Hesaplama yoluyla düzensiz bir şeklin ağırlık merkezi. Bazı figürlerin ağırlık merkezlerinin konumları

Not. Simetrik bir şeklin ağırlık merkezi simetri ekseni üzerindedir.

Çubuğun ağırlık merkezi yüksekliğin ortasındadır. Sorunları çözmek için aşağıdaki yöntemler kullanılır:

1. simetri yöntemi: simetrik şekillerin ağırlık merkezi simetri ekseni üzerindedir;

2. ayırma yöntemi: karmaşık bölümler, ağırlık merkezlerinin konumunun belirlenmesi kolay olan birkaç basit parçaya bölünmüştür;

3. Negatif alan yöntemi: boşluklar (delikler), negatif alana sahip bir bölümün parçası olarak kabul edilir.

Problem çözme örnekleri

Örnek 1.Şekil 2'de gösterilen şeklin ağırlık merkezinin konumunu belirleyin. 8.4.

Çözüm

Şekli üç parçaya ayırıyoruz:

Benzer şekilde tanımlanmış en C = 4,5 cm.

Örnek 2. Simetrik bir çubuk kirişin ağırlık merkezinin konumunu bulun ADBE(Şekil 116), boyutları aşağıdaki gibidir: AB = 6m, DE = 3 m ve EF = 1 m.

Çözüm

Kafes simetrik olduğundan ağırlık merkezi simetri ekseninde yer alır. D.F. Seçilen (Şekil 116) koordinat eksenleri sistemiyle, kafes kirişin ağırlık merkezinin apsisi

Sonuç olarak, yalnızca koordinat bilinmiyor C'deçiftliğin ağırlık merkezi. Bunu belirlemek için kafesi ayrı parçalara (çubuklara) ayırıyoruz. Uzunlukları karşılık gelen üçgenlerden belirlenir.

İtibaren ΔAEF sahibiz

İtibaren ΔADF sahibiz

Her çubuğun ağırlık merkezi ortadadır; bu merkezlerin koordinatları çizimden kolaylıkla belirlenebilir (Şekil 116).

Kafesin tek tek parçalarının ağırlık merkezlerinin bulunan uzunlukları ve koordinatları tabloya ve formüle göre girilir.

koordinatı belirlemek evet Belirli bir düz kafes kirişin ağırlık merkezi.

Bu nedenle ağırlık merkezi İLE tüm kafes eksen üzerinde yatıyor DF noktadan 1,59 m mesafede kafes kirişin simetrisi F.

Örnek 3. Kompozit bölümün ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyin. Bölüm bir levha ve haddelenmiş profillerden oluşur (Şekil 8.5).

Not. Genellikle gerekli yapıyı oluşturmak için çerçeveler farklı profillerden kaynak yapılır. Böylece metal tüketimi azalır ve yüksek mukavemetli bir yapı oluşur.

Standart haddelenmiş profillerin kendi geometrik özellikleri bilinmektedir. İlgili standartlarda verilmiştir.

Çözüm

1. Rakamları rakamlarla belirleyelim ve tablolardan gerekli verileri yazalım:

1 - kanal No. 10 (GOST 8240-89); yükseklik saat = 100mm; raf genişliği B= 46mm; kesit alanı 1= 10,9 cm2;

2 - I-kiriş No. 16 (GOST 8239-89); yükseklik 160 mm; raf genişliği 81 mm; kesit alanı A 2 - 20,2 cm2;

3 - sayfa 5x100; kalınlık 5 mm; genişlik 100 mm; kesit alanı A 3 = 0,5 10 = 5 cm2.

2. Her şeklin ağırlık merkezlerinin koordinatları çizimden belirlenebilir.

Kompozit bölüm simetriktir, dolayısıyla ağırlık merkezi simetri ekseninde ve koordinattadır. X C = 0.

3. Kompozit kesitin ağırlık merkezinin belirlenmesi:

Örnek 4.Şekilde gösterilen kesitin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyiniz. 8, A. Bölüm 56x4'lük iki açı ve 18 numaralı kanaldan oluşur. Ağırlık merkezinin konumunu belirlemenin doğruluğunu kontrol edin. Bölümdeki konumunu belirtin.

Çözüm

1. : iki köşe 56 x 4 ve kanal No. 18. Bunları 1, 2, 3 olarak gösterelim (bkz. Şekil 8, A).

2. Ağırlık merkezlerini belirtiyoruz her profil, masayı kullanma 1 ve 4 adj. Ben ve onları belirtiyorum C1, C2, C3.

3. Koordinat eksenlerinden oluşan bir sistem seçin. Eksen en simetri ekseni ve eksen ile uyumlu X köşelerin ağırlık merkezlerinden geçirin.

4. Tüm bölümün ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyin. Eksen beri en simetri eksenine denk gelir, daha sonra bölümün ağırlık merkezinden geçer, dolayısıyla xs= 0. Koordinat evet formülle belirleyeceğiz

Ekteki tabloları kullanarak her profilin alanlarını ve ağırlık merkezlerinin koordinatlarını belirliyoruz:

Koordinatlar 1'de Ve saat 2'de eksen sıfıra eşit olduğundan X köşelerin ağırlık merkezlerinden geçer. Elde edilen değerleri formülde yerine koyalım evet:

5. Şekil 2'de kesitin ağırlık merkezini gösterelim. 8, a ve C harfiyle belirtin. Eksenden y C = 2,43 cm uzaklığını gösterelim. X C noktasına.

Köşeler simetrik olarak yerleştirildiğinden ve aynı alan ve koordinatlara sahip olduğundan, o zaman bir 1 = bir 2, y 1 = y 2. Bu nedenle, belirleme formülü C'de basitleştirilebilir:

6. Kontrol edelim. Bu amaçla eksen X Köşe rafının alt kenarı boyunca çizelim (Şek. 8, b). Eksen enİlk çözümdeki gibi bırakalım. Belirlemeye yönelik formüller x C Ve C'de değiştirme:

Profillerin alanları aynı kalacak ancak açıların ve kanalların ağırlık merkezlerinin koordinatları değişecek. Bunları yazalım:

Ağırlık merkezinin koordinatını bulun:

Bulunan koordinatlara göre xs Ve evetÇizimde C noktasını çizin. İki şekilde bulunan ağırlık merkezinin konumu aynı noktadadır. Hadi kontrol edelim. Koordinatlar arasındaki fark evet, birinci ve ikinci çözümde bulunan: 6,51 - 2,43 = 4,08 cm.

Bu, birinci ve ikinci çözümdeki x ekseni arasındaki mesafeye eşittir: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

Cevap: s= 2,43 cm, eğer x ekseni köşelerin ağırlık merkezlerinden geçiyorsa veya y c = X ekseni köşe flanşının alt kenarı boyunca uzanıyorsa 6,51 cm.

Örnek 5.Şekilde gösterilen kesitin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyiniz. 9, A. Bu bölüm 24 numaralı I-kiriş ve 24a numaralı kanaldan oluşur. Kesit üzerindeki ağırlık merkezinin konumunu gösterin.

Çözüm

1.Kesiti haddelenmiş profillere bölelim: I-kiriş ve kanal. Bunları 1 ve 2 sayılarıyla gösterelim.

3. Her profilin ağırlık merkezlerini belirtiyoruz Uygulama tablolarını kullanarak C 1 ve C 2.

4. Koordinat eksenlerinden oluşan bir sistem seçin. X ekseni simetri ekseniyle uyumludur ve y ekseni I kirişinin ağırlık merkezi boyunca çizilir.

5. Kesitin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyin. Koordinat y c = 0 olduğundan eksen X simetri ekseniyle çakışır. Formülle x koordinatını belirliyoruz

Tabloya göre 3 ve 4 adj. Ben ve belirlediğimiz kesit diyagramı

Sayısal değerleri formülde yerine koyalım ve elde edelim

5. Bulunan x c ve y c değerlerini kullanarak C noktasını (kesitin ağırlık merkezi) çizelim (bkz. Şekil 9, a).

Çözüm, Şekil 2'de gösterildiği gibi konumlandırılan eksenlerle bağımsız olarak kontrol edilmelidir. 9, b. Çözüm sonucunda x c = 11,86 cm elde ediyoruz. Birinci ve ikinci çözüm için x c değerleri arasındaki fark 11,86 - 6,11 = 5,75 cm olup, bu da aynı y eksenleri arasındaki mesafeye eşittir. çözümler b dv /2 = 5,75 cm.

Cevap: x c = 6,11 cm, eğer y ekseni I-kirişin ağırlık merkezinden geçiyorsa; Y ekseni I kirişinin sol uç noktalarından geçiyorsa x c = 11,86 cm.

Örnek 6. Demiryolu vinci, aralarındaki mesafe AB = 1,5 m olan raylar üzerinde durmaktadır (Şekil 1.102). Vinç arabasının yerçekimi kuvveti G r = 30 kN'dir, arabanın ağırlık merkezi C noktasındadır ve arabanın simetri düzleminin çizim düzlemi ile kesiştiği KL çizgisi üzerinde uzanır. Vinç vincinin yerçekimi kuvveti Q l = 10 kN noktaya uygulanmaktadır. D. Karşı ağırlığın yerçekimi kuvveti G"=20 kN, E noktasına uygulanır. Bomun yerçekimi kuvveti G c = 5 kN, H noktasına uygulanır. Vincin KL hattına göre uzanması 2 m'dir. Vincin yüksüz durumda stabilite katsayısı ve hangi yük F stabilite katsayısının en az iki olması şartıyla bu vinçle kaldırılabilir.

Çözüm

1. Vinç boşaltıldığında ray etrafında dönerken devrilme tehlikesiyle karşı karşıyadır. A. Bu nedenle noktaya göre A kararlılık anı

2. Bir noktaya göre devrilme momenti A karşı ağırlığın yerçekimi kuvveti tarafından yaratılır, yani.

3. Dolayısıyla vincin yüksüz durumda stabilite katsayısı

4. Vinç kolunu kargo ile yüklerken F B rayının yakınında dönerken vincin devrilme tehlikesi vardır. Bu nedenle noktaya göre İÇİNDE kararlılık anı

5. Raya göre devrilme momenti İÇİNDE

6. Problemin koşullarına göre, vincin çalışmasına stabilite katsayısı k B ≥ 2 ile izin verilir;

Test soruları ve ödevler

1. Vücudun noktalarına etki eden Dünya'nın çekim kuvvetleri neden paralel kuvvetler sistemi olarak alınabilir?

2. Homojen olmayan ve homojen cisimlerin ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için formüller, düz bölümlerin ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için formüller yazın.

3. Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için formülleri tekrarlayın: dikdörtgen, üçgen, yamuk ve yarım daire.

4.
Alanın statik momenti nedir?

5. Bu şeklin eksene göre statik momentini hesaplayın Öküz. H= 30 cm; B= 120cm; İle= 10 cm (Şek. 8.6).

6. Gölgeli şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyin (Şekil 8.7). Boyutlar mm cinsinden verilmiştir.

7. Koordinatı belirleyin en kompozit bölümün şekil 1'i (Şekil 8.8).

Karar verirken, "Sıcak haddelenmiş çelik" GOST tablolarındaki referans verilerini kullanın (bkz. Ek 1).

Fizik ders notları, 7. sınıf

Konu: Ağırlık merkezinin belirlenmesi

Fizik öğretmeni, Argayash Ortaokulu No. 2

Khidiyatulina Z.A.

Laboratuvar çalışması:

"Düz bir plakanın ağırlık merkezinin belirlenmesi"

Hedef : Düz bir levhanın ağırlık merkezinin bulunması.

Teorik kısım:

Bütün cisimlerin bir ağırlık merkezi vardır. Bir cismin ağırlık merkezi, cisme etki eden toplam yerçekimi momentinin sıfır olduğu noktadır. Örneğin bir nesneyi ağırlık merkezinden asarsanız, nesne hareketsiz kalacaktır. Yani uzaydaki konumu değişmeyecek (ters çevrilmeyecek veya yan dönmeyecek). Neden bazı bedenler devrilirken diğerleri devrilmiyor? Vücudun ağırlık merkezinden yere dik bir çizgi çizerseniz, bu çizgi vücudun destek sınırlarını aşarsa vücut düşecektir. Destek alanı ne kadar büyük olursa, vücudun ağırlık merkezi, destek alanının merkez noktasına ve ağırlık merkezinin merkez çizgisine ne kadar yakın olursa, vücudun konumu o kadar stabil olacaktır. . Örneğin ünlü Pisa Kulesi'nin ağırlık merkezi, desteğinin ortasından sadece iki metre uzakta bulunuyor. Ve düşüş ancak bu sapma yaklaşık 14 metre olduğunda gerçekleşecek. İnsan vücudunun ağırlık merkezi göbeğin yaklaşık 20,23 santimetre altındadır. Ağırlık merkezinden dikey olarak çizilen hayali bir çizgi tam olarak ayakların arasından geçer. Bir taklacı bebek için sır aynı zamanda vücudun ağırlık merkezinde de yatmaktadır. Dengesi, tamburun ağırlık merkezinin en altta olmasıyla açıklanıyor; aslında onun üzerinde duruyor. Bir vücudun dengesini korumanın koşulu, ortak ağırlık merkezinin dikey ekseninin, vücudun destek alanı içerisinden geçmesidir. Vücudun dikey ağırlık merkezi destek alanından ayrılırsa vücut dengesini kaybeder ve düşer. Bu nedenle, destek alanı ne kadar büyük olursa, vücudun ağırlık merkezi, destek alanının merkez noktasına ve ağırlık merkezinin merkez çizgisine ne kadar yakın olursa, konumu o kadar stabil olur. vücut olacak. Kişi dikey konumdayken destek alanı, tabanların altında ve ayakların arasında kalan alanla sınırlıdır. Ayağın ağırlık merkezinin dikey çizgisinin merkez noktası topuk tüberkülünün 5 cm önündedir. Destek alanının sagital boyutu her zaman önden üstündür, bu nedenle ağırlık merkezinin dikey çizgisinin yer değiştirmesi geriye doğru sağa ve sola doğru daha kolay gerçekleşir ve özellikle ileri doğru zordur. Bu bağlamda, hızlı koşu sırasında dönüşler sırasındaki stabilite, sagital yöne (ileri veya geri) göre önemli ölçüde daha azdır. Özellikle geniş topuklu ve sert tabanlı ayakkabılı bir ayak, daha geniş bir destek alanı elde ettiği için ayakkabısız olduğundan daha stabildir.

Pratik kısım:

Çalışmanın amacı: Önerilen ekipmanı kullanarak karton ve üçgenden yapılmış iki figürün ağırlık merkezinin konumunu deneysel olarak bulun.

Teçhizat:Tripod, kalın karton, okul çantasından alınan üçgen, cetvel, bant, iplik, kurşun kalem...

Görev 1: Rastgele şekle sahip düz bir şeklin ağırlık merkezinin konumunu belirleyin

Makas kullanarak kartondan rastgele bir şekil kesin. İpliği bantla A noktasına takın. İpliği kullanarak tripod ayağına asın. Bir cetvel ve kurşun kalem kullanarak kartonun üzerine AB dikey çizgisini işaretleyin.

İplik bağlantı noktasını C konumuna getirin. Yukarıdaki adımları tekrarlayın.

AB ve AB doğrularının kesişimindeki O noktasıCDşeklin ağırlık merkezinin istenen konumunu verir.

Görev 2: Yalnızca bir cetvel ve kalem kullanarak düz bir şeklin ağırlık merkezinin konumunu bulun

Bir kalem ve cetvel kullanarak şekli iki dikdörtgene bölün. Yapıya göre ağırlık merkezlerinin O1 ve O2 konumlarını bulun. Şeklin tamamının ağırlık merkezinin O1O2 çizgisi üzerinde olduğu açıktır.

Şekli başka bir şekilde iki dikdörtgene bölün. Yapım gereği her birinin O3 ve O4 ağırlık merkezlerinin konumlarını bulun. O3 ve O4 noktalarını bir çizgiyle bağlayın. O1O2 ve O3O4 çizgilerinin kesişme noktası şeklin ağırlık merkezinin konumunu belirler

Görev 2: Üçgenin ağırlık merkezinin konumunu belirleyin

Bant kullanarak ipliğin bir ucunu üçgenin üst kısmına sabitleyin ve tripod ayağından asın. Bir cetvel kullanarak yerçekimi çizgisinin AB yönünü işaretleyin (üçgenin karşı tarafını işaretleyin)

Üçgeni C köşesinden asarak aynı işlemi tekrarlayın. Üçgenin C köşesinin karşı tarafına bir işaret koyun.D.

Bant kullanarak AB iplik parçalarını takın veCD. Kesişme noktalarının O noktası üçgenin ağırlık merkezinin konumunu belirler. Bu durumda figürün ağırlık merkezi vücudun dışındadır.

III . Kalite sorunlarını çözme

1. Sirk sanatçıları ip üzerinde yürürken hangi amaçla ağır direkleri ellerinde tutarlar?

2. Sırtında ağır yük taşıyan bir insan neden öne doğru eğilir?

3. Vücudunuzu öne eğmedikçe neden sandalyeden kalkamıyorsunuz?

4. Vinç neden kaldırılan yüke doğru eğilmiyor? Neden yük olmadan vinç karşı ağırlığa doğru eğilmiyor?

5. Neden arabalar ve bisikletler vb. Frenleri ön tekerlekler yerine arka tekerleklere koymak daha mı iyi?

6. Saman yüklü bir kamyon neden aynı kar yüklü kamyona göre daha kolay devrilir?

Dikdörtgen. Dikdörtgenin iki simetri ekseni olduğundan ağırlık merkezi simetri eksenlerinin kesişim noktasındadır. dikdörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasında.

Üçgen. Ağırlık merkezi medyanlarının kesiştiği noktada yer alır. Geometriden, bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiği ve tabandan 1:2 oranında bölündüğü bilinmektedir.

Daire. Bir dairenin iki simetri ekseni olduğundan ağırlık merkezi simetri eksenlerinin kesişimindedir.

Yarım daire. Yarım dairenin bir simetri ekseni vardır, bu durumda ağırlık merkezi bu eksen üzerindedir. Ağırlık merkezinin başka bir koordinatı şu formülle hesaplanır: .

Birçok yapısal eleman standart haddelenmiş ürünlerden yapılır - açılar, I-kirişler, kanallar ve diğerleri. Haddelenmiş profillerin tüm boyutları ve geometrik özellikleri, referans literatüründe normal ürün çeşitliliği tablolarında (GOST 8239-89, GOST 8240-89) bulunabilen tablo verileridir.

Örnek 1. Şekilde gösterilen şeklin ağırlık merkezinin konumunu belirleyiniz.

Çözüm:

Koordinat eksenlerini, Ox ekseni en alttaki genel boyut boyunca ilerleyecek ve Oy ekseni en soldaki genel boyut boyunca ilerleyecek şekilde seçiyoruz.

Karmaşık bir rakamı minimum sayıda basit rakama bölüyoruz:

dikdörtgen 20x10;

üçgen 15x10;

daire R=3 cm.

Her basit şeklin alanını ve ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplıyoruz. Hesaplama sonuçları tabloya girilir

Şekil No.	Şekil A'nın alanı,	Ağırlık merkezi koordinatları

Cevap: C(14.5; 4.5)

Örnek 2 . Bir levha ve haddelenmiş bölümlerden oluşan kompozit bölümün ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyin.

Çözüm.

Koordinat eksenlerini şekilde gösterildiği gibi seçiyoruz.

Rakamları sayılara göre belirleyelim ve gerekli verileri tablodan yazalım:

Şekil No.	Şekil A'nın alanı,	Ağırlık merkezi koordinatları

Şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarını aşağıdaki formülleri kullanarak hesaplıyoruz:

Cevap: C(0; 10)

1 No'lu Laboratuvar Çalışması “Kompozit düz figürlerin ağırlık merkezinin belirlenmesi”

Hedef: Belirli bir düz karmaşık şeklin ağırlık merkezini deneysel ve analitik yöntemleri kullanarak belirleyin ve sonuçlarını karşılaştırın.

İş emri

Düz şekilinizi koordinat eksenlerini belirterek defterlerinize büyüklükte çizin.

Ağırlık merkezini analitik olarak belirleyin.

1. Şekli, ağırlık merkezlerini nasıl belirleyeceğimizi bildiğimiz minimum sayıda şekle bölün.

   Her şeklin ağırlık merkezinin alan numaralarını ve koordinatlarını belirtin.

   Her şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayın.

   Her şeklin alanını hesaplayın.

   Formülleri kullanarak tüm şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayın (ağırlık merkezinin konumu şeklin çiziminde işaretlenmiştir):

Asma yöntemini kullanarak ağırlık merkezinin koordinatlarını deneysel olarak belirlemeye yönelik kurulum dikey bir ayaktan oluşur 1 (şekle bakınız) iğnenin takıldığı yer 2 . Düz şekil 3 Kolayca delik açılabilen kartondan yapılmıştır. Delikler A Ve İÇİNDE rastgele konumlanmış noktalarda (tercihen birbirinden en uzak mesafede) delinmiştir. Düz bir figür, ilk önce bir noktada bir iğneye asılır A ve sonra bu noktada İÇİNDE . Bir çekül hattı kullanma 4 Aynı iğneye bağlı olarak, çekülün dişine karşılık gelen bir kalemle şekil üzerinde dikey bir çizgi çizin. Ağırlık merkezi İLE şekil, noktalara şekli asarken çizilen dikey çizgilerin kesişme noktasında yer alacaktır. A Ve İÇİNDE .

6.1. Genel bilgi

Paralel Kuvvetlerin Merkezi
Bir yöne yönlendirilmiş ve cisme belirli noktalarda uygulanan iki paralel kuvveti ele alalım. A 1 ve A 2 (Şek.6.1). Bu kuvvetler sisteminin, etki çizgisi belirli bir noktadan geçen bir bileşkesi vardır. İLE. Nokta konumu İLE Varignon teoremi kullanılarak bulunabilir:

Eğer kuvvetleri çevirirseniz ve noktaların yakınına giderseniz A 1 ve A 2'yi bir yönde ve aynı açıda yaparsak, aynı modüllere sahip yeni bir paralel salas sistemi elde ederiz. Bu durumda sonuçları da bu noktadan geçecektir. İLE. Bu noktaya paralel kuvvetlerin merkezi denir.
Katı bir cisme noktalarda uygulanan paralel ve aynı yönlendirilmiş kuvvetlerden oluşan bir sistemi düşünelim. Bu sistemin bir sonucu var.
Sistemin her kuvveti, uygulama noktalarının yakınında aynı yönde ve aynı açıda döndürülürse, aynı modüllere ve uygulama noktalarına sahip, aynı yönlendirilmiş paralel kuvvetlerden oluşan yeni sistemler elde edilecektir. Bu tür sistemlerin sonucu aynı modüle sahip olacaktır. R, ama her seferinde farklı bir yöne. Gücümü katladıktan F 1 ve F 2 sonuçlarının olduğunu görüyoruz R 1, her zaman noktadan geçecek İLE 1, konumu eşitlikle belirlenir. Daha fazla katlama R 1 ve F 3, her zaman noktadan geçecek olan sonuçlarını buluyoruz İLE 2 düz bir çizgi üzerinde uzanmak A 3 İLE 2. Sonuna kuvvetleri ekleme işlemini tamamladıktan sonra tüm kuvvetlerin bileşkesinin aslında her zaman aynı noktadan geçeceği sonucuna varacağız. İLE noktalara göre konumu değişmeyecek.
Nokta İLE sonuçta ortaya çıkan paralel kuvvetler sisteminin etki çizgisinin, bu kuvvetlerin uygulanma noktalarının yakınında aynı yönde aynı açıda herhangi bir dönüşü için geçtiği paralel kuvvetlerin merkezi denir (Şekil 6.2).

Şekil 6.2

Paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatlarını belirleyelim. Noktanın konumundan bu yana İLE vücuda göre değişmezse, koordinatları koordinat sistemi seçimine bağlı değildir. Uygulamaları etrafındaki tüm kuvvetleri eksene paralel olacak şekilde çevirelim. Ah ve Varignon teoremini döndürülen kuvvetlere uygulayın. Çünkü R" bu kuvvetlerin bileşkesi ise Varignon teoremine göre elimizde , Çünkü , , alıyoruz

Buradan paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatını buluruz zc:

Koordinatları belirlemek için xc Eksen etrafındaki kuvvetlerin momenti için bir ifade oluşturalım Oz.

Koordinatları belirlemek için yc tüm kuvvetleri eksene paralel olacak şekilde çevirelim Oz.

Paralel kuvvetlerin merkezinin orijine göre konumu (Şekil 6.2), yarıçap vektörü ile belirlenebilir:

6.2. Katı bir cismin ağırlık merkezi

Ağırlık merkezi Katı bir cismin her zaman bu cisimle ilişkili bir noktası vardır İLE Belirli bir cismin uzaydaki herhangi bir konumu için bileşke yerçekimi kuvvetlerinin etki çizgisinin geçtiği yer.
Ağırlık merkezi, yerçekiminin etkisi altında cisimlerin ve sürekli ortamların denge konumlarının stabilitesinin incelenmesinde ve diğer bazı durumlarda, yani: malzemelerin gücünde ve yapısal mekanikte - Vereshchagin kuralını kullanırken kullanılır.
Bir cismin ağırlık merkezini belirlemenin iki yolu vardır: analitik ve deneysel. Ağırlık merkezini belirlemeye yönelik analitik yöntem doğrudan paralel kuvvetlerin merkezi kavramından kaynaklanır.
Paralel kuvvetlerin merkezi olarak ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Nerede R- tüm vücut ağırlığı; pk- vücut parçacıklarının ağırlığı; xk, yk, zk- vücut parçacıklarının koordinatları.
Homojen bir vücut için vücudun tamamının veya herhangi bir kısmının ağırlığı hacmiyle orantılıdır. P=Vγ, pk =vk γ, Nerede γ - birim hacim başına ağırlık, V- vücut hacmi. İfadeleri değiştirme P, pk Ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyen ve ortak bir faktörle azaltan formüle γ , şunu elde ederiz:

Nokta İLE Koordinatları elde edilen formüllerle belirlenen şeye denir hacmin ağırlık merkezi.
Gövde ince homojen bir plaka ise ağırlık merkezi aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Nerede S- tüm plakanın alanı; Sk- kendi kısmının alanı; xk, yk- plaka parçalarının ağırlık merkezinin koordinatları.
Nokta İLE bu durumda buna denir bölgenin ağırlık merkezi.
Düzlem şekillerin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyen ifadelerin paylarına ne ad verilir? alanın statik momentleri eksenlere göre en Ve X:

Daha sonra alanın ağırlık merkezi aşağıdaki formüllerle belirlenebilir:

Uzunluğu kesit boyutundan birçok kez daha büyük olan cisimler için çizginin ağırlık merkezini belirleyin. Hattın ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Nerede L- hat uzunluğu; lk- parçalarının uzunluğu; xk, yk, zk- hattın bazı kısımlarının ağırlık merkezinin koordinatı.

6.3. Vücutların ağırlık merkezlerinin koordinatlarını belirleme yöntemleri

Elde edilen formüllere dayanarak cisimlerin ağırlık merkezlerinin belirlenmesine yönelik pratik yöntemler önermek mümkündür.
1. Simetri. Bir cismin simetri merkezi varsa ağırlık merkezi de simetri merkezindedir.
Vücudun bir simetri düzlemi varsa. Örneğin XOU düzleminde ağırlık merkezi bu düzlemde yer alır.
2. Bölme. Basit şekilli gövdelerden oluşan gövdeler için bölme yöntemi kullanılır. Vücut, ağırlık merkezi simetri yöntemiyle belirlenen parçalara bölünmüştür. Tüm vücudun ağırlık merkezi, hacim (alan) ağırlık merkezi formülleri ile belirlenir.

Örnek. Aşağıdaki şekilde gösterilen plakanın ağırlık merkezini belirleyin (Şekil 6.3). Plaka çeşitli şekillerde dikdörtgenlere bölünebilmekte ve her dikdörtgenin ağırlık merkezinin koordinatları ve alanı belirlenebilmektedir.

Şekil 6.3

Cevap: XC=17.0cm; senC=18.0cm.

3. Ek. Bu yöntem, bölümleme yönteminin özel bir durumudur. Gövdede kesikler, dilimler vb. olduğunda, kesiksiz gövdenin ağırlık merkezinin koordinatları biliniyorsa kullanılır.

Örnek. Kesme yarıçapına sahip dairesel bir plakanın ağırlık merkezini belirleyin R = 0,6 R(Şekil 6.4).

Şekil 6.4

Yuvarlak plakanın bir simetri merkezi vardır. Koordinatların başlangıç ​​noktasını plakanın merkezine yerleştirelim. Kesimsiz plaka alanı, kesme alanı. Kesikli kare plaka; .
Kesikli plakanın simetri ekseni vardır О1 x, buradan, yc=0.

4. Entegrasyon. Eğer vücut, ağırlık merkezlerinin konumları bilinen sonlu sayıda parçaya bölünemiyorsa, vücut keyfi olarak küçük hacimlere bölünür ve bunun için bölme yöntemini kullanan formül şu şekli alır: .
Daha sonra temel hacimleri sıfıra yönlendirerek sınıra giderler, yani. hacimleri noktalara daraltıyoruz. Toplamlar, vücudun tüm hacmine yayılan integrallerle değiştirilir, ardından hacmin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleme formülleri şu şekli alır:

Bir alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını belirlemek için formüller:

Plakaların dengesi incelenirken, yapı mekaniğinde Mohr integrali hesaplanırken alanın ağırlık merkezinin koordinatları belirlenmelidir.

Örnek. Yarıçaplı bir dairesel yayın ağırlık merkezini belirleyin R merkezi açılı AOB= 2α (Şekil 6.5).

Pirinç. 6.5

Bir dairenin yayı eksene simetriktir Ah dolayısıyla yayın ağırlık merkezi eksen üzerinde yer alır Ah, yс = 0.
Bir çizginin ağırlık merkezi formülüne göre:

6.Deneysel yöntem. Karmaşık konfigürasyondaki homojen olmayan cisimlerin ağırlık merkezleri deneysel olarak belirlenebilir: asma ve tartma yöntemiyle. İlk yöntem gövdeyi çeşitli noktalardan bir kabloya asmaktır. Vücudun asılı olduğu kablonun yönü yerçekimi yönünü verecektir. Bu yönlerin kesişme noktası cismin ağırlık merkezini belirler.
Tartma yöntemi, öncelikle araba gibi bir cismin ağırlığının belirlenmesini içerir. Daha sonra aracın arka aksının desteğe uyguladığı basınç terazi üzerinde belirlenir. Örneğin ön tekerleklerin ekseni gibi bir noktaya göre bir denge denklemi çizerek, bu eksenden arabanın ağırlık merkezine olan mesafeyi hesaplayabilirsiniz (Şekil 6.6).

Şekil 6.6

Bazen problemleri çözerken ağırlık merkezinin koordinatlarını belirlemek için farklı yöntemlerin aynı anda kullanılması gerekir.

6.4. Bazı basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri

Sıklıkla ortaya çıkan şekillerdeki (üçgen, dairesel yay, sektör, segment) cisimlerin ağırlık merkezlerini belirlemek için referans verilerinin kullanılması uygundur (Tablo 6.1).

Tablo 6.1

Bazı homojen cisimlerin ağırlık merkezinin koordinatları

№	Şeklin adı	Çizim
	Bir dairenin yayı: Düzgün bir daire yayının ağırlık merkezi simetri ekseni üzerindedir (koordinat) uc=0). R- dairenin yarıçapı.
	Homojen dairesel sektör uc=0). burada α merkez açının yarısıdır; R- dairenin yarıçapı.
	Segment: ağırlık merkezi simetri ekseninde bulunur (koordinat) uc=0). burada α merkez açının yarısıdır; R- dairenin yarıçapı.
	Yarım daire:
	Üçgen: Homojen bir üçgenin ağırlık merkezi kenarortaylarının kesiştiği noktadadır. Nerede x1, y1, x2, y2, x3, y3- üçgenin köşelerinin koordinatları
	Koni: Düzgün dairesel bir koninin ağırlık merkezi, koninin yüksekliğinde bulunur ve koninin tabanından yüksekliğin 1/4'ü kadar uzaklıkta bulunur.

Ders 4. Ağırlık merkezi.

Bu ders aşağıdaki konuları kapsamaktadır

1. Katı bir cismin ağırlık merkezi.

2. Homojen olmayan cisimlerin ağırlık merkezlerinin koordinatları.

3. Homojen cisimlerin ağırlık merkezlerinin koordinatları.

4. Ağırlık merkezlerinin koordinatlarını belirleme yöntemleri.

5. Bazı homojen cisimlerin ağırlık merkezleri.

Bu konuların incelenmesi gelecekte kayma ve yuvarlanma sürtünmesini dikkate alarak cisimlerin hareketinin dinamiklerini, mekanik bir sistemin kütle merkezinin hareketinin dinamiğini, kinetik momentleri incelemek, problemlerin çözümü için gereklidir. “Malzemelerin Mukavemeti” disiplini.

Paralel kuvvetlerin getirilmesi.

Merkeze düz bir sistem ve gelişigüzel bir uzaysal kuvvetler sistemi getirmeyi düşündükten sonra, paralel kuvvetler sisteminin özel durumunu düşünmeye yeniden dönüyoruz.

İki paralel kuvvetin getirilmesi.

Böyle bir kuvvetler sistemini değerlendirirken aşağıdaki üç indirgeme durumu mümkündür.

1. Doğrusal iki kuvvetin sistemi. Bir yöne yönlendirilen iki paralel kuvvetten oluşan bir sistemi düşünelim. P Ve Q noktalarda uygulanan A Ve İÇİNDE. Kuvvetlerin bu parçaya dik olduğunu varsayacağız (Şekil 1, A).

İLE, segmente ait AB ve koşulun sağlanması:

klima/kuzeydoğu = Q/P.(1)

Sistemin ana vektörü RC = P + Q modül olarak bu kuvvetlerin toplamına eşittir: RC = P + Q.

İLE(1)'in sıfıra eşit olduğu dikkate alındığında:MC = P ∙ klima- Q∙ kuzeydoğu = 0.

Böylece, oyuncu seçimi sonucunda şunları elde ettik: RC ≠ 0, MC= 0. Bu, ana vektörün indirgeme merkezinden geçen bileşiğe eşdeğer olduğu anlamına gelir, yani:

Doğrusal kuvvetlerin sonucu, modül olarak toplamlarına eşittir ve etki çizgisi, bu kuvvetlerin modülleriyle ters orantılı olarak uygulanma noktalarını birleştiren segmenti dahili olarak böler.

Noktanın konumuna dikkat edin İLE kuvvetler değişmezse R Ve Q bir açı çevirmekα. Nokta İLE bu özelliğe sahip olana denir paralel kuvvetlerin merkezi.

2. İkili sistem doğrusal olmayan ve kuvvetlerin büyüklüğü eşit değildir. Güç olsun P Ve Q noktalarda uygulanır A Ve İÇİNDE, paralel, zıt yönlerde yönlendirilmiş ve büyüklük olarak eşit olmayan (Şekil 1, B).

İndirgeme merkezi olarak bir nokta seçelim İLE, hala (1) ilişkisini karşılıyor ve aynı doğru üzerinde ancak segmentin dışında yer alıyor AB.

Bu sistemin ana vektörü RC = P + Q modül artık vektörlerin modülleri arasındaki farka eşit olacaktır: RC = Q - P.

Merkezle ilgili en önemli nokta İLE hala sıfır:MC = P ∙ klima- Q∙ kuzeydoğu= 0, yani

Sonuç doğrusal olmayan ve büyüklükleri eşit olmayan kuvvetler, daha büyük kuvvete yönelik farklarına eşittir ve etki çizgisi, bu kuvvetlerin dış modülleri ile ters orantılı olarak uygulanma noktalarını birleştiren segmenti böler.

Şekil 1

3. İkili sistem doğrusal olmayan ve kuvvetlerin büyüklükleri eşittir. Önceki indirgeme durumunu ilk durum olarak ele alalım. Gücü düzeltelim R ve güç Q modülü kuvvete yönlendirelim R.

sonra Q → R formül (1)'deki ilişki klima/kuzeydoğu → 1. Bu şu anlama gelir: klima → kuzeydoğu yani mesafe klima →∞ .

Bu durumda ana vektörün modülü RC → 0'dır ve ana momentin modülü, indirgeme merkezinin konumuna bağlı değildir ve orijinal değere eşit kalır:

MC = P ∙ klima- Q∙ kuzeydoğu = P ∙ ( klima- kuzeydoğu) =P ∙ AB.

Böylece limitte bir kuvvetler sistemi elde ettik. RC = 0, MC≠ 0 ve indirgemenin merkezi sonsuza kadar kaldırılır, bu da sonuçla değiştirilemez. Bu sistemdeki birkaç kuvveti tanımak zor değil, dolayısıyla bir çift kuvvetin sonucu yoktur.

Paralel kuvvetler sisteminin merkezi.

Sistemi düşünün N kuvvet P ben noktalarda uygulanırbir ben (x ben , sen ben , z ben) ve eksene paralelYumurta orth ile ben(Şekil 2).

Bir kuvvet çiftine eşdeğer bir sistem durumunu önceden hariç tutarsak, önceki paragrafa dayanarak onun bileşkesinin varlığını kanıtlamak zor değildir.R.

Merkezin koordinatlarını belirleyelimC(X C, sen C, z C) paralel kuvvetler, yani bu sistemin sonucunun uygulama noktasının koordinatları.

Bu amaçla Varignon teoremini kullanıyoruz:

M0 (R) = Σ M0(P ben).

Şekil 2

Bir kuvvetin vektör momenti bir vektör çarpımı olarak temsil edilebilir, dolayısıyla:

M 0 (R) = r c× R = Σ M0i(P ben) = Σ ( ben mi× P ben ).

Bunu göz önünde bulundurarak R = Karavan ∙ ben, A P ben = Pvi ∙ ben ve vektör çarpımının özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:

r c × Karavan ∙ ben = Σ ( ben mi × Pvi ∙ ben),

r c ∙ R v× ben = Σ ( ben mi ∙ Pvi × ben) = Σ ( ben mi ∙ Pvi ) × ben,

veya:

[ r c R v - Σ ( ben mi Pvi )] × ben= 0.

Son ifade yalnızca köşeli parantez içindeki ifadenin sıfıra eşit olması durumunda geçerlidir. Bu nedenle endeksin atlanmasıvve ortaya çıkan sonuç dikkate alındığındaR = Σ P ben buradan şunu elde ederiz:

r c = (Σ P ben ben mi )/(Σ P ben ).

Son vektör eşitliğini koordinat eksenine yansıtarak gerekli olanı elde ederiz. Paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatlarının ifadesi:

x c = (Σ P ben x ben)/(Σ P ben );

y c = (Σ P ben sen ben )/(Σ P ben );(2)

z c = (Σ P ben z ben )/(Σ P ben ).

Cisimlerin ağırlık merkezi.

Homojen bir cismin ağırlık merkezlerinin koordinatları.

Sert bir cismin ağırlığını düşünün P ve hacim V koordinat sisteminde Oksiz eksenler nerede X Ve sen dünyanın yüzeyine ve eksene bağlı z zirveyi hedefliyor.

Vücudu hacimli temel parçalara ayırırsanız∆ V Ben o zaman çekim kuvveti onun her bir parçasına etki edecektir.∆ P ben, Dünyanın merkezine doğru yönlendirildi. Vücudun boyutlarının Dünya'nın boyutlarından önemli ölçüde daha küçük olduğunu varsayalım, o zaman vücudun temel kısımlarına uygulanan kuvvet sisteminin yakınsak değil paralel olduğu düşünülebilir (Şekil 3) ve tüm sonuçlar önceki bölümdeki hükümler onun için geçerlidir.

Şekil 3

Tanım . Katı bir cismin ağırlık merkezi, bu cismin temel parçalarının paralel ağırlık kuvvetlerinin merkezidir.

şunu hatırlatalım özgül ağırlık Vücudun temel bir kısmının ağırlığına oranı denir∆ P ben hacme ∆ V Ben : γ Ben = ∆ P ben/ ∆ V Ben . Homojen bir cisim için bu değer sabittir:γ Ben = γ = P/ V.

∆'yi (2)'ye koyarsak P ben = γ Ben ∙∆ V Ben yerine P benson açıklamayı dikkate alarak pay ve paydayı azaltarakG, alıyoruz homojen bir cismin ağırlık merkezinin koordinatları için ifadeler:

x c = (Σ ∆ V ben∙ x ben)/(Σ ∆ V ben);

y c = (Σ ∆ V ben∙ sen ben )/(Σ ∆ V ben);(3)

z c = (Σ ∆ V ben∙ z ben )/(Σ ∆ V ben).

Ağırlık merkezinin belirlenmesinde çeşitli teoremler faydalıdır.

1) Homojen bir cismin bir simetri düzlemi varsa ağırlık merkezi bu düzlemdedir.

Eğer eksenler X Ve en bu simetri düzleminde bulunan, ardından koordinatları olan her nokta için. Ve koordinat (3)'e göre sıfıra eşit olacaktır çünkü toplamda Tüm Zıt işaretli üyeler çiftler halinde yok edilir. Bu, ağırlık merkezinin bulunduğu anlamına gelir simetri düzleminde.

2) Homojen bir cismin simetri ekseni varsa cismin ağırlık merkezi bu eksen üzerindedir.

Aslında bu durumda eksenzkoordinatları olan her nokta için simetri ekseni boyunca çizim yapınkoordinatları olan bir nokta bulabilirsiniz ve koordinatlar ve Formül (3) kullanılarak hesaplanan, sıfıra eşit olacaktır.

Üçüncü teorem de benzer şekilde kanıtlanır.

3) Homojen bir cismin bir simetri merkezi varsa cismin ağırlık merkezi bu noktadadır.

Ve birkaç yorum daha.

Birinci. Eğer vücut, ağırlığı ve ağırlık merkezinin konumu bilinen parçalara bölünebiliyorsa, her noktayı dikkate almaya gerek yoktur ve formüllerde (3) P ben - İlgili parçanın ağırlığı olarak belirlenir ve– ağırlık merkezinin koordinatları olarak.

Saniye. Vücut homojen ise, o zaman onun bir kısmının ağırlığı, Nerede - gövdenin yapıldığı malzemenin özgül ağırlığı ve V ben - vücudun bu kısmının hacmi. Ve formül (3) daha uygun bir biçim alacaktır. Örneğin,

Ve benzer şekilde nerede - tüm vücudun hacmi.

Üçüncü not. Vücudun bir alanı olan ince bir plaka şeklinde olmasına izin verin F ve kalınlık T, uçakta yatıyorum Oksi. (3)'te yerine koyma∆ V Ben =T ∙ ∆F Ben , homojen bir plakanın ağırlık merkezinin koordinatlarını elde ederiz:

x c = (Σ ∆ F ben∙ x ben) / (Σ ∆ F ben);

y c = (Σ ∆ F ben∙ sen ben ) / (Σ ∆ F ben).

z c = (Σ ∆ F ben∙ z Ben ) / (Σ ∆ F ben).

Nerede – bireysel plakaların ağırlık merkezinin koordinatları;– toplam vücut alanı.

Dördüncü not. Uzunluğunda ince kavisli bir çubuk şeklindeki bir gövde için L kesit alanına sahip A temel hacim∆ V Ben = A ∙∆ L Ben , Bu yüzden ince kavisli bir çubuğun ağırlık merkezinin koordinatları eşit olacaktır:

x c = (Σ ∆ L ben∙ x ben)/(Σ ∆ L ben);

y c = (Σ ∆ L ben∙ sen ben )/(Σ ∆ L ben);(4)

z c = (Σ ∆ L ben∙ z ben )/(Σ ∆ L ben).

Nerede – ağırlık merkezinin koordinatlarıBen-inci bölüm; .

Tanıma göre ağırlık merkezinin geometrik bir nokta olduğunu unutmayın; aynı zamanda belirli bir cismin sınırlarının dışında da bulunabilir (örneğin bir halka için).

Not.

Dersin bu bölümünde yerçekimi, yerçekimi ve vücut ağırlığı arasında ayrım yapmıyoruz. Gerçekte yerçekimi, Dünya'nın yerçekimi kuvveti ile dönmesinden kaynaklanan merkezkaç kuvveti arasındaki farktır.

Homojen olmayan cisimlerin ağırlık merkezlerinin koordinatları.

Ağırlık merkezi koordinatları homojen olmayan katı(Şekil 4) seçilen referans sisteminde şu şekilde belirlenir:

Şekil 4

Nerede - Bir cismin birim hacmi başına ağırlık (özgül ağırlık)

- tüm vücut ağırlığı.

düzgün olmayan yüzey(Şekil 5), daha sonra seçilen referans sistemindeki ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki gibi belirlenir:

Şekil 5

Nerede - birim vücut alanı başına ağırlık,

- tüm vücut ağırlığı.

Eğer katı ise düzgün olmayan çizgi(Şekil 6), daha sonra seçilen referans sistemindeki ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki gibi belirlenir:

Şekil 6

Nerede - vücut uzunluğu başına ağırlık,

Tüm vücut ağırlığı.

Ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleme yöntemleri.

Yukarıda elde edilen genel formüllere dayanarak spesifik yöntemleri belirtmek mümkündür. cisimlerin ağırlık merkezlerinin koordinatlarının belirlenmesi.

1. Simetri. Homojen bir cismin bir düzlemi, ekseni veya simetri merkezi varsa (Şekil 7), ağırlık merkezi sırasıyla simetri düzleminde, simetri ekseninde veya simetri merkezinde bulunur.

Şekil 7

2. Bölünme. Gövde, her biri için ağırlık merkezinin konumu ve alanı bilinen sınırlı sayıda parçaya bölünmüştür (Şekil 8).

Şekil 8

S =S 1 +S 2.

3.Negatif alan yöntemi. Bölümleme yönteminin özel bir durumu (Şekil 9). Kesiksiz gövdenin ve kesikli kısmın ağırlık merkezleri biliniyorsa, kesikli gövdelere uygulanır. Kesikli bir plaka şeklindeki gövde, katı bir plakanın (kesiksiz) bir alanla birleşimi ile temsil edilir. S1 ve kesilen kısmın alanı S2.

Şekil 9

S = S 1 - S 2.

4.Gruplandırma yöntemi. Son iki yönteme iyi bir tamamlayıcıdır. Bir şekli bileşen elemanlarına böldükten sonra, bu grubun simetrisini dikkate alarak çözümü basitleştirmek için bazılarını tekrar birleştirmek uygundur.

Bazı homojen cisimlerin ağırlık merkezleri.

1) Dairesel bir yayın ağırlık merkezi. Yayı düşünün AB yarıçapR merkezi açılı. Simetri nedeniyle bu yayın ağırlık merkezi eksen üzerinde yer alır.Öküz(Şekil 10).

Şekil 10

Koordinatını bulalım formüle göre . Bunu yapmak için yayı seçin AB eleman AA ’ uzunlukkonumu açıyla belirlenen. Koordinat X eleman MM' irade. Bu değerleri değiştirme X Ve D ben İntegralin yayın tüm uzunluğu boyunca uzatılması gerektiğini akılda tutarak şunu elde ederiz:

burada L, AB yayının uzunluğudur, eşittir.

Buradan nihayet dairesel bir yayın ağırlık merkezinin merkezden belli bir mesafede simetri ekseni üzerinde bulunduğunu buluyoruz. Ey eşit

açı nerede radyan cinsinden ölçülür.

2) Üçgenin alanının ağırlık merkezi. Düzlemde yatan bir üçgen düşünün Oksi köşelerinin koordinatları bilinen: bir ben (x ben,sen ben ), (Ben= 1,2,3). Üçgeni kenara paralel dar şeritlere bölmek A 1 AŞekil 2'de üçgenin ağırlık merkezinin kenarortaya ait olması gerektiği sonucuna varıyoruz. A 3 M 3 (Şek. 11).

Şekil 11

Bir üçgeni kenara paralel şeritlere ayırma A 2 A 3, medyanın üzerinde olması gerektiğini doğrulayabiliriz A 1 M 1. Böylece, Bir üçgenin ağırlık merkezi kenarortaylarının kesiştiği noktadadır bilindiği gibi, karşılık gelen taraftan sayılarak her medyandan üçüncü bir parçayı ayırır.

Özellikle ortanca için A 1 M 1 noktasının koordinatlarını dikkate alarak elde ederiz M 1 - bu köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır A 2 ve A 3 :

x c = X 1 + (2/3) ∙ (XM 1 - X 1 ) = X 1 + (2/3) ∙ [(X 2 + X 3 )/2 - X 1 ] = (X 1 + X 2 + X 3 )/3.

Dolayısıyla üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları, köşelerinin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır:

X C =(1/3) Σ x ben ; sen C =(1/3) Σ sen ben .

3) Dairesel bir sektörün alanının ağırlık merkezi. Yarıçaplı bir dairenin bir sektörünü düşünün R merkez açılı 2α , eksen etrafında simetrik olarak yerleştirilmiş Öküz (Şekil 12) .

Açıkça görülüyor ki sen C = 0 ve bu sektörün kesildiği dairenin merkezinden ağırlık merkezine olan mesafe aşağıdaki formülle belirlenebilir:

Şekil 12

Bu integrali hesaplamanın en kolay yolu, entegrasyon alanını belirli bir açıyla temel sektörlere bölmektir. Dφ . Birinci dereceden sonsuz küçüklere kadar doğru olan böyle bir sektör, tabanı eşit olan bir üçgenle değiştirilebilir. R × Dφ ve yükseklik R. Böyle bir üçgenin alanı dF =(1/2)R 2 ∙ Dφ ve ağırlık merkezi 2/3 uzaklıkta R tepe noktasından itibaren, bu nedenle (5)'e şunu koyarız: X = (2/3)R∙ çünküφ. (5)'te değiştirme F= α R 2, şunu elde ederiz:

Son formülü kullanarak özellikle ağırlık merkezine olan mesafeyi hesaplıyoruz. yarım daire.

(2)'de α = π /2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz: X C = (4 R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Örnek 1.Şekilde görülen homojen cismin ağırlık merkezini belirleyelim. 13.

Şekil 13

Çözüm.Gövde homojen olup simetrik şekle sahip iki parçadan oluşur. Ağırlık merkezlerinin koordinatları:

Hacimleri:

Bu nedenle vücudun ağırlık merkezinin koordinatları

Örnek 2. Dik açıyla bükülmüş bir levhanın ağırlık merkezini bulalım. Boyutlar çizimde verilmiştir (Şek. 14).

Şekil 14

Çözüm. Ağırlık merkezlerinin koordinatları:

0.

Alanlar:

Bu yüzden:

Örnek 3. Kare bir kağıt üzerinde cm kare delik kesimi cm (Şek. 15). Çarşafın ağırlık merkezini bulalım.Örnek 4. Şekil 2'de gösterilen plakanın ağırlık merkezinin konumunu bulun. 16. Boyutlar santimetre cinsinden verilmiştir.

Şekil 16

Çözüm. Plakayı rakamlara bölelim (Şek. 17), merkezler ciddiyeti malum.

Bu şekillerin alanları ve ağırlık merkezlerinin koordinatları:

1) kenarları 30 ve 40 cm olan bir dikdörtgen,S 1 =30 ∙ 40=1200cm 2 ; x 1=15cm; en 1 =20cm.

2) tabanı 50 cm ve yüksekliği 40 cm olan bir dik üçgen;S 2 =0,5 ∙ 50 ∙ 40= 1000cm 2 ; X 2 =30+50/3=46,7 cm; y2 =40/3 =13,3 cm;

3) yarım daire yarıçaplı daire R = 20cm;S 3 =0,5 ∙π∙ 20 2 =628 cm 2 ; X 3 =4 R /3 π =8,5 cm; en

Çözüm. Fizikte bir cismin yoğunluğununρ ve özgül ağırlığıGilişki ile ilişkilidir:γ = ρ G , NeredeG - yer çekiminin hızlanması. Böyle homojen bir cismin kütlesini bulmak için yoğunluğu hacmiyle çarpmanız gerekir.

Şekil 19

"Doğrusal" veya "doğrusal" yoğunluk terimi, bir kafes çubuğun kütlesini belirlemek için doğrusal yoğunluğun bu çubuğun uzunluğuyla çarpılması gerektiği anlamına gelir.

Sorunu çözmek için bölümleme yöntemini kullanabilirsiniz. Belirli bir kafes kirişi 6 ayrı çubuğun toplamı olarak temsil edersek şunu elde ederiz:

NeredeL ben uzunlukBen kafes çubuğu vex ben , sen ben - ağırlık merkezinin koordinatları.

Bu sorunun çözümü, kirişin son 5 çubuğunun gruplandırılmasıyla basitleştirilebilir. Bu çubuk grubunun ağırlık merkezinin bulunduğu dördüncü çubuğun ortasında simetri merkezi bulunan bir şekil oluşturduklarını görmek kolaydır.

Böylece, belirli bir kafes kiriş yalnızca iki grup çubuktan oluşan bir kombinasyonla temsil edilebilir.

Birinci grup birinci çubuktan oluşur, bunun içinL 1 = 4 m,X 1 = 0m,sen 1 = 2 m İkinci çubuk grubu beş çubuktan oluşur.L 2 = 20m,X 2 = 3m,sen 2 = 2 m.

Kafesin ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

X C = (L 1 ∙ X 1 + L 2 ∙ X 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2m;

sen C = (L 1 ∙ sen 1 + L 2 ∙ sen 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Merkezin olduğuna dikkat edin İLE bağlayan düz bir çizgi üzerinde yer alır İLE 1 ve İLE 2 ve segmenti böler İLE 1 İLE 2 ile ilgili: İLE 1 İLE/SS 2 = (X C - X 1 )/(X 2 - X C ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.

Kendi kendine test soruları

- Paralel kuvvetlerin merkezine ne denir?

- Paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatları nasıl belirlenir?

- Bileşkesi sıfır olan paralel kuvvetlerin merkezi nasıl belirlenir?

- Paralel kuvvetlerin merkezi hangi özelliklere sahiptir?

- Paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatlarını hesaplamak için hangi formüller kullanılır?

- Bir cismin ağırlık merkezine ne denir?

- Dünyanın bir cisim üzerindeki bir noktaya etki eden yerçekimi kuvvetleri neden paralel kuvvetler sistemi olarak alınabilir?

- Homojen olmayan ve homojen cisimlerin ağırlık merkezinin konumunu belirleme formülünü, düz bölümlerin ağırlık merkezinin konumunu belirleme formülünü yazın?

- Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için formülü yazın: dikdörtgen, üçgen, yamuk ve yarım daire?

- Alanın statik momentine ne denir?

- Ağırlık merkezi vücudun dışında olan bir cismin örneğini verin.

- Cisimlerin ağırlık merkezlerinin belirlenmesinde simetri özelliklerinden nasıl yararlanılır?

- Negatif ağırlıklar yönteminin özü nedir?

- Dairesel bir yayın ağırlık merkezi nerede bulunur?

- Bir üçgenin ağırlık merkezini bulmak için hangi grafik yapı kullanılabilir?

- Dairesel bir sektörün ağırlık merkezini belirleyen formülü yazın.

- Bir üçgenin ve dairesel bir sektörün ağırlık merkezlerini belirleyen formülleri kullanarak, benzer bir formülü dairesel bir parça için türetin.

- Homojen cisimlerin, düz şekillerin ve çizgilerin ağırlık merkezlerinin koordinatlarını hesaplamak için hangi formüller kullanılır?

- Düzlemsel bir şeklin alanının eksene göre statik momentine ne denir, nasıl hesaplanır ve hangi boyuta sahiptir?

- Bireysel parçalarının ağırlık merkezlerinin konumu biliniyorsa, bir alanın ağırlık merkezinin konumu nasıl belirlenir?

- Ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için hangi yardımcı teoremler kullanılır?