41.1. Belirli bir integrali uygulama şemaları
Bağımsız değişken x'teki bir değişim segmentiyle ilişkili bazı geometrik veya fiziksel miktar A'nın (bir şeklin alanı, bir cismin hacmi, dikey bir plaka üzerindeki sıvı basıncı vb.) değerini bulmanın gerekli olmasına izin verin. Bu A miktarının toplamsal olduğu, yani [a; b] [a; kısmı üzerinde є (a; b) olan nokta; s] ve [s; b] A'nın değeri [a'nın tamamına karşılık gelir; b], [a'ya karşılık gelen değerlerinin toplamına eşittir; s] ve [s; B].
Bu A değerini bulmak için iki şemadan birine rehberlik edebilirsiniz: I şeması (veya integral toplamlar yöntemi) ve II şeması (veya diferansiyel yöntemi).
İlk şema belirli bir integralin tanımına dayanmaktadır.
1. x 0 = a, x 1 ,..., x n = b noktalarını kullanarak [a;b] parçasını n parçaya bölün. Buna göre bizi ilgilendiren A miktarı n adet “temel terime” ΔAi (i = 1,...,n) bölünecektir: A = ΔA 1 +ΔA 2 +...+ ΔA n.
2. Her bir “temel terimi”, karşılık gelen parçanın rastgele bir noktasında uzunluğuna göre hesaplanan bir fonksiyonun (problem koşullarından tanımlanan) bir ürünü olarak sunun: ΔA i ≈ ƒ(c i)Δx i.
ΔAi'nin yaklaşık değerini bulurken bazı basitleştirmelere izin verilir: küçük bir alandaki ark, uçlarını daraltan bir kirişle değiştirilebilir; küçük bir alan üzerindeki değişken hız yaklaşık olarak sabit kabul edilebilir, vb.
A miktarının yaklaşık değerini integral toplam biçiminde elde ederiz:
3. Gerekli A değeri integral toplamının limitine eşittir, yani.
Belirtilen "toplam yöntemi", gördüğümüz gibi, integralin sonsuz sayıda sonsuz küçük terimin toplamı olarak temsil edilmesine dayanmaktadır.
Belirli integralin geometrik ve fiziksel anlamını açıklığa kavuşturmak için Şema I kullanıldı.
İkinci şema biraz değiştirilmiş bir şema I'dir ve "diferansiyel yöntem" veya "sonsuz küçük yüksek dereceleri atma yöntemi" olarak adlandırılır:
1) [a;b] segmentinde keyfi bir x değeri seçiyoruz ve değişken segmenti [a; X]. Bu parçada, A miktarı x'in bir fonksiyonu haline gelir: A = A(x), yani, istenen A miktarının bir kısmının bilinmeyen bir A(x) fonksiyonu olduğunu varsayarız; burada x є, denklemin parametrelerinden biridir. A miktarı;
2) x küçük bir miktarda değiştiğinde ΔA artışının ana kısmını buluruz Δx = dx, yani A = A(x) fonksiyonunun dA diferansiyelini buluruz: dA = ƒ(x) dx, burada ƒ(x) ), problem koşullarından belirlenen, x değişkeninin bir fonksiyonu (burada çeşitli basitleştirmeler de mümkündür);
3) Δx → 0 için dA ≈ ΔA olduğunu varsayarak, dA'yı a'dan b'ye kadar olan aralıkta entegre ederek istenen değeri buluruz:
41.2. Düzlem figürlerin alanlarının hesaplanması
Dikdörtgen koordinatlar
Daha önce de belirtildiği gibi (bkz. "Belirli bir integralin geometrik anlamı"), x ekseninin "yukarısında" bulunan eğrisel bir yamuğun alanı (ƒ(x) ≥ 0), karşılık gelen belirli integrale eşittir:
Formül (41.1), şema I - toplamlar yöntemi uygulanarak elde edildi. Şema II'yi kullanarak formül (41.1)'i gerekçelendirelim. Eğri yamuğun y = ƒ(x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 çizgileriyle sınırlandığını varsayalım (bkz. Şekil 174).
Bu yamuğun S alanını bulmak için aşağıdaki işlemleri yaparız:
1. Rasgele bir x О [a; b] ve S = S(x) olduğunu varsayacağız.
2. x argümanına bir artış Δx = dx (x + Δx є [a; b]) verelim. S = S(x) fonksiyonu, “temel eğrisel yamuğun” alanı olan ΔS artışını alacaktır (şekilde vurgulanmıştır).
Alan farkı dS, Δx'teki ΔS artışının ana kısmıdır. → 0 ve açıkçası, tabanı dx ve yüksekliği y olan bir dikdörtgenin alanına eşittir: dS = y dx.
3. Ortaya çıkan eşitliği x = a ile x = b aralığında entegre ederek şunu elde ederiz:
Kavisli bir yamuğun Öküz ekseninin "altında" bulunması durumunda (ƒ(x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
Formüller (41.1) ve (41.2) tek bir formülde birleştirilebilir:
y = fι(x) ve y = ƒг(x) eğrileri, x = a ve x = b düz çizgileriyle sınırlanan bir şeklin alanı (ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x) sağlanır) (bkz. Şekil 1). 175) , formül kullanılarak bulunabilir
Düz bir şekil "karmaşık" bir şekle sahipse (bkz. Şekil 176), halihazırda bilinen formüllerin uygulanabilmesi için Oy eksenine paralel düz çizgilerle parçalara bölünmelidir.
Eğrisel bir yamuk, y = c ve y = d düz çizgileriyle, Oy ekseniyle ve sürekli bir x = φ(y) ≥ 0 eğrisiyle sınırlıysa (bkz. Şekil 177), alanı aşağıdaki formülle bulunur: 
Ve son olarak, eğer kavisli bir yamuk parametrik olarak tanımlanan bir eğri ile sınırlanıyorsa
düz çizgiler x = aix = b ve Ox ekseni ise alanı formülle bulunur
burada a ve β, x(a) = a ve x(β) = b eşitliklerinden belirlenir.
Örnek 41.1. Şeklin Ox ekseniyle sınırlanan alanını ve x є için y = x 2 - 2x fonksiyonunun grafiğini bulun.
Çözüm: Şekil, Şekil 178'deki forma sahiptir. S alanını bulun:
Örnek 41.2. Elips x = a cos t, y = b sin t ile sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.
Çözüm: Önce S alanının 1/4'ünü bulalım. Burada x 0'dan a'ya değişir, dolayısıyla t 0'dan 0'a değişir (bkz. Şekil 179). Bulduk:
Böylece . Bu S = π аВ anlamına gelir.
Kutupsal koordinatlar
Eğrisel bir sektörün, yani sürekli bir r=r(φ) çizgisi ve iki φ=a ve φ=β (a) ışınıyla sınırlanan düz bir şeklin S alanını bulalım.< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - diferansiyel yöntem.
1. İstenilen S alanının bir kısmını φ açısının bir fonksiyonu olarak ele alacağız, yani S = S(φ), burada a ≤
φ ≤
β (eğer φ = a ise S(a) = 0, eğer φ=β ise S(β) = S).
2. Mevcut kutup açısı φ bir Δφ = dφ artışı alırsa, o zaman AS alanındaki artış “temel eğrisel sektör” OAB alanına eşittir.
Diferansiyel dS, dφ'deki ΔS artışının ana kısmını temsil eder →
0 ve dφ merkez açısına sahip r yarıçapının dairesel O AC sektörünün (şekilde gölgeli) alanına eşittir. Bu yüzden 
3. Ortaya çıkan eşitliği φ = a ila φ = β aralığında entegre ederek gerekli alanı elde ederiz
Örnek 41.3. “Üç yapraklı gül” r=acos3φ ile sınırlanan şeklin alanını bulun (bkz. Şekil 181).
Çözüm: Önce “gülün” bir yaprağının yarısının, yani şeklin toplam alanının 1/6’sının alanını bulalım:
yani. Bu nedenle,
Düz bir şekil “karmaşık” bir şekle sahipse, direkten çıkan ışınlar onu alanı bulmak için ortaya çıkan formülün uygulanması gereken eğrisel sektörlere bölmeli. Yani, Şekil 182'de gösterilen şekil için elimizde:
41.3. Bir düzlem eğrinin yay uzunluğunun hesaplanması
Dikdörtgen koordinatlar
Denklemi y=ƒ(x) olan ve a≤x≤ b olan bir AB düzlem eğrisinin dikdörtgen koordinatlarda verilebileceğini varsayalım.
AB yayının uzunluğu, bu yayın içine yazılan kesikli çizginin uzunluğunun, kesikli çizginin bağlantı sayısı süresiz olarak arttığında ve en büyük bağlantısının uzunluğu sıfıra düştüğünde yöneldiği sınır olarak anlaşılır. y=ƒ(x) fonksiyonu ve onun türevi y" = ƒ"(x)'in [a; b], o zaman AB eğrisinin uzunluğu şuna eşittir:
Şema I'i (toplam yöntemini) uygulayalım.
1. Noktalar x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =
2. Bir akorun uzunluğu (veya kesikli bir çizginin bağlantısı) ΔL 1, bacakları Δx i ve Δу i olan bir üçgenden Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir:
Lagrange teoremine göre Δу i =ƒ"(с i) Δх i fonksiyonunun sonlu artışına ilişkin, burada ci є (x i-1;x i). Dolayısıyla
ve tüm kesikli çizginin uzunluğu M 0 M 1 ... M n eşittir
3.Uzunluk ben AB eğrisi tanım gereği eşittir
.
ΔL i için şunu unutmayın →
0 ayrıca Δx ben →
0 ΔLi = 
ve dolayısıyla |Δx i |<ΔL i).
İşlev 
[a; b], çünkü koşul gereği, ƒ"(x) fonksiyonu süreklidir. Sonuç olarak, maksimum Δx i olduğunda integral toplamının (41.4) bir limiti vardır. →
0
:
Böylece, 
veya kısaltılmış haliyle ben =
AB eğrisinin denklemi parametrik biçimde verilirse
burada x(t) ve y(t) sürekli türevli sürekli fonksiyonlardır ve x(a) = a, x(β) = b, bu durumda uzunluk ben AB eğrisi şu formülle bulunur:
Formül (41.5), formül (41.3)'ten x = x(t),dx = x"(t)dt değiştirilerek elde edilebilir, 
Örnek 41.4. R yarıçaplı bir dairenin çevresini bulun. 
Çözüm: (0;R) noktasından (R;0) noktasına kadar uzunluğunun 1/4'ünü bulalım (bkz. Şekil 184). Çünkü 
O
Araç, ben= 2π R. Bir dairenin denklemi parametrik formda yazılırsa x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π ), o zaman
Yay uzunluğunun hesaplanması diferansiyel yöntemin uygulanmasına dayanabilir. Şema II (diferansiyel yöntem) uygulanarak formül (41.3)'ün nasıl elde edilebileceğini gösterelim.
1. Rastgele bir değer alın x є [a; b] ve [a;x] değişken parçasını düşünün. Üzerindeki boyut ben x'in bir fonksiyonu haline gelir, yani ben = ben(X) ( ben(a) = 0 ve ben(b) = ben).
2. Farkı bulun dl işlevler ben = ben(x) x küçük bir miktar değiştiğinde Δx = dx: dl = ben"(x)dx. Hadi bulalım ben"(x), sonsuz küçük MN yayının Δ kirişiyle değiştirilmesi ben, bu yayı daraltıyor (bkz. Şekil 185):
3. dl'yi a'dan b'ye kadar olan aralıkta integre edersek, şunu elde ederiz: 
Eşitlik 
dikdörtgen koordinatlarda yay diferansiyel formülü denir.
y" x = -dy/dx olduğundan, o zaman
Son formül, sonsuz küçük MST üçgeni için Pisagor teoremidir (bkz. Şekil 186).
Kutupsal koordinatlar
AB eğrisi kutupsal koordinatlar r = r(φ), a≤φ≤β cinsinden denklemle verilsin.
r(φ) ve r"(φ)'nin [a;β] aralığında sürekli olduğunu varsayalım.
Kutupsal ve Kartezyen koordinatları bağlayan x = rcosφ, y = rsinφ eşitliklerinde φ açısı bir parametre olarak kabul edilirse, AB eğrisi parametrik olarak belirtilebilir
Formül (41.5)'i uygulayarak şunu elde ederiz:
Örnek 41.5. Kardioidin uzunluğunu bulun r = = a(1 + cosφ).
Çözüm: Kardioid r = a(1 + cosφ) Şekil 187'de gösterilen forma sahiptir. Kutupsal eksene göre simetriktir. Kardioidin uzunluğunun yarısını bulalım:
Böylece 1/2l= 4a olur. Bu l=8a anlamına gelir.
41.4. Vücut hacminin hesaplanması
Paralel bölümlerin bilinen alanlarından bir cismin hacminin hesaplanması
1. Rasgele bir x є noktası boyunca Ox eksenine dik bir ∏ düzlemi çizeriz (bkz. Şekil 188). Bu düzlemle cismin kesit alanını S(x) ile gösterelim; S(x)'in bilindiği ve x değiştikçe sürekli değiştiği kabul edilir. v(x) cismin P düzleminin solunda kalan kısmının hacmini göstersin. [a; x] v değeri x'in bir fonksiyonudur, yani v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. v = v(x) fonksiyonunun diferansiyel dV'sini bulun. Bu, yaklaşık olarak tabanı S(x) ve yüksekliği dx olan bir silindir olarak alınabilecek, Ox eksenini x ve x+Δx noktalarında kesen paralel düzlemler arasında çevrelenmiş, vücudun bir “temel katmanını” temsil eder. Bu nedenle hacim farkı dV = S(x) dx.
3. dA'yı a'dan B'ye kadar olan aralıkta entegre ederek istenen V değerini bulun:
Ortaya çıkan formüle, paralel bölümlerin alanına göre bir cismin hacminin formülü denir.
Örnek 41.6. Elipsoidin hacmini bulun 
Çözüm: Elipsoidin Oyz düzlemine paralel ve ondan x kadar uzakta (-a) bir düzlemle kesilmesi ≤х≤ a), bir elips elde ederiz (bkz. Şekil 189):
Bu elipsin alanı 
Bu nedenle, formül (41.6)'ya göre, elimizde
Dönen bir cismin hacmi
Eğri bir yamuğun, sürekli bir y = ƒ(x) 0 çizgisi, a ≤ x ≤ b parçası ve x = a ve x = b düz çizgileriyle sınırlanan Ox ekseni etrafında dönmesine izin verin (bkz. Şekil 190). Döndürme sonucu elde edilen şekle devrim gövdesi denir. Bu cismin Ox eksenine dik bir düzlemle kesiti, Ox ekseninin rastgele bir x noktasından çizilir (x Î [A; b]), yarıçapı y= ƒ(x) olan bir çember vardır. π Bu nedenle S(x)=
ve 2.
Paralel bölümlerin alanına göre bir cismin hacmi için formül (41.6) uygulayarak şunu elde ederiz:
Eğrisel bir yamuk sürekli bir x = φ(y) ≥ 0 fonksiyonunun grafiği ve x = 0, y = c düz çizgileriyle sınırlıysa,< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен
y = d (c
Örnek 41.7. Oy ekseni etrafında çizgilerle sınırlanan bir şeklin dönmesiyle oluşan cismin hacmini bulun (bkz. Şekil 191).
Çözüm: (41.8) formülünü kullanarak şunu buluruz:
41.5. Devrimin yüzey alanının hesaplanması
AB eğrisinin, x є [a;b] olduğu y = ƒ(x) ≥ 0 fonksiyonunun bir grafiği olduğunu ve y = ƒ(x) fonksiyonunun ve onun türevi y"=ƒ"(x)'nin sürekli olduğunu varsayalım. bu segmentte.
AB eğrisinin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin S alanını bulalım.
Şema II'yi (diferansiyel yöntem) uygulayalım.
2. x argümanına Δх = dx'lik bir artış verelim. x + dx є [a; b] ayrıca Ox eksenine dik bir düzlem çiziyoruz. s=s(x) fonksiyonu, şekilde "kayış" olarak gösterilen Az artışını alacaktır.
Kesitler arasında oluşan şeklin generatrisi şuna eşit olan kesik koni ile değiştirerek ds alanının diferansiyelini bulalım. dl ve tabanların yarıçapları y ve y + dy'ye eşittir. Yan yüzeyinin alanı ds= π (y+y+ ölmek) dl=2π en dl + π dydl. π en dl Dydl çarpımını ds'den daha yüksek dereceden sonsuz küçük bir sayı olarak reddedersek, ds=2 elde ederiz.
veya o zamandan beri
3. Ortaya çıkan eşitliği x = a ile x = b aralığında entegre ederek şunu elde ederiz:
AB eğrisi x = x(t),y=y(t), t 1 ≤ t ≤ t 2 parametrik denklemleri ile verilirse, dönme yüzeyinin alanı için formül (41.9) formu alır
Örnek 41.8. R yarıçaplı bir topun yüzey alanını bulun.
Örnek 41.9. Bir sikloid verildiğinde
Ox ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan yüzey alanını bulun.
Çözüm: Sikloid yayın yarısı Ox ekseni etrafında döndüğünde, dönme yüzey alanı şuna eşittir:
41.6. Belirli integralin mekanik uygulamaları
Değişken kuvvet çalışması< b), находится по формуле (см. п. 36).
Malzeme noktası M'nin, bu eksene paralel yönlendirilmiş F = F(x) değişken kuvvetinin etkisi altında Ox ekseni boyunca hareket etmesine izin verin. M noktasını x = a konumundan x = b konumuna hareket ettirirken bir kuvvetin yaptığı iş (a
Örnek 41.10 Eğer 100 N'luk bir kuvvet yayı 0,01 m esnetirse, yayı 0,05 m esnetmek için ne kadar iş yapılmalıdır?
Çözüm: Hooke yasasına göre yayı geren elastik kuvvet bu x uzamasıyla orantılıdır, yani F = kx, burada k orantı katsayısıdır. Problemin koşullarına göre, F = 100 N'luk bir kuvvet, yayı x = 0,01 m kadar uzatır; dolayısıyla 100 = k*0,01, dolayısıyla k = 10000;
dolayısıyla F = 10000x.
Formül (41.10)'a göre gerekli iş eşittir
Örnek 41.11. Yüksekliği N m ve taban yarıçapı R m olan dikey silindirik bir tanktan sıvıyı kenardan pompalamak için gereken işi bulun.
Çözüm: Ağırlığı p olan bir cismi h yüksekliğine kaldırmak için yapılması gereken iş, pH h'ye eşittir. Ancak rezervuardaki farklı sıvı katmanları farklı derinliklerdedir ve farklı katmanların yükselme yüksekliği (haznenin kenarına kadar) aynı değildir.< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).
2. X, Δx = dx kadar değiştiğinde ΔA artışının ana kısmını buluruz, yani A(x) fonksiyonunun dA diferansiyelini buluruz.
Dx'in küçüklüğü nedeniyle, "temel" sıvı katmanının aynı x derinliğinde (rezervuarın kenarından) bulunduğunu varsayıyoruz (bkz. Şekil 193). O zaman dA = dp*x, burada dp bu katmanın ağırlığıdır; g *g dv'ye eşittir, burada g yerçekimi ivmesidir, g sıvının yoğunluğudur, dv "temel" sıvı katmanının hacmidir (şekilde vurgulanmıştır), yani. dp = gg dv. Belirtilen sıvı katmanının hacmi açıkça eşittir π R 2 dx, burada dx silindirin (katman) yüksekliğidir, π R2 tabanının alanıdır, yani. dv= π R 2 dx.
Yani dp=gg π R 2 dx ve dA = gg π R 2 dx*x.
3) Ortaya çıkan eşitliği x = 0 ila x = H aralığında entegre ederek şunu buluruz:
Vücudun kat ettiği yol
Maddesel bir noktanın v=v(t) değişken hızıyla düz bir çizgide hareket etmesine izin verin. S'nin t 1'den t 2'ye kadar olan zaman aralığında kat ettiği yolu bulalım.
Çözüm: Türevin fiziksel anlamından, bir nokta bir yönde hareket ettiğinde “doğrusal hareketin hızının yolun zamana göre türevine eşit olduğu” bilinmektedir, yani dS = v(t)dt olur. Ortaya çıkan eşitliği t 1 ila t 2 aralığında entegre ederek şunu elde ederiz: 
Belirli bir integralin uygulanması için aynı formülün şema I veya II kullanılarak elde edilebileceğini unutmayın.
Örnek 41.12. Cismin hızı v(t) = 10t + 2 (m/s) ise, hareketin başlangıcından itibaren 4 saniyede cismin kat ettiği yolu bulun.
Çözüm: v(t)=10t+2 (m/s) ise cismin hareketin başlangıcından (t=0) 4. saniyenin sonuna kadar kat ettiği yol eşittir
Dikey bir plaka üzerindeki sıvı basıncı
Pascal yasasına göre, bir sıvının yatay bir plaka üzerindeki basıncı, tabanı plaka olan bu sıvı kolonunun ağırlığına eşittir ve yüksekliği, sıvının serbest yüzeyinden dalma derinliğidir. , yani P = g*g* S* h, burada g yerçekiminin ivmesidir, g sıvının yoğunluğudur, S plakanın alanıdır, h daldırma derinliğidir.
Bu formülü kullanarak, dikey olarak daldırılmış bir plaka üzerindeki sıvı basıncını aramak imkansızdır çünkü farklı noktaları farklı derinliklerde yer alır.
Bir plakanın x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) ve y 2 = ƒ 2 (x) çizgileriyle sınırlanmış bir sıvıya dikey olarak daldırıldığını varsayalım;
koordinat sistemi Şekil 194'te gösterildiği gibi seçilir. Bu plaka üzerindeki akışkan basıncını P bulmak için şema II'yi (diferansiyel yöntem) uygularız.
2. x argümanına Δх = dx'lik bir artış verelim. p(x) fonksiyonu bir Δр artışı alacaktır (şekilde dx kalınlığında bir şerit katmanı vardır). Bu fonksiyonun diferansiyel dp'sini bulalım. Dx'in küçüklüğü nedeniyle, şeridi yaklaşık olarak tüm noktaları aynı x derinliğinde olan bir dikdörtgen olarak kabul edeceğiz, yani bu plaka yataydır.
O zaman Pascal kanununa göre 
3. Ortaya çıkan eşitliği x = a ile x = B aralığında entegre ederek şunu elde ederiz:
Örnek 41.13.
Yarıçapı R ve O merkezi suyun serbest yüzeyindeyse, sıvıya dikey olarak daldırılmış bir yarım daire üzerindeki su basıncı miktarını belirleyin (bkz. Şekil 195). 
Bu sistemin eksene göre statik momenti S y benzer şekilde belirlenir.
Eğer kütleler bir eğri boyunca sürekli olarak dağılıyorsa, statik momenti ifade etmek için integrale ihtiyaç duyulacaktır.
AB malzeme eğrisinin denklemi y = ƒ(x) (a≤ x≤ b) olsun. Sabit doğrusal yoğunluk g (g = sabit) ile homojen olduğunu düşüneceğiz.
Keyfi x є [a; b] AB eğrisi üzerinde koordinatları (x;y) olan bir nokta vardır. (x;y) noktasını içeren eğri üzerinde dl uzunluğunda bir temel kesit seçelim. O zaman bu bölümün kütlesi g dl'ye eşittir.
Bu dl kesitini yaklaşık olarak Ox ekseninden y uzaklıkta bulunan bir nokta olarak alalım. O zaman statik moment dS x'in ("temel moment") diferansiyeli g dly'ye eşit olacaktır, yani. dS x = g dly (bkz. Şekil 196).
Buradan AB eğrisinin Ox eksenine göre statik momentinin (Sx) şuna eşit olduğu sonucu çıkar:
Benzer şekilde S y'yi de buluruz:
Eğrinin statik momentleri S x ve S y, ağırlık merkezinin (kütle merkezi) konumunu belirlemeyi kolaylaştırır. 
Malzeme düzlemi eğrisi y = ƒ(x), x Î'nin ağırlık merkezi, düzlem üzerinde aşağıdaki özelliğe sahip bir noktadır: belirli bir eğrinin tüm kütlesi m bu noktada yoğunlaşmışsa, o zaman statik moment herhangi bir koordinat eksenine göre bu nokta, tüm eğrinin y = ƒ (x) aynı eksene göre statik momentine eşit olacaktır. AB eğrisinin ağırlık merkezini C(x c;y c) ile gösterelim.
Ağırlık merkezinin tanımından eşitlikler takip eder
Buradan
Düzlemsel bir figürün ağırlık merkezinin statik momentlerinin ve koordinatlarının hesaplanması 
y = ƒ(x) 0 eğrisi ve y = 0, x = a, x = b düz çizgileriyle sınırlanan, maddi bir düz şekil (levha) verilsin (bkz. Şekil 198).
O halde kütlesi g ydx'e eşittir. Bir dikdörtgenin ağırlık merkezi C, dikdörtgenin köşegenlerinin kesişim noktasındadır. Bu C noktası, Ox ekseninden 1/2*y uzaklıkta ve Oy ekseninden x uzaklıkta (yaklaşık olarak; daha kesin olarak, x+ 1/2 ∆x mesafesinde) bulunur. O halde Ox ve Oy eksenlerine göre temel statik momentler için aşağıdaki ilişkiler sağlanır:
Yani ağırlık merkezinin koordinatları vardır
1. Düz bir şeklin alanı.
Negatif olmayan bir fonksiyonla sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı f(x), x ekseni ve düz çizgiler x = bir, x = b, S = ∫ a b f x d x olarak tanımlanır.
Kavisli bir yamuğun alanı
Bir fonksiyonun sınırladığı bir şeklin alanı f(x) apsis ekseniyle kesişen, şu formülle belirlenir: S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x ben - 1 x ben f x d x - ∑ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x ben– fonksiyonun sıfırları. Başka bir deyişle, bu rakamın alanını hesaplamak için segmenti bölmeniz gerekir. fonksiyon sıfırları f(x) parçalara ayırın, işlevi entegre edin F Ortaya çıkan sabit işaretli aralıkların her biri için, fonksiyonun üzerinde olduğu bölümler üzerindeki integralleri ayrı ayrı toplayın. F farklı işaretler alır ve ikinciyi birinciden çıkarırız.
2. Kavisli sektörün alanı.
Eğrisel bir sektörün alanı Eğriyi düşünün ρ = ρ (φ) kutupsal koordinat sisteminde, burada ρ (φ) – sürekli ve negatif olmayan [α; β] işlev. Bir eğriyle sınırlanmış şekil ρ (φ) ve ışınlar φ = α , φ = β , eğrisel sektör olarak adlandırılır. Eğrisel sektörün alanı S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .
3. Dönen cismin hacmi.
Dönen bir cismin hacmi
Cismin, segment üzerinde sürekli bir çizgiyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun OX ekseni etrafında dönmesiyle oluşturulmuş olsun. işlev f(x). Hacmi V = π ∫ a b f 2 x d x formülüyle ifade edilir.
Bir cismin kesit alanından hacmini bulma problemine Vücudun düzlemler arasında kalmasına izin verin x = bir Ve x = b ve noktadan geçen düzlemin kesit alanı X, – segmentte sürekli işlev σ(x). O halde hacmi V = ∫ a b σ x d x'e eşittir.
4. Eğrinin yayının uzunluğu.
r → t = x t , y t , z t eğrisi verilsin. Daha sonra kesitinin uzunluğu değerlerle sınırlandırılır. t = α Ve t = β S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt formülüyle ifade edilir.
Bir düzlem eğrinin yay uzunluğu Özellikle koordinat düzleminde tanımlanan bir düzlem eğrinin uzunluğu OKSİ denklem y = f(x), a ≤ x ≤ b, S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx formülüyle ifade edilir.
5. Dönme yüzey alanı.
Dönme yüzey alanı Yüzeyin, fonksiyon grafiğinin OX eksenine göre rotasyonla tanımlanmasına izin verin y = f(x), a ≤ x ≤ b ve işlev F bu aralıkta sürekli bir türevi vardır. Daha sonra devrim yüzeyinin alanı Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x formülüyle belirlenir.
Ders 21 Belirli İntegrallerin Uygulamaları (2 saat)
Geometrik Uygulamalar
A) Şeklin alanı
Ders 19'da belirtildiği gibi, eğri tarafından sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanına sayısal olarak eşittir en = F(X), dümdüz X = A, X = B ve segment [ A, B] OX ekseni. Üstelik eğer F(X) £ 0 üzerinde [ A, B] ise integral eksi işaretiyle alınmalıdır.
Belirli bir aralıkta ise fonksiyon en = F(X) işaretini değiştirirse, daha sonra bu fonksiyonun grafiği ile OX ekseni arasında yer alan şeklin alanını hesaplamak için, parçayı her biri fonksiyonun işaretini koruduğu parçalara bölmeli ve alanını bulmalısınız. şeklin her bir parçası. Bu durumda gerekli alan, bu bölümler üzerindeki integrallerin cebirsel toplamıdır ve fonksiyonun negatif değerlerine karşılık gelen integraller bu toplamda eksi işaretiyle alınır.
Bir şekil iki eğriyle sınırlanmışsa en = F 1 (X) Ve en = F 2 (X), F 1 (X)£ F 2 (X), daha sonra, Şekil 9'dan aşağıdaki gibi, alanı eğrisel yamukların alanlarındaki farka eşittir. A Güneş B Ve A Reklam B, her biri sayısal olarak integrale eşittir. Araç,
 |
Şekil 10a'da gösterilen şeklin alanının aynı formül kullanılarak bulunduğunu unutmayın: S = 
(kanıtla!). Şekil 10b'de gösterilen şeklin alanını nasıl hesaplayacağınızı mı düşünüyorsunuz?
Sadece OX eksenine bitişik eğrisel yamuklardan bahsediyorduk. Ancak benzer formüller OU eksenine komşu olan şekiller için de geçerlidir. Örneğin Şekil 11'de gösterilen şeklin alanı formülle bulunur.
Bırak çizgi sen=F(X), kavisli bir yamuğu sınırlayan parametrik denklemlerle verilebilir, TО ve j(a)= A, j(b) = B, yani en= . O zaman bu eğrisel yamuğun alanı şuna eşittir:
.
B) Eğri yay uzunluğu
Eğri verilsin en = F(X). Bu eğrinin değişime karşılık gelen yayını ele alalım. X segmentte [ A, B] Bu yayın uzunluğunu bulalım. Bunu yapmak için AB yayını ikiye böleriz. N A = M 0, M 1, M 2, ..., M noktalarına göre parçalar N= B (Şekil 14), noktalara karşılık gelir X 1 , X 2 , ..., xn Î [ A, B].
 |
D'yi gösterelim ben ben yay uzunluğu, o zaman ben= . Yay uzunlukları D ise ben ben yeterince küçükse, M noktalarını bağlayan karşılık gelen bölümlerin uzunluklarına yaklaşık olarak eşit kabul edilebilirler. Ben-1,M Ben. Bu noktaların koordinatları M'dir. Ben -1 (x ben -1, F (x ben-1)) M Ben(x ben, F(x ben)). O zaman sırasıyla bölümlerin uzunlukları eşittir
Burada Lagrange formülü kullanılır. Hadi koyalım x ben – x ben-1 =D x ben, alıyoruz
Daha sonra ben = 
, Neresi
ben = 
.
Böylece eğrinin yay uzunluğu en = F(X), değişikliğe karşılık gelen X segmentte [ A, B], formülle bulunur
ben = 
, (1)
Eğri parametrik olarak belirtilirse, TО, yani sen(T) = F(X(T))), o zaman formül (1)'den şunu elde ederiz:
ben= 
.
Bu, eğer bir eğri parametrik olarak verilirse, bu eğrinin yayının uzunluğunun değişime karşılık geldiği anlamına gelir. TО, formülle bulunur
V) Bir devrim gövdesinin hacmi.
|
Kavisli bir yamuk düşünün A AB B, bir çizgiyle sınırlanmış en = F(X), dümdüz X = A, X = B ve segment [ A,B] OX ekseni (Şek. 15). Bu yamuğun OX ekseni etrafında dönmesine izin verin, sonuç bir dönüş gövdesi olacaktır. Bu cismin hacminin eşit olacağı kanıtlanabilir 
Benzer şekilde, fonksiyonun grafiğiyle sınırlı olarak eğrisel bir yamuğun OU ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacminin formülünü türetebiliriz. X= j( en), dümdüz sen = C , sen = D ve segment [ C,D] op-amp'in ekseni (Şekil 15):
Belirli integralin fiziksel uygulamaları
Ders 19'da fiziksel açıdan integralin sayısal olarak doğrusal, ince homojen olmayan uzunluktaki bir çubuğun kütlesine eşit olduğunu kanıtladık. ben= B – A, değişken doğrusal yoğunluk ile r = F(X), F(X) ³ 0, burada X– Çubuğun ucundan sol ucuna kadar olan mesafe.
Belirli integralin diğer fiziksel uygulamalarını ele alalım.
Sorun 1. Yüksekliği H ve taban yarıçapı R olan dikey silindirik bir tanktan yağı pompalamak için gereken işi bulun. Petrolün yoğunluğu r'dir.
Çözüm. Bu problemin matematiksel bir modelini oluşturalım. OX ekseninin yüksekliği H ve yarıçapı R olan bir silindirin simetri ekseni boyunca geçmesine izin verin; başlangıç noktası silindirin üst tabanının merkezindedir (Şekil 17). Silindiri ikiye bölelim N küçük yatay parçalar. O zaman nerede bir ben– pompalama işi Ben katman. Silindirin bu bölümü, katman yüksekliğindeki değişim bölümünün aşağıdakilere bölünmesine karşılık gelir: N parçalar. Uzakta bulunan bu katmanlardan birini düşünelim x ben yüzeyden itibaren genişlik D X(veya hemen dx). Bu katmanın dışarı pompalanması, katmanın belirli bir yüksekliğe "yükseltilmesi" olarak düşünülebilir. x ben.
O zaman bu katmanı dışarı pompalamak için yapılan iş eşittir
bir ben"P ben x ben, 
,
nerede P Ben=rgV Ben= rgpR2 dx, R Ben– ağırlık, V Ben– katmanın hacmi. Daha sonra bir ben" R ben x ben= rgpR2 dx.x ben, Neresi
ve bu nedenle 
.
Sorun 2. Eylemsizlik momentini bulun
a) simetri ekseninden geçen bir eksene göre içi boş, ince duvarlı bir silindir;
b) simetri ekseninden geçen bir eksene göre katı bir silindir;
c) ince uzunlukta bir çubuk ben ortasından geçen bir eksene göre;
d) ince çubuk uzunluğu ben sol ucundan geçen bir eksene göre.
Çözüm. Bilindiği gibi bir noktanın eksene göre eylemsizlik momenti şuna eşittir: J=bay 2 ve nokta sistemleri.
a) Silindir ince duvarlıdır, yani duvar kalınlığı ihmal edilebilir. Silindirin tabanının yarıçapı R, yüksekliği H ve duvarlardaki kütle yoğunluğu r'ye eşit olsun.
Silindiri ikiye bölelim N parçalar ve nerede olduğunu bulun Ji ben– eylemsizlik momenti Ben bölümün inci elemanı.
düşünelim Ben bölümün inci elemanı (sonsuz küçük silindir). Bütün noktaları eksenden R kadar uzaktadır ben. Bu silindirin kütlesi olsun ben, Daha sonra ben= rV Ben» RS taraf= 2prR dx ben, Nerede x ben O. Daha sonra Ji ben» R 2 prR dx ben, Neresi
.
Eğer r bir sabit ise, o zaman J= 2prR 3 N ve silindirin kütlesi M = 2prRН'ye eşit olduğundan, o zaman J=MR2.
b) Silindir katıysa (doluysa), o zaman onu ikiye böleriz N vlo birbirine bağlı ince silindirler. Eğer N Büyük olduğundan bu silindirlerin her biri ince duvarlı sayılabilir. Bu bölüm, segmentin aşağıdaki bölümlere ayrılmasına karşılık gelir: N R noktalı parçalar Ben. Kütleyi bulalım Ben ince duvarlı silindir: ben= rV Ben, Nerede
V Ben= pR Ben 2 H – pr Ben- 1 2 H = pH(R Ben 2 –R Ben -1 2) =
PH(R) Ben-R Ben-1)(R Ben+R Ben -1).
Silindir duvarlarının ince olması nedeniyle R olduğunu varsayabiliriz. Ben+R Ben-1 » 2R Ben ve R Ben-R Ben-1 = DR Ben, sonra V Ben» pH2R Ben Dr. Ben, Neresi ben» rpН×2R Ben Dr. Ben,
Sonra nihayet 
c) Uzunluğunda bir çubuk düşünün ben kütle yoğunluğu r'ye eşit olan . Dönme ekseninin ortasından geçmesine izin verin.
Çubuğu OX ekseninin bir parçası olarak modelliyoruz, ardından çubuğun dönme ekseni OU ekseni oluyor. Temel bir segmenti ele alalım, kütlesi, eksene olan mesafesi yaklaşık olarak eşit kabul edilebilir ben mi= x ben. O zaman bu bölümün atalet momenti eşittir, dolayısıyla tüm çubuğun atalet momenti eşittir 
. Çubuğun kütlesinin eşit olduğunu düşünürsek,
d) Şimdi dönme ekseninin çubuğun sol ucundan geçmesine izin verin, yani. Çubuğun modeli OX ekseninin bir parçasıdır. Daha sonra benzer şekilde, ben mi= x ben, , Neresi 
ve o zamandan beri.
Görev 3. Yoğunluğu r olan bir sıvının bacakları olan bir dik üçgen üzerindeki basınç kuvvetini bulun A Ve B, bacak sıvıya dikey olarak daldırılır, böylece bacak A sıvının yüzeyinde bulunur.
Çözüm.
Sorunun bir modelini oluşturalım. Üçgenin dik açısının tepe noktası orijinde olsun, bacak A OU ekseninin bir bölümü ile çakışır (OU ekseni sıvının yüzeyini belirler), OX ekseni aşağıya doğru yönlendirilir, bacak B bu eksenin bir bölümü ile çakışmaktadır. Bu üçgenin hipotenüsü şu denkleme sahiptir: veya.
Yatay bir alan bölgesinde ise bilinmektedir. S yoğunluğu r olan bir sıvıya batırılan bir cisim, yüksekliğinde bir sıvı sütunu tarafından bastırılır. H ise basınç kuvveti eşittir (Pascal yasası). Bu yasayı kullanalım.
Yukarıda bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı y=f(x), sol ve sağ - düz x=a Ve x=b buna göre, aşağıdan - eksen Öküz, formülle hesaplanır
Sağda bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı x=φ(y), üstünde ve altında - düz y=d Ve y=c buna göre solda - eksen oy:
Yukarıda bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir şeklin alanı y 2 =f 2 (x), aşağıda - fonksiyon grafiği y 1 =f 1 (x), sol ve sağ - düz x=a Ve x=b:
Fonksiyon grafikleriyle solda ve sağda sınırlanmış eğrisel bir şeklin alanı x 1 =φ 1 (y) Ve x 2 =φ 2 (y), üstünde ve altında - düz y=d Ve y=c sırasıyla:
Eğrisel yamuğu yukarıdan sınırlayan çizginin parametrik denklemlerle verildiği durumu ele alalım. x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Nerede α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Bu denklemler bazı fonksiyonları tanımlar y=f(x) segmentte [ a, b] Kavisli bir yamuğun alanı formülle hesaplanır
Yeni bir değişkene geçelim x = φ 1 (t), Daha sonra dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), dolayısıyla \begin(displaymath)
Kutupsal koordinatlarda alan
Eğrisel bir sektör düşünün OAB, denklemin verdiği çizgiyle sınırlı ρ=ρ(φ) kutupsal koordinatlarda iki ışın O.A. Ve O.B., bunun için φ=α , φ=β .
Sektörü temel sektörlere ayıracağız OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, Mn =B). ile belirtelim Δφkışınlar arasındaki açı OM k-1 Ve OM k kutup ekseniyle açı oluşturan φ k-1 Ve φ k sırasıyla. Temel sektörlerin her biri OM k-1 M k yarıçapı olan dairesel bir sektörle değiştirin ρ k =ρ(φ"k), Nerede φ"k- açı değeri φ
aralıktan [ φ k-1 , φ k] ve merkez açı Δφk. Son sektörün alanı formülle ifade edilir 
.
Belirli bir sektörün yaklaşık olarak yerini alan "adımlı" bir sektörün alanını ifade eder OAB.
Sektör alanı OAB“basamaklı” sektörün alanının sınırı denir n → ∞ Ve λ=maks Δφ k → 0:
Çünkü 
, O
Eğri yay uzunluğu
Bırakın segmenti [ a, b] diferansiyellenebilir bir fonksiyon verilmiştir y=f(x) grafiği yaydır. Segment [ a,b] hadi ikiye bölelim N noktalı parçalar x 1, x 2, …, xn-1. Bu noktalar noktalara karşılık gelecektir M1, M2, …, Mn-1 yaylar, onları yayın içine yazılan kesik çizgi olarak adlandırılan kesik bir çizgiyle bağlarız. Bu kırık çizginin çevresi şu şekilde gösterilecektir: n yani
Tanım. Bir çizginin yayının uzunluğu, bağlantıların sayısı dikkate alındığında, içine yazılan kesikli çizginin çevresinin sınırıdır. M k-1 M k sınırsız bir şekilde artar ve en büyüğünün uzunluğu sıfıra yaklaşır:
burada λ en büyük bağlantının uzunluğudur.
Yayın uzunluğunu bir noktadan itibaren sayacağız, örneğin: A. Gelin bu noktada M(x,y) yay uzunluğu S ve bu noktada M"(x+Δ x,y+Δy) yay uzunluğu s+Δ'lar burada i>Δs yayın uzunluğudur. Bir üçgenden MNM" akorun uzunluğunu bulun: .
Geometrik değerlendirmelerden şu sonuç çıkıyor:
yani bir çizginin sonsuz küçük bir yayı ve onu oluşturan kiriş eşdeğerdir.
Akorun uzunluğunu ifade eden formülü dönüştürelim:
Bu eşitlikte limite geçerek fonksiyonun türevi için bir formül elde ederiz. s=s(x):
nereden buluyoruz
Bu formül, bir düzlem eğrinin yayının diferansiyelini ifade eder ve basit bir formüle sahiptir: geometrik anlamı: Sonsuz küçük bir üçgen için Pisagor teoremini ifade eder MTN (ds=MT, ).
Uzaysal bir eğrinin yayının diferansiyeli, formülle belirlenir.
Parametrik denklemlerle tanımlanan uzaysal bir çizginin yayını düşünün
Nerede α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - argümanın türevlenebilir fonksiyonları T, O
Bu eşitliğin aralık boyunca integrali alınırsa [ α, β ], bu çizgi yayının uzunluğunu hesaplamak için bir formül elde ederiz
Doğru düzlemde yer alıyorsa Oksi, O z=0 herkesin önünde t∈[α, β], Bu yüzden
Denklemin düz bir çizgi vermesi durumunda y=f(x) (a≤x≤b), Nerede f(x) türevlenebilir bir fonksiyondur, son formül şu şekli alır:
Düzlem çizgisi denklem tarafından verilsin ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) kutupsal koordinatlarda. Bu durumda doğrunun parametrik denklemlerine sahibiz x=ρ(φ) çünkü φ, y=ρ(φ) sin φ burada kutup açısı parametre olarak alınır φ . Çünkü
daha sonra çizginin yayının uzunluğunu ifade eden formül ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) kutupsal koordinatlarda şu forma sahiptir:
Vücut hacmi
Bu cismin belirli bir yöne dik herhangi bir kesitinin alanı biliniyorsa, cismin hacmini bulalım.
Bu gövdeyi eksene dik düzlemlerle temel katmanlara bölelim. Öküz ve denklemlerle tanımlanır x=sabit. Herhangi bir sabit için x∈ bilinen alan S=S(x) Belirli bir cismin kesiti.
Düzlemlerle kesilen temel katman x=x k-1, x=xk (k=1, …, n, x 0 =a, x n =b), yüksekliği olan bir silindirle değiştirin Δx k =x k -x k-1 ve taban alanı S(ξk), ξ k ∈.
Belirtilen temel silindirin hacmi formülle ifade edilir. Δv k =E(ξ k)Δx k. Tüm bu ürünleri özetleyelim
belirli bir fonksiyonun integral toplamı olan S=S(x) segmentte [ a, b] Temel silindirlerden oluşan ve yaklaşık olarak bu gövdenin yerini alan kademeli bir gövdenin hacmini ifade eder.
Belirli bir cismin hacmi, belirtilen kademeli cismin hacminin sınırıdır. λ→0 , Nerede λ - temel segmentlerin en büyüğünün uzunluğu Δxk. ile belirtelim V belirli bir cismin hacmi, o zaman tanım gereği
Diğer tarafta,
Sonuç olarak, bir cismin belirli bir kesitteki hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:
Bir cisim bir eksen etrafında döndürülerek oluşuyorsa Öküzüstte sürekli bir çizginin yayı ile sınırlanan kavisli bir yamuk y=f(x), Nerede a≤x≤b, O S(x)=πf 2 (x) ve son formül şu şekli alır:
Yorum. Fonksiyon grafiğiyle sağda sınırlanan kavisli bir yamuğun döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmi x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), eksen etrafında oy formülle hesaplanır
Dönme yüzey alanı
Çizginin yayının döndürülmesiyle elde edilen yüzeyi düşünün y=f(x) (a≤x≤b) eksen etrafında Öküz(fonksiyonun olduğunu varsayalım y=f(x) sürekli bir türevi vardır). Değerin sabitlenmesi x∈ fonksiyon argümanına bir artış vereceğiz dx temel yayın döndürülmesiyle elde edilen “temel halkaya” karşılık gelir Δl. Bu "halkayı" silindirik bir halkayla değiştirelim - tabanı yayın diferansiyeline eşit olan bir dikdörtgenin dönmesiyle oluşan bir gövdenin yan yüzeyi dl ve yükseklik h=f(x). Son halkayı kesip açarak genişlikte bir şerit elde ederiz. dl ve uzunluk 2πy, Nerede y=f(x).
Bu nedenle yüzey alanı farkı aşağıdaki formülle ifade edilir:
Bu formül bir çizginin yayının döndürülmesiyle elde edilen yüzey alanını ifade eder y=f(x) (a≤x≤b) eksen etrafında Öküz.
Konu 6.10. Belirli integralin geometrik ve fiziksel uygulamaları
1. y =f(x)(f(x)>0 eğrisi), x = a, x = b düz çizgileri ve Ox ekseninin [a, b] parçasıyla sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı, formülle hesaplanır
2. y = f (x) ve y = g (x) (f (x) eğrileriyle sınırlanan şeklin alanı< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле
3. Parametrik denklemler x = x (t), y = y (t) ile bir eğri verilirse, bu eğri ve düz çizgiler x = a, x = b tarafından sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı şu şekilde bulunur: formül
4. S (x), Ox eksenine dik bir düzlemle vücudun kesit alanı olsun, o zaman vücudun x = a ve x = b düzlemleri arasında kalan kısmının hacmine dik eksen formülle bulunur
5. y = f (x) eğrisi ve y = 0, x = a ve x = b düz çizgileriyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun Ox ekseni etrafında dönmesine izin verin, ardından dönen cismin hacmi şu şekilde hesaplanır: formül
6. x = g (y) eğrisiyle sınırlanan kavisli bir yamuk olsun ve
düz çizgiler x = 0, y = c ve y = d, O y ekseni etrafında döner, ardından dönen cismin hacmi formülle hesaplanır
7. Bir düzlem eğrisi dikdörtgen bir koordinat sistemiyle ilişkiliyse ve y = f (x) (veya x = F (y)) denklemiyle veriliyorsa, yayın uzunluğu formülle belirlenir
