Üstel eşitsizliğin çözümü olmadığında. Üstel eşitsizlikleri çözme: temel yöntemler

Şekil 5'teki diyagram:

Ve şu örnek: Eşitsizliği çözün 0,6 2x – 3< 0,36 .

Şekil 5'teki diyagramı takip ederek şunu elde ederiz:
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2х – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Cevap: (2,5; +∞) .

Formdaki bir eşitsizliği çözmek için son şemayı ele alalım. ve f(x)< b , en a>0 Ve B<0 Şekil 6'da sunulan:

Örneğin eşitsizliği çözelim:

X'in yerine hangi sayıyı koyarsak koyalım eşitsizliğin sol tarafının her zaman sıfırdan büyük olduğunu ve bizim durumumuzda bu ifadenin -8'den küçük olduğunu, yani ve sıfır, bu da hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Cevap: çözüm yok.

En basit üstel eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi bilerek devam edebilirsiniz. üstel eşitsizlikleri çözme.

Örnek 1.

Eşitsizliği sağlayan en büyük x tamsayı değerini bulun

6 x sıfırdan büyük olduğundan (hiçbir x durumunda payda sıfıra gitmez), eşitsizliğin her iki tarafını 6 x ile çarparsak şunu elde ederiz:

440 – 2 6 2x > 8 ise
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

X< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Cevap: 1.

Örnek 2.

Eşitsizliği çözün 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

2 x'i y ile gösterelim, y 2 – 3y + 2 ≤ 0 eşitsizliğini elde edelim ve bu ikinci dereceden eşitsizliği çözelim.

y 2 – 3y +2 = 0,
y1 = 1 ve y2 = 2.

Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilmiş, bir grafik çizelim:

O halde eşitsizliğin çözümü eşitsizlik 1 olacaktır.< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Cevap: (0; 1) .

Örnek 3. Eşitsizliği çöz 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Eşitsizliğin bir kısmında aynı tabanlara sahip ifadeleri toplayalım

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Eşitsizliğin sol tarafındaki parantezlerden 5 x, sağ tarafındaki 3 x'i çıkaralım ve eşitsizliği elde edelim

5x(5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3.5 x< (25/3)·3 х

Eşitsizliğin her iki tarafını da 3 3 x ifadesine bölersek eşitsizliğin işareti değişmez, 3 3 x pozitif bir sayı olduğundan eşitsizliği elde ederiz:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Cevap: (–∞; 2) .

Üstel eşitsizliklerin çözümüyle ilgili sorularınız varsa veya benzer örnekleri çözme konusunda pratik yapmak istiyorsanız derslerime kaydolun. Öğretmen Valentina Galinevskaya.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Matematik problemlerinin çoğunu öyle ya da böyle çözmek, sayısal, cebirsel ya da fonksiyonel ifadelerin dönüştürülmesini içerir. Yukarıdakiler özellikle karar için geçerlidir. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının versiyonlarında, bu tür problemler özellikle C3 görevini içerir. C3 görevlerini çözmeyi öğrenmek, yalnızca Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek amacıyla değil, aynı zamanda bu becerinin lisede bir matematik dersi çalışırken faydalı olacağı için de önemlidir.

C3 görevlerini tamamlarken çeşitli denklem ve eşitsizlik türlerini çözmeniz gerekir. Bunlar arasında rasyonel, irrasyonel, üstel, logaritmik, trigonometrik, modüller (mutlak değerler) içeren ve birleştirilmiş olanlar bulunmaktadır. Bu makale, üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin ana türlerinin yanı sıra bunları çözmek için çeşitli yöntemleri tartışmaktadır. Matematikte Birleşik Devlet Sınavından C3 problemlerini çözme yöntemlerine ayrılmış makalelerin “” bölümünde diğer denklem ve eşitsizlik türlerinin çözümü hakkında bilgi edinin.

Spesifik analize başlamadan önce üstel denklemler ve eşitsizlikler Bir matematik öğretmeni olarak ihtiyaç duyacağımız bazı teorik materyalleri tazelemenizi öneririm.

Üstel fonksiyon

Üstel fonksiyon nedir?

Formun işlevi sen = bir x, Nerede A> 0 ve A≠ 1 denir üstel fonksiyon.

Temel üstel fonksiyonun özellikleri sen = bir x:

Üstel Fonksiyonun Grafiği

Üstel fonksiyonun grafiği üs:

Üstel fonksiyonların grafikleri (üslü sayılar)

Üstel denklemleri çözme

Gösterge niteliğinde bilinmeyen değişkenin yalnızca bazı kuvvetlerin üslerinde bulunduğu denklemlere denir.

Çözmek için üstel denklemler aşağıdaki basit teoremi bilmeniz ve kullanabilmeniz gerekir:

Teorem 1.Üstel denklem A F(X) = A G(X) (Nerede A > 0, A≠ 1) denkleme eşdeğerdir F(X) = G(X).

Ayrıca temel formülleri ve dereceli işlemleri de hatırlamakta fayda var:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Örnek 1. Denklemi çözün:

Çözüm: Yukarıdaki formülleri ve ikameleri kullanıyoruz:

Denklem şu hale gelir:

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin diskriminantı pozitiftir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Bu, bu denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir. Onları buluyoruz:

Ters ikameye devam edersek şunu elde ederiz:

İkinci denklemin kökleri yoktur, çünkü üstel fonksiyon tüm tanım alanı boyunca kesinlikle pozitiftir. İkincisini çözelim:

Teorem 1'de söylenenleri dikkate alarak eşdeğer denkleme geçiyoruz: X= 3. Bu görevin cevabı olacak.

Cevap: X = 3.

Örnek 2. Denklemi çözün:

Çözüm: Denklemin izin verilen değerlerin aralığı üzerinde herhangi bir kısıtlaması yoktur, çünkü radikal ifade herhangi bir değer için anlamlıdır X(üstel fonksiyon sen = 9 4 -X pozitif ve sıfıra eşit değil).

Denklemi çarpma ve kuvvetler bölümü kurallarını kullanarak eşdeğer dönüşümlerle çözüyoruz:

Son geçiş Teorem 1'e uygun olarak gerçekleştirildi.

Cevap:X= 6.

Örnek 3. Denklemi çözün:

Çözüm: Orijinal denklemin her iki tarafı da 0,2'ye bölünebilir X. Bu ifade herhangi bir değer için sıfırdan büyük olduğundan bu geçiş eşdeğer olacaktır. X(üstel fonksiyon, tanım alanında kesinlikle pozitiftir). O halde denklem şu şekli alır:

Cevap: X = 0.

Örnek 4. Denklemi çözün:

Çözüm: Makalenin başında verilen kuvvetlerin bölme ve çarpma kurallarını kullanarak eşdeğer dönüşümler yoluyla denklemi temel bir denklemle basitleştiriyoruz:

Denklemin her iki tarafının da 4'e bölünmesi Xönceki örnekte olduğu gibi eşdeğer bir dönüşümdür çünkü bu ifade hiçbir değer için sıfıra eşit değildir X.

Cevap: X = 0.

Örnek 5. Denklemi çözün:

Çözüm: işlev sen = 3X Denklemin sol tarafında duran , artıyor. İşlev sen = —X Denklemin sağ tarafındaki -2/3 azalıyor. Bu, eğer bu fonksiyonların grafikleri kesişiyorsa en fazla bir noktada olduğu anlamına gelir. Bu durumda grafiklerin bir noktada kesiştiğini tahmin etmek kolaydır. X= -1. Başka kök olmayacak.

Cevap: X = -1.

Örnek 6. Denklemi çözün:

Çözüm:Üstel fonksiyonun herhangi bir değer için kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu her yerde akılda tutarak denklemi eşdeğer dönüşümler yoluyla basitleştiririz. X ve makalenin başında verilen güçlerin çarpımını ve bölümünü hesaplamak için kuralları kullanmak:

Cevap: X = 2.

Üstel eşitsizlikleri çözme

Gösterge niteliğinde bilinmeyen değişkenin yalnızca bazı kuvvetlerin üslerinde yer aldığı eşitsizliklere denir.

Çözmek için üstel eşitsizlikler Aşağıdaki teoremin bilinmesi gereklidir:

Teorem 2. Eğer A> 1 ise eşitsizlik A F(X) > A G(X) aynı anlama gelen bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) > G(X). 0 ise< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) zıt anlamı olan bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) < G(X).

Örnek 7. Eşitsizliği çözün:

Çözüm: Orijinal eşitsizliği şu şekilde sunalım:

Bu eşitsizliğin her iki tarafını da 3 2'ye bölelim X, bu durumda (fonksiyonun pozitifliği nedeniyle) sen= 3 2X) eşitsizlik işareti değişmeyecek:

Değiştirmeyi kullanalım:

O zaman eşitsizlik şu şekli alacaktır:

Dolayısıyla eşitsizliğin çözümü aralıktır:

Ters ikameye geçtiğimizde şunu elde ederiz:

Üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle sol eşitsizlik otomatik olarak karşılanır. Logaritmanın iyi bilinen özelliğini kullanarak eşdeğer eşitsizliğe geçiyoruz:

Derecenin tabanı birden büyük bir sayı olduğundan eşdeğer (Teorem 2'ye göre) aşağıdaki eşitsizliğe geçiştir:

Yani sonunda elde ettik cevap:

Örnek 8. Eşitsizliği çözün:

Çözüm:Çarpma ve kuvvetler ayrılığının özelliklerini kullanarak eşitsizliği şu şekilde yeniden yazıyoruz:

Yeni bir değişken tanıtalım:

Bu ikame dikkate alındığında eşitsizlik şu şekli alır:

Kesrin payını ve paydasını 7 ile çarparak aşağıdaki eşdeğer eşitsizliği elde ederiz:

Yani değişkenin aşağıdaki değerleri eşitsizliği karşılar T:

Daha sonra ters ikameye geçerek şunu elde ederiz:

Buradaki derecenin tabanı birden büyük olduğundan eşitsizliğe geçiş eşdeğer olacaktır (Teorem 2'ye göre):

Sonunda elde ettik cevap:

Örnek 9. Eşitsizliği çözün:

Çözüm:

Eşitsizliğin her iki tarafını da şu ifadeyle bölüyoruz:

Her zaman sıfırdan büyüktür (üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle), dolayısıyla eşitsizlik işaretini değiştirmeye gerek yoktur. Şunu elde ederiz:

t aralıkta bulunur:

Ters ikameye geçildiğinde, orijinal eşitsizliğin iki duruma bölündüğünü görüyoruz:

Üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle birinci eşitsizliğin çözümü yoktur. İkincisini çözelim:

Örnek 10. Eşitsizliği çözün:

Çözüm:

Parabol dalları sen = 2X+2-X 2 aşağıya doğru yönlendirilir, bu nedenle tepe noktasında ulaştığı değerle yukarıdan sınırlıdır:

Parabol dalları sen = X 2 -2X Göstergedeki +2 yukarıya doğru yönlendirilir, yani tepe noktasında ulaştığı değerle aşağıdan sınırlanır:

Aynı zamanda fonksiyonun alttan sınırlı olduğu da ortaya çıkıyor sen = 3 X 2 -2X+2 denklemin sağ tarafındadır. Üssündeki parabol ile aynı noktada en küçük değerine ulaşır ve bu değer 3 1 = 3'tür. Yani orijinal eşitsizlik ancak soldaki fonksiyon ile sağdaki fonksiyonun aynı değeri alması durumunda doğru olabilir. 3'e eşit (bu fonksiyonların değer aralıklarının kesişimi yalnızca bu sayıdır). Bu koşul tek bir noktada sağlanır X = 1.

Cevap: X= 1.

Karar vermeyi öğrenmek için üstel denklemler ve eşitsizlikler, bunları çözmek için sürekli eğitim almak gerekir. Çeşitli öğretim yardımcıları, ilköğretim matematik problem kitapları, rekabet problemleri koleksiyonları, okuldaki matematik dersleri ve profesyonel bir öğretmenden alınan bireysel dersler bu zor görevde size yardımcı olabilir. Sınava hazırlıklarınızda başarılar ve mükemmel sonuçlar diliyorum.

Sergey Valerievich

Değerli konuklar! Lütfen yorumlara denklemlerinizi çözmek için istekler yazmayın. Maalesef bunun için kesinlikle zamanım yok. Bu tür mesajlar silinecektir. Lütfen makaleyi okuyun. Belki de içinde görevinizi kendi başınıza çözmenize izin vermeyen soruların yanıtlarını bulacaksınız.

Üstel denklemler ve eşitsizlikler, bilinmeyenin üssün içinde yer aldığı denklemlerdir.

Üstel denklemleri çözmek genellikle a x = a b denklemini çözmekle sonuçlanır; burada a > 0, a ≠ 1, x bir bilinmeyendir. Aşağıdaki teorem doğru olduğundan bu denklemin tek bir kökü x = b vardır:

Teorem. a > 0, a ≠ 1 ve a x 1 = a x 2 ise, x 1 = x 2 olur.

Ele alınan ifadeyi kanıtlayalım.

x 1 = x 2 eşitliğinin geçerli olmadığını varsayalım, yani. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 ise üstel fonksiyon y = a x artar ve dolayısıyla a x 1 eşitsizliği karşılanmalıdır< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >bir x 2. Her iki durumda da a x 1 = a x 2 koşuluyla bir çelişki elde ettik.

Birkaç problemi ele alalım.

4 ∙ 2 x = 1 denklemini çözün.

Çözüm.

Denklemi 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 formunda yazalım, buradan x + 2 = 0 elde ederiz, yani. x = -2.

Cevap. x = -2.

Denklem 2 3x ∙ 3 x = 576'yı çözün.

Çözüm.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 olduğundan denklem 8 x ∙ 3 x = 24 2 veya 24 x = 24 2 olarak yazılabilir.

Buradan x = 2 elde ederiz.

Cevap. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 denklemini çözün.

Çözüm.

Sol taraftaki parantezlerden 3 x - 2 ortak faktörünü aldığımızda, 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 elde ederiz,

dolayısıyla 3 x - 2 = 1, yani. x – 2 = 0, x = 2.

Cevap. x = 2.

3 x = 7 x denklemini çözün.

Çözüm.

7 x ≠ 0 olduğundan denklem 3 x /7 x = 1 olarak yazılabilir, dolayısıyla (3/7) x = 1, x = 0 olur.

Cevap. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 denklemini çözün.

Çözüm.

3 x = a yerine bu denklem ikinci dereceden a 2 – 4a – 45 = 0 denklemine indirgenir.

Bu denklemi çözerek köklerini buluruz: a 1 = 9 ve 2 = -5, dolayısıyla 3 x = 9, 3 x = -5.

Üstel fonksiyon negatif değerler alamadığı için 3 x = 9 denkleminin kökü 2'dir ve 3 x = -5 denkleminin kökleri yoktur.

Cevap. x = 2.

Üstel eşitsizliklerin çözümü genellikle a x > a b veya a x eşitsizliklerinin çözümüne indirgenir< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Bazı sorunlara bakalım.

Eşitsizliği çöz 3 x< 81.

Çözüm.

Eşitsizliği 3x şeklinde yazalım.< 3 4 . Так как 3 >1 ise y = 3 x fonksiyonu artmaktadır.

Bu nedenle x için< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Böylece, x'te< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Cevap. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

4 x = t diyelim, sonra ikinci dereceden t2 + t – 2 > 0 eşitsizliğini elde ederiz.

Bu eşitsizlik t için geçerlidir< -2 и при t > 1.

t = 4 x olduğundan iki eşitsizlik elde ederiz: 4 x< -2, 4 х > 1.

Tüm x € R için 4 x > 0 olduğundan birinci eşitsizliğin çözümü yoktur.

İkinci eşitsizliği 4 x > 4 0 biçiminde yazıyoruz, dolayısıyla x > 0 olur.

Cevap. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 denklemini grafiksel olarak çözün.

Çözüm.

1) y = (1/3) x ve y = x – 2/3 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturalım.

2) Şekilimize dayanarak, dikkate alınan fonksiyonların grafiklerinin apsis x ≈ 1 noktasında kesiştiği sonucuna varabiliriz. Kontrol şunu kanıtlar:

x = 1 bu denklemin köküdür:

(1/3) 1 = 1/3 ve 1 – 2/3 = 1/3.

Başka bir deyişle denklemin köklerinden birini bulduk.

3) Başka kökler bulalım veya olmadığını kanıtlayalım. (1/3) x fonksiyonu azalıyor, y = x – 2/3 fonksiyonu artıyor. Bu nedenle, x > 1 için, ilk fonksiyonun değerleri 1/3'ten küçük, ikincisi ise 1/3'ten fazladır; x'te< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ve x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Cevap. x = 1.

Bu problemin çözümünden, özellikle (1/3) x > x – 2/3 eşitsizliğinin x için sağlandığı sonucuna varıldığına dikkat edin.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Üstel denklemler ve üstel eşitsizlikler"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"

Üstel Denklemlerin Tanımı

Tanım. Şu formdaki denklemlere: $a^(f(x))=a^(g(x))$, burada $a>0$, $a≠1$ üstel denklemler olarak adlandırılır.

"Üstel Fonksiyon" konusunda incelediğimiz teoremleri hatırlayarak yeni bir teorem ortaya koyabiliriz:
Teorem. $a^(f(x))=a^(g(x))$ üstel denklemi, burada $a>0$, $a≠1$ $f(x)=g(x) denklemine eşdeğerdir $.

Üstel denklem örnekleri

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
O zaman denklemimiz yeniden yazılabilir: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3))))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.

C) Orijinal denklem şu denklemin eşdeğeridir: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ve $x_2=-3$.
Cevap: $x_1=6$ ve $x_2=-3$.

Örnek.
Denklemi çözün: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Çözüm:
Sırayla bir dizi eylem gerçekleştirelim ve denklemimizin her iki tarafını da aynı tabanlara getirelim.
Sol tarafta bir dizi işlem gerçekleştirelim:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Sağ tarafa geçelim:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Orijinal denklem aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.

Örnek.
Denklemi çözün: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Çözüm:
Denklemimizi yeniden yazalım: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Değişkenlerde değişiklik yapalım, $a=3^x$ olsun.
Yeni değişkenlerde denklem şu şekli alacaktır: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ve $a_2=3$.
Değişkenleri tersten değiştirelim: $3^x=-12$ ve $3^x=3$.
Geçen derste üstel ifadelerin yalnızca pozitif değerler alabileceğini öğrendik, grafiği hatırlayın. Bu, ilk denklemin hiçbir çözümü olmadığı, ikinci denklemin tek çözümü olduğu anlamına gelir: $x=1$.
Cevap: $x=1$.

Üstel denklemlerin nasıl çözüleceğine dair bir hatırlatma yapalım:
1. Grafik yöntemi. Denklemin her iki tarafını da fonksiyonlar şeklinde temsil edip grafiklerini oluşturuyoruz, grafiklerin kesişme noktalarını buluyoruz. (Bu yöntemi geçen derste kullanmıştık).
2. Göstergelerin eşitliği ilkesi. Prensip, aynı tabanlara sahip iki ifadenin ancak ve ancak bu tabanların derecelerinin (üslerinin) eşit olması durumunda eşit olması gerçeğine dayanmaktadır. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Değişken değiştirme yöntemi. Bu yöntem, değişkenleri değiştirirken denklem formunu basitleştiriyorsa ve çözülmesi çok daha kolaysa kullanılmalıdır.

Örnek.
Denklem sistemini çözün: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (durumlar)$.
Çözüm.
Sistemin her iki denklemini ayrı ayrı ele alalım:
27$^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
İkinci denklemi düşünün:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Değişken değiştirme yöntemini kullanalım, $y=2^(x+y)$ olsun.
O zaman denklem şu şekli alacaktır:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ve $y_2=-3$.
İlk değişkenlere geçelim, ilk denklemden $x+y=2$ elde ederiz. İkinci denklemin çözümü yoktur. O halde başlangıçtaki denklem sistemimiz şu sisteme eşdeğerdir: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (durumlar)$.
İkinciyi birinci denklemden çıkardığımızda şunu elde ederiz: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (durumlar)$.
$\begin (durumlar) y=-1, \\ x=3. \end (durumlar)$.
Cevap: $(3;-1)$.

Üstel eşitsizlikler

Teorem. Eğer $a>1$ ise, bu durumda $a^(f(x))>a^(g(x))$ üstel eşitsizliği $f(x)>g(x)$ eşitsizliğine eşdeğerdir.
0$ ise a^(g(x))$, $f(x) eşitsizliğine eşdeğerdir

Örnek.
Eşitsizlikleri çözün:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Çözüm.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Denklemimizde taban, derecenin ne zaman olduğudur. 1'den küçükse, bir eşitsizliği eşdeğeriyle değiştirirken işareti değiştirmek gerekir.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Aralıklı çözüm yöntemini kullanalım:
Cevap: $(-∞;-5]U)