Bir kişi matematiksel analiz konusunda ilk bağımsız adımları attığında ve rahatsız edici sorular sormaya başladığında, "lahanada diferansiyel hesap bulundu" ifadesinden kurtulmak artık o kadar kolay değil. Bu nedenle doğumun sırrının belirlenip ortaya çıkarılmasının zamanı gelmiştir. türev tabloları ve türev alma kuralları. Makalede başladı türevin anlamı hakkında Bunu incelemenizi şiddetle tavsiye ediyorum, çünkü orada türev kavramına baktık ve konuyla ilgili problemlere tıklamaya başladık. Aynı dersin belirgin bir pratik yönelimi vardır; ayrıca,
aşağıda tartışılan örnekler prensipte tamamen resmi olarak öğrenilebilir (örneğin, türevin özünü araştırmaya zaman/arzu olmadığında). Ayrıca, "geleneksel" yöntemi kullanarak türevleri bulabilmek de son derece arzu edilir (ancak yine de gerekli değildir) - en azından iki temel ders düzeyinde: Karmaşık bir fonksiyonun türevi ve türevi nasıl bulunur?
Ama artık kesinlikle onsuz yapamayacağımız bir şey var; o da fonksiyon sınırları. Limitin ne olduğunu ANLAMALI ve en azından orta düzeyde çözebilmelisiniz. Ve bunların hepsi türev olduğu için
bir noktadaki fonksiyon aşağıdaki formülle belirlenir:
Size tanımları ve terimleri hatırlatmama izin verin: çağırıyorlar argüman artışı;
– fonksiyon artışı;
– bunlar TEK sembollerdir (“delta”, “X” veya “Y”den “parçalanamaz”).
Açıkçası, “dinamik” bir değişken bir sabittir ve limit hesaplamasının sonucudur. 
- sayı (bazen - “artı” veya “eksi” sonsuz).
Bir nokta olarak, ait olan HERHANGİ bir değeri düşünebilirsiniz. tanım alanı türevinin mevcut olduğu fonksiyon.
Not: "Türevin bulunduğu yer" cümlesi genel olarak önemlidir! Yani, örneğin bir nokta bir fonksiyonun tanım tanım kümesinde yer almasına rağmen onun türevi
orada yok. Bu nedenle formül
şu an için geçerli değil
ve çekincesiz kısaltılmış bir formülasyon yanlış olacaktır. Benzer gerçekler, grafikte "kesintiler" bulunan diğer fonksiyonlar, özellikle de arksinüs ve arkkosinüs için de geçerlidir.
Böylece değiştirdikten sonra ikinci çalışma formülünü elde ederiz:
Çaydanlığın kafasını karıştırabilecek sinsi bir duruma dikkat edin: Bu limitte kendisi de bağımsız bir değişken olan “x” istatistik rolü oynar ve “dinamik” yine artışla belirlenir. Limit hesaplamasının sonucu
türev fonksiyonudur.
Yukarıdakilere dayanarak, iki tipik sorunun koşullarını formüle ediyoruz:
- Bulmak bir noktada türev türev tanımını kullanarak.
- Bulmak türev fonksiyonu türev tanımını kullanarak. Gözlemlerime göre bu versiyon çok daha yaygın ve asıl dikkat edilecek.
Görevler arasındaki temel fark, ilk durumda sayıyı bulmanız gerektiğidir. (isteğe bağlı olarak sonsuz) ve ikincisinde –
işlev Ayrıca türev hiç mevcut olmayabilir.
Nasıl ?
Bir oran oluşturun ve limiti hesaplayın.
Nereden geldi? türev tablosu ve türev alma kuralları ? Tek sınır sayesinde
Büyü gibi görünüyor ama
gerçekte - el çabukluğu ve sahtekarlık yok. sınıfta Türev nedir? Tanımı kullanarak doğrusal ve ikinci dereceden bir fonksiyonun türevlerini bulduğum belirli örneklere bakmaya başladım. Bilişsel ısınma amacıyla rahatsız etmeye devam edeceğiz türev tablosu Algoritmayı ve teknik çözümleri geliştirmek:
Temel olarak, genellikle aşağıdaki tabloda görünen bir kuvvet fonksiyonunun türevinin özel bir durumunu kanıtlamanız gerekir: .
Çözüm teknik olarak iki şekilde resmileştirilmiştir. Zaten tanıdık olan ilk yaklaşımla başlayalım: merdiven bir tahtayla başlar ve türev fonksiyonu bir noktadaki türevle başlar.
ait bazı (belirli) noktaları düşünün. tanım alanı türevi olan fonksiyon. Bu noktada artışı ayarlayalım. (elbette kapsam dahilinde o/o -ya) ve fonksiyonun karşılık gelen artışını oluşturun:
Limiti hesaplayalım:
0:0 belirsizliği, M.Ö. 1. yüzyıldan kalma standart bir teknikle ortadan kaldırılıyor. Haydi çarpalım
eşlenik ifadenin pay ve paydası 
:
Böyle bir limiti çözme tekniği giriş dersinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. fonksiyonların sınırları hakkında.
Aralığın HERHANGİ bir noktasını seçebileceğiniz için
Ardından, değişimi yaptıktan sonra şunu elde ederiz:
Logaritmalara bir kez daha sevinelim:
Türev tanımını kullanarak bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm: Aynı görevi gerçekleştirmek için farklı bir yaklaşım düşünelim. Tamamen aynı ama tasarım açısından daha rasyonel. Fikir kurtulmaktır
alt simge ve harf yerine harf kullanın.
A'ya ait rastgele bir noktayı düşünün tanım alanı fonksiyon (aralık) ve içindeki artışı ayarlayın. Ancak bu arada, çoğu durumda olduğu gibi burada da herhangi bir çekince olmadan yapabilirsiniz, çünkü logaritmik fonksiyon tanım alanının herhangi bir noktasında türevlenebilir.
Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen artışı şöyledir:
Türevini bulalım:
Tasarımın sadeliği, ortaya çıkabilecek karışıklıkla dengelenmiştir.
yeni başlayanlar arasında meydana gelir (ve sadece değil). Sonuçta limitte “X” harfinin değişmesine alışkınız! Ancak burada her şey farklı: - antika bir heykel ve - müze koridorunda hızlı adımlarla yürüyen yaşayan bir ziyaretçi. Yani “x” “sabit gibidir”.
Belirsizliğin adım adım ortadan kaldırılması konusunda yorum yapacağım:
(1)
Logaritma özelliğini kullanma
.
(2) Parantez içinde payı paydaya, terime ve terime bölün.
(3) Paydada yapay olarak "x" ile çarpıp bölüyoruz, böylece
harika limitten yararlanın 
, iken sonsuz küçük davranır.
Cevap: Bir türevin tanımı gereği:
Veya kısaca:
Kendiniz iki tablo formülü daha oluşturmayı öneriyorum:
Tanıma göre türevi bulun
Bu durumda, derlenen artışın derhal ortak bir paydaya düşürülmesi uygundur. Dersin sonunda ödevin yaklaşık bir örneği (ilk yöntem).
Tanıma göre türevi bulun
Ve burada her şeyin dikkate değer bir sınıra indirgenmesi gerekiyor. Çözüm ikinci şekilde resmileştirilmiştir.
Bir dizi başka tablosal türevler. Tam liste okul ders kitabında veya örneğin Fichtenholtz'un 1. cildinde bulunabilir. Farklılaşma kurallarının kanıtlarını kitaplardan kopyalamanın pek bir manasını görmüyorum - bunlar da oluşturulmuş
formül
Gerçekte karşılaşılan görevlere geçelim: Örnek 5
Bir fonksiyonun türevini bulun 
türev tanımını kullanarak
Çözüm: İlk tasarım stilini kullanın. Ait olduğu bir noktayı ele alalım ve argümanın artışını buna göre ayarlayalım. Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen artışı şöyledir:
Belki bazı okuyucular, artışların yapılması gereken prensibi henüz tam olarak anlamamışlardır. Bir nokta (sayı) alın ve içindeki fonksiyonun değerini bulun: 
yani fonksiyona
"X" yerine değiştirilmelidir. Şimdi alalım
Derlenmiş işlev artışı Hemen basitleştirmek faydalı olabilir. Ne için? Çözümü kolaylaştırın ve daha da kısaltın.
Formüller kullanıyoruz, parantezleri açıyoruz ve azaltılabilecek her şeyi azaltıyoruz:
Hindinin içi çıkarılmış, kızartmada sorun yok:
Sonuç olarak: 
Herhangi bir reel sayıyı değer olarak seçebildiğimiz için yerine koyma işlemini yapıp şunu elde ederiz: 
.
Cevap : 
tanımı gereği.
Doğrulama amacıyla, kuralları kullanarak türevi bulalım
farklılaşma ve tablolar:
Doğru cevabı önceden bilmek her zaman yararlı ve keyiflidir, bu nedenle önerilen işlevi çözümün en başında zihinsel olarak veya taslak halinde "hızlı" bir şekilde farklılaştırmak daha iyidir.
Türev tanımına göre bir fonksiyonun türevini bulun
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Sonuç açıktır:
Stil #2'ye geri dönelim: Örnek 7
Ne olması gerektiğini hemen öğrenelim. İle karmaşık fonksiyonların türevlenmesi kuralı:
Çözüm: ait olduğu rastgele bir noktayı düşünün, argümanın artışını bu noktaya ayarlayın ve artışı telafi edin
Türevini bulalım:
(1) Trigonometrik formülü kullanıyoruz
(2) Sinüs altında parantezleri açıyoruz, kosinüs altında benzer terimleri sunuyoruz.
(3) Sinüs altında terimleri iptal ederiz, kosinüs altında payı paydaya terime böleriz.
(4) Sinüsün tuhaflığından dolayı “eksi”yi çıkarıyoruz. Kosinüs altında
terimi olduğunu belirtiyoruz.
(5) Paydayı kullanabilmek için yapay çarpma işlemi yapıyoruz. ilk harika sınır. Böylece belirsizlik ortadan kalktı, sonucu düzeltelim.
Cevap: Tanım gereği Gördüğünüz gibi, ele alınan problemin temel zorluğu,
çok sınırlı karmaşıklık + ambalajın hafif özgünlüğü. Pratikte her iki tasarım yöntemi de ortaya çıkıyor, bu yüzden her iki yaklaşımı da mümkün olduğunca ayrıntılı olarak açıklıyorum. Bunlar eşdeğerdir, ancak yine de benim öznel izlenimime göre, aptalların "X-sıfır" ile 1. seçeneğe bağlı kalması daha tavsiye edilir.
Tanımı kullanarak fonksiyonun türevini bulun
Bu sizin kendi başınıza çözmeniz gereken bir görevdir. Örnek, önceki örnekle aynı ruhla tasarlanmıştır.
Sorunun daha nadir bir versiyonuna bakalım:
Türev tanımını kullanarak bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.
Öncelikle sonuç ne olmalı? Sayı Cevabı standart yöntemle hesaplayalım:
Çözüm: Açıklık açısından bakıldığında bu görev çok daha basittir, çünkü formülde
belirli bir değer dikkate alınır.
Noktadaki artışı ayarlayalım ve fonksiyonun karşılık gelen artışını oluşturalım:
Bu noktada türevi hesaplayalım:
Çok nadir bir teğet fark formülü kullanıyoruz 
ve bir kez daha çözümü birinciye indirgiyoruz
dikkate değer sınır:
Cevap: Bir noktadaki türevin tanımı gereği.
Sorunun "genel olarak" çözülmesi o kadar da zor değil - çiviyi değiştirmek veya sadece tasarım yöntemine bağlı olarak yeterlidir. Bu durumda sonucun bir sayı değil, türetilmiş bir fonksiyon olacağı açıktır.
Örnek 10 Tanımı kullanarak fonksiyonun türevini bulun 
bu noktada
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.
Son bonus görevi öncelikle matematiksel analiz konusunda derinlemesine eğitim almış öğrencilere yöneliktir, ancak başkalarına da zarar vermeyecektir:
Fonksiyon diferansiyellenebilir mi? 
bu noktada?
Çözüm: Parçalı olarak verilen bir fonksiyonun bir noktada sürekli olduğu açıktır ancak orada türevlenebilir mi?
Yalnızca parçalı fonksiyonlar için değil, çözüm algoritması aşağıdaki gibidir:
1) Belirli bir noktada soldan türevi bulun: .
2) Verilen bir noktada sağdan türevi bulun: .
3) Tek taraflı türevler sonluysa ve çakışıyorsa:
, o zaman fonksiyon bu noktada diferansiyellenebilirdir
geometrik olarak burada ortak bir teğet var (bkz. dersin teorik kısmı) Türevin tanımı ve anlamı).
İki farklı değer alınırsa: 
(bunlardan biri sonsuz olabilir) ise fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.
Her iki tek taraflı türev de sonsuza eşitse
(farklı işaretlere sahip olsalar bile), o zaman fonksiyon değildir
noktasında türevlenebilir, ancak sonsuz bir türev ve grafiğe ortak bir dikey teğet vardır (bkz. örnek ders 5Normal denklem) .
Bu derste formülleri ve türev alma kurallarını uygulamayı öğreneceğiz.
Örnekler. Fonksiyonların türevlerini bulun.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Kuralın uygulanması BEN, formüller 4, 2 ve 1. Şunu elde ederiz:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. Aynı formülleri ve formülü kullanarak benzer şekilde çözüyoruz 3.
y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Kuralın uygulanması BEN, formüller 3, 5
Ve 6
Ve 1.
Kuralın uygulanması IV, formüller 5
Ve 1
.
Beşinci örnekte kurala göre BEN toplamın türevi türevlerin toplamına eşittir ve az önce 1. terimin türevini bulduk (örnek) 4 ), dolayısıyla türevleri bulacağız 2. Ve 3.şartlar ve 1. için Toplama sonucu hemen yazabiliriz.
Haydi farklılaşalım 2. Ve 3. formüle göre terimler 4
. Bunu yapmak için paydalardaki üçüncü ve dördüncü kuvvetlerin köklerini negatif üslü kuvvetlere dönüştürüyoruz ve ardından şuna göre: 4
Formülde kuvvetlerin türevlerini buluyoruz.
Bu örneğe ve sonuca bakın. Deseni yakaladınız mı? İyi. Bu, yeni bir formülümüz olduğu ve onu türev tablomuza ekleyebileceğimiz anlamına gelir.
Altıncı örneği çözüp başka bir formül türetelim.
Kuralı kullanalım IV ve formül 4
. Ortaya çıkan kesirleri azaltalım.
Bu fonksiyona ve türevine bakalım. Elbette modeli anlıyorsunuz ve formülü adlandırmaya hazırsınız:
Yeni formüller öğreniyorum!
Örnekler.
1. Argümanın artışını ve y= fonksiyonunun artışını bulun x 2, eğer argümanın başlangıç değeri şuna eşitse: 4 ve yeni - 4,01 .
Çözüm.
Yeni bağımsız değişken değeri x=x 0 +Δx. Verileri yerine koyalım: 4.01=4+Δх, dolayısıyla argümanın artışı Δх=4,01-4=0,01. Bir fonksiyonun artışı, tanım gereği, fonksiyonun yeni ve önceki değerleri arasındaki farka eşittir, yani. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Bir fonksiyonumuz olduğundan y=x2, O Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Cevap: argüman artışı Δх=0,01; fonksiyon artışı Δу=0,0801.
Fonksiyon artışı farklı şekilde bulunabilir: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.
2. Fonksiyonun grafiğine teğetin eğim açısını bulun y=f(x) bu noktada x 0, Eğer f "(x 0) = 1.
Çözüm.
Türevin teğet noktasındaki değeri x 0 ve teğet açısının tanjantının değeridir (türevin geometrik anlamı). Sahibiz: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,Çünkü tg45°=1.
Cevap: Bu fonksiyonun grafiğine teğet, Ox ekseninin pozitif yönü ile şuna eşit bir açı oluşturur: 45°.
3. Fonksiyonun türevinin formülünü türetin y=xn.
Farklılaşma bir fonksiyonun türevini bulma eylemidir.
Türevleri bulurken, türev derecesi formülünü türettiğimiz gibi, türevin tanımına dayalı olarak türetilen formülleri kullanın: (x n)" = nx n-1.
Bunlar formüller.
Türev tablosu Sözlü formülasyonları telaffuz ederek ezberlemek daha kolay olacaktır:
1. Sabit bir miktarın türevi sıfıra eşittir.
2. X üssü bire eşittir.
3. Türevin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir.
4. Bir derecenin türevi, bu derecenin üssünün aynı tabana sahip bir dereceye kadar çarpımına eşittir, ancak üs bir eksiktir.
5. Bir kökün türevi, birin iki eşit köke bölünmesine eşittir.
6. Birin x'e bölünmesinin türevi eşittir eksi bir bölü x'in karesi.
7. Sinüsün türevi kosinüse eşittir.
8. Kosinüsün türevi eksi sinüse eşittir.
9. Teğetin türevi birin kosinüsün karesine bölünmesine eşittir.
10. Kotanjantın türevi eksi birin sinüsün karesine bölünmesine eşittir.
Biz öğretiyoruz farklılaşma kuralları.
1.
Bir cebirsel toplamın türevi, terimlerin türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.
2. Bir ürünün türevi, birinci faktör ile ikincinin türevinin çarpımı artı birinci faktörün ve ikincinin türevinin çarpımına eşittir.
3. "y"nin "ve"ye bölümü, payın "y üssü çarpı "ve" eksi "y çarpı ve ve üssü" ve paydanın "ve kare" olduğu bir kesire eşittir.
4. Formülün özel bir durumu 3.
Birlikte öğrenelim!
Sayfa 1/1 1
Tanım.\(y = f(x) \) fonksiyonu, \(x_0\) noktasını kendi içinde içeren belirli bir aralıkta tanımlansın. Argümana bu aralığı terk etmeyecek şekilde \(\Delta x \) bir artış verelim. \(\Delta y \) fonksiyonunun karşılık gelen artışını bulalım (\(x_0 \) noktasından \(x_0 + \Delta x \) noktasına giderken) ve \(\frac(\Delta) ilişkisini oluşturalım y)(\Delta x) \). Bu oranın \(\Delta x \rightarrow 0\'da) bir sınırı varsa, belirtilen sınıra denir. bir fonksiyonun türevi\(y=f(x) \) \(x_0 \) noktasındadır ve \(f"(x_0) \)'yi gösterir.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Y sembolü genellikle türevi belirtmek için kullanılır. y" = f(x)'in yeni bir fonksiyon olduğunu, ancak doğal olarak yukarıdaki limitin mevcut olduğu tüm x noktalarında tanımlanan y = f(x) fonksiyonuyla ilişkili olduğunu unutmayın. Bu fonksiyon şu şekilde çağrılır: y = f(x) fonksiyonunun türevi.
Türevin geometrik anlamı aşağıdaki gibidir. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x=a olan ve y eksenine paralel olmayan bir noktada bir teğet çizmek mümkünse f(a) teğetin eğimini ifade eder :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) olduğundan, \(f"(a) = tan(a) \) eşitliği doğrudur.
Şimdi türevin tanımını yaklaşık eşitlikler açısından yorumlayalım. \(y = f(x)\) fonksiyonunun belirli bir \(x\ noktasında) türevi olsun:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu, x noktası yakınında yaklaşık eşitliğin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), yani \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ olduğu anlamına gelir. Delta x\). Ortaya çıkan yaklaşık eşitliğin anlamlı anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun artışı argümanın artışıyla “neredeyse orantılıdır” ve orantı katsayısı belirli bir x noktasında türevin değeridir. Örneğin, \(y = x^2\) fonksiyonu için yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) geçerlidir. Bir türevin tanımını dikkatlice analiz edersek, onu bulmak için bir algoritma içerdiğini görürüz.
Formüle edelim.
y = f(x) fonksiyonunun türevi nasıl bulunur?
1. \(x\) değerini sabitleyin, \(f(x)\)'i bulun
2. \(x\) argümanına bir artış \(\Delta x\) verin, yeni bir \(x+ \Delta x \) noktasına gidin, \(f(x+ \Delta x) \)'yi bulun
3. Fonksiyonun artışını bulun: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ilişkisini oluşturun
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$'ı hesaplayın
Bu limit fonksiyonun x noktasındaki türevidir.
Bir y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi varsa, bu fonksiyona x noktasında türevlenebilir denir. y = f(x) fonksiyonunun türevini bulma prosedürüne denir farklılaşma fonksiyonlar y = f(x).
Şu soruyu tartışalım: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve türevlenebilirliği birbiriyle nasıl ilişkilidir?
y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi olsun. Daha sonra fonksiyonun grafiğine M(x; f(x)) noktasında bir teğet çizilebilir ve hatırlayın, teğetin açısal katsayısı f "(x)'e eşittir. Böyle bir grafik "kırılamaz" M noktasında, yani fonksiyon x noktasında sürekli olmalıdır.
Bunlar “uygulamalı” argümanlardı. Daha kesin bir gerekçe sunalım. Eğer y = f(x) fonksiyonu x noktasında türevlenebilirse, o zaman yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) sağlanır. Bu eşitlikte ise \(\Delta x \) sıfıra yönelirse \(\Delta y \) sıfıra yönelecektir ve bu, fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin koşuludur.
Bu yüzden, Bir fonksiyon x noktasında türevlenebilirse o noktada süreklidir.
Tersi ifade doğru değildir. Örneğin: fonksiyon y = |x| her yerde süreklidir, özellikle x = 0 noktasında, ancak fonksiyonun grafiğine “birleşim noktasında” (0; 0) teğet mevcut değildir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet çizilemiyorsa o noktada türev mevcut değildir.
Başka bir örnek. \(y=\sqrt(x)\) fonksiyonu, x = 0 noktası da dahil olmak üzere tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir. Ve fonksiyonun grafiğine teğet, x = 0 noktası da dahil olmak üzere herhangi bir noktada mevcuttur. Ancak bu noktada teğet y eksenine denk gelir, yani apsis eksenine diktir, denklemi x = 0 şeklindedir. Böyle bir düz çizginin açı katsayısı yoktur, bu da \(f) anlamına gelir. "(0)\) mevcut değil.
Böylece bir fonksiyonun yeni bir özelliği olan türevlenebilirlik ile tanıştık. Bir fonksiyonun grafiğinden onun türevlenebilir olduğu sonucuna nasıl varılabilir?
Bunun cevabı aslında yukarıda verilmiştir. Bir noktada apsis eksenine dik olmayan bir fonksiyonun grafiğine teğet çizmek mümkünse, o zaman bu noktada fonksiyon türevlenebilirdir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet yoksa veya apsis eksenine dikse, bu noktada fonksiyon türevlenebilir değildir.
Farklılaşma kuralları
Türev bulma işlemine denir farklılaşma. Bu işlemi gerçekleştirirken çoğu zaman bölümler, toplamlar, fonksiyonların çarpımları ve ayrıca "fonksiyonların fonksiyonları" yani karmaşık fonksiyonlarla çalışmak zorunda kalırsınız. Türevin tanımından yola çıkarak bu işi kolaylaştıracak türev kurallarını türetebiliriz. Eğer C sabit bir sayıysa ve f=f(x), g=g(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, aşağıdakiler doğrudur farklılaşma kuralları:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Bazı fonksiyonların türevleri tablosu
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Belirli bir fonksiyonun türevini bulma sorunu, lise matematik derslerinde ve yüksek öğretim kurumlarında temel sorunlardan biridir. Türevini almadan bir fonksiyonu tam olarak keşfetmek ve grafiğini oluşturmak imkansızdır. Bir fonksiyonun türevi, türev almanın temel kurallarını ve temel fonksiyonların türev tablosunu biliyorsanız kolayca bulunabilir. Bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı bulalım.
Bir fonksiyonun türevi, argümanın artışı sıfıra yaklaştığında, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limitidir.
Limit kavramı okulda tam olarak işlenmediğinden bu tanımı anlamak oldukça zordur. Ancak çeşitli fonksiyonların türevlerini bulmak için tanımı anlamak şart değil; işi matematikçilere bırakalım ve doğrudan türevi bulmaya geçelim.
Türevi bulma işlemine farklılaşma denir. Bir fonksiyonun türevini alırken yeni bir fonksiyon elde ederiz.
Bunları belirtmek için f, g, vb. Latin harflerini kullanacağız.
Türevler için birçok farklı gösterim vardır. Bir vuruş kullanacağız. Örneğin g" yazmak, g fonksiyonunun türevini bulacağımız anlamına gelir.
Türev tablosu
Türevin nasıl bulunacağı sorusuna cevap verebilmek için ana fonksiyonların türevlerinin bir tablosunu vermek gerekir. Temel fonksiyonların türevlerini hesaplamak için karmaşık hesaplamalar yapmak gerekli değildir. Türev tablosundaki değerine bakmak yeterlidir.
- (sin x)"=çünkü x
- (çünkü x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (lnx)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (yay x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Örnek 1. y=500 fonksiyonunun türevini bulun.
Bunun bir sabit olduğunu görüyoruz. Türev tablosundan bir sabitin türevinin sıfıra eşit olduğu bilinmektedir (formül 1).
Örnek 2. y=x 100 fonksiyonunun türevini bulun.
Bu, üssü 100 olan bir kuvvet fonksiyonudur ve türevini bulmak için, fonksiyonu üsle çarpmanız ve 1 ile azaltmanız gerekir (formül 3).
(x 100)"=100 x 99
Örnek 3. y=5 x fonksiyonunun türevini bulun
Bu üstel bir fonksiyondur, türevini formül 4'ü kullanarak hesaplayalım.
Örnek 4. y= log 4 x fonksiyonunun türevini bulun
Logaritmanın türevini formül 7'yi kullanarak buluyoruz.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Farklılaşma kuralları
Şimdi bir fonksiyonun türevini tabloda yoksa nasıl bulacağımızı bulalım. İncelenen fonksiyonların çoğu temel değildir, ancak basit işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve bir sayıyla çarpma) kullanan temel fonksiyonların kombinasyonlarıdır. Türevlerini bulmak için türev alma kurallarını bilmeniz gerekir. Aşağıda f ve g harfleri fonksiyonları temsil etmektedir ve C bir sabittir.
1. Sabit katsayı türevin işaretinden çıkarılabilir
Örnek 5. y= 6*x 8 fonksiyonunun türevini bulun
6'nın sabit bir faktörünü çıkarırız ve yalnızca x 4'ün türevini alırız. Bu, türevi, türevler tablosunun formül 3'ü kullanılarak bulunan bir güç fonksiyonudur.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Bir toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir
(f + g)"=f" + g"
Örnek 6. y= x 100 +sin x fonksiyonunun türevini bulun
Bir fonksiyon, türevlerini tablodan bulabileceğimiz iki fonksiyonun toplamıdır. (x 100)"=100 x 99 ve (sin x)"=cos x olduğundan. Toplamın türevi bu türevlerin toplamına eşit olacaktır:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +çünkü x
3. Farkın türevi, türevlerin farkına eşittir
(f – g)"=f" – g"
Örnek 7. y= x 100 – cos x fonksiyonunun türevini bulun
Bu fonksiyon, türevlerini de tabloda bulabileceğimiz iki fonksiyonun farkıdır. O halde farkın türevi, türevlerin farkına eşittir ve işaretini değiştirmeyi unutmayın, çünkü (cos x)"= – sin x.
(x 100 – çünkü x)"= 100 x 99 + sin x
Örnek 8. y=e x +tg x– x 2 fonksiyonunun türevini bulun.
Bu fonksiyonun hem toplamı hem de farkı var; her terimin türevlerini bulalım:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Bu durumda orijinal fonksiyonun türevi şuna eşittir:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Ürünün türevi
(f * g)"=f" * g + f * g"
Örnek 9. y= cos x *e x fonksiyonunun türevini bulun
Bunu yapmak için önce her faktörün (cos x)"=–sin x ve (e x)"=e x türevini buluyoruz. Şimdi her şeyi çarpım formülünde yerine koyalım. Birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpıyoruz ve birinci fonksiyonun çarpımını ikincinin türeviyle ekliyoruz.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Bölümün türevi
(f/g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Örnek 10. y= x 50 /sin x fonksiyonunun türevini bulun
Bir bölümün türevini bulmak için önce pay ve paydanın türevini ayrı ayrı buluruz: (x 50)"=50 x 49 ve (sin x)"= cos x. Bölümün türevini formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Karmaşık bir fonksiyonun türevi
Karmaşık bir fonksiyon, çeşitli fonksiyonların birleşimiyle temsil edilen bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmanın da bir kuralı vardır:
(u (v))"=u"(v)*v"
Böyle bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı bulalım. y= u(v(x)) karmaşık bir fonksiyon olsun. Fonksiyona u harici ve v - dahili adını verelim.
Örneğin:
y=sin (x 3) karmaşık bir fonksiyondur.
O halde y=sin(t) harici bir fonksiyondur
t=x 3 - dahili.
Bu fonksiyonun türevini hesaplamaya çalışalım. Formüle göre iç ve dış fonksiyonların türevlerini çarpmanız gerekiyor.
(sin t)"=cos (t) - harici fonksiyonun türevi (burada t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - iç fonksiyonun türevi
O halde (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 karmaşık bir fonksiyonun türevidir.
Üstel (e üzeri x kuvveti) ve üstel fonksiyonun (a üzeri x kuvveti) türevi için formüllerin kanıtı ve türetilmesi. e^2x, e^3x ve e^nx'in türevlerini hesaplama örnekleri. Yüksek dereceli türevler için formüller.
Bir üssün türevi üssün kendisine eşittir (e üzeri x'in türevi e üzeri x'e eşittir):
(1)
(e x )' = e x.
Üstel bir fonksiyonun a tabanlı türevi, fonksiyonun kendisinin a'nın doğal logaritması ile çarpımına eşittir:
(2)
.
Üstel sayının türevinin formülünün türetilmesi, e üzeri x gücü
Üstel, güç tabanı aşağıdaki limit olan e sayısına eşit olan üstel bir fonksiyondur:
.
Burada ya doğal sayı ya da gerçek sayı olabilir. Daha sonra üstel sayının türevi için formül (1)'i türetiyoruz.
Üstel türev formülünün türetilmesi
e üzeri x'in üstel kuvvetini düşünün:
y = ex.
Bu fonksiyon herkes için tanımlanmıştır.
(3)
.
x değişkenine göre türevini bulalım.
Tanım gereği türev aşağıdaki limittir: Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgeyecek şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için aşağıdaki gerçeklere ihtiyacımız var:
(4)
;
A)Üs özelliği:
(5)
;
B) Logaritmanın özelliği:
(6)
.
İÇİNDE)
Logaritmanın sürekliliği ve sürekli bir fonksiyon için limitlerin özelliği: Burada limiti olan bir fonksiyon var ve bu limit pozitif.
(7)
.
G)
;
.
İkinci dikkat çekici sınırın anlamı:
Bu gerçekleri limitimize (3) uygulayalım. Özelliği (4) kullanıyoruz:
.
Bir değişiklik yapalım.
.
Daha sonra ; .
.
Üstel sayının sürekliliği nedeniyle,
Bu nedenle, ne zaman , .
.
Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.
Bir değişiklik yapalım.
.
Daha sonra . , tarihinde. Ve elimizde:
Logaritma özelliğini (5) uygulayalım:
.
(8)
Daha sonra
(6) özelliğini uygulayalım. Pozitif bir limit olduğundan ve logaritma sürekli olduğundan: Burada da dikkat çeken ikinci limiti (7) kullandık. Daha sonra Böylece üstel sayının türevi için formül (1)'i elde ettik.
;
.
Üstel bir fonksiyonun türevinin formülünün türetilmesi
.
Şimdi a dereceli üstel fonksiyonun türevi için formül (2)'yi türetiyoruz.
Buna inanıyoruz ve.
(14)
.
(1)
.
Daha sonra üstel fonksiyon
;
.
Herkes için tanımlanmış.
.
Formül (8)'i dönüştürelim. Bunun için kullanacağız
üstel fonksiyonun özellikleri
.
ve logaritma.
(15)
.
Böylece formül (8)'i aşağıdaki forma dönüştürdük:
;
.
e üzeri x'in yüksek dereceli türevleri
.