Logaritmaları incelemeye devam ediyoruz. Bu yazıda bunun hakkında konuşacağız logaritmaların hesaplanması, bu işleme denir logaritma. Öncelikle logaritmanın hesaplanmasını tanım gereği anlayacağız. Daha sonra logaritma değerlerinin özellikleri kullanılarak nasıl bulunduğuna bakalım. Bundan sonra diğer logaritmaların başlangıçta belirtilen değerleri üzerinden logaritma hesaplamaya odaklanacağız. Son olarak logaritma tablolarının nasıl kullanılacağını öğrenelim. Teorinin tamamı ayrıntılı çözümlere sahip örneklerle sağlanmaktadır.
Sayfada gezinme.
Tanıma göre logaritmaları hesaplama
En basit durumlarda oldukça hızlı ve kolay bir şekilde gerçekleştirmek mümkündür tanım gereği logaritmayı bulma. Bu sürecin nasıl gerçekleştiğine daha yakından bakalım.
Bunun özü, b sayısını a c biçiminde temsil etmektir; buradan logaritmanın tanımına göre c sayısı logaritmanın değeridir. Yani, tanım gereği aşağıdaki eşitlik zinciri logaritmanın bulunmasına karşılık gelir: log a b=log a a c =c.
Dolayısıyla, tanım gereği bir logaritmanın hesaplanması, a c = b olacak şekilde bir c sayısı bulmaktan ibarettir ve c sayısının kendisi logaritmanın istenen değeridir.
Önceki paragraflardaki bilgileri dikkate alarak, logaritma işaretinin altındaki sayı, logaritma tabanının belirli bir kuvveti ile verildiğinde, logaritmanın neye eşit olduğunu hemen belirtebilirsiniz - üsse eşittir. Çözümleri örneklerle gösterelim.
Örnek.
Log 2 2 −3'ü bulun ve e 5,3 sayısının doğal logaritmasını da hesaplayın.
Çözüm.
Logaritmanın tanımı hemen log 2 2 −3 =−3 olduğunu söylememizi sağlar. Aslında logaritma işaretinin altındaki sayı 2 tabanının -3 üssüne eşittir.
Benzer şekilde ikinci logaritmayı da buluyoruz: lne 5,3 =5,3.
Cevap:
log 2 2 −3 =−3 ve lne 5,3 =5,3.
Logaritma işaretinin altındaki b sayısı, logaritmanın tabanının kuvveti olarak belirtilmemişse, b sayısının a c biçiminde bir temsilini bulmanın mümkün olup olmadığını dikkatlice incelemeniz gerekir. Çoğu zaman bu gösterim oldukça açıktır, özellikle logaritma işaretinin altındaki sayı 1, 2 veya 3'ün üssüne eşit olduğunda...
Örnek.
Logaritma log 5 25 ve'yi hesaplayın.
Çözüm.
25=5 2 olduğunu görmek kolaydır, bu ilk logaritmayı hesaplamanıza olanak tanır: log 5 25=log 5 5 2 =2.
İkinci logaritmayı hesaplamaya geçelim. Sayı 7'nin kuvvetleri olarak temsil edilebilir: 
(gerekirse bakın). Buradan, 
.
Üçüncü logaritmayı aşağıdaki formda yeniden yazalım. Artık bunu görebilirsin 
bundan şu sonuca varıyoruz 
. Bu nedenle logaritmanın tanımı gereği 
.
Kısaca çözüm şu şekilde yazılabilir: .
Cevap:
günlük 5 25=2 , 
Ve .
Logaritma işaretinin altında yeterince büyük bir doğal sayı olduğunda, bunu asal çarpanlara ayırmanın zararı olmaz. Genellikle böyle bir sayıyı logaritmanın tabanının bir kuvveti olarak temsil etmeye ve dolayısıyla bu logaritmayı tanım gereği hesaplamaya yardımcı olur.
Örnek.
Logaritmanın değerini bulun.
Çözüm.
Logaritmanın bazı özellikleri, logaritmanın değerini hemen belirtmenize olanak tanır. Bu özellikler, birin logaritması özelliğini ve tabana eşit bir sayının logaritması özelliğini içerir: log 1 1=log a a 0 =0 ve log a a=log a 1 =1. Yani, logaritma işaretinin altında 1 sayısı veya logaritmanın tabanına eşit bir sayı olduğunda, bu durumlarda logaritmalar sırasıyla 0 ve 1'e eşittir.
Örnek.
Logaritmalar ve log10 neye eşittir?
Çözüm.
O zamandan beri logaritmanın tanımından şu sonuç çıkıyor 
.
İkinci örnekte logaritma işaretinin altındaki 10 sayısı tabanına denk geliyor yani on'un ondalık logaritması bire eşit yani lg10=lg10 1 =1.
Cevap:
VE lg10=1 .
Tanım gereği logaritmanın hesaplanmasının (önceki paragrafta tartıştığımız), logaritmanın özelliklerinden biri olan log a a p =p eşitliğinin kullanımını ima ettiğine dikkat edin.
Pratikte logaritmanın işareti altındaki bir sayı ve logaritmanın tabanı belirli bir sayının kuvveti olarak kolayca temsil edildiğinde formülü kullanmak çok uygundur. 
logaritmanın özelliklerinden birine karşılık gelir. Bu formülün kullanımını gösteren bir logaritma bulma örneğine bakalım.
Örnek.
Logaritmayı hesaplayın.
Çözüm.
Cevap:
.
Logaritmanın yukarıda belirtilmeyen özellikleri de hesaplamalarda kullanılır ancak bundan sonraki paragraflarda bahsedeceğiz.
Bilinen diğer logaritmalar aracılığıyla logaritma bulma
Bu paragraftaki bilgiler logaritmanın özelliklerinin hesaplanmasında kullanılması konusunun devamıdır. Ancak buradaki temel fark, logaritmanın özelliklerinin, orijinal logaritmayı değeri bilinen başka bir logaritmaya göre ifade etmek için kullanılmasıdır. Açıklığa kavuşturmak için bir örnek verelim. Diyelim ki log 2 3≈1,584963'ü bildiğimizi varsayalım, o zaman logaritmanın özelliklerini kullanarak küçük bir dönüşüm yaparak örneğin log 2 6'yı bulabiliriz: günlük 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Yukarıdaki örnekte bir çarpımın logaritması özelliğini kullanmamız yeterliydi. Bununla birlikte, orijinal logaritmayı verilenler aracılığıyla hesaplamak için çok daha sık olarak logaritmanın özelliklerinin daha geniş bir cephaneliğini kullanmak gerekir.
Örnek.
Log 60 2=a ve log 60 5=b olduğunu biliyorsanız, 27'nin 60 tabanına göre logaritmasını hesaplayın.
Çözüm.
Bu yüzden log 60 27'yi bulmamız gerekiyor. 27 = 3 3 olduğunu ve kuvvetin logaritmasının özelliği nedeniyle orijinal logaritmanın 3·log 60 3 olarak yeniden yazılabileceğini görmek kolaydır.
Şimdi log 60 3'ün bilinen logaritmalarla nasıl ifade edileceğini görelim. Tabana eşit bir sayının logaritması özelliği, log 60 60=1 eşitliğini yazmamızı sağlar. Öte yandan, log 60 60=log60(2 2 3 5)= günlük 60 2 2 +günlük 60 3+günlük 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Böylece, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Buradan, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Son olarak orijinal logaritmayı hesaplıyoruz: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Cevap:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Ayrı olarak, formun logaritmasının yeni bir tabanına geçiş formülünün anlamından bahsetmeye değer. 
. Herhangi bir tabanlı logaritmalardan, değerleri bilinen veya bulunması mümkün olan belirli bir tabanlı logaritmalara geçmenizi sağlar. Genellikle, orijinal logaritmadan, geçiş formülünü kullanarak, 2, e veya 10 tabanlarından birinde logaritmalara geçerler, çünkü bu tabanlar için değerlerinin belirli bir dereceyle hesaplanmasına izin veren logaritma tabloları vardır. kesinlik. Bir sonraki paragrafta bunun nasıl yapıldığını göstereceğiz.
Logaritma tabloları ve kullanımları
Logaritma değerlerinin yaklaşık hesaplanması için kullanılabilir logaritma tabloları. En sık kullanılan 2 tabanlı logaritma tablosu, doğal logaritma tablosu ve ondalık logaritma tablosu. Ondalık sayı sisteminde çalışırken, on tabanına dayalı bir logaritma tablosu kullanmak uygundur. Onun yardımıyla logaritmanın değerlerini bulmayı öğreneceğiz.
Sunulan tablo, 1.000'den 9.999'a kadar (üç ondalık basamakla) sayıların ondalık logaritmasının değerlerini on binde bir doğrulukla bulmanızı sağlar. Belirli bir örnek kullanarak bir ondalık logaritma tablosu kullanarak bir logaritmanın değerini bulma ilkesini analiz edeceğiz - bu şekilde daha açıktır. Log1.256'yı bulalım.
Ondalık logaritma tablosunun sol sütununda 1,256 sayısının ilk iki rakamını buluyoruz, yani 1,2'yi buluyoruz (bu sayı netlik açısından mavi daire içine alınmıştır). 1.256 sayısının üçüncü rakamı (5 rakamı) çift satırın solundaki ilk veya son satırda bulunur (bu rakam kırmızı daire içine alınmıştır). Orijinal sayı olan 1.256'nın dördüncü rakamı (6 rakamı), çift satırın sağındaki ilk veya son satırda bulunur (bu sayı yeşil çizgiyle daire içine alınmıştır). Şimdi logaritma tablosunun hücrelerinde işaretli satır ve işaretli sütunların kesişimindeki sayıları buluyoruz (bu sayılar turuncu renkle vurgulanmıştır). İşaretlenen sayıların toplamı, dördüncü ondalık basamağa kadar doğru olan ondalık logaritmanın istenen değerini verir; log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Yukarıdaki tabloyu kullanarak, ondalık noktadan sonra üç basamaktan fazla olan sayıların yanı sıra 1 ile 9,999 aralığının ötesine geçen sayıların ondalık logaritma değerlerini bulmak mümkün müdür? Evet yapabilirsin. Bunun nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.
lg102.76332'yi hesaplayalım. Öncelikle yazmanız gerekiyor standart formdaki sayı: 102,76332=1,0276332·10 2. Bundan sonra mantis üçüncü ondalık basamağa yuvarlanmalıdır. 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2 orijinal ondalık logaritması yaklaşık olarak ortaya çıkan sayının logaritmasına eşitken, yani log102.76332≈lg1.028·10 2 alıyoruz. Şimdi logaritmanın özelliklerini uyguluyoruz: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Son olarak, lg1.028 logaritmasının değerini ondalık logaritmalar tablosundan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 buluyoruz. Sonuç olarak, logaritmayı hesaplama sürecinin tamamı şöyle görünür: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Sonuç olarak, ondalık logaritma tablosunu kullanarak herhangi bir logaritmanın yaklaşık değerini hesaplayabileceğinizi belirtmekte fayda var. Bunu yapmak için geçiş formülünü kullanarak ondalık logaritmalara gitmeniz, değerlerini tabloda bulmanız ve kalan hesaplamaları yapmanız yeterlidir.
Örneğin log 2 3'ü hesaplayalım. Logaritmanın yeni tabanına geçiş formülüne göre elimizde . Ondalık logaritma tablosundan log3≈0,4771 ve log2≈0,3010'u buluyoruz. Böylece, 
.
Referanslar.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).
Tanımından yola çıkılır. Ve böylece sayının logaritması B dayalı A bir sayının yükseltilmesi gereken üs olarak tanımlanır A numarayı almak için B(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).
Bu formülasyondan, hesaplama şu şekildedir: x=log a b, denklemi çözmeye eşdeğerdir a x =b.Örneğin, günlük 2 8 = 3Çünkü 8 = 2 3 . Logaritmanın formülasyonu şunu doğrulamayı mümkün kılar: b=a c, sonra sayının logaritması B dayalı A eşittir İle. Logaritma konusunun bir sayının kuvvetleri konusuyla yakından ilgili olduğu da açıktır.
Herhangi bir sayıda olduğu gibi logaritmalarla da şunları yapabilirsiniz: toplama, çıkarma işlemleri ve mümkün olan her şekilde dönüştürün. Ancak logaritmalar tamamen sıradan sayılar olmadığı için burada kendi özel kuralları geçerlidir. ana özellikler.
Logaritmaların toplanması ve çıkarılması.
Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı alalım: x'i günlüğe kaydet Ve bir y'yi günlüğe kaydet. Daha sonra toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
bir günlüğe kaydet(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = x'i günlüğe kaydet 1 + x'i günlüğe kaydet 2 + x'i günlüğe kaydet 3 + ... + a x k'yi günlüğe kaydet.
İtibaren logaritma bölüm teoremi Logaritmanın bir özelliği daha elde edilebilir. Günlüğe kaydetmenin yaygın bir bilgi olduğu A 1= 0 dolayısıyla
kayıt A 1 /B=günlük A 1 - günlük bir b= -günlük bir b.
Bu, bir eşitliğin olduğu anlamına gelir:
log a 1 / b = - log a b.
Karşılıklı iki sayının logaritması aynı nedenden ötürü birbirinden yalnızca işaret açısından farklılık gösterecektir. Bu yüzden:
Günlük 3 9= - günlük 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Şimdi logaritma içeren ifadelerin dönüştürülmesine genel bir bakış açısıyla bakacağız. Burada yalnızca logaritmanın özelliklerini kullanarak ifadelerin dönüşümünü analiz etmeyeceğiz, aynı zamanda yalnızca logaritmayı değil aynı zamanda kuvvetleri, kesirleri, kökleri vb. içeren genel logaritmalarla ifadelerin dönüşümünü de ele alacağız. Her zamanki gibi, tüm materyali tipik örneklerle ve çözümlerin ayrıntılı açıklamalarıyla birlikte sunacağız.
Sayfada gezinme.
Logaritma ve logaritmik ifadelerle ifadeler
Kesirlerle işler yapmak
Bir önceki paragrafta logaritma içeren kesirlerle gerçekleştirilen temel dönüşümleri inceledik. Bu dönüşümler elbette daha karmaşık bir ifadenin parçası olan, örneğin benzer kesirlerin toplamını, farkını, çarpımını ve bölümünü temsil eden her bir kesirle gerçekleştirilebilir. Ancak tek tek kesirlerle çalışmanın yanı sıra, bu türden ifadeleri dönüştürmek genellikle kesirlerle karşılık gelen işlemlerin gerçekleştirilmesini de içerir. Daha sonra bu eylemlerin gerçekleştirildiği kurallara bakacağız.
5-6.sınıflardan itibaren bunların uygulanma kurallarını biliyoruz. Makalede Kesirlerle işlemlere genel bir bakış Bu kuralları sıradan kesirlerden, A ve B'nin bazı sayısal, değişmez veya değişken ifadeler olduğu ve B'nin tam olarak sıfıra eşit olmadığı A/B genel formundaki kesirlere kadar genişlettik. Logaritmalı kesirlerin genel kesirlerin özel durumları olduğu açıktır. Ve bu bakımdan notasyonlarında logaritma bulunan kesirlerle yapılan işlemlerin aynı kurallara göre yapıldığı açıktır. Yani:
- Paydaları aynı olan iki kesri eklemek veya çıkarmak için payları buna göre eklemeli veya çıkarmalısınız, ancak paydayı aynı bırakmalısınız.
- Paydaları farklı olan iki kesri eklemek veya çıkarmak için bunları ortak bir paydaya getirmeniz ve önceki kurala göre uygun işlemleri yapmanız gerekir.
- İki kesri çarpmak için payı orijinal kesirlerin paylarının çarpımı olan ve paydası da paydaların çarpımı olan bir kesir yazmanız gerekir.
- Bir kesri kesre bölmek için, bölünen kesri, bölenin tersi olan kesirle, yani pay ve paydası değiştirilmiş bir kesirle çarpmanız gerekir.
Logaritma içeren kesirlerle işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğine dair birkaç örnek.
Örnek.
Logaritma içeren kesirlerle işlemler yapın: a) , b) 
,V) 
, G) 
.
Çözüm.
a) Toplanan kesirlerin paydaları açıkça aynıdır. Bu nedenle, paydaları aynı olan kesirleri toplama kuralına göre payları topluyor ve paydayı aynı bırakıyoruz: 
.
b) Burada paydalar farklıdır. Bu nedenle öncelikle ihtiyacınız var kesirleri aynı paydaya dönüştürün. Bizim durumumuzda paydalar zaten çarpım şeklinde sunuluyor ve tek yapmamız gereken ilk kesrin paydasını alıp ona ikinci kesrin paydasındaki eksik faktörleri eklemek. Bu şekilde formun ortak bir paydasını elde ederiz 
. Bu durumda çıkarılan kesirler, sırasıyla logaritma formundaki ek faktörler ve x 2 ·(x+1) ifadesi kullanılarak ortak bir paydaya getirilir. Bundan sonra geriye kalan tek şey, paydaları aynı olan kesirleri çıkarmaktır ki bu hiç de zor değildir.
Yani çözüm: 
c) Kesirlerin çarpılması sonucu payın payların çarpımı, paydanın da paydaların çarpımı olduğu bir kesir olduğu, dolayısıyla kesir olduğu bilinmektedir. 
Yapabildiğinizi görmek kolaydır bir fraksiyonu azaltmak ikiye ve ondalık logaritmaya göre, sonuç olarak şunu elde ederiz: 
.
d) Kesirleri bölmekten çarpmaya geçiyoruz, bölen kesri ters kesirle değiştiriyoruz. Bu yüzden 
Ortaya çıkan kesrin payı şu şekilde temsil edilebilir: 
Pay ve paydanın ortak faktörünün açıkça görülebildiği - faktör x, kesri bununla azaltabilirsiniz: 
Cevap:
a) , b) 
,V) 
, G) 
.
Kesirli işlemlerin, eylemlerin gerçekleştirilme sırası dikkate alınarak gerçekleştirildiği unutulmamalıdır: önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma, parantez varsa önce parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir.
Örnek.
Kesirlerle şeyler yapın 
.
Çözüm.
Öncelikle parantez içindeki kesirleri topluyoruz, ardından çarpıyoruz: 
Cevap:
Bu noktada, oldukça açık ama aynı zamanda önemli üç noktayı yüksek sesle söylemek kalıyor:
Logaritmanın Özelliklerini Kullanarak İfadeleri Dönüştürme
Çoğu zaman, ifadeleri logaritmayla dönüştürmek, logaritmanın tanımını ifade eden kimliklerin kullanımını içerir ve
Çözümü olan görevler logaritmik ifadeleri dönüştürme, Birleşik Devlet Sınavında oldukça sık bulunur.
Onlarla minimum sürede başarılı bir şekilde başa çıkabilmek için, temel logaritmik kimliklere ek olarak, daha fazla formülü bilmeniz ve doğru kullanmanız gerekir.
Bu: a log a b = b, burada a, b > 0, a ≠ 1 (Doğrudan logaritmanın tanımından çıkar).
log a b = log c b / log c a veya log a b = 1/log b a
burada a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
burada a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
a log c b = b log c a
burada a, b, c > 0 ve a, b, c ≠ 1
Dördüncü eşitliğin geçerliliğini göstermek için sol ve sağ tarafların a tabanına göre logaritmasını alalım. Log a (a log with b) = log a (b log with a) veya log with b = log with a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log ca); b ile giriş yapın = b ile giriş yapın.
Logaritmaların eşitliğini kanıtlamış olduk, yani logaritmaların altındaki ifadeler de eşittir. Formül 4 kanıtlandı.
Örnek 1.
81 log 27 5 log 5 4'ü hesaplayın.
Çözüm.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Dolayısıyla,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
O halde 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz.
Hesaplayın (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
Bir ipucu olarak, 0,2 = 1/5 = 5-1; log 0,2 5 = -1.
Cevap: 5.
Örnek 2.
Hesapla (√11) kayıt √3 9- günlük 121 81 .
Çözüm.
İfadeleri değiştirelim: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (formül 3 kullanıldı).
O halde (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Örnek 3.
Günlük 2 24 / günlük 96 2 - günlük 2 192 / günlük 12 2'yi hesaplayın.
Çözüm.
Örnekte yer alan logaritmaları 2 tabanlı logaritmalarla değiştiriyoruz.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
günlük 2 24 = günlük 2 (2 3 3) = (günlük 2 2 3 + günlük 2 3) = (3 + günlük 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Sonra log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Parantezleri açıp benzer terimleri getirdikten sonra 3 sayısını elde ederiz. (İfadeyi basitleştirirken log 2 3'ü n ile gösterip ifadeyi basitleştirebiliriz.)
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Cevap: 3.
Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz:
Hesapla (günlük 3 4 + günlük 4 3 + 2) günlük 3 16 günlük 2 144 3.
Burada 3 tabanlı logaritmaya geçiş yapmak ve büyük sayıları asal çarpanlara ayırmak gerekiyor.
Cevap:1/2
Örnek 4.
Verilen üç sayı A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Bunları artan sırada düzenleyin.
Çözüm.
Sayıları A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3'e dönüştürelim; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Onları karşılaştıralım
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 ve log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Veya -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Cevap. Bu nedenle sayıların yerleştirilme sırası şu şekildedir: C; A; İÇİNDE.
Örnek 5.
Aralıkta kaç tam sayı var (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Çözüm.
1/16 sayısının 3 sayısının hangi kuvvetleri arasında yer aldığını belirleyelim. 1/27 alıyoruz< 1 / 16 < 1 / 9 .
y = log 3 x fonksiyonu arttığına göre log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Log 6 (4/3) ile 1/5'i karşılaştıralım. Bunun için 4/3 ve 6 1/5 sayılarını karşılaştırıyoruz. Her iki sayıyı da 5'inci kuvvete çıkaralım. (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243 elde ederiz< 6. Следовательно,
günlük 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Bu nedenle aralık (log 3 1 / 16 ; log 6 48) [-2; 4] ve üzerine -2 tam sayıları yerleştirilir; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Cevap: 7 tam sayı.
Örnek 6.
3 lglg 2/ lg 3 - lg20'yi hesaplayın.
Çözüm.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
O halde 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Cevap: -1.
Örnek 7.
Log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A olduğu biliniyor. Log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2)'yi bulun.
Çözüm.
Sayılar (√3 + 1) ve (√3 – 1); (√6 – 2) ve (√6 + 2) eşleniktir.
Aşağıdaki ifade dönüşümünü gerçekleştirelim
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
O halde log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Cevap: 2 – A.
Örnek 8.
İfadeyi basitleştirin ve yaklaşık değerini bulun (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Çözüm.
Tüm logaritmaları ortak 10 tabanına indirgeyelim.
(günlük 3 2 günlük 4 3 günlük 5 4 günlük 6 5 ... günlük 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (lg 2'nin yaklaşık değeri bir tablo, hesap cetveli veya hesap makinesi kullanılarak bulunabilir).
Cevap: 0,3010.
Örnek 9.
Log √ a b 3 = 1 ise log a 2 b 3 √(a 11 b -3)'ü hesaplayın. (Bu örnekte a 2 b 3 logaritmanın tabanıdır).
Çözüm.
Log √ a b 3 = 1 ise, o zaman 3/(0,5 log a b = 1. Ve log a b = 1/6.
O halde log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) log a b = 1/ olduğunu düşünürsek 6'dan (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1 elde ederiz.
Cevap: 2.1.
Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz:
Log 0,7 27 = a ise log √3 6 √2,1'i hesaplayın.
Cevap: (3 + a) / (3a).
Örnek 10.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125'i hesaplayın.
Çözüm.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formül 4))
9 + 6 = 15 elde ederiz.
Cevap: 15.
Hala sorularınız mı var? Logaritmik bir ifadenin değerini nasıl bulacağınızdan emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Bugün bunun hakkında konuşacağız logaritmik formüller ve gösterge niteliğinde vereceğiz çözüm örnekleri.
Logaritmanın temel özelliklerine göre çözüm modellerini kendileri ima ederler. Logaritmik formülleri çözüme uygulamadan önce size tüm özellikleri hatırlatalım:
Şimdi bu formüllere (özelliklere) dayanarak şunu göstereceğiz: logaritma çözme örnekleri.
Formüllere dayalı logaritma çözme örnekleri.
Logaritma a tabanındaki pozitif bir b sayısı (log a b ile gösterilir), b > 0, a > 0 ve 1 olmak üzere b'yi elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken bir üstür.
Tanıma göre log a b = x, bu da a x = b'ye eşdeğerdir, dolayısıyla log a a x = x.
Logaritmalar, örnekler:
log 2 8 = 3, çünkü 2 3 = 8
log 7 49 = 2, çünkü 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, çünkü 5 -1 = 1/5
Ondalık logaritma- bu, tabanı 10 olan sıradan bir logaritmadır. lg olarak gösterilir.
log 10 100 = 2, çünkü 10 2 = 100
Doğal logaritma- aynı zamanda sıradan bir logaritma, bir logaritma, ancak e tabanıyla (e = 2,71828... - irrasyonel bir sayı). ln olarak gösterilir.
Logaritmanın formüllerini veya özelliklerini ezberlemeniz tavsiye edilir, çünkü daha sonra logaritmaları, logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken bunlara ihtiyacımız olacak. Örneklerle her formülü tekrar inceleyelim.
- Temel logaritmik kimlik
a günlüğü a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Ürünün logaritması logaritmaların toplamına eşittir
log a (bc) = log a b + log a cgünlük 3 8,1 + günlük 3 10 = günlük 3 (8,1*10) = günlük 3 81 = 4
- Bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir
log a (b/c) = log a b - log a c9 günlük 5 50 /9 günlük 5 2 = 9 günlük 5 50- günlük 5 2 = 9 günlük 5 25 = 9 2 = 81
- Logaritmik bir sayının kuvvetinin ve logaritmanın tabanının özellikleri
Logaritmik sayının üssü log a b m = mlog a b
Logaritmanın tabanının üssü log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
eğer m = n ise log a n b n = log a b elde ederiz
günlük 4 9 = günlük 2 2 3 2 = günlük 2 3
- Yeni bir temele geçiş
log a b = log c b/log c a,c = b ise log b b = 1 elde ederiz
o zaman log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Gördüğünüz gibi logaritma formülleri göründüğü kadar karmaşık değil. Artık logaritmik çözüm örneklerine baktıktan sonra logaritmik denklemlere geçebiliriz. Logaritmik denklemleri çözme örneklerine şu makalede daha ayrıntılı olarak bakacağız: "". Kaçırmayın!
Çözümle ilgili hala sorularınız varsa, bunları makalenin yorumlarına yazın.
Not: Seçenek olarak farklı bir sınıf eğitim almaya ve yurtdışında eğitim almaya karar verdik.