Bunlar size bir dereceye kadar tanıdık geliyordu. Burada ayrıca işlev özellikleri stoğunun kademeli olarak yenileneceği de belirtildi. Yaklaşık iki yeni mülk ve konuşacağız bu paragrafta.
Tanım 1.
y = f(x), x є X fonksiyonu, X kümesindeki herhangi bir x değeri için f(-x) = f(x) eşitliği sağlansa bile çağrılır.
Tanım 2.
X kümesindeki herhangi bir x değeri için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanıyorsa, y = f(x), x є X fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
y = x 4'ün çift fonksiyon olduğunu kanıtlayın.
Çözüm. Elimizde: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ama(-x) 4 = x 4. Bu, herhangi bir x için f(-x) = f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir; fonksiyon eşittir.
Benzer şekilde y - x 2, y = x 6, y - x 8 fonksiyonlarının çift olduğu kanıtlanabilir.
y = x 3 ~'in tek bir fonksiyon olduğunu kanıtlayın.
Çözüm. Elimizde: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ama (-x) 3 = -x 3. Bu, herhangi bir x için f(-x) = -f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir; fonksiyon tuhaftır.
Benzer şekilde y = x, y = x 5, y = x 7 fonksiyonlarının tek olduğu kanıtlanabilir.
Matematikteki yeni terimlerin çoğu zaman "dünyevi" bir kökene sahip olduğunu defalarca gördük, yani. bir şekilde açıklanabilirler. Bu durum hem çift hem de tek fonksiyonlarda geçerlidir. Bakınız: y - x 3, y = x 5, y = x 7 tek fonksiyonlardır, y = x 2, y = x 4, y = x 6 ise çift fonksiyonlardır. Ve genel olarak, n'nin bir doğal sayı olduğu y = x" formundaki herhangi bir fonksiyon için (aşağıda bu fonksiyonları özel olarak inceleyeceğiz), şu sonuca varabiliriz: çift sayı ise y = x" fonksiyonu tektir; n çift sayıysa y = xn fonksiyonu çifttir.
Ayrıca ne çift ne de tek olan fonksiyonlar da vardır. Örneğin y = 2x + 3 fonksiyonu böyledir. Aslında f(1) = 5 ve f(-1) = 1. Dolayısıyla burada da görebildiğiniz gibi f(-x) = özdeşliği de yoktur. f ( x), ne de f(-x) = -f(x) özdeşliği.
Yani bir fonksiyon çift olabilir, tek olabilir veya ikisi de olmayabilir.
olup olmadığı sorusunun incelenmesi Verilen fonksiyonçift veya tek genellikle eşlik fonksiyonunun incelenmesi olarak adlandırılır.
Tanım 1 ve 2'de Hakkında konuşuyoruz fonksiyonun x ve -x noktalarındaki değerleri hakkında. Bu, fonksiyonun hem x noktasında hem de -x noktasında tanımlandığını varsayar. Bu, -x noktasının, x noktasıyla aynı anda fonksiyonun tanım bölgesine ait olduğu anlamına gelir. Eğer sayı seti X, her bir öğesiyle birlikte şunları içerir ve karşıt eleman-x ise X'e simetrik küme denir. Diyelim ki (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrik kümeler, ; (∞;∞) simetrik kümelerdir ve , [–5;4] asimetriktir.
– Fonksiyonların bile simetrik bir küme olan bir tanım alanı var mı? Garip olanlar mı?
– Eğer D( F) asimetrik bir küme ise fonksiyon nedir?
– Böylece, eğer fonksiyon en = F(X) – çift veya tek ise tanım alanı D('dir) F) simetrik bir kümedir. Tersi ifade doğru mu: Bir fonksiyonun tanım tanım kümesi simetrik bir küme ise, o zaman çift mi yoksa tek mi?
– Bu, tanım alanının simetrik bir kümesinin varlığının gerekli bir koşul olduğu ancak yeterli olmadığı anlamına gelir.
– Peki parite için bir fonksiyon nasıl incelenir? Bir algoritma oluşturmaya çalışalım.
Slayt
Eşlik fonksiyonunu incelemek için algoritma
1. Fonksiyonun tanım tanım kümesinin simetrik olup olmadığını belirleyin. Değilse, o zaman fonksiyon ne çift ne de tektir. Cevabınız evet ise algoritmanın 2. adımına geçin.
2. için bir ifade yazın F(–X).
3. Karşılaştırın F(–X).Ve F(X):
- Eğer F(–X).= F(X), o zaman fonksiyon çifttir;
- Eğer F(–X).= – F(X), o zaman fonksiyon tektir;
- Eğer F(–X) ≠ F(X) Ve F(–X) ≠ –F(X), bu durumda fonksiyon ne çift ne de tektir.
Örnekler:
Eşlik açısından a) fonksiyonunu inceleyin en= x 5 +; B) en= ; V) en= .
Çözüm.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrik küme.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => fonksiyonu h(x)= x 5 + tek.
b) y =,
en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrik bir kümedir; bu, fonksiyonun ne çift ne de tek olduğu anlamına gelir.
V) F(X) = , y = f(x),
1)D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
seçenek 2
1. Simetrik mi verilen set: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Fonksiyonun Grafiği en = F(X), Eğer en = F(X) eşit bir fonksiyondur.
Fonksiyonun Grafiği en = F(X), Eğer en = F(X) tek bir fonksiyondur.
Karşılıklı kontrol açık slayt.
6. Ödev: №11.11, 11.21,11.22;
Parite özelliğinin geometrik anlamının kanıtı.
***(Birleşik Devlet Sınavı seçeneğinin atanması).
1. y = f(x) tek fonksiyonu sayı doğrusunda tanımlıdır. x değişkeninin negatif olmayan herhangi bir değeri için, bu fonksiyonun değeri, g( fonksiyonunun değeriyle çakışır. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( fonksiyonunun değerini bulun X) = en X = 3.
7. Özetleme
Gösteriyi Gizle
Bir işlevi belirtme yöntemleri
Fonksiyon şu formülle verilsin: y=2x^(2)-3. Bağımsız değişken x'e herhangi bir değer atayarak, bu formülü kullanarak bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplayabilirsiniz. Örneğin, eğer x=-0,5 ise, formülü kullanarak, y'nin karşılık gelen değerinin y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 olduğunu buluruz.
Y=2x^(2)-3 formülündeki x argümanının aldığı herhangi bir değeri alarak, ona karşılık gelen fonksiyonun yalnızca bir değerini hesaplayabilirsiniz. Fonksiyon bir tablo olarak temsil edilebilir:
| X | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| sen | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Bu tabloyu kullanarak, −1 argüman değeri için −3 fonksiyon değerinin karşılık geleceğini görebilirsiniz; ve x=2 değeri y=0'a karşılık gelecektir, vb. Tablodaki her bağımsız değişken değerinin yalnızca bir işlev değerine karşılık geldiğini bilmek de önemlidir.
Grafikler kullanılarak daha fazla fonksiyon belirtilebilir. Grafiği kullanarak, fonksiyonun hangi değerinin ile ilişkili olduğu belirlenir. belli bir değer X. Çoğu zaman bu, fonksiyonun yaklaşık değeri olacaktır.
Çift ve tek fonksiyon
İşlev eşit işlev, tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x)=f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon Oy eksenine göre simetrik olacaktır.
İşlev Tek işlev, tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x)=-f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon O(0;0) orijinine göre simetrik olacaktır.
İşlev bile, ne tuhaf ve denir işlev Genel görünüm eksen veya orijin etrafında simetriye sahip olmadığında.
Eşlik için aşağıdaki fonksiyonu inceleyelim:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) s simetrik alan Kökeni ile ilgili tanımlar. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Bu, f(x)=3x^(3)-7x^(7) fonksiyonunun tek olduğu anlamına gelir.
Periyodik fonksiyon
Herhangi bir x için f(x+T)=f(x-T)=f(x) eşitliğinin geçerli olduğu tanım kümesindeki y=f(x) fonksiyonuna denir periyodik fonksiyon T \neq 0 periyodu ile.
Bir fonksiyonun grafiğini x ekseninin T uzunluğuna sahip herhangi bir parçası üzerinde tekrarlamak.
Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar, yani f(x) > 0, apsis ekseninin, fonksiyon grafiğinin apsis ekseninin üzerinde yer alan noktalarına karşılık gelen bölümleridir.
f(x) > 0 açık (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Fonksiyonun negatif olduğu aralıklar, yani f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))
Sınırlı işlev
Aşağıdan sınırlanmış Herhangi bir x \in X için f(x) \geq A eşitsizliğinin geçerli olduğu bir A sayısı olduğunda y=f(x), x \in X fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir.
Aşağıdan sınırlanan bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1+x^(2)) çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.
Yukarıdan sınırlanmış f(x) \neq B eşitsizliğinin herhangi bir x \in X için geçerli olduğu bir B sayısı olduğunda, y=f(x), x \in X fonksiyonu çağrılır.
Aşağıda sınırlandırılmış bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1-x^(2))), x \in [-1;1]çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 \in [-1;1] .
Sınırlı\left | eşitsizliğinin olduğu bir K > 0 sayısı olduğunda y=f(x), x \in X fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir. f(x)\sağ | \neq K herhangi bir x için \in X .
Örnek sınırlı işlev: y=\sin x tüm sayı ekseninde sınırlıdır, çünkü \sol | \sin x \sağ | \neq 1.
Arttırma ve azaltma fonksiyonu
Söz konusu aralıkta artan bir fonksiyondan şu şekilde bahsetmek gelenekseldir: artan fonksiyon Sonra ne zaman daha yüksek değer x, y=f(x) fonksiyonunun daha büyük bir değerine karşılık gelecektir. Buradan, x_(1) ve x_(2) argümanının x_(1) > x_(2) ile söz konusu aralıktan iki keyfi değeri alındığında sonuç y(x_(1)) > olacaktır. y(x_(2)).
Söz konusu aralıkta azalan bir fonksiyona denir azalan fonksiyon x'in daha büyük bir değeri, y(x) fonksiyonunun daha küçük bir değerine karşılık geldiğinde. Bundan şu sonuç çıkıyor ki, söz konusu aralıktan iki tane alınırsa keyfi değerler x_(1) ve x_(2) argümanları, x_(1) > x_(2) ile y(x_(1)) olacaktır< y(x_{2}) .
Fonksiyon Kökleri F=y(x) fonksiyonunun apsis ekseniyle kesiştiği noktaları çağırmak gelenekseldir (bunlar y(x)=0 denkleminin çözülmesi sonucunda elde edilir).
a) Eğer x > 0 için çift fonksiyon artarsa, x için azalır< 0
b) Bir çift fonksiyon x > 0 için azalıyorsa, x için artar< 0
.png)
c) Tek bir fonksiyon x > 0'da arttığında, x'te de artar< 0
d) Bir tek fonksiyon x > 0 için azalıyorsa, o zaman x için de azalacaktır< 0
.png)
Fonksiyonun ekstremum değerleri
Fonksiyonun minimum noktası y=f(x) genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası olarak adlandırılır ve onlar için f(x) > f eşitsizliği şu şekilde olur: memnun (x_(0)) . y_(min) - fonksiyonun min noktasında atanması.
Fonksiyonun maksimum noktası y=f(x) genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası olarak adlandırılır ve onlar için f(x) eşitsizliği o zaman karşılanır< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Önkoşul
Fermat teoremine göre: f"(x)=0 olduğunda, x_(0) noktasında türevi olabilen f(x) fonksiyonu bu noktada bir ekstrema sahip olacaktır.
Yeterli koşul
- Türevin işareti artıdan eksiye değiştiğinde, x_(0) minimum nokta olacaktır;
- x_(0) - yalnızca türev geçerken işareti eksiden artıya değiştirdiğinde maksimum nokta olacaktır sabit nokta x_(0) .
Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değeri
Hesaplama adımları:
- f"(x) türevi aranıyor;
- Fonksiyonun durağan ve kritik noktaları bulunarak segmente ait olanlar seçilir;
- f(x) fonksiyonunun değerleri durağan olarak bulunur ve kritik noktalar ve segmentin uçları. Elde edilen sonuçlardan daha küçük olanı en düşük değer işlevler, ve dahası - en büyük.
İşlev- bu en önemlilerinden biri matematiksel kavramlar. İşlev - değişken bağımlılığı en değişkenden X, eğer her değer X tek bir değerle eşleşir en. Değişken X bağımsız değişken veya argüman denir. Değişken en bağımlı değişken denir. Bağımsız değişkenin tüm değerleri (değişken X) fonksiyonun tanım alanını oluşturur. Bağımlı değişkenin aldığı tüm değerler (değişken sen), fonksiyonun değer aralığını oluşturur.
Fonksiyon grafiği tüm noktaların kümesini çağır koordinat uçağı apsisleri argümanın değerlerine eşit olan ve koordinatları fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşit olan, yani değişkenin değerleri apsis ekseni boyunca çizilmiştir X ve değişkenin değerleri ordinat ekseni boyunca çizilir sen. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için fonksiyonun özelliklerini bilmeniz gerekir. Fonksiyonun ana özellikleri aşağıda tartışılacaktır!
Bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, fonksiyonların çevrimiçi grafiğini çizme programımızı kullanmanızı öneririz. Bu sayfadaki materyali incelerken herhangi bir sorunuz olursa, bunları her zaman forumumuzda sorabilirsiniz. Ayrıca forumda matematik, kimya, geometri, olasılık teorisi ve diğer birçok konudaki problemleri çözmenize yardımcı olacaklar!
Fonksiyonların temel özellikleri.
1) Fonksiyon alanı ve fonksiyon aralığı.
Bir fonksiyonun etki alanı tüm geçerli olanların kümesidir. gerçek değerler argüman X(değişken X), bunun için fonksiyon y = f(x) azimli.
Bir fonksiyonun aralığı tüm gerçek değerlerin kümesidir sen, işlevin kabul ettiği.
İÇİNDE ilköğretim matematik fonksiyonlar yalnızca gerçek sayılar kümesi üzerinde incelenir.
2) Fonksiyon sıfırları.
Değerler X, hangi y=0, isminde fonksiyon sıfırları. Bunlar fonksiyon grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktalarının apsisleridir.
3) Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları.
Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları bu tür değer aralıklarıdır X, burada fonksiyon değerleri sen ya yalnızca olumlu ya da yalnızca olumsuz denir fonksiyonun sabit işaretli aralıkları.
4) Fonksiyonun monotonluğu.
Artan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.
Azalan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.
5) Çift (tek) işlevi.
Çift fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için bir fonksiyondur. X f(-x) = f(x). Takvim eşit işlev ordinat eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için X tanım alanından eşitlik doğrudur f(-x) = - f(x). Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
Eşit işlev
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir; yani eğer nokta A tanım alanına aitse, o zaman nokta -A aynı zamanda tanım alanına da aittir.
2) Herhangi bir değer için X f(-x)=f(x)
3) Çift fonksiyonun grafiği Oy eksenine göre simetriktir.
Tek işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir.
2) herhangi bir değer için X tanım alanına ait olan eşitlik f(-x)=-f(x)
3) Tek bir fonksiyonun grafiği orijine (0; 0) göre simetriktir.
Her fonksiyon çift veya tek değildir. Fonksiyonlar Genel görünüm ne çift ne de tektir.
6) Sınırlı ve sınırsız işlevler.
Eğer böyle bir fonksiyon varsa, fonksiyona sınırlı denir. pozitif sayı M öyle ki |f(x)| X'in tüm değerleri için ≤ M. Eğer böyle bir sayı yoksa fonksiyon sınırsızdır.
7) Fonksiyonun periyodikliği.
Bir f(x) fonksiyonu, fonksiyonun tanım alanındaki herhangi bir x için aşağıdakileri tutacak şekilde sıfırdan farklı bir T sayısı varsa periyodiktir: f(x+T) = f(x). Bu en küçük sayı fonksiyonun periyodu denir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller).
İşlev F herhangi biri için öyle bir sayı varsa periyodik olarak adlandırılır. X tanım alanından eşitlik f(x)=f(x-T)=f(x+T). T fonksiyonun periyodudur.
Her periyodik fonksiyonun sonsuz küme dönemler. Pratikte genellikle en küçük pozitif periyot dikkate alınır.
Değerler periyodik fonksiyon döneme eşit bir aralıktan sonra tekrarlayın. Bu, grafikler oluşturulurken kullanılır.
Tanım 1. Fonksiyon çağrılır eşit
(garip
), eğer her değişken değeriyle birlikte ise 
Anlam - X aynı zamanda ait 
ve eşitlik geçerlidir
Bu nedenle, bir fonksiyon ancak tanım bölgesi sayı doğrusundaki koordinatların (sayı) orijinine göre simetrikse çift veya tek olabilir. X Ve - X aynı zamanda ait 
). Örneğin, fonksiyon 
tanım alanı olduğundan ne çift ne de tektir 
orijine göre simetrik değildir.
İşlev 
hatta çünkü 
orijine göre simetriktir ve.
İşlev 
tuhaf çünkü 
Ve 
.
İşlev 
çift ve tek değil, çünkü 
ve orijine göre simetrik olduğundan eşitlikler (11.1) sağlanmaz. Örneğin,.
Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir kuruluş birimiçünkü eğer amaç 
aynı zamanda programa aittir. Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir, çünkü eğer 
grafiğe aitse, o zaman nokta 
aynı zamanda programa aittir.
Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu kanıtlarken aşağıdaki ifadeler faydalıdır.
Teorem 1. a) İki çift (tek) fonksiyonun toplamı bir çift (tek) fonksiyondur.
b) İki çift (tek) fonksiyonun çarpımı bir çift fonksiyondur.
c) Çift sayının çarpımı ve tek işlevler tuhaf bir işlev var.
d) Eğer F– sette eşit işlev X ve fonksiyon G
sette tanımlanmış 
, ardından fonksiyon 
- eşit.
d) Eğer F– setteki tek işlev X ve fonksiyon G
sette tanımlanmış 
ve çift (tek), o zaman fonksiyon 
- tek çift).
Kanıt. Örneğin b) ve d)'yi kanıtlayalım.
b) izin ver 
Ve 
– hatta işlevler. O zaman bu nedenle. Tek fonksiyonların durumu da benzer şekilde ele alınır 
Ve 
.
d) izin ver F eşit bir fonksiyondur. Daha sonra.
Teoremin geri kalan ifadeleri benzer şekilde kanıtlanabilir. Teorem kanıtlandı.
Teorem 2. Herhangi bir işlev 
, sette tanımlı X Orijine göre simetrik olan , çift ve tek fonksiyonların toplamı olarak temsil edilebilir.
Kanıt. İşlev 
şeklinde yazılabilir
.
İşlev 
– hatta çünkü 
ve fonksiyon 
– tuhaf çünkü. Böylece, 
, Nerede 
– hatta ve 
– garip işlevler. Teorem kanıtlandı.
Tanım 2. İşlev 
isminde periyodik
bir sayı varsa 
, öyle ki herhangi biri için 
sayılar 
Ve 
aynı zamanda tanım alanına da aittir 
ve eşitlikler sağlanıyor
Böyle bir sayı T isminde dönem
işlevler 
.
Tanım 1'den şu sonuç çıkıyor: T– fonksiyonun süresi 
, ardından sayı – T Aynı
fonksiyonun periyodu
(değiştirildiğinden beri T Açık - T eşitlik korunur). Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak şu şekilde gösterilebilir: T– fonksiyonun süresi F, Daha sonra 
, aynı zamanda bir dönemdir. Buradan, eğer bir fonksiyonun bir periyodu varsa, o zaman sonsuz sayıda periyodu olduğu sonucu çıkar.
Tanım 3. Bir fonksiyonun pozitif periyotlarının en küçüğüne denir ana dönem.
Teorem 3. Eğer T– işlevin ana dönemi F, bu durumda kalan periyotlar bunun katlarıdır.
Kanıt. Bunun tersini varsayalım, yani bir periyot var 
işlevler F
(
>0), çoklu değil T. Daha sonra bölme 
Açık T geri kalanıyla şunu elde ederiz 
, Nerede 
. Bu yüzden
yani 
– fonksiyonun süresi F, Ve 
ve bu şu gerçekle çelişiyor: T– işlevin ana dönemi F. Teoremin ifadesi sonuçta ortaya çıkan çelişkiden kaynaklanmaktadır. Teorem kanıtlandı.
Trigonometrik fonksiyonların periyodik olduğu iyi bilinmektedir. Ana dönem 
Ve 
eşittir 
,
Ve 
. Fonksiyonun periyodunu bulalım 
. İzin vermek 
- bu işlevin süresi. Daha sonra
(Çünkü 
.
yada yada 
.
Anlam T Birinci eşitlikten belirlenen , aşağıdakilere bağlı olduğundan bir nokta olamaz: X, yani bir fonksiyonudur X ve sabit bir sayı değil. Dönem ikinci eşitlikten belirlenir: 
. Sonsuz sayıda dönem vardır 
en küçük pozitif periyot elde edilir 
:
. Bu fonksiyonun ana dönemidir 
.
Daha karmaşık bir periyodik fonksiyonun örneği Dirichlet fonksiyonudur
şunu unutmayın: T bir rasyonel sayıdır o zaman 
Ve 
rasyonel sayılar rasyoneldir X ve mantıksızken mantıksız X. Bu yüzden
herhangi bir rasyonel sayı için T. Bu nedenle herhangi bir rasyonel sayı T Dirichlet fonksiyonunun periyodudur. Pozitif dönemler olduğundan bu fonksiyonun bir ana periyodu olmadığı açıktır. rasyonel sayılar, keyfi olarak sıfıra yakın (örneğin, rasyonel bir sayı seçimi yapılabilir) N keyfi olarak sıfıra yakın).
Teorem 4. Eğer fonksiyon F
sette tanımlanmış X ve bir dönemi var T ve fonksiyon G
sette tanımlanmış 
, o zaman karmaşık bir fonksiyon 
bir de dönemi var T.
Kanıt. Bu nedenle elimizde
yani teoremin ifadesi kanıtlanmıştır.
Örneğin, o zamandan beri çünkü
X
bir dönemi var 
, ardından işlevler 
bir dönemim var 
.
Tanım 4. Periyodik olmayan fonksiyonlar çağrılır düzenli olmayan .