Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Ne oldu üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x'ler) ve onlarla ifadelerin yer aldığı bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

Hadi bakalım üstel denklem örnekleri:

3 x 2 x = 8 x+3

Dikkat etmek! Derece bazında (aşağıda) - sadece sayılar. İÇİNDE göstergeler derece (yukarıda) - X'li çok çeşitli ifadeler. Aniden denklemde gösterge dışında bir yerde bir X belirirse, örneğin:

bu zaten karma tipte bir denklem olacak. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemleri çözme en saf haliyle.

Aslında saf üstel denklemler bile her zaman net bir şekilde çözülmeyebilir. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli türde üstel denklemler vardır. Bunlar ele alacağımız türler.

Basit üstel denklemlerin çözümü.

Öncelikle çok basit bir şeyi çözelim. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Başka bir şey yok, değil mi? X'in başka hiçbir değeri işe yaramaz. Şimdi bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:

Ne yaptık? Aslında biz aynı üsleri (üçlüleri) attık. Tamamen dışarı atıldı. Ve iyi haber şu ki, çiviyi kafamıza vurduk!

Aslında üstel bir denklemde sol ve sağ varsa birebir aynı Herhangi bir kuvvetteki sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşitlenebilir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. Harika, değil mi?)

Ancak şunu kesin olarak hatırlayalım: Bazları ancak soldaki ve sağdaki baz numaraları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Herhangi bir komşu ve katsayı olmadan. Denklemlerde şunu söyleyelim:

2 x +2 x+1 = 2 3 veya

ikili kaldırılamaz!

En önemli konuda ustalaştık. Kötü üstel ifadelerden daha basit denklemlere nasıl geçilir?

"Bu zamanlar!" - diyorsun. “Testler ve sınavlarla ilgili bu kadar ilkel bir dersi kim verir ki!?”

Kabul etmeliyim. Kimse yapmayacak. Ancak artık zorlu örnekleri çözerken nereye nişan almanız gerektiğini biliyorsunuz. Sağda ve solda aynı taban numarasının olacağı forma getirilmesi gerekmektedir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında bu bir matematik klasiğidir. Orjinal örneği alıp istenilen şekle dönüştürüyoruz biz akıl. Elbette matematik kurallarına göre.

En basitine indirgemek için biraz daha çaba gerektiren örneklere bakalım. Onları arayalım basit üstel denklemler.

Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: dereceleri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.

Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve yaratıcılık eklenmelidir. Aynı taban sayılarına mı ihtiyacımız var? Bu yüzden bunları örnekte açık veya şifreli biçimde arıyoruz.

Bakalım bu pratikte nasıl yapılıyor?

Bir örnek verelim:

2 2x - 8x+1 = 0

İlk keskin bakış gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretinizi kırmak için henüz çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

İki ile sekiz derece bakımından akrabadır.) Şöyle yazmak pekâlâ mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Formülü dereceli işlemlerden hatırlarsak:

(bir n) m = bir nm,

bu harika sonuç veriyor:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal örnek şöyle görünmeye başladı:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer ediyoruz 2 3 (x+1) sağda (hiç kimse matematiğin temel işlemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:

2 2x = 2 3(x+1)

Neredeyse hepsi bu. Bazların çıkarılması:

Bu canavarı çözeriz ve alırız

Bu doğru cevaptır.

Bu örnekte ikinin kuvvetlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde şifrelenmiş iki tane var. Bu teknik (ortak tabanları farklı sayılar altında kodlamak) üstel denklemlerde çok popüler bir tekniktir! Evet, logaritmalarda da. Sayılardaki diğer sayıların kuvvetlerini tanıyabilmeniz gerekir. Üstel denklemlerin çözümü için bu son derece önemlidir.

Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir kuvvete yükseltmek sorun değil. Kağıt üzerinde bile çoğaltın, hepsi bu. Örneğin herkes 3'ün beşinci kuvvetine ulaşabilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 işe yarayacaktır.) Ancak üstel denklemlerde çoğu zaman bir kuvvete ulaşmak gerekli değildir, tam tersi... Öğrenin hangi sayı ne dereceye kadar 243 veya 343 sayısının arkasında gizlidir... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olamaz.

Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekir değil mi... Hadi pratik yapalım mı?

Sayıların hangi güçlere ve hangi sayılara sahip olduğunu belirleyin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cevaplar (elbette bir karmaşa içinde!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Yakından bakarsanız garip bir gerçeği görebilirsiniz. Görevlerden çok daha fazla cevap var! Öyle oluyor... Örneğin, 2 6, 4 3, 8 2 - hepsi 64.

Sayılarla ilgili bilgileri not aldığınızı varsayalım.) Üstel denklemleri çözmek için kullandığımızı da hatırlatayım. Tümü matematiksel bilgi birikimi. Orta ve orta sınıftan olanlar da dahil. Doğrudan liseye gitmedin, değil mi?)

Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantez dışında bırakmak çoğu zaman yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örneğe bakalım:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ve yine ilk bakış temellerde! Derecelerin tabanları farklıdır... Üç ve dokuz. Ama biz onların aynı olmasını istiyoruz. Peki, bu durumda arzu tamamen yerine getirildi!) Çünkü:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Derecelerle ilgilenirken aynı kuralları kullanmak:

3 2x+4 = 3 2x3 4

Bu harika, yazabilirsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki sırada ne var? Üçlü atamazsın... Çıkmaz sokak mı?

Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlayın herkes matematik görevleri:

Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız elinizden geleni yapın!

Bak, her şey yoluna girecek).

Bu üstel denklemde ne var? Olabilmek Yapmak? Evet, sol tarafta parantezlerin dışına çıkmak için yalvarıyor! 3 2x'lik genel çarpan bunu açıkça ima ediyor. Deneyelim, sonra göreceğiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Örnek giderek daha iyi hale geliyor!

Temelleri ortadan kaldırmak için herhangi bir katsayı olmaksızın saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:

Hata! Her şey daha iyi oldu!

Bu son cevaptır.

Ancak aynı temelde taksilemenin de sağlandığı ancak bunların ortadan kaldırılmasının mümkün olmadığı durumlar da vardır. Bu, diğer üstel denklem türlerinde de olur. Bu türe hakim olalım.

Üstel denklemlerin çözümünde bir değişkenin değiştirilmesi. Örnekler.

Denklemi çözelim:

4 x - 3 2 x +2 = 0

İlk olarak - her zamanki gibi. Bir üsse geçelim. Bir ikiliye.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Denklemi elde ederiz:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Ve burası da takıldığımız yer. Nasıl bakarsanız bakın, önceki teknikler işe yaramayacaktır. Cephaneliğimizden başka bir güçlü ve evrensel yöntem çıkarmamız gerekecek. Buna denir değişken değiştirme.

Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Bir karmaşık simge yerine (bizim durumumuzda - 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin - t). Görünüşte anlamsız bir değişim harika sonuçlara yol açıyor!) Her şey netleşiyor ve anlaşılır hale geliyor!

Öyleyse izin ver

O zaman 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Denklemimizde tüm kuvvetleri x ve t ile değiştiriyoruz:

Peki, aklına geldi mi?) İkinci dereceden denklemleri henüz unuttun mu? Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:

Burada asıl önemli olan durmamak, olduğu gibi... Henüz cevap bu değil, x'e ihtiyacımız var, t'ye değil. X'lere dönelim, yani. ters değiştirme yapıyoruz. İlk olarak t 1 için:

Öyleyse,

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:

Hm... 2 x solda, 1 x sağda... Sorun mu var? Hiç de bile! Bir birimin olduğunu hatırlamak yeterlidir (güçlü operasyonlardan, evet...) herhangi sayının sıfır kuvveti. Herhangi. Ne gerekiyorsa onu yerleştireceğiz. İkiye ihtiyacımız var. Araç:

Artık bu kadar. 2 kökümüz var:

Cevap bu.

Şu tarihte: üstel denklemleri çözme sonunda bazen tuhaf bir ifadeyle karşılaşıyorsunuz. Tip:

Yedi, basit bir kuvvetle ikiye dönüştürülemez. Akraba değiller... Nasıl olabiliriz? Birisinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "Logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece idareli bir şekilde gülümsüyor ve kararlı bir el ile kesinlikle doğru cevabı yazıyor:

Birleşik Devlet Sınavında “B” görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Orada belirli bir sayı gerekiyor. Ancak “C” görevlerinde bu kolaydır.

Bu ders en yaygın üstel denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler sağlar. Ana noktaları vurgulayalım.

Pratik ipuçları:

1. Öncelikle şuna bakıyoruz: zemin derece. Bunları yapmanın mümkün olup olmadığını merak ediyoruz birebir aynı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. dereceleri olan eylemler. X'siz sayıların da üssüne dönüştürülebileceğini unutmayın!

2. Üstel denklemi solda ve sağda iken forma getirmeye çalışıyoruz. birebir aynı herhangi bir kuvvetteki sayılar. Kullanıyoruz dereceli eylemler Ve çarpanlara ayırma. Sayılarla sayılabilenleri sayarız.

3. İkinci ipucu işe yaramadıysa değişken değiştirmeyi deneyin. Sonuç kolayca çözülebilecek bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kesirli, bu da kareye indirgenir.

4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için bazı sayıların kuvvetlerini görsel olarak bilmeniz gerekir.

Her zamanki gibi dersin sonunda biraz karar vermeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.

Üstel denklemleri çözün:

Daha zor:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Köklerin çarpımını bulun:

2 3'ler + 2 x = 9

İşe yaradı mı?

O halde çok karmaşık bir örnek (gerçi akılda çözülebilir...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Daha ilginç olan ne? O zaman işte sana kötü bir örnek. Artan zorluk açısından oldukça cazip. Bu örnekte sizi kurtaracak şeyin yaratıcılık ve tüm matematik problemlerini çözmenin en evrensel kuralı olduğunu belirteyim.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Rahatlamak için daha basit bir örnek):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ve tatlı olarak. Denklemin köklerinin toplamını bulun:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Evet, evet! Bu karma tipte bir denklemdir! Bu derste bunu dikkate almadık. Neden bunları düşünelim, çözülmeleri gerekiyor!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Peki, yaratıcılığa ihtiyacın var... Ve yedinci sınıf sana yardım etsin (bu bir ipucu!).

Cevaplar (dağınık, noktalı virgülle ayrılmış):

1; 2; 3; 4; hiçbir çözüm yok; 2; -2; -5; 4; 0.

Her şey başarılı mı? Harika.

Herhangi bir sorun var mı? Soru yok! Özel Bölüm 555, tüm bu üstel denklemleri ayrıntılı açıklamalarla çözmektedir. Ne, neden ve neden. Ve elbette her türlü üstel denklemle çalışmaya ilişkin değerli ek bilgiler de var. Sadece bunlar değil.)

Düşünülmesi gereken son eğlenceli soru. Bu dersimizde üstel denklemlerle çalıştık. Neden burada ODZ hakkında tek kelime etmedim? Denklemlerde bu çok önemli bir şey bu arada...

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Tüm yeni video derslerinden haberdar olmak için web sitemizin youtube kanalına gidin.

Öncelikle kuvvetlerin temel formüllerini ve özelliklerini hatırlayalım.

Bir sayının çarpımı A kendi kendine n defa meydana geliyorsa, bu ifadeyi a a … a=a n olarak yazabiliriz.

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (bir n) m = bir nm

5. a n b n = (ab) n

7. bir n / bir m = bir n - m

Güç veya üstel denklemler– bunlar, değişkenlerin kuvvet (veya üs) cinsinden olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemlerdir.

Üstel denklem örnekleri:

Bu örnekte 6 sayısı tabandır; her zaman alttadır ve değişkendir. X derece veya gösterge.

Üstel denklemlere daha fazla örnek verelim.
2x*5=10
16 x - 4 x - 6=0

Şimdi üstel denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım?

Basit bir denklem ele alalım:

2 x = 2 3

Bu örnek kafanızda bile çözülebilir. x=3 olduğu görülmektedir. Sonuçta sol ve sağ tarafların eşit olması için x yerine 3 sayısını koymanız gerekiyor.
Şimdi bu kararın nasıl resmileştirileceğini görelim:

2 x = 2 3
x = 3

Böyle bir denklemi çözmek için kaldırdık aynı gerekçeler(yani ikili) ve kalanları yazdık, bunlar dereceler. Aradığımız cevabı bulduk.

Şimdi kararımızı özetleyelim.

Üstel denklemi çözmek için algoritma:
1. Kontrol etmeniz gerekiyor birebir aynı Denklemin sağda ve solda tabanları olup olmadığı. Sebepler aynı değilse bu örneği çözecek seçenekler arıyoruz.
2. Tabanlar aynı hale geldikten sonra, eşitlemek derece ve ortaya çıkan yeni denklemi çözün.

Şimdi birkaç örneğe bakalım:

Basit bir şeyle başlayalım.

Sol ve sağ taraftaki tabanlar 2 sayısına eşittir, yani tabanı atıp derecelerini eşitleyebiliriz.

x+2=4 En basit denklem elde edilir.
x=4 – 2
x=2
Cevap: x=2

Aşağıdaki örnekte tabanların farklı olduğunu görebilirsiniz: 3 ve 9.

3 3x - 9x+8 = 0

İlk önce dokuzu sağ tarafa hareket ettirin, şunu elde ederiz:

Şimdi aynı temelleri yapmanız gerekiyor. 9=3 2 olduğunu biliyoruz. (a n) m = a nm güç formülünü kullanalım.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 elde ederiz

3 3x = 3 2x+16 Artık sol ve sağ tarafta tabanların aynı ve üçe eşit olduğu açıktır, bu da onları bir kenara bırakıp dereceleri eşitleyebileceğimiz anlamına gelir.

3x=2x+16 en basit denklemi elde ederiz
3x - 2x=16
x=16
Cevap:x=16.

Aşağıdaki örneğe bakalım:

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Öncelikle tabanlara, ikinci ve dördüncü tabanlara bakıyoruz. Ve onların aynı olmasına ihtiyacımız var. Dördünü (a n) m = a nm formülünü kullanarak dönüştürüyoruz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ayrıca a n a m = a n + m formülünü de kullanıyoruz:

2 2x+4 = 2 2x2 4

Denkleme ekleyin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Ama diğer 10 ve 24 sayıları bizi rahatsız ediyor, onlarla ne yapacağız? Yakından bakarsanız sol tarafta 2 2x'in tekrarlandığını görebilirsiniz, işte cevap: 2 2x'i parantezlerin dışına koyabiliriz:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayalım:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Denklemin tamamını 6'ya bölüyoruz:

4=2 2 olduğunu varsayalım:

2 2x = 2 2 tabanlar aynı, bunları atıp dereceleri eşitliyoruz.
2x = 2 en basit denklemdir. 2'ye böleriz ve elde ederiz
x = 1
Cevap: x = 1.

Denklemi çözelim:

9 x – 12*3 x +27= 0

Haydi dönüştürelim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Denklemi elde ederiz:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Tabanlarımız aynı, üçe eşit. Bu örnekte ilk üçünün derecesinin ikincinin (sadece x) iki katı (2x) olduğunu görüyorsunuz. Bu durumda çözebilirsiniz değiştirme yöntemi. Sayıyı en küçük dereceyle değiştiriyoruz:

O zaman 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Denklemdeki tüm x kuvvetlerini t ile değiştiririz:

t2 - 12t+27 = 0
İkinci dereceden bir denklem elde ederiz. Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Değişkene geri dönelim X.

t 1'i alın:
t1 = 9 = 3x

Öyleyse,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:
t2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cevap: x 1 = 2; x 2 = 1.

Web sitesinde YARDIM KARAR bölümünden aklınıza takılan her türlü soruyu sorabilirsiniz, size mutlaka cevap vereceğiz.

Gruba katıl

Teçhizat:

• bilgisayar,
• multimedya projektörü,
• ekran,
• Ek 1(PowerPoint slayt sunumu) “Üstel denklemleri çözme yöntemleri”
• Ek 2(Word’de “Üç farklı kuvvet tabanı” gibi bir denklemin çözümü)
• Ek 3(pratik çalışmalar için Word'deki bildiriler).
• Ek 4(ev ödevi olarak Word'de dağıtılan not).

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon aşaması

• Ders konusunun mesajı (tahtaya yazılır),
• 10-11. Sınıflarda genel bir derse duyulan ihtiyaç:

Öğrencileri aktif öğrenmeye hazırlama aşaması

Tekrarlama

Tanım.

Üstel denklem, üssü olan bir değişken içeren bir denklemdir (öğrenci cevapları).

Öğretmenin notu. Üstel denklemler aşkın denklemler sınıfına aittir. Bu telaffuz edilemeyen isim, genel olarak konuşursak, bu tür denklemlerin formüller biçiminde çözülemeyeceğini göstermektedir.

Bilgisayarlarda ancak sayısal yöntemlerle yaklaşık olarak çözülebilirler. Peki ya sınav görevleri? İşin püf noktası, incelemecinin sorunu analitik bir çözüme olanak sağlayacak şekilde çerçevelemesidir. Başka bir deyişle, bu üstel denklemi en basit üstel denkleme indirgeyen özdeş dönüşümleri gerçekleştirebilirsiniz (ve yapmalısınız!). Bu en basit denklem şöyle adlandırılır: en basit üstel denklem. Çözülüyor logaritma ile.

Üstel bir denklemin çözülmesindeki durum, problemin yazarı tarafından özel olarak icat edilen bir labirentte seyahat etmeyi anımsatıyor. Bu çok genel argümanlardan çok özel öneriler geliyor.

Üstel denklemleri başarıyla çözmek için şunları yapmalısınız:

1. Yalnızca tüm üstel kimlikleri aktif olarak bilmekle kalmayın, aynı zamanda bu kimliklerin tanımlandığı değişken değer kümelerini de bulun, böylece bu kimlikleri kullanırken gereksiz kökler elde etmezsiniz ve hatta çözümleri kaybetmezsiniz denklem.

2. Tüm üstel kimlikleri aktif olarak bilin.

3. Denklemlerin matematiksel dönüşümlerini açıkça, ayrıntılı ve hatasız olarak gerçekleştirin (terimleri denklemin bir kısmından diğerine aktarın, işareti değiştirmeyi unutmadan, kesirleri ortak bir paydaya getirin, vb.). Buna matematik kültürü denir. Aynı zamanda, hesaplamalar otomatik olarak elle yapılmalı ve kafa, çözümün genel yol gösterici konusunu düşünmelidir. Dönüşümler mümkün olduğunca dikkatli ve ayrıntılı olarak yapılmalıdır. Yalnızca bu, doğru ve hatasız bir kararı garanti edecektir. Ve unutmayın: Küçük bir aritmetik hata, prensipte analitik olarak çözülemeyen aşkın bir denklem yaratabilir. Görünüşe göre yolunuzu kaybetmişsiniz ve labirentin duvarına çarpmışsınız.

4. Sorunları çözme yöntemlerini bilin (yani çözüm labirentindeki tüm yolları bilin). Her aşamada doğru şekilde gezinmek için şunları yapmanız gerekir (bilinçli veya sezgisel olarak!):

• tanımlamak denklem türü;
• karşılık gelen türü hatırla çözüm yöntemi görevler.

Çalışılan materyalin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi aşaması.

Öğretmen, bilgisayar kullanan öğrencilerle birlikte her türlü üstel denklemi ve bunları çözme yöntemlerini gözden geçirir ve genel bir diyagram çizer. (L.Ya. Borevsky'nin “Matematik Kursu – 2000” eğitici bilgisayar programı kullanılmıştır, PowerPoint sunumunun yazarı T.N. Kuptsova'dır.)

Pirinç. 1.Şekilde her türlü üstel denklemin genel bir diyagramı gösterilmektedir.

Bu şemadan da görülebileceği gibi üstel denklemleri çözme stratejisi, verilen üstel denklemi denkleme indirgemektir, öncelikle, aynı derece tabanlarına sahip , ve sonra – ve aynı derece göstergeleri ile.

Aynı taban ve üslere sahip bir denklem elde ettiğinizde, bu üssü yeni bir değişkenle değiştirirsiniz ve bu yeni değişkene göre basit bir cebirsel denklem (genellikle kesirli-rasyonel veya ikinci dereceden) elde edersiniz.

Bu denklemi çözdükten ve ters ikameyi yaptıktan sonra, logaritma kullanılarak genel biçimde çözülebilecek bir dizi basit üstel denklem elde edersiniz.

Sadece (kısmi) kuvvetlerin çarpımlarının bulunduğu denklemler göze çarpmaktadır. Üstel özdeşlikleri kullanarak bu denklemleri hemen tek bir temele, özellikle de en basit üstel denkleme indirgemek mümkündür.

Üç farklı tabanlı üstel bir denklemin nasıl çözüleceğine bakalım.

(Öğretmenin L.Ya. Borevsky'nin “Matematik Dersi - 2000” adlı bir bilgisayar öğretim programı varsa, o zaman doğal olarak diskle çalışırız, yoksa, her masa için bu tür bir denklemin çıktısını alabilirsiniz, aşağıda sunulmuştur.)

Pirinç. 2. Denklemin çözümü için plan yapın.

Pirinç. 3. Denklemi çözmeye başlayın

Pirinç. 4. Denklemi çözmeyi bitirin.

Pratik çalışmalar yapmak

Denklemin türünü belirleyin ve çözün.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Dersi özetlemek

Ders için notlandırma.

Ders sonu

Öğretmen için

Cevap şemasını uygulayın.

Egzersiz yapmak: Denklem listesinden belirtilen türdeki denklemleri seçin (cevap numarasını tabloya girin):

1. Üç farklı derece tabanı
2. İki farklı taban – farklı üsler
3. Kuvvet esasları - bir sayının kuvvetleri
4. Aynı tabanlar – farklı üsler
5. Aynı derece tabanları - aynı derece göstergeleri
6. Güçlerin çarpımı
7. İki farklı derece bazı – aynı göstergeler
8. En basit üstel denklemler

1. (güçlerin ürünü)

2. (aynı tabanlar – farklı üsler)

Bu ders üstel denklemleri yeni öğrenmeye başlayanlar için tasarlanmıştır. Her zaman olduğu gibi tanımla ve basit örneklerle başlayalım.

Eğer bu dersi okuyorsanız, en azından en basit denklemler (doğrusal ve ikinci dereceden denklemler) hakkında asgari düzeyde bir anlayışa sahip olduğunuzdan şüpheleniyorum: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, vb. Şimdi ele alınacak konuya “takılıp kalmamak” için bu tür kurguları çözebilmek mutlaka gereklidir.

Yani üstel denklemler. Size birkaç örnek vereyim:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Bazıları size daha karmaşık görünebilir, bazıları ise tam tersine çok basittir. Ancak hepsinin önemli bir ortak özelliği var: Gösterimleri $f\left(x \right)=((a)^(x))$ üstel fonksiyonunu içeriyor. O halde tanımı tanıtalım:

Üstel bir denklem, üstel bir fonksiyon içeren herhangi bir denklemdir; $((a)^(x))$ biçimindeki ifade. Belirtilen fonksiyona ek olarak, bu tür denklemler diğer cebirsel yapıları (polinomlar, kökler, trigonometri, logaritmalar vb.) içerebilir.

Tamam o zaman. Tanımı çözdük. Şimdi soru şu: Bütün bu saçmalıkları nasıl çözeceğiz? Cevap hem basit hem de karmaşık.

İyi haberle başlayalım: Birçok öğrenciye ders verme deneyimime dayanarak, çoğunun üstel denklemleri aynı logaritmalardan ve hatta trigonometriden çok daha kolay bulduğunu söyleyebilirim.

Ancak kötü haber de var: Bazen her türlü ders kitabı ve sınav için problem derleyenler "ilham"a kapılırlar ve uyuşturucuyla iltihaplanan beyinleri o kadar acımasız denklemler üretmeye başlar ki, bunları çözmek sadece öğrenciler için değil, hatta birçok öğretmen için bile sorunlu hale gelir. bu tür sorunlara takılıp kalın.

Ancak üzücü şeylerden bahsetmeyelim. Ve hikayenin en başında verilen üç denkleme dönelim. Her birini çözmeye çalışalım.

İlk denklem: $((2)^(x))=4$. Peki 4 sayısını elde etmek için 2 sayısını hangi kuvvete yükseltmek gerekiyor? Muhtemelen ikincisi? Sonuçta, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - ve doğru sayısal eşitliği elde ettik, yani. gerçekten $x=2$. Teşekkürler Kaptan, ama bu denklem o kadar basitti ki kedim bile çözebilirdi :)

Aşağıdaki denkleme bakalım:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ama burada durum biraz daha karmaşık. Birçok öğrenci $((5)^(2))=25$ çarpım tablosunun olduğunu biliyor. Bazıları ayrıca $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$'ın aslında negatif kuvvetlerin bir tanımı olduğundan şüpheleniyor ($((a)^(-n))= \ formülüne benzer) frac(1)(((a)^(n))))$).

Son olarak, yalnızca seçilmiş birkaç kişi bu gerçeklerin birleştirilebileceğini ve aşağıdaki sonucu verebileceğini fark ediyor:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Böylece orijinal denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ancak bu zaten tamamen çözülebilir! Denklemin solunda üstel fonksiyon var, denklemin sağında üstel fonksiyon var, bunların dışında başka hiçbir şey yok. Bu nedenle, üsleri "bir kenara atabiliriz" ve göstergeleri aptalca eşitleyebiliriz:

Her öğrencinin birkaç satırda çözebileceği en basit doğrusal denklemi elde ettik. Tamam, dört satır halinde:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Son dört satırda ne olduğunu anlamadıysanız mutlaka “doğrusal denklemler” konusuna dönüp konuyu tekrar edin. Çünkü bu konuyu net bir şekilde anlamadan üstel denklemlerle uğraşmak için henüz çok erken.

\[((9)^(x))=-3\]

Peki bunu nasıl çözebiliriz? İlk düşünce: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, yani orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[((\sol(((3)^(2)) \sağ))^(x))=-3\]

Daha sonra bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üslerin çarpıldığını hatırlıyoruz:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Ve böyle bir karar için dürüstçe hak edilmiş iki tane alacağız. Çünkü bir Pokemon soğukkanlılığıyla üçün önündeki eksi işaretini bu üçün kuvvetine gönderdik. Ama bunu yapamazsın. İşte nedeni. Üçün farklı güçlerine bir göz atın:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2))))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Bu tableti derlerken hiçbir şeyi çarpıtmadım: Pozitif kuvvetlere, negatif kuvvetlere ve hatta kesirli olanlara baktım... peki, burada en az bir negatif sayı nerede? O gitti! Ve bu olamaz, çünkü üstel fonksiyon $y=((a)^(x))$, öncelikle her zaman yalnızca pozitif değerler alır (bir ne kadar çarpılırsa veya ikiye bölünürse bölünsün, yine de bir olacaktır) pozitif sayı) ve ikincisi, böyle bir fonksiyonun tabanı - $a$ sayısı - tanımı gereği pozitif bir sayıdır!

Peki $((9)^(x))=-3$ denklemi nasıl çözülür? Ama mümkün değil; kök yok. Ve bu anlamda üstel denklemler ikinci dereceden denklemlere çok benzer; kökleri de olmayabilir. Ancak ikinci dereceden denklemlerde kök sayısı diskriminant tarafından belirlenirse (pozitif diskriminant - 2 kök, negatif - kök yok), o zaman üstel denklemlerde her şey eşit işaretin sağındaki şeye bağlıdır.

Böylece, temel sonucu formüle edelim: $((a)^(x))=b$ formundaki en basit üstel denklemin kökü ancak ve ancak $b>0$ olduğunda olur. Bu basit gerçeği bilerek, size önerilen denklemin köklerinin olup olmadığını kolayca belirleyebilirsiniz. Onlar. Bunu çözmeye değer mi yoksa hemen köklerin olmadığını yazmaya değer mi?

Bu bilgi, daha karmaşık sorunları çözmemiz gerektiğinde bize birçok kez yardımcı olacaktır. Şimdilik bu kadar şarkı sözü yeter; üstel denklemleri çözmek için temel algoritmayı incelemenin zamanı geldi.

Üstel Denklemler Nasıl Çözülür?

Öyleyse problemi formüle edelim. Üstel denklemi çözmek gerekir:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Daha önce kullandığımız “saf” algoritmaya göre, $b$ sayısını $a$ sayısının kuvveti olarak temsil etmek gerekir:

Ayrıca $x$ değişkeni yerine herhangi bir ifade varsa, halihazırda çözülebilen yeni bir denklem elde ederiz. Örneğin:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\bit(hizala)\]

Ve işin tuhafı, bu plan vakaların yaklaşık %90'ında işe yarıyor. Peki geri kalan %10 ne olacak? Geriye kalan %10 ise biraz "şizofrenik" üstel denklemlerdir:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Peki, 3'ü elde etmek için 2'yi hangi kuvvete yükseltmeniz gerekiyor? Birinci? Ama hayır: $((2)^(1))=2$ yeterli değil. Saniye? İkisi de yok: $((2)^(2))=4$ çok fazla. O zaman hangisi?

Bilgili öğrenciler muhtemelen zaten tahmin etmişlerdir: Bu gibi durumlarda, "güzel" bir şekilde çözmenin mümkün olmadığı durumlarda, "ağır top" - logaritma - devreye girer. Logaritma kullanarak herhangi bir pozitif sayının herhangi bir pozitif sayının (biri hariç) kuvveti olarak temsil edilebileceğini hatırlatmama izin verin:

Bu formülü hatırladın mı? Öğrencilerime logaritmalardan bahsettiğimde her zaman uyarıyorum: bu formül (aynı zamanda ana logaritmik özdeşliktir veya dilerseniz logaritmanın tanımıdır) çok uzun süre aklınızdan çıkmayacak ve çoğu zaman "ortaya çıkacaktır". beklenmedik yerler. Peki, o ortaya çıktı. Denklemimize ve bu formüle bakalım:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

$a=3$'ın sağdaki orijinal sayımız olduğunu ve $b=2$'ın sağ tarafı azaltmak istediğimiz üstel fonksiyonun tam tabanı olduğunu varsayarsak, aşağıdakini elde ederiz:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\bit(hizala)\]

Biraz garip bir yanıt aldık: $x=((\log )_(2))3$. Başka bir görevde, çoğu kişi böyle bir cevap konusunda şüpheye düşer ve çözümlerini tekrar kontrol etmeye başlar: Ya bir yerde bir hata ortaya çıkarsa? Sizi memnun etmek için acele ediyorum: burada bir hata yok ve üstel denklemlerin köklerindeki logaritmalar tamamen tipik bir durumdur. O yüzden alışın :)

Şimdi kalan iki denklemi benzetme yoluyla çözelim:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\bit(hizala)\]

İşte bu! Bu arada, son cevap farklı şekilde yazılabilir:

Logaritma argümanına bir faktör ekledik. Ancak hiç kimse bizi bu faktörü tabana eklemekten alıkoyamıyor:

Üstelik her üç seçenek de doğrudur; bunlar yalnızca aynı sayıyı yazmanın farklı biçimleridir. Bu çözümde hangisini seçip yazacağınıza karar vermek size kalmıştır.

Böylece, $((a)^(x))=b$ formundaki herhangi bir üstel denklemi çözmeyi öğrendik; burada $a$ ve $b$ sayıları kesinlikle pozitiftir. Ancak dünyamızın acı gerçeği bu kadar basit görevlerle çok çok nadir karşılaşılacağıdır. Çoğu zaman şöyle bir şeyle karşılaşacaksınız:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\bit(hizala)\]

Peki bunu nasıl çözebiliriz? Bu hiç çözülebilir mi? Ve eğer öyleyse, nasıl?

Panik yapma. Tüm bu denklemler hızlı ve kolay bir şekilde daha önce ele aldığımız basit formüllere indirgenir. Cebir kursundan birkaç püf noktasını hatırlamanız yeterli. Ve elbette derecelerle çalışmanın kuralları yoktur. Şimdi bunların hepsini anlatacağım :)

Üstel Denklemleri Dönüştürme

Hatırlanması gereken ilk şey: herhangi bir üstel denklem, ne kadar karmaşık olursa olsun, şu ya da bu şekilde en basit denklemlere - daha önce ele aldığımız ve nasıl çözeceğimizi bildiğimiz denklemlere - indirgenmelidir. Başka bir deyişle, herhangi bir üstel denklemi çözme şeması şuna benzer:

1. Orijinal denklemi yazın. Örneğin: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Garip şeyler yap. Ya da "denklemi dönüştürme" denen saçmalık;
3. Çıktıda, $((4)^(x))=4$ veya buna benzer başka bir biçimin en basit ifadelerini alın. Dahası, bir başlangıç ​​denklemi aynı anda bu tür birkaç ifadeyi verebilir.

İlk noktada her şey açık; kedim bile denklemi bir kağıda yazabilir. Üçüncü nokta da az çok açık görünüyor; yukarıda buna benzer bir sürü denklemi zaten çözdük.

Peki ya ikinci nokta? Ne tür dönüşümler? Neyi neye dönüştürmek? Peki nasıl?

Peki, öğrenelim. Öncelikle şunu belirtmek isterim. Tüm üstel denklemler iki türe ayrılır:

1. Denklem aynı tabana sahip üstel fonksiyonlardan oluşur. Örnek: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formül farklı tabanlara sahip üstel fonksiyonlar içerir. Örnekler: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ve $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

İlk türdeki denklemlerle başlayalım - çözülmesi en kolay olanlardır. Ve bunları çözerken, istikrarlı ifadelerin vurgulanması gibi bir teknik bize yardımcı olacaktır.

Kararlı bir ifadeyi izole etme

Bu denkleme tekrar bakalım:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ne görüyoruz? Dördü farklı derecelere yükseltilir. Ancak tüm bu kuvvetler, $x$ değişkeninin diğer sayılarla basit toplamlarıdır. Bu nedenle derecelerle çalışmanın kurallarını hatırlamak gerekir:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x))):((a)^(y))=\frac(((a)^(x))))(((a )^(y))). \\\bit(hizala)\]

Basitçe söylemek gerekirse, toplama kuvvetlerin çarpımına, çıkarma işlemi de kolaylıkla bölme işlemine dönüştürülebilir. Bu formülleri denklemimizin derecelerine uygulamaya çalışalım:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1))))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\son(hizala)\]

Bu gerçeği dikkate alarak orijinal denklemi yeniden yazalım ve ardından tüm terimleri sol tarafta toplayalım:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\bit(hizala)\]

İlk dört terim $((4)^(x))$ öğesini içerir - hadi bunu parantezden çıkaralım:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\bit(hizala)\]

Denklemin her iki tarafını da $-\frac(11)(4)$ kesrine bölmek kalıyor; esas olarak ters çevrilmiş kesirle çarpın - $-\frac(4)(11)$. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\bit(hizala)\]

İşte bu! Orijinal denklemi en basit haline indirgedik ve nihai cevaba ulaştık.

Aynı zamanda, çözme sürecinde $((4)^(x))$ ortak faktörünü keşfettik (ve hatta parantezden çıkardık) - bu kararlı bir ifadedir. Yeni bir değişken olarak belirlenebilir veya basitçe dikkatlice ifade edip cevaba ulaşabilirsiniz. Her durumda çözümün temel prensibi şudur:

Orijinal denklemde, tüm üstel fonksiyonlardan kolayca ayırt edilebilen bir değişken içeren kararlı bir ifade bulun.

İyi haber şu ki, hemen hemen her üstel denklem böylesine kararlı bir ifadeyi izole etmenize olanak sağlıyor.

Ancak kötü haber şu ki, bu ifadeler oldukça yanıltıcı olabilir ve tanımlanması oldukça zor olabilir. O halde bir soruna daha bakalım:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Belki şimdi birisinin bir sorusu vardır: “Paşa, kafan mı karıştı? Burada farklı tabanlar var – 5 ve 0,2.” Ama gücü 0,2 tabanına dönüştürmeyi deneyelim. Örneğin ondalık kesri normal kesre indirerek kurtulalım:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Gördüğünüz gibi paydada da olsa 5 sayısı hala görünüyordu. Aynı zamanda gösterge negatif olarak yeniden yazıldı. Şimdi derecelerle çalışmanın en önemli kurallarından birini hatırlayalım:

\[(((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Burada elbette biraz yalan söylüyordum. Çünkü tam bir anlayış için olumsuz göstergelerden kurtulmanın formülünün şu şekilde yazılması gerekiyordu:

\[(((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ sağ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Öte yandan hiçbir şey bizi sadece kesirlerle çalışmaktan alıkoyamadı:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))=((\left(((5)^(-1)) \ sağ))^(-\left(x+1 \sağ))))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ancak bu durumda bir gücü başka bir güce yükseltebilmeniz gerekiyor (hatırlatayım: bu durumda göstergeler birbirine eklenir). Ancak kesirleri "tersine çevirmem" gerekmedi - belki bu bazıları için daha kolay olacaktır :)

Her durumda, orijinal üstel denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\bit(hizala)\]

Böylece orijinal denklemin daha önce düşünülenden daha basit bir şekilde çözülebileceği ortaya çıktı: burada kararlı bir ifade seçmenize bile gerek yok - her şey kendi kendine indirgenmiştir. Geriye sadece şunu hatırlamak kalıyor: $1=((5)^(0))$, buradan şunu alıyoruz:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\bit(hizala)\]

Çözüm bu! Son cevabı aldık: $x=-2$. Aynı zamanda bizim için tüm hesaplamaları büyük ölçüde basitleştiren bir tekniğe dikkat çekmek isterim:

Üstel denklemlerde, ondalık kesirlerden kurtulduğunuzdan ve bunları sıradan kesirlere dönüştürdüğünüzden emin olun. Bu, aynı derece tabanlarını görmenize ve çözümü büyük ölçüde basitleştirmenize olanak tanır.

Şimdi farklı tabanların bulunduğu ve hiçbir şekilde kuvvetler kullanılarak birbirine indirgenemeyen daha karmaşık denklemlere geçelim.

Degrees Özelliğini Kullanma

Size özellikle sert iki denklemimiz daha olduğunu hatırlatmama izin verin:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\bit(hizala)\]

Burada asıl zorluk neye ve neye dayanarak verileceğinin net olmamasıdır. Kararlı ifadeler nerede? Aynı gerekçeler nerede? Bunların hiçbiri yok.

Ama farklı bir yoldan gitmeyi deneyelim. Eğer hazır özdeş bazlar yoksa mevcut bazları çarpanlara ayırarak bulmayı deneyebilirsiniz.

İlk denklemle başlayalım:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x))). \\\bit(hizala)\]

Ancak tam tersini de yapabilirsiniz - 7 ve 3 sayılarından 21 sayısını yapın. Her iki derecenin göstergeleri aynı olduğundan bunu solda yapmak özellikle kolaydır:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\bit(hizala)\]

İşte bu! Üssü çarpımın dışına çıkardınız ve hemen birkaç satırda çözülebilecek güzel bir denklem elde ettiniz.

Şimdi ikinci denkleme bakalım. Burada her şey çok daha karmaşık:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Bu durumda kesirlerin indirgenemez olduğu ortaya çıktı, ancak bir şey azaltılabiliyorsa, onu azalttığınızdan emin olun. Çoğu zaman, halihazırda çalışabileceğiniz ilginç nedenler ortaya çıkacaktır.

Ne yazık ki bizim için özel bir şey ortaya çıkmadı. Ancak çarpımda soldaki üslerin zıt olduğunu görüyoruz:

Size şunu hatırlatmama izin verin: göstergedeki eksi işaretinden kurtulmak için kesri "çevirmeniz" yeterlidir. Peki, orijinal denklemi yeniden yazalım:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\bit(hizala)\]

İkinci satırda, $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) kuralına göre toplam üssü parantezden çarpımdan çıkardık \cdot b \right))^ (x))$ ve sonuncusunda 100 sayısını bir kesirle çarptılar.

Şimdi soldaki (tabandaki) ve sağdaki sayıların bir şekilde benzer olduğuna dikkat edin. Nasıl? Evet, çok açık: bunlar aynı sayıdaki kuvvetler! Sahibiz:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \sağ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \sağ))^(2)) \\\bit(hizala)\]

Böylece denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\sağ))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \sağ))^(3\left(x-1 \sağ))))=((\left(\frac(10)(3) \sağ))^(3x-3))\]

Bu durumda, sağ tarafta aynı tabana sahip bir derece de alabilirsiniz; bunun için kesri basitçe "ters çevirmeniz" yeterlidir:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Denklemimiz sonunda şu şekli alacaktır:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\bit(hizala)\]

Çözüm bu. Ana fikri, farklı bazlarla bile, ister kandırarak ister sahtekarlıkla bu bazları aynı şeye indirgemeye çalıştığımız gerçeğine dayanıyor. Kuvvetlerle çalışmaya yönelik denklemlerin ve kuralların temel dönüşümleri bu konuda bize yardımcı olur.

Peki hangi kurallar ve ne zaman kullanılmalı? Bir denklemde her iki tarafı da bir şeye bölmeniz gerektiğini, diğerinde ise üstel fonksiyonun tabanını çarpanlara ayırmanız gerektiğini nasıl anlıyorsunuz?

Bu sorunun cevabı tecrübeyle gelecektir. İlk önce basit denklemler üzerinde elinizi deneyin ve ardından sorunları yavaş yavaş karmaşıklaştırın; çok geçmeden becerileriniz aynı Birleşik Devlet Sınavından veya herhangi bir bağımsız/test çalışmasından herhangi bir üstel denklemi çözmek için yeterli olacaktır.

Bu zor görevde size yardımcı olmak için, web sitemden kendi başınıza çözebileceğiniz bir dizi denklem indirmenizi öneririm. Tüm denklemlerin cevapları vardır, böylece her zaman kendinizi test edebilirsiniz.

Giriş seviyesi

Üstel denklemler. Nihai Kılavuz (2019)

Merhaba! Bugün sizinle temel olabilecek (ve bu makaleyi okuduktan sonra neredeyse hepsinin sizin için öyle olacağını umuyorum) ve genellikle "doldurmak için" verilen denklemleri nasıl çözeceğinizi tartışacağız. Görünüşe göre sonunda uykuya dalmak. Ancak artık bu tür denklemlerle karşılaştığınızda başınızın belaya girmemesi için mümkün olan her şeyi yapmaya çalışacağım. Artık lafı uzatmayacağım ama hemen sana küçük bir sır vereceğim: bugün ders çalışacağız üstel denklemler.

Bunları çözmenin yollarını analiz etmeye geçmeden önce, bu konuya saldırmadan önce tekrarlamanız gereken bir dizi soruyu (oldukça küçük) hemen size özetleyeceğim. Bu nedenle, en iyi sonuçlar için lütfen tekrarlamak:

1. Özellikler ve
2. Çözüm ve denklemler

Tekrarlandı mı? İnanılmaz! O zaman denklemin kökünün bir sayı olduğunu fark etmeniz sizin için zor olmayacaktır. Bunu tam olarak nasıl yaptığımı anladın mı? Bu doğru mu? O halde devam edelim. Şimdi soruma cevap verin, üçüncü kuvvete eşit olan nedir? Kesinlikle haklısın: . İkinin hangi kuvveti sekizdir? Bu doğru - üçüncüsü! Çünkü. O halde şimdi şu problemi çözmeye çalışalım: Sayıyı bir kere kendisiyle çarpıp sonucu elde edeyim. Soru şu ki, kendimle kaç kez çarptım? Elbette bunu doğrudan kontrol edebilirsiniz:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( hizala)

O zaman kendimle defalarca çarptığım sonucuna varabilirsiniz. Bunu başka nasıl kontrol edebilirsiniz? İşte nasıl: doğrudan derecenin tanımı gereği: . Ama itiraf etmelisiniz ki, diyelim ki ikinin kendisiyle kaç kere çarpılması gerektiğini sorsaydım bana şöyle derdiniz: Kendimi kandırmayacağım ve yüzüm mosmor olana kadar kendisiyle çarpmayacağım. Ve kesinlikle haklı olurdu. Çünkü nasıl tüm adımları kısaca yazın(ve kısalık yeteneğin kız kardeşidir)

nerede - bunlar aynı olanlar "kez", kendisiyle çarptığınızda.

Sanırım biliyorsunuz (ve bilmiyorsanız, acilen, çok acilen dereceleri tekrarlayın!) o zaman sorunum şu şekilde yazılacaktır:

Mantıklı olarak şu sonuca nasıl varabilirsiniz:

Bu yüzden fark edilmeden en basitini yazdım üstel denklem:

Ve hatta onu buldum kök. Her şeyin tamamen önemsiz olduğunu düşünmüyor musun? Tamamen aynısını düşünüyorum. İşte size başka bir örnek:

Ama ne yapmalı? Sonuçta (makul) bir sayının kuvveti olarak yazılamaz. Umutsuzluğa kapılmayalım ve bu sayıların her ikisinin de aynı sayının kuvvetiyle mükemmel bir şekilde ifade edildiğini not edelim. Hangisi? Sağ: . Daha sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür:

Nerede, zaten anladığınız gibi, . Daha fazla geciktirmeyelim ve yazalım. tanım:

Bizim durumumuzda: .

Bu denklemler aşağıdaki forma indirgenerek çözülür:

ardından denklemin çözümü

Aslında önceki örnekte tam da bunu yaptık: şunu elde ettik: Ve en basit denklemi çözdük.

Karmaşık bir şey yok gibi görünüyor, değil mi? Önce en basitleri üzerinde pratik yapalım örnekler:

Denklemin sağ ve sol taraflarının bir sayının kuvvetleri olarak temsil edilmesi gerektiğini bir kez daha görüyoruz. Doğru, bu zaten solda yapıldı, ancak sağda bir sayı var. Ama sorun değil, çünkü denklemim mucizevi bir şekilde şuna dönüşecek:

Burada ne kullanmam gerekiyordu? Hangi kural? "Derece içinde derece" kuralışu şekilde okunur:

Farzedelim:

Bu soruyu cevaplamadan önce aşağıdaki tabloyu dolduralım:

Değer ne kadar küçük olursa, değerin de o kadar küçük olduğunu fark etmemiz kolaydır, ancak yine de tüm bu değerler sıfırdan büyüktür. VE HER ZAMAN da öyle olacak!!! Aynı özellik, HERHANGİ BİR GÖSTERGEYİ İÇEREN HERHANGİ BİR TEMEL İÇİN de geçerlidir! (herhangi biri için ve). O halde denklem hakkında ne sonuca varabiliriz? İşte ne olduğu: o kökleri yok! Tıpkı herhangi bir denklemin kökleri olmadığı gibi. Şimdi pratik yapalım ve Basit örnekleri çözelim:

Kontrol edelim:

1. Burada sizden derecelerin özellikleri hakkında bilgi sahibi olmak dışında hiçbir şey istenmeyecektir (bu arada sizden tekrarlamanızı istedim!) Kural olarak, her şey en küçük tabana götürür: , . O zaman orijinal denklem aşağıdakine eşdeğer olacaktır: Tek ihtiyacım olan kuvvetlerin özelliklerini kullanmak: Tabanları aynı olan sayıları çarparken üsleri toplanır, bölerken çıkarılır. O zaman şunu elde edeceğim: Peki, şimdi vicdan rahatlığıyla üstel denklemden doğrusal denkleme geçeceğim: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(hizala)

2. İkinci örnekte, daha dikkatli olmamız gerekiyor: Sorun şu ki, sol tarafta aynı sayının kuvvetini muhtemelen temsil edemiyoruz. Bu durumda bazen yararlı olabilir sayıları farklı tabanlara sahip fakat aynı üslere sahip kuvvetlerin çarpımı olarak temsil eder:

Denklemin sol tarafı şöyle görünecektir: Bu bize ne verdi? İşte şu: Tabanları farklı fakat üsleri aynı olan sayılar çarpılabilir.Bu durumda bazlar çarpılır ancak gösterge değişmez:

Benim durumumda bu şunu verecektir:

\begin(hizala)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(hizala)

Fena değil, değil mi?

3. Denklemin bir tarafında gereksiz yere iki terimin olması, diğer tarafında ise hiç olmamasından hoşlanmıyorum (bazen elbette bu haklı olabilir, ancak şimdi böyle bir durum yok). Eksi terimini sağa taşıyacağım:

Şimdi, daha önce olduğu gibi, her şeyi üçün kuvvetleri cinsinden yazacağım:

Soldaki dereceleri topluyorum ve eşdeğer bir denklem elde ediyorum

Kökünü kolayca bulabilirsiniz:

4. Üçüncü örnekte olduğu gibi eksi terimin sağ tarafta yeri vardır!

Solumda neredeyse her şey yolunda, ne hariç? Evet ikisinin “yanlış derecesi” beni rahatsız ediyor. Ancak şunu yazarak bunu kolayca düzeltebilirim: . Eureka - solda tüm tabanlar farklı, ancak tüm dereceler aynı! Hemen çoğalalım!

Burada yine her şey açık: (Eğer sihirli bir şekilde son eşitliği nasıl elde ettiğimi anlamıyorsanız, bir dakika ara verin, derin bir nefes alın ve derecenin özelliklerini çok dikkatli bir şekilde tekrar okuyun. Bir adımı atlayabileceğinizi kim söyledi?) Negatif üslü bir derece mi? Evet, burada ben neredeyse hiç kimseyle aynı şey değilim). Şimdi şunu alacağım:

\begin(hizala)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(hizala)

İşte size pratik yapmanız için, yalnızca cevaplarını vereceğim (ancak "karışık" bir biçimde) bazı problemler. Onları çözün, kontrol edin, siz ve ben araştırmamıza devam edeceğiz!

Hazır? Cevaplar bunun gibi:

1. herhangi bir sayı

Tamam, tamam, şaka yapıyordum! İşte bazı çözüm taslakları (bazıları çok kısa!)

Soldaki kesirlerden birinin "tersine çevrilmiş" olması sizce de tesadüf değil mi? Bundan yararlanmamak günah olur:

Bu kural üstel denklemleri çözerken çok sık kullanılır, bunu iyi unutmayın!

O zaman orijinal denklem şu şekilde olacaktır:

Bu ikinci dereceden denklemi çözerek aşağıdaki kökleri elde edersiniz:

2. Başka bir çözüm: Denklemin her iki tarafını da soldaki (veya sağdaki) ifadeye bölmek. Sağdaki sayıya bölersem şunu elde ederim:

Nerede (neden?!)

3. Kendimi tekrarlamak bile istemiyorum, her şey çoktan "çiğnendi".

4. ikinci dereceden bir denklemin eşdeğeri, kökler

5. İlk problemde verilen formülü kullanmanız gerekiyor, o zaman şunu elde edeceksiniz:

Denklem herkes için geçerli olan önemsiz bir kimliğe dönüştü. O zaman cevap herhangi bir gerçek sayıdır.

Artık çözme pratiği yaptınız basit üstel denklemler.Şimdi size prensipte neden ihtiyaç duyulduğunu anlamanıza yardımcı olacak birkaç yaşam örneği vermek istiyorum. Burada iki örnek vereceğim. Bunlardan biri oldukça gündeliktir, ancak diğerinin pratikten çok bilimsel olması daha olasıdır.

Örnek 1 (ticari) Rubleniz olsun ama onu rubleye çevirmek istiyorsunuz. Banka size bu parayı aylık faiz aktifleştirmesi (aylık tahakkuk) ile yıllık oranda sizden almanızı teklif ediyor. Sorun şu ki, gerekli nihai tutara ulaşmak için kaç ayda bir depozito açmanız gerekiyor? Oldukça sıradan bir görev, değil mi? Bununla birlikte, çözümü karşılık gelen üstel denklemin oluşturulmasıyla ilişkilidir: - başlangıç ​​tutarı, - son tutar, - dönemin faiz oranı, - dönem sayısı olsun. Daha sonra:

Bizim durumumuzda (oran yıllık ise aylık olarak hesaplanır). Neden bölünüyor? Bu sorunun cevabını bilmiyorsanız “” konusunu hatırlayın! O zaman şu denklemi elde ederiz:

Bu üstel denklem zaten yalnızca bir hesap makinesinin yardımıyla çözülebilir (görünüşü buna işaret ediyor ve bu, biraz sonra öğreneceğimiz logaritma bilgisini gerektiriyor), ben de bunu yapacağım: ... Böylece , bir milyon almak için bir ay boyunca katkıda bulunmamız gerekecek (çok hızlı değil, değil mi?).

Örnek 2 (oldukça bilimsel). Belli bir "izolasyona" rağmen, ona dikkat etmenizi öneririm: o düzenli olarak "Birleşik Devlet Sınavına giriyor!! (sorun “gerçek” versiyondan alınmıştır) Radyoaktif bir izotopun bozunması sırasında kütlesi yasaya göre azalır; burada (mg), izotopun başlangıç ​​kütlesidir, (min.) bozunmasından itibaren geçen süredir. başlangıç ​​anı (min.) yarılanma ömrüdür. Zamanın ilk anında izotopun kütlesi mg'dır. Yarı ömrü min. Kaç dakika sonra izotopun kütlesi mg'a eşit olur? Sorun değil: tüm verileri alıp bize önerilen formüle yerleştiriyoruz:

Sol tarafta sindirilebilir bir şey elde etmemizi umarak her iki parçayı da bölelim:

Biz çok şanslıyız! Solda, o zaman eşdeğer denkleme geçelim:

Min nerede?

Gördüğünüz gibi üstel denklemlerin pratikte çok gerçek uygulamaları var. Şimdi size üstel denklemleri çözmenin başka (basit) bir yolunu göstermek istiyorum; bu yöntem, ortak çarpanı parantezlerden çıkarıp terimleri gruplandırmaya dayanır. Sözlerimden korkmayın, bu yöntemle zaten 7. sınıfta polinomları çalışırken tanışmıştınız. Örneğin, ifadeyi çarpanlarına ayırmanız gerekiyorsa:

Gruplandıralım: birinci ve üçüncü terimlerin yanı sıra ikinci ve dördüncü terimleri. Birinci ve üçüncünün kareler farkı olduğu açıktır:

ve ikinci ve dördüncünün ortak çarpanı üçtür:

O zaman orijinal ifade şuna eşdeğerdir:

Ortak faktörün nereden türetileceği artık zor değil:

Buradan,

Üstel denklemleri çözerken kabaca yapacağımız şey budur: terimler arasında "ortaklık" arayın ve bunu parantezlerden çıkarın ve sonra - ne olursa olsun, şanslı olacağımıza inanıyorum =)) Örneğin:

Sağda yedinin kuvveti olmaktan çok uzak (kontrol ettim!) Ve solda - biraz daha iyi, elbette a faktörünü birinci terimden ikinciden "kesebilir" ve sonra dağıtabilirsiniz. sahip olduklarınla, ama sana karşı daha ihtiyatlı olalım. "Seçerken" kaçınılmaz olarak oluşan kesirlerle uğraşmak istemiyorum, yani onu çıkarmam gerekmez mi? O zaman hiçbir kesirim olmayacak: dedikleri gibi, kurtlar besleniyor ve koyunlar güvende:

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayın. Sihirli bir şekilde, sihirli bir şekilde, bu ortaya çıkıyor (şaşırtıcı bir şekilde, başka ne beklemeliyiz ki?).

Daha sonra denklemin her iki tarafını da bu faktör kadar azaltırız. Şunu alıyoruz: , from.

İşte daha karmaşık bir örnek (gerçekten biraz):

Ne sorun! Burada tek bir ortak noktamız yok! Şimdi ne yapılacağı tam olarak belli değil. Elimizden geleni yapalım: Önce “dörtlüyü” bir tarafa, “beşliyi” diğer tarafa taşıyın:

Şimdi soldaki ve sağdaki "genel"i çıkaralım:

Peki şimdi ne olacak? Bu kadar aptal bir grubun ne faydası var? İlk bakışta hiç görünmüyor ama daha derine bakalım:

Şimdi solda yalnızca c ifadesinin ve sağda diğer her şeyin olduğundan emin olacağız. Bunu nasıl yaparız? Şöyle: Denklemin her iki tarafını da önce ikiye bölelim (böylece sağdaki üsden kurtuluruz), sonra da her iki tarafı da ikiye böleriz (böylece soldaki sayısal faktörden kurtuluruz). Sonunda şunu elde ederiz:

İnanılmaz! Solda bir ifademiz var, sağda ise basit bir ifademiz var. O zaman hemen şu sonuca varırız

İşte pekiştirmeniz için başka bir örnek:

Onun kısa çözümünü vereceğim (açıklamalarla kendimi fazla rahatsız etmeden), çözümün tüm "inceliklerini" kendiniz anlamaya çalışacağım.

Şimdi kapsanan malzemenin son konsolidasyonuna geçelim. Aşağıdaki sorunları kendiniz çözmeye çalışın. Bunları çözmek için sadece kısa öneriler ve ipuçları vereceğim:

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım: Nerede:
2. Şeklindeki ilk ifadeyi sunalım: , her iki tarafı da bölüp şunu elde edelim
3. , sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür: Şimdi bir ipucu - bu denklemi zaten nerede çözdüğümüze bakın!
4. Nasıl, nasıl, ah, sonra her iki tarafı da böldüğünüzü hayal edin, böylece en basit üstel denklemi elde edersiniz.
5. Parantezlerden çıkarın.
6. Parantezlerden çıkarın.

ÜSSEL DENKLEMLER. ORTA SEVİYE

Bahsedilen ilk makaleyi okuduktan sonra sanırım üstel denklemler nedir ve nasıl çözülür, en basit örnekleri çözmek için gereken minimum bilgiye hakim oldunuz.

Şimdi üstel denklemleri çözmek için başka bir yönteme bakacağım, bu

“yeni bir değişken ekleme yöntemi” (veya değiştirme).Üstel denklemler (sadece denklemler değil) konusundaki çoğu "zor" problemi çözer. Bu yöntem pratikte en sık kullanılan yöntemlerden biridir. Öncelikle konuyu iyice tanımanızı tavsiye ederim.

Adından da anlayacağınız gibi bu yöntemin özü, üstel denkleminizin mucizevi bir şekilde kolayca çözebileceğiniz bir denkleme dönüşmesini sağlayacak bir değişken değişikliği sağlamaktır. Bu çok "basitleştirilmiş denklemi" çözdükten sonra size geriye kalan tek şey "tersine değiştirme" yapmaktır: yani değiştirilenden değiştirilene dönüş. Çok basit bir örnekle az önce söylediklerimizi açıklayalım:

Örnek 1:

Bu denklem, matematikçilerin küçümseyici bir şekilde adlandırdığı gibi, "basit bir ikame" kullanılarak çözülür. Aslında buradaki değişim en bariz olanıdır. Bunu görmek yeterli

Daha sonra orijinal denklem şuna dönüşecektir:

Ayrıca nasıl olduğunu hayal edersek, neyin değiştirilmesi gerektiği kesinlikle açıktır: elbette . O zaman orijinal denklem ne olur? İşte şu:

Köklerini kendi başınıza kolayca bulabilirsiniz: . Şimdi ne yapmalıyız? Orijinal değişkene dönme zamanı geldi. Neyden bahsetmeyi unuttum? Yani: belirli bir dereceyi yeni bir değişkenle değiştirirken (yani bir türü değiştirirken), ilgileneceğim sadece pozitif kökler! Nedenini kendiniz kolayca cevaplayabilirsiniz. Yani sen ve ben ilgilenmiyoruz ama ikinci kök bizim için oldukça uygun:

O zaman nereden.

Cevap:

Gördüğünüz gibi önceki örnekte, yerine geçecek kişi sadece bizden izin istiyordu. Ne yazık ki bu her zaman böyle değildir. Ancak, doğrudan üzücü şeylere gitmeyelim, yerine oldukça basit bir örnek daha vererek pratik yapalım.

Örnek 2.

Büyük olasılıkla bir değişiklik yapmamız gerekeceği açıktır (bu, denklemimizde yer alan kuvvetlerin en küçüğüdür), ancak bir değişiklik yapmadan önce denklemimizin buna "hazırlanması" gerekir, yani: , . Sonra değiştirebilirsiniz, sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi elde ederim:

Ah dehşet: Çözmek için kesinlikle berbat formüllere sahip kübik bir denklem (genel anlamda konuşursak). Ama hemen umutsuzluğa kapılmayalım, ne yapmamız gerektiğini düşünelim. Hile yapmayı önereceğim: "Güzel" bir cevap almak için bunu üçün bir kuvveti şeklinde almamız gerektiğini biliyoruz (bu neden olsun ki, ha?). Denklemin en az bir kökünü tahmin etmeye çalışalım (tahmin etmeye üçün kuvvetleriyle başlayacağım).

İlk tahmin. Kök değil. Ne yazık ki ve ah...

.
Sol taraf eşittir.
Sağ taraf: !
Yemek yemek! İlk kökü tahmin ettim. Artık işler daha da kolaylaşacak!

“Köşe” bölme şemasını biliyor musunuz? Elbette öyle, bir sayıyı diğerine bölerken bunu kullanırsın. Ancak çok az kişi aynı şeyin polinomlarla yapılabileceğini biliyor. Harika bir teorem var:

Benim durumuma uygulanacak olursa, bu bana bunun kalansız bölünebileceğini söylüyor. Bölme nasıl yapılır? İşte nasıl:

Clearly'yi elde etmek için hangi monomial ile çarpmam gerektiğine bakıyorum, sonra:

Sonuçta ortaya çıkan ifadeyi çıkarırsam şunu elde ederim:

Şimdi, elde etmek için neyi çarpmam gerekiyor? Açıkça görülüyor ki, o zaman şunu alacağım:

ve elde edilen ifadeyi tekrar kalan ifadeden çıkarın:

Son adım, kalan ifadeyle çarpmak ve ondan çıkarmaktır:

Yaşasın, bölünme bitti! Özel olarak ne biriktirdik? Elbette: .

Daha sonra orijinal polinomun aşağıdaki açılımını elde ettik:

İkinci denklemi çözelim:

Kökleri vardır:

O halde orijinal denklem:

üç kökü vardır:

Sıfırdan küçük olduğu için elbette son kökü atacağız. Ve ters değiştirmeden sonraki ilk ikisi bize iki kök verecektir:

Cevap: ..

Bu örnekle sizi hiç korkutmak istemedim; bunun yerine, oldukça basit bir ikamemiz olmasına rağmen bunun, çözümü bizden bazı özel beceriler gerektiren oldukça karmaşık bir denkleme yol açtığını göstermekti. Hiç kimse bundan muaf değildir. Ancak bu durumda değiştirme oldukça açıktı.

İşte biraz daha az belirgin bir değişime sahip bir örnek:

Ne yapmamız gerektiği hiç de açık değil: Sorun şu ki, denklemimizde iki farklı taban var ve bir tabanın diğerinden herhangi bir (elbette makul) güce yükseltilmesiyle elde edilememesi. Ancak ne görüyoruz? Her iki taban da yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir ve çarpımları bire eşit kareler farkıdır:

Tanım:

Dolayısıyla örneğimizde taban olan sayılar eşleniktir.

Bu durumda akıllı adım şu olacaktır: Denklemin her iki tarafını eşlenik sayıyla çarpın.

Örneğin, denklemin sol tarafı ve sağ tarafı eşit olacaktır. Eğer bir değişiklik yaparsak orijinal denklemimiz şu şekilde olacaktır:

öyleyse kökleri ve bunu hatırlayarak bunu anlıyoruz.

Cevap: , .

Kural olarak, değiştirme yöntemi çoğu "okul" üstel denklemini çözmek için yeterlidir. Aşağıdaki görevler Birleşik Devlet Sınavı C1'den alınmıştır (artırılmış zorluk seviyesi). Zaten bu örnekleri kendi başınıza çözebilecek kadar okuryazarsınız. Sadece gerekli değişimi yapacağım.

1. Denklemi çözün:
2. Denklemin köklerini bulun:
3. Denklemi çözün: . Bu denklemin segmente ait tüm köklerini bulun:

Şimdi bazı kısa açıklamalar ve cevaplar:

1. Burada şunu belirtmemiz yeterli... O zaman orijinal denklem şuna eşdeğer olacaktır: Bu denklem şu şekilde çözülebilir: Diğer hesaplamaları kendiniz yapın. Sonunda göreviniz basit trigonometrik problemleri çözmeye indirgenecek (sinüs veya kosinüse bağlı olarak). Benzer örneklerin çözümlerine diğer bölümlerde bakacağız.
2. Burada değiştirme yapmadan da yapabilirsiniz: sadece çıkanı sağa hareket ettirin ve her iki tabanı da ikinin kuvvetleriyle temsil edin: ve ardından doğrudan ikinci dereceden denkleme gidin.
3. Üçüncü denklem de oldukça standart bir şekilde çözüldü: nasıl olduğunu hayal edelim. Sonra değiştirerek ikinci dereceden bir denklem elde ederiz: o zaman,

   Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyorsun, değil mi? HAYIR? O halde acilen konuyu okuyun!

   İlk kökün segmente ait olmadığı açık ama ikincisi belirsiz! Ama çok yakında öğreneceğiz! O zamandan beri (bu logaritmanın bir özelliğidir!) Şimdi karşılaştıralım:

   Her iki taraftan da çıkarırsak şunu elde ederiz:

   Sol taraf şu şekilde temsil edilebilir:

   her iki tarafı da şununla çarpın:

   ile çarpılabilir, o zaman

   Sonra karşılaştırın:

   o zamandan beri:

   O halde ikinci kök gerekli aralığa aittir

   Cevap:

Gördüğünüz gibi, Üstel denklemlerin köklerinin seçimi, logaritmanın özellikleri hakkında oldukça derin bir bilgi gerektirir bu yüzden üstel denklemleri çözerken mümkün olduğunca dikkatli olmanızı tavsiye ederim. Anladığınız gibi matematikte her şey birbirine bağlıdır! Matematik öğretmenimin dediği gibi: "Tarih gibi matematik de bir gecede okunamaz."

Kural olarak hepsi C1 problemlerini çözmenin zorluğu tam olarak denklemin köklerinin seçilmesidir. Bir örnekle daha pratik yapalım:

Denklemin kendisinin oldukça basit bir şekilde çözüldüğü açıktır. Bir değişiklik yaparak orijinal denklemimizi aşağıdakine indirgeyebiliriz:

İlk önce ilk köke bakalım. Hadi karşılaştıralım ve: o zamandan beri. (logaritmik fonksiyonun özelliği, at). O zaman ilk kökün bizim aralığımıza ait olmadığı açıktır. Şimdi ikinci kök: . Bu açıktır (çünkü at fonksiyonu artmaktadır). Karşılaştırmak için kalır ve ...

o zamandan beri aynı zamanda. Bu şekilde ve arasında "bir çivi çakabilirim". Bu çivi bir sayıdır. Birinci ifade küçüktür, ikincisi büyüktür. O halde ikinci ifade birinciden büyüktür ve kök aralığa aittir.

Cevap: .

Son olarak, ikamenin oldukça standart dışı olduğu başka bir denklem örneğine bakalım:

Hemen ne yapılabileceğiyle ve prensipte ne yapılabileceğiyle başlayalım, ancak bunu yapmamak daha iyidir. Her şeyi üçün, ikinin ve altının kuvvetleri aracılığıyla hayal edebilirsiniz. Bu neye yol açacak? Hiçbir şeye yol açmayacak: bazılarından kurtulması oldukça zor olacak bir karmakarışık dereceler. O zaman ne gerekiyor? Şunu not edelim: Peki bu bize ne veriyor? Ve bu örneğin çözümünü oldukça basit bir üstel denklemin çözümüne indirgeyebileceğimiz gerçeği! Öncelikle denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Şimdi ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Evreka! Şimdi değiştirebiliriz, şunu elde ederiz:

Şimdi gösteri problemlerini çözme sırası sizde ve yoldan sapmamanız için onlara sadece kısa açıklamalarda bulunacağım! İyi şanlar!

1. En zoru! Burada bir yedek görmek çok zor! Ancak yine de bu örnek kullanılarak tamamen çözülebilir. tam bir kareyi vurgulama. Bunu çözmek için şunu not etmek yeterlidir:

O zaman işte sizin yerinize:

(Lütfen burada değiştirme sırasında negatif kökü atamayacağımızı unutmayın!!! Neden düşünüyorsunuz?)

Şimdi örneği çözmek için yalnızca iki denklemi çözmeniz gerekiyor:

Her ikisi de “standart değiştirme” ile çözülebilir (ancak bir örnekte ikincisi!)

2. Bunu fark edin ve değiştirin.

3. Sayıyı eş asal faktörlere ayırın ve elde edilen ifadeyi basitleştirin.

4. Kesrin payını ve paydasını (veya tercih ederseniz) ile bölün ve yerine veya koyun.

5. ve sayılarının eşlenik olduğuna dikkat edin.

ÜSSEL DENKLEMLER. İLERİ SEVİYE

Ayrıca başka bir yola bakalım - logaritma yöntemini kullanarak üstel denklemleri çözme. Üstel denklemleri bu yöntemle çözmenin çok popüler olduğunu söyleyemem ama yalnızca bazı durumlarda bizi denklemimizin doğru çözümüne götürebilir. Özellikle “” denilen şeyi çözmek için sıklıkla kullanılır. karışık denklemler": yani, farklı türdeki işlevlerin meydana geldiği yerler.

Örneğin, formun bir denklemi:

genel durumda, yalnızca her iki tarafın (örneğin tabana) logaritmaları alınarak çözülebilir; burada orijinal denklem aşağıdakine dönüşecektir:

Aşağıdaki örneğe bakalım:

Logaritmik fonksiyonun ODZ'sine göre sadece ilgilendiğimiz açıktır. Ancak bu sadece logaritmanın ODZ'sinden değil, bir nedenden daha kaynaklanmaktadır. Hangisi olduğunu tahmin etmenizin zor olmayacağını düşünüyorum.

Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım:

Gördüğünüz gibi orijinal denklemimizin logaritmasını almak bizi hızla doğru (ve güzel!) cevaba götürdü. Bir örnekle daha pratik yapalım:

Burada da yanlış bir şey yok: Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım, sonra şunu elde ederiz:

Bir değiştirme yapalım:

Ancak bir şeyi atladık! Nerede hata yaptığımı fark ettiniz mi? Sonuçta, o zaman:

bu gereksinimi karşılamıyor (nereden geldiğini düşünün!)

Cevap:

Aşağıdaki üstel denklemlerin çözümünü yazmaya çalışın:

Şimdi kararınızı şununla karşılaştırın:

1. Aşağıdakileri dikkate alarak her iki tarafı tabana göre logaritalım:

(İkinci kök değişim nedeniyle bize uygun değildir)

2. Tabana göre logaritma:

Ortaya çıkan ifadeyi aşağıdaki forma dönüştürelim:

ÜSSEL DENKLEMLER. KISA AÇIKLAMA VE TEMEL FORMÜLLER

Üstel denklem

Formun denklemi:

isminde en basit üstel denklem.

Derecelerin özellikleri

Çözüm yaklaşımları

• Aynı esasa göre indirim
• Aynı üsse azaltma
• Değişken değiştirme
• İfadeyi basitleştirmek ve yukarıdakilerden birini uygulamak.