Bir doğrunun normal denklemi. Bir noktadan çizgiye olan mesafeyi belirleme problemi

MATEMATİK

DOĞRUSAL CEBİR VE ANALİTİK GEOMETRİ

(standart hesaplama)

Yönergeler ve kontrol görevleri

İçin bağımsız işöğrenciler

dağ spesiyaliteleri tam zamanlı eğitim

M. K. Kurchin tarafından derlenmiştir.

Departman toplantısında onaylandı

eğitim ve metodolojik komisyon

uzmanlıklar 130403

27.04.2009 tarihli 10 No'lu Protokol

Elektronik bir kopya saklanır

ana bina kütüphanesinde

GU KuzGTU

KEMEROVO 2010

bu iş standart hesaplamaların birinci sınıf öğrencileri tarafından yüksek kalitede uygulanmasına hizmet eder akademik dönem konuya göre " lineer Cebir" Ve " analitik geometri" Ana ders kitabı olarak “Kurchin M.K. Mühendisler için Cebir ve Geometri: Ders Kitabı” önerilmektedir. ödenek / Devlet Üniversitesi KuzGTU. – Kemerovo, 2004. – 158 s.” Şöyle ki, bu ders kitabına göre, problemlere verilen çözümlerde bağımsız çalışmaya yönelik paragraflar belirtilmiştir. Yönergeler, tipik bir hesaplamanın (altı görevden oluşan) ve 36 seçenekli kontrol görevlerinin gerçekleştirilmesine ilişkin bir örnek içerir. Sonunda metodolojik talimatlar Tüm sorunların cevapları verilmektedir.

Tipik bir hesaplama örneği

Sorun 1. Sistemi çöz

bir metod sıralı eleme Bilinmeyen;

b) belirleyicilerin yöntemi; c) matris yöntemi.

Çözüm. a) (§1) sistemin katsayılarından bir matris yazmalı, ona kolaylık olması açısından dikey bir çubukla ayrılmış serbest terimlerden oluşan bir sütun eklemeli ve tüm dönüşümleri bu genişletilmiş matrisin satırları üzerinde yapmalıyız.

Bu sistemin genişletilmiş matrisini dönüştürelim: . Genişletilmiş matrisin başka dönüşümüne gerek yoktur.

Dolayısıyla denklem sistemine varıyoruz

veya

sahip olmak tek çözüm X = –1, sen = -2, z = 1.

Başlangıçtaki sistemin kesin olduğu ortaya çıktı.

B). Sistemimiz için (§5 ve §6) gerekli tüm belirleyicileri hesaplıyoruz. Burada:

,

,

,

,

Şimdi onu buluyoruz.

c) Bilinmeyenler için katsayılar matrisi şöyle olacaktır:

. Determinantı D = | A| = 2 yani ters matris A- 1 mevcut (§44 ve §45) ve

Sistem denklemlerinin serbest terimlerinin sütun matrisi şöyle olacaktır: . Sistemin çözümü matris olacaktır:

, yani

Sorun 2. Üçgenin köşeleri noktalardadır A(–5; 1; 3), B(–5; 4; 7) ve C(5; –4; –7). Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını, açının büyüklüğünü bulun A ve bu açının açıortayının yönü kosinüsleridir.

Çözüm. Bir noktanın koordinatlarını bulmak için Füçgenin ağırlık merkezidir; ortancayı böldüğüne dikkat edin BD 2:1 oranında, üstten sayılarak B ve nokta D tarafı böler Reklam ikiye bölünür (§§7-15). Noktanın koordinatlarını bulun D, bunun için bir segmenti ikiye bölme formüllerini kullanıyoruz:

Bu yüzden, ve dönem F bir segmenti böler BD bir ilişkide

.

Noktanın koordinatlarını bulma F:

Ve üçgenin ağırlık merkezi de bu noktadadır.

Açıyı bulmak için A, vektörleri belirtiyoruz (Şekil 1)

Ve

(başlangıç ​​koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarın) ve uzunluklarını bulun:

Daha sonra
,

ve köşenin kendisi A"37.17 dereceye eşit olacaktır.

Açıortayların yön kosinüsleri A iki şekilde bulunabilir. Şimdi onlara bakalım.

1 yol. Açıortay iç köşeüçgen böler karşı taraf bitişik kenarlarla orantılı parçalara bölünür. Buna dayanarak şu sonuca varıyoruz: k bir segmenti böler kuzeydoğu bir ilişkide

Noktanın koordinatlarını bulma k:

yani ve açıortay vektörü

Uzunluğu

Yöntem 2. Dikkate alacağımız vektörlerin yönlerinde birim vektörleri

Ve .

Bu vektörleri toplarsak paralelkenar AMLN aynı zamanda bir eşkenar dörtgen olacak ve köşegeni olacak AL açının ortaortayı olacak A. Buradan,

Bu vektörün uzunluğunu bulalım:

Sorun 3. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(2; –1; –2) düzleme R, noktadan geçerken M 1 (3; –3; –5) ve düz çizgi R noktadan k.

Çözüm. Verilen doğru bir noktadan geçiyor M 0 (6; 1; 2) vektöre paralel = (6; 8; –5) (§27, problem 4). Vektörü bulalım =(–3; –4; –7). Normal düzlem vektörü R vektörlere dik ve , yani normal bir vektör olarak alabiliriz vektör çarpımı vektörler ve .

Pirinç. 3. Görev 3'e

.

Vektör olarak almamız daha uygundur, vektör –19 kat daha kısadır, yani = (4; –3; 0). Şimdi noktadan geçen düzlemin denklemini yazalım. M 1 vektöre dik:

4(X – 3) – 3(sen + 3) = 0, P: 4X – 3sen – 21 = 0.

Noktanın mesafesini hesaplamak için kalır k uçaktan R:

.

Ve bir noktadan bırakılan bir dikmenin denklemini yazın k uçağa R:

.

Sorun 4. Verilen denklemler X – 2en – 1 = 0, X + 3en– 6 = 0 ve 3 X – en+ 2 = Üçgenin iki kenarı ve kenarortayı 0'dır. Üçgenin üçüncü tarafının denklemlerini ve bu tarafa indirilen yüksekliğinin denklemlerini yazın.

Çözüm. Kenar denklemleri olsun

AB: X – 2en– 1 = 0 ve M.Ö.: X + 3en – 6 = 0.

Tepe noktasının koordinatlarını bulun (§28) B: B(3; 1).

Köşe koordinatları B medyan denklemi tatmin etmiyor: 3 3 – 1 – 6 ¹ 0. Medyan tepe noktasından çizilsin A tarafa M.Ö.. Tepe noktasının koordinatlarını bulun

Pirinç. 4. Görev 4'e

A: A(–1; –1).

Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. k refüj kavşağı AK yan ile M.Ö.:

k: k(0; 2).

Nokta C bir segmenti böler B.K. ile ilgili olarak dışarıdan .

Buradan, C(–3; 3).

Vektör ve kenar denklemi AC. bir noktadan geçerken A vektöre paralel olarak yazılacaktır:

veya 2 X + sen + 3 = 0.

Yükseklik B.H.üst üste gider B ve normal bir vektör olarak vektörü alabilirsiniz. Daha sonra denklemi yazılacaktır:

–2(X – 3) + 4(sen– 1) = 0 veya X – 2sen – 1 = 0.

Sorun 5. Nokta yoluyla İÇİNDE(8; -3) oluşturduğu üçgenin alanı ve koordinat eksenleri bir birime eşit olacak şekilde düz bir çizgi çizin.

Çözüm. Düz bir çizginin denklemini, parçalar halinde bir doğrunun denklemi biçiminde alalım; A Ve B– düz bir çizgiyle kesilen bölümlerin değerleri koordinat eksenleri(§28).

Pirinç. 5. Sorun 5'e

Sorunun 2 çözümü var. Bir düz L 1, birinci koordinat açısıyla kesişir; A > 0, B> 0 ve ab> 0. Başka bir düz çizgi L 2 üçüncü koordinat açısıyla kesişir; A < 0, B < 0 и ab > 0.

Üçgenin alanı ve her durumda elimizde olduğundan

Ayrıca istenilen düz çizgi noktadan geçer. İÇİNDE ve ikincisinin koordinatları düz bir çizginin denklemini karşılar.

Böylece problemin koşullarına göre sistemimiz var.

Bu sistemi çözelim:

Veya

Bu sistemin çözümü iki çift değer olacaktır:

Ve

Bu nedenle gerekli düz çizgiler aşağıdaki denklemlere sahiptir:

B L 2 L 1 Pirinç. 6. Sorun 6'ya C A ` φ φ

veya X + 2sen – 2 = 0;

veya 9 X + 32sen – 24 = 0.

Cevap: X + 2en -2 = 0; 9X +32en –24 = 0.

Sorun 6. noktadan B(4; 0) ışın düz çizgiye ark açısıyla yönlendirilir X – 2sen

Çözüm. 1). Gelen ışının düz bir çizgide yönlendirilmesine izin verin B.A. yani açı BAC X – 2sen B.A., vektörün saat yönünün tersine bir φ açısı kadar döndürülmesiyle elde edilir. Saat yönünün tersine döndürülerek elde edilen bir vektörün koordinatlarını hesaplamak için formülleri kullanalım verilen vektör bir açıyla (§20):

(1)

Vektör olarak uzatılmış bir vektör alabilirsiniz, yani. Formüller (1) daha sonra şu formu alacaktır:

veya görev verileriyle

.

Doğrunun denklemini bulalım AB, noktadan geçerken B ve normal bir vektöre sahip (§28):

4(X – 4) –3(sen–0) = 0 veya 4 X – 3sen = 16.

Noktanın koordinatlarını bulma A:

Yansıyan bir ışın için normal vektör, vektörün aynı φ açısı kadar, ancak şimdi saat yönünde döndürülmesiyle elde edilebilir. Dönüştürülen vektörün koordinatlarını hesaplama formüllerinde φ açısını –φ açısıyla değiştirerek sistemi elde ederiz:

veya görev verileriyle

Vektör koordinatlarını tamsayı olarak belirtmek için vektörü alın . Daha sonra yansıyan ışının denklemi yazılacaktır:

0(X – 10) – 5(sen– 8) = 0 veya sen = 8.

2). Şimdi gelen ışının düz bir çizgide yönlendirilmesine izin verin M.Ö. yani açı B.C.A.φ = arktan'a eşittir. Belirli bir çizginin normal vektörü X – 2sen+ 6 = 0 da bir vektör olacak, gelen ışının normal vektörü düz M.Ö., vektörün saat yönünün tersine bir π – φ açısı kadar döndürülmesiyle elde edilir; bu, yön seçimine bağlı olarak, vektörün saat yönünde bir φ açısı kadar döndürülmesine eşdeğerdir. Ama bu sadece bir vektör olacak . Gelen Işın Denklemi M.Ö. kaydolacak: 0( X – 4) – 5(sen– 0) = 0 veya sen= 0. O zaman İLE(–6; 0) ve yansıyan ışın için normal vektör şu şekilde olacaktır: . Son olarak yansıyan ışının denklemi yazılacaktır: 4( X + 6) – 3(sen– 0) = 0 veya 4 X – 3sen + 24 = 0.

Cevap 1) sen = 8; 2) 4X – 3sen + 24 = 0.

Test görevleri

1. Lineer Cebir.

Sistemi çöz doğrusal denklemler a) bilinmeyenlerin sıralı olarak hariç tutulması yöntemiyle; b) belirleyicilerin yöntemi; c) matris yöntemi.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33.

34. 35. 36.

2. Vektör cebiri.

Üçgenin köşeleri noktalardadır A, İÇİNDE Ve İLE. Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını, açıortayın kosinüs yönünü bulun. A ve bu açının büyüklüğü.

seçenek
A	–4;–2;–4	–4; 2; –2	–1; 2; –8	–6; 3; –2	–8; 2; –4	–3; –2; –2
B	–3; 2; 4	4; –6; 2	–3; –6; 8	–6; 6; 2	–7; 6; 4	4; 2; 2
C	4; 2; 4	–2; 6; 2	3; 6; –1	6; –6; –2	8; –6; –2	–1; 2; 2
seçenek
A	2; –1; –1	–5; 3; –2	7; 2; 0	–1; 3; –5	–8; 2; –3	5; –6; –4
B	1; –3; –3	6; –7; –4	–7; –6; –8	1; 7; –1	–4; 6; 4	–5; 5; –6
C	–2; 3; –3	–2; 9; 4	8; 6; 8	1; –7; 6	8; –6; –5	5; 0; 4
seçenek
A	4; –1; 4	–6; –4; 2	–2; 1; –1	6; –3; –4	4; 5; 0	3; –2; –1
B	–4;–3;–12	–8; 0; 6	2; –3; 1	–10;–5; 4	5; 9; 8	5; 2; 3
C	5; 3; 12	8; 4; –6	–1; 3; 1	10; 5; 4	–4;–9;–8	–5; 2; –2
seçenek
A	5; 2; 1	–6;–6;–3	1; –8; –4	–6; 1; –2	–1;–4;–8	–7;–4;–3
B	–9;–6;–7	–3; 0; 3	–1; 8; 4	–4; 5; 2	1; 4; 8	–3; 4; 5
C	9; 6; 8	6; 6; 3	2; –4; 4	6; –5; 2	0;–2;–6	7; 4; 5
seçenek
A	4; 2; –7	–1;–4;–8	0;–3;–4	5; –1; 4	–1; –8; 1	3; –3; 1
B	5; 6; 1	1; 4; 8	3; –3; 0	6; 1; 6	–3; 8; –7	7; 5; 9
C	–4; –6; 7	1; 0; –4	0; 3; 4	–6; 1; –6	3; –4; 8	–7;–5;–10
seçenek
A	–5;–6;–4	–1; 4; 3	4; –8; –4	3; 1; –2	–2; 2; –6	–8;–1;–4
B	4; 6; –4	1; –7; –7	5; –4; 4	–4; –3; 2	2; 6; 1	–7; 3; 4
C	–4; –2; 4	–1; 7; 7	–4; 8; –2	4; 3; 0	–2; –7; 6	8; –3; 4

3. Uzayda düzlem ve düz çizgi.

1. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(–5; 3; –2) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (3; 2; 4) vektöre paralel ve düzlem 4'e dik X + sen – 3z – 7 = 0, R noktadan k.

2. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(1; –1; 4) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (–2; –5; 3) düz çizgiye dik ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

3. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(–3; 0; 1) düzleme R, çizgiyi geçerek vektöre paralel ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

4. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(1; 1; 5) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (2;–1;–3) iki düzleme dik 5 X – 2sen + 12z+ 4 = 0 ve 10 X + 7sen + 24z R noktadan k.

5. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(2; 5; 3) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (–4; 3; –1) iki düz çizgiye paralel Ve ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

6. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(4; –1; –2) düzleme R, çizgiyi geçerek –4 düzlemine dik X + 7z+ 3 = 0 ve bir düzleme bırakılan dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

7. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(4; 1; 3) düzleme R iki noktadan geçerek M 1 (5; 3; –4) ve M 2 (–8; 4; 8) R noktadan k.

8. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(4; –5; –2) düzleme R Ve ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

9. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(1; –2; 3) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (4; –3; 1) iki vektöre paralel R noktadan k.

10. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(1; –1; 0) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (5; 2; –2) ve düz bir çizgiyi bulun ve bir düzleme bırakılan dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

11. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(2; –1; –2) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (2; –4; 0) vektöre paralel ve düzleme dik sen + 3z R noktadan k.

12. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(3; 1; 2) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (–4; –5; 1) düz çizgiye dik ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

13. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(2; –3; 4) düzleme R, çizgiyi geçerek vektöre paralel ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

14. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(–3; 4; –8) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (–1; 3; –5) iki düzleme dik 4 X – 2sen + 3z– 1 = 0 ve 5 X + z+ 9 = 0 ve bir düzleme bırakılan dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

15. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(7; 2; 5) uçağa R, noktadan geçerken M 0 (3; –2; 11) iki düz çizgiye paralel Ve ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

16. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(3; 1; 6) düzleme R, çizgiyi geçerek –8 düzlemine dik X + 3sen + 5z– 1 = 0 ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

17. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(3; 6; –6) düzleme R iki noktadan geçerek M 1 (2; 4; –5) ve M 2 (2; 5; –6) vektöre paralel ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

18. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(–2; –1; 7) düzleme R iki paralel çizgiden geçmek Ve ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

19. Noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(2; 1; 6) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (–1; –4; 8) iki vektöre paralel Ve ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

20. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(1; 3; 1) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (5;2;–2) ve düz çizgi ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

21. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(6; 3; 3) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (4; –3; 5) vektöre paralel ve düzlem 7'ye dik X + 4sen + 3z– 2 = 0 ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

22. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(–3; 5; 3) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (–3; 1; 2) düz çizgiye dik ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

23. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(1; –2; 4) düzleme R, çizgiyi geçerek vektöre paralel olun ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

24. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(7; 2; 5) uçağa R, noktadan geçerken M X + 3sen – 4z+ 8 = 0 ve sen + z R noktadan k.

25. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(–1; 4; –3) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (4; –5; –2) iki düz çizgiye paralel Ve ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

26. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(–1; –1; –9) düzleme R, çizgiyi geçerek düzlem 3'e dik X + z+ 4 = 0 ve bir düzleme bırakılan dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

27. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(–6; –1; –4) düzleme R iki noktadan geçerek M 1 (–1; 2; –6) ve M 2 (4; –1; 2) vektöre paralel ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

28. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(2; 3; –3) düzleme R iki paralel çizgiden geçmek Ve ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

29. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(–2; 3; –1) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (1; –2; 3) iki vektöre paralel ve , ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

30. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(0; –1; –2) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (3; –3; –5) ve doğrudan ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

31. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(0; 2; –1) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (–1; 1; –2) vektöre paralel ve düzlem 2'ye dik X + 5sen+ 6 = 0 ve bir düzleme bırakılan dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

32. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(2; 4; 1) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (5; 2; –4) düz çizgiye dik ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

33. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(4; –2; 3) düzleme R, çizgiyi geçerek vektöre paralel olun ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

34. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(7; 2; –4) uçağa R, noktadan geçerken M 0 (2; –4; 1) iki düzleme dik 4 X + 3sen – 4z+ 8 = 0 ve sen + z– 3 = 0 ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

35. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(–3; –2; –5) düzleme R, noktadan geçerken M 0 (1; 4; –3) iki düz çizgiye paralel ve , ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

36. Bir noktaya olan mesafeyi hesaplayın k(2; –4; 1) düzleme R, çizgiyi geçerek düzlem 7'ye dik X – 4sen– 3 = 0 ve bir düzleme bırakılan bir dikmenin denklemlerini yazın R noktadan k.

4. Düz bir uçakta.

1. Verilen denklemler 2 X + 7en– 4 = 0 ve 4 X – 5en+ 30 = Bir paralelkenarın ve bir noktanın bitişik iki kenarının 0'ı M(–6; 5) köşegenlerinin kesişimi. Paralelkenarın diğer iki kenarının ve köşegenlerinin denklemlerini yazınız.

2. Kenarların denklemlerini oluşturun ve köşelerinden birini bilerek eşkenar dörtgenin köşelerinin koordinatlarını hesaplayın A(6; –1), nokta Ö(0; 1) köşegenlerin ve noktanın kesişimi F(2; 3) yanlardan birinde.

3. Bir dikdörtgenin içinde ABCD denklemler verilmiştir X + 3en– 17 = 0 ve X + 3en+ 3 = 0'ın iki tarafı ve denklem X + 7en– 37 = 0 köşegen. Dikdörtgenin diğer iki kenarının ve ikinci köşegeninin denklemlerini bulun.

4. İki tane verildiğinde İLE(–3; 2) ve D(1; 4) paralelkenarın bitişik köşeleri ABCD ve dönem Q(0; –1) köşegenlerinin kesişimi. Tüm kenarlar için denklemleri ve tepe noktasından çizilen yüksekliği yazın A tarafa Güneş paralelkenar.

5. Köşelerin koordinatlarını hesaplayın ve denklemler biliniyorsa eşkenar dörtgenin kenarlarının denklemlerini yazın X – 7en+ 38 = 0 ve X – 7en+ 8 = 0'ın iki tarafı ve denklem X – 2en+ 8 = köşegenlerinden birinin 0'ı.

6. Verilen iki köşe İÇİNDE(3; 7) ve İLE(–11; –7) üçgen ve nokta R(4; 3) yüksekliklerinin kesişimi. Üçgenin üçüncü köşesinden çizilen kenarların ve medyanın denklemlerini oluşturun.

7. Bir üçgende ABC verilen: yan denklem AB: X + en+ 1 = 0 ve iki yüksekliğin denklemleri: BİR: 3X – 8en+ 3 = 0 ve VK: 3X + 2en+ 9 = 0. Verilen kenarın karşısındaki köşeden çizilen ortancanın denklemini yazın.

8. Köşelerin koordinatlarını bulun ve köşelerinden birini bilerek üçgenin kenarları için denklemler oluşturun A(1; 3) ve denklemler 4 X + 7en– 1 = 0 ve X – 4en– 13 = 0 iki yükseklik. Üçüncü yüksekliğinin denklemini yazın.

9. Verilen denklemler X – 2en – 4 = 0, 5X – en+ 7 = 0 ve X + en– 1 = Üçgenin iki tarafının ve medyanın 0'ı. Üçgenin üçüncü tarafının denklemlerini ve bu tarafa indirilen yüksekliğinin denklemlerini yazın.

10. Köşelerinden birini bilerek üçgenin kenarları için denklemler oluşturun İÇİNDE(–1; 5) ve yükseklik denklemleri 3 X + en+ 5 = 0 ve medyan 3 X + 2en+ 4 = 0 bir köşeden çizilmiştir.

11. Kenar denklemlerini oluşturun ve bir eşkenar dörtgenin köşelerinden birini bilerek köşelerinin koordinatlarını hesaplayın İÇİNDE(2; 1), nokta S(3; 3) köşegenlerin ve noktanın kesişimi R(1; 2) kenarlardan birinde (tepe noktasından geçerek) İÇİNDE).

12. Verilen denklemler X + 3en + 7 = 0, 3X – 8en+ 4 = 0 ve 4 X – 5en– 6 = Üçgenin iki tarafının ve medyanın 0'ı. Üçgenin üçüncü tarafının denklemlerini ve bu tarafa indirilen yüksekliğinin denklemlerini yazın.

13. Bir dikdörtgenin içinde ABCD verilen denklemler 4 X – en+ 34 = 0 ve 4 X – en– 17 = iki tarafının 0'ı ve denklem 7 X + 11en– 17 = 0 köşegen. Dikdörtgenin diğer iki kenarının ve ikinci köşegeninin denklemlerini bulun.

14. İki köşe verildiğinde İLE(–4; –4) ve A(3; –3) üçgenler ve nokta Q(–1; 5) yüksekliklerinin kesişimi. Üçgenin üçüncü köşesinden çizilen kenarların ve medyanın denklemlerini oluşturun.

15. İki tane verilmiş D(4; 1) ve A(–2; 3) paralelkenarın bitişik köşeleri ABCD ve dönem R(1; 0) köşegenlerinin kesişimi. Tüm kenarlar için denklemleri ve tepe noktasından çizilen yüksekliği yazın İÇİNDE tarafa CD paralelkenar.

16. Köşelerin koordinatlarını bulun ve köşelerinden birini bilerek üçgenin kenarları için denklemler oluşturun İÇİNDE(–3; 4) ve denklemler X – 5en+ 4 = 0 ve 4 X – 3en+ 5 = 0 iki yükseklik. Üçüncü yüksekliğinin denklemini yazın.

17. Köşelerin koordinatlarını hesaplayın ve denklemler biliniyorsa eşkenar dörtgenin kenarlarının denklemlerini yazın 13 X – en+ 28 = 0 ve 13 X – en– 108 = iki tarafının 0'ı ve denklem 3 X + 5en– 4 = 0 köşegenlerinden biri.

18. Köşelerinden birini bilerek üçgenin kenarları için denklemler oluşturun İLE(5; 2) ve ayrıca yükseklik 2 denklemleri X – en– 2 = 0 ve medyanlar X – en= 0, bir köşeden çizilmiştir.

19. Verilen denklemler 2 X + en+ 5 = 0 ve 4 X + 7en= Bir paralelkenarın iki komşu kenarı ve bir noktanın 0'ı M(1; –2) köşegenlerinin kesişimi. Paralelkenarın diğer iki kenarının ve köşegenlerinin denklemlerini yazınız.

20. Bir üçgende ABC verilen: yan denklem Güneş: 7X – 2en+ 13 = 0 ve iki yüksekliğin denklemleri: SR: 5X + 2en– 1 = 0 ve BR: 3X – 5en– 11 = 0. Verilen kenarın karşısındaki köşeden çizilen ortancanın denklemini yazınız.

21. Bir dikdörtgenin içinde ABCD denklemler verilmiştir X – en+ 2 = 0 ve X – en+ 6 = iki tarafının 0'ı ve denklem 3 X – 7en+ 26 = 0 köşegen. Dikdörtgenin diğer iki kenarının ve ikinci köşegeninin denklemlerini bulun.

22. İki köşe verildiğinde A(–10; 8) ve İÇİNDE(11; 1) üçgen ve nokta N(5; –7) yüksekliklerinin kesişimi. Üçgenin üçüncü köşesinden çizilen kenarların ve medyanın denklemlerini oluşturun.

23. İki tane verilmiş A(2; –4) ve İÇİNDE(4; 2) paralelkenarın bitişik köşeleri ABCD ve dönem Ö(1; –1) köşegenlerinin kesişimi. Tüm kenarlar için denklemleri ve tepe noktasından çizilen yüksekliği yazın İLE tarafa Reklam paralelkenar.

24. Köşelerin koordinatlarını bulun ve köşelerden birini ve köşelerini bilerek üçgenin kenarları için denklemler oluşturun İLE(–2; –4) ve denklemler 6 X + 5en– 16 = 0 ve X + 2en– 6 = 0 iki yükseklik. Üçüncü yüksekliğinin denklemini yazın.

25. Köşelerin koordinatlarını hesaplayın ve denklemler biliniyorsa eşkenar dörtgenin kenarlarının denklemlerini yazın X + 4en+ 9 = 0 ve X + 4en– 21 = 0 iki tarafı ve denklem X – en– 1 = köşegenlerinden birinin 0'ı.

26. Köşelerinden birini bilerek üçgenin kenarları için denklemler oluşturun A(3; –7), ayrıca yükseklik 2 denklemleri X + 3en+ 5 = 0 ve medyan X + 3en+ 7 = 0 bir köşeden çizilmiştir.

27. Verilen denklemler 3 X – 5en+ 7 = 0 ve X + 5en+ 9 = Bir paralelkenarın ve bir noktanın bitişik iki kenarının 0'ı R(1; 0) köşegenlerinin kesişimi. Paralelkenarın diğer iki kenarının ve köşegenlerinin denklemlerini yazınız.

28. Bir üçgende ABC verilen: yan denklem AC: X – 3en– 10 = 0 ve iki yüksekliğin denklemleri: AQ: 3 X + en= 0 ve SANTİMETRE: X – 5en– 4 = 0. Verilen kenarın karşısındaki köşeden çizilen ortancanın denklemini yazın.

29. Kenarların denklemlerini oluşturun ve köşelerinden birini bilerek eşkenar dörtgenin köşelerinin koordinatlarını hesaplayın D(–4; 1), nokta N( 2; – 1) köşegenlerin ve noktanın kesişimi T(–5; –1) yanlardan birinde.

30. Verilen denklemler X – en + 4 = 0, 2X + 3en– 17 = 0 ve en– 3 = Üçgenin iki tarafının ve medyanın 0'ı. Üçgenin üçüncü tarafının denklemini yazınız ve bu tarafa yüksekliği düşmüştür.

31. İki tane verilmiş İÇİNDE(–3; 1) ve İLE(1; –4) paralelkenarın bitişik köşeleri ABCD ve dönem N(2; 2) köşegenlerinin kesişimi. Tüm kenarlar için denklemleri ve tepe noktasından çizilen yüksekliği yazın D tarafa AB paralelkenar.

32. Köşelerden birini bilerek üçgenin köşelerinin koordinatlarını bulun ve kenarları için denklemler oluşturun A(3; –3) ve denklemler 7 X – 4en+ 2 = 0 ve X – 7en+ 11 = 0 iki yükseklik. Üçüncü yüksekliğinin denklemini yazın.

33. Köşelerin koordinatlarını hesaplayın ve denklemler biliniyorsa eşkenar dörtgenin kenarlarının denklemlerini yazın X – 8en+ 11 = 0 ve X – 8en– 49 = iki tarafının 0'ı ve denklem 2 X – en– 8 = 0 köşegenlerinden biri.

34. Köşelerinden birini bilerek bir üçgenin kenarları için denklemler oluşturun İÇİNDE(–9; –6) ve yükseklik denklemleri 4 X + en+ 13 = 0 ve medyan 2 X – en+ 5 = 0 bir köşeden çizilmiştir.

35. Verilen denklemler 7 X + 4en+ 63 = 0 ve 3 X + 10en+ 27 = Bir paralelkenarın ve bir noktanın bitişik iki kenarının 0'ı k(–2; –5) köşegenlerinin kesişimi. Paralelkenarın diğer iki kenarının ve köşegenlerinin denklemlerini yazınız.

36. Bir üçgende ABC verilen: yan denklem AB: X + en+ 2 = 0 ve iki yüksekliğin denklemleri: BİR: 4X + en+ 11 = 0 ve VA: 6X – en+ 5 = 0. Verilen kenarın karşısındaki köşeden çizilen ortancanın denklemini yazın.

5. Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Nokta yoluyla İLE oluşturduğu üçgenin alanı ve koordinat eksenleri eşit olacak şekilde düz bir çizgi çizin S kare birimler.

seçenek
İLE	–8; –9	2; –2	8; 3	–4; 2	1; 2	6; 1	–4; –5	9; –4	–8; 6
S, metrekare birimler						1,5
seçenek
İLE	4; 3	2; –3	2; –9	–3; 8	6; 6	5; –6	–2; 2	4; 4	–3; 2
S, metrekare birimler			1,5			7,5			1,5
seçenek
İLE	2; 4	–8; 1	–6; –2	8; –5	1; –4	4; 6	4; –1	6; 8	–2; –6
S, metrekare birimler
seçenek
İLE	8; –1	–4; 3	–8; –2	5; –4	6; 5	–5; –8	3; 2	8; 3	4; –2
S, metrekare birimler					7,5

6. Bir vektörü bir açıyla döndürün.

1. Bir karenin iki tarafının denklemleri verildiğinde: X – 3sen+ 8 = 0 ve X – 3sen– 2 = 0. Diğer iki tarafı için denklemleri yazın, şu şartla ki nokta A(–6, –6) bu karenin kenarında yer alır.

2. Nokta B(1; 4), köşegeni 3. çizgi üzerinde bulunan bir karenin köşe noktasıdır X – 4sen– 12 = 0. Karenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını bulun.

3.B dik üçgen tepede İLE(4; –1) dar açı arktana eşit 3 ve Denk. karşı bacak 2X + sen– 2 = 0. Dikdörtgenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını bulun.

4. İki tane verildiğinde zıt köşeler kare A(5; 1) ve İLE(–4; 2). Diğer iki köşenin koordinatlarını bulun ve karenin köşegenlerinin denklemlerini yazın.

5. Bir noktadan F(0; –4) ışın, düz çizgi 2'ye arktan2 açısıyla yönlendirilir X – sen+ 6 = 0. Bu doğrudan yansıyan ışının denklemini bulun.

6. Nokta İLE(–4, –5), kenarlarından biri doğrunun üzerinde olan karenin köşe noktasıdır X – 2sen+ 4 = 0. Karenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını bulun.

7. Dikdörtgenin köşelerinin koordinatlarını bulun ikizkenar üçgen, hipotenüs 2 denklemini bilmek X – 3sen– 5 = 0 ve üst dik açı A(–1; 2).

8. Bir karenin iki kenarının denklemleri verildiğinde X + 2sen– 9 = 0 ve X + 2sen+ 6 = 0. Diğer iki tarafı için de denklemleri yazın. F(–4; 4) bu karenin kenarında yer alır.

9. Nokta İLE(2; 5), köşegeni 2. çizgi üzerinde bulunan bir karenin tepe noktasıdır X + 3sen– 6 = 0. Karenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını bulun.

10. Tepe noktasındaki dik üçgende A(–9; 5) dar açı arctan5'e ve karşı bacağın denklemine eşittir X + 2sen+ 4 = 0. Dikdörtgenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını bulun.

11. Bir karenin zıt iki köşesi verildiğinde İÇİNDE(–3; 1) ve D(3; 3). Diğer iki köşenin koordinatlarını bulun ve karenin köşegenlerinin denklemlerini yazın.

12. Bir noktadan N(–8; 8) arktan4 ile düz çizgi 3 arasında bir açıda X – 2sen– 12 = 0 ışın yönlendirilir. Bu doğrudan yansıyan ışının denklemini bulun.

13. Nokta D(–5; 1), kenarlarından biri çizgi üzerinde olan bir karenin köşe noktasıdır X + 2sen– 7 = 0. Karenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını bulun.

14. Hipotenüs 2 denklemini bilerek dik ikizkenar üçgenin köşelerinin koordinatlarını bulun X + 3sen= 0 ve bir dik açının tepe noktası İÇİNDE(3; 5).

15. 4 karesinin iki tarafının denklemleri verildiğinde X + sen+ 33 = 0 ve 4 X + sen– 18 = 0. Diğer iki tarafı için de denklemleri yazın. N(–1; 5) bu karenin kenarında yer alır.

16. Nokta D(–8, –5), köşegeni 3. çizgi üzerinde olan bir karenin köşe noktasıdır X + 5sen+ 15 = 0. Karenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını bulun.

17. Tepe noktasındaki dik üçgende İÇİNDE(5; 1) dar açı arctan2'ye eşittir ve karşı tarafın denklemi 2'dir X – sen+ 6 = 0. Üçgenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını bulun.

18. Bir karenin zıt iki köşesi verildiğinde İLE(6; 2) ve A(–5; 3). Diğer iki köşenin koordinatlarını bulun ve karenin köşegenlerinin denklemlerini yazın.

19. Bir noktadan R(1; 4) ışın düz çizgiye açılı olarak yönlendirilir X + 3sen– 3 = 0. Bu doğrudan yansıyan ışının denklemini bulun.

20. Nokta A(2; 4), kenarlarından biri 7. çizgi üzerinde bulunan bir karenin köşe noktasıdır X + 5sen+ 40 = 0. Karenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını bulun.

21. Hipotenüs denklemini bilerek bir dik ikizkenar üçgenin köşelerinin koordinatlarını bulun 11 X – 5sen– 13 = 0 ve bir dik açının tepe noktası İLE(6; –4).

22. Kare 2'nin iki tarafının denklemleri verildiğinde X – 5sen– 45 = 0 ve 2 X – 5sen+ 13 = 0. Diğer iki tarafı için de denklemleri yazın. R(3; –2) bu karenin kenarında yer alır.

23. Nokta A(–1, –4), köşegeni uzanan bir karenin köşe noktasıdır

1. 137 metrekare birimler 2.10; 20. 3. 4.
,
,
. 5.
Ve
6.
,
,
. 7.
,
,
,
. 8.
,
,
. 9.1) merkezi kutupta ve yarıçapı olan bir daire 6. 2) kutuptan çıkan, kutup eksenine belli bir açıyla eğimli bir ışın. 3) kutup eksenine dik, üzerindeki bir parçayı kesen, kutuptan itibaren sayılan düz bir çizgi
. 4) üst yarı düzlemde, kutup eksenine paralel, ondan 6'ya eşit mesafede aralıklı düz bir çizgi. 5) merkezi olan bir daire
ve yarıçap 3. 6) merkezli daire
ve yarıçap 1. 10. elips
,
,
,
,
. 11. abartı
.
,
,
. 12. abartı
. 13. parabol: b) c)
14. a) -7, b) -21, c) -139, d) –2. 15.
. 16.
. 17.
,
,
,
. 18. -2. 19. -2. 20.
. 21.
. 22.
,
. 23.
,
. 24.
,
. 25.
. 26.
. 27. -29. 28.
- sağ üç. 29.
küp birimler 30. - 6.

31. . 32. . 33. . 34.
. 35.
. 36.
. 37.
Ve
.. 38.
. 39.
. 40.
. 41.
. 42.
. 43.
. 44.
.

45. 1)
, 2)
, 3)
, 4) , 5)
.

47. ,
. 48.
, Nerede
.

49.
,
,
,

. 50. a)
, B)
. 51.
,
,
.

52. a) evet, b) hayır. 53. - herhangi bir numara. 54. evet. 55. a) bir düzleme projeksiyon sen
, b) eksene göre yansıma
. 56. Operatör doğrusal;

–tabandaki matrisi
.

57.
,
,
.

58. Özdeğerler:
,
,
, özvektörler: için
,
, Nerede
; İçin
,
, Nerede
; İçin
,
Nerede
.

SEÇENEK NO. 23

DÜZLEMDE ANALİTİK GEOMETRİ: DÜZLEMDE ANALİTİK GEOMETRİNİN BASİT GÖREVLERİ; DÜZ UÇAKTA; UÇAKTA İKİNCİ DERECEDEN HATLAR

1. Bir karenin bitişik iki köşesi verildiğinde A(2, 1) ve İÇİNDE(6, -1). Alanını hesaplayın.

2. Üç köşe verildiğinde A(4, -6), İÇİNDE(6, -6), İLE(-1, 6) paralelkenar ABCD, dördüncü zirve D zıt İÇİNDE. Bu paralelkenarın köşegenlerinin uzunluğunu belirleyin.

3. Noktanın koordinatlarını bulun M 1 , simetrik nokta M 2 (0, 1) noktalardan geçen çizgiye göre A(8, 2), İÇİNDE(5, 0).

4. Bir üçgenin köşeleri verildiğinde A(4, 1), İÇİNDE(1, –1), İLE(5, 2). Yükseklikleri için bir denklem yazın.

5. Puanlarla sınırlı bir segment A(7, 10) ve İÇİNDE(13, 13), üç eşit parçaya bölünmüştür. Bölme noktalarının koordinatlarını belirleyin.

6. Verilen iki köşe A(–5, 2) ve İÇİNDE(3, –2) üçgeni ABC ve dönem N(2, 2) yüksekliklerinin kesişimi. Bu üçgenin kenarlarının denklemlerini yazınız.

7. Nokta A(–2, 5), köşegeni çizgi üzerinde bulunan bir karenin köşe noktasıdır
. Bu karenin kenarlarının denklemlerini yazınız.

8. Üçgenin kenarları için denklemler oluşturun ABC, köşelerden biri verilirse A(2, 8) ve iki medyanın denklemleri
,
.

Not. Noktadan emin olun A
ve dönem A
. İzin vermek
Ve
- medyanlarda bulunan bir üçgenin köşeleri Ve sırasıyla ve puanlar
Ve
- segmentlerin orta noktaları AB Ve AC sırasıyla. Daha sonra köşelerin koordinatlarını bulmanız gerekir. İÇİNDE Ve İLEüçgen. Noktalardan beri M Ve İLE medyanın üzerinde yatmak , O
. Daha sonra ilişkiden
bulmak
; sayısal değerin daha da değiştirilmesi
için denklemin içine , bulmak
. Sonra bilerek
Ve
, bulmak
formüle göre
. Daha sonra sayısal değeri değiştirerek
için denklemin içine , bulmak . bilmek Ve , ilişkiden
bulmak . Son olarak üçgenin tüm köşelerinin koordinatlarını bilerek kenarlarının genel denklemlerini bulun.

9. Aşağıdaki denklemlerle kutupsal koordinatlarda hangi çizgilerin belirlendiğini belirleyin (bunları çizim üzerinde oluşturun):

A)
; B)
; V)
; G)
;

D)
; e)
.

10. Denklemin hangi doğruyu belirlediğini belirleyin. Merkezinin, yarı ekseninin, dışmerkezliğinin koordinatlarını bulun. Çizim yapmak.

11. Hiperbol için bir denklem yazın ve hiperbolün sol köşesinin elipsin sağ odağında olduğu biliniyorsa, merkezinin ve yarı ekseninin koordinatlarını bulun: , hiperbolün sağ köşesinin ise parabolün tepe noktası
, hiperbolün dışmerkezliği şuna eşittir: .

12. Her nokta için noktadan uzaklığı olan bir doğrunun denklemini oluşturun. A(1, 2) düz çizgiden iki kat uzakta
. Hangi çizgi olduğunu belirleyin; çizim yapmak.

13. Doğru denklemle verilmiştir
V kutup sistemi koordinatlar

Gerekli: a) başlayan noktaları kullanarak bir çizgi oluşturun
önce
ve vermek aralıktaki değerler ;

b) bu ​​çizginin denklemini, orijinin kutupla çakıştığı ve pozitif yarı eksenin kutup ekseniyle çakıştığı Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde bulun;

c) Ortaya çıkan denklemi kullanarak hangi çizgi olduğunu belirleyin.

Belirleyiciler. Uzayda temel. Vektör koordinatları

14. Belirleyicileri hesaplayın:

a) üçgen kuralına göre;

b) ilk sıranın elemanlarına genişleme;

c) ikinci sütunun elemanlarına genişleme;

d) üçgen forma indirgeme:

A)
, B)
,V)
, G) .

15. Vektörler verilmiştir: 1 =(3, -2, 1); 2 =(0, -1, 3); 3 =(2, 4, 0); =(-9, 4, 3) bazı temellerde. İlk üç vektörün kendisinin bir temel oluşturduğunu gösteriniz ve vektörün koordinatlarını bulunuz. Bu temelde.

3. Vektörler üzerinde doğrusal işlemler. Bir vektörün bir eksene izdüşümü. Vektörlerin skaler, vektör ve karışık çarpımları.

16. Birim vektörün (orta) koordinatlarını bulun , vektör ile eş yönlü =(7, -4, 4).

17. İki vektör =(6, 2, -3) ve =(-1, –2, 2) bir noktaya uygulanır. Koordinatları bulun:

a) ortov Ve vektörler Ve ;

b) vektör +;

c) vektör , vektörler arasındaki açının ortaortayı boyunca yönlendirilmiş Ve şartıyla
.

18. Vektörün izdüşümünü bulun =(2, 4, 3) vektörün yönünde
.

19. Vektörün izdüşümünü bulun
eksen başına, koordinat eksenli bileşen
Ve
açılar
ve bir eksen ile
geniş açı .

20. Verilen bir kare ABCD (köşelerin tanımı saat yönünde alınır), yan uzunluğu 8'dir. HAKKINDA kare düzlemde seçilir, böylece
,
. Bulmak
.

a) Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini tanıtmak
bir noktadan başlayarak HAKKINDA böylece eksen
vektör boyunca yönlendirildi
ve eksen
karenin konumuna doğru işaret edin;

b) uzunluğu saymak
karenin köşegenleri, (Pisagor teoremini kullanarak) olduğundan emin olun:
- dikdörtgen (
), ve bu nedenle
;

c) vektörün koordinatlarını bulun
, vektörlerin koordinatlarını bulun
Ve
(açıkça
), eşitliği kullanarak
, vektörün koordinatlarını bulun
;

d) vektörlerin koordinatlarını bilmek
Ve
, bulmak
, Nerede
, Ve
.

21. Vektörler
(0, -2, -4) ve
bir paralelkenarın kenarlarıdır OASV. N noktası kenarın ortasıdır Güneş. Bulmak
.

22. Verilen
2,
3,
. Bulmak ve vektörler arasındaki açının büyüklüğü Ve , Eğer
.

23. Vektör çarpımının koordinatlarını hesaplayın
ve uzunluğu
, Eğer =(1, 3, 0),
.

24. Bir üçgenin köşeleri verildiğinde ABC: A(1, -1, 2),İÇİNDE(2, 1, 0) ve İLE(6, 3, 4). Üçgenin alanını ve tepe noktasından düşen yüksekliğin uzunluğunu bulun A.

25. Vektör , eksene dik
ve vektör
(-3, 4, 1) ve eksenli formlar
keskin köşe. Vektör koordinatlarını bulun , Eğer
15.

26. Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını bulun
Ve
, Eğer
,
Ve
.

27. Vektörlerin karma çarpımını hesaplayın
,
(1, -2, 0),
(-1, 0, 2).

28. Doğru temelde
vektörler verilmiştir:
,
,
. Bu üç vektörün aynı düzlemde olmadığını gösterin; vektör üçlüsünün yönünü ayarlayın
.

29. Köşeleri eşit olan bir piramidin hacmini hesaplayınız. A(1, 2, 1), İÇİNDE(–2, 3, –3), İLE(1, 3, 3), D(2, 1, -3).

30. Vektör vektörlere dik Ve . Hesaplamak
, Eğer
,
, 1,
4 ve üçü vektördür
- sol.

4. Uzayda analitik geometri: Uzayda düzlem ve düz çizgi; ikinci dereceden yüzeyler

31. Düzleme paralel M 0 (1, 2, -1) noktasından geçen bir düzlem için bir denklem oluşturun
.

32. M 0 (3, 4, 0) noktasından ve düz çizgiden geçen bir düzlem için bir denklem oluşturun
.

33. Bir doğrudan geçen düzlem için denklem yazın
düzleme dik
.

34. İki düzleme dik olarak M 0 (3, 0, 2) noktasından geçen bir düzlem için denklem oluşturun
Ve .

35. Mesafeyi bulun M 0 (2, 2, -1) noktasından düzleme.

36. Bir üçgenin köşeleri verildiğinde A(2, 2, -1), İÇİNDE(4, 3, 1), İLE(2, –3, –2). Köşedeki iç açısının açıortayının kanonik denklemlerini oluşturun İÇİNDE.

37. Eksen üzerinde
düzlemden belirli bir mesafede bulunan noktaların koordinatlarını bulun =2.

38. M 0 (1, 2, –1) noktasından geçen ve bu çizgiye paralel olan bir doğrunun kanonik denklemlerini yazınız,
,
,
.

39. Doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulun
ve uçaklar
.

40. Bir noktanın izdüşümünü bulun R(3, 3, 0) düz çizgiye
,
+1,
.

41. Bir noktanın koordinatlarını bulun Q, simetrik nokta R(3, 3, 4) düzleme göre
.

42. Bir noktanın koordinatlarını bulun Q, simetrik nokta R(5, 2, 4) düz çizgiye göre
.

43. Mesafeyi hesaplayın noktadan R(1, -2, –2) düz çizgiye
.

44. Doğrunun kanonik denklemlerini bulun düzleme paralel M 0 (5, 1, 7) noktasından geçen ve çizgiyle kesişen
.

Not. Eylem sırasını kullanın:

a) düzlemin denklemini oluşturun
, M 0 noktasından geçerken, düzleme paralel
;

b) çizginin kesişimindeki M 1 noktasının koordinatlarını bulun uçakla
(bkz. sorun 39);

c) M 0 ve M 1 noktalarından geçen bir çizginin kanonik denklemlerini oluşturun.

45. Piramidin köşelerinin koordinatları göz önüne alındığında A 1 (–1, 3, 3), A 2 (4, 2, 4), A 3 (2, 0, 1), A 4 (3, 3, 5). Bulmak:

kaburgalar arasındaki açı A 1 A 2 Ve A 1 A 4 ;

kenar açısı A 1 A 4 ve kenar A 1 A 2 A 3 ;

bir çizginin denklemi A 1 A 2 ;

düzlem denklemi A 1 A 2 A 3 ;

5) tepe noktasından düşen yüksekliğin denklemi A 4 eşiğine A 1 A 2 A 3 .

46. ​​​​Yüzeylerle sınırlanmış bir gövdenin taslağını oluşturun:

A)
,
,
(
).

B)
,
,
.

5. Lineer cebirin elemanları: lineer denklem sistemleri; matrisler; doğrusal vektör uzayı; doğrusal operatörler

47. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün

48. Matrisle değişen tüm gerçek matrisleri bulun
.

49. Matrisin nerede olduğunu bulun

bir=
, V=
, C=
.

50. Matrislerin rütbesini bulun:

A)
; B)
.

51. Bir doğrusal denklem sistemi verildiğinde

Uyumluluğunu kanıtlayın ve üç şekilde çözün:

a) Gauss yöntemi;

b) matris hesabı yoluyla;

c) Cramer'in formüllerine göre.

52. Gerçek doğrusal uzaylardır:

a) formun tüm ikinci dereceden gerçek matrislerinin kümesi
, Nerede
;

b) formun tüm ikinci dereceden gerçek matrislerinin kümesi
, Nerede
.

53. Tüm değerleri bulun , bunun için vektör
vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edilir
, Eğer =(1, –2, ), =(-1, -1, -1), =(1, 1, 2), =(2, 4, 6).

54. Olup olmadığını öğrenin bu sistem vektörler doğrusal bağımlı mı? =(1, 2, 0, 1), =(2, 1, -1, -1), =(1, 2, 2, 2), =(3, 3, -1, 0).

55. Sıradan uzayda verilen doğrusal operatörlerin hareketinin geometrik anlamını bulun Ohooz matrisleri ortonormal tabana göre olan
şu forma sahip:

A)
; B)
.

56. Uzayda R 2 tüm derece polinomları
tür
, Nerede
Şebeke şu şekilde çalışır:
. Operatörün kanıtlayın doğrusaldır ve matrisini tabanda bulun
,
,
.

57. Sıradan uzayda doğrusal operatör vektörleri düz bir çizgiye göre yansıtır
ve doğrusal operatör vektörleri bir düzleme dik olarak yansıtır
. Doğrusal operatörlerin matrislerini bulun , ,
temelde
.

58. Matris tarafından belirli bir temelde belirtilen doğrusal bir dönüşümün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun
.

§ 14. Bir çizginin normal denklemi. Bir noktadan çizgiye olan mesafeyi belirleme problemi

Uçağa binelim xOy bir doğru verilmiştir. Bu doğruya koordinatların orijininden geçen bir dik çizip buna normal adını verelim. Haydi belirtelim

başından sonuna kadar R normalin belirli bir çizgiyle kesişme noktası ve normalin pozitif yönünü bu noktadan itibaren ayarlayın HAKKINDA diyeceğim şey şu ki R.

a normalin kutup açısı ise, P- segmentin uzunluğu (Şekil 10), o zaman bu düz çizginin denklemi şu şekilde yazılabilir:

xcosα + günah α - p = 0;

bu tür bir denkleme normal denir.

Düz ve keyfi bir nokta verilsin

Saçmalık. 10 M*; noktanın uzaklığını d ile gösterelim M* bu satırdan. Nokta sapması M* bir satıra +d sayısı denir , Eğer verilen nokta ve koordinatların orijini burada yatıyor farklı taraflar belirli bir satırdan ve - Ve, belirli bir nokta ve başlangıç ​​noktası belirli bir çizginin aynı tarafında bulunuyorsa. (En düz çizgi üzerinde bulunan noktalar için = 0.)

x* koordinatları verilirse, evet* puan M* ve doğrunun normal denklemi xcosα + günahα -p = 0; daha sonra sapma https://pandia.ru/text/79/428/images/image003_21.gif" width="15" height="19"> = X*çünkü a a + y*günah α - R.

Bu nedenle, herhangi bir M* noktasının belirli bir düz çizgiden sapmasını bulmak için şunları yapmanız gerekir: Sol Taraf bu doğrunun normal denkleminde mevcut koordinatlar yerine noktanın koordinatlarını kullanın M*. Ortaya çıkan sayı istenen sapmaya eşit olacaktır.

Bir noktadan bir çizgiye olan d mesafesini bulmak için sapmayı hesaplamak ve modülünü almak yeterlidir: d =

Eğer verilirse genel denklem düz çizgi Аx+Bу+С=0, daha sonra onu normal forma getirmek için, bu denklemin tüm terimlerini normalleştirme faktörü μ ile çarpmanız gerekir. ., formülle tanımlanmış

Normalleştirme faktörünün işareti seçilir zıt işaret normalleştirilmiş denklemin serbest terimi.

309. Aşağıdaki doğru denklemlerinden hangilerinin normal olduğunu belirleyin:

1) X- sen-3=0; 2) TR-ABD tarzı = "renk: siyah">x - sen-1 = 0;

3) https://pandia.ru/text/79/428/images/image010_3.gif" genişlik = "21" yükseklik = "41 src = "> en + 2 = 0; 4) -renk:siyah">+renk:siyah">- 2 = 0;

5) - X + 2 = 0; 6) X - 2 = 0; 7) en + 2 = 0; 8) - en - 2 = 0.

310. Aşağıdaki durumların her birinde doğrunun genel denklemini normal forma düşürün:

1) 4X -3en-10 = 0; 2) X -sen+10 = 0;

3) 12X - 5en + 13 = 0; 4) X + 2 = 0; 5) 2X - en -= 0.

311. Doğruların denklemleri verilmiştir:

1) X-2 = 0; 2) X + 2 = 0; 3) en -3 = 0; 4) en + 3 = 0;

5) x + en-6 = 0; 6) X-en+2 = 0; 7) X + en+2 = 0;

8) Xçünkü b -y günah b - Q = 0, Q >0; b - dar açı;

9) Xçünkü b + y sin b + Q = 0, Q > 0; b - akut açı.

Normalin kutup açısını belirleyin A ve bölüm R bu satırların her biri için; elde edilen parametre değerlerine göre A Ve Rçizimin üzerine bu çizgileri çiz ( son iki durumda sayarak düz çizgiyi oluşturun b = 30° ve Q = 2).

312. Sapma miktarını hesaplayın D ve mesafe D Aşağıdaki durumların her birinde düz bir çizgiden alınan noktalar:

1)A(2;-1)) 4X + 3en+10 = 0;

2) İÇİNDE(0; - 3), 5X-12en-23=0;

3) R(-2; 3), 3X -4en -2 = 0;

4) Q(1; -2), X-2en -5 = 0.

313. Bir noktanın bulunup bulunmadığını belirleyin M(1; -3) ve aşağıdaki çizgilerin her birinin bir veya karşıt tarafındaki koordinatların kökeni:

1) 2X-en + 5 = 0; 2) X -3en -5 = 0; 3) 3X+2en-1 = 0;

2) X-3en+ 2 = 0; 5) 10X + 24en+15 = 0.

314. Nokta A(2; -5), bir kenarı düz bir çizgi üzerinde olan karenin uzunluğudur

X - 2en- 7 = 0.

Bu karenin alanını hesaplayın.

315. Bir dikdörtgenin iki tarafının denklemleri verildiğinde

3X -2en - 5 = 0, 2X + 3en + 7 = 0

ve zirvelerinden biri A(-2; 1). Bu dikdörtgenin alanını hesaplayın.

316. Düz olduğunu kanıtla

2X+en+3 = 0

noktalarla sınırlanan bir doğru parçasıyla kesişir A(-5; 1) ve İÇİNDE(3; 7).

317. Düz olduğunu kanıtla

2X -3en+6 = 0

doğru parçasını kesmez puanlarla sınırlı M1(- 2; -3) ve M2(1; -2).

318. Bir dörtgenin ardışık köşeleri noktalardır A(-3; 5), İÇİNDE(- 1; -4), C(7;-1) ve D(2; 9). Bu dörtgenin dışbükey olup olmadığını belirleyin.

319. Bir dörtgenin ardışık köşeleri noktalardır A(-1; 6), B(1; -3), İLE(4; 10) ve D(9; 0). Bu dörtgenin dışbükey olup olmadığını belirleyin.

320. Bir üçgenin köşeleri verildiğinde: A(-10; -13), İÇİNDE(- 2; 3) ve İLE(2; 1). Bir tepe noktasından bırakılan bir dikmenin uzunluğunu hesaplayın İÇİNDE tepe noktasından çizilen ortancaya İLE.

321. AB Tarafları, Güneş Ve SAüçgen ABC sırasıyla denklemlerle verilir

X+ 21en - 22 = 0, 5X- 12en+ 7 = 0, 4X - 33en+ 146 = 0.

Bu üçgenin ağırlık merkezinden kenara olan mesafeyi hesaplayın Güneş.

322. Mesafeyi hesaplayın D Aşağıdaki durumların her birinde paralel çizgiler arasında:

1) 3X -4en-10 = 0, 2) 5X-12en + 26 = 0,

6X -8en+ 5 = 0; 5X-12en-13 = 0;

3) 4X - 3en+ 15 = 0, 4) 24X-10en + 39 = 0,

8X-6en+ 25 = 0; 12X -2en -26 = 0.

323. Bir karenin iki kenarı düz çizgiler üzerindedir

5X- 12en - 65 = 0, 5X- 12en + 26 = 0.

Alanını hesaplayın.

324. Doğrunun doğru olduğunu kanıtlayın

5X- 2en- 1 = 0

Düz çizgilere paralel

5X -2en + 7 = 0, 5X -2en-9 = 0

ve aralarındaki mesafeyi ikiye böler.

325. Verilen üç paralel çizgi

10X+15en -3 = 0, 2X+3en + 5 = 0, 2X+3en -9 = 0.

Bunlardan ilkinin diğer ikisinin arasında olduğunu belirleyin ve aralarındaki mesafeyi bölme oranını hesaplayın.

326. Bunu bir nokta aracılığıyla kanıtlayın P(2; 7) noktadan uzaklıkları olacak şekilde iki düz çizgi çizebilirsiniz. Q(l; 2) 5'e eşitti. Bu doğruların denklemlerini yazın.

327. Bunu bir nokta aracılığıyla kanıtlayın R(2; 5) noktadan uzaklıkları eşit olacak şekilde iki düz çizgi çizilebilir. Q(5; 1) 3'e eşitti. Bu doğruların denklemlerini yazın.

328. Bunu bir nokta aracılığıyla kanıtlayın İLE(7; - 2) noktadan uzaklığı korunacak şekilde yalnızca bir düz çizgi çizmek mümkündür. A(4; - 6) 5'e eşitti. Denklemini oluşturun.

329. Bunu bir nokta aracılığıyla kanıtlayın İÇİNDE(4; -5) noktadan uzaklığı korunacak şekilde düz bir çizgi çizmek imkansızdır. İLE(- 2; 3) 12'ye eşitti.

330. Denklemi türetin yer Düz bir çizgiden sapması 8 olan noktalar X-15en- 25 = 0 -2'ye eşittir.

331. 3. doğruya paralel doğruların denklemlerini yazın X-4en- 10 = 0 ve ondan uzakta bulunuyor D=3.

332. Bir karenin bitişik iki köşesi verildiğinde A(2; 0) ve İÇİNDE(-1; 4). Tarafları için denklemler yazın.

333. Nokta A(5; -1), kenarlarından biri doğrunun üzerinde olan bir karenin köşe noktasıdır

4X - 3en - 7 = 0.

Bu karenin geri kalan kenarlarının üzerinde bulunduğu doğruların denklemlerini yazın.

334. Bir karenin iki tarafının denklemleri verildiğinde

4X -3en + 3 = 0, 4X-3en-17 = 0

ve zirvelerinden biri A(2; -3). Bu karenin diğer iki tarafının denklemlerini yazın.

335. Bir karenin iki tarafının denklemleri verildiğinde

5X+12en-10 = 0, 5X+12en+29 = 0.

Diğer iki tarafı için denklemleri yazın, şu şartla ki nokta M 1(-3; 5) bu karenin kenarında yer alır.

336. Nokta sapmaları M doğrudan

5X-12en-13=0 ve 3 X -4en-19 = 0

sırasıyla -3 ve -5'e eşittir. Noktanın koordinatlarını belirleyin. M.

337. Bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazın P(-2; 3) noktalardan eşit uzaklıkta A(5; -1) ve İÇİNDE(3; 7).

338. İki paralel çizgiye eşit uzaklıktaki noktaların yeri için bir denklem oluşturun:

1) 3X- en+ 7 = 0, 2) X - 2en + 3 = 0, 3) 5X - 2en - 6 = 0,

3X- en- 3 = 0; X -2en + 7 = 0; X-4у + 3 = 0.

339. Kesişen iki çizginin oluşturduğu açıların açıortaylarının denklemlerini yazın:

1) X - 3en + 5 = 0, 2) X - 2en - 3 = 0, 3) 3X + 4en - 1 = 0,

3X-en -2 = 0; 2X + 4en + 7 = 0; 5X+ 12en - 2 = 0.

340. Bir noktadan geçen doğruların denklemlerini yazın R(2; -1) ve düz çizgilerle birlikte

2X- en + 5 = 0, 3X + 6en - 1 = 0

ikizkenar üçgenler oluşturur.

341. Bir noktanın bulunup bulunmadığını belirleyin M(1; -2) ve koordinatların kökeni bir, bitişik veya dikey köşeler iki düz çizginin kesişmesiyle oluşan:

1) 2X-en -5 = 0, 2) 4X+3en-10 = 0, 3) X - 2en- 1=0,

3X+en+10 = 0; 12X-5en -5 = 0; 3X-en -2 = 0.

342. Noktaların yalan olup olmadığını belirleyin M(2; 3) ve N(5; -1) iki düz çizginin kesişmesiyle oluşan bitişik veya dikey açılarda birinde:

1) X-3en-5 = 0, 2)2X+7en -5 = 0, 3) 12X+en- 1=0,

2X+9en -2 = 0; X + 3en + 7 = 0; 13X + 2en-5 = 0.

343. Kenarları denklemlerle verilen üçgenin kökeninin içinde mi yoksa dışında mı olduğunu belirleyin

7X -5en-11=0, 8X+ 3en+ 31=0, X + 8en-19 = 0.

344. Bir noktanın bulunup bulunmadığını belirleyin M(- 3; 2) kenarları denklemlerle verilen bir üçgenin içinde veya dışında

X + en -4 = 0, 3X - 7en + 8 = 0, 4X - en - 31 = 0.

345. İki düz çizginin oluşturduğu açılardan hangisinin dar veya geniş olduğunu belirleyin

3X - 2en + 5 = 0 ve 2 X + en - 3 = 0,

kökenini içerir.

346. İki düz çizginin oluşturduğu açılardan hangisinin dar veya geniş olduğunu belirleyin

3X -5en-4 = 0 ve X + 2en + 3 = 0,

bir nokta içerir M(2; - 5).

347. 3. doğrular arasındaki açının açı ortayını bulmak için bir denklem yazınız X-y... 4= 0 ve 2 X+6en+3 = 0, koordinatların orijininin bulunduğu yerdir.

348.

X-7y+5= 0, 5x+ 5y... 3 = 0,

orijini içeren açıya bitişiktir.

349. Doğrular arasındaki açının açıortayını bulmak için bir denklem yazın X + 2en-11 = 0 ve 3 X - 6en- 5 = 0, noktanın bulunduğu yer M(1;-3).

350. Doğrular arasındaki açının açıortayını bulmak için bir denklem yazın

2X - 3en - 5 = 0, 6X - 4en+ 7 = Ah,

noktayı içeren açıya bitişik C(2;-1).

351. Açıortay denklemini yazın dar açı iki düz çizgiden oluşan

3X+4sen -5 = 0, 5X-12en+3 = 0.

352. Açıortay denklemini yazın geniş açı iki düz çizgiden oluşan X- 3en+ 5 = 0, 3X- en+15 = 0.