İÇİNDE son kez Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemlerini nasıl yapacağımızı öğrendik (“Kesirlerde toplama ve çıkarma” dersine bakın). En zor an bu eylemler kesirleri ortak bir paydaya getirmeyi içeriyordu.
Şimdi çarpma ve bölmeyle uğraşmanın zamanı geldi. İyi haber bu işlemlerin toplama ve çıkarma işlemlerinden bile daha basit olmasıdır. Öncelikle şuna bakalım en basit durum iki tane olduğunda pozitif kesirler seçilmiş bir bütün parça olmadan.
İki kesri çarpmak için pay ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız gerekir. İlk sayı pay olacak yeni kesir ve ikincisi paydadır.
İki kesri bölmek için, ilk kesri "tersine çevrilmiş" ikinci kesirle çarpmanız gerekir.
Tanım:
Tanımdan, kesirlerin bölünmesinin çarpma işlemine indirgendiği anlaşılmaktadır. Bir kesri "çevirmek" için pay ve paydayı değiştirmeniz yeterlidir. Bu nedenle ders boyunca ağırlıklı olarak çarpma işlemini ele alacağız.
Çarpmanın bir sonucu olarak, indirgenebilir bir kesir ortaya çıkabilir (ve sıklıkla ortaya çıkar) - elbette azaltılması gerekir. Tüm azaltmalardan sonra kesirin yanlış olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısım vurgulanmalıdır. Ancak çarpma işleminde kesinlikle gerçekleşmeyecek olan şey, ortak bir paydaya indirgemedir: çapraz yöntem yok, en büyük çarpanlar ve en küçük ortak katlar.
Tanım gereği elimizde:
Kesirlerin tam parçalarla ve negatif kesirlerle çarpılması
Kesirler bir tamsayı kısmı içeriyorsa, bunların yanlış olanlara dönüştürülmesi ve ancak daha sonra yukarıda belirtilen şemalara göre çarpılması gerekir.
Bir kesrin payında, paydasında veya önünde bir eksi varsa, aşağıdaki kurallara göre çarpmadan çıkarılabilir veya tamamen çıkarılabilir:
- Artı eksi eksi verir;
- İki olumsuz bir olumlu yapar.
Şu ana kadar bu kurallarla yalnızca toplama ve çıkarma işlemlerinde karşılaşıldı. negatif kesirler bir parçanın tamamından kurtulmak gerektiğinde. Bir iş için, birkaç dezavantajı aynı anda "yakmak" amacıyla genelleştirilebilirler:
- Negatifleri tamamen ortadan kaybolana kadar çiftler halinde çiziyoruz. Aşırı durumlarda, bir eksi hayatta kalabilir - eşi olmayan;
- Eksi kalmadıysa işlem tamamlanmıştır - çarpmaya başlayabilirsiniz. Eğer son eksinin üzeri çizilmemişse, bunun için bir çift olmadığından, onu çarpma sınırlarının dışına çıkarırız. Sonuç negatif bir kesirdir.
Görev. İfadenin anlamını bulun:
Tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürüyoruz ve ardından eksileri çarpma işleminden çıkarıyoruz. Geriye kalanları çoğaltıyoruz normal kurallar. Şunu elde ederiz:
Tam kısmı vurgulanmış bir kesirin önünde görünen eksi işaretinin, yalnızca kesrin tamamına değil, özellikle kesrin tamamına atıfta bulunduğunu bir kez daha hatırlatmama izin verin (bu, son iki örnek için geçerlidir).
Ayrıca not edin negatif sayılar: Çarpma işleminde parantez içine alınır. Bu, eksileri çarpma işaretlerinden ayırmak ve tüm gösterimi daha doğru hale getirmek için yapılır.
Kesirlerin anında azaltılması
Çarpma oldukça emek yoğun bir işlemdir. Buradaki sayılar oldukça büyük çıkıyor ve sorunu basitleştirmek için kesri daha da azaltmayı deneyebilirsiniz çarpmadan önce. Aslında kesirlerin payları ve paydaları aslında sıradan faktörlerdir ve bu nedenle kesirin temel özelliği kullanılarak azaltılabilirler. Örneklere bir göz atın:
Görev. İfadenin anlamını bulun:
Tanım gereği elimizde:
Tüm örneklerde azaltılan sayılar ve kalanlar kırmızıyla işaretlenmiştir.
Lütfen unutmayın: İlk durumda çarpanlar tamamen azaltıldı. Bunların yerine genel anlamda yazılması gerekmeyen birimler kalmıştır. İkinci örnekte tam bir azalma elde etmek mümkün olmadı ancak toplam hesaplama miktarı yine de azaldı.
Ancak kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken asla bu tekniği kullanmayın! Evet, bazen azaltmak istediğiniz benzer sayılar vardır. İşte, bakın:
Bunu yapamazsın!
Hata, toplama sırasında bir kesrin payının sayıların çarpımı değil, bir toplam üretmesi nedeniyle oluşur. Bu nedenle kesrin temel özelliğini uygulamak imkansızdır çünkü bu özellikte hakkında konuşuyoruzözellikle sayıları çarpma konusunda.
Kesirleri azaltmanın başka hiçbir nedeni yoktur, bu nedenle doğru karar önceki görevşuna benziyor:
Doğru çözüm:
Gördüğünüz gibi doğru cevabın o kadar da güzel olmadığı ortaya çıktı. Genel olarak dikkatli olun.
Adi kesirlerle yapılabilecek bir diğer işlem ise çarpma işlemidir. Sorunları çözerken temel kurallarını açıklamaya çalışacağız, sıradan bir kesrin bir doğal sayıyla nasıl çarpıldığını ve üçünün doğru bir şekilde nasıl çarpılacağını göstereceğiz. sıradan kesirler ve daha fazlası.
Önce temel kuralı yazalım:
Tanım 1
Bir ortak kesri çarparsak, elde edilen kesrin payı şu şekilde olacaktır: ürüne eşit orijinal kesirlerin payları ve payda, paydalarının çarpımıdır. Kelimenin tam anlamıyla, a / b ve c / d olmak üzere iki kesir için bu, a b · c d = a · c b · d olarak ifade edilebilir.
Bu kuralın doğru şekilde nasıl uygulanacağına dair bir örneğe bakalım. Diyelim ki kenarı bir sayısal birime eşit olan bir karemiz var. O zaman şeklin alanı 1 kare olacaktır. birim. Eğer kareyi bölerseniz eşit dikdörtgenler kenarları 1 4 ve 1 8 sayısal birime eşit olduğundan, artık 32 dikdörtgenden oluştuğunu görüyoruz (çünkü 8 4 = 32). Buna göre, her birinin alanı tüm şeklin alanının 1 32'sine eşit olacaktır, yani. 1 32 metrekare birimler.
Kenarları 5 8 sayısal birime ve 3 4 sayısal birime eşit olan gölgeli bir parçamız var. Buna göre alanını hesaplamak için ilk kesri ikinciyle çarpmanız gerekir. 5 8 · 3 4 metrekareye eşit olacaktır. birimler. Ancak parçaya kaç tane dikdörtgenin dahil edildiğini basitçe sayabiliriz: bunlardan 15 tane var, bu da şu anlama geliyor: toplam alan 15 32 karedir.
5 3 = 15 ve 8 4 = 32 olduğuna göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Adi kesirleri çarpmak için formüle ettiğimiz ve a b · c d = a · c b · d olarak ifade edilen kuralı doğrular. Hem doğru hem de yanlış kesirler için aynı şekilde çalışır; kesirleri hem farklı hem de farklı sayılarla çarpmak için kullanılabilir aynı paydalar.
Sıradan kesirlerin çarpımını içeren çeşitli problemlerin çözümlerine bakalım.
Örnek 1
7 11'i 9 8 ile çarpın.
Çözüm
Öncelikle payların çarpımını hesaplayalım belirtilen kesirler 7'yi 9 ile çarparak. 63'ümüz var. Daha sonra paydaların çarpımını hesaplıyoruz ve şunu elde ediyoruz: 11 · 8 = 88. İki sayıyı birleştirelim ve cevap: 63 88.
Çözümün tamamı şu şekilde yazılabilir:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Cevap: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Cevabımızda indirgenebilir bir kesir elde edersek hesaplamayı tamamlayıp azaltma işlemini yapmamız gerekir. Eğer başarılı olsaydık uygunsuz kesir, ondan bir parçanın tamamını seçmeniz gerekiyor.
Örnek 2
Kesirlerin çarpımını hesapla 4 15 ve 55 6 .
Çözüm
Yukarıda incelenen kurala göre payı payla, paydayı da paydayla çarpmamız gerekiyor. Çözüm kaydı şu şekilde görünecektir:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
İndirgenebilir bir kesirimiz var, yani. 10'a bölünebilen bir sayı.
Kesri azaltalım: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Sonuç olarak, tüm kısmı seçip karışık bir sayı elde ettiğimiz uygunsuz bir kesir elde ettik: 22 9 = 2 4 9.
Cevap: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Hesaplama kolaylığı için, çarpma işlemini gerçekleştirmeden önce orijinal kesirleri de azaltabiliriz; bunun için kesri a · c b · d biçimine indirmemiz gerekir. Değişkenlerin değerlerini parçalara ayıralım asal faktörler ve aynılarını azaltacağız.
Belirli bir görevin verilerini kullanarak bunun neye benzediğini açıklayalım.
Örnek 3
4 15 55 6'nın çarpımını hesaplayın.
Çözüm
Çarpma kuralına göre hesaplamaları yazalım. Alacağız:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 ve 6 = 2 3 olduğundan, 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 olur.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Cevap: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Sayısal ifade Sıradan kesirlerin çarpımının gerçekleştiği değişme özelliği vardır, yani gerekirse faktörlerin sırasını değiştirebiliriz:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Bir kesir bir doğal sayıyla nasıl çarpılır
Hemen temel kuralı yazalım, ardından pratikte açıklamaya çalışalım.
Tanım 2
Ortak bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için o kesrin payını o sayıyla çarpmanız gerekir. Bu durumda son kesrin paydası paydaya eşit orijinal ortak kesir. Belirli bir a b kesirinin bir n doğal sayısıyla çarpımı a b · n = a · n b formülü olarak yazılabilir.
Herhangi bir doğal sayının paydası olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebileceğini hatırlarsanız bu formülü anlamak kolaydır. bire eşit, yani:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Fikrimizi spesifik örneklerle açıklayalım.
Örnek 4
2 27 çarpı 5 çarpımını hesaplayın.
Çözüm
Orijinal kesrin payını ikinci faktörle çarpmanın sonucunda 10 elde ederiz. Yukarıda belirtilen kurala göre sonuç olarak 10 27 elde edeceğiz. Çözümün tamamı bu yazıda verilmiştir:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Cevap: 2 27 5 = 10 27
Bir doğal sayıyı kesirle çarptığımızda çoğu zaman sonucu kısaltmamız veya tam sayı olarak göstermemiz gerekir.
Örnek 5
Koşul: 8'e 5 12 çarpımını hesaplayın.
Çözüm
Yukarıdaki kurala göre doğal sayıyı pay ile çarpıyoruz. Sonuç olarak, 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 sonucunu elde ederiz. Son kesirin 2'ye bölünebilirlik işaretleri var, bu yüzden onu azaltmamız gerekiyor:
LCM (40, 12) = 4, yani 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Şimdi tek yapmamız gereken parçanın tamamını seçip hazır cevabı yazmak: 10 3 = 3 1 3.
Bu girişte çözümün tamamını görebilirsiniz: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Pay ve paydayı çarpanlara ayırarak da kesri azaltabiliriz ve sonuç tamamen aynı olur.
Cevap: 5 12 8 = 3 1 3.
Doğal bir sayının bir kesirle çarpıldığı sayısal ifade aynı zamanda yer değiştirme özelliğine de sahiptir, yani faktörlerin sırası sonucu etkilemez:
a b · n = n · a b = a · n b
Üç veya daha fazla ortak kesir nasıl çarpılır
Doğal sayıları çarpmanın karakteristik özelliği olan aynı özellikleri sıradan kesirlerle çarpma eylemine de genişletebiliriz. Bu, bu kavramların tanımından kaynaklanmaktadır.
Birleştirme ve değişme özellikleri hakkındaki bilginiz sayesinde, üç veya daha fazla sıradan kesri çarpabilirsiniz. Daha fazla kolaylık sağlamak için faktörleri yeniden düzenlemek veya parantezleri saymayı kolaylaştıracak şekilde düzenlemek kabul edilebilir.
Bunun nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.
Örnek 6
Dört ortak kesir olan 1 20, 12 5, 3 7 ve 5 8'i çarpın.
Çözüm: Öncelikle çalışmayı kaydedelim. 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 elde ederiz. Tüm payları ve tüm paydaları birlikte çarpmamız gerekiyor: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Çarpmaya başlamadan önce, işleri kendimiz için biraz kolaylaştırabilir ve daha fazla indirgeme için bazı sayıları asal çarpanlara ayırabiliriz. Bu, halihazırda hazır olan sonuçtaki fraksiyonu azaltmaktan daha kolay olacaktır.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280
Cevap: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.
Örnek 7
5 sayıyı 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 ile çarpın.
Çözüm
Kolaylık sağlamak için, gelecekteki kısaltmalar bizim için açık olacağından, 7 8 kesirini 8 sayısıyla ve 12 sayısını 5 36 kesiriyle gruplayabiliriz. Sonuç olarak şunu elde edeceğiz:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
Cevap: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
§ 87. Kesirlerin eklenmesi.
Kesirleri toplamanın tam sayıları toplamaya birçok benzerliği vardır. Kesirlerin eklenmesi, verilen birkaç sayının (terimlerin), terimlerin birimlerinin tüm birimlerini ve kesirlerini içeren tek bir sayı (toplam) halinde birleştirilmesinden oluşan bir eylemdir.
Üç durumu sırasıyla ele alacağız:
1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.
2. Kesirlerin eklenmesi farklı paydalar.
3. Ekleme karışık sayılar.
1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.
Bir örnek düşünün: 1/5 + 2/5.
AB segmentini alalım (Şek. 17), bir olarak alalım ve 5'e bölelim eşit parçalar, bu durumda bu parçanın AC kısmı AB parçasının 1/5'ine eşit olacak ve aynı CD parçasının kısmı AB'nin 2/5'ine eşit olacaktır.
Çizimden, AD parçasını alırsak AB'nin 3/5'ine eşit olacağı açıktır; ancak AD segmenti tam olarak AC ve CD segmentlerinin toplamıdır. Yani şunu yazabiliriz:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Bu terimler ve ortaya çıkan toplam dikkate alındığında, terimlerin paylarının eklenmesiyle toplamın payının elde edildiğini, paydanın ise değişmeden kaldığını görüyoruz.
Buradan anlıyoruz sonraki kural: Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Bir örneğe bakalım:
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.
Kesirleri toplayalım: 3/4 + 3/8 Öncelikle en küçük ortak paydaya indirilmeleri gerekiyor:
Orta seviye 6/8 + 3/8 yazılmamış olabilir; Açıklık sağlamak için buraya yazdık.
Bu nedenle, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için önce bunları en küçük ortak paydaya indirgemeli, paylarını toplamalı ve işaretlemelisiniz. ortak payda.
Bir örnek ele alalım (karşılık gelen kesirlerin üzerine ek faktörleri yazacağız):
3. Karışık sayıların eklenmesi.
Sayıları toplayalım: 2 3/8 + 3 5/6.
Öncelikle sayılarımızın kesirli kısımlarını ortak bir paydada buluşturup yeniden yazalım:
Şimdi tamsayı ve kesirli kısımları sırayla ekliyoruz:
§ 88. Kesirlerin çıkarılması.
Kesirlerde çıkarma işlemi, tam sayılarda çıkarma işlemiyle aynı şekilde tanımlanır. Bu, iki terimin ve bunlardan birinin toplamı verildiğinde başka bir terimin bulunduğu bir eylemdir. Üç durumu sırasıyla ele alalım:
1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.
2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.
3. Karışık sayılarda çıkarma.
1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.
Bir örneğe bakalım:
13 / 15 - 4 / 15
AB parçasını alalım (Şek. 18), bir birim olarak alalım ve 15 eşit parçaya bölelim; bu durumda bu parçanın AC kısmı AB'nin 1/15'ini temsil edecek ve aynı parçanın AD kısmı AB'nin 13/15'ine karşılık gelecektir. 4/15 AB'ye eşit başka bir ED parçasını bir kenara bırakalım.
4/15 kesrini 13/15'ten çıkarmamız gerekiyor. Çizimde bu, ED bölümünün AD bölümünden çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Sonuç olarak, AB segmentinin 9/15'i olan AE segmenti kalacaktır. Yani şunu yazabiliriz:
Yaptığımız örnekte farkın payının paylar çıkarılarak elde edildiği ancak paydanın aynı kaldığı görülüyor.
Bu nedenle, paydaları benzer olan kesirlerde çıkarmak için, çıkanın payını eksilenin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.
Örnek. 3/4 - 5/8
Öncelikle bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirelim:
6/8 - 5/8 ara bağlantısı netlik sağlamak amacıyla buraya yazılmıştır ancak bundan sonra atlanabilir.
Bu nedenle, bir kesirden bir kesir çıkarmak için, önce onları en küçük ortak paydaya indirgemeniz, ardından eksilen payını eksi payından çıkarmanız ve farklarının altındaki ortak paydayı işaretlemeniz gerekir.
Bir örneğe bakalım:
3. Karışık sayılarda çıkarma.
Örnek. 10 3/4 - 7 2/3.
Çıkarılan ve çıkarılanın kesirli kısımlarını en küçük ortak paydaya indirelim:
Bir bütünden bir bütünü, bir kesirden bir kesri çıkardık. Ama öyle zamanlar vardır ki kesirli kısımçıkan, eksilen kısmın kesirli kısmından daha büyüktür. Bu gibi durumlarda, eksilen kısmın tamamından bir birim almanız, onu kesirli kısmın ifade edildiği parçalara ayırmanız ve eksilen kısmın kesirli kısmına eklemeniz gerekir. Daha sonra çıkarma işlemi önceki örnekte olduğu gibi gerçekleştirilecektir:
§ 89. Kesirlerin çarpımı.
Kesir çarpmasını incelerken dikkate alacağız aşağıdaki sorular:
1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.
2. Verilen bir sayının kesirini bulma.
3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak.
5. Karışık sayıların çarpımı.
6. Faiz kavramı.
7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma. Bunları sırasıyla ele alalım.
1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.
Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak, bir tam sayıyı bir tam sayıyla çarpmakla aynı anlama gelir. Bir kesri (çarpan) bir tamsayı (faktör) ile çarpmak, her bir terimin çarpana eşit olduğu ve terim sayısının çarpana eşit olduğu özdeş terimlerin bir toplamını oluşturmak anlamına gelir.
Bu, 1/9'u 7 ile çarpmanız gerekiyorsa, bunun şu şekilde yapılabileceği anlamına gelir:
Eylem aynı paydalara sahip kesirlerin eklenmesine indirgendiğinden sonucu kolayca elde ettik. Buradan,
Bu işlem dikkate alındığında, bir kesri bir tam sayı ile çarpmanın, bu kesri tam sayıdaki birim sayısı kadar artırmaya eşdeğer olduğu görülür. Ve bir kesirin arttırılması ya payının arttırılmasıyla elde edildiği için
veya paydasını azaltarak 
, eğer böyle bir bölme mümkünse, ya payı bir tamsayı ile çarpabiliriz ya da paydayı ona bölebiliriz.
Buradan kuralı anlıyoruz:
Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak için payı o tam sayıyla çarpar ve paydayı aynı bırakırsınız veya mümkünse paydayı bu sayıya bölerek payı değiştirmezsiniz.
Çarpma sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:
2. Verilen bir sayının kesirini bulma. Belirli bir sayının bir kısmını bulmanız veya hesaplamanız gereken birçok problem vardır. Bu problemlerin diğerlerinden farkı, bazı nesnelerin veya ölçü birimlerinin sayısını vermeleri ve bu sayının, burada da belirli bir kesirle gösterilen kısmını bulmanız gerekmesidir. Anlamayı kolaylaştırmak için önce bu tür problemlere örnekler vereceğiz, ardından bunları çözmek için bir yöntem sunacağız.
Görev 1. 60 rublem vardı; Bu paranın 1/3'ünü kitap almaya harcadım. Kitapların fiyatı ne kadardı?
Görev 2. Trenin A ve B şehirleri arasında 300 km'ye eşit mesafe kat etmesi gerekiyor. Zaten bu mesafenin 2/3'ünü kat etti. Bu kaç kilometre?
Görev 3. Köyde 400 ev var, bunların 3/4'ü tuğla, geri kalanı ahşap. Toplamda kaç tane tuğla ev var?
Bunlar, belirli bir sayının bir kısmını bulmayla ilgili karşılaştığımız birçok sorundan bazılarıdır. Genellikle belirli bir sayının kesirini bulmaya yönelik problemler olarak adlandırılırlar.
Sorunun çözümü 1. 60 ruble'den. 1/3'ünü kitaplara harcadım; Bu, kitapların maliyetini bulmak için 60 sayısını 3'e bölmeniz gerektiği anlamına gelir:
Sorunu çözme 2. Sorunun özü 300 km'nin 2/3'ünü bulmanız gerektiğidir. Önce 300'ün 1/3'ünü hesaplayalım; bu, 300 km'nin 3'e bölünmesiyle elde edilir:
300: 3 = 100 (yani 300'ün 1/3'ü).
300'ün üçte ikisini bulmak için elde edilen bölümü iki katına çıkarmanız, yani 2 ile çarpmanız gerekir:
100 x 2 = 200 (yani 300'ün 2/3'ü).
Sorunu çözme 3. Burada 400'ün 3/4'ünü oluşturan tuğla ev sayısını belirlemeniz gerekiyor. Önce 400'ün 1/4'ünü bulalım,
400: 4 = 100 (bu 400'ün 1/4'ü).
İçin üç hesaplama 400'ün çeyreği, elde edilen bölümün üç katına çıkarılması, yani 3 ile çarpılması gerekir:
100 x 3 = 300 (yani 400'ün 3/4'ü).
Bu problemlerin çözümüne dayanarak aşağıdaki kuralı çıkarabiliriz:
Belirli bir sayıdan bir kesrin değerini bulmak için, bu sayıyı kesrin paydasına bölmeniz ve elde edilen bölümü pay ile çarpmanız gerekir.
3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.
Daha önce (§ 26), tam sayıların çarpımının aynı terimlerin toplamı olarak anlaşılması gerektiği tespit edilmişti (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu paragrafta (1. nokta), bir kesri bir tamsayı ile çarpmanın, bu kesire eşit özdeş terimlerin toplamını bulmak anlamına geldiği tespit edilmiştir.
Her iki durumda da çarpma aynı terimlerin toplamını bulmaktan ibaretti.
Şimdi bir tam sayıyı kesirle çarpma işlemine geçiyoruz. Burada örneğin çarpma işlemiyle karşılaşacağız: 9 2/3. Çarpmanın önceki tanımının bu durum için geçerli olmadığı açıktır. Bu, böyle bir çarpma işlemini eşit sayıları toplayarak değiştiremeyeceğimiz gerçeğinden açıkça anlaşılmaktadır.
Bu nedenle çarpmanın yeni bir tanımını yapmamız, yani kesirle çarpmaktan ne anlaşılması gerektiği, bu eylemin nasıl anlaşılması gerektiği sorusuna cevap vermemiz gerekecek.
Bir tam sayıyı kesirle çarpmanın anlamı şu şekilde açıklanmaktadır: aşağıdaki tanım: bir tamsayıyı (çarpan) bir kesirle (çarpan) çarpmak, çarpımın bu kesirini bulmak anlamına gelir.
Yani 9'u 2/3 ile çarpmak dokuz birimin 2/3'ünü bulmak demektir. Önceki paragrafta bu tür sorunlar çözüldü; yani sonunda 6'ya ulaşacağımızı anlamak kolaydır.
Ama şimdi ilginç bir durum var ve önemli soru: İlk bakışta neden böyleler? çeşitli eylemler toplam nasıl bulunur eşit sayılar Aritmetikte sayıların kesirlerini bulmakla aynı kelimeye "çarpma" denir mi?
Bunun nedeni önceki eylemin (sayıyı terimlerle birkaç kez tekrarlamak) ve yeni eylemin (sayıyı kesirini bulma) homojen sorulara yanıt vermesidir. Bu, burada homojen soruların veya görevlerin aynı eylemle çözüldüğü düşüncesinden yola çıktığımız anlamına gelir.
Bunu anlamak için şu sorunu düşünün: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Böyle bir kumaşın 4 m'si ne kadara mal olur?
Bu sorun, ruble sayısının (50) metre sayısıyla (4) çarpılmasıyla çözülür, yani. 50 x 4 = 200 (ruble).
Aynı problemi ele alalım, ancak içindeki kumaş miktarı kesir olarak ifade edilecektir: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Bu kumaşın 3/4 metresi ne kadara mal olur?”
Bu sorunun ayrıca ruble sayısını (50) metre sayısıyla (3/4) çarparak çözülmesi gerekiyor.
Sorunun anlamını değiştirmeden içindeki sayıları birkaç kez daha değiştirebilirsiniz, örneğin 9/10 m veya 2 3/10 m vb.
Bu problemler aynı içeriğe sahip olduğundan ve yalnızca sayıları farklı olduğundan, bunları çözmek için kullanılan eylemlere aynı kelime - çarpma adını veriyoruz.
Bir tam sayıyı kesirle nasıl çarparsınız?
Son problemde karşılaşılan sayıları ele alalım:
Tanıma göre 50'nin 3/4'ünü bulmamız gerekiyor. Önce 50'nin 1/4'ünü, sonra 3/4'ünü bulalım.
50'nin 1/4'ü 50/4;
50 sayısının 3/4'ü
Buradan.
Başka bir örneği ele alalım: 12 5/8 =?
12 sayısının 1/8'i 12/8'dir,
12 sayısının 5/8'i .
Buradan,
Buradan kuralı anlıyoruz:
Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak için, tam sayıyı kesrin payıyla çarpıp bu çarpımı pay yapıp, bu kesrin paydasını da payda olarak imzalamanız gerekir.
Bu kuralı harfler kullanarak yazalım:
Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölümle çarpma kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır.
Çarpma işlemini yapmadan önce (mümkünse) yapmanız gerektiğini hatırlamak önemlidir. indirimler, Örneğin:
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak. Bir kesri bir kesirle çarpmak, bir tam sayıyı bir kesirle çarpmakla aynı anlama gelir, yani bir kesri bir kesirle çarparken, ilk kesirden (çarpan) faktörde bulunan kesri bulmanız gerekir.
Yani 3/4'ü 1/2 (yarım) ile çarpmak 3/4'ün yarısını bulmak demektir.
Bir kesri bir kesirle nasıl çarparsınız?
Bir örnek verelim: 3/4'ün 5/7 ile çarpılması. Bu, 3/4'ün 5/7'sini bulmanız gerektiği anlamına gelir. Önce 3/4'ün 1/7'sini bulalım, sonra 5/7'yi bulalım.
3/4 sayısının 1/7'si şu şekilde ifade edilecektir:
5/7 sayısı 3/4 şu şekilde ifade edilecektir:
Böylece,
Başka bir örnek: 5/8'in 4/9 ile çarpılması.
5/8'in 1/9'u,
5/8 sayısının 4/9'u .
Böylece, 
Bu örneklerden şu kural çıkarılabilir:
Bir kesri bir kesirle çarpmak için payı payla, paydayı paydayla çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinci çarpımı da payda yapmanız gerekir.
Bu kural genel görünümşu şekilde yazılabilir:
Çarpma yaparken (mümkünse) azaltma yapmak gerekir. Örneklere bakalım:
5. Karışık sayıların çarpımı. Karışık sayılar kolayca yanlış kesirlerle değiştirilebildiğinden, bu durum genellikle tam sayılı sayıların çarpılmasında kullanılır. Bu, çarpanın veya çarpanın veya her ikisinin de karışık sayı olarak ifade edildiği durumlarda bunların yerine bileşik kesirlerin kullanıldığı anlamına gelir. Örneğin karışık sayıları çarpalım: 2 1/2 ve 3 1/5. Her birini uygunsuz bir kesire dönüştürelim ve sonra elde edilen kesirleri bir kesirle bir kesirle çarpma kuralına göre çarpalım:
Kural. Tamsayılı sayıları çarpmak için, önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz, ardından kesirleri kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.
Not. Faktörlerden biri tam sayı ise, dağıtım kanununa göre çarpma işlemi aşağıdaki gibi yapılabilir:
6. Faiz kavramı. Problemleri çözerken ve çeşitli pratik hesaplamalar yaparken her türlü kesiri kullanırız. Ancak, birçok niceliğin sadece herhangi birine değil, doğal bölünmelere de izin verdiği akılda tutulmalıdır. Örneğin, bir rublenin yüzde birini (1/100) alabilirsiniz, bu bir kopek olacaktır, iki yüzde biri 2 kopek, üç yüzde biri 3 kopektir. Bir rublenin 1/10'unu alabilirsiniz, "10 kopek veya on kopeklik bir parça olacaktır. Çeyrek ruble yani 25 kopek, yarım ruble yani 50 kopek (elli kopek) alabilirsiniz. Ama pratikte almıyorlar, örneğin rublenin 2/7'sini çünkü ruble yedide birine bölünmemiş.
Ağırlık birimi, yani kilogram, öncelikle ondalık bölmelere izin verir, örneğin 1/10 kg veya 100 g. Ve kilogramın 1/6, 1/11, 1/13 gibi kesirleri yaygın değildir.
Genel olarak (metrik) ölçülerimiz ondalıktır ve ondalık bölmelere izin verir.
Bununla birlikte, çok çeşitli durumlarda aynı (tek tip) miktarları alt bölümlere ayırma yöntemini kullanmanın son derece yararlı ve kullanışlı olduğu unutulmamalıdır. Uzun yıllara dayanan deneyim, böylesine haklı bir bölünmenin “yüzüncü” bölünme olduğunu göstermiştir. İnsan pratiğinin çok çeşitli alanlarıyla ilgili birkaç örneği ele alalım.
1. Kitapların fiyatı önceki fiyatının 12/100'ü kadar düştü.
Örnek. Kitabın önceki fiyatı 10 rubleydi. 1 ruble azaldı. 20 kopek
2. Tasarruf bankaları, yıl içinde tasarruf için yatırılan tutarın 2/100'ünü mudilere öder.
Örnek. Kasaya 500 ruble yatırılıyor, bu tutardan yıllık gelir 10 ruble.
3. Bir okuldan mezun olanların sayısı toplam öğrenci sayısının 5/100'ü kadardı.
ÖRNEK Okulda sadece 1.200 öğrenci vardı ve bunların 60'ı mezun oldu.
Bir sayının yüzde birlik kısmına yüzde denir.
"Yüzde" kelimesi ödünç alınmıştır. Latince dili ve kökü "cent" yüz anlamına gelir. Bu kelime (pro centum) edatıyla birlikte “yüz için” anlamına gelir. Böyle bir ifadenin anlamı, başlangıçta antik Roma Faiz, borçlunun borç verene “yüzde bir” ödediği paraydı. "Yüzde" kelimesi çok tanıdık kelimelerle duyulur: centner (yüz kilogram), santimetre (santimetre diyelim).
Örneğin, geçen ay fabrikanın ürettiği tüm ürünlerin 1/100'ünün kusurlu olduğunu söylemek yerine şunu söyleyeceğiz: fabrika geçen ay yüzde 1 kusur üretti. Fabrika 4/100 ürün daha üretti demek yerine yerleşik plan Diyelim ki: tesis planı yüzde 4 aştı.
Yukarıdaki örnekler farklı şekilde ifade edilebilir:
1. Kitapların fiyatı önceki fiyatına göre yüzde 12 oranında düştü.
2. Tasarruf bankaları, mevduat sahiplerine, tasarruflara yatırılan tutar üzerinden yılda yüzde 2 oranında ödeme yapar.
3. Bir okuldan mezun olanların sayısı tüm okul öğrencilerinin yüzde 5'iydi.
Harfi kısaltmak için “yüzde” kelimesi yerine % sembolü yazmak adettendir.
Ancak hesaplamalarda % işaretinin genellikle yazılmadığını, problem ifadesinde ve nihai sonuçta yazılabileceğini unutmamalısınız. Hesaplama yaparken bu sembolle tam sayı yerine paydası 100 olan kesir yazmanız gerekmektedir.
Belirtilen simgeye sahip bir tam sayıyı, paydası 100 olan bir kesirle değiştirebilmeniz gerekir:
Tersine, paydası 100 olan bir kesir yerine belirtilen simgeye sahip bir tam sayı yazmaya alışmanız gerekir:
7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma.
Görev 1. Okul 200 metreküp aldı. m2 yakacak odun, huş ağacı yakacak odunu %30'dur. Orada ne kadar huş ağacı odunu vardı?
Bu sorunun anlamı, okula teslim edilen yakacak odunun yalnızca bir kısmını huş ağacı odununun oluşturması ve bu kısmın 30/100 kesiriyle ifade edilmesidir. Bu, bir sayının kesirini bulma görevimiz olduğu anlamına gelir. Bunu çözmek için 200'ü 30/100 ile çarpmamız gerekir (bir sayının kesirini bulma problemleri, sayının kesirle çarpılmasıyla çözülür.).
Bu, 200'ün %30'unun 60'a eşit olduğu anlamına gelir.
Bu problemde karşılaşılan 30/100 kesri 10'a kadar azaltılabilir. Bu azaltmayı en baştan yapmak mümkün olacaktır; sorunun çözümü değişmeyecekti.
Görev 2. Kampta 300 çocuk vardı farklı yaşlar. 11 yaşındaki çocuklar %21, 12 yaşındaki çocuklar %61 ve 13 yaşındaki çocuklar ise %18'i oluşturdu. Kampta her yaştan kaç çocuk vardı?
Bu problemde üç hesaplama yapmanız gerekir; yani sırayla 11 yaşında, sonra 12 yaşında ve son olarak 13 yaşında olan çocukların sayısını bulmanız gerekir.
Bu, burada sayının kesirini üç kez bulmanız gerekeceği anlamına gelir. Hadi şunu yapalım:
1) Orada 11 yaşında kaç çocuk vardı?
2) Orada 12 yaşında kaç çocuk vardı?
3) Orada 13 yaşında kaç çocuk vardı?
Problemi çözdükten sonra bulunan sayıları eklemekte fayda var; toplamları 300 olmalıdır:
63 + 183 + 54 = 300
Ayrıca problem tanımında verilen yüzdelerin toplamının 100 olduğunu da belirtelim:
21% + 61% + 18% = 100%
Bu şunu gösteriyor toplam sayı kamptaki çocuklar %100 olarak alınmıştır.
3 a d a h a 3.İşçi ayda 1.200 ruble alıyordu. Bunun %65'ini gıdaya, %6'sını apartman ve ısınmaya, %4'ünü gaz, elektrik ve radyoya, %10'unu kültürel ihtiyaçlara ve %15'ini tasarrufa harcadı. Sorunda belirtilen ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?
Bu problemi çözmek için 1.200'ün kesrini 5 kere bulmanız gerekiyor.
1) Gıdaya ne kadar para harcandı? Sorun diyor ki bu gider toplam kazancın %65'i, yani 1.200 sayısının 65/100'ü. Şimdi hesaplamayı yapalım:
2) Isıtmalı bir daireye ne kadar para ödediniz? Bir öncekine benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki hesaplamaya ulaşıyoruz:
3) Gaz, elektrik ve radyoya ne kadar para ödediniz?
4) Kültürel ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?
5) İşçi ne kadar para biriktirdi?
Kontrol etmek için bu 5 soruda bulunan sayıları toplamakta fayda var. Miktar 1.200 ruble olmalıdır. Tüm kazançlar %100 olarak alınır; bu, sorun bildiriminde verilen yüzde sayıları toplanarak kolayca kontrol edilebilir.
Üç sorunu çözdük. Bu sorunlar farklı konularla ilgili olmasına rağmen (okula yakacak odun sağlanması, farklı yaştaki çocuk sayısı, işçinin masrafları) aynı şekilde çözüldü. Bunun nedeni, tüm problemlerde verilen sayıların yüzde birkaçını bulmanın gerekli olmasıdır.
§ 90. Kesirlerin bölünmesi.
Kesirlerde bölme işlemini incelerken aşağıdaki soruları ele alacağız:
1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
2. Bir kesri tam sayıya bölmek
3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.
4. Bir kesri bir kesire bölmek.
5. Karışık sayıların bölümü.
6. Verilen kesirden bir sayı bulma.
7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.
Bunları sırasıyla ele alalım.
1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
Bölme işlemi, tamsayılar bölümünde de belirtildiği gibi, iki faktörün (temettü) ve bu faktörlerden birinin (bölen) çarpımı verildiğinde başka bir faktörün bulunmasından oluşan bir işlemdir.
Tam sayılar bölümünde bir tam sayının bir tam sayıya bölünmesi konusunu inceledik. Burada iki bölme durumuyla karşılaştık: kalansız bölme veya “tamamen” (150: 10 = 15) ve kalanlı bölme (100: 9 = 11 ve 1 kalan). Bu nedenle tamsayılar tanım kümesinde şunu söyleyebiliriz: kesin bölme her zaman mümkün değildir çünkü temettü her zaman bölenin ve tam sayının çarpımı değildir. Bir kesirle çarpmayı tanıttıktan sonra, tam sayıların her türlü bölünmesini mümkün görebiliriz (yalnızca sıfıra bölme hariçtir).
Örneğin 7'yi 12'ye bölmek, 12 ile çarpımı 7 olacak bir sayı bulmak anlamına gelir. Böyle bir sayı 7/12 kesridir çünkü 7/12 12 = 7'dir. Başka bir örnek: 14: 25 = 14/25, çünkü 14/25 25 = 14.
Dolayısıyla bir tam sayıyı bir tam sayıya bölmek için payı bölene, paydası bölene eşit olan bir kesir oluşturmanız gerekir.
2. Bir kesri tam sayıya bölmek.
6/7 kesirini 3'e bölün. Yukarıda verilen bölme tanımına göre, elimizde (6/7) çarpımı ve (3) çarpanlarından biri var; 3 ile çarpıldığında sonucu verecek ikinci bir faktör bulmanız gerekir. bu iş 6/7. Açıkçası, bu üründen üç kat daha küçük olması gerekir. Bu, bize verilen görevin 6/7 kesirini 3 kat azaltmak olduğu anlamına geliyor.
Bir kesri azaltmanın payını azaltarak ya da paydasını artırarak yapılabileceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle şunu yazabilirsiniz:
İÇİNDE bu durumda 6'nın payı 3'e bölünebildiğinden payın yarıya indirilmesi gerekir.
Başka bir örnek verelim: 5/8 bölü 2. Burada pay 5, 2'ye bölünemez, bu da paydanın bu sayıyla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Buna dayanarak şöyle bir kural yapılabilir: Bir kesri bir tam sayıya bölmek için kesrin payını o tam sayıya bölmeniz gerekir.(mümkünse), aynı paydayı bırakarak veya kesrin paydasını aynı payda bırakarak bu sayıyla çarpın.
3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.
5'i 1/2'ye bölmek gerekli olsun, yani 1/2 ile çarpıldığında 5 sonucunu verecek bir sayı bulun. 1/2 tam kesir olduğundan bu sayının 5'ten büyük olması gerektiği açıktır. ve bir sayıyı çarparken uygun bir kesrin çarpımı çarpılacak çarpımdan küçük olmalıdır. Bunu daha açık hale getirmek için eylemlerimizi yazalım. aşağıdaki gibi: 5: 1 / 2 = X bu da x 1/2 = 5 anlamına gelir.
Böyle bir sayı bulmalıyız X 1/2 ile çarpılırsa 5 verir. Belirli bir sayıyı 1/2 ile çarpmak bu sayının 1/2'sini bulmak anlamına geldiğinden, bilinmeyen sayının 1/2'si olur. X 5'e eşittir ve tam sayı X iki katı, yani 5 2 = 10.
Yani 5: 1/2 = 5 2 = 10
Kontrol edelim: 
Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 6'yı 2/3'e bölmek istiyorsunuz. Öncelikle çizimi kullanarak istenen sonucu bulmaya çalışalım (Şekil 19).
Şekil 19
6 birime eşit bir AB doğru parçası çizelim ve her birimi 3 eşit parçaya bölelim. Her birimde, tüm AB segmentinin üçte üçü (3/3) 6 kat daha büyüktür, yani. e.18/3. Küçük parantezler kullanarak sonuçta ortaya çıkan 2'lik 18 parçayı birleştiriyoruz; Sadece 9 bölüm olacak. Bu, 2/3 kesirinin 6 birimde 9 kez yer alması, yani 2/3 kesirinin 6 tam birimden 9 kat eksik olması anlamına gelir. Buradan,
Yalnızca hesaplamaları kullanarak çizim yapmadan bu sonucu nasıl elde edebilirim? Şöyle mantık yürütelim: 6'yı 2/3'e bölmemiz gerekiyor, yani 6'da 2/3'ün kaç katı var sorusunu cevaplamamız gerekiyor. Önce şunu bulalım: 6'da 1/3'ün kaç katı var? Bütün bir birimde üçte üç var ve 6 birimde 6 kat daha fazla, yani üçte 18 var; Bu sayıyı bulmak için 6'yı 3 ile çarpmamız gerekir. Bu, 1/3'ün b birimlerinde 18 kez, 2/3'ün b birimlerinde 18 kez değil yarısı kadar olduğu anlamına gelir, yani 18: 2 = 9 Bu nedenle 6'yı 2/3'e bölerken şunu yaptık:
Buradan bir tam sayıyı kesre bölme kuralını elde ederiz. Bir tam sayıyı kesire bölmek için, bu tam sayıyı verilen kesrin paydasıyla çarpmanız ve bu çarpımı pay yaparak, verilen kesrin payına bölmeniz gerekir.
Kuralı harfleri kullanarak yazalım:
Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, bir sayıyı § 38'de belirtilen bir bölüme bölme kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır. Lütfen aynı formülün orada da elde edildiğini unutmayın.
Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:
4. Bir kesri bir kesire bölmek.
Diyelim ki 3/4'ü 3/8'e bölmemiz gerekiyor. Bölünme sonucu elde edilen sayı ne anlama gelecektir? 3/4 kesrinin içinde 3/8 kesirinin kaç katı yer aldığı sorusuna cevap verecektir. Bu konuyu anlamak için bir çizim yapalım (Şek. 20).
Bir AB parçasını alalım, onu bir olarak alalım, 4 eşit parçaya bölelim ve bu tür 3 parçayı işaretleyelim. AC segmenti AB segmentinin 3/4'üne eşit olacaktır. Şimdi dört orijinal parçanın her birini ikiye bölelim, sonra AB doğru parçası 8 eşit parçaya bölünecek ve bu parçaların her biri AB doğru parçasının 1/8'ine eşit olacak. Bu tür 3 parçayı yaylarla birleştirelim, o zaman AD ve DC bölümlerinin her biri AB bölümünün 3/8'ine eşit olacaktır. Çizim, 3/8'e eşit bir parçanın, 3/4'e eşit bir parça içinde tam olarak 2 kez bulunduğunu göstermektedir; Bu, bölme sonucunun şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 15/16'yı 3/32'ye bölmemiz gerekiyor:
Şöyle mantık yürütebiliriz: 3/32 ile çarpıldığında 15/16 sonucunu verecek bir sayı bulmamız gerekiyor. Hesaplamaları şu şekilde yazalım:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 bilinmeyen numara X 15/16
Bilinmeyen bir sayının 1/32'si X öyle,
32 / 32 sayıları X makyaj yapmak .
Buradan,
Dolayısıyla bir kesri bir kesire bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız, birinci kesrin paydasını ikincinin payıyla çarpmanız ve ilk çarpımı pay yapmanız gerekir, ve ikincisi payda.
Kuralı harfleri kullanarak yazalım:
Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:
5. Karışık sayıların bölümü.
Tam sayılar bölünürken öncelikle sayıya dönüştürülmeleri gerekir. uygunsuz kesirler ve daha sonra elde edilen kesirleri bölme kurallarına göre bölün kesirli sayılar. Bir örneğe bakalım:
Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürelim:
Şimdi bölelim:
Bu nedenle, karışık sayıları bölmek için bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz ve ardından kesirleri bölme kuralını kullanarak bölmeniz gerekir.
6. Verilen kesirden bir sayı bulma.
Arasında çeşitli görevler Kesirlerde bazen bilinmeyen bir sayının bir kesirinin değerinin verildiği kesirler vardır ve bu sayıyı bulmanız gerekir. Bu tür bir problem, belirli bir sayının kesirini bulma probleminin tersi olacaktır; orada bir sayı veriliyordu ve bu sayının bir kesrini bulmak gerekiyordu, burada bir sayının kesrini veriyordu ve bu sayıyı kendisinin bulması gerekiyordu. Bu tür bir sorunu çözmeye yönelirsek bu fikir daha da netleşecektir.
Görev 1.İlk gün camcılar, inşa edilen evin pencerelerinin 1/3'ü kadar olan 50 pencereyi camla kapladılar. Bu evde kaç pencere var?
Çözüm. Sorun, 50 camlı pencerenin evin tüm pencerelerinin 1/3'ünü oluşturduğunu söylüyor, bu da toplamda 3 kat daha fazla pencere olduğu anlamına geliyor, yani.
Evin 150 penceresi vardı.
Görev 2. Mağazada 1.500 kg un satıldı; bu da mağazanın sahip olduğu toplam un stoğunun 3/8'i anlamına geliyor. Mağazanın ilk un tedariki neydi?
Çözüm. Sorunun koşullarından, satılan 1.500 kg unun toplam stokun 3/8'ini oluşturduğu açıktır; bu, bu rezervin 1/8'inin 3 kat daha az olacağı anlamına gelir, yani. hesaplamak için 1500'ü 3 kat azaltmanız gerekir:
1.500: 3 = 500 (bu, rezervin 1/8'idir).
Açıkçası, arzın tamamı 8 kat daha büyük olacak. Buradan,
500 8 = 4.000 (kg).
Mağazadaki ilk un stoğu 4.000 kg idi.
Bu problem dikkate alındığında aşağıdaki kural elde edilebilir.
Kesirinin belirli bir değerinden bir sayı bulmak için, bu değeri kesrin payına bölmek ve sonucu kesrin paydasıyla çarpmak yeterlidir.
Kesri verilen bir sayıyı bulma konusunda iki problem çözdük. Bu tür problemler, sonuncusunda özellikle açıkça görüldüğü gibi, iki eylemle çözülür: bölme (bir parça bulunduğunda) ve çarpma (tam sayı bulunduğunda).
Ancak kesirlerde bölme işlemini öğrendikten sonra yukarıdaki problemleri tek bir hareketle, yani kesre bölmeyle çözebiliriz.
Örneğin, son görev şu şekilde tek bir eylemle çözülebilir:
Gelecekte, bir sayıyı kesirinden bulma problemlerini tek eylemle - bölmeyle çözeceğiz.
7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.
Bu problemlerde o sayının yüzde birkaçını bilen bir sayı bulmanız gerekecektir.
Görev 1. Başlangıçta cari yıl Tasarruf bankasından 60 ruble aldım. bir yıl önce tasarrufa koyduğum miktardan elde edilen gelir. Tasarruf bankasına ne kadar para yatırdım? (Kasalar mevduat sahiplerine yılda %2 getiri sağlıyor.)
Sorunun anlamı şu ki, bir miktar parayı bir tasarruf bankasına yatırdım ve orada bir yıl kaldım. Bir yıl sonra ondan 60 ruble aldım. yatırdığım paranın 2/100'ü kadar gelir. Ne kadar para yatırdım?
Sonuç olarak, bu paranın iki şekilde (ruble ve kesir olarak) ifade edilen kısmını bildiğimizde, henüz bilinmeyen miktarın tamamını bulmamız gerekir. Bu, kesri verilen bir sayıyı bulmanın sıradan bir problemidir. Aşağıdaki problemler bölme işlemiyle çözülür:
Bu, tasarruf bankasına 3.000 ruble yatırıldığı anlamına geliyor.
Görev 2. Balıkçılar iki haftada aylık planı %64 oranında yerine getirerek 512 ton balık topladı. Planları neydi?
Sorunun koşullarından balıkçıların planın bir kısmını tamamladığı biliniyor. Bu kısım 512 tona yani planın %64'üne tekabül ediyor. Plana göre kaç ton balığın hazırlanması gerektiğini bilmiyoruz. Bu numarayı bulmak sorunun çözümü olacaktır.
Bu tür problemler bölünmeyle çözülür:
Bu da plana göre 800 ton balığın hazırlanması gerektiği anlamına geliyor.
Görev 3. Tren Riga'dan Moskova'ya gitti. 276. kilometreyi geçtiğinde yolculardan biri yoldan geçen kondüktöre yolculuğun ne kadarını kat ettiklerini sordu. Bunun üzerine kondüktör şu yanıtı verdi: "Zaten tüm yolculuğun %30'unu kat ettik." Riga ile Moskova arasındaki mesafe ne kadar?
Sorunlu koşullardan Riga'dan Moskova'ya olan güzergahın %30'unun 276 km olduğu açıktır. Bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını yani bu kısım için bütünü bulmamız gerekiyor:
§ 91. Karşılıklı sayılar. Bölmeyi çarpma ile değiştirmek.
2/3 kesirini alıp paydanın yerine pay koyarsak 3/2 elde ederiz. Bu kesrin tersini aldık.
Belirli bir kesrin tersini elde etmek için, payını paydanın yerine, paydayı da payın yerine koymanız gerekir. Bu şekilde herhangi bir kesrin tersini alabiliriz. Örneğin:
3/4, ters 4/3; 5/6, ters 6/5
Birincinin payının ikincinin paydası ve birincinin paydasının ikincinin payı olması özelliğine sahip iki kesre ne ad verilir? karşılıklı olarak ters.
Şimdi 1/2'nin tersinin ne olacağını düşünelim. Açıkçası 2/1 veya sadece 2 olacak. Verilen kesrin ters kısmını arayarak bir tam sayı elde ettik. Ve bu durum münferit bir durum değil; aksine, payı 1 (bir) olan tüm kesirler için karşılıklı sayılar tamsayı olacaktır, örneğin:
1/3, ters 3; 1/5, ters 5
Karşılıklı kesirleri bulurken tamsayılarla da karşılaştığımız için, bundan sonra karşılıklı kesirlerden değil, karşılıklı sayılar.
Bir tam sayının tersinin nasıl yazılacağını bulalım. Kesirler için bu basitçe çözülebilir: paydayı payın yerine koymanız gerekir. Aynı şekilde herhangi bir tam sayının paydası 1 olabileceği için bir tam sayının ters sayısını da elde edebilirsiniz. Bu da 7'nin ters sayısının 1/7 olacağı anlamına gelir, çünkü 7 = 7/1; 10 sayısı için tersi 1/10 olacaktır, çünkü 10 = 10/1
Bu fikir farklı şekilde ifade edilebilir: Belirli bir sayının tersi, birine bölünerek elde edilir verilen numara . Bu ifade sadece tam sayılar için değil kesirler için de geçerlidir. Aslında bir sayı yazmanız gerekiyorsa, karşılıklı kesir 5/9 ise 1'i alıp 5/9'a bölebiliriz.
Şimdi bir şeye dikkat çekelim mülk bizim için yararlı olacak karşılıklı sayılar: karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir. Aslında:
Bu özelliği kullanarak karşılıklı sayıları aşağıdaki şekilde bulabiliriz. Diyelim ki 8'in tersini bulmamız gerekiyor.
Bunu harfle belirtelim X , sonra 8 X = 1, dolayısıyla X = 1/8. 7/12'nin tersi olan başka bir sayı bulalım ve onu harfiyle gösterelim. X , sonra 7/12 X = 1, dolayısıyla X = 1: 7/12 veya X = 12 / 7 .
Kesirleri bölmeyle ilgili bilgileri biraz desteklemek için burada karşılıklı sayılar kavramını tanıttık.
6 sayısını 3/5'e böldüğümüzde şunu yaparız:
lütfen aklınızda bulundurun özel ilgi ifadeye getirin ve onu verilen ifadeyle karşılaştırın: .
İfadeyi öncekiyle bağlantısı olmadan ayrı ayrı alırsak, o zaman nereden geldiği sorusunu çözmek imkansızdır: 6'yı 3/5'e bölmek veya 6'yı 5/3 ile çarpmak. Her iki durumda da aynı şey olur. Bu nedenle söyleyebiliriz bir sayıyı diğerine bölmek, bölenin tersiyle çarpılarak değiştirilebilir.
Aşağıda vereceğimiz örnekler bu sonucu tamamen doğrulamaktadır.
Ortaöğretim sürecinde ve liseÖğrenciler “Kesirler” konusunu incelediler. Ancak bu kavram öğrenme sürecinde verilenden çok daha geniştir. Günümüzde kesir kavramıyla oldukça sık karşılaşılmaktadır ve herkes herhangi bir ifadeyi, örneğin kesirleri çarpmayı hesaplayamaz.
Kesir nedir?
Tarihsel olarak kesirli sayılar ölçme ihtiyacından doğmuştur. Uygulamada görüldüğü gibi, genellikle bir parçanın uzunluğunu ve dikdörtgen bir dikdörtgenin hacmini belirleme örnekleri vardır.
Başlangıçta öğrencilere pay kavramı tanıtılır. Mesela bir karpuzu 8 parçaya bölerseniz her kişiye karpuzun sekizde biri düşer. Sekizin bu bir kısmına hisse denir.
Herhangi bir değerin ½'sine eşit olan paya yarım denir; ⅓ - üçüncü; ¼ - çeyrek. 5/8, 4/5, 2/4 formundaki kayıtlara sıradan kesirler denir. Ortak bir kesir pay ve paydaya bölünür. Aralarında kesir çubuğu veya kesir çubuğu bulunur. Kesirli çizgi yatay veya eğik bir çizgi olarak çizilebilir. Bu durumda bölme işaretini belirtir.
Payda, miktarın veya nesnenin kaç eşit parçaya bölündüğünü temsil eder; pay ise kaç adet aynı hissenin alındığıdır. Kesir çizgisinin üstüne pay, altına ise payda yazılır.
Sıradan kesirleri göstermek en uygunudur koordinat ışını. Bir birim parça 4'e bölünürse eşit paylar, her vuruşu belirleyin Latince harf, o zaman sonuç mükemmel olabilir görsel yardım. Yani A noktası tüm birim parçanın 1/4'üne eşit bir payı gösterirken, B noktası belirli bir parçanın 2/8'ini işaret eder.
Kesir türleri
Kesirler sıradan, ondalık ve karışık sayılar olabilir. Ayrıca kesirler doğru ve yanlış olarak ikiye ayrılabilir. Bu sınıflandırma sıradan kesirler için daha uygundur.
Altında uygun kesir payı olan sayıyı anlayın paydadan daha az. Buna göre uygunsuz kesir, payı paydasından büyük olan bir sayıdır. İkinci tür genellikle karışık sayı olarak yazılır. Bu ifade bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur. Örneğin 1½. 1 tam sayı, ½ ise kesirli kısımdır. Bununla birlikte, ifadeyle bazı manipülasyonlar yapmanız gerekiyorsa (kesirleri bölme veya çarpma, azaltma veya dönüştürme), karışık sayı uygunsuz bir kesire dönüştürülür.
Doğru bir kesirli ifade her zaman birden küçüktür ve yanlış bir kesirli ifade her zaman 1'den büyük veya 1'e eşittir.
Bu ifadeye gelince, kesirli ifadesinin paydası birkaç sıfırlı bir cinsinden ifade edilebilen herhangi bir sayının temsil edildiği bir kaydı kastediyoruz. Kesir doğru ise tamamı ondalık gösterim sıfıra eşit olacaktır.
Ondalık kesir yazmak için öncelikle kısmın tamamını yazmalı, virgül kullanarak kesirden ayırdıktan sonra kesir ifadesini yazmalısınız. Ondalık noktadan sonra payın, paydadaki sıfırlarla aynı sayıda dijital karakter içermesi gerektiği unutulmamalıdır.
Örnek. 7 21/1000 kesrini ondalık gösterimle ifade edin.
Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya (veya tam tersi) dönüştürmek için algoritma
Bir problemin cevabına uygun olmayan bir kesir yazmak yanlıştır, bu nedenle tam sayıya dönüştürülmesi gerekir:
- payı mevcut paydaya bölün;
- V spesifik örnek eksik bölüm - bütün;
- ve kalan kısım, payda değişmeden kalacak şekilde kesirli kısmın payıdır.
Örnek. Uygunsuz kesri karışık sayıya dönüştürün: 47/5.
Çözüm. 47: 5. Kısmi bölüm 9, kalan = 2. Yani 47/5 = 9 2/5.
Bazen karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesir olarak göstermeniz gerekir. O zaman aşağıdaki algoritmayı kullanmanız gerekir:
- tamsayı kısmı kesirli ifadenin paydası ile çarpılır;
- elde edilen ürün paya eklenir;
- sonuç paya yazılır, payda değişmeden kalır.
Örnek. Sayıyı karışık biçimde uygunsuz bir kesir olarak sunun: 9 8 / 10.
Çözüm. Pay 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98'dir.
Cevap: 98 / 10.
Kesirlerin Çarpılması
Adi kesirler üzerinde çeşitli işlemler yapılabilir. cebirsel işlemler. İki sayıyı çarpmak için payı payla, paydayı da paydayla çarpmanız gerekir. Üstelik paydaları farklı olan kesirleri çarpmanın, paydaları aynı olan kesirleri çarpmaktan hiçbir farkı yoktur.
Sonucu bulduktan sonra kesri azaltmanız gerekir. Ortaya çıkan ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirmek zorunludur. Elbette bir cevaptaki uygunsuz kesrin hata olduğu söylenemez ama buna doğru cevap demek de zordur.
Örnek. İki sıradan kesrin çarpımını bulun: ½ ve 20/18.
Örnekte görüldüğü gibi çarpım bulunduktan sonra indirgenebilir kesirli notasyon elde edilmektedir. Bu durumda hem pay hem de payda 4'e bölünür ve sonuç 5/9 cevabıdır.
Ondalık Kesirlerin Çarpılması
Ondalık kesirlerin çarpımı, prensip olarak sıradan kesirlerin çarpımından oldukça farklıdır. Yani kesirlerin çarpılması aşağıdaki gibidir:
- iki ondalık kesir, en sağdaki rakamlar birbirinin altında olacak şekilde üst üste yazılmalıdır;
- yazılı sayıları virgüllere rağmen yani doğal sayılar olarak çarpmanız gerekiyor;
- her sayıdaki ondalık noktadan sonraki basamak sayısını sayın;
- çarpma işleminden sonra elde edilen sonuçta, ondalık noktadan sonra her iki faktörün toplamında bulunan sayıda dijital sembolü sağdan saymanız ve bir ayırma işareti koymanız gerekir;
- Üründe daha az sayı varsa, bu sayıyı kapatacak kadar önlerine sıfır yazmanız, virgül koymanız ve sıfıra eşit olan kısmın tamamını eklemeniz gerekir.
Örnek. İki ondalık kesrin çarpımını hesaplayın: 2,25 ve 3,6.
Çözüm.
Karışık Kesirlerin Çarpılması
İkinin çarpımını hesaplamak için karışık kesirler kesirleri çarpmak için kuralı kullanmanız gerekir:
- karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürün;
- payların çarpımını bulun;
- paydaların çarpımını bulun;
- sonucu yazın;
- ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirin.
Örnek. 4½ ile 6 2/5'in çarpımını bulun.
Bir sayıyı kesirle çarpmak (bir sayıyla kesir)
İki kesirin ve karışık sayıların çarpımını bulmanın yanı sıra, kesirle çarpmanız gereken görevler de vardır.
Yani ürünü bulmak için ondalık ve bir doğal sayıya ihtiyacınız var:
- sayıyı kesrin altına, en sağdaki rakamlar üst üste gelecek şekilde yazın;
- virgüllere rağmen ürünü bulun;
- sonuçta, kesirdeki ondalık noktadan sonra yer alan basamak sayısını sağdan sayarak, tamsayı kısmını kesirli kısımdan virgül kullanarak ayırın.
Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmak için payın ve doğal faktörün çarpımını bulmanız gerekir. Cevap azaltılabilecek bir kesir üretiyorsa dönüştürülmelidir.
Örnek. 5/8 ile 12'nin çarpımını hesaplayın.
Çözüm. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Cevap: 7 1 / 2.
Önceki örnekte de görebileceğiniz gibi, ortaya çıkan sonucu azaltmak ve hatalı kesirli ifadeyi tam sayılı sayıya dönüştürmek gerekiyordu.
Kesirlerin çarpımı aynı zamanda karışık formdaki bir sayı ile bir doğal faktörün çarpımının bulunmasıyla da ilgilidir. Bu iki sayıyı çarpmak için, karma faktörün tam kısmını sayıyla çarpmanız, payı aynı değerle çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Gerekirse ortaya çıkan sonucu mümkün olduğunca basitleştirmeniz gerekir.
Örnek. 9 5/6 ile 9'un çarpımını bulun.
Çözüm. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3/6 = 88 1 / 2.
Cevap: 88 1 / 2.
10, 100, 1000 veya 0,1'in katlarıyla çarpma; 0,01; 0,001
İtibaren önceki paragraf Aşağıdaki kural geçerlidir. Bir ondalık kesri 10, 100, 1000, 10000 vb. ile çarpmak için, ondalık noktayı birden sonraki faktörde sıfır sayısı kadar sağa kaydırmanız gerekir.
Örnek 1. 0,065 ile 1000'in çarpımını bulun.
Çözüm. 0,065x1000 = 0065 = 65.
Cevap: 65.
Örnek 2. 3,9 ile 1000'in çarpımını bulun.
Çözüm. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Cevap: 3900.
Bir doğal sayı ile 0,1'i çarpmanız gerekirse; 0,01; 0,001; 0,0001 vb. gibi durumlarda, ortaya çıkan çarpımda virgülü, birden önceki sıfır sayısı kadar sola kaydırmalısınız. Gerekirse daha önce doğal sayı Yeterli sayıda sıfır kaydedilir.
Örnek 1. 56 ile 0,01'in çarpımını bulun.
Çözüm. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Cevap: 0,56.
Örnek 2. 4 ile 0,001'in çarpımını bulun.
Çözüm. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Cevap: 0,004.
Yani ürünü bulmak farklı kesirler belki sonucu hesaplamak dışında zorluk yaratmamalı; bu durumda hesap makinesi olmadan yapamazsınız.
Kesirlerde çarpma ve bölme.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Bu işlem toplama-çıkarma işleminden çok daha güzel! Çünkü daha kolay. Bir hatırlatma olarak, bir kesri bir kesirle çarpmak için payları (bu, sonucun payı olacaktır) ve paydaları (bu payda olacaktır) çarpmanız gerekir. Yani:
Örneğin:
Her şey son derece basit. Ve lütfen ortak payda aramayın! Burada ona gerek yok...
Bir kesri kesre bölmek için işlemi tersine çevirmeniz gerekir. ikinci(bu önemlidir!) kesir yapın ve bunları çarpın, yani:
Örneğin:
Tamsayılar ve kesirlerle çarpma veya bölme işlemleriyle karşılaşırsanız sorun değil. Toplama işleminde olduğu gibi, paydası bir olan bir tam sayıdan kesir yaparız ve devam ederiz! Örneğin:
Lisede sık sık üç katlı (hatta dört katlı!) kesirlerle uğraşmak zorunda kalırsınız. Örneğin:
Bu kesirin düzgün görünmesini nasıl sağlayabilirim? Evet, çok basit! İki noktalı bölmeyi kullanın:
Ancak bölünme sırasını unutmayın! Çarpmanın aksine burada bu çok önemli! Elbette 4:2 ile 2:4’ü karıştırmayacağız. Ancak üç katlı bir kesirde hata yapmak kolaydır. Lütfen örneğin şunu unutmayın:
İlk durumda (soldaki ifade):
İkincisinde (sağdaki ifade):
Farkı hissediyor musun? 4 ve 1/9!
Bölünme sırasını ne belirler? Ya parantezlerle, ya da (burada olduğu gibi) yatay çizgilerin uzunluğuyla. Gözünüzü geliştirin. Ve eğer parantez veya tire yoksa, örneğin:
sonra böl ve çarp sırasıyla soldan sağa!
Ayrıca çok basit ve önemli teknik. Dereceli eylemlerde size çok faydalı olacaktır! Birini herhangi bir kesre, örneğin 13/15'e bölelim:
Vuruş tersine döndü! Ve bu her zaman olur. 1'i herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesirdir, yalnızca ters kısmı aşağıdadır.
Kesirli işlemler için bu kadar. Olay oldukça basit ama gereğinden fazla hata veriyor. lütfen aklınızda bulundurun pratik tavsiye ve bunlardan daha azı olacak (hatalar)!
Pratik ipuçları:
1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir! bu değil ortak kelimeler, iyi dilekler değil! Bu çok ciddi bir gereklilik! Birleşik Devlet Sınavındaki tüm hesaplamaları tam teşekküllü, odaklanmış ve net bir görev olarak yapın. Zihinsel hesaplamalar yaparken ortalığı karıştırmaktansa taslağa fazladan iki satır yazmak daha iyidir.
2. Örneklerde farklı türler kesirler - sıradan kesirlere gidin.
3. Tüm kesirleri durana kadar azaltıyoruz.
4. Çok katlı kesirli ifadeler iki noktadan bölmeyi kullanarak sıradan olanlara azaltın (bölme sırasına dikkat edin!).
5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.
İşte kesinlikle çözmeniz gereken görevler. Cevaplar tüm görevlerden sonra verilir. Bu konuyla ilgili materyalleri ve pratik ipuçlarını kullanın. Kaç örneği doğru çözebildiğinizi tahmin edin. İlk defa doğru! Hesap makinesi olmadan! Ve doğru sonuçları çıkarın...
Unutmayın - doğru cevap ikinciden (özellikle üçüncüden) alınanlar sayılmaz! Zorlu hayat böyle.
Bu yüzden, sınav modunda çöz ! Bu arada, bu zaten Birleşik Devlet Sınavına hazırlık. Örneği çözüyoruz, kontrol ediyoruz, bir sonrakini çözüyoruz. Her şeye karar verdik - baştan sona tekrar kontrol ettik. Ve sadece Daha sonra cevaplara bakın.
Hesaplamak:
Karar verdin mi?
Sizinkine uygun cevaplar arıyoruz. Bunları kasıtlı olarak, deyim yerindeyse, baştan çıkarıcılıktan uzak, dağınık bir şekilde yazdım... İşte, noktalı virgülle yazılmış cevaplar.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Şimdi sonuçlar çıkarıyoruz. Her şey yolunda gittiyse, senin adına sevindim! Temel hesaplamalar kesirlerle - senin sorunun değil! Daha fazlasını yapabilirsin ciddi şeyler. Değilse...
Yani iki problemden birine sahipsiniz. Veya her ikisi de aynı anda.) Bilgi eksikliği ve (veya) dikkatsizlik. Ama... Bu çözülebilir sorunlar.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.