\(\bullet\) Rasyonel bir denklem \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] biçiminde temsil edilen bir denklemdir; burada \(P(x), \Q(x)\ ) - polinomlar (çeşitli kuvvetlerdeki “X”lerin toplamı, çeşitli sayılarla çarpılır).
Denklemin sol tarafındaki ifadeye rasyonel ifade denir.
Rasyonel bir denklemin EA'sı (kabul edilebilir değerler aralığı), \(x\)'in paydanın yok olmadığı tüm değerleridir, yani \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Örneğin denklemler \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] rasyonel denklemlerdir.
İlk olarak ODZ denklemi– bunların hepsi \(x\) öyle ki \(x\ne 3\) (yaz \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); ikinci denklemde – bunların hepsi \(x\) öyle ki \(x\ne -1; x\ne 1\) (yaz \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); ve üçüncü denklemde ODZ üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur, yani ODZ'nin tamamı \(x\)'dir (\(x\in\mathbb(R)\) yazarlar). \(\bullet\) Teoremler:
1) İki faktörün çarpımı ancak ve ancak bunlardan biri varsa sıfıra eşittir sıfıra eşit, diğeri anlamını kaybetmez, bu nedenle \(f(x)\cdot g(x)=0\) denklemi sisteme eşdeğerdir \[\begin(cases) \left[ \begin(toplandı)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(toplandı) \right.\\ \ text(ODZ denklemleri) \end(case)\] 2) Bir kesir ancak ve ancak pay sıfıra eşitse ve payda sıfıra eşit değilse sıfıra eşittir, bu nedenle denklem \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) bir denklem sistemine eşdeğerdir \[\begin(case) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(case)\]\(\bullet\) Birkaç örneğe bakalım.
1) \(x+1=\dfrac 2x\) denklemini çözün. ODZ'yi bulalım verilen denklem\(x\ne 0\)'dir (çünkü \(x\) paydadadır).
Bu, ODZ'nin şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir: .
Tüm terimleri tek bir parçaya taşıyalım ve ortak bir paydaya getirelim: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( vakalar) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(vakalar)\] Sistemin ilk denkleminin çözümü \(x=-2, x=1\) olacaktır. Her iki kökün de sıfır olmadığını görüyoruz. Bu nedenle cevap şudur: \(x\in \(-2;1\)\) .
2) Denklemi çözün \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). Bu denklemin ODZ'sini bulalım. \(x\)'in sol tarafının anlam taşımadığı tek değerinin \(x=0\) olduğunu görüyoruz. Yani ODZ şu şekilde yazılabilir: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Dolayısıyla bu denklem sisteme eşdeğerdir:
\[\begin(cases) \left[ \begin(toplandı)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(toplandı) \right. \\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(toplanan)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(toplandı) \right.\\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(toplandı)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(hizalanmış) \end(toplandı) \right.\\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(toplandı) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \right.\] Aslında, \(x=0\) ikinci faktörün kökü olmasına rağmen, orijinal denklemde \(x=0\) yerine koyarsanız bu bir anlam ifade etmeyecektir çünkü \(\dfrac 40\) ifadesi tanımlanmadı.
Dolayısıyla bu denklemin çözümü \(x\in \(1;2\)\)'dir.
3) Denklemi çözün \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Denklemimizde \(4x^2-1\ne 0\) , buradan \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) yani \(x\ne -\frac12; \frac12 \).
Tüm terimleri şuraya taşıyalım: Sol Taraf ve bunu ortak bir paydada buluşturalım:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin(case) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(toplanan) \begin( hizalanmış) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(hizalanmış)\end(toplandı) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(case) \quad \ Solsağ ok \quad x=-3\)
Cevap: \(x\in \(-3\)\) .
Yorum. Cevap sonlu bir sayı kümesinden oluşuyorsa, önceki örneklerde gösterildiği gibi bunlar küme parantezleri içinde noktalı virgüllerle ayrılmış olarak yazılabilir.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavı'nda her yıl rasyonel denklem çözmeyi gerektiren problemlerle karşılaşılmaktadır, bu nedenle sertifika sınavını geçmeye hazırlanırken mezunların bu konudaki teoriyi mutlaka kendi başlarına tekrarlamaları gerekmektedir. Mezunlar hem temel hem de profil düzeyi sınav. Teoriye hakim olduktan ve bunlarla ilgilendikten sonra pratik egzersizler“Rasyonel Denklemler” konusunda öğrenciler herhangi bir sayıda eylemle ilgili problemleri çözebilecek ve Birleşik Devlet Sınavını geçme sonuçlarına göre rekabetçi puanlar almaya güvenebilecekler.
Shkolkovo eğitim portalını kullanarak sınava nasıl hazırlanılır?
Bazen çözüme yönelik temel teoriyi tam olarak sunan bir kaynak bulabilirsiniz. matematik problemleri oldukça zor olduğu ortaya çıkıyor. Ders kitabı elinizin altında olmayabilir. Ve bul gerekli formüller bazen internette bile oldukça zor olabiliyor.
Shkolkovo eğitim portalı sizi arama ihtiyacından kurtaracak gerekli malzeme ve sertifikasyon sınavını geçmek için iyi hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.
Tüm gerekli teori“Rasyonel Denklemler” konusunda uzmanlarımız maksimum düzeyde hazırladı ve sundu erişilebilir form. Sunulan bilgileri inceledikten sonra öğrenciler bilgideki boşlukları doldurabileceklerdir.
İçin başarılı hazırlıkİle Mezunlar için Birleşik Devlet Sınavı sadece temel bilgileri tazelemek gerekli değildir teorik materyal“Rasyonel Denklemler” konusunda, ancak görevleri tamamlama pratiği yapmak için spesifik örnekler. “Katalog” bölümünde çok çeşitli görevler sunulmaktadır.
Sitedeki her alıştırma için uzmanlarımız bir çözüm algoritması yazmış ve doğru cevabı işaretlemiştir. Öğrenciler problem çözme pratiği yapabilirler değişen dereceler eğitim seviyesine bağlı olarak zorluklar. İlgili bölümdeki görevlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.
“Rasyonel Denklemler” konusunda teorik materyal çalışın ve problem çözme becerilerinizi geliştirin. Birleşik Devlet Sınavı testleri, çevrimiçi olarak yapılabilir. Gerekirse sunulan görevlerden herhangi biri “Favoriler” bölümüne eklenebilir. Tekrar tekrar ediyorum temel teori“Rasyonel Denklemler” konusunda bir lise öğrencisi gelecekte bir cebir dersinde öğretmenle çözümünün ilerleyişini tartışmak için probleme geri dönebilecek.
Konuyla ilgili sunum ve ders: "Rasyonel denklemler. Algoritma ve rasyonel denklem çözme örnekleri"
Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
8. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Makarychev Yu.N.'nin ders kitabı için bir kılavuz. Mordkovich A.G.'nin ders kitabı kılavuzu.
İrrasyonel Denklemlere Giriş
Arkadaşlar ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik. Ancak matematik sadece bunlarla sınırlı değildir. Bugün rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Konsept rasyonel denklemler konsepte çok benziyor rasyonel sayılar. Yalnızca sayılara ek olarak, şimdi bazı $x$ değişkenlerini de ekledik. Böylece toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve tamsayıya çıkarma işlemlerinin yer aldığı bir ifade elde etmiş oluyoruz.$r(x)$ olsun rasyonel ifade
. Böyle bir ifade, $x$ değişkenindeki basit bir polinom veya polinomların oranı olabilir (rasyonel sayılarda olduğu gibi bir bölme işlemi uygulanır).
$r(x)=0$ denklemine denir rasyonel denklem.
$p(x)=q(x)$ formundaki herhangi bir denklem (burada $p(x)$ ve $q(x)$ rasyonel ifadelerdir) de şu şekilde olacaktır: rasyonel denklem.
Rasyonel denklemleri çözme örneklerine bakalım.
Örnek 1.Denklemi çözün: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Çözüm.
Tüm ifadeleri sol tarafa taşıyalım: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Denklemin sol tarafı temsil edilirse normal sayılar o zaman iki kesri ortak bir paydaya getirirdik.
Hadi şunu yapalım: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Denklemi elde ettik: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Bir kesir, ancak ve ancak kesrin payının sıfır olması ve paydasının sıfırdan farklı olması durumunda sıfıra eşittir. Daha sonra payı ayrı ayrı sıfıra eşitleyip payın köklerini buluyoruz.
$3(x^2+2x-3)=0$ veya $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Şimdi kesrin paydasını kontrol edelim: $(x-3)*x≠0$.
İki sayının çarpımı, bu sayılardan en az biri sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşittir. Sonra: $x≠0$ veya $x-3≠0$.
$x≠0$ veya $x≠3$.
Pay ve paydada elde edilen kökler çakışmıyor. Bu yüzden cevapta payın her iki kökünü de yazıyoruz.
Cevap: $x=1$ veya $x=-3$.
Payın köklerinden biri aniden paydanın köküyle çakışırsa, hariç tutulmalıdır. Bu tür köklere yabancı denir!
Rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:
1. Denklemin içerdiği tüm ifadeleri aktarın Sol Taraf eşittir işaretinden.2. Denklemin bu kısmını şuna dönüştürün: cebirsel kesir: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Ortaya çıkan payı sıfıra eşitleyin, yani $p(x)=0$ denklemini çözün.
4. Paydayı sıfıra eşitleyin ve elde edilen denklemi çözün. Paydanın kökleri payın kökleriyle çakışıyorsa cevaptan çıkarılmalıdır.
Örnek 2.
Denklemi çözün: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Çözüm.
Algoritmanın noktalarına göre çözelim.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Payı sıfıra eşitleyin: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Paydayı sıfıra eşitleyin:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ve $x=-1$.
$x=1$ köklerinden biri payın köküne denk geliyorsa bunu cevaba yazmayız.
Cevap: $x=-1$.
Değişkenlerin değişimi yöntemini kullanarak rasyonel denklemleri çözmek uygundur. Bunu gösterelim.
Örnek 3.
Denklemi çözün: $x^4+12x^2-64=0$.
Çözüm.
Değiştirmeyi tanıtalım: $t=x^2$.
O zaman denklemimiz şu şekli alacaktır:
$t^2+12t-64=0$ - sıradan ikinci dereceden denklem.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dolar.
Ters yerine koymayı tanıtalım: $x^2=4$ veya $x^2=-16$.
İlk denklemin kökleri bir çift sayıdır $x=±2$. İkincisi ise köklerinin olmamasıdır.
Cevap: $x=±2$.
Örnek 4.
Denklemi çözün: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Çözüm.
Yeni bir değişken tanıtalım: $t=x^2+x+1$.
O zaman denklem şu şekli alacaktır: $t=\frac(15)(t+2)$.
Daha sonra algoritmaya göre ilerleyeceğiz.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dolar.
4. $t≠-2$ - kökler çakışmıyor.
Ters ikameyi tanıtalım.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Her denklemi ayrı ayrı çözelim:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - hayır kökler.
Ve ikinci denklem: $x^2+x-2=0$.
Bu denklemin kökleri $x=-2$ ve $x=1$ sayıları olacaktır.
Cevap: $x=-2$ ve $x=1$.
Örnek 5.
Denklemi çözün: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Çözüm.
Değiştirmeyi tanıtalım: $t=x+\frac(1)(x)$.
Daha sonra:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ veya $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Denklemi elde ettik: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Bu denklemin kökleri çifttir:
$t=-3$ ve $t=2$.
Ters ikameyi tanıtalım:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ayrı ayrı karar vereceğiz.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
İkinci denklemi çözelim:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Bu denklemin kökü $x=1$ sayısıdır.
Cevap: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
Denklemleri çözün:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.
Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.
Buna göre rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada 
- rasyonel ifadeler.
Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri değerlendirmiştik. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemlere bakalım.
örnek 1
Denklemi çözün: .
Çözüm:
Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.
Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:
Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:
İki kök elde ediyoruz: ; .
2 hiçbir zaman 0'a eşit olmadığından iki koşulun karşılanması gerekir: 
. Yukarıda elde edilen denklemin köklerinin hiçbiri çakışmadığı için geçersiz değerlerİkinci eşitsizliğin çözülmesiyle elde edilen değişkenlerin her ikisi de bu denklemin çözümüdür.
Cevap:.
Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:
1. Sağ taraf 0 olacak şekilde tüm terimleri sol tarafa taşıyın.
2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri ortak bir paydaya getirin.
3. Ortaya çıkan kesri aşağıdaki algoritmayı kullanarak 0'a eşitleyin: 
.
4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.
Başka bir örneğe bakalım.
Örnek 2
Denklemi çözün: 
.
Çözüm
En başta, 0 sağda kalacak şekilde tüm terimleri sol tarafa taşırız.
Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:
Bu denklem sisteme eşdeğerdir:
Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.
Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:
İki kök elde ediyoruz: ; .
Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.
İki koşulun karşılanması gerekir: 
. İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.
Cevap:.
Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.
Bir sonraki derste rasyonel denklemlere gerçek durumların modelleri olarak bakacağız ve ayrıca hareket problemlerine bakacağız.
Kaynakça
- Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. için öğretici Eğitim Kurumları. - M.: Eğitim, 2006.
- Festival pedagojik fikirler "Herkese açık ders" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Ev ödevi
Smirnova Anastasia Yurievna
Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.
Organizasyon şekli Eğitim faaliyetleri : önden, bireysel.
Dersin amacı: yeni bir denklem türünü tanıtmak - kesirli rasyonel denklemler, kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma hakkında fikir vermek.
Dersin Hedefleri.
Eğitici:
- kesirli rasyonel denklem kavramının oluşumu;
- kesirin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün;
- Kesirli rasyonel denklemleri bir algoritma kullanarak çözmeyi öğretmek.
Gelişimsel:
- edinilen bilgilerin uygulanmasında becerilerin geliştirilmesi için koşullar yaratmak;
- gelişmeyi teşvik etmek bilişsel ilgiöğrenciler konuya;
- öğrencilerin analiz etme, karşılaştırma ve sonuç çıkarma becerilerini geliştirmek;
- karşılıklı kontrol ve öz kontrol becerilerinin geliştirilmesi, dikkat, hafıza, sözlü ve yazı, bağımsızlık.
Eğitim:
- konuya bilişsel ilgiyi teşvik etmek;
- Karar almada bağımsızlığın teşvik edilmesi eğitim görevleri;
- Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim beslemek.
Teçhizat: ders kitabı, karatahta, boya kalemleri.
Ders Kitabı "Cebir 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, S.A. Telyakovsky. Moskova "Aydınlanma". 2010
Açık bu konu beş saat ayrılmıştır. Bu ilk ders. Önemli olan kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritmayı incelemek ve bu algoritmayı alıştırmalarda uygulamaktır.
Dersler sırasında
1. Organizasyon anı.
Merhaba beyler! Bugün dersimize bir dörtlükle başlamak istiyorum:
Herkesin hayatını kolaylaştırmak için,
Neye karar verilecek, ne mümkün olacak,
Gülümse, herkese iyi şanslar,
Hiçbir sorun yaşanmaması için
Birbirimize gülümsedik ve yarattık iyi ruh hali ve çalışmaya başladım.
Tahtada yazılı denklemler var, onlara dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misiniz? Hangileri değil ve neden?
Sol ve sağ tarafları kesirli rasyonel ifadeler olan denklemlere kesirli rasyonel denklemler denir. Bugün sınıfta ne çalışacağımızı düşünüyorsunuz? Dersin konusunu formüle edin. Öyleyse not defterlerinizi açın ve “Kesirli rasyonel denklemleri çözme” dersinin konusunu yazın.
2. Bilginin güncellenmesi. Ön anket, sözlü çalışma sınıfla.
Ve şimdi çalışmamız gereken ana teorik materyali tekrarlayacağız. yeni Konu. Lütfen gelecek soruları cevaplayın:
- Denklem nedir? ( Bir değişken veya değişkenlerle eşitlik.)
- 1 numaralı denklemin adı nedir? ( Doğrusal.) Çözüm doğrusal denklemler. (Bilinmeyen olan her şeyi denklemin sol tarafına, tüm sayıları sağa taşıyın. Yol göstermek benzer terimler. Bilinmeyen faktörü bul).
- 3 numaralı denklemin adı nedir? ( Kare.) Çözümler ikinci dereceden denklemler. (P formüller hakkında)
- Oran nedir? ( İki oranın eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)
- Denklemleri çözerken hangi özellikler kullanılır? ( 1. Bir denklemdeki bir terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz. 2. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.)
- Bir kesir ne zaman sıfıra eşit olur? ( Pay sıfır ve payda sıfır olmadığında kesir sıfıra eşittir..)
3. Yeni materyalin açıklanması.
2 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.
Cevap: 10.
Hangi kesirli rasyonel denklem Oranın temel özelliğini kullanarak çözmeyi deneyebilir misiniz? (Numara 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6
x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8
4 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.
Cevap: 1,5.
Denklemin her iki tarafını da paydayla çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (No. 6).
x 2 -7x+12 = 0
D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.
Cevap: 3;4.
Sonraki derslerde 7 numaralı denklem gibi denklemlerin çözümüne bakacağız.
Bunun neden olduğunu açıklayın? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?
Şu ana kadar öğrenciler yabancı kök kavramıyla karşılaşmadılar; bunun neden olduğunu anlamak onlar için gerçekten çok zor. Eğer sınıfta kimse bu duruma net bir açıklama getiremezse öğretmen yönlendirici sorular sorar.
- 2 ve 4 numaralı denklemlerin 5 ve 6 numaralı denklemlerden farkı nedir? ( 2 ve 4 numaralı denklemlerde paydada sayılar vardır, 5-6 numaralı - değişkenli ifadeler.)
- Bir denklemin kökü nedir? ( Denklemin dönüştüğü değişkenin değeri gerçek eşitlik .)
- Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( Kontrol et.)
Test yaparken bazı öğrenciler sıfıra bölmeleri gerektiğini fark ederler. 0 ve 5 sayılarının bu denklemin kökleri olmadığı sonucuna vardılar. Şu soru ortaya çıkıyor: kesirli rasyonel denklemleri ortadan kaldırmamıza olanak tanıyan bir yol var mı? bu hata? Evet, bu yöntem kesrin sıfıra eşit olması şartına dayanmaktadır.
Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.
Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:
- Her şeyi sol tarafa taşıyın.
- Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
- Bir sistem oluşturun: pay sıfıra eşit olduğunda ve payda sıfıra eşit olmadığında bir kesir sıfıra eşittir.
- Denklemi çözün.
- Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.
- Cevabı yazın.
4. Yeni materyalin ilk kez anlaşılması.
Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklem türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. “Cebir 8” ders kitabından ödevler, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c); 601(a,e). Öğretmen görevin tamamlanmasını izler, ortaya çıkan soruları yanıtlar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: cevaplar tahtaya yazılır.
b) 2 - yabancı kök. Cevap: 3.
c) 2 - yabancı kök. Cevap: 1.5.
a) Cevap: -12.5.
5. Ödev verme.
- Ders kitabındaki 25. paragrafı okuyun, 1-3. örnekleri analiz edin.
- Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma öğrenin.
- 600 (d, d) numaralı defterlerde çözün; 601(g,h).
6. Dersi özetlemek.
Bugün derste kesirli rasyonel denklemlerle tanıştık, bu denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik Farklı yollar. Kesirli rasyonel denklemleri nasıl çözerseniz çözün, neyi aklınızda tutmalısınız? Kesirli rasyonel denklemlerin “kurnazlığı” nedir?
Herkese teşekkürler, ders bitti.
"Kesirli rasyonel denklemleri çözme"
Dersin Hedefleri:
Eğitici:
- kesirli rasyonel denklemler kavramının oluşumu; kesirli rasyonel denklemleri çözmenin çeşitli yollarını düşünün; kesirin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün; kesirli rasyonel denklemleri bir algoritma kullanarak çözmeyi öğretmek; Bir test yaparak konuya hakimiyet düzeyini kontrol etmek.
Gelişimsel:
- edinilen bilgilerle doğru şekilde çalışma ve mantıksal düşünme yeteneğini geliştirmek; entelektüel becerilerin geliştirilmesi ve zihinsel operasyonlar- analiz, sentez, karşılaştırma ve sentez; inisiyatifin geliştirilmesi, karar verme yeteneği ve orada durmamak; gelişim kritik düşünce; araştırma becerilerinin geliştirilmesi.
Eğitim:
- konuya bilişsel ilgiyi teşvik etmek; eğitim sorunlarının çözümünde bağımsızlığın teşvik edilmesi; Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim beslemek.
Ders türü: ders - yeni materyalin açıklaması.
Dersler sırasında
1. Organizasyon anı.
Merhaba beyler! Tahtaya yazılmış denklemler var, onlara dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misiniz? Hangileri değil ve neden?
Sol ve sağ tarafları kesirli rasyonel ifadeler olan denklemlere kesirli rasyonel denklemler denir. Bugün sınıfta ne çalışacağımızı düşünüyorsunuz? Dersin konusunu formüle edin. Öyleyse not defterlerinizi açın ve “Kesirli rasyonel denklemleri çözme” dersinin konusunu yazın.
2. Bilginin güncellenmesi. Ön anket, sınıfla sözlü çalışma.
Ve şimdi yeni bir konuyu incelemek için ihtiyaç duyacağımız ana teorik materyali tekrarlayacağız. Lütfen gelecek soruları cevaplayın:
1. Denklem nedir? ( Bir değişken veya değişkenlerle eşitlik.)
2. 1 numaralı denklemin adı nedir? ( Doğrusal.) Doğrusal denklemleri çözmek için bir yöntem. ( Bilinmeyen olan her şeyi denklemin sol tarafına, tüm sayıları sağa taşıyın. Benzer terimler verin. Bilinmeyen faktörü bul).
3. 3 numaralı denklemin adı nedir? ( Kare.) İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. ( Seçim tam kare formüllerle, Vieta teoremini ve sonuçlarını kullanarak.)
4. Oran nedir? ( İki oranın eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)
5. Denklemleri çözerken hangi özellikler kullanılır? ( 1. Bir denklemdeki bir terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz. 2. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.)
6. Bir kesir ne zaman sıfıra eşit olur? ( Pay sıfır ve payda sıfır olmadığında kesir sıfıra eşittir..)
3. Yeni materyalin açıklanması.
2 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.
Cevap: 10.
Oranın temel özelliğini kullanarak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (Numara 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6
x2-6x-x2-5x = 6-8
4 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.
Cevap: 1,5.
Denklemin her iki tarafını da paydayla çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (No. 6).
D=1›0, x1=3, x2=4.
Cevap: 3;4.
Şimdi 7 numaralı denklemi aşağıdaki yöntemlerden birini kullanarak çözmeye çalışın.
(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 | |||
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0 | x2-2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x2-3x-10)=0 | |||
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0 | |||
x1=0 x2=5 D=49 | |||
Cevap: 0;5;-2. | Cevap: 5;-2. |
Bunun neden olduğunu açıklayın? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?
Şu ana kadar öğrenciler yabancı kök kavramıyla karşılaşmadılar; bunun neden olduğunu anlamak onlar için gerçekten çok zor. Eğer sınıfta kimse bu duruma net bir açıklama getiremezse öğretmen yönlendirici sorular sorar.
- 2 ve 4 numaralı denklemlerin 5,6,7 numaralı denklemlerden farkı nedir? ( 2 ve 4 numaralı denklemlerde paydada sayılar vardır, 5-7 numaralı denklemler değişkenli ifadelerdir.) Bir denklemin kökü nedir? ( Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.) Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( Kontrol et.)
Test yaparken bazı öğrenciler sıfıra bölmeleri gerektiğini fark ederler. 0 ve 5 sayılarının bu denklemin kökleri olmadığı sonucuna vardılar. Şu soru ortaya çıkıyor: Kesirli rasyonel denklemleri çözmenin, bu hatayı ortadan kaldırmamıza olanak tanıyan bir yolu var mı? Evet, bu yöntem kesrin sıfıra eşit olması şartına dayanmaktadır.
x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.
Eğer x=5 ise x(x-5)=0 olur, bu da 5'in yabancı bir kök olduğu anlamına gelir.
Eğer x=-2 ise x(x-5)≠0 olur.
Cevap: -2.
Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.
Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:
1. Her şeyi sol tarafa taşıyın.
2. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
3. Bir sistem oluşturun: pay sıfıra eşit olduğunda ve payda sıfıra eşit olmadığında kesir sıfıra eşittir.
4. Denklemi çözün.
5. Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.
6. Cevabı yazın.
Tartışma: Oranın temel özelliği kullanılırsa ve denklemin her iki tarafı da çarpılırsa çözüm nasıl resmileştirilir? ortak payda. (Çözüme şunu ekleyin: ortak paydayı ortadan kaldıranları köklerinden çıkarın).
4. Yeni materyalin ilk kez anlaşılması.
Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklem türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. “Cebir 8” ders kitabından ödevler, 2007: No. 000 (b, c, i); 000(a, d, g). Öğretmen görevin tamamlanmasını izler, ortaya çıkan soruları yanıtlar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: cevaplar tahtaya yazılır.
b) 2 – yabancı kök. Cevap: 3.
c) 2 – yabancı kök. Cevap: 1.5.
a) Cevap: -12.5.
g) Cevap: 1;1.5.
5. Ödev verme.
2. Kesirli rasyonel denklemlerin çözümü için algoritmayı öğrenin.
3. 000 (a, d, e) numaralı defterlerde çözün; 000(g, h).
4. No. 000(a)'yı (isteğe bağlı) çözmeye çalışın.
6. Çalışılan konuyla ilgili bir kontrol görevinin tamamlanması.
İş kağıt parçaları üzerinde yapılır.
Örnek görev:
A) Denklemlerden hangileri kesirli rasyoneldir?
B) Bir kesirin payı ______________________ ve paydası _______________________ olduğunda sıfıra eşittir.
Soru) -3 sayısı 6 numaralı denklemin kökü müdür?
D) 7 numaralı denklemi çözün.
Ödev için değerlendirme kriterleri:
- Öğrenci görevin %90'ından fazlasını doğru tamamlamışsa “5” verilir. “4” - %75-%89 “3” - %50-%74 “2”, görevin %50'sinden azını tamamlayan öğrenciye verilir. Dergide 2 notu verilmemektedir, 3 opsiyoneldir.
7. Yansıma.
Bağımsız çalışma sayfalarına şunu yazın:
- 1 – eğer ders sizin için ilginç ve anlaşılırsa; 2 – ilginç ama net değil; 3 – ilginç değil ama anlaşılır; 4 – ilginç değil, net değil.
8. Dersi özetlemek.
Bugün derste kesirli rasyonel denklemlerle tanıştık, bu denklemleri çeşitli şekillerde çözmeyi öğrendik, bir eğitim yardımıyla bilgimizi test ettik. bağımsız iş. Bir sonraki derste bağımsız çalışmanızın sonuçlarını öğreneceksiniz ve evde bilginizi pekiştirme fırsatına sahip olacaksınız.
Size göre kesirli rasyonel denklemleri çözmenin hangi yöntemi daha kolay, daha erişilebilir ve daha rasyoneldir? Kesirli rasyonel denklemleri çözme yöntemi ne olursa olsun, neyi hatırlamanız gerekir? Kesirli rasyonel denklemlerin “kurnazlığı” nedir?
Herkese teşekkürler, ders bitti.