Ayrıntılı olarak tartışıldı bir kesrin temel özelliği formülasyonu verilmiş, ispatı ve açıklayıcı örneği verilmiştir. Kesirleri azaltırken ve kesirleri yeni bir paydaya indirirken bir kesrin temel özelliğinin uygulanması da dikkate alınır.
Sayfada gezinme.
Kesirin temel özelliği - formülasyon, kanıt ve açıklayıcı örnekler
Bir kesrin temel özelliğini gösteren bir örneğe bakalım. Diyelim ki 9 "büyük" kareye bölünmüş bir karemiz var ve bu "büyük" karelerin her biri 4 "küçük" kareye bölünmüş durumda. Böylece orijinal karenin 4 9 = 36 “küçük” kareye bölündüğünü de söyleyebiliriz. 5 “büyük” kareyi boyayalım. Bu durumda 4·5=20 “küçük” kare gölgelenecektir. İşte örneğimize karşılık gelen bir çizim.
Taralı kısım orijinal karenin 5/9'u veya aynı şekilde orijinal karenin 20/36'sıdır, yani 5/9 ve 20/36 kesirleri eşittir: veya. Bu eşitliklerden ve ayrıca 20=5·4, 36=9·4, 20:4=5 ve 36:4=9 eşitliklerinden şu sonuç çıkar: ve .
Demonte malzemeyi birleştirmek için örneğin çözümünü düşünün.
Örnek.
Bazı ortak kesirlerin pay ve paydası 62 ile çarpıldı, ardından elde edilen kesrin pay ve paydası 2'ye bölündü. Ortaya çıkan kesir orijinal kesire eşit mi?
Çözüm.
Bir kesrin payını ve paydasını herhangi bir doğal sayıyla, özellikle de 62 ile çarpmak, kesrin temel özelliği nedeniyle orijinaline eşit olan bir kesir verir. Kesirin temel özelliği, elde edilen kesrin pay ve paydasını 2'ye böldükten sonra elde edilen kesrin orijinal kesre eşit olacağını belirtmemizi sağlar.
Cevap:
Evet, ortaya çıkan kesir orijinal kesire eşittir.
Bir kesrin temel özelliğinin uygulanması
Bir kesirin temel özelliği esas olarak iki durumda kullanılır: birincisi kesirleri yeni bir paydaya indirirken ve ikinci olarak kesirleri azaltırken.
Bir kesri yeni bir paydaya indirgemek, orijinal kesri eşit bir kesirle, ancak daha büyük pay ve paydayla değiştirmek anlamına gelir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için, kesrin hem payı hem de paydası bir doğal sayı ile çarpılır ve kesirin temel özelliğine göre orijinaline eşit ancak eşit bir kesir elde edilir. farklı bir pay ve payda. Vilenkin N.Ya'yı gerçekleştirirken kesirleri yeni bir paydaya düşürmeden yapmak imkansızdır. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir
Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. www.site'nin hiçbir kısmı, iç materyaller ve görünüm de dahil olmak üzere, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.
Bir birimin kesirleri ve şu şekilde temsil edilir: \frac(a)(b).
Kesir payı (a)- Kesir çizgisinin üzerinde yer alan ve birimin bölündüğü hisse sayısını gösteren sayı.
Kesir paydası (b)- Kesir çizgisinin altında bulunan ve birimin kaç parçaya bölündüğünü gösteren sayı.
Gösteriyi Gizle
Bir kesrin temel özelliği
ad=bc ise iki kesir \frac(a)(b) Ve \frac(c)(d) eşit kabul edilir. Örneğin kesirler eşit olacak \frac35 Ve \frac(9)(15), 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 olduğundan, \frac(12)(7) Ve \frac(24)(14) 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 olduğundan.
Kesirlerin eşitliği tanımından kesirlerin eşit olacağı sonucu çıkar \frac(a)(b) Ve \frac(am)(bm) a(bm)=b(am) doğal sayılarla çarpmanın ilişkisel ve değişmeli özelliklerinin kullanımının açık bir örneği olduğundan, eylemde.
Araç \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- böyle görünüyor bir kesrin temel özelliği.
Yani orijinal kesrin pay ve paydasını aynı doğal sayıyla çarparak veya bölerek verilen kesre eşit bir kesir elde ederiz.
Bir kesirin azaltılması yeni kesrin orijinaline eşit olduğu ancak payı ve paydası daha küçük olan bir kesirin değiştirilmesi işlemidir.
Kesirlerin temel özelliklerine göre kesirleri azaltmak gelenekseldir.
Örneğin, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(pay ve payda 3 sayısına bölünür); elde edilen kesir yine 5'e bölünerek azaltılabilir, yani \frac(15)(20)=\frac 34.
İndirgenemez kesir formun bir kısmıdır \frac 34 burada pay ve payda karşılıklı asal sayılardır. Bir kesri azaltmanın asıl amacı kesri indirgenemez hale getirmektir.
Kesirleri ortak paydaya indirgemek
Örnek olarak iki kesri ele alalım: \frac(2)(3) Ve \frac(5)(8) farklı paydaları olan 3 ve 8. Bu kesirleri ortak paydaya getirmek için öncelikle kesrin payını ve paydasını çarparız. \frac(2)(3) 8'e kadar. Aşağıdaki sonucu elde ederiz: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Daha sonra kesrin payını ve paydasını çarpıyoruz. \frac(5)(8) 3'e kadar. Sonuç olarak şunu elde ederiz: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Böylece orijinal kesirler ortak bir paydaya (24) indirgenir.
Sıradan kesirler üzerinde aritmetik işlemler
Sıradan kesirlerin eklenmesi
a) Paydalar aynı ise, birinci kesrin payı ikinci kesrin payına eklenir ve payda aynı kalır. Örnekte görebileceğiniz gibi:
\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);
b) Farklı paydalar için kesirler önce ortak bir paydaya indirgenir ve daha sonra paylar kural a'ya göre toplanır:
\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).
Kesirleri çıkarma
a) Paydalar aynıysa, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarın ve paydayı aynı bırakın:
\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);
b) Kesirlerin paydaları farklı ise önce kesirler ortak paydaya getirilir, sonra a) maddesindeki gibi işlemler tekrarlanır.
Ortak Kesirlerin Çarpılması
Kesirlerin çarpılması aşağıdaki kurala uyar:
\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),
yani pay ve paydaları ayrı ayrı çarparlar.
Örneğin:
\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).
Kesirleri bölme
Kesirler şu şekilde bölünür:
\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),
yani bir kesir \frac(a)(b) bir kesirle çarpılır \frac(d)(c).
Örnek: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).
Karşılıklı sayılar
ab=1 ise b sayısı karşılıklı sayı a numarası için
Örnek: 9 sayısı için karşılıklılık şöyledir: \frac(1)(9), Çünkü 9\cdot\frac(1)(9)=1, 5 sayısı için - \frac(1)(5), Çünkü 5\cdot\frac(1)(5)=1.
Ondalık Sayılar
Ondalık paydası 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n olan uygun bir kesirdir.
Örneğin: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.
Paydası 10^n olan düzensiz sayılar veya karışık sayılar da aynı şekilde yazılır.
Örneğin: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.
Paydası 10'un belirli bir üssü olan herhangi bir sıradan kesir, ondalık kesir olarak temsil edilir.
Örnek: 5, 100'ün böleni olduğundan kesirlidir \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.
Ondalık sayılarda aritmetik işlemler
Ondalık Sayıları Ekleme
İki ondalık kesir eklemek için bunları birbirinin altında aynı rakamlar ve virgülün altında virgül olacak şekilde düzenlemeniz ve ardından kesirleri sıradan sayılar gibi eklemeniz gerekir.
Ondalık Sayıları Çıkarma
Ekleme ile aynı şekilde gerçekleştirilir.
Ondalık Sayıların Çarpılması
Ondalık sayıları çarparken verilen sayıları virgüllere dikkat etmeden (doğal sayılar gibi) çarpmak yeterlidir ve ortaya çıkan cevapta her iki faktörde de virgülden sonraki rakam sayısı kadar rakamı sağdaki virgül ayırır. toplamda.
2,7'yi 1,3 ile çarpalım. Elimizde 27 \cdot 13=351 var. Sağdaki iki rakamı virgülle ayırıyoruz (birinci ve ikinci rakamlarda virgülden sonra bir rakam var; 1+1=2). Sonuç olarak 2,7 \cdot 1,3=3,51 elde ederiz.
Ortaya çıkan sonuç, virgülle ayrılması gerekenden daha az rakam içeriyorsa, eksik sıfırlar öne yazılır, örneğin:
10, 100, 1000 ile çarpmak için ondalık noktayı 1, 2, 3 rakamını sağa kaydırmanız gerekir (gerekirse sağa belirli sayıda sıfır atanır).
Örneğin: 1,47\cdot 10\,000 = 14.700.
Ondalık bölme
Ondalık kesrin bir doğal sayıya bölünmesi, bir doğal sayının bir doğal sayıya bölünmesiyle aynı şekilde yapılır. Bölümdeki virgül, tam parçanın bölünmesi tamamlandıktan sonra konur.
Bölünmenin tam sayı kısmı bölenden küçükse cevap sıfır tam sayıdır, örneğin:
.png)
Bir ondalık sayıyı ondalık sayıya bölmeye bakalım. Diyelim ki 2,576'yı 1,12'ye bölmemiz gerekiyor. Öncelikle kesrin bölenini ve bölenini 100 ile çarpalım, yani bölen ve bölendeki virgülünü, virgülden sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydıralım (bu örnekte, iki). O zaman 257.6 kesirini 112 doğal sayısına bölmeniz gerekir, yani sorun daha önce ele alınan duruma indirgenir:
.png)
Bir sayıyı diğerine bölerken son ondalık kesrin her zaman elde edilemediği görülür. Sonuç sonsuz bir ondalık kesirdir. Bu gibi durumlarda sıradan kesirlere geçiyoruz.
2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).
Ansiklopedik YouTube
-
1 / 5
Sıradan(veya basit) kesir - rasyonel sayının formda yazılması ± m n (\displaystyle \pm (\frac (m)(n))) veya ± m / n , (\displaystyle \pm m/n,) Nerede n ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.) Yatay veya eğik çizgi, bölümle sonuçlanan bir bölme işaretini belirtir. Temettü denir pay kesirler ve bölen payda.
Ortak kesirler için gösterim
Sıradan kesirleri basılı biçimde yazmanın birkaç türü vardır:
Doğru ve yanlış kesirler
Doğru Payı paydasından küçük olan kesire kesir denir. Uygun olmayan kesre denir yanlış ve modülü birden büyük veya ona eşit olan bir rasyonel sayıyı temsil eder.
Örneğin kesirler 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8))) ve uygun kesirler, oysa 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))) Ve 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- uygunsuz kesirler. Sıfırdan farklı herhangi bir tam sayı, paydası 1 olan uygunsuz bir kesir olarak temsil edilebilir.
Karışık kesirler
Tam sayı olarak yazılan kesre ve uygun kesre denir karışık fraksiyon ve bu sayı ile bir kesrin toplamı olarak anlaşılmaktadır. Herhangi bir rasyonel sayı tam sayılı kesir olarak yazılabilir. Karışık kesirlerden farklı olarak, yalnızca pay ve payda içeren kesirlere denir. basit.
Örneğin, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3)(7))=2+(\frac (3)(7))=(\frac (14) )(7))+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). Katı matematik literatüründe, karışık kesir notasyonunun bir tam sayının kesir çarpımı notasyonuyla benzerliği ve ayrıca daha hantal notasyon ve daha az uygun hesaplamalar nedeniyle böyle bir notasyonu kullanmamayı tercih ederler. .
Bileşik kesirler
Çok katlı veya bileşik kesir, birkaç yatay (veya daha az yaygın olarak eğik) çizgi içeren bir ifadedir:
1 2 / 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(2))/(\frac (1)(3))) veya 1/2 1/3 (\displaystyle (\frac (1/2)(1/3))) veya 12 3 4 26 (\displaystyle (\frac (12(\frac (3)(4))))(26))Ondalık Sayılar
Ondalık sayı, bir kesrin konumsal temsilidir. Şuna benziyor:
± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … (\displaystyle \pm a_(1)a_(2)\dots a_(n)(,)b_(1)b_(2)\dots )Örnek: 3,141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).
Kaydın konumsal virgülden önce gelen kısmı sayının tamsayı kısmı (kesir), virgülden sonra gelen kısmı ise kesirli kısmıdır. Herhangi bir sıradan kesir, bu durumda ya sonlu sayıda ondalık basamağa sahip olan ya da periyodik bir kesir olan ondalık sayıya dönüştürülebilir.
Genel olarak konuşursak, bir sayıyı konumsal olarak yazmak için yalnızca ondalık sayı sistemini değil aynı zamanda diğerlerini de (Fibonacci gibi belirli olanlar dahil) kullanabilirsiniz.
Kesirin anlamı ve kesirin temel özelliği
Kesir sadece bir sayının temsilidir. Aynı sayı hem sıradan hem de ondalık farklı kesirlere karşılık gelebilir.
0 , 999... = 1 (\displaystyle 0,999...=1)- iki farklı kesir bir sayıya karşılık gelir.Kesirlerle işlemler
Bu bölüm adi kesirler üzerindeki işlemleri kapsamaktadır. Ondalık kesirli işlemler için bkz. Ondalık kesir.
Ortak bir paydaya indirgeme
Kesirleri karşılaştırmak, eklemek ve çıkarmak için bunların dönüştürülmesi gerekir ( getirmek) aynı paydaya sahip bir forma. İki kesir verilsin: a b (\displaystyle (\frac (a)(b))) Ve c d (\ displaystyle (\ frac (c) (d))). Prosedür:
Bundan sonra her iki kesrin paydaları çakışır (eşit) M). Basit durumlarda en küçük ortak kat yerine şu şekilde alabiliriz: M paydaların çarpımı gibi herhangi bir ortak kat. Örnek olarak aşağıdaki Karşılaştırma bölümüne bakın.
Karşılaştırmak
İki ortak kesri karşılaştırmak için onları ortak bir paydaya getirmeniz ve elde edilen kesirlerin paylarını karşılaştırmanız gerekir. Payı daha büyük olan kesir daha büyük olacaktır.
Örnek. Hadi karşılaştıralım 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4))) Ve 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). LCM(4, 5) = 20. Kesirleri payda 20'ye indiriyoruz.
3 4 = 15 20; 4 5 = 16 20 (\displaystyle (\frac (3)(4))=(\frac (15)(20));\quad (\frac (4)(5))=(\frac (16)( 20)))Buradan, 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}
Toplama ve çıkarma
İki sıradan kesir eklemek için bunları ortak bir paydaya indirgemeniz gerekir. Daha sonra payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:
1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) + = + = 5 6 (\displaystyle (\frac (5)(6)))Paydaların LCM'si (burada 2 ve 3) 6'ya eşittir. Kesri veriyoruz 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) payda 6'ya göre, bunun için pay ve paydanın 3 ile çarpılması gerekir.
1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) - = - 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4))) = 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4)))
Olmuş 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))). Kesirini veriyoruz 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))) aynı paydaya, bunun için pay ve paydanın 2 ile çarpılması gerekir. 2 6 (\displaystyle (\frac (2)(6))).
Kesirler arasındaki farkı elde etmek için, bunların da ortak bir paydaya getirilmesi ve ardından payların çıkarılması ve paydanın değişmeden bırakılması gerekir:Paydaların LCM'si (burada 2 ve 4) 4'e eşittir. Kesri sunuyoruz 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) payda 4'e göre, bunun için pay ve paydayı 2 ile çarpmanız gerekir. 2 4 (\displaystyle (\frac (2)(4))).
Çarpma ve bölme
İki sıradan kesri çarpmak için paylarını ve paydalarını çarpmanız gerekir:
a b ⋅ c d = a c b d . (\displaystyle (\frac (a)(b))\cdot (\frac (c)(d))=(\frac (ac)(bd))).)Özellikle, bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için payı sayıyla çarpmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir:
2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))\cdot 3=(\frac (6)(3))=2)Genel olarak, elde edilen kesirin payı ve paydası eş asal olmayabilir ve kesirin azaltılması gerekebilir, örneğin:
5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4. (\displaystyle (\frac (5)(8))\cdot (\frac (2)(5))=(\frac (10)(40))=(\frac (1)(4))).)Sıradan bir kesri diğerine bölmek için birinciyi ikincinin tersiyle çarpmanız gerekir:
a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , c ≠ 0. (\displaystyle (\frac (a)(b)):(\frac (c)(d))=(\frac (a)(b))\ cdot (\frac (d)(c))=(\frac (ad)(bc))\quad c\neq 0.)Örneğin,
1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2. (\displaystyle (\frac (1)(2)):(\frac (1)(3))=(\frac (1)(2))\cdot (\frac (3)(1))=(\ kesir (3)(2))).Farklı kayıt formatları arasında dönüştürme
Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için payı paydaya bölün. Sonuç sonlu sayıda ondalık basamağa sahip olabileceği gibi sonsuz sayıda da ondalık basamağa sahip olabilir.
Matematikte kesir, bir birimin bir veya daha fazla bölümünden (kesirlerinden) oluşan bir sayıdır. Kayıt şekline göre kesirler sıradan (örnek \frac(5)(8)) ve ondalık (örneğin 123,45) olarak ikiye ayrılır.
Tanım. Ortak kesir (veya basit kesir)
Sıradan (basit) kesir m ve n doğal sayılar olmak üzere \pm\frac(m)(n) formundaki bir sayı olarak adlandırılır. m sayısına denir pay bu kesir ve n sayısı onun payda.
Yatay veya eğik çizgi, bölme işaretini belirtir; yani \frac(m)(n)=()^m/n=m:n
Yaygın kesirler iki türe ayrılır: doğru ve yanlış.
Tanım. Doğru ve yanlış kesirler
Doğru Payı paydasından küçük olan kesire kesir denir. Örneğin, \frac(9)(11) çünkü 9
Yanlış Payın modülünün paydanın modülüne eşit veya daha büyük olduğu bir kesir denir. Böyle bir kesir, modülü birden büyük veya ona eşit olan rasyonel bir sayıdır. Bir örnek, \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1) kesirleri olabilir.
Uygunsuz kesirin yanı sıra, sayının karışık kesir (karışık sayı) adı verilen başka bir temsili daha vardır. Bu sıradan bir kesir değil.
Tanım. Karışık kesir (karışık sayı)
Karışık kesir tam sayı ve uygun kesir olarak yazılan kesirdir ve bu sayı ile kesrin toplamı olarak anlaşılır. Örneğin, 2\frac(5)(7)
(karma sayı olarak yazılır) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (uygunsuz kesir olarak yazılır)
Kesir sadece bir sayının temsilidir. Aynı sayı hem sıradan hem de ondalık farklı kesirlere karşılık gelebilir. İki sıradan kesrin eşitliği için bir işaret oluşturalım.
Tanım. Kesirlerin eşitliğinin işareti
İki kesir \frac(a)(b) ve \frac(c)(d) eşit, eğer a\cdot d=b\cdot c ise. Örneğin, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) çünkü 2\cdot12=3\cdot8
Bu özellikten bir kesrin ana özelliği gelir.
Mülk. Bir kesrin temel özelliği
Belirli bir kesrin pay ve paydası sıfıra eşit olmayan aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse, verilen kesre eşit bir kesir elde edilir.
\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0
Bir kesirin temel özelliğini kullanarak, belirli bir kesri, kendisine eşit, ancak payı ve paydası daha küçük olan başka bir kesirle değiştirebilirsiniz. Bu değiştirmeye kesir azaltma denir. Örneğin, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (burada pay ve payda önce 2'ye ve sonra 2'ye daha bölündü). Bir kesir ancak ve ancak pay ve paydası karşılıklı asal sayı değilse azaltılabilir. Belirli bir kesirin payı ve paydası aralarında asalsa kesir azaltılamaz; örneğin \frac(3)(4) indirgenemez bir kesirdir.
Pozitif kesirler için kurallar:
İki fraksiyondan aynı paydalarla Payı büyük olan kesir daha büyüktür. Örneğin, \frac(3)(15)
İki fraksiyondan aynı numaralarla Daha büyük olan, paydası daha küçük olan kesirdir. Örneğin, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .
Payları ve paydaları farklı olan iki kesri karşılaştırmak için, her iki kesri de paydaları aynı olacak şekilde dönüştürmeniz gerekir. Bu dönüşüme kesirlerin ortak paydaya indirilmesi denir.
Bu konu oldukça önemlidir; ilerideki tüm matematik ve cebir, kesirlerin temel özelliklerine dayanmaktadır. Ele alınan kesirlerin özellikleri, önemlerine rağmen çok basittir.
Anlamak kesirlerin temel özellikleri Bir daire düşünelim.
Daire üzerinde 4 parçanın veya olası sekiz parçanın gölgesinde kaldığını görebilirsiniz. Ortaya çıkan kesri \(\frac(4)(8)\) yazalım
Bir sonraki dairede olası iki parçadan birinin gölgeli olduğunu görebilirsiniz. Ortaya çıkan kesri \(\frac(1)(2)\) yazalım
Yakından bakarsak, ilk durumda ve ikinci durumda dairenin yarısının gölgeli olduğunu göreceğiz, dolayısıyla elde edilen kesirler \(\frac(4)(8) = \frac(1)'e eşit olacaktır. (2)\), yani aynı sayıdır.
Bunu matematiksel olarak nasıl kanıtlayabiliriz? Çok basit, çarpım tablosunu hatırlayın ve ilk kesri çarpanlara yazın.
\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \renk(kırmızı) (4))(2 \cdot \renk(kırmızı) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(kırmızı) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(kırmızı)(1) = \frac(1)(2)\)
Ne yaptık? Pay ve paydayı \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\) çarpanlara ayırdık ve sonra kesirleri \(\frac(1) böldük ) (2) \cdot \renk(kırmızı) (\frac(4)(4))\). Dördün dörde bölümü 1'dir ve herhangi bir sayıyla çarpılan sayının kendisidir. Yukarıdaki örnekte yaptığımızın adı kesirlerin azaltılması.
Başka bir örneğe bakalım ve kesri azaltalım.
\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \renk(kırmızı) (2))(5 \cdot \renk(kırmızı) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(kırmızı) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(kırmızı)(1) = \frac(3)(5)\)
Pay ve paydayı tekrar çarpanlara ayırdık ve aynı sayıları pay ve paydaya indirgedik. Yani ikinin ikiye bölünmesi bir verir, birinin herhangi bir sayıyla çarpılması da aynı sayıyı verir.
Bir kesrin temel özelliği.
Bu, bir kesrin ana özelliğini ima eder:
Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıyla (sıfır hariç) çarpılırsa kesrin değeri değişmez.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)
Ayrıca pay ve paydayı aynı anda aynı sayıya bölebilirsiniz.
Bir örneğe bakalım:\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \renk(kırmızı) (2))(8 \div \renk(kırmızı) (2)) = \frac(3)(4)\)
Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıya (sıfır hariç) bölünürse kesrin değeri değişmez.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)
Pay ve paydaları ortak asal çarpanlara sahip olan kesirlere ne ad verilir? indirgenebilir fraksiyonlar.
İndirgenebilir kesir örneği: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)
Ayrıca birde şu var indirgenemez kesirler.
İndirgenemez kesir pay ve paydalarında ortak asal çarpanları olmayan kesirdir.
İndirgenemez kesir örneği: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)
Her sayı bire bölünebildiği için her sayı kesir olarak ifade edilebilir.Örneğin:
\(7 = \frac(7)(1)\)
Konuyla ilgili sorular:
Sizce herhangi bir kesir azaltılabilir mi, azaltılamaz mı?
Cevap: hayır, indirgenebilir kesirler ve indirgenemez kesirler vardır.Eşitliğin doğru olup olmadığını kontrol edin: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Cevap: kesirleri yazınız \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\), evet adil.Örnek 1:
a) Paydası 15 olan kesire eşit bir kesir bulun \(\frac(2)(3)\).
b) Payı 8 olan kesire eşit bir kesir bulun \(\frac(1)(5)\).Çözüm:
a) Paydada 15 sayısına ihtiyacımız var. Şimdi paydada 3 sayısı var. 15 sayısını elde etmek için 3 sayısını hangi sayıyla çarpmamız gerekiyor? 3⋅5 çarpım tablosunu hatırlayalım. Kesirlerin temel özelliğini kullanıp kesrin hem payını hem de paydasını çarpmamız gerekir. \(\frac(2)(3)\) 5'e kadar.\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)
b) Payda 8 sayısının olması gerekiyor. Şimdi payda 1 sayısı var. 8 sayısını elde etmek için 1 sayısını hangi sayıyla çarpmamız gerekiyor? Elbette 1⋅8. Kesirlerin temel özelliğini kullanıp kesrin hem payını hem de paydasını çarpmamız gerekir. \(\frac(1)(5)\) 8'e kadar. Şunu elde ederiz:
\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)
Örnek #2:
Aşağıdaki kesre eşit indirgenemez bir kesir bulun: a) \(\frac(16)(36)\), B) \(\frac(10)(25)\).Çözüm:
A) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)B) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)
Örnek #3:
Sayıyı kesir olarak yazınız: a) 13 b)123Çözüm:
A) \(13 = \frac(13) (1)\)B) \(123 = \frac(123) (1)\)