Derece ve özellikleri. Kapsamlı rehber (2019)
Derecelere neden ihtiyaç duyulur? Onlara nerede ihtiyacınız olacak? Bunları incelemek için neden zaman ayırmalısınız?
Dereceler hakkında her şeyi, ne işe yaradıklarını, bilginizi eğitimde nasıl kullanacağınızı öğrenmek için Gündelik Yaşam bu makaleyi okuyun.
Ve elbette derece bilgisi sizi başarıya yaklaştıracaktır OGE'yi geçmek veya Birleşik Devlet Sınavı ve hayallerinizdeki üniversiteye kabul.
Hadi gidelim, hadi gidelim!)
Önemli Not! Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Bunu yapmak için CTRL+F5 (Windows'ta) veya Cmd+R (Mac'te) tuşlarına basın.
İLK SEVİYE
Bir güce yükselmek aynıdır matematiksel operasyon toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi.
Şimdi her şeyi açıklayacağım insan diliçok basit örnekler. Dikkat olmak. Örnekler basit ama önemli şeyleri açıklıyor.
Eklemeyle başlayalım.
Burada açıklanacak bir şey yok. Zaten her şeyi biliyorsun: sekiz kişiyiz. Herkesin iki şişe kolası var. Ne kadar kola var? Bu doğru - 16 şişe.
Şimdi çarpma.
Kola ile aynı örneği farklı şekilde yazabiliriz: . Matematikçiler kurnaz ve tembel insanlardır. Önce bazı kalıpları fark ediyorlar, sonra bunları daha hızlı "saymanın" bir yolunu buluyorlar. Bizim durumumuzda sekiz kişiden her birinin aynı sayıda kola şişesine sahip olduğunu fark ettiler ve çarpma adı verilen bir teknik geliştirdiler. Katılıyorum, bundan daha kolay ve daha hızlı kabul ediliyor.
Yani daha hızlı, daha kolay ve hatasız saymak için sadece şunu hatırlamanız gerekir: çarpım tablosu. Elbette her şeyi daha yavaş, daha zor ve hatalarla yapabilirsiniz! Ancak…
İşte çarpım tablosu. Tekrarlamak.
Ve bir tane daha, daha güzeli:
Tembel matematikçiler başka hangi zekice sayma hilelerini buldular? Sağ - bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek.
Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek
Bir sayıyı kendisiyle beş kez çarpmak gerekiyorsa matematikçiler bu sayının beşinci kuvvetine çıkarmanız gerektiğini söylerler. Örneğin, . Matematikçiler ikinin beşinci kuvvetinin... Ve bu tür sorunları kafalarında çözüyorlar - daha hızlı, daha kolay ve hatasız.
Tek yapmanız gereken sayıların kuvvetleri tablosunda neyin renkli olarak vurgulandığını hatırlayın. İnanın bu hayatınızı çok kolaylaştıracak.
Bu arada neden ikinci derece deniyor? kare sayılar ve üçüncüsü - küp? Bu ne anlama geliyor? Çok iyi soru. Artık hem karelere hem de küplere sahip olacaksınız.
Gerçek hayattan örnek #1
Sayının karesi veya ikinci kuvvetiyle başlayalım.
Bir metreye bir metre ölçülerinde kare bir havuz hayal edin. Havuz sizin kulübenizde. Hava sıcak ve gerçekten yüzmek istiyorum. Ama... havuzun dibi yok! Havuzun altını fayanslarla kaplamanız gerekiyor. Kaç tane fayansa ihtiyacınız var? Bunu belirlemek için havuzun taban alanını bilmeniz gerekir.
Havuzun tabanının metre metre küplerden oluştuğunu parmağınızla işaret ederek kolayca hesaplayabilirsiniz. Bir metreye bir metrelik fayanslarınız varsa parçalara ihtiyacınız olacaktır. Çok kolay... Peki bu tür fayansları nerede gördünüz? Fayans büyük olasılıkla cm x cm olacak ve sonra "parmağınızla sayarak" işkence göreceksiniz. O zaman çoğalmanız gerekir. Böylece havuzun tabanının bir tarafına fayans (parçalar), diğer tarafına da fayans yerleştireceğiz. İle çarptığınızda fayans () elde edersiniz.
Havuz tabanının alanını belirlemek için aynı sayıyı kendisiyle çarptığımızı fark ettiniz mi? Bu ne anlama geliyor? Aynı sayıyı çarptığımız için “üs alma” tekniğini kullanabiliriz. (Elbette, yalnızca iki sayınız olduğunda, yine de bunları çarpmanız veya bir üssüne çıkarmanız gerekir. Ancak sayıların çoğuna sahipseniz, o zaman onları bir üssüne yükseltmek çok daha kolaydır ve ayrıca hesaplamalarda daha az hata olur. . Birleşik Devlet Sınavı için bu çok önemlidir).
Yani otuz üzeri ikinci kuvvet () olacaktır. Ya da otuzun karesi olacak diyebiliriz. Başka bir deyişle, bir sayının ikinci kuvveti her zaman kare olarak gösterilebilir. Ve tam tersi, eğer bir kare görürseniz, bu HER ZAMAN bir sayının ikinci kuvvetidir. Kare, bir sayının ikinci kuvvetinin görüntüsüdür.
Gerçek hayattan örnek #2
İşte size bir görev: Sayının karesini kullanarak satranç tahtasında kaç kare olduğunu sayın... Hücrelerin bir tarafında ve diğer tarafında da. Sayılarını hesaplamak için sekizi sekizle çarpmanız gerekir veya... eğer satranç tahtasının bir kenarı olan bir kare olduğunu fark ederseniz, o zaman sekizin karesini alabilirsiniz. Hücre alacaksınız. () Bu yüzden?
Gerçek hayattan örnek #3
Şimdi bir sayının küpü veya üçüncü kuvveti. Aynı havuz. Ama şimdi bu havuza ne kadar su dökülmesi gerektiğini öğrenmeniz gerekiyor. Hacmi hesaplamanız gerekir. (Bu arada hacimler ve sıvılar ölçülür metreküp. Beklenmedik değil mi?) Bir havuz çizin: bir metre ölçen bir taban ve bir metre derinlik ve havuzunuza bir metreye bir metre ölçen kaç küpün sığacağını saymaya çalışın.
Sadece parmağınızı doğrultun ve sayın! Bir, iki, üç, dört...yirmi iki, yirmi üç...Kaç tane aldın? Kayıp değil? Parmağınızla saymak zor mu? Böylece! Matematikçilerden bir örnek alın. Tembeller, bu yüzden havuzun hacmini hesaplamak için uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini birbiriyle çarpmanız gerektiğini fark ettiler. Bizim durumumuzda havuzun hacmi küplere eşit olacaktır... Daha kolay değil mi?
Şimdi bunu da basitleştirirlerse matematikçilerin ne kadar tembel ve kurnaz olacağını hayal edin. Her şeyi tek bir eyleme indirgedik. Uzunluk, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğunu ve aynı sayının kendisiyle çarpıldığını fark ettiler... Bu ne anlama geliyor? Bu, derecenin avantajlarından yararlanabileceğiniz anlamına gelir. Yani bir zamanlar parmağınızla saydığınız şeyi tek bir hareketle yapıyorlar: Üçün küpü eşittir. Şu şekilde yazılmıştır: .
Geriye kalan tek şey derece tablosunu hatırla. Tabii matematikçiler kadar tembel ve kurnaz değilseniz. Çok çalışmayı ve hata yapmayı seviyorsanız parmağınızla saymaya devam edebilirsiniz.
Nihayet sizi derecelerin pes edenler ve kurnaz insanlar tarafından kendi sorunlarını çözmek için icat edildiğine ikna etmek için hayat problemleri ve size sorun yaratmamak için işte hayattan birkaç örnek daha.
Gerçek hayattan örnek #4
Bir milyon rublen var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık bir milyon daha kazanırsınız. Yani, sahip olduğunuz her milyon, her yılın başında iki katına çıkar. Yıllar içinde ne kadar paranız olacak? Eğer şimdi oturuyorsanız ve "parmağınızla sayıyorsanız" bu çok iyi olduğunuz anlamına gelir. Çalışkan adam ve aptal. Ama büyük olasılıkla birkaç saniye içinde cevap vereceksiniz çünkü akıllısınız! Yani, ilk yılda - iki çarpı iki... ikinci yılda - ne oldu, ikiyle daha, üçüncü yılda... Durun! Sayının kendisi ile çarpıldığını fark ettiniz. Yani ikinin beşinci kuvveti bir milyondur! Şimdi hayal edin, bir yarışmanız var ve en hızlı sayabilen bu milyonları alacak... Sayıların kuvvetlerini hatırlamakta fayda var değil mi?
Gerçek hayattan örnek #5
Bir milyonun var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık iki tane daha kazanırsınız. Harika değil mi? Her milyon üçe katlanır. Bir yılda ne kadar paran olacak? Hadi sayalım. İlk yıl - çarpın, sonra sonucu başka biriyle çarpın... Zaten sıkıcı, çünkü zaten her şeyi anladınız: üç, kendisiyle çarpılır. Yani dördüncü kuvveti bir milyona eşittir. Sadece üçün dördüncü kuvvetinin veya olduğunu hatırlamanız gerekiyor.
Artık bir sayıyı bir kuvvete yükselterek hayatınızı çok daha kolaylaştıracağınızı biliyorsunuz. Derecelerle neler yapabileceğinize ve bunlar hakkında bilmeniz gerekenlere daha detaylı bir göz atalım.
Terimler ve kavramlar... kafanızın karışmaması için
O halde öncelikle kavramları tanımlayalım. Ne düşünüyorsun, üs nedir? Çok basit; sayının kuvvetinin "en üstünde" olan sayıdır. Bilimsel değil ama açık ve hatırlanması kolay...
Peki aynı zamanda ne böyle bir derece temeli? Daha da basit - bu, tabanda aşağıda bulunan sayıdır.
İşte iyi bir önlem için bir çizim.
Peki Genel görünüm, genelleme yapmak ve daha iyi hatırlamak adına... Tabanı " " ve üssü " " olan derece, "dereceye" olarak okunur ve şu şekilde yazılır:
c sayısının kuvveti doğal gösterge
Muhtemelen zaten tahmin etmişsinizdir: çünkü üs bir doğal sayıdır. Evet ama nedir bu doğal sayı? İlköğretim! Doğal sayılar, nesneleri sıralarken saymada kullanılan sayılardır: bir, iki, üç... Nesneleri sayarken “eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” demeyiz. Ayrıca “üçte bir” ya da “sıfır nokta beş” demiyoruz. Bunlar doğal sayılar değil. Sizce bunlar hangi rakamlar?
“Eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” gibi sayılar bütün sayılar. Genel olarak tamsayılar, tüm doğal sayıları, doğal sayıların karşısındaki sayıları (yani eksi işaretiyle alınan) ve sayıları içerir. Sıfırın anlaşılması kolaydır; hiçbir şeyin olmadığı zamandır. Negatif (“eksi”) sayılar ne anlama geliyor? Ancak bunlar öncelikle borçları belirtmek için icat edildi: Telefonunuzda ruble cinsinden bakiyeniz varsa, bu, operatöre ruble borçlu olduğunuz anlamına gelir.
Tüm kesirler rasyonel sayılar. Sizce nasıl ortaya çıktılar? Çok basit. Birkaç bin yıl önce atalarımız eksiklerinin olduğunu keşfettiler. doğal sayılar uzunluk, ağırlık, alan vb. ölçmek için. Ve şunu buldular rasyonel sayılar... İlginç, değil mi?
Biraz daha var mı irrasyonel sayılar. Bu sayılar nedir? Kısacası sonsuz ondalık. Örneğin bir dairenin çevresini çapına bölerseniz irrasyonel bir sayı elde edersiniz.
Özet:
Üssü doğal sayı (yani tamsayı ve pozitif) olan derece kavramını tanımlayalım.
- Herhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir:
- Bir sayının karesini almak, onu kendisiyle çarpmak anlamına gelir:
- Bir sayının küpü, onu kendisiyle üç kez çarpmak anlamına gelir:
Tanım. Sayıyı yükseltin doğal derece- bir sayının kendisi ile çarpılması anlamına gelir:
.
Derecelerin özellikleri
Bu özellikler nereden geldi? Şimdi sana göstereceğim.
Bakalım: nedir bu Ve ?
A-tarikatı:
Toplamda kaç çarpan var?
Çok basit: Faktörlere çarpanlar ekledik ve sonuç çarpanlardı.
Ancak tanım gereği bu, üslü bir sayının kuvvetidir, yani: kanıtlanması gereken şey budur.
Örnek: Ifadeyi basitleştir.
Çözüm:
Örnek: Ifadeyi basitleştir.
Çözüm: Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebepler olmalı!
Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:
sadece güçlerin ürünü için!
Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.
2. işte bu bir sayının kuvveti
Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:
İfadenin kendisi ile çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:
Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız:
Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik?
Ama sonuçta bu doğru değil.
Negatif tabanlı güç
Buraya kadar sadece üssün ne olması gerektiğini tartıştık.
Ama temeli ne olmalı?
yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara. Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz.
Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif derecelere sahip olacağını düşünelim ve negatif sayılar?
Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ? İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.
Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ama eğer çarparsak işe yarar.
Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Becerebildin mi?
İşte yanıtlar: İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Basitçe tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir.
Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).
Örnek 6) artık o kadar basit değil!
Uygulamaya yönelik 6 örnek
Çözümün analizi 6 örnek
Sekizinci kuvveti göz ardı edersek burada ne görürüz? 7. sınıf programını hatırlayalım. Peki hatırlıyor musun? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkıdır! Şunu elde ederiz:
Paydaya dikkatlice bakalım. Pay faktörlerinden birine çok benziyor ama sorun ne? Terimlerin sırası yanlış. Tersine çevrilmeleri durumunda kural geçerli olabilir.
Peki bunu nasıl yapmalı? Bunun çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.
Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu “olgu” her ifade için eşit derecede geçerlidir: Parantez içindeki işaretleri kolaylıkla değiştirebiliriz.
Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!
Örneğe geri dönelim:
Ve yine formül:
Tüm doğal sayılara, onların karşıtlarına (yani " " işaretiyle alınanlara) ve sayı diyoruz.
pozitif tamsayı ve doğal olandan hiçbir farkı yok, o zaman her şey tam olarak önceki bölümdeki gibi görünüyor.
Şimdi yeni vakalara bakalım. Eşit bir göstergeyle başlayalım.
Herhangi bir sayı sıfır derece bire eşit:
Her zaman olduğu gibi kendimize şu soruyu soralım: Neden böyle?
Bir tabanı olan bir dereceyi düşünelim. Örneğin şunu alın ve şununla çarpın:
Yani sayıyı ile çarptık ve - ile aynı sonucu elde ettik. Hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayıyla çarpmanız gerekir? Aynen öyle. Araç.
Aynısını isteğe bağlı bir sayıyla da yapabiliriz:
Kuralı tekrarlayalım:
Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir.
Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da orada - bu bir sayıdır (temel olarak).
Bir yandan herhangi bir dereceye eşit olmalıdır - sıfırı kendisiyle ne kadar çarparsanız çarparsanız çarpın yine sıfır elde edersiniz, bu açık. Ancak öte yandan herhangi bir sayının sıfır üssü gibi eşit olması gerekir. Peki bunların ne kadarı doğru? Matematikçiler bu işe karışmamaya karar verdiler ve sıfırın sıfır kuvvetini yükseltmeyi reddettiler. Yani artık sadece sıfıra bölmekle kalmıyoruz, aynı zamanda sıfırıncı kuvvetine de çıkarıyoruz.
Hadi devam edelim. Tam sayılar, doğal sayılar ve sayıların yanı sıra negatif sayıları da içerir. Negatif derecenin ne olduğunu anlamak için şu şekilde yapalım: son kez: biraz çarpın normal sayı aynı derecede olumsuz derecede:
Buradan aradığınızı ifade etmek kolaydır:
Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişletelim:
O halde bir kural oluşturalım:
Bir sayının negatif kuvveti aynı sayının tersidir pozitif derece. Ama aynı zamanda Taban boş olamaz:(çünkü bölemezsiniz).
Özetleyelim:
I. İfade durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.
II. Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir: .
III. Sayı değil sıfıra eşit, negatif derecede, aynı sayının pozitif derecede tersidir: .
Bağımsız çözüm için görevler:
Her zamanki gibi bağımsız çözümlere örnekler:
Bağımsız çözüm için problemlerin analizi:
Biliyorum, rakamlar korkutucu ama Birleşik Devlet Sınavında her şeye hazırlıklı olmalısınız! Bu örnekleri çözün veya çözemediyseniz çözümlerini inceleyin, sınavda bunlarla kolayca baş etmeyi öğreneceksiniz!
Üslü olarak “uygun” sayı aralığını genişletmeye devam edelim.
Şimdi düşünelim rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?
Cevap: Kesir olarak temsil edilebilecek her şey, burada ve tam sayıdır ve.
Ne olduğunu anlamak için "kesirli derece", kesri düşünün:
Denklemin her iki tarafının da üssünü alalım:
Şimdi şu kuralı hatırlayalım: "dereceden dereceye":
Almak için hangi sayının bir güce yükseltilmesi gerekir?
Bu formülasyon inci derecenin kökünün tanımıdır.
Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () inci kuvvetinin kökü, bir kuvvete yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.
Yani, inci kuvvetin kökü, bir kuvvete yükseltme işleminin ters işlemidir: .
Şekline dönüştü. Açıkçası bu özel durum genişletilebilir: .
Şimdi payı ekliyoruz: nedir bu? Güç-güç kuralını kullanarak cevabı elde etmek kolaydır:
Peki taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta tüm sayıların kökü çıkarılamaz.
Hiçbiri!
Kuralı hatırlayalım: Çift kuvvete yükseltilen herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani negatif sayılardan çift kök çıkarmak imkansızdır!
Bu, bu tür sayıların çift paydayla kesirli kuvvetine yükseltilemeyeceği, yani ifadenin anlamlı olmadığı anlamına gelir.
Peki ya ifade?
Ancak burada bir sorun ortaya çıkıyor.
Bir sayı, örneğin veya gibi diğer indirgenebilir kesirler olarak temsil edilebilir.
Ve var olduğu ortaya çıktı ama yok, ama bunlar sadece iki farklı girişler aynı numara.
Veya başka bir örnek: Bir kez, sonra yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı yazarsak başımız yine belaya girer: (yani tamamen farklı bir sonuç elde ettik!).
Bu tür paradokslardan kaçınmak için şunu düşünüyoruz: kesirli üslü tek pozitif tabanlı üs.
Yani eğer:
- - doğal sayı;
- - tamsayı;
Örnekler:
Dereceler rasyonel gösterge Kökleri olan ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:
Uygulamaya yönelik 5 örnek
Eğitim için 5 örneğin analizi
Eh, şimdi en zor kısım geliyor. Şimdi çözeceğiz derece c irrasyonel gösterge .
Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, istisna dışında, rasyonel üslü bir dereceyle tamamen aynıdır.
Sonuçta, tanım gereği irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani, irrasyonel sayıların rasyonel olanlar dışında tümü gerçek sayılardır).
Doğal, tam sayı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her defasında daha tanıdık terimlerle belirli bir "imge", "analoji" veya açıklama yarattık.
Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;
...sayının sıfırıncı kuvveti- bu, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirli bir "boş sayıdır" yani bir sayı;
...negatif tamsayı derecesi- sanki bir şey olmuş gibi " ters süreç"yani sayı kendisiyle çarpılmadı, bölündü.
Bu arada, bilimde bir derece karmaşık gösterge yani gösterge gerçek bir sayı bile değil.
Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.
NEREYE GİDECEĞİNİZDEN EMİN OLDUĞUMUZ! (bu tür örnekleri çözmeyi öğrenirseniz :))
Örneğin:
Kendin için karar ver:
Çözümlerin analizi:
1. Bir gücü bir güce yükseltmek için olağan kuralla başlayalım:
Şimdi göstergeye bakın. Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu? Kareler farkının kısaltılmış çarpımı formülünü hatırlayalım:
İÇİNDE bu durumda,
Şekline dönüştü:
Cevap: .
2. Üslü kesirleri aynı forma indirgeriz: ya her iki ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz:
Cevap: 16
3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini kullanıyoruz:
İLERİ DÜZEY
Derecenin belirlenmesi
Derece, şu formun bir ifadesidir: , burada:
- — derece tabanı;
- - üs.
Doğal göstergeli derece (n = 1, 2, 3,...)
Bir sayıyı n'nin doğal kuvvetine yükseltmek, sayıyı kendisi ile çarpmak anlamına gelir:
Tam sayı üssü olan derece (0, ±1, ±2,...)
Üs ise pozitif tamsayı sayı:
Yapı sıfır dereceye kadar:
İfade belirsizdir, çünkü bir yanda herhangi bir dereceye kadar bu, diğer yanda ise herhangi bir sayının 1. derecesine kadar bu olur.
Üs ise negatif tamsayı sayı:
(çünkü bölemezsiniz).
Bir kez daha sıfırlar hakkında: ifade bu durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.
Örnekler:
Rasyonel üslü kuvvet
- - doğal sayı;
- - tamsayı;
Örnekler:
Derecelerin özellikleri
Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için şunu anlamaya çalışalım: Bu özellikler nereden geldi? Bunları kanıtlayalım.
Bakalım: nedir ve?
A-tarikatı:
Yani bu ifadenin sağ tarafında aşağıdaki çarpımı elde ederiz:
Ancak tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir, yani:
Q.E.D.
Örnek : Ifadeyi basitleştir.
Çözüm : .
Örnek : Ifadeyi basitleştir.
Çözüm : Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebepler olmalı. Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:
Bir başka önemli not: bu kural - yalnızca güçlerin ürünü için!
Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.
Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:
Bu çalışmayı şu şekilde yeniden gruplayalım:
İfadenin kendisi ile çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:
Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız: !
Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik? Ama sonuçta bu doğru değil.
Negatif tabanlı güç.
Bu noktaya kadar sadece nasıl olması gerektiğini tartıştık. dizin derece. Ama temeli ne olmalı? yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara .
Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?
Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ?
İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.
Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ancak () ile çarparsak - elde ederiz.
Ve bu böyle sonsuza kadar devam eder: Sonraki her çarpmada işaret değişecektir. Aşağıdakileri formüle edebiliriz Basit kurallar:
- eşit derece, - sayı pozitif.
- Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
- Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
- Sıfırın herhangi bir kuvveti sıfıra eşittir.
Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Becerebildin mi? İşte yanıtlar:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Basitçe tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.
Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir. Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).
Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsak, tabanın sıfırdan küçük olduğu anlaşılır. Yani kural 2'yi uyguluyoruz: sonuç negatif olacak.
Ve yine derecenin tanımını kullanıyoruz:
Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıp bunları birbirine bölüyoruz, çiftlere ayırıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
Onu ayırmadan önce son kural, birkaç örnek çözelim.
İfadeleri hesaplayın:
Çözümler :
Sekizinci kuvveti göz ardı edersek burada ne görürüz? 7. sınıf programını hatırlayalım. Peki hatırlıyor musun? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkıdır!
Şunu elde ederiz:
Paydaya dikkatlice bakalım. Pay faktörlerinden birine çok benziyor ama sorun ne? Terimlerin sırası yanlış. Eğer bunlar tersine çevrilseydi kural 3 geçerli olabilirdi. Ama nasıl? Bunun çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.
Bunu çarparsanız hiçbir şey değişmez, değil mi? Ama şimdi durum şu şekilde ortaya çıkıyor:
Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu “olgu” her ifade için eşit derecede geçerlidir: Parantez içindeki işaretleri kolaylıkla değiştirebiliriz. Ancak şunu hatırlamak önemlidir: Tüm işaretler aynı anda değişir! Hoşumuza gitmeyen tek bir dezavantajı değiştirerek onu değiştiremezsiniz!
Örneğe geri dönelim:
Ve yine formül:
Şimdi son kural:
Bunu nasıl kanıtlayacağız? Elbette her zamanki gibi: Derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:
Şimdi parantezleri açalım. Toplamda kaç harf var? çarpanlara göre çarpı - bu size neyi hatırlatıyor? Bu bir operasyonun tanımından başka bir şey değil çarpma işlemi: Orada sadece çarpanlar vardı. Yani, tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir:
Örnek:
İrrasyonel üslü derece
Ortalama seviye için derecelerle ilgili bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir üsle analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, rasyonel üslü bir derece ile tamamen aynıdır; ancak, sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani irrasyonel sayılar, rasyonel sayılar dışında tüm gerçek sayılardır).
Doğal, tam sayı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her defasında daha tanıdık terimlerle belirli bir "imge", "analoji" veya açıklama yarattık. Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır üssü bir sayı, olduğu gibi, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının kendisinin henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirlidir “boş sayı”, yani bir sayı; tamsayı negatif üssü olan bir derece - sanki bir tür "ters süreç" gerçekleşmiş gibi, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.
İrrasyonel bir üste sahip bir dereceyi hayal etmek son derece zordur (tıpkı 4 boyutlu bir uzayı hayal etmenin zor olması gibi). Oldukça temiz matematiksel nesne matematikçilerin derece kavramını tüm sayılar uzayına yaymak için yarattığı.
Bu arada, bilimde karmaşık üslü bir derece sıklıkla kullanılır, yani üs gerçek bir sayı bile değildir. Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.
Peki irrasyonel bir üs görürsek ne yaparız? Bundan kurtulmak için elimizden geleni yapıyoruz :)
Örneğin:
Kendin için karar ver:
| 1) | 2) | 3) |
Yanıtlar:
- Kareler farkı formülünün farkını hatırlayalım. Cevap: .
- Kesirleri aynı forma indirgeriz: ya her ikisi de ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz: .
- Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini kullanıyoruz:
BÖLÜMÜN ÖZETİ VE TEMEL FORMÜLLER
Derece formun ifadesi olarak adlandırılır: , burada:
Tamsayı üssü olan derece
üssü bir doğal sayı olan (yani tamsayı ve pozitif) bir derece.
Rasyonel üslü kuvvet
Üssü negatif ve kesirli sayılar olan derece.
İrrasyonel üslü derece
üssü sonsuz bir ondalık kesir veya kök olan bir derece.
Derecelerin özellikleri
Derecelerin özellikleri.
- Negatif sayı yükseltildi eşit derece, - sayı pozitif.
- Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
- Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
- Sıfır herhangi bir kuvvete eşittir.
- Herhangi bir sayının sıfır kuvveti eşittir.
ARTIK SÖZ SİZDE...
Makaleyi nasıl buldunuz? Beğenip beğenmediğinizi aşağıya yorum olarak yazın.
Derece özelliklerini kullanma deneyiminizi bize anlatın.
Belki sorularınız vardır. Veya öneriler.
Yorumlara yazın.
Ve sınavlarınızda iyi şanslar!
İfadeler, ifade dönüşümü
Güç ifadeleri(güçlü ifadeler) ve dönüşümleri
Bu yazımızda üslü ifadelerin dönüştürülmesinden bahsedeceğiz. Öncelikle parantez açma, benzer terimleri getirme gibi kuvvet ifadeleri de dahil olmak üzere her türlü ifadeyle gerçekleştirilen dönüşümlere odaklanacağız. Daha sonra özellikle dereceli ifadelerin doğasında olan dönüşümleri analiz edeceğiz: taban ve üsle çalışmak, derecelerin özelliklerini kullanmak vb.
Sayfada gezinme.
Güç ifadeleri nelerdir?
“Güç ifadeleri” terimi neredeyse hiç kullanılmıyor okul ders kitapları matematik, ancak problem koleksiyonlarında, özellikle de Birleşik Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlık amaçlı olanlarda oldukça sık görülür. Güç ifadeleri ile herhangi bir eylemi gerçekleştirmenin gerekli olduğu görevler analiz edildikten sonra, güç ifadelerinin girişlerinde güç içeren ifadeler olarak anlaşıldığı ortaya çıkar. Bu nedenle aşağıdaki tanımı kendiniz için kabul edebilirsiniz:
Tanım.
Güç ifadeleri derece içeren ifadelerdir.
Hadi verelim güç ifadelerine örnekler. Ayrıca doğal üslü bir dereceden reel üslü bir dereceye doğru görüş gelişiminin nasıl gerçekleştiğine göre bunları sunacağız.
Bilindiği gibi ilk olarak doğal üslü bir sayının kuvvetiyle tanışılır; bu aşamada 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) tipindeki ilk basit kuvvet ifadeleri kullanılır. 4, 3 a 2 görünür −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 vb.
Biraz sonra, tamsayı üssü olan bir sayının kuvveti incelenir, bu da aşağıdaki gibi negatif tamsayı kuvvetlerine sahip kuvvet ifadelerinin ortaya çıkmasına neden olur: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
Lisede derecelere geri dönerler. Orada, karşılık gelen güç ifadelerinin ortaya çıkmasını gerektiren, rasyonel bir üslü bir derece tanıtılmıştır: 
, , 
ve benzeri. Son olarak irrasyonel üslü dereceler ve bunları içeren ifadeler ele alınır: , .
Konu, listelenen kuvvet ifadeleriyle sınırlı değildir: ayrıca değişken üs içine nüfuz eder ve örneğin aşağıdaki ifadeler ortaya çıkar: 2 x 2 +1 veya 
. Ve onu tanıdıktan sonra, kuvvetleri ve logaritmalarıyla ifadeler ortaya çıkmaya başlar, örneğin x 2·lgx −5·x lgx.
Böylece güç ifadelerinin neyi temsil ettiği sorusunu ele aldık. Daha sonra onları dönüştürmeyi öğreneceğiz.
Güç ifadelerinin ana dönüşüm türleri
Güç ifadeleri ile ifadelerin temel kimlik dönüşümlerinden herhangi birini gerçekleştirebilirsiniz. Örneğin parantezleri genişletebilir, değiştirebilirsiniz. sayısal ifadeler anlamlarını verin benzer terimler vesaire. Doğal olarak bu durumda eylemleri gerçekleştirmek için kabul edilen prosedüre uymak gerekir. Örnekler verelim.
Örnek.
2 3 ·(4 2 −12) kuvvet ifadesinin değerini hesaplayın.
Çözüm.
Eylemlerin gerçekleştirilme sırasına göre, önce parantez içindeki eylemleri gerçekleştirin. Burada öncelikle 4 2 kuvvetini 16 değeriyle değiştiriyoruz (gerekirse bkz.) ve ikinci olarak 16−12=4 farkını hesaplıyoruz. Sahibiz 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
Ortaya çıkan ifadede 2 3 kuvvetini 8 değeriyle değiştirip 8·4=32 sonucunu hesaplıyoruz. Bu istenen değerdir.
Bu yüzden, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Cevap:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Örnek.
İfadeleri güçlerle basitleştirin 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Çözüm.
Açıkça görülüyor ki bu ifade 3·a 4 ·b −7 ve 2·a 4 ·b −7 benzer terimleri içerir ve bunları verebiliriz: .
Cevap:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Örnek.
Bir ifadeyi güçlerle birlikte ürün olarak ifade edin.
Çözüm.
9 sayısını 3 2'nin kuvveti olarak temsil ederek ve ardından kısaltılmış çarpma formülünü (kareler farkı) kullanarak bu görevin üstesinden gelebilirsiniz: 
Cevap:
Ayrıca bir numara var kimlik dönüşümleri, özellikle güç ifadelerinin doğasında var. Bunları daha ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.
Taban ve üs ile çalışma
Tabanı ve/veya üssü yalnızca sayı veya değişken değil, bazı ifadelerden oluşan dereceler vardır. Örnek olarak (2+0.3·7) 5−3.7 ve (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) girişlerini veriyoruz.
Benzer ifadelerle çalışırken hem derece tabanındaki ifadeyi hem de üslü ifadeyi aynı şekilde değiştirebilirsiniz. eşit ifade değişkenlerinin ODZ'sinde. Yani bildiğimiz kurallara göre derecenin tabanını ayrı ayrı, üssünü ayrı ayrı dönüştürebiliriz. Bu dönüşüm sonucunda orijinal ifadeye tamamen eşit bir ifadenin elde edileceği açıktır.
Bu tür dönüşümler, ifadeleri güçlerle basitleştirmemize veya ihtiyaç duyduğumuz diğer hedeflere ulaşmamıza olanak tanır. Örneğin yukarıda bahsettiğimiz (2+0.3 7) 5−3.7 kuvvet ifadesinde taban ve üslerdeki sayılar ile işlemler gerçekleştirebilirsiniz, bu da 4.1 1.3 kuvvetine geçmenizi sağlayacaktır. Ve parantezleri açıp benzer terimleri (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) derecesinin tabanına getirdikten sonra bir kuvvet ifadesi daha elde ederiz. basit tip a 2·(x+1) .
Derece Özelliklerini Kullanma
İfadeleri güçlerle dönüştürmenin ana araçlarından biri, yansıtan eşitliklerdir. Başlıcalarını hatırlayalım. Herhangi bir pozitif a ve b sayısı ve keyfi için gerçek sayılar r ve s derecelerinin aşağıdaki özellikleri geçerlidir:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Doğal, tamsayı ve ayrıca olumlu göstergeler a ve b sayıları üzerindeki kısıtlama dereceleri o kadar katı olmayabilir. Örneğin, m ve n doğal sayıları için a m ·a n =a m+n eşitliği yalnızca pozitif a için değil, aynı zamanda negatif a ve a=0 için de doğrudur.
Okulda güç ifadelerini dönüştürürken asıl odak noktası, uygun özelliği seçme ve onu doğru şekilde uygulama becerisidir. Bu durumda, derecelerin tabanları genellikle pozitiftir ve bu da derecelerin özelliklerinin kısıtlama olmaksızın kullanılmasına olanak tanır. Aynı durum kuvvetler - alan bazındaki değişkenleri içeren ifadelerin dönüşümü için de geçerlidir. kabul edilebilir değerler değişkenler genellikle öyledir ki, temel yalnızca kabul edilir pozitif değerler derecelerin özelliklerini özgürce kullanmanıza olanak tanır. Genel olarak, bu durumda herhangi bir derece özelliğini kullanmanın mümkün olup olmadığını sürekli olarak kendinize sormanız gerekir, çünkü özelliklerin yanlış kullanımı eğitim değerinin daralmasına ve diğer sorunlara yol açabilir. Bu noktalar, derecelerin özelliklerini kullanarak ifadelerin dönüştürülmesi makalesinde ayrıntılı olarak ve örneklerle tartışılmaktadır. Burada kendimizi birkaç basit örneği ele almakla sınırlayacağız.
Örnek.
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ifadesini a tabanlı bir kuvvet olarak ifade edin.
Çözüm.
İlk olarak, bir kuvveti bir kuvvete yükseltme özelliğini kullanarak ikinci faktör (a 2) −3'ü dönüştürürüz: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Orijinal güç ifadesi a 2,5 ·a −6:a −5,5 formunu alacaktır. Açıkçası, güçlerin çarpma ve bölünmesi özelliklerini kullanmaya devam ediyor aynı temel, sahibiz
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Cevap:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Kuvvet ifadelerini dönüştürürken kuvvetlerin özellikleri hem soldan sağa hem de sağdan sola kullanılır.
Örnek.
Güç ifadesinin değerini bulun.
Çözüm.
Sağdan sola uygulanan (a·b) r =a r ·b r eşitliği, orijinal ifadeden formun bir çarpımına ve daha ileriye gitmemize olanak tanır. Ve aynı tabanlarla kuvvetleri çarparken üslerin toplamı şöyle olur: 
.
Orijinal ifadeyi başka bir şekilde dönüştürmek mümkündü: 
Cevap:
.
Örnek.
a 1,5 −a 0,5 −6 kuvvet ifadesi verildiğinde, yeni bir t=a 0,5 değişkeni ekleyin.
Çözüm.
a 1,5 derecesi, 0,5 3 olarak temsil edilebilir ve daha sonra, derecenin özelliğine bağlı olarak (a r) s =a r s derecesinin sağdan sola uygulanmasıyla (a 0,5) 3 biçimine dönüştürülebilir. Böylece, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Artık yeni bir değişken t=a 0,5 eklemek kolaydır, t 3 −t−6 elde ederiz.
Cevap:
t 3 −t−6 .
Üsleri içeren kesirleri dönüştürme
Kuvvet ifadeleri, kuvvetleri olan kesirleri içerebilir veya temsil edebilir. Herhangi bir türdeki kesirlerin doğasında bulunan kesirlerin temel dönüşümlerinden herhangi biri, bu kesirlere tamamen uygulanabilir. Yani, kuvvetleri içeren kesirler azaltılabilir, yeni bir paydaya indirgenebilir, paylarıyla ayrı ayrı ve paydayla ayrı ayrı çalışılabilir, vb. Bu kelimeleri açıklamak için birkaç örneğin çözümlerini düşünün.
Örnek.
Güç ifadesini basitleştirin 
.
Çözüm.
Bu güç ifadesi bir kesirdir. Pay ve paydasıyla çalışalım. Payda parantezleri açıyoruz ve kuvvetlerin özelliklerini kullanarak elde edilen ifadeyi basitleştiriyoruz ve paydada da benzer terimleri sunuyoruz: 
Ayrıca kesrin önüne eksi koyarak paydanın işaretini de değiştirelim: 
.
Cevap:
.
Üsleri içeren kesirlerin yeni bir paydaya indirgenmesi, yeni bir paydaya indirgemeyle aynı şekilde gerçekleştirilir. rasyonel kesirler. Bu durumda ek bir faktör daha bulunur ve kesrin pay ve paydası onunla çarpılır. Bu eylemi gerçekleştirirken, yeni bir paydaya indirgemenin VA'nın daralmasına yol açabileceğini hatırlamakta fayda var. Bunun olmasını önlemek için orijinal ifade için ODZ değişkenlerinden değişkenlerin herhangi bir değeri için ek faktörün sıfıra gitmemesi gerekir.
Örnek.
Kesirleri yeni bir paydaya azaltın: a) payda a, b)'ye 
paydaya.
Çözüm.
a) Bu durumda, hangi ek çarpanın elde edilmesine yardımcı olduğunu bulmak oldukça kolaydır. İstenen sonuç. a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a olduğundan bu 0,3'ün çarpanıdır. A değişkeninin izin verilen değerleri aralığında (bu, tüm pozitif gerçek sayıların kümesidir), 0,3'ün kuvvetinin kaybolmadığını, bu nedenle, belirli bir sayının payını ve paydasını çarpma hakkına sahip olduğumuzu unutmayın. bu ek faktöre göre kesir: 
b) Paydaya daha yakından baktığınızda şunu görürsünüz: 
ve bu ifadeyi ile çarpmak, küplerin toplamını ve yani, verecektir. Ve işte bu yeni payda, orijinal kesri buna azaltmamız gerekiyor.
Bu şekilde ek bir faktör bulduk. X ve y değişkenlerinin izin verilen değerleri aralığında ifade kaybolmaz, bu nedenle kesrin payını ve paydasını bununla çarpabiliriz: 
Cevap:
A) 
, B) 
.
Üs içeren kesirlerin azaltılmasında da yeni bir şey yoktur: pay ve payda bir dizi faktör olarak temsil edilir ve pay ve paydanın aynı faktörleri azaltılır.
Örnek.
Kesri azaltın: a) 
, B) .
Çözüm.
a) Öncelikle pay ve payda, 15'e eşit olan 30 ve 45 sayılarıyla azaltılabilir. Ayrıca x 0,5 +1 oranında ve şu oranda bir azaltmanın gerçekleştirilmesi de açıkça mümkündür: 
. İşte elimizde olanlar: 
b) Bu durumda pay ve paydadaki aynı çarpanlar hemen görülmez. Bunları elde etmek için ön dönüşümler yapmanız gerekecektir. Bu durumda, kareler farkı formülü kullanılarak paydanın çarpanlara ayrılmasından oluşur: 
Cevap:
A) 
B) 
.
Kesirleri yeni bir paydaya dönüştürmek ve kesirleri azaltmak esas olarak kesirlerle işlemler yapmak için kullanılır. Eylemler bilinen kurallara göre gerçekleştirilir. Kesirleri eklerken (çıkarırken), bunlar azaltılır ortak payda, bundan sonra paylar eklenir (çıkarılır), ancak payda aynı kalır. Sonuç, payı payların çarpımı olan ve paydası da paydaların çarpımı olan bir kesirdir. Bir kesirle bölme, onun tersiyle çarpma işlemidir.
Örnek.
Adımları takip et 
.
Çözüm.
Öncelikle parantez içindeki kesirleri çıkarıyoruz. Bunu yapmak için onları ortak bir paydada buluşturuyoruz. 
, bundan sonra payları çıkarıyoruz: 
Şimdi kesirleri çarpıyoruz: 
Açıkçası, x 1/2'lik bir kuvvetle azaltmak mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: 
.
Ayrıca kareler farkı formülünü kullanarak paydadaki kuvvet ifadesini basitleştirebilirsiniz: 
.
Cevap:
Örnek.
Güç İfadesini Basitleştirin 
.
Çözüm.
Açıkça, verilen kesir(x 2,7 +1) 2 kadar azaltılabilir, bu kesri verir 
. X'in yetkileriyle başka bir şeyin yapılması gerektiği açıktır. Bunu yapmak için ortaya çıkan fraksiyonu bir ürüne dönüştürüyoruz. Bu bize güçlerin aynı temellerle bölünmesi özelliğinden yararlanma fırsatını verir: 
. Ve sürecin sonunda hareket ediyoruz son iş bir kısmına kadar.
Cevap:
.
Ayrıca şunu da ekleyelim ki çarpanları kullanmanın mümkün olduğunu ve birçok durumda arzu edildiğini de belirtelim. olumsuz göstergeler dereceler paydan paydaya veya paydadan paya aktarılarak üssün işareti değiştirilir. Bu tür dönüşümler genellikle daha sonraki eylemleri basitleştirir. Örneğin, bir güç ifadesi ile değiştirilebilir.
Kökleri ve kuvvetleri olan ifadeleri dönüştürme
Çoğu zaman bazı dönüşümlerin gerekli olduğu ifadelerde kuvvetlerle birlikte kesirli üslü kökler de bulunur. Dönüştürmek benzer ifadeİstenilen forma ulaşmak için çoğu durumda yalnızca köklere veya yalnızca güçlere gitmek yeterlidir. Ancak güçlerle çalışmak daha uygun olduğundan genellikle köklerden güçlere doğru hareket ederler. Bununla birlikte, orijinal ifadeye ilişkin değişkenlerin ODZ'si, modüle başvurmaya veya ODZ'yi birkaç aralığa bölmeye gerek kalmadan kökleri güçlerle değiştirmenize izin verdiğinde böyle bir geçişin gerçekleştirilmesi tavsiye edilir (bunu daha önce ayrıntılı olarak tartıştık). makale köklerden kuvvetlere ve geriye geçiş Rasyonel üslü dereceyle tanıştıktan sonra irrasyonel üslü bir derece tanıtılır, bu da keyfi bir gerçek üslü bir dereceden bahsetmemize olanak tanır. Bu aşamada, oluşmaya başlar. okulda okudu. üstel fonksiyon tabanı bir sayı ve üssü bir değişken olan bir kuvvet tarafından analitik olarak verilir. Böylece kuvvet tabanında sayılar ve üslü ifadelerde değişken içeren kuvvet ifadeleriyle karşı karşıya kalıyoruz ve doğal olarak bu tür ifadelerin dönüşümlerini gerçekleştirme ihtiyacı doğuyor.
İfadeleri dönüştürdüğü söylenmelidir. belirtilen tür genellikle çözerken yapılması gerekir üstel denklemler Ve üstel eşitsizlikler ve bu dönüşümler oldukça basittir. Vakaların büyük çoğunluğunda derecenin özelliklerine dayanırlar ve çoğunlukla gelecekte yeni bir değişken getirmeyi amaçlarlar. Denklem onları göstermemize izin verecek 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
İlk olarak, üsleri belirli bir değişkenin (veya değişkenli ifadenin) ve bir sayının toplamı olan üslerin yerini ürünler alır. Bu, sol taraftaki ifadenin ilk ve son terimleri için geçerlidir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Daha sonra, eşitliğin her iki tarafı, orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sinde yalnızca pozitif değerler alan 7 2 x ifadesine bölünür (bu, bu tür denklemleri çözmek için standart bir tekniktir, biz değiliz) Şimdi bunun hakkında konuşuyoruz, bu yüzden ifadelerin güçlerle sonraki dönüşümlerine odaklanın): 
Artık kesirlerin kuvvetlerini iptal edebiliriz, bu da şunu verir: 
.
Son olarak güçlerin oranı aynı göstergeler yerini ilişkilerin güçleri alır, bu da denkleme yol açar 
, eşdeğerdir 
. Yapılan dönüşümler, çözümü orijinale indirgeyen yeni bir değişken eklememize olanak tanır. üstel denklem ikinci dereceden bir denklemi çözmek için
Üssü olan sayıların da diğer nicelikler gibi toplanabileceği açıktır. , işaretleriyle birlikte birbiri ardına ekleyerek.
Yani a 3 ile b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür.
Oranlar eşit dereceözdeş değişkenler eklenebilir veya çıkarılabilir.
Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'ye eşittir.
Ayrıca iki kare a, üç kare a veya beş kare a alırsanız da açıktır.
Ama derece çeşitli değişkenler Ve çeşitli dereceler özdeş değişkenler, işaretleriyle birlikte eklenerek oluşturulmalıdır.
Yani 2 ile 3'ün toplamı 2 + a 3'ün toplamıdır.
A'nın karesi ve a'nın küpünün, a'nın karesinin iki katına değil, a'nın küpünün iki katına eşit olduğu açıktır.
a 3 b n ile 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.
Çıkarma kuvvetler toplama işlemiyle aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak çıkanların işaretlerinin buna göre değiştirilmesi gerekir.
Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 sa 2 b 6 - 4 sa 2 b 6 = - sa 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Çarpan güçler
Üssü olan sayılar da diğer nicelikler gibi, aralarında çarpım işareti olsun ya da olmasın, arka arkaya yazılarak çarpılabilir.
Dolayısıyla a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb olur.
Veya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Sonuç olarak son örneközdeş değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekli alacaktır: a 5 b 5 y 3.
Birkaç sayıyı (değişkeni) üslerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpıldığında sonucun kuvveti eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. miktar terimlerin dereceleri.
Yani a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaaa = a 5 .
Burada 5, çarpma sonucunun kuvvetidir; terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşittir.
Yani a n .a m = a m+n .
Bir n için a, n'nin kuvveti kadar bir faktör olarak alınır;
Ve a m, m derecesinin eşit olduğu sayıda faktör olarak alınır;
Bu yüzden, tabanları aynı olan kuvvetler, kuvvetlerin üsleri toplanarak çarpılabilir.
Yani a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ve x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ile çarpın.
Bu kural üsleri eşit olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz.
1. Yani a -2 .a -3 = a -5 . Bu (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa şeklinde yazılabilir.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Eğer a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olacaktır: yani
İki sayının toplamının veya farkının çarpılması sonucu toplamına eşit veya karelerinin farkı.
Yükseltilmiş iki sayının toplamını ve farkını çarparsanız kare sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.
Yani (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Derecelerin bölünmesi
Üslü sayılar da diğer sayılar gibi paydan çıkarılarak veya kesirli hale getirilerek bölünebilir.
Böylece a 3 b 2 bölü b 2 eşittir a 3.
Veya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5'i 3'e bölmek $\frac(a^5)(a^3)$ şeklinde görünür. Ama bu 2'ye eşit. Bir dizi sayı halinde
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs şuna eşit olacaktır: fark bölünebilir sayıların göstergeleri.
Tabanları aynı olan dereceleri bölerken üsleri çıkarılır..
Yani, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yani, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Ve a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yani, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Veya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Kural aynı zamanda sayıları olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz derece değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 veya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Cebirde bu tür işlemler çok yaygın olarak kullanıldığı için çarpma ve kuvvetler bölüşümüne çok iyi hakim olmak gerekir.
Üsleri olan sayıları içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri
1. Üsleri $\frac(5a^4)(3a^2)$ azaltın Cevap: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Üsleri $\frac(6x^6)(3x^5)$ azaltın. Cevap: $\frac(2x)(1)$ veya 2x.
3. a 2 /a 3 ve a -3 /a -4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
a 2 .a -4 birinci pay -2'dir.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3.a -4 ortak pay olan a -1'dir.
Basitleştirmeden sonra: a -2 /a -1 ve 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 ve 2 /a 4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
Cevap: 2a 3 /5a 7 ve 5a 5 /5a 7 veya 2a 3 /5a 2 ve 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4'ü (a - b)/3 ile çarpın.
6. (a 5 + 1)/x 2'yi (b 2 - 1)/(x + a) ile çarpın.
7. b 4 /a -2'yi h -3 /x ve a n /y -3 ile çarpın.
8. 4 /y 3'ü 3 /y 2'ye bölün. Cevap: a/y.
9. (h 3 - 1)/d 4'ü (d n + 1)/h'ye bölün.
Hepimiz okuldan üs alma kuralını biliyoruz: Üssü N olan herhangi bir sayı çarpma sonucuna eşittir verilen numara kendinize N sayıda kez. Başka bir deyişle, 7 üssü 3, 7'nin kendisiyle üç kez çarpılması, yani 343'tür. Diğer bir kural, herhangi bir miktarın 0'a yükseltilmesinin bir vermesidir ve negatif bir miktarın yükseltilmesi, sıradan bir yükseltme işleminin sonucudur. çift ise kuvvet, tek ise eksi işaretiyle aynı sonuç.
Kurallar ayrıca bir sayının nasıl artırılacağı sorusunun cevabını da veriyor. negatif derece. Bunu yapmak için, gerekli değeri her zamanki gibi göstergenin modülüne göre yükseltmeniz ve ardından birimi sonuca bölmeniz gerekir.
Bu kurallardan, uygulamanın gerçek sorunlar ameliyatla Büyük miktarlar kullanılabilirlik gerektirecek teknik araçlar. Manuel olarak, yirmi ila otuza kadar maksimum sayı aralığını kendinizle ve ardından üç veya dört defadan fazla çarpamazsınız. Bu, birinin sonuca bölünmesinden bahsetmiyor. Bu nedenle, elinde özel bir mühendislik hesap makinesi olmayanlar için, Excel'de bir sayının negatif kuvvetine nasıl yükseltileceğini anlatacağız.
Excel'de sorunları çözme
İnşaatla ilgili sorunları çözmek için Excel derecesi iki seçenekten birini kullanmanızı sağlar.
Birincisi standart “kapak” işaretli formülün kullanılmasıdır. Aşağıdaki verileri çalışma sayfası hücrelerine girin:
Aynı şekilde, istenen değeri herhangi bir güce (negatif, kesirli) yükseltebilirsiniz. Aşağıdaki adımları uygulayalım ve bir sayının negatif kuvveti nasıl artırılır sorusuna cevap verelim. Örnek:
=B2^-C2'yi doğrudan formülde düzeltebilirsiniz.
İkinci seçenek, iki gerekli argümanı (bir sayı ve bir üs) alan hazır "Derece" işlevini kullanmaktır. Kullanmaya başlamak için herhangi bir boş hücreye formülün başlangıcını belirten eşittir işaretini (=) koymanız ve yukarıdaki kelimeleri girmeniz yeterlidir. Geriye kalan tek şey, işleme katılacak iki hücreyi seçmek (veya belirtmek) belirli sayılar manuel olarak) ve Enter tuşuna basın. Birkaç basit örneğe bakalım.
Formül | Sonuç |
||||
DERECE(B2;C2) | |||||
DERECE(B3;C3) |
|
Gördüğünüz gibi, bir sayıyı negatif kuvvete ve normal kuvvete nasıl yükselteceğiniz konusunda karmaşık bir şey yok. Excel'i kullanma. Sonuçta, bu sorunu çözmek için hem tanıdık "kapak" sembolünü hem de programın hatırlanması kolay yerleşik işlevini kullanabilirsiniz. Bu kesin bir artı!
Daha fazlasına geçelim karmaşık örnekler. Bir sayının negatif kesirli kuvvetine nasıl yükseltileceğine ilişkin kuralı hatırlayalım ve bu sorunun Excel'de çok kolay çözüldüğünü göreceğiz.
Kesirli göstergeler
Kısacası kesirli üslü bir sayıyı hesaplama algoritması aşağıdaki gibidir.
- Dönüştürmek kesirli gösterge uygun veya yanlış kesirlere bölünür.
- Sayımızı, elde edilen dönüştürülmüş kesrin payına yükseltin.
- Alınanlardan önceki paragraf sayılar, kök göstergesinin ilk aşamada elde edilen kesirin paydası olması şartıyla kökü hesaplar.
Küçük sayılarla çalışırken bile bunu kabul edin ve kesirleri düzelt benzer hesaplamalarçok zaman alabilir. Excel elektronik tablo işlemcisinin hangi sayının hangi güce yükseltildiğini umursamaması iyi bir şey. Aşağıdaki örneği bir Excel çalışma sayfasında çözmeyi deneyin:
Yukarıdaki kuralları kullanarak hesaplamanın doğru yapıldığını kontrol edebilir ve emin olabilirsiniz.
Makalemizin sonunda formüller ve sonuçlar içeren bir tablo şeklinde bir sayının negatif kuvvetine nasıl yükseltileceğine dair birkaç örnek ve birkaç işlem örneği sunacağız. kesirli sayılar ve dereceler.
Örnek tablo
Excel çalışma sayfanızda aşağıdaki örneklere göz atın. Her şeyin doğru çalışması için formülü kopyalarken karma referans kullanmanız gerekir. Yükseltilen sayıyı içeren sütunun numarasını ve göstergeyi içeren satırın numarasını sabitleyin. Formülünüz yaklaşık olarak sahip olmalıdır sonraki görünüm: "=$B4^C$3".
Sayı/Derece | |||||
dikkat pozitif sayılar(tamsayı olmayanlar bile) herhangi bir gösterge için sorunsuz hesaplanabilir. Herhangi bir sayıyı tam sayılara yükseltmede herhangi bir sorun yoktur. Ancak negatif bir sayıyı kesirli bir kuvvete yükseltmek sizin için bir hata olacaktır çünkü makalemizin başında negatif sayıların yükseltilmesiyle ilgili kurala uymak imkansızdır çünkü eşlik yalnızca TAM sayının bir özelliğidir.
Hesap makinesi, bir sayıyı çevrimiçi olarak hızlı bir şekilde bir güce yükseltmenize yardımcı olur. Derecenin tabanı herhangi bir sayı olabilir (hem tam sayılar hem de gerçek sayılar). Üs aynı zamanda bir tam sayı ya da reel olabilir, ayrıca pozitif ya da negatif de olabilir. Negatif sayılar için tamsayı olmayan bir kuvvete yükseltmenin tanımsız olduğunu, dolayısıyla bunu yapmaya çalıştığınızda hesap makinesinin bir hata bildireceğini unutmayın.
Derece hesaplayıcı
Güce yükseltin
Üslü sayılar: 20880
Bir sayının doğal kuvveti nedir?
p, a sayısının kendisiyle n kez çarpılmasına eşitse, p sayısına o sayının n'inci kuvveti denir: p = a n = a·...·a
n - çağrıldı üs ve a sayısı derece esası.
Bir sayının doğal kuvvetine nasıl yükseltilir?
Nasıl inşa edileceğini anlamak için farklı sayılar Doğal güçlere ilişkin birkaç örneği ele alalım:
örnek 1. Üç rakamını dördüncü kuvvete yükseltin. Yani 3 4'ü hesaplamak gerekiyor
Çözüm: yukarıda belirtildiği gibi, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Cevap: 3 4 = 81 .
Örnek 2. Beş sayısını beşinci kuvvetine yükseltin. Yani 5 5'i hesaplamak gerekiyor
Çözüm: benzer şekilde, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Cevap: 5 5 = 3125 .
Dolayısıyla bir sayıyı doğal kuvvete yükseltmek için onu kendisiyle n kez çarpmanız yeterlidir.
Bir sayının negatif kuvveti nedir?
a'nın negatif kuvveti -n, birin a bölü n'ye bölümüdür: a -n = .Bu durumda negatif derece yalnızca sıfırdan farklı sayılar için mevcuttur, çünkü aksi takdirde sıfıra bölme işlemi gerçekleşir.
Bir sayının negatif tam sayı kuvvetine nasıl yükseltilir?
Sıfır olmayan bir sayıyı negatif kuvvete yükseltmek için bu sayının değerini aynı pozitif kuvvete göre hesaplayıp sonuca bölmeniz gerekir.
örnek 1. İki sayısını negatif dördüncü kuvvete yükseltin. Yani 2 -4'ü hesaplamanız gerekir
Çözüm: yukarıda belirtildiği gibi, 2 -4 = = = 0,0625.Cevap: 2 -4 = 0.0625 .