Doğa yasalarını fizikte doğru bir şekilde göstermek için uygun matematiksel araçlara ihtiyaç vardır.
Geometri ve fizikte hem sayısal değer hem de yön ile karakterize edilen nicelikler vardır.
Bunları yönlendirilmiş bölümler veya vektörler.
Bu tür niceliklerin bir başlangıcı (noktayla gösterilen) ve bir okla gösterilen bir sonu vardır. Bir parçanın uzunluğuna (uzunluk) denir.
- hız;
- hızlanma;
- nabız;
- kuvvet;
- an;
- kuvvet;
- hareket ediyor;
- alan gücü vb.
Düzlem koordinatları
A (x1,y1) noktasından B (x2,y2) noktasına yönlendirilen düzlem üzerinde bir doğru parçası tanımlayalım. a (a1, a2) koordinatları a1=x2-x1, a2=y2-y1 sayılarıdır.
Modül Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır: 
Sıfır vektörünün başlangıcı sonu ile çakışmaktadır. Koordinatlar ve uzunluk 0'dır.
Vektör toplamı
Var tutarı hesaplamak için çeşitli kurallar
- üçgen kuralı;
- çokgen kuralı;
- paralelkenar kuralı.
Vektörleri toplama kuralı dinamik ve mekanik problemler kullanılarak açıklanabilir. Bir nokta cisme etki eden kuvvetler ve cismin uzaydaki ardışık hareketleri örneğini kullanarak vektörlerin üçgen kuralına göre eklenmesini ele alalım.
Diyelim ki bir cisim önce A noktasından B noktasına, sonra B noktasından C noktasına hareket ediyor. Son yer değiştirme, başlangıç noktası A'dan bitiş noktası C'ye yönlendirilen bir bölümdür.
İki hareketin sonucu veya toplamları s = s1+ s2. Bu yöntem denir üçgen kuralı.
Oklar zincir halinde birbiri ardına dizilir ve gerekirse paralel aktarım yapılır. Toplam bölüm diziyi kapatır. Başlangıcı birincinin başlangıcına, sonu da sonuncunun sonuna denk gelir. Yabancı ders kitaplarında bu yönteme denir "kuyruk kafaya".
c = a + b sonucunun koordinatları, c (a1+ b1, a2+ b2) terimlerinin karşılık gelen koordinatlarının toplamına eşittir.
Paralel (doğrusal) vektörlerin toplamı da üçgen kuralıyla belirlenir.
İki orijinal parça birbirine dik ise, bunların eklenmesinin sonucu, üzerlerine inşa edilen dik üçgenin hipotenüsüdür. Toplamın uzunluğu Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır.
Örnekler:
- Yatay olarak fırlatılan bir cismin hızı dik serbest düşüşün hızlanması.
- Düzgün dönme hareketinde, cismin doğrusal hızı merkezcil ivmeye diktir.
Üç veya daha fazla vektörün eklenmesi göre üretmek çokgen kuralı, "kuyruk kafaya"
F1 ve F2 kuvvetlerinin bir nokta cisme uygulandığını varsayalım.
Deneyimler, bu kuvvetlerin birleşik etkisinin, üzerlerine inşa edilen paralelkenarın köşegeni boyunca yönlendirilen tek bir kuvvetin etkisine eşdeğer olduğunu kanıtlamaktadır. Ortaya çıkan bu kuvvet, toplamları F = F1 + F 2'ye eşittir. Yukarıdaki toplama yöntemine denir. paralelkenar kuralı.
Bu durumda uzunluk aşağıdaki formülle hesaplanır:
Burada θ kenarlar arasındaki açıdır.
Üçgen ve paralelkenarın kuralları birbirinin yerine kullanılabilir. Fizikte paralelkenar kuralı daha sık kullanılır, çünkü kuvvetlerin, hızların ve ivmelerin yönsel büyüklükleri genellikle tek nokta gövdeye uygulanır. Üç boyutlu bir koordinat sisteminde paralelyüz kuralı geçerlidir.
Cebirin elemanları
- Toplama ikili bir işlemdir: aynı anda yalnızca bir çift eklenebilir.
- Değişebilirlik: Terimlerin yeniden düzenlenmesinden elde edilen toplam değişmez a + b = b + a. Bu paralelkenar kuralından açıkça anlaşılmaktadır: köşegen her zaman aynıdır.
- çağrışımsallık: Rasgele sayıda vektörün toplamı, bunların toplanma sırasına bağlı değildir (a + b) + c = a + (b + c).
- Sıfır vektörlü toplam, yönü veya uzunluğu değiştirmez: a +0= a .
- Her vektör için zıt. Toplamları sıfır a +(-a)=0'a eşittir ve uzunlukları aynıdır.
Bir skaler ile çarpma
Bir skalerle çarpmanın sonucu bir vektördür.
Ürünün koordinatları, orijinalin karşılık gelen koordinatlarının bir skaler ile çarpılmasıyla elde edilir.
Skaler, artı veya eksi işareti olan, birden büyük veya küçük olan sayısal bir değerdir.
Fizikteki skaler niceliklere örnekler:
- ağırlık;
- zaman;
- şarj;
- uzunluk;
- kare;
- hacim;
- yoğunluk;
- sıcaklık;
- enerji.
Örnek:
İş, kuvvet ve yer değiştirmenin skaler çarpımıdır A = Fs.
M'ye n boyutlarının matrisi.
Matris boyut m x n, m satır ve n sütundan oluşan ve yuvarlak veya dikdörtgen veya çift olarak alınan, mn gerçek sayıların veya başka bir yapının (polinomlar, fonksiyonlar vb.) elemanlarının bir koleksiyonudur. düz parantez. Bu durumda, sayıların kendilerine matris elemanları denir ve her eleman iki sayıyla ilişkilendirilir - satır numarası ve sütun numarası n'ye n boyutunda bir matris denir. kare n'inci dereceden matris, yani satır sayısı sütun sayısına eşittir. üçgen - Ana köşegenin altındaki veya üstündeki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir kare matrise kare matris denir. diyagonal , eğer köşegen dışı tüm elemanları sıfıra eşitse. Skaler matris - ana köşegen elemanları eşit olan köşegen bir matris. Skaler matrisin özel bir durumu birim matristir. Diyagonal tüm köşegen elemanlarının 1'e eşit olduğu matrise denir Bekar matristir ve I veya E sembolüyle gösterilir. Elemanlarının tümü sıfır olan bir matrise matris denir. hükümsüz matristir ve O sembolü ile gösterilir.
A matrisinin bir sayıyla çarpılması λ (sembol: λ A) bir matris oluşturmayı içerir B elemanları matrisin her bir elemanının çarpılmasıyla elde edilen A bu sayıya göre, yani matrisin her elemanı B eşittir
Matrisleri bir sayıyla çarpmanın özellikleri
1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA
4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB
Matris ekleme A + B bir matris bulma işlemidir C, tüm elemanları karşılık gelen tüm matris elemanlarının ikili toplamına eşit olan A Ve B yani matrisin her bir elemanı C eşittir
Matris toplamanın özellikleri
5.değişme) a+b=b+a
6. çağrışımsallık.
7. Sıfır matrisle toplama;
8. Zıt matrisin varlığı (aynı şey ama her sayıdan önce her yerde eksiler var)
Matris çarpımı - matris hesaplama işlemi var C elemanları, birinci faktörün karşılık gelen satırında ve ikincinin sütununda bulunan elemanların çarpımlarının toplamına eşittir.
Matristeki sütun sayısı A matristeki satır sayısıyla eşleşmelidir B. Matris ise A boyuta sahiptir, B- , ardından ürünlerinin boyutu AB = C Orada .
Matris çarpımının özellikleri
1. çağrışımsallık (yukarıya bakınız)
2. çarpım değişmeli değildir;
3. çarpım birim matris ile çarpıldığında değişmelidir;
4.dağıtım yasasının adilliği; A*(B+C)=A*B+A*C.
5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);
2. Birinci ve n'inci dereceden bir kare matrisin determinantı
Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin elemanlarının bir polinomudur (yani satır ve sütun sayısının eşit olduğu bir polinomdur).
İlk satırda genişletme yoluyla belirleme
Birinci dereceden bir matris için belirleyici bu matrisin tek elemanıdır:
Bir determinant matrisi için şu şekilde tanımlanır:
Bir matris için determinant yinelemeli olarak belirtilir:
, burada öğeye ek bir minör var A 1J. Bu formül denir hat genişletme.
Özellikle bir matrisin determinantını hesaplama formülü şöyledir:
= A 11 A 22 A 33 − A 11 A 23 A 32 − A 12 A 21 A 33 + A 12 A 23 A 31 + A 13 A 21 A 32 − A 13 A 22 A 31
Belirleyicilerin özellikleri
Herhangi bir satıra (sütun) diğer satırların (sütunların) doğrusal bir kombinasyonunu eklerken determinant değişmez.
§ Bir matrisin iki satırı (sütunları) çakışırsa, determinantı sıfıra eşittir.
§ Bir matrisin iki (veya daha fazla) satırı (sütunları) doğrusal olarak bağımlıysa, determinantı sıfıra eşittir.
§ Bir matrisin iki satırını (sütununu) yeniden düzenlerseniz, determinantı (-1) ile çarpılır.
§ Bir determinantın herhangi bir serisinin elemanlarının ortak faktörü, determinantın işaretinden çıkarılabilir.
§ Matrisin en az bir satırı (sütun) sıfır ise determinant sıfıra eşittir.
§ Herhangi bir satırın tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarına göre çarpımlarının toplamı determinantına eşittir.
§ Herhangi bir serinin tüm elemanlarının, paralel bir serinin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamı sıfıra eşittir.
§ Aynı mertebeden kare matrislerin çarpımının determinantı, determinantlarının çarpımına eşittir (ayrıca bkz. Binet-Cauchy formülü).
§ İndeks gösterimi kullanılarak, 3x3'lük bir matrisin determinantı, Levi-Civita sembolü kullanılarak aşağıdaki ilişkiden tanımlanabilir:
Ters matris.
Ters matris - böyle bir matris A−1, orijinal matrisin çarpıldığı zaman A kimlik matrisiyle sonuçlanır e:
Koşullu varoluş:
Bir kare matris, ancak ve ancak tekil değilse, yani determinantı sıfıra eşit değilse ters çevrilebilir. Kare olmayan matrisler ve tekil matrisler için ters matris yoktur.
Bulmanın formülü
Matris tersinirse, ters matrisi bulmak için aşağıdaki yöntemlerden birini kullanabilirsiniz:
a) Cebirsel toplamalardan oluşan bir matris kullanmak
CT- cebirsel eklemelerin aktarılmış matrisi;
Ortaya çıkan matris A−1 ve tersi olacaktır. Algoritmanın karmaşıklığı, O det determinantının hesaplanmasına yönelik algoritmanın karmaşıklığına bağlıdır ve O(n²)·O det'e eşittir.
Başka bir deyişle, ters matris, orijinal matrisin determinantına bölünen ve cebirsel eklemelerin transpoze matrisi ile çarpılan bire eşittir (minör, kapladığı alanın kuvvetine (-1) çarpılır) Orijinal matrisin elemanları.
4. Doğrusal denklem sistemi. Sistem çözümü. Sistemin uyumluluğu ve uyumsuzluğu. n değişkenli n doğrusal denklem sistemini çözmek için matris yöntemi. Krammer teoremi.
Sistem M ile doğrusal denklemler N bilinmiyor(veya, doğrusal sistem) doğrusal cebirde formdaki bir denklem sistemidir
 | (1) |
Burada X 1 , X 2 , …, xn- belirlenmesi gereken bilinmeyenler. A 11 , A 12 , …, bir dakika- sistem katsayıları - ve B 1 , B 2 , … bm- ücretsiz üyelerin - bilindiği varsayılır. Katsayı endeksleri ( bir ben) sistemler denklem numaralarını belirtir ( Ben) ve bilinmiyor ( J), bu katsayının sırasıyla bulunduğu yer.
Sistem (1) çağrılır homojen, eğer tüm serbest terimleri sıfıra eşitse ( B 1 = B 2 = … = bm= 0), aksi halde - heterojen.
Sistem (1) çağrılır kare eğer sayı M sayıya eşit denklemler N bilinmiyor.
Çözüm sistemler (1) - ayarla N sayılar C 1 , C 2 , …, cnöyle ki her birinin ikamesi ben yerine x ben(1) sistemine dönüştürülmesi tüm denklemlerini kimliklere dönüştürür.
Sistem (1) çağrılır eklem yeri En az bir çözümü varsa ve ortak olmayan, eğer tek bir çözümü yoksa.
(1) tipi bir ortak sistemin bir veya daha fazla çözümü olabilir.
Çözümler C 1 (1) , C 2 (1) , …, cn(1) ve C 1 (2) , C 2 (2) , …, cn(2) form (1)'deki eklem sistemleri denir çeşitli Eşitliklerden en az biri ihlal edilirse:
| C 1 (1) = C 1 (2) , C 2 (1) = C 2 (2) , …, cn (1) = cn (2) . |
Matris formu
Bir doğrusal denklem sistemi matris biçiminde şu şekilde temsil edilebilir:
AX = B.
Sağdaki A matrisine serbest terimlerden oluşan bir sütun eklenirse, ortaya çıkan matrise genişletilmiş matris denir.
Doğrudan yöntemler
Cramer yöntemi (Cramer kuralı)- ana matrisin sıfır olmayan bir determinantına sahip ikinci dereceden doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için bir yöntem (ve bu tür denklemler için benzersiz bir çözüm vardır). Adını bu yöntemi icat eden Gabriel Cramer'den (1704–1752) almıştır.
Yöntemin açıklaması
Sistem için N ile doğrusal denklemler N bilinmiyor (keyfi bir alan üzerinde)
sistem matrisinin Δ determinantı sıfırdan farklı olduğunda çözüm şu şekilde yazılır:
(sistem matrisinin i'inci sütununun yerini bir serbest terimler sütunu alır).
Başka bir biçimde, Cramer kuralı şu şekilde formüle edilir: herhangi bir c 1, c 2, ..., c n katsayıları için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:
Bu formda Cramer formülü, Δ'nın sıfırdan farklı olduğu varsayımı olmadan geçerlidir; sistemin katsayılarının bir integral halkasının elemanları olması bile gerekli değildir (sistemin determinantı, sıfırın bir böleni bile olabilir). katsayı halkası). Ayrıca her iki kümenin de olduğunu varsayabiliriz. B 1 ,B 2 ,...,bn Ve X 1 ,X 2 ,...,xn veya bir set C 1 ,C 2 ,...,cn sistemin katsayı halkasının elemanlarından değil, bu halkanın üzerindeki bazı modüllerden oluşur.
5.K'inci mertebeden küçük. Matris sıralaması. Matrislerin elemanter dönüşümleri. Bir doğrusal denklem sisteminin uyumluluk koşullarına ilişkin Kronecker-Capelli teoremi. Bir doğrusal denklem sistemi için değişken yok etme (Gauss) yöntemi.
Küçük matrisler A mertebeden kare matrisin determinantıdır k(buna aynı zamanda bu minörün sırası da denir), elemanları matriste görünen A satırların sayılarla ve sütunların sayılarla kesiştiği noktada.
Rütbe matrisin satırları (sütunları) sistemi Aİle Mçizgiler ve N sütunlar, sıfır olmayan satırların (sütunların) maksimum sayısıdır.
Hiçbiri diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilemiyorsa, birkaç satırın (sütunların) doğrusal olarak bağımsız olduğu söylenir. Satır sisteminin rütbesi her zaman sütun sisteminin rütbesine eşittir ve bu sayıya matrisin rütbesi denir.
Kronecker - Capelli teoremi (doğrusal cebirsel denklemler sistemi için tutarlılık kriteri) -
Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi ancak ve ancak ana matrisinin sıralaması genişletilmiş matrisinin sıralamasına (serbest terimlerle) eşitse tutarlıdır ve sıralama sayıya eşitse sistemin benzersiz bir çözümü vardır. bilinmeyenlerin sayısı ve sıranın bilinmeyenlerin sayısından küçük olması durumunda sonsuz sayıda çözüm.
Gauss yöntemi - Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini (SLAE) çözmek için klasik bir yöntem. Bu, temel dönüşümler kullanılarak, bir denklem sisteminin, diğer tüm değişkenlerin sonuncusundan başlayarak sırayla bulunduğu, adım adım (veya üçgen) formdaki eşdeğer bir sisteme indirgendiği zaman, değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasına yönelik bir yöntemdir. sayı) değişkenler.
6. Yönlendirilmiş segment ve vektör. Vektör cebirinin temel kavramları. Vektörlerin toplamı ve bir vektör ile bir sayının çarpımı. Vektörlerin koordinasyonu için koşul. Vektörler üzerinde doğrusal işlemlerin özellikleri.
Vektörler üzerinde işlemler
Ek
Geometrik vektörlerin eklenmesi işlemi, duruma ve dikkate alınan vektörlerin türüne bağlı olarak farklı şekillerde tanımlanabilir:
iki vektör sen, v ve bunların toplamının vektörü
Üçgen kuralı. İki vektörü toplamak için ve üçgen kuralına göre, bu vektörlerin her ikisi de birbirine paralel olarak, birinin başlangıcı diğerinin sonuyla çakışacak şekilde aktarılır. Daha sonra toplam vektör, ortaya çıkan üçgenin üçüncü tarafı tarafından verilir ve başlangıcı, birinci vektörün başlangıcına ve sonu, ikinci vektörün sonuna denk gelir.
Paralelkenar kuralı. İki vektörü toplamak için ve paralelkenar kuralına göre, bu vektörlerin her ikisi de kökenleri çakışacak şekilde birbirine paralel olarak aktarılır. Daha sonra toplam vektörü, ortak orijinden başlayarak üzerlerine kurulan paralelkenarın köşegeniyle verilir.
Ve toplam vektörün modülü (uzunluğu) 
Kosinüs teoremi ile belirlenir; vektörlerden birinin başlangıcı diğerinin sonu ile çakıştığında aralarındaki açıdır. Artık formül de kullanılıyor - bir noktadan çıkan vektörler arasındaki açı.
vektör çizimleri
vektör çizimleri vektöre göre vektör, aşağıdaki gereksinimleri karşılayan bir vektördür:
C vektörünün özellikleri
§ bir vektörün uzunluğu, vektörlerin uzunluklarının çarpımına ve aralarındaki φ açısının sinüsüne eşittir
§ vektör, vektörlerin her birine diktir ve
§ C vektörünün yönü Buravchik kuralına göre belirlenir
Bir vektör ürününün özellikleri:
1. Faktörleri yeniden düzenlerken, vektör çarpımı işaret değiştirir (anti-değişme), yani. 
2. Vektör çarpımı skaler faktöre göre birleştirme özelliğine sahiptir, yani
3. Vektör çarpımı dağıtım özelliğine sahiptir:
Düzlemde ve uzayda temel ve koordinat sistemi. Bir vektörün esaslara göre ayrıştırılması. Düzlemde ve uzayda ortonormal taban ve dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi. Bir vektörün ve düzlemdeki ve uzaydaki bir noktanın koordinatları. Bir vektörün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleri.
Temel (eski Yunanca βασις, temel) - bir vektör uzayındaki bir vektör kümesi, öyle ki bu uzaydaki herhangi bir vektör, bu kümedeki vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir - temel vektörleri.
Temel vektörlerin her birinin uzunluğunun (normunun) birim olarak seçilmesi genellikle uygundur; böyle bir temele denir. normalleştirilmiş.
Belirli bir (herhangi) uzay vektörünün, temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsili (temel vektörlerin sayısal katsayılarla toplamı), örneğin
veya Σ toplam işaretini kullanarak:
isminde bu vektörün bu temele göre genişlemesi.
Bir vektörün ve düzlemdeki ve uzaydaki bir noktanın koordinatları.
A noktasının x ekseni koordinatı, mutlak değer olarak OAx parçasının uzunluğuna eşit bir sayıdır: A noktası pozitif x ekseni üzerinde yer alıyorsa pozitif, negatif yarı eksen üzerinde yer alıyorsa negatif.
Birim vektör veya birim vektör, uzunluğu bire eşit olan ve herhangi bir koordinat ekseni boyunca yönlendirilen bir vektördür.
Daha sonra vektör projeksiyonu L eksenindeki AB, vektörün sonu ve başlangıcının bu eksene izdüşümlerinin koordinatları arasındaki x1 – x2 farkıdır.
8.Bir vektörün uzunluk ve yön kosinüsleri, yön kosinüsleri arasındaki ilişki. Orth vektörü. Koordinatlar vektörlerin toplamı, bir vektör ve bir sayının çarpımıdır.
Vektör uzunluğu formülle belirlenir
Vektörün yönü, Ox, Oy, Oz koordinat eksenleriyle oluşturduğu α, β, γ açılarıyla belirlenir. Bu açıların kosinüsleri (sözde yön kosinüs vektörü
) aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır: 
Birim vektör veya ort (normalleştirilmiş bir vektör uzayının birim vektörü) normu (uzunluğu) bire eşit olan bir vektördür.
Belirli bir vektörle (normalleştirilmiş vektör) eşdoğrusal olan birim vektör, formülle belirlenir.
Birim vektörler genellikle hesaplamaları basitleştirdiği için temel vektörler olarak seçilir. Bu tür bazlara denir normalleştirilmiş. Eğer bu vektörler aynı zamanda dik ise böyle bir tabana ortonormal taban denir.
Koordinatlar eşdoğrusal
Koordinatlar eşit
Koordinatlar toplam vektör iki vektör ilişkileri karşılar:
Koordinatlar eşdoğrusal vektörler ilişkiyi karşılar:
Koordinatlar eşit vektörler ilişkileri karşılar:
Toplam vektör iki vektör:
Birkaç vektörün toplamı:
Bir vektör ile bir sayının çarpımı:
Vektörlerin çapraz çarpımı. Çapraz çarpımın geometrik uygulamaları. Vektörlerin eşdoğrusallık koşulu. Karışık bir çarpımın cebirsel özellikleri. Vektör çarpımının faktörlerin koordinatları aracılığıyla ifade edilmesi.
Bir vektörün çapraz çarpımı ve b vektörüne c vektörü denir; bu:
1. a ve b vektörlerine dik, yani c^a ve c^b;
2. Kenar olarak a ve b vektörleri üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanına sayısal olarak eşit bir uzunluğa sahiptir (bkz. Şekil 17), yani.
3. a, b ve c vektörleri sağ yönlü bir üçlü oluşturur.
Geometrik Uygulamalar:
Vektörlerin eşdoğrusallığının kurulması
Paralelkenarın ve üçgenin alanını bulma
Vektörlerin vektör çarpımının tanımına göre A ve b |bir xb | =|bir| * |b |sing, yani S çiftleri = |a x b |. Ve dolayısıyla DS =1/2|a x b |.
Bir noktaya göre kuvvet momentinin belirlenmesi
Fizikten biliniyor ki kuvvet momenti F noktaya göre HAKKINDA vektör denir M, hangi noktadan geçer HAKKINDA Ve:
1) noktalardan geçen düzleme dik O, A, B;
2) sayısal olarak kol başına kuvvetin çarpımına eşittir
3) OA ve A B vektörleriyle bir dik üçlü oluşturur.
Bu nedenle M = OA x F.
Doğrusal dönüş hızını bulma
Sabit bir eksen etrafında w açısal hızıyla dönen katı bir cismin M noktasının hızı v, Euler formülü v =w xr ile belirlenir; burada r =OM, burada O, eksenin sabit bir noktasıdır (bkz. 21).
Vektörlerin eşdoğrusallık koşulu - Sıfırdan farklı bir vektör ile bir vektörün eşdoğrusallığı için gerekli ve yeterli koşul, eşitliği sağlayan bir sayının varlığıdır.
Karışık bir ürünün cebirsel özellikleri
Vektörlerin karışık çarpımı, faktörler dairesel olarak yeniden düzenlendiğinde değişmez ve iki faktör yer değiştirdiğinde, modülünü korurken işaretini ters yönde değiştirir.
Karışık bir çarpımın içindeki vektör çarpma işareti " ", çarpanlarından herhangi birinin arasına yerleştirilebilir.
Karma bir ürün, faktörlerinden herhangi birine göre dağıtıcıdır: (örneğin) eğer , o zaman
Çapraz çarpımı koordinat cinsinden ifade etme
doğru koordinat sistemi
sol koordinat sistemi
12.Vektörlerin karışık çarpımı. Karışık çarpımın geometrik anlamı, vektörlerin eş düzlemli olma durumu. Karışık bir çarpımın cebirsel özellikleri. Karma bir çarpımın faktörlerin koordinatları aracılığıyla ifade edilmesi.
Karışık Sıralı bir (a,b,c) vektör üçlüsünün çarpımı, birinci vektörün skaler çarpımı ile ikinci vektör ile üçüncünün vektör çarpımıdır.
Bir vektör çarpımının cebirsel özellikleri
Antideğişme
Bir skalerle çarpmaya göre ilişkisellik
Toplama yoluyla dağıtım
Jacobi kimliği. R3'te çalışır ve R7'de kesilir
Temel vektörlerin vektör çarpımları tanım gereği bulunur
Çözüm
hem doğrunun yön vektörünün hem de doğruya ait bir noktanın koordinatları nerededir?
Düzlemdeki bir doğrunun normal vektörü. Belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi. Düz bir çizginin genel denklemi. Açısal katsayılı bir doğrunun denklemleri. Bir düzlemdeki iki çizginin göreceli konumu
Normal bir doğrunun vektörü, bu doğruya dik sıfırdan farklı herhangi bir vektördür.
- belirli bir vektöre dik belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi
Balta + Wu + C = 0- bir doğrunun genel denklemi.
y=kx+b formunun çizgi denklemi
isminde eğimi olan bir doğrunun denklemi ve k katsayısına bu doğrunun eğimi denir.
Teorem. Eğimi y=kx+b olan bir doğrunun denkleminde
açısal katsayı k, düz çizginin apsis eksenine eğim açısının tanjantına eşittir:
Karşılıklı konum:
– Oksi koordinat düzlemindeki iki doğrunun genel denklemleri. Daha sonra
1) eğer öyleyse çizgiler çakışıyor;
2) eğer öyleyse düz ve paralel;
3) eğer öyleyse çizgiler kesişir.
Kanıt . Koşul, verilen doğruların normal vektörlerinin eşdoğrusallığına eşdeğerdir:
Bu nedenle, eğer , o zaman düz çizgiler kesişmek.
Eğer 
, sonra , ve doğrunun denklemi şu şekli alır:
Veya 
yani dümdüz kibrit. Orantılılık katsayısının olduğuna dikkat edin, aksi takdirde genel denklemin tüm katsayıları sıfıra eşit olur ki bu imkansızdır.
Çizgiler çakışmıyorsa ve kesişmiyorsa, durum devam eder, yani. dümdüz paralel.
Segmentlerdeki bir doğrunun denklemi
Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, –С ile bölerek şunu elde ederiz: veya , burada
Katsayıların geometrik anlamı, katsayının Açizginin Ox ekseni ile kesişme noktasının koordinatıdır ve B– düz çizginin Oy ekseniyle kesişme noktasının koordinatı.
Bir doğrunun normal denklemi
Denklemin her iki tarafı Ax + By + C = 0 olarak adlandırılan bir sayıya bölünürse normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
Bir doğrunun normal denklemi.
Normalleştirme faktörünün ± işareti μ ? İLE< 0.
p, orijinden düz çizgiye indirilen dikmenin uzunluğu ve φ, bu dikmenin Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıdır.
C Her çizginin, örneğin eksenlere paralel veya orijinden geçen çizgiler gibi segmentlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.
17. Elips. Bir elipsin kanonik denklemi. Bir elipsin geometrik özellikleri ve yapısı. Özel şartlar.
Elips - noktaların yeri M Verilen iki noktaya olan mesafelerin toplamının verildiği Öklid düzlemi F 1 ve F 2 (odaklar olarak adlandırılır) sabittir ve odaklar arasındaki mesafeden daha büyüktür, yani | F 1 M | + | F 2 M | = 2A ve | F 1 F 2 | < 2A.
Kanonik denklem
Herhangi bir elips için, elipsin aşağıdaki denklemle (elipsin kanonik denklemi) tanımlanacağı bir Kartezyen koordinat sistemi bulabilirsiniz:
Eksenleri koordinat eksenleriyle çakışan, orijin merkezli bir elipsi tanımlar.
Yapı: 1)Pusula kullanmak
2) İki numara ve uzatılmış bir iplik
3) Elipsograf (Elipsograf, birbirine dik iki oluk veya kılavuz boyunca hareket edebilen iki sürgüden oluşur. Sürgüler, çubuğa menteşeler vasıtasıyla bağlanır ve çubuk boyunca birbirlerinden sabit bir mesafede bulunur. Sürgüler ileri doğru hareket eder. ve geriye doğru - her biri kendi oluğu boyunca - ve çubuğun ucu düzlemde bir elipsi tanımlar. a ve b elipsinin yarı eksenleri, çubuğun ucundan kızaklardaki menteşelere kadar olan mesafeleri temsil eder. a ve b mesafeleri değiştirilebilir ve böylece açıklanan elipsin şekli ve boyutları değişebilir)
Eksantriklik elipsin uzamasını karakterize eder. Dışmerkezlik sıfıra ne kadar yakınsa elips bir daireye o kadar benzer ve bunun tersi de dışmerkezliğin birliğe ne kadar yakınsa o kadar uzar.
Odak parametresi
Kanonik denklem
18.Hiperbol. Hiperbollerin kanonik denklemleri. Bir hiperbolün geometrik özellikleri ve yapısı. Özel şartlar
Hiperbol(eski Yunanca ὑπερβολή, eski Yunanca βαλειν - “fırlat”, ὑπερ - “üzerinden”) - noktaların yeri M Uzaklıklardaki farkın mutlak değerinin olduğu Öklid düzlemi M seçilen iki noktaya kadar F 1 ve F 2 (odaklar olarak adlandırılır) sürekli. Daha doğrusu,
Üstelik | F 1 F 2 | > 2A > 0.
Oranlar
Yukarıda tanımlanan hiperbollerin özellikleri için aşağıdaki ilişkilere uyarlar:
2. Hiperbolün doğrultuları çift kalınlıklı çizgilerle gösterilmiştir ve D 1 ve D 2. Eksantriklik ε nokta mesafelerinin oranına eşit P odağa ve karşılık gelen direktrise (yeşil renkle gösterilmiştir) abartı üzerinde. Hiperbolün köşeleri ± olarak gösterilir A. Hiperbol parametreleri şu anlama gelir:
A- merkeze uzaklık C köşelerin her birine
B- köşelerin her birinden asimptotlara bırakılan dikmenin uzunluğu
C- merkeze uzaklık C odak noktalarından herhangi birine, F 1 ve F 2 ,
θ asimptotların her birinin oluşturduğu açı ve köşeler arasında çizilen eksendir.
Özellikler
§ Bir hiperbol üzerinde yer alan herhangi bir nokta için, bu noktadan odağa olan mesafelerin aynı noktadan doğrultmana olan mesafeye oranı sabit bir değerdir.
§ Bir hiperbol, gerçek ve sanal eksenlere göre ayna simetrisine ve ayrıca hiperbolün merkezi etrafında 180°'lik bir açıyla döndürüldüğünde dönme simetrisine sahiptir.
§ Her hiperbolün eşlenik hiperbol Gerçek ve sanal eksenlerin yer değiştirdiği ancak asimptotların aynı kaldığı. Bu değiştirmeye karşılık gelir A Ve B bir hiperbolü tanımlayan bir formülde üst üste gelir. Eşlenik hiperbol, orijinal hiperbolün 90°'lik bir açıyla döndürülmesinin sonucu değildir; her iki hiperbolün şekli farklıdır.
19. Parabol. Bir parabolün kanonik denklemi. Bir parabolün geometrik özellikleri ve yapısı. Özel şartlar.
Parabol - belirli bir çizgiden (bir parabolün doğrultmanı olarak adlandırılır) ve belirli bir noktadan (parabolün odağı olarak adlandırılır) eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri.
Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir parabolün kanonik denklemi:
(veya eksenleri değiştirirseniz).
Özellikler
§ 1 Bir parabol ikinci dereceden bir eğridir.
§ 2Simetri ekseni adı verilen bir eksene sahiptir. parabolün ekseni. Eksen odaktan geçer ve doğrultmana diktir.
§ 3Optik özellik. Parabolün eksenine paralel olan ve parabolde yansıyan bir ışın demeti odak noktasında toplanır. Ve tam tersi, odakta bulunan bir kaynaktan gelen ışık, bir parabol tarafından eksenine paralel bir ışın demetine yansıtılır.
§ 4Bir parabol için odak noktası (0,25; 0) noktasıdır.
Bir parabol için odak (0; f) noktasındadır.
§ 5 Bir parabolün odağı teğete göre yansıtılıyorsa, görüntüsü doğrultman üzerinde yer alacaktır.
§ 6 Bir parabol, bir çizginin antipodudur.
§ Tüm paraboller benzerdir. Odak ile yön arasındaki mesafe ölçeği belirler.
§ 7 Bir parabol simetri ekseni etrafında döndüğünde eliptik bir paraboloit elde edilir.
Bir parabolün doğrultmanı
Odak yarıçapı
20.Normal düzlem vektörü. Belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi belirli bir vektöre diktir. Genel düzlem denklemi, genel düzlem denkleminin özel durumu. Bir düzlemin vektör denklemi. İki düzlemin göreceli konumu.
Uçak- geometrinin temel kavramlarından biri. Geometrinin sistematik bir sunumunda düzlem kavramı genellikle ilk kavramlardan biri olarak alınır ve geometri aksiyomları tarafından yalnızca dolaylı olarak belirlenir.
Bir düzlemin noktaya ve normal vektöre göre denklemi
Vektör biçiminde
Koordinatlarda
Düzlemler arasındaki açı
Genel düzlem denkleminin özel durumları.
Fizik, mekanik ve teknik bilimlerin çeşitli dalları incelendiğinde tamamen sayısal değerleri belirtilerek belirlenen büyüklüklerle karşılaşılmaktadır. Bu tür miktarlara denir skaler veya kısaca skalerler.
Skaler büyüklükler uzunluk, alan, hacim, kütle, vücut sıcaklığı vb.'dir. Çeşitli problemlerde skaler büyüklüklere ek olarak, sayısal değerlerinin yanı sıra yönlerinin de bilinmesi gereken nicelikler vardır. Bu tür miktarlara denir vektör. Vektörel niceliklerin fiziksel örnekleri, uzayda hareket eden maddi bir noktanın yer değiştirmesi, bu noktanın hızı ve ivmesi ile ona etki eden kuvvet olabilir.
Vektör miktarları vektörler kullanılarak temsil edilir.
Vektör tanımı. Bir vektör, belirli bir uzunluğa sahip düz bir çizginin yönlendirilmiş bir parçasıdır.
Bir vektör iki noktayla tanımlanır. Bir nokta vektörün başlangıç noktası, diğer nokta ise vektörün bitiş noktasıdır. Vektörün başlangıcını nokta ile gösterirsek A , ve vektörün sonu bir noktadır İÇİNDE , o zaman vektörün kendisi gösterilir. Bir vektör, üzerinde çubuk bulunan küçük bir Latin harfiyle de belirtilebilir (örneğin, ).
Grafiksel olarak bir vektör, sonunda bir ok bulunan bir segmentle gösterilir.
Vektörün başlangıcına denir uygulama noktası. Eğer nokta A vektörün başlangıcıdır , o zaman vektörün o noktaya uygulandığını söyleyeceğiz A.
Bir vektör iki büyüklükle tanımlanır: uzunluk ve yön.
Vektör uzunluğu – başlangıç noktası A ile bitiş noktası B arasındaki mesafe. Bir vektörün uzunluğunun diğer adı da vektörün modülüdür ve sembolüyle gösterilir . Vektörün büyüklüğü gösterilir Vektör , Uzunluğu 1 olana birim vektör denir. Yani birim vektörün koşulu
Sıfır uzunluğa sahip bir vektöre sıfır vektör adı verilir ( ile gösterilir). Açıkçası, sıfır vektörü aynı başlangıç ve bitiş noktalarına sahiptir. Sıfır vektörünün belirli bir yönü yoktur.
Doğrusal vektörlerin tanımı. Aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere eşdoğrusal denir. .
Doğrusal vektörlerin farklı uzunluklara ve farklı yönlere sahip olabileceğini unutmayın.
Eşit vektörlerin belirlenmesi.İki vektör aynı doğru üzerindeyse, aynı uzunluğa ve aynı yöne sahipse eşit olduğu söylenir.
Bu durumda şunu yazarlar:
Yorum. Vektörlerin eşitliği tanımından, bir vektörün, kökenini uzayda herhangi bir noktaya (özellikle bir düzleme) yerleştirerek paralel olarak aktarılabileceği sonucu çıkar.
Sıfır vektörlerin tümü eşit kabul edilir.
Zıt vektörlerin belirlenmesi. Doğrusal olan, aynı uzunluğa sahip ancak zıt yönde olan iki vektöre zıt denir.
Bu durumda şunu yazarlar:
Başka bir deyişle, vektörün karşısındaki vektör, olarak gösterilir.