Bir tanesi en önemli bilimler Kimya, fizik ve hatta biyoloji gibi disiplinlerde de uygulaması görülebilen matematiktir. Bu bilimi incelemek bazı zihinsel nitelikleri geliştirmenize ve konsantre olma yeteneğinizi geliştirmenize olanak tanır. Matematik dersinde özel önem verilmesi gereken konulardan biri de kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleridir. Birçok öğrenci ders çalışmayı zor buluyor. Belki makalemiz bu konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olacaktır.
Paydaları aynı olan kesirler nasıl çıkarılır
Kesirler, çeşitli işlemleri gerçekleştirebileceğiniz aynı sayılardır. Tam sayılardan farkı paydanın varlığında yatmaktadır. Bu nedenle kesirlerle işlemler yaparken bazı özelliklerini ve kurallarını incelemeniz gerekir. En basit durumçıkarmadır sıradan kesirler Paydaları aynı sayı olarak temsil edilen. Basit bir kural biliyorsanız, bu eylemi gerçekleştirmek zor olmayacaktır:
- Bir kesirden bir saniye çıkarmak için, çıkarılan kesrin payını, azaltılan kesrin payından çıkarmak gerekir. Bu sayıyı farkın payına yazıp paydayı aynı bırakıyoruz: k/m - b/m = (k-b)/m.
Paydaları aynı olan kesirleri çıkarma örnekleri
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
“7” kesirinin payından, çıkarılacak kesirin “3” payını çıkarırsak “4” elde ederiz. Bu sayıyı cevabın payına yazıyoruz ve paydaya birinci ve ikinci kesirlerin paydalarındaki sayının aynısını - “19” koyuyoruz.
Aşağıdaki resimde birkaç benzer örnek daha gösterilmektedir.
Paydaları benzer olan kesirlerin çıkarıldığı daha karmaşık bir örneği ele alalım:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
“29” kesirinin payından, sonraki tüm kesirlerin paylarının sırayla çıkarılmasıyla azaltılır - “3”, “8”, “2”, “7”. Sonuç olarak cevabın payına yazdığımız “9” sonucunu elde ediyoruz ve paydaya da tüm bu kesirlerin paydalarındaki sayıyı - “47” yazıyoruz.
Paydaları aynı olan kesirleri toplama
Sıradan kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması aynı prensibi izler.
- Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için payları eklemeniz gerekir. Ortaya çıkan sayı, toplamın payıdır ve payda aynı kalacaktır: k/m + b/m = (k + b)/m.
Bir örnek kullanarak bunun neye benzediğini görelim:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Kesirin ilk teriminin payına - “1” - kesirin ikinci teriminin payına - “2” ekleyin. Sonuç - "3" - toplamın payına yazılır ve payda, kesirlerde mevcut olan "4" ile aynı kalır.
Paydaları farklı kesirler ve bunların çıkarılması
Kesirlerle eylem aynı payda, zaten düşündük. Gördüğümüz gibi bilerek basit kurallar, bu tür örnekleri çözmek oldukça kolaydır. Ancak kesirlerle bir işlem yapmanız gerekiyorsa ne yapmalısınız? farklı paydalar? Birçok ortaokul öğrencisinin kafası bu tür örneklerle karıştırılıyor. Ancak burada bile çözümün prensibini biliyorsanız örnekler artık sizin için zor olmayacaktır. Burada ayrıca bir kural var ki o olmadan çözüm benzer kesirler Bu kesinlikle imkansızdır.
- 2/3 - paydada bir üç ve bir iki eksik:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 veya 7/(3 x 3) - paydada iki eksik:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 veya 5/(2 x 3) - paydada üç eksik:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - 18 sayısı 3x2x3'ten oluşur.
- 15 sayısı 5x3'ten oluşur.
- Ortak kat şu çarpanlar olacaktır: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 bölü 15. Ortaya çıkan “6” sayısı 3/15'in çarpanı olacaktır.
- 90 bölü 18. Ortaya çıkan “5” sayısı 4/18'in çarpanı olacaktır.
- Tamsayı kısmı olan tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün. Konuşuyorum basit kelimelerle, parçanın tamamını çıkarın. Bunu yapmak için, tamsayı kısmının sayısını kesrin paydasıyla çarpın ve elde edilen ürünü paya ekleyin. Bu işlemlerden sonra çıkan sayı paydır uygunsuz kesir. Payda değişmeden kalır.
- Paydaları farklı olan kesirler aynı paydaya indirilmelidir.
- Aynı paydalarla toplama veya çıkarma işlemi yapın.
- Uygunsuz bir kesir alırken tüm kısmı seçin.
Kesirleri çıkarmak için farklı paydalar, bunları aynı en düşük paydaya indirmek gerekir.
Bunun nasıl yapılacağı hakkında daha ayrıntılı olarak konuşacağız.
Kesirin özelliği
Birkaç kesiri aynı paydaya getirmek için, çözümde kesirin ana özelliğini kullanmanız gerekir: pay ve paydayı böldükten veya çarptıktan sonra aynı numara Verilen kesre eşit bir kesir elde edersiniz.
Yani örneğin 2/3 kesirinin “6”, “9”, “12” gibi paydaları olabilir, yani “3”ün katı olan herhangi bir sayı biçiminde olabilir. Pay ve paydayı “2” ile çarptığımızda 4/6 kesirini elde ederiz. Orijinal kesrin pay ve paydasını “3” ile çarptığımızda 6/9, benzer işlemi “4” rakamı ile yaparsak 8/12 elde ederiz. Bir eşitlik şu şekilde yazılabilir:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Birden fazla kesir aynı paydaya nasıl dönüştürülür?
Birden fazla kesri aynı paydaya nasıl indireceğimize bakalım. Örneğin aşağıdaki resimde gösterilen kesirleri ele alalım. Öncelikle hangi sayının hepsinin paydası olabileceğini belirlemeniz gerekir. İşleri kolaylaştırmak için mevcut paydaları çarpanlarına ayıralım.
1/2 kesirinin ve 2/3 kesirinin paydası çarpanlarına ayrılamaz. Payda 7/9'un iki çarpanı vardır: 7/9 = 7/(3 x 3), kesrin paydası 5/6 = 5/(2 x 3). Şimdi bu dört kesir için hangi faktörlerin en küçük olacağını belirlememiz gerekiyor. Birinci kesirin paydasında “2” sayısı bulunduğundan, tüm paydalarda bulunması gerektiği, 7/9 kesirinde ise iki üçlünün olması, yani her ikisinin de paydada bulunması gerektiği anlamına gelir. Yukarıdakileri dikkate alarak paydanın üç faktörden oluştuğunu belirleriz: 3, 2, 3 ve 3 x 2 x 3 = 18'e eşittir.
İlk kesri ele alalım - 1/2. Paydasında “2” var ama tek bir “3” rakamı yok ama iki olması lazım. Bunu yapmak için paydayı iki üçlüyle çarpıyoruz, ancak kesirin özelliğine göre payı iki üçlüyle çarpmamız gerekiyor:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Aynısını kalan kesirler için de yapıyoruz.
Hep birlikte şuna benziyor:
Paydaları farklı olan kesirler nasıl çıkarılır ve eklenir?
Yukarıda bahsedildiği gibi, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak veya çıkarmak için, bunların aynı paydaya indirgenmesi ve ardından daha önce tartışılan aynı paydaya sahip kesirlerin çıkarılmasına ilişkin kuralların kullanılması gerekir.
Örnek olarak şuna bakalım: 4/18 - 3/15.
18 ve 15 sayılarının katlarını bulma:
Payda bulunduktan sonra her kesir için farklı olacak faktörü yani sadece paydanın değil payın da çarpılması gereken sayıyı hesaplamak gerekir. Bunu yapmak için bulduğumuz sayıyı (ortak kat), ek faktörleri belirlememiz gereken kesrin paydasına böleriz.
Çözümümüzün bir sonraki aşaması her kesri “90” paydasına indirgemektir.
Bunun nasıl yapılacağından daha önce bahsetmiştik. Bunun bir örnekte nasıl yazıldığını görelim:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Küçük sayılara sahip kesirler varsa, o zaman yapabilirsiniz ortak payda aşağıdaki resimde gösterilen örnekteki gibi belirleyin.
Aynı şey farklı paydalara sahip olanlar için de geçerlidir.
Çıkarma ve tam sayı kısımlara sahip olma
Kesirlerin çıkarılması ve eklenmesi işlemlerini daha önce ayrıntılı olarak tartıştık. Ancak kesir varsa nasıl çıkarılacağı bütün kısım? Yine birkaç kural kullanalım:
Kesirleri tam parçalarla toplayıp çıkarmanın başka bir yolu daha var. Bunun için işlemler tam kısımlarla ayrı ayrı, kesirli işlemler ayrı ayrı yapılır ve sonuçlar birlikte kaydedilir.
Verilen örnek paydaları aynı olan kesirlerden oluşmaktadır. Paydaların farklı olması durumunda aynı değere getirilmesi ve ardından örnekte gösterildiği gibi işlemlerin yapılması gerekir.
Tam Sayılardan Kesirleri Çıkarma
Kesirlerle yapılan başka bir eylem türü, kesirin ilk bakışta çıkarılması gerektiği durumdur. benzer örnekçözülmesi zor görünüyor. Ancak burada her şey oldukça basit. Bunu çözmek için, tamsayıyı kesirlere ve çıkarılmış kesirdeki paydaya dönüştürmeniz gerekir. Daha sonra, aynı paydalarla çıkarma işlemine benzer bir çıkarma işlemi gerçekleştiriyoruz. Bir örnekte şöyle görünür:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Bu makalede sunulan kesirlerin çıkarılması (6. sınıf), sonraki sınıflarda ele alınan daha karmaşık örneklerin çözülmesinin temelini oluşturur. Bu konunun bilgisi daha sonra fonksiyonları, türevleri vb. çözmek için kullanılır. Bu nedenle yukarıda tartışılan kesirlerle yapılan işlemleri anlamak ve anlamak çok önemlidir.
Kesirli eylemler.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Peki kesirlerin ne olduğunu, kesir türlerini, dönüşümleri hatırladık. Gelelim asıl meseleye.
Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, olan her şey sıradan sayılar. Ekle, çıkar, çarp, böl.
Tüm bu eylemlerle ondalık kesirlerle çalışmanın tam sayılarla çalışmaktan hiçbir farkı yoktur. Aslında onların iyi tarafı da bu, ondalık sayılar. Tek şey virgülü doğru koymanız gerektiğidir.
Karışık sayılar Daha önce de söylediğim gibi çoğu eylem için pek faydası yoktur. Hala sıradan kesirlere dönüştürülmeleri gerekiyor.
Ancak eylemler sıradan kesirler daha kurnaz olacaklar. Ve çok daha önemlisi! Size hatırlatmama izin verin: harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. gibi kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Sıradan kesirlerle yapılan işlemler tüm cebirin temelini oluşturur. İşte bu nedenle burada tüm bu aritmetiği çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz.
Kesirlerde toplama ve çıkarma.
Herkes aynı paydalara sahip kesirleri toplayabilir (çıkarabilir) (gerçekten umuyorum!). Peki, tamamen unutkan olanlara şunu hatırlatayım: Toplama (çıkarma) işleminde payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip:
Kısacası, genel görünüm:
Paydalar farklıysa ne olur? Daha sonra, kesrin temel özelliğini kullanarak (işte yine kullanışlı oluyor!), paydaları aynı hale getiriyoruz! Örneğin:
Burada 2/5 kesirinden 4/10 kesirini yapmamız gerekiyordu. Paydaları aynı yapmak amacıyla. Her ihtimale karşı 2/5 ve 4/10'un eşit olduğunu belirteyim. aynı kesir! Sadece 2/5'i bizim için rahatsız edici, 4/10'u ise gerçekten sorun değil.
Bu arada, herhangi bir matematik problemini çözmenin özü budur. ne zaman biz rahatsız ifadeler yapıyoruz aynı şey, ancak çözmek için daha uygun.
Başka bir örnek:
Durum benzer. Burada 16 üzerinden 48 yapıyoruz. Basit çarpma ile 3'e kadar. Bunların hepsi açık. Ama şöyle bir şeyle karşılaştık:
Nasıl olunur? Yediden dokuzunu çıkarmak çok zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! Haydi dönüşelim Her paydaları aynı olacak şekilde kesir. Buna “ortak bir paydaya indirgemek” denir:
Vay! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9'a aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaların çarpılmasıyla elde edilebilir. Örneğin bir sayıyı 7 ile çarparsak sonuç kesinlikle 7'ye bölünebilir!
Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu çiftler halinde adım adım yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerin ortak paydasını bulmanız ve her kesri aynı paydaya indirmeniz yeterlidir. Örneğin:
Peki ortak payda ne olacak? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024 elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8'e tam olarak bölünebileceğini tahmin etmek daha kolaydır. Dolayısıyla bu sayılardan 16'yı elde etmek kolaydır. Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2'yi 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya çevirelim, vb.
Bu arada 1024'ü ortak payda olarak alırsanız her şey yoluna girecek, sonunda her şey azalacak. Ama hesaplar yüzünden herkes bu sonuca varamayacak...
Örneği kendiniz tamamlayın. Bir çeşit logaritma değil... 29/16 olmalı.
Yani kesirlerin eklenmesi (çıkarılması) açıktır, umarım? Elbette ek çarpanlarla kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ancak bu zevk, dürüst bir şekilde çalışmış olanlara açıktır. genç sınıfları... Ve hiçbir şeyi unutmadım.
Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler. Yeni komisyon burada ortaya çıkacak, evet...
Bu nedenle iki kesirli ifade eklememiz gerekiyor:
Paydaları eşitlememiz gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma! Bir kesrin ana özelliğinin belirttiği şey budur. Bu nedenle paydanın ilk kesirindeki X'e bir ekleyemiyorum. (bu güzel olurdu!). Ama paydaları çarparsanız her şeyin birlikte büyüdüğünü görürsünüz! Kesir doğrusunu en üste yazıyoruz boş alan Bırakalım, sonra ekleyelim ve unutmamak adına paydaların çarpımını aşağıya yazalım:
Ve elbette sağ taraftaki hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantezleri açmıyoruz! Şimdi sağ taraftaki ortak paydaya baktığımızda şunu anlıyoruz: İlk kesirdeki payda x(x+1)'i elde etmek için bu kesrin payını ve paydasını (x+1) ile çarpmanız gerekir. . Ve ikinci kesirde - x'e. Alacağınız şey bu:
Dikkat etmek! İşte parantez! Bu, birçok insanın bastığı tırmıktır. Elbette parantez değil, onların yokluğu. Çarpma işlemi yaptığımız için parantezler görünüyor Tümü pay ve Tümü payda! Ve onların bireysel parçaları değil...
Sağ taraftaki paya payların toplamını yazıyoruz, her şey aşağıdaki gibi sayısal kesirler, ardından sağ taraftaki paydaki parantezleri açın, yani. Her şeyi çoğaltıp benzerlerini veriyoruz. Paydalarda parantez açmaya veya herhangi bir şeyi çarpmaya gerek yok! Genel olarak, paydalarda (herhangi biri) ürün her zaman daha hoştur! Şunu elde ederiz:
Böylece cevabı aldık. Süreç uzun ve zor gibi görünse de pratiğe bağlıdır. Örnekleri çözdükten sonra alışın, her şey basitleşecek. Zamanında kesirlerde ustalaşanlar tüm bu işlemleri otomatik olarak tek sol eliyle yaparlar!
Ve bir not daha. Birçoğu kesirlerle akıllıca ilgilenir, ancak örneklere takılıp kalır. tüm sayılar. Şöyle: 2 + 1/2 + 3/4= ? İki parçayı nereye tutturmalı? Herhangi bir yere sabitlemenize gerek yok, ikiden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil ama çok basit! 2=2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesirli olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda birdir. 7, 7/1'dir, 3, 3/1'dir vb. Harfler için de durum aynı. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, vb. Daha sonra bu kesirlerle tüm kurallara göre çalışıyoruz.
Kesirlerde toplama ve çıkarma bilgileri tazelendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüştürülmesi tekrarlandı. Ayrıca kontrole de gidebilirsiniz. Biraz anlaşalım mı?)
Hesaplamak:
Cevaplar (karışıklık içinde):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Kesirlerde çarpma/bölme - bir sonraki derste. Kesirlerle yapılan tüm işlemler için de görevler vardır.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Kesirli eylemler. Bu yazımızda örneklere, her şeye detaylı bir şekilde açıklamalarla bakacağız. Sıradan kesirleri ele alacağız. Ondalık sayılara daha sonra bakacağız. Tamamını izlemenizi ve sırayla incelemenizi tavsiye ederim.
1. Kesirlerin toplamı, kesirlerin farkı.
Kural: kesirleri eklerken eşit paydalar Sonuç olarak bir kesir elde ederiz - paydası aynı kalır ve payı toplamına eşit kesirlerin payları.
Kural: Aynı paydalara sahip kesirler arasındaki farkı hesaplarken, bir kesir elde ederiz - payda aynı kalır ve ikincinin payı, ilk kesrin payından çıkarılır.
Paydaları eşit olan kesirlerin toplamı ve farkının biçimsel gösterimi:
Örnekler (1):
Sıradan kesirler verildiğinde her şeyin basit olduğu açıktır, peki ya karıştırılırsa? Karmaşık bir şey yok...
Seçenek 1– bunları sıradan olanlara dönüştürebilir ve daha sonra hesaplayabilirsiniz.
Seçenek 2– tamsayı ve kesirli kısımlarla ayrı ayrı “çalışabilirsiniz”.
Örnekler (2):
Daha fazla:
Ve eğer ikisinin farkı verilirse karışık kesirler ve ilk kesrin payı ikincinin payından küçük mü olacak? Ayrıca iki şekilde hareket edebilirsiniz.
Örnekler (3):
*Adi kesirlere dönüştürüldü, fark hesaplandı, elde edilen bileşik kesir karışık kesire dönüştürüldü.
*Tamsayı ve kesirli parçalara ayırdık, üç elde ettik, sonra 3'ü 2 ve 1'in toplamı olarak, biri de 11/11 olarak sunduk, sonra 11/11 ile 7/11 arasındaki farkı bulup sonucu hesapladık. . Yukarıdaki dönüşümlerin anlamı, bir birimi alıp (seçmek) ve onu ihtiyacımız olan paydaya sahip bir kesir şeklinde sunmak, ardından bu kesirden bir başkasını çıkarabiliriz.
Başka bir örnek:
Sonuç: Evrensel bir yaklaşım vardır - eşit paydalara sahip karışık kesirlerin toplamını (farkını) hesaplamak için, bunlar her zaman uygunsuz olanlara dönüştürülebilir ve ardından gerekli işlemi gerçekleştirebilir. Bundan sonra sonuç bileşik kesir ise, bunu karışık kesire dönüştürüyoruz.
Yukarıda paydaları eşit olan kesirlerin örneklerine baktık. Paydalar farklıysa ne olur? Bu durumda kesirler aynı paydaya indirgenir ve belirtilen işlem gerçekleştirilir. Bir kesri değiştirmek (dönüştürmek) için kesrin temel özelliği kullanılır.
Basit örneklere bakalım:
Bu örneklerde, kesirlerden birinin paydaları eşit olacak şekilde nasıl dönüştürülebileceğini hemen görüyoruz.
Kesirleri aynı paydaya indirmenin yollarını belirlersek, buna adını vereceğiz. BİRİNCİ YÖNTEM.
Yani, bir kesri "değerlendirirken" hemen bu yaklaşımın işe yarayıp yaramayacağını bulmanız gerekir - büyük paydanın küçük olana bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz. Ve eğer bölünebilirse, o zaman bir dönüşüm gerçekleştiririz - pay ve paydayı çarparız, böylece her iki kesrin paydaları eşit olur.
Şimdi şu örneklere bakın:
Bu yaklaşım onlar için geçerli değildir. Kesirleri ortak paydaya indirmenin yolları da var;
İKİNCİ Yöntem.
Birinci kesrin pay ve paydasını ikincinin paydasıyla, ikinci kesrin pay ve paydasını birincinin paydasıyla çarpıyoruz:
*Aslında paydalar eşitlendiğinde kesirleri azaltıyoruz. Daha sonra, eşit paydalara sahip kesirleri toplama kuralını kullanıyoruz.
Örnek:
*Bu yöntem evrensel olarak adlandırılabilir ve her zaman işe yarar. Tek dezavantajı, hesaplamalardan sonra daha da azaltılması gereken bir kesirle karşılaşabilmenizdir.
Bir örneğe bakalım:
Pay ve paydanın 5'e bölünebildiği görülebilir:
Yöntem ÜÇ.
Paydaların en küçük ortak katını (LCM) bulmanız gerekir. Bu ortak payda olacak. Bu nasıl bir sayı? Bu en az doğal sayı, sayıların her birine bölünebilen.
Bakın, işte iki sayı: 3 ve 4, onlara bölünebilen birçok sayı var - bunlar 12, 24, 36, ... En küçüğü 12. Veya 6 ve 15, 30'a bölünüyorlar, 60, 90 .... En küçüğü 30'dur. Soru şu: Bu en küçük ortak katı nasıl belirleyeceğiz?
Net bir algoritma var, ancak çoğu zaman bu, hesaplamalar yapılmadan hemen yapılabilir. Örneğin yukarıdaki örneklere göre (3 ve 4, 6 ve 15) herhangi bir algoritmaya gerek yok, büyük sayıları (4 ve 15) aldık, ikiye katladık ve bunların ikinci sayıya bölünebildiğini gördük, ancak sayı çiftleri bölünebilir. diğerleri olsun, örneğin 51 ve 119.
Algoritma. Birkaç sayının en küçük ortak katını belirlemek için şunları yapmalısınız:
- her sayıyı parçalara ayırın BASİT faktörler
— BÜYÜK olanın ayrışmasını yazın
- diğer sayıların EKSİK faktörleriyle çarpın
Örneklere bakalım:
50 ve 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
ayrışmada Daha bir beş eksik
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 ve 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
Daha büyük bir sayının açılımında iki ve üç eksik
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
*İkinin en küçük ortak katı asal sayılar kendi ürünlerine eşit
Soru! İkinci yöntemi kullanabildiğinize ve sonuçta ortaya çıkan kesri basitçe azaltabildiğinize göre, en az ortak katı bulmak neden faydalıdır? Evet mümkündür, ancak her zaman uygun değildir. 48∙72 = 3456 ile çarparsanız 48 ve 72 sayılarının paydasına bakın. Daha küçük sayılarla çalışmanın daha keyifli olduğunu kabul edeceksiniz.
Örneklere bakalım:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
daha büyük bir sayının açılımında üçlü eksik
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Şimdi ilk yöntemi kullanalım:
*Hesaplamalardaki farka bakın, ilk durumda minimum sayıda var, ancak ikincisinde bir kağıt parçası üzerinde ayrı ayrı çalışmanız gerekiyor ve aldığınız kesirin bile azaltılması gerekiyor. LOC'yi bulmak işi önemli ölçüde basitleştirir.
Daha fazla örnek:
*İkinci örnekte açıkça görülüyor ki en küçük sayı 40 ve 60'a bölünebilen sayı 120'ye eşittir.
SONUÇ! GENEL BİLGİSAYAR ALGORİTMASI!
— tamsayı kısmı varsa kesirleri sıradan kesirlere indirgeriz.
- kesirleri ortak paydaya getiriyoruz (öncelikle bir paydanın diğerine bölünebilir olup olmadığına bakıyoruz; bölünebiliyorsa bu diğer kesrin payını ve paydasını çarpıyoruz; bölünemiyorsa diğer yöntemleri kullanarak hareket ediyoruz) yukarıda belirtilmiştir).
- Paydaları eşit olan kesirler aldıktan sonra işlemler (toplama, çıkarma) gerçekleştiriyoruz.
- gerekirse sonucu azaltırız.
- gerekirse parçanın tamamını seçin.
2. Kesirlerin çarpımı.
Kural basit. Kesirleri çarparken pay ve paydaları çarpılır:
Örnekler:
Görev. Üsse 13 ton sebze getirildi. Patates ithal edilen sebzelerin ¾'ünü oluşturuyor. Üsse kaç kilo patates getirildi?
Parçayla bitirelim.
*Daha önce size bir kesrin ana özelliğine ilişkin resmi bir açıklamayı bir çarpım aracılığıyla vereceğime söz vermiştim, lütfen:
3. Kesirlerin bölünmesi.
Kesirleri bölmek onları çarpmak anlamına gelir. Burada bölen kesrin (bölünen kesir) ters çevrildiğini ve işlemin çarpma işlemine dönüştüğünü hatırlamak önemlidir:
Bu eylem dört katlı kesir şeklinde yazılabilir, çünkü “:” bölümünün kendisi de kesir olarak yazılabilir:
Örnekler:
Hepsi bu! Size iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
Talimatlar
Ortak bir paydaya indirgeme.
a/b ve c/d kesirleri verilsin.
Birinci kesrin payı ve paydası LCM/b ile çarpılır.
İkinci kesrin payı ve paydası LCM/d ile çarpılır
Şekilde bir örnek gösterilmektedir.
Kesirleri karşılaştırmak için bunları ortak bir paydaya eklemeniz ve ardından payları karşılaştırmanız gerekir. Örneğin, 3/4< 4/5, см. .
Kesirlerde toplama ve çıkarma.
İki sıradan kesirin toplamını bulmak için, bunların ortak bir paydaya getirilmesi, ardından payların eklenmesi ve paydanın değişmeden bırakılması gerekir. Şekilde 1/2 ve 1/3 kesirlerinin eklenmesine bir örnek gösterilmektedir.
Kesirlerin farkı da benzer şekilde bulunur; ortak paydayı bulduktan sonra kesirlerin payları çıkarılır, şekle bakın.
Adi kesirlerle çarpılırken pay ve paydalar birlikte çarpılır.
İki kesri bölmek için ikinci kesirin bir kesri gereklidir, yani. payını ve paydasını değiştirin ve ardından elde edilen kesirleri çarpın.
Konuyla ilgili video
Kaynaklar:
- bir örnek kullanarak kesirler 5. sınıf
- Temel kesir problemleri
Modül temsil etmek mutlak değer ifadeler. Bir modülü belirtmek için düz parantezler kullanılır. İçlerinde bulunan değerler modülo olarak kabul edilir. Modülün çözümü parantezleri şuna göre genişletmektir: belirli kurallar ve ifade değerleri kümesinin bulunması. Çoğu durumda modül, alt modüler ifadenin bir dizi pozitif ve pozitif sonuç alacağı şekilde genişletilir. negatif değerler sıfır değeri dahil. Modülün bu özelliklerine dayanarak orijinal ifadenin diğer denklemleri ve eşitsizlikleri derlenip çözülür.
Talimatlar
Orijinal denklemi ile yazın. Bunu yapmak için modülü açın. Her bir alt modüler ifadeyi düşünün. Modüler parantez içindeki ifadenin içerdiği bilinmeyen miktarların hangi değerinde sıfır olacağını belirleyin.
Bunu yapmak için alt modüler ifadeyi sıfıra eşitleyin ve elde edilen denklemi bulun. Bulduğunuz değerleri yazın. Aynı şekilde her bir modül için bilinmeyen değişkenin değerlerini belirleyiniz. verilen denklem.
Bir sayı doğrusu çizin ve ortaya çıkan değerleri üzerine çizin. Sıfır modülündeki değişkenin değerleri, modüler denklemin çözümünde kısıtlama görevi görecektir.
Orijinal denklemde, değişkenin değerleri sayı doğrusunda görüntülenenlere karşılık gelecek şekilde işareti değiştirerek modüler olanları genişletmeniz gerekir. Ortaya çıkan denklemi çözün. Değişkenin bulunan değerini modül tarafından belirtilen kısıtlamaya göre kontrol edin. Eğer çözüm koşulu sağlıyorsa doğrudur. Kısıtlamalara uymayan kökler atılmalıdır.
Aynı şekilde, işareti dikkate alarak orijinal ifadenin modüllerini genişletin ve ortaya çıkan denklemin köklerini hesaplayın. Kısıt eşitsizliklerini karşılayan sonuçta ortaya çıkan tüm kökleri yazın.
Kesirli sayılar şu şekilde ifade edilebilir: farklı şekillerde kesin değer miktarlar. Aynısını kesirlerle de yapabilirsiniz matematiksel işlemler tam sayılarda olduğu gibi: çıkarma, toplama, çarpma ve bölme. Karar vermeyi öğrenmek kesirler, onların bazı özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Bunlar türüne bağlıdır kesirler, bir tamsayı kısmının varlığı, ortak bir payda. Bazı aritmetik işlemler yürütüldükten sonra sonucun kesirli kısmının azaltılmasını gerektirirler.
İhtiyacın olacak
- - hesap makinesi
Talimatlar
Rakamlara yakından bakın. Kesirler arasında ondalık sayılar ve düzensiz olanlar varsa, bazen önce ondalık sayılarla işlem yapmak ve sonra bunları düzensiz forma dönüştürmek daha uygundur. Çevirebilir misin? kesirler Bu formda başlangıçta payda virgülden sonraki değer yazılıyor ve paydaya 10 yazılıyor. Gerekirse yukarıdaki ve alttaki sayıları bir bölene bölerek kesri azaltın. Parçanın tamamı izole edilen kesirler, paydayla çarpılıp payın sonuca eklenmesiyle yanlış forma dönüştürülmelidir. Bu değer yeni pay olacak kesirler. Başlangıçta yanlış olan parçanın tamamını seçmek için kesirler payını paydaya bölmeniz gerekir. Sonucun tamamını yazın kesirler. Ve bölümün geri kalanı yeni pay, payda olacak kesirler değişmez. Tamsayı kısmı olan kesirler için, önce tamsayı, sonra kesirli kısım için ayrı ayrı işlem yapmak mümkündür. Örneğin, 1 2/3 ve 2 ¾'ün toplamı hesaplanabilir:
- Kesirleri yanlış forma dönüştürme:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Terimlerin ayrı ayrı tamsayı ve kesirli kısımlarının toplamı:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Çizginin altındaki değerler için ortak paydayı bulun. Örneğin 5/9 ve 7/12 için ortak payda 36 olacaktır. Bunun için birincinin pay ve paydası kesirler 4 ile (28/36 elde edersiniz) ve ikincisini 3 ile (15/36 elde edersiniz) çarpmanız gerekir. Artık hesaplamaları gerçekleştirebilirsiniz.
Kesirlerin toplamını veya farkını hesaplayacaksanız öncelikle bulunan ortak paydayı çizginin altına yazın. Uygulamak gerekli eylemler payların arasına girin ve sonucu yeni satırın üstüne yazın kesirler. Böylece yeni pay, orijinal kesirlerin paylarının farkı veya toplamı olacaktır.
Kesirlerin çarpımını hesaplamak için kesirlerin paylarını çarpın ve sonucu son payın yerine yazın. kesirler. Paydalar için de aynısını yapın. Birini bölerken kesirler bir kesri diğerine yazın ve payını ikincinin paydasıyla çarpın. Bu durumda birincinin paydası kesirler buna göre ikinci payla çarpılır. Bu durumda bir tür devrim meydana gelir. kesirler(bölen). Son kesir, her iki kesrin pay ve paydalarının çarpılmasının sonucu olacaktır. Öğrenmek zor değil kesirler, “dört katlı” şeklinde yazılmış vaziyette kesirler. İkiyi ayırırsa kesirler, “:” ayırıcısını kullanarak bunları yeniden yazın ve devam edin düzenli bölme.
Almak için nihai sonuç Elde edilen kesri, pay ve paydayı mümkün olan en büyük tam sayıya bölerek azaltın. bu durumda. Bu durumda çizginin üstünde ve altında tam sayılar bulunmalıdır.
lütfen aklınızda bulundurun
Paydaları farklı olan kesirlerle aritmetik işlem yapmayın. Öyle bir sayı seçin ki, her kesrin payını ve paydasını onunla çarptığınızda her iki kesrin paydaları eşit olur.
Kayıt yaparken kesirli sayılar Temettü satırın üstüne yazılır. Bu miktar kesrin payı olarak belirlenir. Kesrin böleni veya paydası çizginin altına yazılır. Örneğin bir buçuk kilo pirinç kesir olarak yazılacaktır. aşağıdaki gibi: 1 ½ kg pirinç. Bir kesrin paydası 10 ise bu kesre ondalık sayı denir. Bu durumda pay (temettü) tüm kısmın sağına virgülle ayrılarak yazılır: 1,5 kg pirinç. Hesaplama kolaylığı için böyle bir kesir her zaman yazılabilir. yanlış biçimde: 1 2/10 kg patates. Basitleştirmek için pay ve payda değerlerini bir tamsayıya bölerek azaltabilirsiniz. İÇİNDE bu örnekte 2'ye bölünebilir. Sonuç 1 1/5 kg patates olacaktır. Aritmetik işlem yapacağınız sayıların aynı formda sunulduğundan emin olun.
Talimatlar
“Ekle” menü öğesine bir kez tıklayın ve ardından “Sembol”ü seçin. Bu en çok biri basit yollar ekler kesirler metnin içine. Aşağıdakilerden oluşur. Hazır semboller seti şunları içerir: kesirler. Sayıları kural olarak küçüktür, ancak metinde 1/2 yerine ½ yazmanız gerekiyorsa, bu seçenek sizin için en uygun seçenek olacaktır. Ayrıca kesir karakterlerinin sayısı yazı tipine bağlı olabilir. Örneğin, Times New Roman yazı tipi için aynı Arial'a göre biraz daha az kesir vardır. En iyi seçeneği bulmak için yazı tiplerini değiştirin basit ifadeler.
“Ekle” menü öğesine tıklayın ve “Nesne” alt öğesini seçin. Önünüzde eklenecek olası nesnelerin listesini içeren bir pencere görünecektir. Bunların arasından Microsoft Denklem 3.0'ı seçin. Bu uygulama yazmanıza yardımcı olacak kesirler. Ve sadece kesirler ama aynı zamanda karmaşık matematiksel ifadelerçeşitli içeren trigonometrik fonksiyonlar ve diğer unsurlar. Bu nesneye farenin sol tuşuyla çift tıklayın. Önünüzde birçok sembol içeren bir pencere açılacaktır.
Bir kesri yazdırmak için, payı ve paydası boş olan bir kesri temsil eden sembolü seçin. Farenin sol tuşuyla bir kez üzerine tıklayın. Şemanın kendisini açıklayan ek bir menü görünecektir. kesirler. Birkaç seçenek olabilir. Size en uygun olanı seçin ve farenin sol tuşuyla bir kez tıklayın.
Kesirli örnekler matematiğin temel unsurlarından biridir. Çok var farklı türler kesirli denklemler. Aşağıda ayrıntılı talimatlar Bu tür örnekleri çözmek için.
Kesirli örnekler nasıl çözülür - genel kurallar
Toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi her türden kesirli örnekleri çözmek için temel kuralları bilmeniz gerekir:
- Aynı paydaya sahip kesirli ifadeler eklemek için (payda kesrin altındaki sayıdır, pay üsttedir), paylarını eklemeniz ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
- Bir kesirden ikinci bir kesirli ifadeyi (aynı paydaya sahip) çıkarmak için paylarını çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
- Paydaları farklı olan kesirleri toplamak veya çıkarmak için en küçük ortak paydayı bulmanız gerekir.
- Kesirli bir çarpım bulmak için pay ve paydaları çarpmanız ve mümkünse azaltmanız gerekir.
- Bir kesri bir kesre bölmek için, birinci kesri ikinci kesirin tersiyle çarpmanız gerekir.
Kesirlerle örnekler nasıl çözülür - pratik
Kural 1, örnek 1:
3/4 +1/4'ü hesaplayın.
Kural 1'e göre, eğer iki (veya daha fazla) kesir aynı paydaya sahipse, paylarını eklemeniz yeterlidir. Şunu elde ederiz: 3/4 + 1/4 = 4/4. Bir kesirin pay ve paydası aynı ise kesir 1'e eşit olacaktır.
Cevap: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Kural 2, örnek 1:
Hesapla: 3/4 – 1/4
2 numaralı kuralı kullanarak bu denklemi çözmek için 3'ten 1 çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir. 2/4'ünü elde ederiz. İki 2 ve 4 azaltılabileceği için azaltıp 1/2 elde ederiz.
Cevap: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Kural 3, Örnek 1
Hesapla: 3/4 + 1/6
Çözüm: 3. kuralı kullanarak en küçük ortak paydayı buluruz. En küçük ortak payda, tüm sayıların paydalarına bölünebilen bir sayıdır. kesirli ifadelerörnek. Böylece hem 4'e hem de 6'ya bölünebilecek minimum sayıyı bulmamız gerekiyor. Bu sayı 12'dir. Payda olarak 12 yazıyoruz. 12'yi ilk kesrin paydasına bölüyoruz, 3 elde ediyoruz, 3 ile çarpıyoruz, yazıyoruz. Payda 3 *3 ve + işareti. 12'yi ikinci kesrin paydasına bölersek 2 elde ederiz, 2'yi 1 ile çarparız, paya 2*1 yazarız. Yani, ortaya çıktı yeni kesir paydası 12'ye ve payı 3*3+2*1=11'e eşit. 11/12.
Cevap: 11/12
Kural 3, Örnek 2:
3/4 – 1/6’yı hesaplayın. Bu örnek öncekine çok benzer. Aynı adımları yapıyoruz ancak payda + işareti yerine eksi işareti yazıyoruz. Şunu elde ederiz: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Cevap: 7/12
Kural 4, Örnek 1:
Hesapla: 3/4 * 1/4
Dördüncü kuralı kullanarak, birinci kesrin paydasını ikincinin paydasıyla, birinci kesrin payını da ikincinin payıyla çarpıyoruz. 3*1/4*4 = 3/16.
Cevap: 3/16
Kural 4, Örnek 2:
2/5 * 10/4'ü hesaplayın.
Bu kısım azaltılabilir. Bir çarpım olması durumunda, birinci kesrin payı ve ikincinin paydası ve ikinci kesrin payı ve birincinin paydası iptal edilir.
4'ten 2, 5'ten 10 sadeleşir. 1 * 2/2 = 1*1 = 1 elde ederiz.
Cevap: 2/5 * 10/4 = 1
Kural 5, Örnek 1:
Hesapla: 3/4: 5/6
5. kuralı kullanarak şunu elde ederiz: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Kesirleri önceki örneğin prensibine göre azaltıyoruz ve 9/10 elde ediyoruz.
Cevap: 9/10.
Kesirli örnekler nasıl çözülür - kesirli denklemler
Kesirli denklemler, paydanın bilinmeyen içerdiği örneklerdir. Böyle bir denklemi çözmek için belirli kuralları kullanmanız gerekir.
Bir örneğe bakalım:
15/3x+5 = 3 denklemini çözün
Sıfıra bölünemeyeceğini hatırlayalım. payda değeri sıfır olmamalıdır. Bu tür örnekleri çözerken bunun belirtilmesi gerekir. Bu amaçla bir OA (izin verilen değer aralığı) mevcuttur.
Yani 3x+5 ≠ 0.
Dolayısıyla: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
x = 5/3'te denklemin çözümü yoktur.
ODZ'yi belirttikten sonra, mümkün olan en iyi şekilde karar vermek verilen denklem kesirlerden kurtulacağız. Bunu yapmak için öncelikle kesirli olmayan tüm değerleri kesir olarak sunarız, bu durumda 3 sayısı. Elde ederiz: 15/(3x+5) = 3/1. Kesirlerden kurtulmak için her birini en küçük ortak paydayla çarpmanız gerekir. Bu durumda (3x+5)*1 olacaktır. Eylem sırası:
- 15/(3x+5)'i (3x+5)*1 = 15*(3x+5) ile çarpın.
- Parantezleri açın: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- Aynısını denklemin sağ tarafı için de yapıyoruz: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Sol ve sağ kenarları eşitleyin: 45x + 75 = 9x +15
- X'leri sola, sayıları sağa hareket ettirin: 36x = – 50
- X'i bulun: x = -50/36.
- İndirgeriz: -50/36 = -25/18
Cevap: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Kesirli örnekler nasıl çözülür - kesirli eşitsizlikler
(3x-5)/(2-x)≥0 tipindeki kesirli eşitsizlikler sayı ekseni kullanılarak çözülür. Bu örneğe bakalım.
Eylem sırası:
- Pay ve paydayı sıfıra eşitliyoruz: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Ortaya çıkan değerleri üzerine yazarak bir sayı ekseni çiziyoruz.
- Değerin altına bir daire çizin. İki tür daire vardır: dolu ve boş. İçi dolu daire, verilen değerin çözüm aralığında olduğu anlamına gelir. Boş bir daire bu değerin çözüm alanına dahil olmadığını gösterir.
- Payda olamayacağından sıfıra eşit, 2'nin altında boş bir daire olacak.
- İşaretleri belirlemek için denklemde ikiden büyük herhangi bir sayıyı yerine koyarız, örneğin 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. değer negatif yani ikiden sonra alanın üstüne eksi yazıyoruz. Daha sonra X'in yerine 5/3 ile 2 arasındaki herhangi bir değeri (örneğin 1) koyun. Değer yine negatiftir. Eksi yazıyoruz. Aynı işlemi 5/3'e kadar bulunan alan için de tekrarlıyoruz. 5/3'ten küçük herhangi bir sayıyı değiştiririz, örneğin 1. Yine eksi.
- İfadenin 0'dan büyük veya ona eşit olacağı x değerleriyle ilgilendiğimiz ve böyle bir değer olmadığından (her yerde eksiler vardır), bu eşitsizliğin çözümü yoktur, yani x = Ø (boş bir set).
Cevap: x = Ø