü basit egzersizleri gerçekleştirmek için beceri ve yeteneklerin geliştirilmesi. Cevap numarasını yanlış belirten öğrencilere önden sorgulama sürecinde öğretmen hangi görevlerin zorluğa neden olduğunu bulur. Daha sonra sözlü veya evrak işi hataları ortadan kaldırmak için. Programlanmış kontrolün gerçekleştirilmesi için 10 dakikadan fazla süre ayrılamaz.
2. Teorik konularda birkaç öğrenciye yönelik farklılaştırılmış anket.
3. Tarihsel referans denklem kavramının ortaya çıkışı ve gelişimi hakkında (öğrenci mesajı). Newton'un binom formülü. Üçüncü derece, dördüncü derece, beşinci derece simetrik denklemlerin çözümü.
x 4 -2x 3 -x 2 -2x+1=0
2x 4 +x 3 -11x 2 +x+2=0
x 5 -x 4 -3x 3 -3x 2 -x+1=0
2x 5 +3x 4 -5x 3 -5x 2 +3x+2=0
4. Örneklerin çözülmesi, öğrencilerin uygulamaya hazır olup olmadıklarının kontrol edilmesi deneme çalışması– bu seminerin ana hedeflerinden biridir.
Testin gerçekleştirilmesi.
Bir testin yapılması, öğrencilerin bilgilerinin sürekli izlenmesinden vazgeçmek anlamına gelmez. Notlar pratik ve seminer dersleri. Bazı tipik egzersizler test edilecektir. Öğrencilere sınav sırasında hangi teorik materyal ve alıştırmaların sunulacağı önceden bildirilir. Ele alınan konuyu test etmek için kartlardan birinin içeriğini sunalım.
Seviye 1.
Denklemleri çözün: (x+3) 4 +(x 2 +x-6) 2 =2(x-2) 4
X 2 +25 =24
(2x 2 -3x+1)(2x 2 -5x+1)=8x 2
Seviye 2.
Denklemleri çözün: x 4 +8x 3 +8x 2 -32x-9=0
8x3 -12x2 +x-7=0
Ön izleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a girin ve giriş yapın:
Bu yazıda size göstereceğim yedi tür rasyonel denklemi çözmek için algoritmalar değişkenleri değiştirerek ikinci dereceden indirgenebilir. Çoğu durumda, değişime yol açan dönüşümler çok önemsizdir ve bunları kendi başınıza tahmin etmek oldukça zordur.
Her denklem türü için, içindeki değişken değişikliğinin nasıl yapılacağını açıklayacağım ve ardından ilgili video eğitiminde ayrıntılı bir çözüm göstereceğim.
Denklemleri kendi başınıza çözmeye devam etme ve ardından çözümünüzü video dersiyle kontrol etme fırsatınız var.
Öyleyse başlayalım.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Denklemin sol tarafında dört parantezden oluşan bir çarpım, sağ tarafında ise bir sayı olduğuna dikkat edin.
1. Serbest terimlerin toplamı aynı olacak şekilde parantezleri ikişer gruplayalım.
2. Bunları çarpın.
3. Değişken değişikliğini tanıtalım.
Denklemimizde (-1)+(-4)=(-7)+2 olduğundan birinci parantezi üçüncüyle, ikinciyi dördüncüyle gruplandıracağız:
Bu noktada değişken değişimi açıkça ortaya çıkıyor:
Denklemi elde ederiz 
Cevap: 
2 .
Bu tür bir denklem öncekine bir farkla benzer: Denklemin sağ tarafında ve sayısının çarpımı bulunur. Ve tamamen farklı bir şekilde çözüldü:
1. Serbest terimlerin çarpımı aynı olacak şekilde parantezleri ikişer gruplandırıyoruz.
2. Her bir parantez çiftini çarpın.
3. Her faktörden x'i çıkarıyoruz.
4. Denklemin her iki tarafını da 'ye bölün.
5. Değişken değişikliğini tanıtıyoruz.
Bu denklemde, birinci parantezi dördüncüyle, ikinciyi üçüncüyle gruplandırıyoruz, çünkü:
Her parantez içindeki katsayı ve serbest terimin aynı olduğuna dikkat edin. Her parantezden bir faktör çıkaralım:
X=0 orijinal denklemin kökü olmadığından denklemin her iki tarafını da 'ye böleriz. Şunu elde ederiz:
Denklemi elde ederiz: 
Cevap: 
3
. 
Her iki fraksiyonun paydalarının da olduğuna dikkat edin. kare trinomialler, bunun için baş katsayı ve serbest terim aynıdır. İkinci tip denklemde olduğu gibi x'i parantezden çıkaralım. Şunu elde ederiz:
Her kesrin payını ve paydasını x'e bölün:
Artık değişken değişimini tanıtabiliriz:
T değişkeni için bir denklem elde ederiz:
4 .
Denklemin katsayılarının merkezi katsayılara göre simetrik olduğuna dikkat edin. Bu denklem denir depozitolu .
Bunu çözmek için,
1. Denklemin her iki tarafını da şuna bölün (x=0 denklemin kökü olmadığı için bunu yapabiliriz.) Şunu elde ederiz:
2. Terimleri şu şekilde gruplayalım:
3. Her grupta onu parantezlerin dışına koyacağız ortak çarpan:
4. Değiştirmeyi tanıtalım:
5. İfadeyi t aracılığıyla ifade edin:
Buradan 
T için denklemi elde ederiz:
Cevap:
5. Homojen denklemler.
Üstel, logaritmik ve trigonometrik denklemleri çözerken homojen yapıya sahip denklemlerle karşılaşılabileceğinden onu tanıyabilmeniz gerekir.
Homojen denklemler aşağıdaki yapıya sahiptir:
Bu eşitlikte A, B ve C sayılardır ve kare ve daire şunu belirtir: özdeş ifadeler. Yani homojen bir denklemin sol tarafında tek terimlilerin toplamı vardır. aynı derece(V bu durumda monomların derecesi 2'dir ve serbest terim yoktur.
Homojen bir denklemi çözmek için her iki tarafı da şuna bölün:
Dikkat! Bir denklemin sağ ve sol taraflarını bilinmeyen içeren bir ifadeye böldüğünüzde kökleri kaybedebilirsiniz. Bu nedenle denklemin her iki tarafını da böldüğümüz ifadenin köklerinin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
İlk yoldan gidelim. Denklemi elde ederiz:
Şimdi değişken değişimini tanıtıyoruz:
İfadeyi basitleştirelim ve iki ikinci dereceden denklem t'ye göre:
Cevap: veya
7
. 
Bu denklem aşağıdaki yapıya sahiptir:
Bunu çözmek için denklemin sol tarafındaki tam kareyi seçmeniz gerekir.
Tam kareyi seçmek için çarpımın iki katını eklemeniz veya çıkarmanız gerekir. Daha sonra toplamın veya farkın karesini alırız. Başarılı değişken değişimi için bu çok önemlidir.
Çarpımın iki katını bularak başlayalım. Bu, değişkeni değiştirmenin anahtarı olacaktır. Denklemimizde çarpımın iki katı eşittir
Şimdi bizim için neyin daha uygun olduğunu bulalım: toplamın karesi veya fark. Önce ifadelerin toplamını ele alalım:
Harika! Bu ifade çarpımın tam iki katına eşittir. Ardından, parantez içindeki toplamın karesini elde etmek için çift çarpımı ekleyip çıkarmanız gerekir:
Konu III. RASYONEL DENKLEM SİSTEMLERİ
Sistem aynı anda yerine getirilmesi gereken koşullar dizisidir. Bu koşullar denklemler ve eşitsizlikler şeklinde ifade edilebilir..
Sistemde yer alan koşullar genellikle bir sütun halinde yazılır ve sol tarafta parantezle düzenlenir.
Denklemlerden oluşan sisteme denklem sistemi denir.
Denklem ve eşitsizliklerden oluşan sisteme karma sistem denir.
Bir sistemi çözmek, bilinmeyenler için sistemin tüm koşullarını karşılayan bir değerler kümesi bulmak anlamına gelir.
Sistemin kapsamı şu şekildedir: ortak bir kısım içerdiği koşulların tanım alanı. Sistemin çözümü, eğer varsa, her zaman onun tanım alanına aittir.
Çözümü olan sisteme eklem denir.
Çözümü olmayan bir sisteme tutarsız veya tutarsız denir.
Bölüm I. DOĞRUSAL SİSTEMLERİN BİLİNMEYENLERİN SONUÇ OLARAK ELENME YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ (GAUSS YÖNTEMİ)
§ I. Doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin tanımı
Her iki parçası da, belirlenen bilinmeyenlere göre derecesi birinciden daha yüksek olmayan terimlerden oluşuyorsa, rasyonel denklemin tamamına doğrusal cebir denir.
Bir sistem yalnızca doğrusal cebirsel denklemler içeriyorsa doğrusal olarak adlandırılır.
(Daha sonra kılavuzun, soruları veya görevleri yanıtlarken sayfanın sağ tarafını kapatmanız gereken programlanabilir bir kısmı vardır. Sayfanın bu bölümünde tamamladığınız görevin veya cevabın doğruluğu kontrol edilir. Programlanabilir kılavuzla çalışma sırası bu örneklere, sorulan sorulara veya bunlara verdiğiniz tepkilere göre belirlenir. Bu sıra ihlal edilmemelidir.)
1 ve 2 numaralı örneklerde verilen sistemlerin x ve y'ye göre doğrusal olup olmadığını belirleyin.
| Örnek No.1 Örnek No.2
3 numaralı örnekte, bu sistemi doğrusal bir sisteme getiren bir değişiklik yapın. Örnek No.3 | Yanıtlar: Sistem doğrusaldır. Sistem doğrusal değildir.  Bunlar x ve y'ye göre 1. dereceden terimlerdir (her birindeki x ve y üslerinin toplamı bire eşittir). İlk denklemin sağ tarafındaki terimler x ve y'ye göre sıfır derece. Bu yüzden  (Her birinde x ve y'nin üslerinin toplamı sıfırdır). Burada x ≠0 için x 0 ≡ 1, y ≠0 için y 0 ≡ 1 tanımını kullandık. Sistemin ikinci denklemi. ilk olarak formda temsil edilebilir  .Şimdi ikinci denklemin sol tarafı x ve y'ye göre birinci dereceden terimleri içerir, sağ tarafı ise sıfırı içerir. Bu yüzden, bu sistem doğrusaldır, çünkü doğrusal denklemlerden oluşur. 2 numaralı örneğe gidin. Yanıtlar: Sistem doğrusal değildir. 2. Sistem doğrusaldır. Doğru. Ama ikame yoluyla
bu sistem yeni bilinmeyenler u, v, t'ye göre doğrusal hale getirilir. 3 numaralı örneğe gidin. B) Doğru değil. Sistemin denklemlerine doğrusal denemez çünkü denklemin sol tarafları dereceleri belirlenmeyen kesirlerin toplamını içerir. (Sadece bir polinomun derecesini belirleyebilirsiniz; analitik ifade Harfler ve sayılar üzerinde en fazla iki işlemin gerçekleştirilmediği: cebirsel toplama ve çarpma). |
Yukarıdaki denklemi § 7'de tanıttık. Öncelikle ne olduğunu hatırlayalım. rasyonel ifade. Bu - cebirsel ifade doğal bir üsle toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerini kullanan sayılar ve x değişkeninden oluşur.
Eğer r(x) rasyonel bir ifade ise r(x) = 0 denklemine rasyonel denklem denir.
Ancak pratikte "rasyonel denklem" teriminin biraz daha geniş bir yorumunu kullanmak daha uygundur: bu, h(x) = q(x) formundaki bir denklemdir; burada h(x) ve q(x) eşittir Rasyonel ifadeler.
Şu ana kadar herhangi bir rasyonel denklemi çözemedik, ancak sonuç olarak sadece bir tanesini çözebildik: çeşitli dönüşümler ve mantık şu şekilde özetlendi: Doğrusal Denklem. Artık yeteneklerimiz çok daha büyük: yalnızca doğrusal olmayan bir rasyonel denklemi çözebileceğiz.
mu, ama aynı zamanda ikinci dereceden denklem için de.
Daha önce rasyonel denklemleri nasıl çözdüğümüzü hatırlayalım ve bir çözüm algoritması oluşturmaya çalışalım.
Örnek 1. Denklemi çözün
Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım.
Bu durumda, her zamanki gibi, A = B ve A - B = 0 eşitliklerinin A ve B arasındaki aynı ilişkiyi ifade etmesinden yararlanıyoruz. Bu, terimi şu şekilde aktarmamıza olanak sağladı: Sol Taraf ile denklemler zıt işaret.
Denklemin sol tarafını dönüştürelim. Sahibiz
Eşitlik koşullarını hatırlayalım kesirler sıfır: ancak ve ancak iki ilişki aynı anda sağlanırsa:
1) kesrin payı sıfıra eşit(bir = 0); 2) kesrin paydası sıfırdan farklıdır).
Denklemin (1) sol tarafındaki kesrin payını sıfıra eşitlersek şunu elde ederiz:
Yukarıda belirtilen ikinci koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek kalır. İlişki, denklem (1) için şu anlama gelir: . X 1 = 2 ve x 2 = 0,6 değerleri belirtilen ilişkileri karşılar ve bu nedenle denklemin (1) kökleri ve aynı zamanda verilen denklemin kökleri olarak görev yapar.
1) Denklemi forma dönüştürelim
2) Bu denklemin sol tarafını dönüştürelim:
(aynı anda paydaki işaretleri değiştirdi ve
kesirler).
Böylece, verilen denklem formu alır
3) x 2 - 6x + 8 = 0 denklemini çözün. Bulun
4) Bulunan değerler için koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin 
. 4 sayısı bu şartı sağlıyor ama 2 sayısı karşılamıyor. Bu, 4'ün verilen denklemin kökü olduğu ve 2'nin yabancı bir kök olduğu anlamına gelir.
CEVAP: 4.
2. Yeni bir değişken ekleyerek rasyonel denklemleri çözme
Yeni bir değişken ekleme yöntemi size tanıdık geliyor; bunu birden fazla kez kullandık. Rasyonel denklemlerin çözümünde nasıl kullanıldığını örneklerle gösterelim.
Örnek 3. x 4 + x 2 - 20 = 0 denklemini çözün.
Çözüm. Yeni bir değişken tanıtalım: y = x 2. x 4 = (x 2) 2 = y 2 olduğuna göre verilen denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:
y 2 + y - 20 = 0.
Bu, kökleri bilinen yöntemler kullanılarak bulunabilen ikinci dereceden bir denklemdir. formüller; y 1 = 4, y 2 = - 5 elde ederiz.
Ancak y = x 2, bu da sorunun iki denklemin çözülmesine indirgendiği anlamına gelir:
x2 =4; x2 = -5.
Birinci denklemden ikinci denklemin köklerinin olmadığını görüyoruz.
Cevap: .
ax 4 + bx 2 +c = 0 biçimindeki bir denkleme iki ikinci dereceden denklem denir (“bi” ikidir, yani bir tür “çift ikinci dereceden” denklem). Az önce çözülen denklem tam olarak iki ikinci derecedendi. Herhangi bir iki ikinci dereceden denklem, Örnek 3'teki denklemle aynı şekilde çözülür: yeni bir y = x 2 değişkeni girin, elde edilen ikinci dereceden denklemi y değişkenine göre çözün ve ardından x değişkenine geri dönün.
Örnek 4. Denklemi çözün
Çözüm. Aynı x 2 + 3x ifadesinin burada iki kez göründüğüne dikkat edin. Bu, yeni bir y = x 2 + 3x değişkenini tanıtmanın anlamlı olduğu anlamına gelir. Bu, denklemi daha basit bir şekilde yeniden yazmanıza olanak tanır ve güzel görünüyor(aslında yeni bir tanıtmanın amacı da budur) değişken- ve kaydın basitleştirilmesi
daha net hale gelir ve denklemin yapısı daha net hale gelir):
Şimdi rasyonel bir denklemi çözmek için algoritmayı kullanalım.
1) Denklemin tüm terimlerini tek bir parçaya taşıyalım:
= 0
2) Denklemin sol tarafını dönüştürün
Böylece verilen denklemi forma dönüştürdük.
3) - 7y 2 + 29y -4 = 0 denkleminden şunu buluyoruz (siz ve ben zaten pek çok ikinci dereceden denklem çözdük, bu nedenle ders kitabında her zaman ayrıntılı hesaplamalar vermeye muhtemelen değmez).
4) Bulunan kökleri 5 (y - 3) (y + 1) koşulunu kullanarak kontrol edelim. Her iki kök de bu şartı sağlamaktadır.
Böylece yeni değişken y için ikinci dereceden denklem çözülür: 
y = x 2 + 3x ve y, belirlediğimiz gibi iki değer aldığından: 4 ve , hâlâ iki denklemi çözmemiz gerekiyor: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Birinci denklemin kökleri 1 ve -4 sayıları, ikinci denklemin kökleri ise sayılardır
Ele alınan örneklerde, yeni bir değişken ekleme yöntemi, matematikçilerin söylemeyi sevdiği gibi, duruma uygundu, yani duruma iyi bir şekilde karşılık geliyordu. Neden? Evet, çünkü aynı ifade denklemde birkaç kez açıkça ortaya çıktı ve bu ifadenin belirtilmesinin bir nedeni vardı. yeni mektup. Ancak bu her zaman gerçekleşmez; bazen yeni bir değişken yalnızca dönüşüm süreci sırasında "görünür". Bir sonraki örnekte de tam olarak bu olacak.
Örnek 5. Denklemi çözün
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Çözüm. Sahibiz
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Bu, verilen denklemin şu şekilde yeniden yazılabileceği anlamına gelir:
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Artık yeni bir değişken "ortaya çıktı": y = x 2 - 3x.
Onun yardımıyla denklem y (y + 2) = 24 ve ardından y 2 + 2y - 24 = 0 şeklinde yeniden yazılabilir. Bu denklemin kökleri 4 ve -6 sayılarıdır.
Orijinal x değişkenine dönersek, x 2 - 3x = 4 ve x 2 - 3x = - 6 olmak üzere iki denklem elde ederiz. İlk denklemden x 1 = 4, x 2 = - 1'i buluruz; ikinci denklemin kökleri yoktur.
CEVAP: 4, - 1.
Rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerle tanışalım, tanımlarını verelim, örnekler verelim ve ayrıca en yaygın problem türlerini analiz edelim.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rasyonel denklem: tanım ve örnekler
Rasyonel ifadelerle tanışma okulun 8. sınıfında başlar. Bu dönemde cebir derslerinde öğrenciler notlarında rasyonel ifadeler içeren denklemlerle ilgili ödevlerle giderek daha fazla karşılaşmaya başlıyorlar. Ne olduğu konusunda hafızamızı tazeleyelim.
Tanım 1
Rasyonel denklem her iki tarafın da rasyonel ifadeler içerdiği bir denklemdir.
Çeşitli kılavuzlarda başka bir formülasyon bulabilirsiniz.
Tanım 2
Rasyonel denklem- bu, sol tarafı rasyonel bir ifade içeren ve sağ tarafı sıfır içeren bir denklemdir.
Rasyonel denklemler için verdiğimiz tanımlar aynı şeyden söz ettikleri için eşdeğerdir. Sözlerimizin doğruluğu, herhangi bir rasyonel ifade için P Ve Q denklemler P = S Ve P - S = 0 eşdeğer ifadeler olacaktır.
Şimdi örneklere bakalım.
örnek 1
Rasyonel denklemler:
x = 1 , 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Rasyonel denklemler, tıpkı diğer türdeki denklemler gibi, 1'den birkaçına kadar herhangi bir sayıda değişken içerebilir. İlk önce şuna bakacağız basit örnekler Denklemlerin yalnızca bir değişken içereceği. Ve sonra görevi yavaş yavaş karmaşıklaştırmaya başlayacağız.
Rasyonel denklemler ikiye ayrılır büyük gruplar: tamsayılar ve kesirler. Her bir gruba hangi denklemlerin uygulanacağını görelim.
Tanım 3
Bir rasyonel denklemin sol ve sağ tarafları tüm rasyonel ifadeleri içeriyorsa tamsayı olacaktır.
Tanım 4
Bir rasyonel denklemin parçalarından biri veya her ikisi de kesir içeriyorsa kesirli olacaktır.
Kesirli rasyonel denklemler mutlaka bir değişkene bölünmeyi içerir veya değişken paydada bulunur. Denklemlerin tamamının yazılmasında böyle bir bölümleme yoktur.
Örnek 2
3 x + 2 = 0 Ve (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– tüm rasyonel denklemler. Burada denklemin her iki tarafı da tamsayı ifadelerle temsil edilmektedir.
1 x - 1 = x 3 ve x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 kesirli rasyonel denklemlerdir.
Bütün rasyonel denklemler doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri içerir.
Denklemlerin tamamını çözme
Bu tür denklemleri çözmek genellikle onları eşdeğer cebirsel denklemlere dönüştürmekten ibarettir. Bu, aşağıdaki algoritmaya uygun olarak denklemlerin eşdeğer dönüşümlerinin gerçekleştirilmesiyle elde edilebilir:
- önce denklemin sağ tarafında sıfır alıyoruz, bunun için denklemin sağ tarafındaki ifadeyi sol tarafa taşıyıp işaretini değiştirmemiz gerekiyor;
- daha sonra denklemin sol tarafındaki ifadeyi bir polinoma dönüştürürüz standart görünüm.
Cebirsel bir denklem elde etmeliyiz. Bu denklem orijinal denkleme eşdeğer olacaktır. Kolay durumlar, sorunu çözmek için tüm denklemi doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme indirgememize olanak tanır. İÇİNDE Genel dava cebirsel bir derece denklemini çözüyoruz N.
Örnek 3
Tüm denklemin köklerini bulmak gerekiyor 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.
Çözüm
Eşdeğer bir cebirsel denklem elde etmek için orijinal ifadeyi dönüştürelim. Bunun için denklemin sağ tarafında yer alan ifadeyi sol tarafa aktarıp işaretin tersini koyacağız. Sonuç olarak şunu elde ederiz: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.
Şimdi sol taraftaki ifadeyi standart formun bir polinomuna dönüştürelim ve üretelim. gerekli eylemler bu polinomla:
3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6
Çözümü orijinal denklemin çözümüne indirmeyi başardık ikinci dereceden denklem tür x 2 − 5 x − 6 = 0. Bu denklemin diskriminantı pozitiftir: D = (− 5) 2− 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Bu, iki gerçek kökün olacağı anlamına gelir. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak bunları bulalım:
x = - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 veya x 2 = 5 - 7 2,
x 1 = 6 veya x 2 = - 1
Çözüm sırasında bulduğumuz denklemin köklerinin doğruluğunu kontrol edelim. Bunun için aldığımız sayıları orijinal denklemde yerine koyarız: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Ve 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. İlk durumda 63 = 63 , saniyede 0 = 0 . Kökler x=6 Ve x = − 1 aslında örnek koşulda verilen denklemin kökleridir.
Cevap: 6 , − 1 .
"Bir denklemin tamamının derecesi"nin ne anlama geldiğine bakalım. Bir denklemin tamamını cebirsel biçimde temsil etmemiz gereken durumlarda bu terimle sıklıkla karşılaşacağız. Konsepti tanımlayalım.
Tanım 5
Tüm denklemin derecesi- bu derece cebirsel denklem, orijinal tamsayı denklemine eşdeğerdir.
Yukarıdaki örnekteki denklemlere bakarsanız şunu tespit edebilirsiniz: tüm bu denklemin derecesi ikincidir.
Dersimiz ikinci derece denklemlerin çözümüyle sınırlı olsaydı konunun tartışması burada bitebilirdi. Ama bu o kadar basit değil. Üçüncü dereceden denklemleri çözmek zorluklarla doludur. Ve dördüncü dereceden daha yüksek denklemler için genel formüller kökler. Bu bakımdan üçüncü, dördüncü ve diğer derecelerdeki denklemlerin tamamının çözülmesi, bir takım başka teknik ve yöntemlerin kullanılmasını gerektirir.
Rasyonel denklemlerin tamamını çözmek için en yaygın kullanılan yaklaşım, çarpanlara ayırma yöntemine dayanmaktadır. Bu durumda eylemlerin algoritması aşağıdaki gibidir:
- sıfırın kaydın sağ tarafında kalması için ifadeyi sağ taraftan sola doğru hareket ettiriyoruz;
- Sol taraftaki ifadeyi faktörlerin çarpımı olarak temsil ediyoruz ve ardından daha basit denklemlerden oluşan bir diziye geçiyoruz.
(x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) denkleminin çözümünü bulun.
Çözüm
İfadeyi kaydın sağ tarafından ters işaretle sola doğru taşıyoruz: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Sol tarafı standart formun bir polinomuna dönüştürmek, bize dördüncü dereceden cebirsel bir denklem vereceği için uygun değildir: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Dönüşümün kolaylığı böyle bir denklemin çözümündeki tüm zorlukları haklı çıkarmaz.
Diğer tarafa gitmek çok daha kolay: ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım x 2 − 10 x + 13 . Böylece formun bir denklemine ulaşıyoruz (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Şimdi ortaya çıkan denklemi iki ikinci dereceden denklemle değiştiriyoruz x 2 − 10 x + 13 = 0 Ve x 2 − 2 x − 1 = 0 ve bunların köklerini diskriminant aracılığıyla bulun: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Cevap: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Aynı şekilde yeni bir değişken ekleme yöntemini de kullanabiliriz. Bu yöntem, orijinal tamsayı denklemindeki derecelerden daha düşük derecelere sahip eşdeğer denklemlere gitmemizi sağlar.
Örnek 5
Denklemin kökleri var mı? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Çözüm
Şimdi bir rasyonel denklemin tamamını cebirsel bir denkleme indirgemeye çalışırsak, 4. dereceden bir denklem elde ederiz. rasyonel kökler. Bu nedenle diğer tarafa gitmemiz daha kolay olacaktır: denklemdeki ifadenin yerini alacak yeni bir y değişkeni eklemek x 2 + 3 x.
Şimdi tüm denklemle çalışacağız (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Denklemin sağ tarafını ters işaretle sola kaydıralım ve işlemi gerçekleştirelim. gerekli dönüşümler. Şunu elde ederiz: y 2 + 4 y + 3 = 0. İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: y = − 1 Ve y = − 3.
Şimdi ters değiştirme işlemini yapalım. İki denklem elde ediyoruz x 2 + 3 x = − 1 Ve x 2 + 3 · x = − 3 . Bunları x 2 + 3 x + 1 = 0 olarak yeniden yazalım ve x 2 + 3 x + 3 = 0. Elde edilenlerden ilk denklemin köklerini bulmak için ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanıyoruz: - 3 ± 5 2. İkinci denklemin diskriminantı negatiftir. Bu, ikinci denklemin gerçek kökleri olmadığı anlamına gelir.
Cevap:- 3 ± 5 2
Tam denklemler yüksek dereceler Görevlerde oldukça sık karşılaşıyoruz. Onlardan korkmanıza gerek yok. Başvurmaya hazır olmanız gerekiyor standart dışı yöntem bir dizi yapay dönüşüm de dahil olmak üzere çözümleri.
Kesirli rasyonel denklemleri çözme
Bu alt konuyu değerlendirmeye p(x) q(x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemleri çözmeye yönelik bir algoritma ile başlayacağız; burada p(x) Ve q(x)– bütün rasyonel ifadeler. Diğer kesirli rasyonel denklemlerin çözümü her zaman belirtilen türdeki denklemlerin çözümüne indirgenebilir.
p(x) q(x) = 0 denklemlerini çözmek için en sık kullanılan yöntem aşağıdaki ifadeye dayanmaktadır: sayısal kesir sen v, Nerede v- bu, sıfırdan farklı, yalnızca kesir payının sıfıra eşit olduğu durumlarda sıfıra eşit bir sayıdır. Yukarıdaki ifadenin mantığını takip ederek, p (x) q (x) = 0 denkleminin çözümünün iki koşulun yerine getirilmesine indirgenebileceğini iddia edebiliriz: p(x)=0 Ve q(x) ≠ 0. Bu, p (x) q (x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemleri çözmeye yönelik bir algoritma oluşturmanın temelidir:
- tüm rasyonel denklemin çözümünü bulun p(x)=0;
- çözüm sırasında bulunan kökler için koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol ederiz q(x) ≠ 0.
Bu koşul sağlanıyorsa, bulunan kök, değilse, o zaman kök, soruna çözüm değildir.
Örnek 6
3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0 denkleminin köklerini bulalım.
Çözüm
p (x) q (x) = 0 formunda, p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0 olan kesirli bir rasyonel denklemle uğraşıyoruz. Doğrusal denklemi çözmeye başlayalım 3 x - 2 = 0. Bu denklemin kökü x = 2 3.
Koşulu karşılayıp karşılamadığını görmek için bulunan kökü kontrol edelim. 5 x 2 − 2 ≠ 0. Bunu yapmak için yerine koyalım Sayısal değer ifadeye dönüşür. Şunu elde ederiz: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.
Koşul karşılanıyor. Bu demektir x = 2 3 orijinal denklemin köküdür.
Cevap: 2 3 .
Kesirli rasyonel denklemleri p (x) q (x) = 0 çözmek için başka bir seçenek daha var. Bu denklemin tüm denkleme eşdeğer olduğunu hatırlayın p(x)=0 bölgede kabul edilebilir değerler orijinal denklemin x değişkeni. Bu, p (x) q (x) = 0 denklemlerini çözerken aşağıdaki algoritmayı kullanmamıza olanak tanır:
- denklemi çözün p(x)=0;
- x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını bulun;
- orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleri olarak x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında yer alan kökleri alıyoruz.
x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 denklemini çözün.
Çözüm
İlk önce ikinci dereceden denklemi çözelim x 2 − 2 x − 11 = 0. Köklerini hesaplamak için çift ikinci katsayı için kök formülünü kullanırız. Aldık D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 ve x = 1 ± 2 3.
Şimdi orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini bulabiliriz. Bunların hepsi rakamlar x 2 + 3 x ≠ 0. Aynısı x (x + 3) ≠ 0, buradan x ≠ 0, x ≠ − 3.
Şimdi çözümün ilk aşamasında elde edilen x = 1 ± 2 3 köklerinin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında olup olmadığını kontrol edelim. geldiklerini görüyoruz. Bu, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü x = 1 ± 2 3 olduğu anlamına gelir.
Cevap: x = 1 ± 2 3
Açıklanan ikinci çözüm yöntemi ilkinden daha kolay x değişkeninin izin verilen değer aralığının kolayca bulunabildiği durumlarda ve denklemin kökleri p(x)=0 mantıksız. Örneğin, 7 ± 4 · 26 9. Kökler rasyonel olabilir ancak büyük bir pay veya paydaya sahip olabilir. Örneğin, 127 1101 Ve − 31 59 . Bu, durumu kontrol ederken zaman kazandırır q(x) ≠ 0: ODZ'ye göre uygun olmayan köklerin dışlanması çok daha kolaydır.
Denklemin köklerinin olduğu durumlarda p(x)=0 tam sayılardır, p (x) q (x) = 0 formundaki denklemleri çözmek için açıklanan algoritmalardan ilkini kullanmak daha uygundur. Bir denklemin tamamının köklerini daha hızlı bulun p(x)=0 ve ardından koşulun onlar için karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin q(x) ≠ 0 ODZ'yi bulmak ve ardından denklemi çözmek yerine p(x)=0 bu ODZ'de. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol etmenin genellikle DZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.
Örnek 8
Denklemin köklerini bulun (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
Çözüm
Denklemin tamamına bakarak başlayalım (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 ve onun köklerini bulmak. Bunu yapmak için denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme yöntemini uyguluyoruz. Orijinal denklemin, üçü doğrusal ve 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 olmak üzere dört denklemden oluşan bir diziye eşdeğer olduğu ortaya çıktı ve biri ikinci dereceden. Kökleri bulma: ilk denklemden x = 1 2, ikinciden itibaren – x=6, üçüncüden – x = 7 , x = − 2 , dördüncüden – x = − 1.
Elde edilen kökleri kontrol edelim. Bu durumda ODZ'yi belirlemek bizim için zor çünkü bunun için beşinci dereceden cebirsel denklemi çözmemiz gerekecek. Denklemin sol tarafında yer alan kesrin paydasının sıfıra gitmemesi durumunu kontrol etmek daha kolay olacaktır.
İfadedeki x değişkeninin yerine kökleri sırayla koyalım x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 ve değerini hesaplayın:
1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;
6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .
Gerçekleştirilen doğrulama, orijinal kesirli rasyonel denklemin köklerinin 1 2, 6 ve 6 olduğunu tespit etmemizi sağlar. − 2 .
Cevap: 1 2 , 6 , - 2
Örnek 9
5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 kesirli rasyonel denkleminin köklerini bulun.
Çözüm
Denklemle çalışmaya başlayalım (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Köklerini bulalım. Bu denklemi ikinci dereceden ve denklemlerin bir kombinasyonu olarak hayal etmek bizim için daha kolaydır. doğrusal denklemler 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Ve x - 2 = 0.
Kökleri bulmak için ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanırız. İlk denklemden iki kök x = 7 ± 69 10, ikincisinden ise iki kök elde ederiz. x = 2.
Koşulları kontrol etmek için köklerin değerini orijinal denklemde yerine koymamız oldukça zor olacaktır. X değişkeninin ODZ'sini belirlemek daha kolay olacaktır. Bu durumda, x değişkeninin ODZ'si, koşulun karşılandığı sayılar dışındaki tüm sayılardır x 2 + 5 x - 14 = 0. Şunu elde ederiz: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.
Şimdi bulduğumuz köklerin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığına ait olup olmadığını kontrol edelim.
Kökler x = 7 ± 69 10'a aittir, dolayısıyla bunlar orijinal denklemin kökleridir ve x = 2- ait değildir, bu nedenle yabancı bir köktür.
Cevap: x = 7 ± 69 10.
p(x) q(x) = 0 formundaki kesirli bir rasyonel denklemin payının bir sayı içerdiği durumları ayrı ayrı inceleyelim. Bu gibi durumlarda pay sıfırdan farklı bir sayı içeriyorsa denklemin kökleri olmayacaktır. Bu sayı sıfıra eşitse denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayı olacaktır.
Örnek 10
Kesirli rasyonel denklemi çözün - 3, 2 x 3 + 27 = 0.
Çözüm
Denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdan farklı bir sayı içerdiğinden bu denklemin kökleri olmayacaktır. Bu, x'in hiçbir değerinde problem ifadesinde verilen kesirin değerinin sıfıra eşit olmayacağı anlamına gelir.
Cevap: kök yok.
Örnek 11
0 x 4 + 5 x 3 = 0 denklemini çözün.
Çözüm
Kesirin payı sıfır içerdiğinden denklemin çözümü, x değişkeninin ODZ'sinden herhangi bir x değeri olacaktır.
Şimdi ODZ'yi tanımlayalım. X'in tüm değerlerini içerecektir. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Denklemin çözümleri x 4 + 5 x 3 = 0öyle 0 Ve − 5 , çünkü bu denklem denkleme eşdeğerdir x 3 (x + 5) = 0 ve bu da iki x 3 = 0 denkleminin birleşimine eşdeğerdir ve x + 5 = 0, bu köklerin görülebildiği yer. İstenilen kabul edilebilir değer aralığının, hariç herhangi bir x olduğu sonucuna varıyoruz. x = 0 Ve x = − 5.
Kesirli rasyonel denklemin 0 x 4 + 5 x 3 = 0 olduğu ortaya çıktı sonsuz küme sıfır ve -5 dışında herhangi bir sayı olan çözümler.
Cevap: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Şimdi kesirli rasyonel denklemler hakkında konuşalım keyfi tip ve bunları çözme yöntemleri. Şu şekilde yazılabilirler: r(x) = s(x), Nerede r(x) Ve s(x)– rasyonel ifadeler ve bunlardan en az biri kesirlidir. Bu tür denklemlerin çözümü, p(x) q(x) = 0 formundaki denklemlerin çözümüne indirgenir.
Ne alabileceğimizi zaten biliyoruz eşdeğer denklem Bir ifadeyi denklemin sağ tarafından ters işaretle sola aktarırken. Bu şu anlama gelir: denklem r(x) = s(x) denklemin eşdeğeridir r (x) - s (x) = 0. Ayrıca rasyonel bir ifadeyi rasyonel kesre dönüştürmenin yollarını da zaten tartıştık. Bu sayede denklemi kolaylıkla dönüştürebiliriz. r (x) - s (x) = 0 p(x) q(x) formunun özdeş rasyonel kesrine dönüştürür.
Böylece orijinal kesirli rasyonel denklemden hareket ediyoruz r(x) = s(x)çözmeyi öğrendiğimiz p(x) q(x) = 0 formundaki bir denkleme.
Geçişler yapılırken dikkate alınmalıdır. r (x) - s (x) = 0 p(x)q(x) = 0'a ve sonra p(x)=0 x değişkeninin izin verilen değer aralığının genişlemesini dikkate almayabiliriz.
Orijinal denklemin olması oldukça mümkündür. r(x) = s(x) ve denklem p(x)=0 dönüşümlerin sonucunda eşdeğer olmaktan çıkacaklar. O zaman denklemin çözümü p(x)=0 bize yabancı olacak kökler verebilir r(x) = s(x). Bu bağlamda, her durumda yukarıda açıklanan yöntemlerden herhangi birini kullanarak doğrulamanın yapılması gerekmektedir.
Konuyu incelemenizi kolaylaştırmak için, tüm bilgileri formun kesirli rasyonel denklemini çözmeye yönelik bir algoritmada özetledik. r(x) = s(x):
- ifadeyi sağ taraftan ters işaretle aktarıyoruz ve sağdan sıfır alıyoruz;
- orijinal ifadeyi rasyonel bir kesire dönüştürün p (x) q (x) , kesirler ve polinomlarla sırayla işlemler gerçekleştirin;
- denklemi çözün p(x)=0;
- ODZ'ye ait olduklarını kontrol ederek veya orijinal denklemde ikame yaparak yabancı kökleri belirleriz.
Görsel olarak eylem zinciri şöyle görünecek:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminasyon DIŞ KÖKLER
Örnek 12
Kesirli rasyonel denklemi çözün x x + 1 = 1 x + 1 .
Çözüm
Şimdi x x + 1 - 1 x + 1 = 0 denklemine geçelim. Denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi p (x) q (x) formuna dönüştürelim.
Bunu yapmak için getirmemiz gerekecek rasyonel kesirlerİle ortak payda ve ifadeyi basitleştirin:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
- 2 x - 1 x (x + 1) = 0 denkleminin köklerini bulmak için denklemi çözmemiz gerekiyor − 2 x − 1 = 0. Bir kök alıyoruz x = - 1 2.
Tek yapmamız gereken yöntemlerden herhangi birini kullanarak kontrol etmek. İkisine de bakalım.
Ortaya çıkan değeri orijinal denklemde yerine koyalım. - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 elde ederiz. Doğru sonuca vardık sayısal eşitlik − 1 = − 1 . Bu demektir x = − 1 2 orijinal denklemin köküdür.
Şimdi ODZ'yi kontrol edelim. X değişkeninin izin verilen değer aralığını belirleyelim. Bu, - 1 ve 0 hariç tüm sayı kümesi olacaktır (x = − 1 ve x = 0'da kesirlerin paydaları kaybolur). Elde ettiğimiz kök x = − 1 2 ODZ'ye aittir. Bu, orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.
Cevap: − 1 2 .
Örnek 13
x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x denkleminin köklerini bulun.
Çözüm
Kesirli rasyonel bir denklemle uğraşıyoruz. Bu nedenle algoritmaya göre hareket edeceğiz.
İfadeyi sağ taraftan sola doğru ters işaretle taşıyalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Gerekli dönüşümleri yapalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.
Denkleme varıyoruz x = 0. Bu denklemin kökü sıfırdır.
Bu kökün orijinal denklemin dışında olup olmadığını kontrol edelim. Değeri orijinal denklemde yerine koyalım: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Gördüğünüz gibi ortaya çıkan denklemin hiçbir anlamı yok. Bu, 0'ın yabancı bir kök olduğu ve orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olmadığı anlamına gelir.
Cevap: kök yok.
Eğer diğer eşdeğer dönüşümleri algoritmaya dahil etmediysek, bu onların kullanılamayacağı anlamına gelmez. Algoritma evrenseldir ancak sınırlamak için değil, yardımcı olmak için tasarlanmıştır.
Örnek 14
7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 denklemini çözün
Çözüm
En kolay yol, verilen kesirli rasyonel denklemi algoritmaya göre çözmektir. Ama başka bir yol daha var. Bunu düşünelim.
Sağ ve sol taraftan 7 çıkarırsak şunu elde ederiz: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.
Bundan, sol taraftaki paydadaki ifadenin sayıya eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz. karşılıklı sayı sağ taraftan, yani 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.
Her iki taraftan da 3 çıkarın: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Benzer şekilde, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, buradan 1 5 - x 2 = 1 3 ve ardından 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2
Bulunan köklerin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.
Cevap: x = ± 2
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.