Cebirsel (rasyonel) kesirler ortak bir paydaya nasıl indirgenir?
1) Kesirlerin paydaları polinom içeriyorsa bilinen yöntemlerden birini denemeniz gerekir.
2) En düşük ortak payda (LCD) aşağıdakilerden oluşur: herkes alınan çarpanlar En büyük derece.
Sayıların en küçük ortak paydasını, kalan sayılara bölünebilen en küçük sayı olarak sözlü olarak ararız.
3) Her kesir için ek bir faktör bulmak için yeni paydayı eski paydaya bölmeniz gerekir.
4) Orijinal kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpın.
Cebirsel kesirleri ortak bir paydaya indirme örneklerine bakalım.
Sayıların ortak paydasını bulmak için büyük sayıyı seçip küçük sayıya bölünüp bölünmediğini kontrol ederiz. 15, 9'a bölünmez. 15'i 2 ile çarpıyoruz ve çıkan sayının 9'a bölünüp bölünmediğini kontrol ediyoruz. 30, 9'a bölünmez. 15'i 3 ile çarpıyoruz ve çıkan sayının 9'a bölünüp bölünmediğini kontrol ediyoruz. 45, 9'a bölünüyor, yani sayıların ortak paydası 45.
En düşük ortak payda, en büyük güçlerine göre alınan tüm faktörlerden oluşur. Dolayısıyla bu kesirlerin ortak paydası M.Ö. 45'tir (harfler genellikle alfabetik sıraya göre yazılır).
Her kesir için ek bir faktör bulmak için yeni paydayı eski paydaya bölmeniz gerekir. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpıyoruz:
Öncelikle sayıların ortak paydasını arıyoruz: 8, 6'ya bölünemez, 8∙2=16, 6'ya bölünemez, 8∙3=24, 6'ya bölünebilir. Her değişken bir kez ortak paydaya dahil edilmelidir. Derecelerden büyük üslü dereceyi alıyoruz.
Dolayısıyla bu kesirlerin ortak paydası 24a³bc'dir.
Her kesre ek bir faktör bulmak için yeni paydayı eski paydaya bölmeniz gerekir: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Ek faktörü pay ve paydayla çarpıyoruz:
Bu kesirlerin paydalarındaki polinomlara ihtiyaç vardır. İlk kesrin paydası farkın tam karesidir: x²-18x+81=(x-9)²; ikinci paydada - karelerin farkı: x²-81=(x-9)(x+9):
Ortak payda, en büyük dereceye yani (x-9)²(x+9)'a eşit olan tüm faktörlerden oluşur. Ek faktörler buluyoruz ve bunları her kesrin pay ve paydasıyla çarpıyoruz:
Kesirler farklı veya aynı paydalara sahiptir. Aynı payda veya başka şekilde adlandırılan ortak payda fraksiyonda. Ortak payda örneği:
\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)
Kesirler için farklı paydalara bir örnek:
\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)
Bir kesiri ortak paydaya nasıl indirebiliriz?
Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası 13. Hem 3'e hem de 13'e bölünebilen bir sayı bulmanız gerekiyor. Bu sayı 39'dur.
İlk kesir ile çarpılmalıdır ek çarpan 13. Kesrin değişmemesini sağlamak için hem payı hem de paydayı 13 ile çarpmamız gerekir.
\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \renk(kırmızı) (13))(3 \times \renk(kırmızı) (13)) = \frac(104)(39)\)
İkinci kesri ek olarak 3 faktörüyle çarpıyoruz.
\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \renk(kırmızı) (3))(13 \times \renk(kırmızı) (3)) = \frac(6)(39)\)
Kesri ortak bir paydaya indirdik:
\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)
En düşük ortak payda.
Başka bir örneğe bakalım:
\(\frac(5)(8)\) ve \(\frac(7)(12)\) kesirlerini ortak bir paydaya indirgeyelim.
8 ve 12 sayılarının ortak paydası 24, 48, 96, 120, ... sayıları olabilir, bu sayıyı seçmek gelenekseldir en düşük ortak payda bizim durumumuzda bu 24 sayısıdır.
En düşük ortak payda birinci ve ikinci kesirlerin paydasının bölünebileceği en küçük sayıdır.
En düşük ortak payda nasıl bulunur?
Birinci ve ikinci kesirlerin paydasının bölüneceği ve en küçüğünün seçileceği sayıları numaralandırma yöntemi.
Paydası 8 olan kesri 3 ile çarpmamız, paydası 12 olan kesri ise 2 ile çarpmamız gerekir.
\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \renk(kırmızı) (3))(8 \times \color(kırmızı) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \renk(kırmızı) (2))(12 \times \renk(kırmızı) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\\end(hizala)\)
Kesirleri hemen en küçük ortak paydaya indiremezseniz endişelenecek bir şey yok; gelecekte örneği çözerken aldığınız cevabı almak zorunda kalabilirsiniz.
Herhangi iki kesir için ortak payda bulunabilir; bu kesirlerin paydalarının çarpımı olabilir.
Örneğin:
\(\frac(1)(4)\) ve \(\frac(9)(16)\) kesirlerini en küçük ortak paydalarına azaltın.
Ortak paydayı bulmanın en kolay yolu paydaları 4⋅16=64 ile çarpmaktır. 64 sayısı en küçük ortak payda değildir. Görev, en düşük ortak paydayı bulmanızı gerektirir. Bu nedenle daha ileriye bakıyoruz. Hem 4'e hem de 16'ya bölünebilen bir sayıya ihtiyacımız var, bu 16 sayısı. Kesri ortak paydaya getirelim, paydası 4 olan kesri 4 ile, paydası 16 olan kesri ise bir ile çarpalım. Şunu elde ederiz:
\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \renk(kırmızı) (4))(4 \times \color(kırmızı) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \renk(kırmızı) (1))(16 \times \renk(kırmızı) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(hizala)\)
Bu dersimizde kesirleri ortak paydaya indirgemeye ve bu konudaki problemleri çözmeye bakacağız. Ortak payda kavramını ve ek bir faktörü tanımlayalım ve göreceli asal sayıları hatırlayalım. En düşük ortak payda (LCD) kavramını tanımlayalım ve onu bulmak için bir takım problemleri çözelim.
Konu: Paydaları Farklı Kesirlerde Toplama ve Çıkarma
Ders: Kesirleri ortak bir paydaya indirgemek
Tekrarlama. Bir kesrin temel özelliği.
Bir kesrin payı ve paydası aynı doğal sayıyla çarpılır veya bölünürse eşit kesir elde edilir.
Örneğin bir kesrin payı ve paydası 2'ye bölünebilir. Kesri elde ederiz. Bu işleme kesir indirgeme denir. Kesrin pay ve paydasını 2 ile çarparak da ters dönüşümü gerçekleştirebilirsiniz. Bu durumda kesri yeni bir paydaya indirdiğimizi söylüyoruz. 2 sayısına ek faktör denir.
Çözüm. Bir kesir, verilen kesrin paydasının katı olan herhangi bir paydaya indirgenebilir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için pay ve paydası ek bir faktörle çarpılır.
1. Kesri payda 35'e düşürün.
35 sayısı 7'nin katıdır, yani 35 sayısı 7'ye kalansız bölünür. Bu, bu dönüşümün mümkün olduğu anlamına geliyor. Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için 35'i 7'ye böleriz. 5 elde ederiz. Orijinal kesrin payını ve paydasını 5 ile çarpın.
2. Kesri payda 18'e düşürün.
Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için yeni paydayı orijinal paydaya bölün. 3 elde ederiz. Bu kesrin payını ve paydasını 3 ile çarpın.
3. Kesri paydası 60 olacak şekilde azaltın.
60'ı 15'e bölmek ek bir faktör verir. 4'e eşittir. Pay ve paydayı 4 ile çarpın.
4. Kesri paydaya düşürün 24
Basit durumlarda, yeni bir paydaya indirgeme zihinsel olarak gerçekleştirilir. Yalnızca ek faktörün, orijinal kesrin biraz sağında ve üstünde bir parantez arkasında belirtilmesi gelenekseldir.
Bir kesirin paydası 15'e, bir kesrin paydası 15'e indirgenebilir. Kesirlerin ortak paydası da 15'tir.
Kesirlerin ortak paydası, paydalarının herhangi bir ortak katı olabilir. Basitlik açısından kesirler en küçük ortak paydalarına indirgenir. Verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katına eşittir.
Örnek. Kesirin en küçük ortak paydasına azaltın ve .
Öncelikle bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulalım. Bu sayı 12'dir. Birinci ve ikinci kesirlere ek bir çarpan bulalım. Bunu yapmak için 12'yi 4'e ve 6'ya bölün. Üç, ilk kesir için ek bir faktör, iki ise ikinci için ek bir faktördür. Kesirleri payda 12'ye getirelim.
Kesirleri ortak paydaya getirdik, yani paydası aynı olan eşit kesirler bulduk.
Kural. Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için şunları yapmalısınız:
Öncelikle bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun; bu onların en küçük ortak paydası olacaktır;
İkinci olarak, en düşük ortak paydayı bu kesirlerin paydalarına bölün, yani. her kesir için ek bir faktör bulun.
Üçüncüsü, her kesrin payını ve paydasını ek faktörüyle çarpın.
a) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
En düşük ortak payda 12'dir. İlk kesir için ek faktör 4, ikinci için ise 3'tür. Kesirleri payda 24'e indiririz.
b) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
En küçük ortak payda 45'tir. 45'i 9'a 15'e bölersek sırasıyla 5 ve 3 elde edilir. Kesirleri payda 45'e indiririz.
c) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
Ortak payda 24'tür. Ek çarpanlar sırasıyla 2 ve 3'tür.
Bazen verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını sözlü olarak bulmak zor olabilir. Daha sonra asal çarpanlara ayırma kullanılarak ortak payda ve ek faktörler bulunur.
Kesirleri ortak bir paydaya azaltın.
60 ve 168 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının açılımını yazalım ve ikinci açılımda eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını toplayalım. 60'ı 14 ile çarpalım ve ortak paydası 840 olsun. Birinci kesrin ek çarpanı 14. İkinci kesrin ek çarpanı 5. Kesirleri ortak paydası olan 840'a getirelim.
Kaynakça
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M .: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor Salonu, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - Aydınlanma, 1989.
4. Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıflar için matematik dersi ödevleri. -ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulundaki 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. -ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. ve diğerleri Matematik: Ortaokulun 5-6. sınıfları için ders kitabı-muhatap. Matematik öğretmeninin kütüphanesi. - Aydınlanma, 1989.
Madde 1.2'de belirtilen kitapları indirebilirsiniz. bu dersten.
Ev ödevi
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (bağlantı bkz. 1.2)
Ödev: Sayı 297, Sayı 298, Sayı 300.
Diğer görevler: No. 270, No. 290
Bu materyalde kesirlerin yeni bir paydaya nasıl doğru bir şekilde dönüştürüleceğine, ek faktörün ne olduğuna ve nasıl bulunacağına bakacağız. Bundan sonra kesirleri yeni paydalara indirgemenin temel kuralını formüle edeceğiz ve bunu problem örnekleriyle açıklayacağız.
Bir kesri başka bir paydaya indirme kavramı
Kesirlerin temel özelliğini hatırlayalım. Ona göre sıradan bir ab kesri (burada a ve b herhangi bir sayıdır), kendisine eşit sonsuz sayıda kesir içerir. Bu tür kesirler pay ve paydanın aynı m sayısıyla (doğal sayı) çarpılmasıyla elde edilebilir. Başka bir deyişle, tüm sıradan kesirler a · m b · m formundaki diğer kesirler ile değiştirilebilir. Bu, orijinal değerin istenen paydaya sahip bir kesire indirgenmesidir.
Bir kesrin payını ve paydasını herhangi bir doğal sayıyla çarparak başka bir paydaya indirgeyebilirsiniz. Temel koşul, çarpanın kesirin her iki kısmı için de aynı olmasıdır. Sonuç, orijinaline eşit bir kesir olacaktır.
Bunu bir örnekle açıklayalım.
örnek 1
11 25 kesirini yeni paydaya dönüştürün.
Çözüm
Rastgele bir doğal sayı olan 4'ü alalım ve orijinal kesrin her iki tarafını da onunla çarpalım. Sayıyoruz: 11 · 4 = 44 ve 25 · 4 = 100. Sonuç 44 100'ün bir kesridir.
Tüm hesaplamalar şu şekilde yazılabilir: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100
Herhangi bir kesrin çok sayıda farklı paydaya indirgenebileceği ortaya çıktı. Dört yerine başka bir doğal sayı alıp orijinaline eşdeğer başka bir kesir elde edebiliriz.
Ancak hiçbir sayı yeni bir kesrin paydası olamaz. Yani a b için payda yalnızca b'nin katları olan b m sayılarını içerebilir. Bölmeyle ilgili temel kavramları (katlar ve bölenler) gözden geçirin. Sayı b'nin katı değilse ancak yeni kesrin böleni olamaz. Fikrimizi bir problem çözme örneğiyle açıklayalım.
Örnek 2
5 9 kesirini 54 ve 21 numaralı paydalara indirmenin mümkün olup olmadığını hesaplayın.
Çözüm
54, yeni kesrin paydasında yer alan dokuzun katıdır (yani 54, 9'a bölünebilir). Bu, böyle bir azalmanın mümkün olduğu anlamına gelir. Ancak 21'i 9'a bölemediğimiz için bu kesir için bu işlemi yapamayız.
Ek çarpan kavramı
Ek faktörün ne olduğunu formüle edelim.
Tanım 1
Ek çarpan bir kesrin her iki tarafının çarpılarak yeni bir paydaya getirildiği doğal bir sayıdır.
Onlar. bunu bir kesirle yaptığımızda ona ek bir çarpan alırız. Örneğin, 7 10 kesirini 21 30 biçimine indirgemek için ek olarak 3 çarpanına ihtiyacımız var. Ve 5 çarpanını kullanarak 3 8'den 15 40 kesirini elde edebilirsiniz.
Buna göre bir kesrin indirgenmesi gereken paydayı biliyorsak, bunun için ek bir faktör hesaplayabiliriz. Bunu nasıl yapacağımızı bulalım.
Belirli bir c paydasına indirgenebilecek bir ab kesirimiz var; Ek faktör m'yi hesaplayalım. Orijinal kesrin paydasını m ile çarpmamız gerekiyor. B · m elde ederiz ve problemin koşullarına göre b · m = c. Çarpma ve bölmenin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu hatırlayalım. Bu bağlantı bizi şu sonuca götürecektir: Ek faktör, c'nin b'ye bölünmesi bölümünden başka bir şey değildir, yani m = c: b.
Bu nedenle, ek faktörü bulmak için gerekli paydayı orijinal paydaya bölmemiz gerekir.
Örnek 3
Kesir 17 4'ün payda 124'e indirgenmesini sağlayan ek faktörü bulun.
Çözüm
Yukarıdaki kuralı kullanarak 124'ü orijinal kesrin paydası olan dörde böleriz.
Sayıyoruz: 124: 4 = 31.
Bu tür bir hesaplama genellikle kesirleri ortak bir paydaya dönüştürürken gereklidir.
Kesirleri belirtilen paydaya azaltma kuralı
Kesirleri belirtilen paydaya indirebileceğiniz temel kuralı tanımlamaya geçelim. Bu yüzden,
Tanım 2
Bir kesri belirtilen paydaya azaltmak için ihtiyacınız olan:
- ek bir faktör belirleyin;
- orijinal kesrin hem payını hem de paydasını bununla çarpın.
Bu kural pratikte nasıl uygulanır? Sorunun çözümüne bir örnek verelim.
Örnek 4
7 16 kesirini payda 336'ya düşürün.
Çözüm
Ek çarpanı hesaplayarak başlayalım. Böl: 336: 16 = 21.
Ortaya çıkan cevabı orijinal kesrin her iki kısmıyla çarpıyoruz: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Böylece orijinal kesri istenen payda 336'ya getirdik.
Cevap: 7 16 = 147 336.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Farklı paydalara sahip kesirlerin nasıl toplandığını anlamak için önce kuralı öğrenelim, sonra belirli örneklere bakalım.
Farklı paydalara sahip kesirleri eklemek veya çıkarmak için:
1) Verilen kesirleri (NOZ) bulun.
2) Her kesir için ek bir faktör bulun. Bunu yapmak için yeni paydanın eski paydaya bölünmesi gerekir.
3) Her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpın ve aynı paydalara sahip kesirleri ekleyin veya çıkarın.
4) Ortaya çıkan kesrin uygun ve indirgenemez olup olmadığını kontrol edin.
Aşağıdaki örneklerde, farklı paydalara sahip kesirleri toplamanız veya çıkarmanız gerekir:
1) Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi yapmak için öncelikle verilen kesirlerin en küçük ortak paydasını arayın. En büyük sayıyı seçip küçüğüne bölünüp bölünmediğini kontrol ediyoruz. 25, 20'ye bölünmez. 25'i 2 ile çarpıyoruz. 50, 20'ye bölünemez. 25'i 3 ile çarpıyoruz. 75, 20'ye bölünemez. 25'i 4 ile çarpın. 100, 20'ye bölünür. Yani en küçük ortak payda 100'dür.
2) Her kesir için ek bir faktör bulmak için yeni paydayı eski paydaya bölmeniz gerekir. 100:25=4, 100:20=5. Buna göre, birinci kesirin ek çarpanı 4, ikincisinin ek çarpanı ise 5'tir.
3) Her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpın ve kesirleri, aynı paydalara sahip kesirleri çıkarma kuralına göre çıkarın.
4) Ortaya çıkan kesir uygun ve indirgenemezdir. İşte cevap bu.
1) Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için önce en küçük ortak paydayı arayın. 16, 12'ye bölünmez. 16∙2=32 12'ye bölünemez. 16∙3=48 12'ye bölünür. Yani 48 NOZ'dur.
2) 48:16=3, 48:12=4. Bunlar her kesir için ek faktörlerdir.
3) her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpın ve yeni kesirler ekleyin.
4) Ortaya çıkan kesir uygun ve indirgenemezdir.
1) 30, 20'ye bölünmez. 30∙2=60 20'ye bölünür. Yani bu kesirlerin en küçük ortak paydası 60'tır.
2) Her kesir için ek bir faktör bulmak için yeni paydayı eski paydaya bölmeniz gerekir: 60:20=3, 60:30=2.
3) her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpın ve yeni kesirleri çıkarın.
4) ortaya çıkan kesirli 5.
1) 8, 6'ya bölünmez. 8∙2=16 6'ya bölünemez. 8∙3=24 hem 4'e hem de 6'ya bölünebilir. Bu, 24'ün NOZ olduğu anlamına gelir.
2) Her kesir için ek bir faktör bulmak için yeni paydayı eski paydaya bölmeniz gerekir. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Bu, 3, 6 ve 4'ün birinci, ikinci ve üçüncü kesirlere ek çarpanlar olduğu anlamına gelir.
3) her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpın. Ekleme ve çıkarma. Ortaya çıkan kesir uygunsuz olduğundan tüm parçayı seçmek gerekir.