Kesirli Denklem ÇözmeÖrneklere bakalım. Örnekler basit ve açıklayıcıdır. Onların yardımıyla en çok açık bir şekildeöğrenebilirsin.
Örneğin basit x/b + c = d denklemini çözmeniz gerekir.

Bu tür bir denkleme doğrusal denir çünkü Payda yalnızca sayıları içerir.

Çözüm, denklemin her iki tarafının b ile çarpılmasıyla gerçekleştirilir, ardından denklem x = b*(d – c) formunu alır, yani. kesrin sol tarafındaki paydası birbirini götürür.

Mesela nasıl çözülür kesirli denklem:
x/5+4=9
Her iki tarafı da 5 ile çarparız. Şunu elde ederiz:
x+20=45
x=45-20=25

Bilinmeyenlerin paydada olduğu başka bir örnek:

Bu tür denklemlere kesirli-rasyonel veya basitçe kesirli denir.

Kesirli bir denklemi kesirlerden kurtularak çözeriz, bundan sonra bu denklem çoğu zaman normal şekilde çözülen doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. Aşağıdaki noktaları dikkate almanız yeterlidir:

• paydayı 0'a çeviren bir değişkenin değeri kök olamaz;
• Bir denklemi =0 ifadesine bölemez veya çarpamazsınız.

İşte bu noktada alan kavramı devreye giriyor. kabul edilebilir değerler(ODZ), denklemin anlamlı olduğu denklemin köklerinin değerleridir.

Bu nedenle denklemi çözerken kökleri bulmak ve ardından ODZ'ye uygunluklarını kontrol etmek gerekir. ODZ'mize uymayan kökler yanıtın dışında bırakılır.

Örneğin, kesirli bir denklemi çözmeniz gerekir:

Yukarıdaki kurala göre x = 0 olamaz, yani. ODZ girişi bu durumda: x – sıfır dışında herhangi bir değer.

Denklemin tüm terimlerini x ile çarparak paydadan kurtuluruz

Ve olağan denklemi çözüyoruz

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Cevap: x = 1/3

Daha karmaşık bir denklemi çözelim:

ODZ burada da mevcuttur: x -2.

Bu denklemi çözerken her şeyi bir tarafa taşımayacağız ve kesirleri ortak payda. Hemen denklemin her iki tarafını da tüm paydaları aynı anda iptal edecek bir ifadeyle çarpacağız.

İhtiyacınız olan paydaları azaltmak için Sol Taraf x+2 ile ve sağ tarafı 2 ile çarpın. Bu, denklemin her iki tarafının da 2(x+2) ile çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Kesinlikle bu sıradan çarpma Yukarıda daha önce tartıştığımız kesirler

Aynı denklemi biraz farklı yazalım

Sol taraf (x+2), sağ taraf ise 2 azaltılır. İndirgemenin ardından olağan doğrusal denklemi elde ederiz:

x = 4 – 2 = 2, bu bizim ODZ'mize karşılık gelir

Cevap: x = 2.

Kesirli Denklem Çözme göründüğü kadar zor değil. Bu yazımızda bunu örneklerle gösterdik. Eğer herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız kesirli denklemler nasıl çözülür, ardından yorumlarda aboneliğinizi iptal edin.

Tokarev Kirill

Bu çalışma, hesap makinesi ve kareler tablosu kullanmadan herhangi bir sayının karekökünü nasıl çıkaracağınızı ve bir kesrin paydasını irrasyonellikten nasıl kurtaracağınızı öğrenmenize yardımcı olur.

Kendinizi bir kesrin paydasının mantıksızlığından kurtarmak

Yöntemin özü, kesirleri irrasyonelliği ortadan kaldıracak bir ifadeyle (kare ve kare) çarpmak ve bölmektir. küp kökleri) paydadan çıkar ve bunu daha basit hale getirecek. Bundan sonra kesirleri ortak bir paydaya indirgemek ve son olarak orijinal ifadeyi basitleştirmek daha kolaydır.

Belirli bir basamağa yaklaşık olarak karekök çıkarma.

Diyelim ki 17358122 doğal sayısının karekökünü çıkarmamız gerekiyor ve kökün çıkarılabileceği biliniyor. Sonucu bulmak için bazen çalışmada açıklanan kuralı kullanmak uygun olur.

İndirmek:

Ön izleme:

Önizlemeyi kullanmak için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Radikal. Kendinizi bir kesrin paydasının mantıksızlığından kurtarmak. Karekökü belirli bir doğruluk derecesiyle çıkarın. Belediye Eğitim Kurumu 7 Nolu Ortaokulu 9B sınıfı öğrencisi, Salsk Kirill Tokarev

TEMEL SORU: Hesap makinesi ve kareler tablosu olmadan herhangi bir sayının karekökünü belirli bir doğruluk derecesiyle çıkarmak mümkün müdür?

AMAÇLAR VE HEDEFLER: Bu derste çalışılmayan köklü ifadeleri çözme durumlarını düşünün. okul kursu matematik, ancak Birleşik Devlet Sınavı için gerekli.

KÖKÜN TARİHÇESİ Kök işareti küçük harften gelir Latince harf r (başlangıç Latince kelime radix - kök), bir üst simgeyle birleştirilmiştir. Eski günlerde, şu anki parantezleme yerine bir ifadenin altını çizme kullanılıyordu, dolayısıyla bu sadece şöyle bir şey yazmanın değiştirilmiş eski bir yoludur. Bu isim ilk kez kullanıldı Alman matematikçi 1525'te Thomas Rudolf.

BİR KESİRİN PAYDASININ İRrasyonelliğinden Kurtuluş Yöntemin özü, bir kesri paydadaki irrasyonelliği (kare ve küp kökler) ortadan kaldıracak ve daha basit hale getirecek bir ifadeyle çarpıp bölmektir. Bundan sonra kesirleri ortak bir paydaya indirgemek ve son olarak orijinal ifadeyi basitleştirmek daha kolaydır. BİR KESİRİN PAYDASINDAKİ İRrasyonellikten Kurtulma Algoritması: 1. Kesrin paydasını faktörlere bölün. 2. Payda şeklindeyse veya bir faktör içeriyorsa pay ve paydanın çarpılması gerekir. Payda bu türden bir faktör içeriyorsa veya veya içeriyorsa, kesrin payı ve paydası sırasıyla veya ile çarpılmalıdır. Sayılara eşlenik denir. 3. Mümkünse kesrin payını ve paydasını dönüştürün, ardından elde edilen kesri azaltın.

a) b) c) d) = - Kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtuluş.

BELİRTİLEN BİR SAYIYA YAKLAŞIMLA BİR KARE KÖKÜN ÇIKARILMASI. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 8326 6 2) Eski Babil yöntemi: Örnek: Bul. Sorunu çözmek verilen numara iki terimin toplamına ayrışır: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, bunlardan ilki mükemmel kare. Daha sonra formülü uyguluyoruz. Cebirsel yol:

BELİRTİLEN BİR SAYIYA YAKLAŞIMLA BİR KARE KÖKÜN ÇIKARILMASI. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 , 3

Referanslar 1. Üniversitelere girenler için matematik problemlerinin derlenmesi, M.I. V. K. Egerev, B. A. Kordemsky, V. V. Zaitsev, “ONICS 21. yüzyıl”, 2003 2. Cebir ve temel fonksiyonlar. R. A. Kalnin, “Bilim”, 1973 3. Matematik. Referans materyalleri. V. A. Gusev, A. G. Mordkovich, “Prosveshcheniye” yayınevi, 1990. 4. Okul çocukları matematik ve matematikçiler hakkında. M.M. Liman tarafından derlenmiştir, Aydınlanma, 1981.

İsteğin üzerine!

5. Eşitsizliği çözün:

6 . Ifadeyi basitleştir:

17. f(x)=6x2 +8x+5, F(-1)=3. F(-2)'yi bulun.

F(-1) = 3 olduğunu bilerek C'yi bulalım.

3 = 2 ∙ (-1) 3 + 4 ∙ (-1) 2 + 5 ∙ (-1) + C;

3 = -2 + 4 – 5 + C;

Böylece ters türev F(x) = 2x 3 + 4x 2 + 5x + 6. F(-2)'yi bulalım.

F(-2) = 2∙(-2) 3 +4∙(-2) 2 +5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.

20. Paydadaki mantıksızlıktan kurtulun

Çözüm, bir kesrin payını ve paydasını aynı şeyle çarpmanıza olanak tanıyan bir kesrin temel özelliğine dayanmaktadır. sıfıra eşit sayı. Bir kesrin paydasındaki radikal işaretlerden kurtulmak için genellikle kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır. Sonuçta, iki radikalin farkı toplamlarıyla çarpılırsa, köklerin karelerinin farkını elde ederiz, yani. radikal işaretler olmayan bir ifade elde edersiniz.

21. Ifadeyi basitleştir:

Bu örneği iki şekilde çözelim. 1) İkinci faktörün radikal ifadesini iki ifadenin toplamının karesi şeklinde hayal edelim, yani. (a + b) 2 formunda. Bu, aritmetik karekökü çıkarmamızı sağlayacaktır.

2) Birinci faktörün karesini alalım ve ikinci faktörün aritmetik karekökünün işaretinin altına koyalım.

Kendinize uygun bir şekilde karar verin!

22. (x 1 ∙y 1 + x 2 ∙y 2)'yi bulun; burada (x n; y n) denklem sisteminin çözümleridir:

Aritmetik karekök yalnızca buradan alınabileceğinden negatif olmayan sayı, daha sonra değişkenin izin verilen değerleri en eşitsizliği sağlayan tüm sayılar y≥0. Sistemin ilk denklemindeki ürün eşit olduğundan negatif sayı ise aşağıdaki koşulun yerine getirilmesi gerekir: X<0 . Hadi ifade edelim X birinci denklemden alıp değerini ikinci denklemde yerine koy. Ortaya çıkan denklemi çözelim en ve ardından değerleri bulun X daha önce elde edilen değerlere karşılık gelen en.

23. Eşitsizliği çözün: 7sin 2 x+cos 2 x>5sinx.

Ana trigonometrik özdeşliğe göre: sin 2 x+cos 2 x=1 olduğundan, bu eşitsizliği 6sin 2 x+ sin 2 x +cos 2 x>5sinx şeklinde gösterip, ana denklemi uyguluyoruz. trigonometrik özdeşlik, şunu elde ederiz: 6sin 2 x+ 1>5sinx. Eşitsizliği çözme:

6sin 2 x-5sinx+1 >0. Değiştirmeyi yapalım: sinx=y ve ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edelim:

6y 2 -5y+1>0. Bu eşitsizliği sol tarafı çarpanlara ayırarak aralık yöntemini kullanarak çözelim. Bunu yapmak için ikinci dereceden denklemin tamamının köklerini buluyoruz:

6y 2 -5y+1=0. Diskriminant D=b 2 -4ac=5 2 -4∙6∙1=25-24=1. Sonra y 1 ve y 2'yi elde ederiz:

24. Düz bir prizmanın tabanında düzgün üçgen alanı 300 cm3 olan prizmanın yan yüzeyinin alanını hesaplayın.

Bize doğru olanı verelim üçgen prizma Doğru Δ ABC'ye dayanan ABCA 1 B 1 C 1'in alanı bizim tarafımızdan bilinmektedir. Alan formülünü uygulama eşkenar üçgen, tarafımızı bulacağız ABC üçgeni. Düz bir prizmanın hacmi V=S ana formülüyle hesaplandığı için. ∙ H ve biz de biliyoruz, o zaman H'yi bulabiliriz - prizmanın yüksekliğini. Prizmanın yan kenarı prizmanın yüksekliğine eşit olacaktır: AA 1 =H. Tabanın yanını ve prizmanın yan kenarının uzunluğunu bilerek, yan yüzeyinin alanını şu formülü kullanarak bulabilirsiniz: S tarafı. =P temel ∙ H.

25. Okul sınavında 20 soru vardı. Her doğru cevap için katılımcıya 12 puan verildi ve her yanlış cevap için 10 puan düşürüldü. Katılımcılardan biri tüm soruları cevaplayıp 86 puan aldığına göre kaç doğru cevap vermiştir?

Katılımcının x doğru cevap vermesine izin verin. O zaman (20) yanlış cevabı var. Her doğru cevap için kendisine 12 puan verildiğini ve her yanlış cevap için 10 puan düşüldüğünü ve aynı zamanda 86 puan aldığını bilerek denklemi oluşturacağız:

12x-10·(20'ler)=86;

12x-200+10x=86;

22x=286 ⇒ x=286:22 ⇒ x=13. Katılımcı 13 doğru cevap vermiştir.

UNT'deki matematik sınavına 25 doğru cevap vermenizi diliyorum!

24. Sağda dörtgen piramit yükseklik 3, yan kaburga 6. Piramidin çevrelediği kürenin yarıçapını bulun.

Merkezi O 1 noktasında ve yarıçapı MO 1 olan bir topun tanımlanmasına izin verin. düzenli piramit Yüksekliği MO=3 ve yan kenarı MA=6 olan MABCD. MO 1 topunun yarıçapını bulmak gerekir. MM1 tarafının topun çapı olduğu ΔMAM 1'i düşünün. O zaman ∠MAM 1 =90°. MA kenarı ve bu MO kenarının hipotenüse izdüşümü biliniyorsa, MM 1 hipotenüsünü bulalım. Hatırlamak? Tepe noktasından çizilen yükseklik dik açı hipotenüsün bir ortalaması var oransal değer bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki ve her bacak, tüm hipotenüs ile bu bacağın hipotenüse izdüşümü arasındaki ortalama orantılı değerdir. Bu görevde kuralın sadece altı çizili kısmı işimize yarayacaktır.

Eşitliği yazıyoruz: MA 2 =MO∙MM 1. Verilerimizi yerine koyarız: 6 2 =3∙MM 1. Dolayısıyla MM 1 =36:3=12. Topun çapını yani MO 1 =6'nın yarıçapını bulduk.

25. Petya, Misha'dan daha yaşlı olan Kolya'dan daha yaşlı, Masha, Kolya'dan daha yaşlı ve Dasha, Petya'dan daha genç ama Masha'dan daha yaşlı. Üçüncü en yaşlı kim?

Diyelim ki: daha yaşlı olmak daha çok şey ifade ediyor. Petya, Misha'dan daha yaşlı olan Kolya'dan daha yaşlıŞöyle yazalım: Petya>Kolya>Misha. Dasha Petya'dan daha genç ama Masha'dan daha yaşlışöyle yazalım: Maşa<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Dasha>Maşa. Çünkü Masha Kolya'dan daha yaşlı sonra şunu elde ederiz: Petya>Dasha>Masha>Kolya. Ve son olarak: Petya>Dasha>Masha>Kolya>Misha. Böylece üçüncü en eskisi Masha'dır.

Dilek başarılı hazırlık UNT'ye!

Talimatlar

Sen kurtulmadan önce mantıksızlık V payda, türü aşağıdaki gibidir ve buna bağlı olarak çözüme devam edin. Her ne kadar herhangi bir mantıksızlık basit mevcudiyetten kaynaklansa da, bunların çeşitli kombinasyonları ve dereceleri, farklı algoritmalar.

Çizginin altındaki mevcudiyet kesirler kök kesirli güç m/n formunda, n>m ile Bu ifade şuna benzer: a/√(b^m/n).

Bundan kurtul mantıksızlık ayrıca bir çarpan girerek, bu sefer daha karmaşık: b^(n-m)/n, yani. Kökün üssünden, ifadenin işaretinin altındaki derecesine ihtiyacınız var. Daha sonra payda yalnızca :a/(b^m/n) → a √(b^(n-m)/n)/b kalacak. Örnek 2: 5/(4^3/5) → 5 √(4^2/5) / 4 = 5 √(16^1/5)/4.

Toplam Karekök Her iki bileşeni de çarpın kesirler benzer bir farkla. Daha sonra köklerin irrasyonel olarak toplanmasından payda, kök işareti altında /'ye dönüştürülür:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c).Örnek 3: 9/(√ 13 + √23) → 9 (√13 - √23)/(13 - 23) = 9 (√23 - √13)/10.

Küp köklerin toplamı/farkı Eğer ek bir faktör olarak farkın kısmi karesini seçin payda toplam ve buna göre köklerin farkı için toplamın tamamlanmamış karesidir: a/(∛b ± ∛c) → a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c) ) ∛b² ∓ ∛(b c ) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c).Örnek 4: 7/(∛5 + ∛4) → 7 (∛25) - ∛20 + ∛16) /9.

Sorun hem kare hem de içeriyorsa, çözümü iki aşamaya bölün: sırasıyla paydanın karekökünü ve ardından kübik kökü türetin. Bu, zaten bildiğiniz yöntemler kullanılarak yapılır: ilk adımda, köklerin farkının/toplamının çarpanını, ikincisinde ise toplamın/farkın tamamlanmamış karesini seçmeniz gerekir.

Konuyla ilgili video

Kaynaklar:

• Kesirlerde mantıksızlıktan nasıl kurtulurum

İpucu 2: Paydadaki mantıksızlıktan nasıl kurtuluruz

Doğru giriş kesirli sayı içermiyor mantıksızlık V payda. Böyle bir kaydın gözle algılanması daha kolaydır, bu nedenle göründüğünde mantıksızlık V payda Ondan kurtulmak akıllıca olacaktır. Bu durumda irrasyonellik pay haline gelebilir.

Talimatlar

Başlangıç ​​olarak en basit olanı ele alabiliriz - 1/sqrt(2). İkinin karekökü bir sayıdır. Bu durumda pay ve paydayı paydayla çarpmanız gerekir. Bu sağlayacaktır payda. Aslında sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. İki özdeş karekökün birbiriyle çarpılması sonuçta her bir kökün altında olanı verecektir: bu durumda sonuç olarak: 1/. sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Bu algoritma aynı zamanda kesirler için de geçerlidir. payda kökü bir rasyonel sayıyla çarpılır. Bu durumda pay ve payda, içinde bulunan kök ile çarpılmalıdır. payda.Örnek: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

Aşağıdaki durumlarda tam olarak aynı şekilde hareket etmeniz gerekir: payda bulunan kök değil, diyelim kübik veya başka bir derecedir. Köklenme payda tam olarak aynı kökle çarpmanız ve payı aynı kökle çarpmanız gerekir. Daha sonra kök paya girecektir.

Daha fazla durumda, paydaİki karekökün veya bir karekökün toplamı (fark) durumunda ya bir irrasyonel sayının ya da iki irrasyonel sayının toplamı vardır ve rasyonel sayı iyi kullanılabilir bilinen formül(x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). kurtulmanıza yardımcı olacaktır payda. Eğer içindeyse payda fark, o zaman pay ve paydayı aynı sayıların toplamı ile, eğer toplam ise farkla çarpmanız gerekir. Bu çarpılan toplam veya fark, ifadenin eşleniği olarak adlandırılacaktır. payda.Bunun etkisi örnekte açıkça görülmektedir: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = ( sqrt(2) -1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

Eğer içindeyse payda kökün bulunduğu bir toplam (fark) var daha büyük ölçüde, o zaman durum önemsiz hale gelir ve kurtulmak mantıksızlık V payda her zaman mümkün değil

Kaynaklar:

• 2019'da paydadaki kökten kurtulun

İpucu 3: Bir kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi nasıl kurtarabilirsiniz?

Bir kesir, çizginin üst kısmında yer alan bir pay ve alt kısmında yer alan ve bölündüğü bir paydadan oluşur. İrrasyonel bir sayı, formda temsil edilemeyen bir sayıdır kesirler payda bir tam sayı ve bir doğal sayı ile payda. Bu tür sayılar örneğin ikinin veya pi'nin kareköküdür. Genellikle onlar hakkında konuştuklarında mantıksızlık V payda, kök ima edilir.

Talimatlar

Kurtulmak paydayla çarpılır. Böylece paya aktarılacaktır. Pay ve payda aynı sayı ile çarpıldığında değer kesirler değişmez. Paydanın tamamı kök ise bu seçeneği kullanın.

Pay ve paydayı paydayla çarpın doğru numara köke bağlı olarak kez. Kök kare ise, o zaman bir kez.

Pay ve paydayı çarpın kesirler paydaya yani √(x+2)'ye. Orijinal örnek (56-y)/√(x+2), ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2))'ye dönüşecektir. Sonuç ((56-y)*√(x+2))/(x+2) olacaktır. Şimdi kök payda ve payda HAYIR mantıksızlık.

Paydayı köklerin toplamı ile çarpın. Değeri elde etmek için payı aynı ile çarpın kesirler değişmedi. Kesir şu şekilde olacaktır: ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

Yukarıdaki (x+y)*(x-y)=x²-y² özelliğinden yararlanın ve paydayı serbest bırakın mantıksızlık. Sonuç ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y) olacaktır. Artık kök paydadır ve paydadan kurtulmuştur mantıksızlık.

İÇİNDE zor vakalar gerektiği şekilde uygulayarak bu seçeneklerin her ikisini de tekrarlayın. Lütfen kurtulmanın her zaman mümkün olmadığını unutmayın. mantıksızlık V payda.

Kaynaklar:

Cebirsel bir kesir, A/B formundaki bir ifadedir; burada A ve B harfleri herhangi bir sayısal veya sayıyı temsil eder. gerçek ifadeler. Genellikle pay ve payda cebirsel kesirler hantal bir görünüme sahiptir, ancak bu tür kesirlerle yapılan işlemler, pay ve paydanın tam sayı olduğu sıradan işlemlerle aynı kurallara göre gerçekleştirilmelidir. pozitif sayılar.

Talimatlar

Eğer verilirse kesirler, bunları dönüştürün (payın paydadan büyük olduğu bir kesir): paydayı tam kısımla çarpın ve payı ekleyin. Yani 2 1/3 sayısı 7/3'e dönüşecek. Bunu yapmak için 3'ü 2 ile çarpın ve bir ekleyin.

Bir kesri uygunsuz bir kesire dönüştürmeniz gerekiyorsa, bunu, ondalık noktadan sonraki sayılar kadar sıfır içeren, bir başına ondalık noktası olmayan sayılar olarak hayal edin. Örneğin, 2,5 sayısını 25/10 (kısalttığınızda 5/2 elde edersiniz) ve 3,61 sayısını 361/100 olarak düşünün. Düzensiz olanlarla çalışmak, karışık veya ondalık sayılarla işlem yapmaktan genellikle daha kolaydır.

Bir kesri diğerinden çıkarmanız gerekiyorsa ve bunlar farklı paydalar, kesirleri ortak bir paydaya getirin. Bunu yapmak için, her iki paydanın en küçük ortak katı (LCM) olacak sayıyı veya ikiden fazla kesir varsa birkaçını bulun. LCM, verilen tüm kesirlerin paydalarına bölünecek bir sayıdır. Örneğin 2 ve 5 için bu sayı 10'dur.

Eşittir işaretinden sonra yatay bir çizgi çizin ve bu sayıyı (NOC) paydaya yazın. Her terime ek faktörler ekleyin - LCM'yi elde etmek için hem pay hem de paydanın çarpılması gereken sayı. Toplama veya çıkarma işaretini koruyarak payları sırayla ek faktörlerle çarpın.

Sonucu hesaplayın, gerekirse kısaltın veya parçanın tamamını seçin. Örneğin, ⅓ ve ¼'ü eklemeniz gerekir. Her iki kesir için LCM 12'dir. O zaman ilk kesir için ek faktör 4, ikinci kesir için ise 3'tür. Toplam: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12.

Çarpma için verilmişse payları (bu sonucun payı olacaktır) ve paydaları (bu sonucun paydası olacaktır) çarpın. Bu durumda bunları ortak bir paydaya indirgemeye gerek yoktur.

Pay ve paydayı gerektiği gibi çarpanlara ayırın. Örneğin, ortak faktörü parantezlerden çıkarın veya kısaltılmış çarpma formülleri kullanın, böylece gerekirse pay ve paydayı gcd'ye (en küçük olan) kadar azaltabilirsiniz. ortak bölen.

Not

Sayıları sayılarla, aynı türdeki harfleri aynı türdeki harflerle toplayın. Örneğin, 3a ve 4b'yi ekleyemezsiniz, bu da bunların toplamının veya farkının - 3a±4b - payında kalacağı anlamına gelir.

Kaynaklar:

• Kesirlerde Çarpma ve Bölme

Günlük yaşamda doğal olmayan sayılarla en sık karşılaşılır: 1, 2, 3, 4 vb. (5 kg patates) ve kesirli, tam sayı olmayan sayılar (5,4 kg soğan). Bunların çoğu şu şekilde sunulmaktadır: biçim ondalık kesirler. Ancak ondalık teslim etmek biçim kesirler yeterince basit.

Talimatlar

Örneğin "0,12" sayısı verilmiştir. Bu kesir değilse ve olduğu gibi hayal ederseniz, şu şekilde görünecektir: 12/100 (“on iki”). 100'den kurtulmak için hem payı hem de paydayı, sayıları bölen sayıya bölmeniz gerekir. Bu sayı 4'tür. Daha sonra pay ve paydayı bölerek sayıyı elde ederiz: 3/25.

Daha gündelik bir ürün düşünürsek, fiyat etiketinde ağırlığının örneğin 0,478 kg veya benzeri olduğu genellikle açıktır. Bu sayının da hayal edilmesi kolaydır. biçim kesirler:
478/1000 = 239/500. Bu kesir oldukça çirkindir ve mümkün olsaydı bu ondalık kesir daha da azaltılabilirdi. Ve hepsi aynı yöntemi kullanıyor: hem payı hem de paydayı bölen bir sayı seçmek. Bu sayı en büyük ortak faktör. Faktör "en büyük"tür çünkü hem payı hem de paydayı hemen 4'e bölmek (ilk örnekte olduğu gibi) iki kere 2'ye bölmekten çok daha uygundur.

İrrasyonel bir ifadenin dönüşümlerini incelerken çok önemli bir soru, bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten nasıl kurtulacağımızdır. Bu makalenin amacı bu eylemi açıklamaktır. spesifik örnekler görevler. İlk paragrafta bu dönüşümün temel kurallarını ele alacağız, ikincisinde ise - tipik örnekler detaylı açıklamalarla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paydada irrasyonellikten kurtuluş kavramı

Böyle bir dönüşümün anlamının ne olduğunu açıklayarak başlayalım. Bunu yapmak için aşağıdaki hükümleri unutmayın.

Bir kesrin paydasında kökün işareti olarak da bilinen bir radikal varsa orada irrasyonellikten bahsedebiliriz. Bu işaret kullanılarak yazılan sayılar genellikle irrasyoneldir. Örnekler 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5 olabilir. Paydası irrasyonel olan kesirler aynı zamanda kök işaretleri olan kesirleri de içerir değişen dereceler(kare, kübik vb.), örneğin, 3 4 3, 1 x + x y 4 + y. İfadeyi basitleştirmek ve daha ileri hesaplamaları kolaylaştırmak için mantıksızlıktan kurtulmalısınız. Temel tanımı formüle edelim:

Tanım 1

Bir kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın- onu aynı şekilde değiştirerek dönüştürmek anlamına gelir eşit kesir Paydası kök veya kuvvet içermeyen.

Böyle bir eyleme özgürleşme ya da mantıksızlıktan kurtulma denebilir ama anlamı aynı kalır. Yani 1 2'den 2 2'ye geçiş, yani. paydasında kök işareti olmayan eşit değere sahip bir kesire ihtiyacımız olan eylem olacaktır. Başka bir örnek verelim: x x - y kesirimiz var. Hadi gerçekleştirelim gerekli dönüşümler ve paydadaki irrasyonellikten arındırılmış, tamamen eşit bir x · x + y x - y kesri elde ederiz.

Tanımı formüle ettikten sonra doğrudan böyle bir dönüşüm için yapılması gereken eylemlerin sırasını incelemeye devam edebiliriz.

Bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtulmanın temel adımları

Köklerden kurtulmak için, kesirin art arda iki dönüşümünü yapmanız gerekir: kesirin her iki kısmını da sıfır dışında bir sayıyla çarpın ve ardından paydada elde edilen ifadeyi dönüştürün. Ana vakaları ele alalım.

Çoğunda basit durum Paydayı dönüştürerek elde edebilirsiniz. Örneğin paydası olan bir kesir alabiliriz, köke eşit 9 üzerinden. 9'u hesapladıktan sonra paydaya 3 yazıyoruz ve böylece irrasyonellikten kurtuluyoruz.

Bununla birlikte, çok daha sık olarak, önce pay ve paydayı, daha sonra paydanın istenen forma (kökler olmadan) getirilmesine olanak sağlayacak bir sayı ile çarpmak gerekir. Yani 1 x + 1'i x + 1 ile çarparsak x + 1 x + 1 x + 1 kesrini elde ederiz ve paydasındaki ifadeyi x + 1 ile değiştirebiliriz. Böylece irrasyonellikten kurtularak 1 x + 1'i x + 1 x + 1'e dönüştürdük.

Bazen gerçekleştirmeniz gereken dönüşümler oldukça spesifiktir. Birkaç açıklayıcı örneğe bakalım.

Bir ifadeyi bir kesrin paydasına dönüştürme

Söylediğimiz gibi bunu yapmanın en kolay yolu paydayı dönüştürmektir.

örnek 1

Durum: 1 2 · 18 + 50 kesirini paydadaki irrasyonellikten kurtarın.

Çözüm

Öncelikle parantezleri açıp 1 2 18 + 2 50 ifadesini elde edelim. Köklerin temel özelliklerini kullanarak 1 2 18 + 2 50 ifadesine geçiyoruz. Her iki ifadenin de kök altındaki değerlerini hesaplayıp 1 36 + 100 elde ediyoruz. Burada zaten kökleri çıkarabilirsiniz. Sonuç olarak, 1 6 + 10, yani 1 16 kesirini elde ettik. Dönüşüm burada tamamlanabilir.

Yorum yapmadan tüm çözümün ilerleyişini yazalım:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Cevap: 1 2 18 + 50 = 1 16.

Örnek 2

Durum: 7 - x (x + 1) 2 fraksiyonu verildiğinde. Paydadaki irrasyonellikten kurtulun.

Çözüm

Daha önce dönüşümlerle ilgili makalede irrasyonel ifadeler Köklerin özelliklerini kullanarak herhangi bir A ve hatta n için A n n ifadesini | ile değiştirebileceğimizden bahsetmiştik. bir | değişkenlerin izin verilen değerlerinin tamamı boyunca. Dolayısıyla bizim durumumuzda bunu şu şekilde yazabiliriz: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. Bu şekilde paydadaki mantıksızlıktan kurtulduk.

Cevap: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .

Kök ile çarparak irrasyonellikten kurtulmak

Bir kesrin paydası A biçiminde bir ifade içeriyorsa ve A ifadesinin kendisi kök işaretlerine sahip değilse, o zaman orijinal kesrin her iki tarafını da A ile çarparak kendimizi irrasyonellikten kurtarabiliriz. Bu eylemin olasılığı, A'nın kabul edilebilir değerler aralığında 0'a dönmeyeceği gerçeğiyle belirlenir. Çarpma işleminden sonra payda, köklerden kurtulması kolay olan A · A biçiminde bir ifade içerecektir: A · A = A 2 = A. Bu yöntemin pratikte nasıl doğru şekilde uygulanacağını görelim.

Örnek 3

Durum: x 3 ve - 1 x 2 + y - 4 kesirleri verilmiştir. Paydalarındaki mantıksızlıklardan kurtulun.

Çözüm

İlk kesri 3'ün ikinci köküyle çarpalım. Aşağıdakileri alıyoruz:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

İkinci durumda x 2 + y - 4 ile çarpmamız ve elde edilen ifadeyi paydaya dönüştürmemiz gerekiyor:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Cevap: x 3 = x · 3 3 ve - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Orijinal kesirin paydası A n m veya A m n biçiminde ifadeler içeriyorsa (doğal m ve n'ye tabi), ortaya çıkan ifadenin A n n k veya A n k n'ye (doğal m ve n'ye tabi) dönüştürülebilmesini sağlayacak bir faktör seçmemiz gerekir. . Bundan sonra mantıksızlıktan kurtulmak kolay olacaktır. Bu örneğe bakalım.

Örnek 4

Durum: 7 6 3 5 ve x x 2 + 1 4 15 kesirleri verilmiştir. Paydalardaki irrasyonellikten kurtulun.

Çözüm

almamız lazım doğal sayı, beşe bölünebilir, ancak üçten büyük olması gerekir. 6 üssünün 5'e eşit olması için 6 2 5 ile çarpmamız gerekiyor. Bu nedenle, orijinal kesrin her iki kısmını da 6 2 5 ile çarpmamız gerekecek:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

İkinci durumda 4'e kalansız bölünebilen 15'ten büyük bir sayıya ihtiyacımız var. 16 alıyoruz. Paydada böyle bir üs elde etmek için x 2 + 1 4'ü çarpan olarak almamız gerekir. Bu ifadenin değerinin her durumda 0 olmayacağını açıklayalım. Hesaplıyoruz:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Cevap: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 ve x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Eşlenik ifadeyle çarparak irrasyonellikten kurtulmak

Aşağıdaki yöntem, orijinal kesirin paydasının a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b ifadelerini içerdiği durumlar için uygundur. Bu gibi durumlarda eşlenik ifadeyi faktör olarak almamız gerekir. Bu kavramın anlamını açıklayalım.

İlk a + b ifadesi için eşlenik a - b, ikinci ifade için ise a - b – a + b olacaktır. a + b – a - b için, a - b – a + b için, a + b – a - b için ve a - b – a + b için. Başka bir deyişle eşlenik ifade, ikinci terimden önce zıt işaretinin göründüğü ifadedir.

Tam olarak ne olduğuna bakalım Bu method. Diyelim ki a - b · a + b biçiminde bir çarpımımız var. Bunun yerini a - b · a + b = a 2 - b 2 karelerinin farkı alabilir, ardından radikallerden yoksun a - b ifadesine geçeriz. Böylece kesrin paydasındaki irrasyonellikten eşlenik ifadeyle çarparak kurtulduk. Birkaç açıklayıcı örnek alalım.

Örnek 5

Durum: 3 7 - 3 ve x - 5 - 2 ifadelerindeki mantıksızlıklardan kurtulun.

Çözüm

İlk durumda eşlenik ifadeyi 7 + 3'e eşit alıyoruz. Şimdi orijinal kesrin her iki kısmını da bununla çarpıyoruz:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

İkinci durumda - 5 - 2 ifadesinin eşleniği olan - 5 + 2 ifadesine ihtiyacımız var. Pay ve paydayı bununla çarpın ve şunu elde edin:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

Çarpmadan önce bir dönüşüm gerçekleştirmek de mümkündür: önce paydadan eksiyi çıkarırsak, hesaplamak daha uygun olacaktır:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Cevap: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 ve x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

Çarpma sonucu elde edilen ifadenin, bu ifade için kabul edilebilir değerler aralığındaki hiçbir değişken için 0'a dönmemesine dikkat etmek önemlidir.

Örnek 6

Durum: x x + 4 kesri verildiğinde. Paydada irrasyonel ifadeler kalmayacak şekilde dönüştürün.

Çözüm

X değişkeni için kabul edilebilir değer aralığını bularak başlayalım. x ≥ 0 ve x + 4 ≠ 0 koşullarıyla tanımlanır. Bunlardan istenen bölgenin x ≥ 0 kümesi olduğu sonucuna varabiliriz.

Paydanın eşleniği x-4'tür. Ne zaman bununla çarpabiliriz? Yalnızca x - 4 ≠ 0 ise. Kabul edilebilir değerler aralığında bu, x≠16 koşuluna eşdeğer olacaktır. Sonuç olarak aşağıdakileri elde ederiz:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Eğer x 16'ya eşitse şunu elde ederiz:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Bu nedenle, 16 hariç, kabul edilebilir değerler aralığına ait tüm x değerleri için x x + 4 = x · x - 4 x - 16. x = 16'da x x + 4 = 2 elde ederiz.

Cevap: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Paydası irrasyonel olan kesirleri küplerin toplamı ve farkı formüllerini kullanarak dönüştürme

İÇİNDE önceki paragraf kareler farkı formülünü kullanabilmek için eşlenik ifadelerle çarptık. Bazen paydadaki irrasyonellikten kurtulmak için küp farkı gibi diğer kısaltılmış çarpma formüllerini kullanmak yararlı olabilir. a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2). Bu formülün, orijinal kesirin paydasının A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 formundaki üçüncü derece köklere sahip ifadeler içermesi durumunda kullanılması uygundur. vesaire. Bunu uygulamak için kesrin paydasını A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 toplamının kısmi karesi veya A 3 - B 3 farkıyla çarpmamız gerekir. Toplam formülü aynı şekilde uygulanabilir. a 3 + b 3 = (a) (a 2 - a b + b 2).

Örnek 7

Durum: Paydadaki irrasyonellikten kurtulmak için 1 7 3 - 2 3 ve 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 kesirlerini dönüştürün.

Çözüm

İlk kesir için, her iki parçayı da 7 3 ve 2 3 toplamının kısmi karesiyle çarpma yöntemini kullanmamız gerekir, çünkü daha sonra küp farkı formülünü kullanarak dönüştürme yapabiliriz:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

İkinci kesirde paydayı 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 olarak temsil ediyoruz. Bu ifade, 2 ve x 3 farkının eksik karesini gösterir; bu, kesrin her iki kısmını da 2 + x 3 toplamı ile çarpabileceğimiz ve küp toplamı formülünü kullanabileceğimiz anlamına gelir. Bunu yapmak için, x 3 ≠ - 2 ve x ≠ − 8'e eşdeğer olan 2 + x 3 ≠ 0 koşulunun karşılanması gerekir:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Kesirde 8'i yerine koyalım ve değeri bulalım:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Özetleyelim. Orijinal kesirin (R kümesi) değer aralığına dahil olan tüm x'ler için - 8 hariç, 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x elde ederiz. Eğer x = 8 ise, o zaman 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

Cevap: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

Farklı dönüştürme yöntemlerinin tutarlı uygulanması

Genellikle pratikte daha fazlası vardır karmaşık örnekler, tek bir yöntem kullanarak paydadaki mantıksızlıktan kendimizi kurtaramadığımız zaman. Onlar için sırayla birkaç dönüşüm yapmanız veya seçmeniz gerekir. standart dışı çözümler. Böyle bir problemi ele alalım.

Örnek N

Durum: Paydadaki köklerin işaretlerinden kurtulmak için 5 7 4 - 2 4'ü dönüştürün.

Çözüm

Orijinal kesrin her iki tarafını da sıfır olmayan bir değere sahip 7 4 + 2 4 eşlenik ifadesiyle çarpalım. Aşağıdakileri alıyoruz:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Şimdi aynı yöntemi tekrar kullanalım:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Cevap: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.