İfadelerin özdeş dönüşümleri okul matematik dersinin içerik satırlarından biridir. Denklemlerin, eşitsizliklerin, denklem sistemlerinin ve eşitsizliklerin çözümünde özdeş dönüşümler yaygın olarak kullanılır. Ayrıca ifadelerin aynı dönüşümleri zekanın, esnekliğin ve düşünmenin rasyonelliğinin gelişmesine katkıda bulunur.
Önerilen materyaller 8. sınıf öğrencilerine yöneliktir ve rasyonel ve irrasyonel ifadelerin özdeş dönüşümlerinin teorik temellerini, bu tür ifadeleri dönüştürmek için görev türlerini ve test metnini içerir.
1. Kimlik dönüşümlerinin teorik temelleri
Cebirdeki ifadeler, eylem işaretleriyle birbirine bağlanan sayı ve harflerden oluşan kayıtlardır.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" genişlik = "77" yükseklik = "21 src = ">.gif" genişlik = "20" yükseklik = "21 src = "> – cebirsel ifadeler.
İşlemlere bağlı olarak rasyonel ve irrasyonel ifadeler ayırt edilir.
Cebirsel ifadeler, içerdiği harflere göre rasyonel olarak adlandırılır. A, B, İle, ... toplama, çarpma, çıkarma, bölme ve üs alma dışında başka bir işlem yapılmaz.
Bir değişkenin kökünü çıkarma veya bir değişkeni tam sayı olmayan rasyonel bir kuvvete yükseltme işlemlerini içeren cebirsel ifadelere bu değişkene göre irrasyonel denir.
Belirli bir ifadenin kimlik dönüşümü, bir ifadenin belirli bir kümede kendisine tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesidir.
Aşağıdaki teorik gerçekler, rasyonel ve irrasyonel ifadelerin özdeş dönüşümlerinin temelini oluşturmaktadır.
1. Tamsayı üssü olan kuvvetlerin özellikleri:
, N AÇIK; A 1=A;
, N AÇIK, A¹0; A 0=1, A¹0;
, A¹0;
, A¹0;
, A¹0;
, A¹0, B¹0;
, A¹0, B¹0.
2. Kısaltılmış çarpma formülleri:
Nerede A, B, İle– herhangi bir gerçek sayı;
Nerede A¹0, X 1 ve X 2 – denklemin kökleri 
.
3. Kesirlerin temel özelliği ve kesirler üzerindeki eylemler:
, Nerede B¹0, İle¹0;
; 
;
4. Aritmetik kökün tanımı ve özellikleri:
; , B#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; 
,
Nerede A, B– negatif olmayan sayılar, N AÇIK, N³2, M AÇIK, M³2.
1. İfade Dönüştürme Alıştırmalarının Türleri
İfadelerin kimlik dönüşümüne ilişkin çeşitli alıştırmalar bulunmaktadır. Birinci tip: Gerçekleştirilmesi gereken dönüşüm açıkça belirtilir.
Örneğin.
1. Bunu bir polinom olarak temsil edin.
Bu dönüşümü gerçekleştirirken polinomların çarpma ve çıkarma kurallarını, kısaltılmış çarpma formülünü ve benzer terimlerin indirgenmesini kullandık.
2. Şunları hesaba katın: 
.
Dönüşümü gerçekleştirirken ortak çarpanı parantez dışına çıkarma kuralını ve 2 kısaltılmış çarpma formülünü kullandık.
3. Kesri azaltın:
.
Dönüşümü gerçekleştirirken parantezlerden ortak çarpanın çıkarılmasını, değişme ve daralma yasalarını, 2 kısaltılmış çarpma formülünü ve kuvvetler üzerindeki işlemleri kullandık.
4. Aşağıdaki durumlarda çarpanı kök işaretinin altından kaldırın: A³0, B³0, İle³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" genişlik = "432" yükseklik = "27">
Kökler üzerindeki eylemlere ilişkin kuralları ve bir sayının modülünün tanımını kullandık.
5. Bir kesrin paydasındaki irrasyonelliği ortadan kaldırın. 
.
İkinci tip egzersizler yapılması gereken ana dönüşümün açıkça belirtildiği egzersizlerdir. Bu tür alıştırmalarda gereksinim genellikle aşağıdaki biçimlerden birinde formüle edilir: ifadeyi basitleştirin, hesaplayın. Bu tür alıştırmaları yaparken, ifadenin verilenden daha kompakt bir form alması veya sayısal bir sonuç elde edilmesi için öncelikle hangi dönüşümlerin hangi sırayla yapılması gerektiğini belirlemek gerekir.
Örneğin
6. İfadeyi basitleştirin:
Çözüm:
.
Cebirsel kesirlerin ve kısaltılmış çarpma formüllerinin çalıştırılmasında kullanılan kurallar.
7. İfadeyi basitleştirin:
.
Eğer A³0, B³0, A¹ B.
Kısaltılmış çarpma formüllerini, kesirleri toplama ve irrasyonel ifadeleri çarpma kurallarını, https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29"> kimliğini kullandık.
Tam bir kare seçme işlemini kullandık, kimlik https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, if .
Kanıt:
O zamandan beri ve veya veya veya , yani .
Küplerin toplamı için koşulu ve formülü kullandık.
Değişkenleri bağlayan koşulların ilk iki türden alıştırmalarda da belirtilebileceği akılda tutulmalıdır.
Örneğin.
10. Varsa bulun.
Bu derste rasyonel ifadeler ve dönüşümleri hakkında temel bilgilerin yanı sıra rasyonel ifadelerin dönüşüm örnekleri de işlenecektir. Bu konu şu ana kadar incelediğimiz konuları özetlemektedir. Rasyonel ifadelerin dönüşümleri toplama, çıkarma, çarpma, bölme, cebirsel kesirlerin üssü, indirgeme, çarpanlara ayırma vb. işlemlerini içerir. Dersin bir parçası olarak rasyonel bir ifadenin ne olduğuna bakacağız ve ayrıca bunların dönüşüm örneklerini analiz edeceğiz.
Ders:Cebirsel kesirler. Cebirsel kesirlerde aritmetik işlemler
Ders:Rasyonel ifadeler ve dönüşümleri hakkında temel bilgiler
Tanım
Rasyonel ifade sayılar, değişkenler, aritmetik işlemler ve üs alma işleminden oluşan bir ifadedir.
Rasyonel ifadenin bir örneğine bakalım:
Rasyonel ifadelerin özel durumları:
1. derece: 
;
2. tek terimli: ;
3. kesir: .
Rasyonel bir ifadeyi dönüştürme rasyonel bir ifadenin basitleştirilmesidir. Rasyonel ifadeleri dönüştürürken yapılacak işlemlerin sırası: önce parantez içindeki işlemler, ardından çarpma (bölme) işlemleri ve ardından toplama (çıkarma) işlemleri vardır.
Rasyonel ifadeleri dönüştürmenin birkaç örneğine bakalım.
örnek 1
Çözüm:
Bu örneği adım adım çözelim. Önce parantez içindeki işlem gerçekleştirilir.
Cevap:
Örnek 2
Çözüm:
Cevap:
Örnek 3
Çözüm:
Cevap: .
Not: Belki bu örneği gördüğünüzde bir fikir ortaya çıktı: kesri ortak bir paydaya indirmeden önce azaltın. Gerçekten de kesinlikle doğrudur: önce ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirmeniz ve sonra dönüştürmeniz önerilir. Aynı örneği ikinci şekilde çözmeye çalışalım.
Gördüğünüz gibi cevabın kesinlikle benzer olduğu ortaya çıktı, ancak çözümün biraz daha basit olduğu ortaya çıktı.
Bu derste inceledik Rasyonel ifadeler ve dönüşümleri ve bu dönüşümlerin birkaç spesifik örneğini bulabilirsiniz.
Kaynakça
1. Bashmakov M.I. Cebir 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir 8. - 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
Rasyonel ifadeler ve kesirler tüm cebir dersinin temel taşıdır. Bu tür ifadelerle çalışmayı, bunları basitleştirmeyi ve çarpanlarına ayırmayı öğrenenler, aslında her sorunu çözebileceklerdir, çünkü ifadeleri dönüştürmek herhangi bir ciddi denklemin, eşitsizliğin ve hatta sözlü problemin ayrılmaz bir parçasıdır.
Bu video eğitiminde rasyonel ifadeleri ve kesirleri basitleştirmek için kısaltılmış çarpma formüllerinin nasıl doğru şekilde kullanılacağına bakacağız. İlk bakışta hiçbir şeyin olmadığı bu formülleri görmeyi öğrenelim. Aynı zamanda, ikinci dereceden bir trinomialin bir diskriminant aracılığıyla çarpanlara ayrılması gibi basit bir tekniği tekrarlayacağız.
Muhtemelen arkamdaki formüllerden tahmin ettiğiniz gibi, bugün kısaltılmış çarpma formüllerini veya daha doğrusu formüllerin kendisini değil, bunların karmaşık rasyonel ifadeleri basitleştirmek ve azaltmak için kullanımını inceleyeceğiz. Ancak örnekleri çözmeye geçmeden önce bu formüllere daha yakından bakalım veya hatırlayalım:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — kareler farkı;
- $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ toplamın karesidir;
- $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — kare farkı;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ küplerin toplamıdır;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ küplerin farkıdır.
Ayrıca şunu da belirtmek isterim ki okul eğitim sistemimiz bu konunun çalışılmasıyla olacak şekilde yapılandırılmıştır, yani. Rasyonel ifadeler, kökler, modüller gibi tüm öğrenciler aynı sorunu yaşıyor, bunu şimdi açıklayacağım.
Gerçek şu ki, kısaltılmış çarpma formüllerini ve buna bağlı olarak kesirleri azaltmaya yönelik eylemleri (bu 8. sınıfta bir yerde) çalışmanın en başında öğretmenler aşağıdakine benzer bir şey söylüyor: "Eğer bir şey sizin için açık değilse, o zaman yapma" Merak etme sana yardım edeceğiz.” Bu konuya lisede mutlaka tekrar döneceğiz. Bu konuyu daha sonra inceleyeceğiz." Peki, 9-10. sınıfların başında aynı öğretmenler, rasyonel kesirlerin çözümünü henüz bilmeyen aynı öğrencilere şöyle bir şey açıklıyor: “Geçen iki yıl neredeydiniz? Bu 8. sınıfta cebirde çalışıldı! Burada belirsiz olan ne olabilir? Çok açık!"
Bununla birlikte, bu tür açıklamalar sıradan öğrencilerin işini kolaylaştırmıyor: kafalarında hâlâ bir karışıklık vardı, bu yüzden şimdi iki basit örneğe bakacağız ve bunlara dayanarak bu ifadeleri gerçek problemlerde nasıl izole edeceğimizi göreceğiz. Bu da bizi kısaltılmış çarpma formüllerine ve bunun daha sonra karmaşık rasyonel ifadeleri dönüştürmek için nasıl uygulanacağına götürecektir.
Basit rasyonel kesirlerin azaltılması
Görev No.1
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]
Öğrenmemiz gereken ilk şey, orijinal ifadelerdeki tam kareleri ve daha yüksek kuvvetleri belirlemektir; buna dayanarak daha sonra formülleri uygulayabiliriz. Bir göz atalım:
Bu gerçekleri dikkate alarak ifademizi yeniden yazalım:
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \sağ))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \sağ))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]
Cevap: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.
Sorun No. 2
Gelelim ikinci göreve:
\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))\]
Burada basitleştirilecek bir şey yok çünkü pay bir sabit içeriyor, ancak bu problemi tam olarak iki değişken içeren polinomları nasıl çarpanlara ayıracağınızı öğrenmeniz için önerdim. Bunun yerine aşağıdaki polinomumuz olsaydı, onu nasıl genişletirdik?
\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]
Denklemi çözelim ve noktaların yerine koyabileceğimiz $x$ değerini bulalım:
\[((x)^(2))+5x-6=0\]
\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]
\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]
Üç terimliyi şu şekilde yeniden yazabiliriz:
\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]
İkinci dereceden üç terimliyle nasıl çalışacağımızı öğrendik; bu yüzden bu video dersini kaydetmemiz gerekiyordu. Peki ya $x$ ve bir sabite ek olarak $y$ da varsa? Bunları katsayıların başka bir unsuru olarak ele alalım, yani. İfademizi şu şekilde yeniden yazalım:
\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]
\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]
\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]
Kare yapımızın açılımını yazalım:
\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]
Yani orijinal ifadeye dönüp değişiklikleri dikkate alarak yeniden yazarsak aşağıdakileri elde ederiz:
\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]
Böyle bir kayıt bize ne verir? Hiçbir şey, çünkü indirgenemez, hiçbir şeyle çarpılamaz veya bölünemez. Ancak bu kesirin daha karmaşık bir ifadenin ayrılmaz bir parçası olduğu ortaya çıktığı anda böyle bir genişletme işe yarayacaktır. Bu nedenle, ikinci dereceden bir trinomial gördüğünüzde (ek parametrelerle dolu olup olmadığı önemli değil), daima onu çarpanlara ayırmaya çalışın.
Çözümün nüansları
Rasyonel ifadeleri dönüştürmenin temel kurallarını hatırlayın:
- Tüm paydalar ve paylar kısaltılmış çarpma formülleri veya bir diskriminant aracılığıyla çarpanlara ayrılmalıdır.
- Aşağıdaki algoritmaya göre çalışmanız gerekir: Kısaltılmış çarpma formülüne bakıp izole etmeye çalıştığımızda, her şeyden önce her şeyi mümkün olan en yüksek dereceye dönüştürmeye çalışırız. Bundan sonra genel dereceyi parantezden çıkarıyoruz.
- Çoğu zaman parametreli ifadelerle karşılaşacaksınız: diğer değişkenler katsayılar olarak görünecektir. Bunları ikinci dereceden genişleme formülünü kullanarak buluyoruz.
Dolayısıyla, rasyonel kesirleri gördüğünüzde yapmanız gereken ilk şey, kısaltılmış çarpma veya ayırma formüllerini kullanarak hem pay hem de paydayı doğrusal ifadelere ayırmaktır.
Bu rasyonel ifadelerden birkaçına bakalım ve bunları çarpanlarına ayırmaya çalışalım.
Daha karmaşık örnekleri çözme
Görev No.1
\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]
Her terimi yeniden yazıp ayrıştırmaya çalışıyoruz:
Tüm rasyonel ifademizi bu gerçekleri dikkate alarak yeniden yazalım:
\[\frac(((\sol(2x \sağ))^(2))-2x\cdot 3y+((\sol(3y \sağ))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\sol(3y \sağ))^(2))-((\sol(2x \sağ))^(2)))(((\sol(2x \sağ))^(3))+ ((\sol(3y \sağ))^(3))))=\]
\[=\frac(((\sol(2x \sağ))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \sağ))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]
Cevap: $-1$.
Sorun No. 2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
Tüm kesirlere bakalım.
\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\sol(x-2 \sağ))^(2))\]
Değişiklikleri dikkate alarak tüm yapıyı yeniden yazalım:
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\sol(x-2 \sağ))^(2)))\cdot \frac(\sol(2-x \sağ)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \sağ))(\left(2x-1 \sağ)\left(2x+1 \sağ))=\]
\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \sol(x-2 \sağ))\]
Cevap: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.
Çözümün nüansları
Peki az önce öğrendiklerimiz:
- Her kare trinomial çarpanlara ayrılamaz; özellikle bu, çoğunlukla toplam veya fark küplerinin parçaları olarak bulunan toplamın veya farkın tamamlanmamış karesi için geçerlidir.
- Sabitler, yani Değişkenleri olmayan sıradan sayılar da genişletme sürecinde aktif öğeler olarak hareket edebilir. Birincisi, parantezlerin dışına çıkarılabilirler ve ikinci olarak sabitlerin kendileri kuvvetler biçiminde temsil edilebilir.
- Çoğu zaman, tüm unsurları çarpanlarına ayırdıktan sonra zıt yapılar ortaya çıkar. Bu kesirler son derece dikkatli bir şekilde azaltılmalıdır, çünkü bunların üstünden veya altından çizildiğinde ek bir $-1$ faktörü ortaya çıkar - bu tam olarak onların zıt olmaları gerçeğinin bir sonucudur.
Karmaşık sorunları çözme
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^) (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Her terimi ayrı ayrı ele alalım.
İlk kesir:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \sağ))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]
\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]
İkinci kesrin payının tamamını şu şekilde yeniden yazabiliriz:
\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]
Şimdi paydaya bakalım:
\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]
Yukarıdaki gerçekleri dikkate alarak rasyonel ifadenin tamamını yeniden yazalım:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \sağ))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2))))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Cevap: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.
Çözümün nüansları
Bir kez daha gördüğümüz gibi, gerçek rasyonel ifadelerde sıklıkla bulunan toplamın eksik kareleri veya farkın eksik kareleri onlardan korkmaz çünkü her bir öğeyi dönüştürdükten sonra neredeyse her zaman iptal edilirler. Ek olarak, son cevapta hiçbir durumda büyük yapılardan korkmamalısınız - bunun sizin hatanız olmaması oldukça olasıdır (özellikle her şey faktörize edilmişse), ancak yazar böyle bir cevabı amaçlamıştır.
Sonuç olarak, artık rasyonel kesirlerle doğrudan ilgili olmayan, ancak gerçek testlerde ve sınavlarda sizi bekleyen her şeyi içeren başka bir karmaşık örneğe bakmak istiyorum: çarpanlara ayırma, ortak bir paydaya indirgeme, benzer terimlerin azaltılması. Şimdi yapacağımız şey tam olarak bu.
Rasyonel ifadeleri basitleştirme ve dönüştürmeye ilişkin karmaşık bir problemi çözme
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \sağ)\]
Öncelikle ilk paranteze bakalım ve açalım: içinde farklı paydalara sahip üç ayrı kesir görüyoruz, dolayısıyla yapmamız gereken ilk şey üç kesirin hepsini ortak bir paydaya getirmek ve bunu yapmak için her birinin çarpanlara ayrılır:
\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]
\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \sağ)\]
Tüm yapımızı şu şekilde yeniden yazalım:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]
\[=\frac(((\sol(x-2 \sağ))^(2)))(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Bu, ilk parantezdeki hesaplamaların sonucudur.
Gelelim ikinci parantez konusuna:
\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ Sağ)\]
Değişiklikleri dikkate alarak ikinci parantezi yeniden yazalım:
\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]
Şimdi orijinal yapının tamamını yazalım:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \sağ)\left(x+2 \sağ))=\frac(1)(x+2)\]
Cevap: $\frac(1)(x+2)$.
Çözümün nüansları
Gördüğünüz gibi cevabın oldukça makul olduğu ortaya çıktı. Ancak lütfen unutmayın: Bu tür büyük ölçekli hesaplamalar sırasında, tek değişken yalnızca paydada göründüğünde, öğrenciler bunun payda olduğunu ve kesirin altında olması gerektiğini unuturlar ve bu ifadeyi paya yazarlar - bu büyük bir hatadır.
Ayrıca bu tür görevlerin nasıl resmileştirildiğine de özellikle dikkatinizi çekmek isterim. Herhangi bir karmaşık hesaplamada, tüm adımlar tek tek gerçekleştirilir: önce ilk braketi ayrı ayrı sayarız, sonra ikincisini ayrı ayrı sayarız ve ancak sonunda tüm parçaları birleştirip sonucu hesaplarız. Bu sayede aptalca hatalara karşı kendimizi güvence altına alıyor, tüm hesaplamaları dikkatlice yazıyor ve aynı zamanda ilk bakışta göründüğü gibi fazladan zaman kaybetmiyoruz.
Makale rasyonel ifadelerin dönüşümünden bahsediyor. Rasyonel ifadelerin türlerini, dönüşümlerini, gruplandırılmasını ve ortak çarpanı parantez içine alarak ele alalım. Kesirli rasyonel ifadeleri rasyonel kesirler biçiminde temsil etmeyi öğrenelim.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rasyonel ifadelerin tanımı ve örnekleri
Tanım 1Kesir çizgisinin bulunduğu sayı, değişken, parantez, kuvvetlerden oluşan toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemleriyle oluşan ifadelere denir. Rasyonel ifadeler.
Örneğin, elimizde 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x var 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Yani bunlar değişkenli ifadelere bölünmeyen ifadelerdir. Rasyonel ifadelerin incelenmesi, kesirli rasyonel ifadeler olarak adlandırıldığı 8. sınıfta başlar. Paydaki dönüşüm kuralları kullanılarak dönüştürülen kesirlere özellikle dikkat edilir.
Bu, keyfi biçimdeki rasyonel kesirlerin dönüşümüne ilerlememizi sağlar. Böyle bir ifade, rasyonel kesirlerin ve eylem işaretli tamsayı ifadelerinin bulunduğu bir ifade olarak düşünülebilir.
Rasyonel ifadelerin ana dönüşüm türleri
Sayılarla aynı dönüşümleri, gruplamaları, benzerleri getirmeyi ve diğer işlemleri gerçekleştirmek için rasyonel ifadeler kullanılır. Bu tür ifadelerin amacı sadeleştirmedir.
örnek 1
3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 rasyonel ifadesini dönüştürün.
Çözüm
Böyle rasyonel bir ifadenin 3 x x y - 1 ile 2 x x y - 1 arasındaki fark olduğu görülebilir. Paydalarının aynı olduğunu görüyoruz. Bu, benzer terimlerin azaltılmasının şu şekilde olacağı anlamına gelir:
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Cevap: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Örnek 2
2 x y 4 (- 4) x 2'yi dönüştürün: (3 x - x) .
Çözüm
Başlangıçta parantez içindeki eylemleri 3 · x − x = 2 · x gerçekleştiriyoruz. Bu ifadeyi 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x biçiminde temsil ediyoruz. Tek adımlı işlemleri yani toplama ve çıkarma işlemlerini içeren bir ifadeye ulaşıyoruz.
Bölme özelliğini kullanarak parantezlerden kurtuluyoruz. O zaman şunu elde ederiz: 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.
Sayısal faktörleri x değişkeniyle gruplandırıyoruz, ardından güçlerle işlemler yapabiliyoruz. Bunu anlıyoruz
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Cevap: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Örnek 3
x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 biçimindeki bir ifadeyi dönüştürün.
Çözüm
Öncelikle pay ve paydayı dönüştürüyoruz. Daha sonra (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 formunda bir ifade elde ederiz ve önce parantez içindeki işlemler yapılır. Payda işlemler yapılır ve faktörler gruplandırılır. Daha sonra x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x biçiminde bir ifade elde ederiz. + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Paydaki kareler farkı formülünü dönüştürüyoruz, sonra şunu elde ediyoruz:
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Cevap: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Rasyonel kesir gösterimi
Cebirsel kesirler çoğunlukla çözüldüğünde basitleştirilir. Her rasyonel buna farklı şekillerde getirilir. Rasyonel ifadenin sonuçta rasyonel bir kesir verebilmesi için gerekli tüm işlemleri polinomlarla yapmak gerekir.
Örnek 4
Rasyonel kesir olarak sunun a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Çözüm
Bu ifade 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a olarak temsil edilebilir. Çarpma öncelikle kurallara göre yapılır.
Çarpmayla başlamalıyız, sonra bunu elde ederiz
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
Elde edilen sonucu orijinaliyle birlikte sunuyoruz. Bunu anlıyoruz
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 ve 2 - 9
Bundan sonra orijinal ifadenin 16 a 2 - 9 formunu alacağı açıktır.
Cevap: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Örnek 5
x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x'i rasyonel kesir olarak ifade edin.
Çözüm
Verilen ifade payı x x + 1 + 1, paydası 2 x - 1 1 + x olan bir kesir olarak yazılır. x x + 1 + 1 dönüşümlerini yapmak gerekiyor. Bunu yapmak için bir kesir ve bir sayı eklemeniz gerekir. Şunu elde ederiz: x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
Bundan şu sonuç çıkar: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
Ortaya çıkan kesir 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x olarak yazılabilir.
Bölme işleminden sonra formun rasyonel bir kesrine ulaşırız
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Bunu farklı şekilde çözebilirsiniz.
2 x - 1 1 + x'e bölmek yerine bunun tersi olan 1 + x 2 x - 1 ile çarpıyoruz. Dağıtım özelliğini uygulayalım ve şunu bulalım:
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Cevap: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.