Talimatlar

Eğer için verilen üçgen ikizkenar veya düzenli, yani
özelliğine göre iki veya üç kenarı, ardından açıortayı üçgen, aynı zamanda medyan olacaktır. Ve bu nedenle, tersi açıortay tarafından ikiye bölünecektir.

Cetvelle karşı tarafı ölçün üçgen, açıortayın yöneleceği yer. Bu tarafı ikiye bölüp ortasına bir nokta koyun.

Oluşturulan noktadan ve karşı köşeden geçen düz bir çizgi çizin. Bu açıortay olacak üçgen.

Kaynaklar:

• Bir üçgenin medyanları, bisektörleri ve yükseklikleri

Bir açıyı ikiye bölerek, üst kısmından karşı tarafa çizilen çizginin uzunluğunu hesaplamak, kesicilerin, haritacıların, montajcıların ve diğer mesleklerden kişilerin yapması gereken bir iştir.

İhtiyacın olacak

• Araçlar Kalem Cetvel İletki Sinüs ve Kosinüs Tabloları Matematiksel formüller ve kavramlar: Açıortayın tanımı Sinüs ve kosinüs teoremleri Açıortay teoremi

Talimatlar

Size verilene bağlı olarak gerekli büyüklükte bir üçgen mi oluşturuyorsunuz? dfe kenarları ve aralarındaki açı, üç kenar veya iki açı ve bunların arasında bulunan kenar.

Köşelerin ve kenarların köşelerini geleneksel Latin harfleri A, B ve C ile etiketleyin. Köşelerin köşeleri ile işaretlenir ve karşı taraflar küçük harflerle işaretlenir. Köşeleri etiketleyin Yunan harfleri?,? Ve?

Sinüs ve kosinüs teoremlerini kullanarak açıları ve kenarları hesaplayın üçgen.

Bisektörleri hatırlayın. Ortay - bir açıyı ikiye bölen. Açıortay üçgen Zıt tarafı, bitişik iki kenarın oranına eşit iki parçaya böler üçgen.

Açıların açıortaylarını çizin. Ortaya çıkan parçaları yazılı açıların adlarıyla etiketleyin küçük harfler, alt simge l ile. c tarafı l endeksli a ve b segmentlerine bölünmüştür.

Sinüs yasasını kullanarak elde edilen parçaların uzunluklarını hesaplayın.

Konuyla ilgili video

lütfen aklınızda bulundurun

Orijinal üçgenin kenarlarından biri, açıortay ve parçanın kendisi tarafından oluşturulan üçgenin aynı anda kenarı olan parçanın uzunluğu sinüs kanunu kullanılarak hesaplanır. Aynı kenarın başka bir parçasının uzunluğunu hesaplamak için, elde edilen parçaların orijinal üçgenin bitişik kenarlarına oranını kullanın.

Yararlı tavsiye

Karışıklığı önlemek için açıortayları çizin farklı açılar farklı renkler.

Açıortay açı tepe noktasından başlayan ışına denir açı ve onu iki eşit parçaya bölüyoruz. Onlar. harcamak açıortay ortasını bulman lazım açı. Bunu yapmanın en kolay yolu pusula kullanmaktır. Bu durumda herhangi bir hesaplama yapmanıza gerek kalmaz ve sonuç, miktarın olup olmamasına bağlı olmayacaktır. açı bir tamsayı.

İhtiyacın olacak

• pusula, kalem, cetvel.

Talimatlar

Pusula açıklığının genişliğini aynı bırakarak iğneyi kenarlardan birindeki parçanın ucuna yerleştirin ve dairenin bir kısmını içeriye girecek şekilde çizin açı. Aynısını ikinciyle de yapın. İçinde kesişecek iki daire parçası elde edeceksiniz açı- yaklaşık olarak ortada. Çemberlerin parçaları bir veya iki noktada kesişebilir.

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Bir açının açıortayını oluşturmak için iletki kullanabilirsiniz ancak bu yöntem için daha fazla doğruluk. Ayrıca açı değeri tam sayı değilse açıortay yapımında hata olasılığı artar.

Ev tasarımı projeleri inşa ederken veya geliştirirken genellikle köşe, halihazırda mevcut olana eşittir. Şablonlar kurtarmaya geliyor okul bilgisi geometri.

Talimatlar

Bir noktadan çıkan iki doğrunun oluşturduğu açıya açı denir. Bu noktaya açının tepe noktası adı verilecek ve çizgiler açının kenarları olacaktır.

Köşeleri belirtmek için üç tane kullanın: biri üstte, ikisi yanlarda. İsminde köşe, bir tarafta duran harften başlayarak, sonra üstte duran harfe, ardından diğer tarafta duran harfe denir. Aksini tercih ederseniz, açıları belirtmek için başkalarını kullanın. Bazen üstte olan yalnızca bir harf adlandırılır. Ve açıları Yunan harfleriyle, örneğin α, β, γ ile belirtebilirsiniz.

Gerekli olduğu durumlar vardır köşe verilen açıdan daha dar olacak şekilde. İnşaat sırasında iletki kullanmak mümkün değilse, yalnızca cetvel ve pusula ile idare edebilirsiniz. Diyelim ki, MN harfleriyle işaretlenmiş düz bir çizgi üzerinde oluşturmanız gerekiyor köşe K noktasında, B açısına eşit olacak şekilde. Yani, K noktasından MN çizgisine sahip düz bir çizgi çizmek gerekir. köşe, B açısına eşit olacaktır.

Her iki tarafta bir nokta işaretleyerek başlayın. verilen açıörneğin A ve C noktalarını, ardından C ve A noktalarını düz bir çizgiyle birleştirin. Tre'yi al köşe nik ABC.

Şimdi aynı treyi MN düz çizgisi üzerinde inşa edin köşe böylece B köşesi K noktasındaki doğru üzerinde olacaktır. Üçgen oluşturma kuralını kullanın köşe nnik üçte. KL doğru parçasını K noktasından ayırın. BC segmentine eşit olmalıdır. L noktasını alın.

K noktasından yarıçapı BA doğru parçasına eşit olan bir daire çizin. L'den CA yarıçaplı bir daire çizin. İki dairenin kesişme noktasını (P) K ile birleştirin. Üç tane alın köşeÜçe eşit olacak KPL köşe ABC'nin kitabı. Bu şekilde elde edilir köşe K. B açısına eşit olacaktır. Bunu daha rahat ve hızlı hale getirmek için B tepe noktasından bir kenara koyun. eşit segmentler, bir pusula açıklığı kullanarak, bacakları hareket ettirmeden, K noktasından itibaren aynı yarıçapa sahip bir daire çizin.

Konuyla ilgili video

İpucu 5: İki kenarı ve kenarortayını kullanarak bir üçgen nasıl oluşturulur?

Üçgen, bu çokgenin kenarlarını oluşturan bölümlerle çiftler halinde birbirine bağlanan üç köşeye sahip en basit geometrik şekildir. Köşeyi karşı kenarın ortasına bağlayan parçaya medyan denir. İki kenarın uzunluğunu ve köşelerden birine bağlanan kenarortayı bilerek, üçüncü kenarın uzunluğu veya açıların boyutu hakkında bilgi sahibi olmadan bir üçgen oluşturabilirsiniz.

Talimatlar

A noktasından, uzunluğu üçgenin (a) bilinen kenarlarından biri olan bir doğru parçası çizin. Bu parçanın bitiş noktasını B harfiyle işaretleyin. Bundan sonra, istenilen üçgenin kenarlarından birinin (AB) zaten oluşturulmuş olduğu düşünülebilir.

Bir pusula kullanarak, yarıçapı kenarortanın uzunluğunun iki katına (2∗m) eşit ve merkezi A noktasında olan bir daire çizin.

Pusula kullanarak yarıçapı olan ikinci bir daire çizin uzunluğa eşit bilinen taraf(b) ve merkezi B noktasında olacak şekilde. Pusulayı bir süreliğine bir kenara koyun, ancak ölçülen olanı üzerinde bırakın - biraz sonra tekrar ihtiyacınız olacak.

A noktasını çizdiğiniz ikisinin kesişim noktasına bağlayan bir doğru parçası oluşturun. Bu parçanın yarısı, oluşturduğunuz parça olacaktır - bu yarıyı ölçün ve M noktasını koyun. Şu anda istediğiniz üçgenin (AB) bir kenarına ve onun kenarortayına (AM) sahipsiniz.

Bir pusula kullanarak, yarıçapı bilinen ikinci kenarın (b) uzunluğuna eşit ve merkezi A noktasında olan bir daire çizin.

B noktasından başlayıp M noktasından geçmesi ve önceki adımda çizdiğiniz daireyle düz çizginin kesiştiği noktada bitmesi gereken bir doğru parçası çizin. Kesişme noktasını C harfi ile belirtiniz. Artık problemin koşullarına göre bilinmeyen BC tarafı istenilen tarafta inşa edilmiştir.

Herhangi bir açıyı açıortay ile bölme yeteneği sadece matematikte “A” almak için gerekli değildir. Bu bilgi inşaatçılar, tasarımcılar, haritacılar ve terziler için çok faydalı olacaktır. Hayatta birçok şeyi ikiye bölebilmeniz gerekir.

Okuldaki herkes köşelerden koşan ve köşeyi ikiye bölen bir fareyle ilgili bir fıkra öğrenmişti. Bu çevik ve zeki kemirgenin adı Bisector'du. Farenin köşeyi nasıl böldüğü bilinmiyor ve matematikçiler okul ders kitabı"Geometri" için aşağıdaki yöntemler önerilebilir.

İletki kullanma

Açıortayı yürütmenin en kolay yolu bir cihaz kullanmaktır. İletkiyi açının bir tarafına, referans noktasını O ucuyla hizalayarak takmanız gerekir. Ardından açıyı derece veya radyan cinsinden ölçün ve ikiye bölün. Aynı iletkiyi kullanarak elde edilen dereceleri kenarlardan birinden ayırın ve O açısının başlangıç ​​noktasına açıortay olacak düz bir çizgi çizin.

Pusula kullanma

Bir pusula almanız ve onu herhangi bir boyuta (çizimin sınırları dahilinde) taşımanız gerekir. Ucu O açısının başlangıç ​​noktasına yerleştirdikten sonra, üzerlerinde iki nokta işaretleyerek ışınları kesen bir yay çizin. A1 ve A2 olarak adlandırılırlar. Daha sonra pusulayı dönüşümlü olarak bu noktalara yerleştirerek, aynı isteğe bağlı çapta (çizim ölçeğinde) iki daire çizmelisiniz. Kesişme noktaları C ve B olarak belirlenmiştir. Daha sonra, istenen açıortay olacak O, C ve B noktalarından düz bir çizgi çizmeniz gerekir.

Cetvel kullanma

Cetvel kullanarak bir açının açıortayını çizmek için, O noktasından itibaren ışınların (kenarların) üzerindeki bölümleri çizmeniz gerekir. aynı uzunluk ve bunları A ve B noktaları olarak belirtin. Daha sonra bunları düz bir çizgiyle birleştirmeli ve bir cetvel kullanarak elde edilen parçayı ikiye bölerek C noktasını belirtmelisiniz. C noktalarından düz bir çizgi çizerseniz ve bir açıortay elde edilecektir. O.

Alet yok

Değilse ölçüm aletleri, yaratıcılığınızı kullanabilirsiniz. Aydınger kağıdına veya sıradan ince kağıda basitçe bir açı çizmek ve kağıt parçasını açının ışınları hizalanacak şekilde dikkatlice katlamak yeterlidir. Çizimdeki katlama çizgisi istenen açıortay olacaktır.

Düz açı

Aynı yöntemler kullanılarak 180 dereceden büyük bir açı açıortay ile bölünebilir. Sadece onu değil, daireden kalan ona bitişik olan dar açıyı bölmek gerekli olacaktır. Bulunan açıortayın devamı, açılmamış açıyı ikiye bölerek istenen düz çizgi haline gelecektir.

Bir üçgendeki açılar

Şunu unutmamak gerekir ki eşkenar üçgen açıortay aynı zamanda medyan ve yüksekliktir. Bu nedenle içindeki açıortay, açının (yüksekliğin) karşısındaki tarafa dik olan kısmı basitçe indirerek veya bu tarafı ikiye bölüp orta noktayı birleştirerek bulunabilir. ters açı(medyan).

Konuyla ilgili video

Anımsatıcı kural"Bir açıortay, köşelerin etrafında koşan ve onları ikiye bölen bir faredir" kavramının özünü açıklıyor, ancak bir açıortay yapımına ilişkin öneriler vermiyor. Bunu çizmek için kurala ek olarak bir pusulaya ve bir cetvele ihtiyacınız olacak.

Talimatlar

Diyelim ki inşa etmeniz gerekiyor açıortay A açısı. Bir pusula alın, ucunu A noktasına (açı) yerleştirin ve herhangi bir daire çizin. Köşenin kenarlarıyla kesiştiği yere B ve C noktalarını yerleştirin.

İlk dairenin yarıçapını ölçün. B noktasına bir pusula yerleştirerek aynı yarıçapa sahip başka bir tane çizin.

Merkezi C noktasında olacak şekilde bir sonraki daireyi (öncekilere eşit boyutta) çizin.

Üç dairenin tümü bir noktada kesişmelidir - buna F diyelim. Bir cetvel kullanarak, A ve F noktalarından geçen bir ışın çizin. Bu, A açısının istenen açıortayı olacaktır.

Bulmanıza yardımcı olacak birkaç kural vardır. Örneğin, bunun tam tersi, orana eşit iki bitişik taraf. İkizkenarlarda

Üçgen - üç tarafı olan veya kapalı bir çokgen kırık çizgiüç bağlantılı veya aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçadan oluşan bir şekil (bkz. Şekil 1).

Temel unsurlar abc üçgeni

Zirveler – A, B ve C noktaları;

Partiler – köşeleri birbirine bağlayan a = BC, b = AC ve c = AB segmentleri;

Açılar – α, β, γ üç kenar çiftinden oluşur. Açılar genellikle köşelerle aynı şekilde A, B ve C harfleriyle gösterilir.

Bir üçgenin kenarlarının oluşturduğu ve onun iç alanında kalan açıya iç açı, komşu olan açıya da üçgenin komşu açısı denir (2, s. 534).

Bir üçgenin yükseklikleri, kenarortayları, açıortayları ve orta çizgileri

Üçgenin ana elemanlarına ek olarak ilginç özelliklere sahip diğer parçalar da dikkate alınır: yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar ve orta çizgiler.

Yükseklik

Üçgen yükseklikleri- bunlar üçgenin köşelerinden zıt taraflara bırakılan dikmelerdir.

Yüksekliği çizmek için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) üçgenin kenarlarından birini içeren düz bir çizgi çizin (eğer yükseklik tepe noktasından çiziliyorsa) dar açı geniş bir üçgende);

2) Çizilen çizginin karşısındaki tepe noktasından, noktadan bu çizgiye 90 derecelik bir açı yaparak bir parça çizin.

Yüksekliğin üçgenin kenarı ile kesiştiği noktaya denir. yükseklik tabanı (bkz. Şekil 2).

Üçgen yüksekliklerinin özellikleri

Bir dik üçgende tepe noktasından çizilen yükseklik dik açı, onu orijinal üçgene benzer iki üçgene böler.

Dar bir üçgende, iki yüksekliği benzer üçgenleri ondan keser.

Eğer üçgen dar açılı ise tüm yükseklik tabanları üçgenin kenarlarına aittir ve geniş üçgen kenarların devamında iki yükseklik düşer.

Üç yükseklik dar üçgen bir noktada kesişir ve bu noktaya denir ortomerkez üçgen.

Medyan

Medyanlar(Latince mediana'dan - “orta”) - bunlar üçgenin köşelerini karşı tarafların orta noktalarına bağlayan bölümlerdir (bkz. Şekil 3).

Medyanı oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) kenarın ortasını bulun;

2) Üçgenin kenarının ortasındaki noktayı karşı köşeye bir doğru parçasıyla bağlayın.

Üçgen kenarortaylarının özellikleri

Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.

Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her biri köşeden sayılarak 2:1 oranında bölünür. Bu noktaya denir ağırlık merkezi üçgen.

Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.

Açıortay

Bisektörler(Latince bis - iki kez ve seko - kesimden gelir), bir üçgenin içine alınmış ve açılarını ikiye bölen düz çizgi parçalarıdır (bkz. Şekil 4).

Bir açıortay oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) açının tepe noktasından çıkan ve onu iki eşit parçaya (açının açıortayı) bölen bir ışın oluşturun;

2) Üçgenin açısının açıortayının kesişme noktasını bulun. karşı taraf;

3) üçgenin tepe noktasını karşı taraftaki kesişme noktasına bağlayan bir doğru parçası seçin.

Üçgen ortayların özellikleri

Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı bitişik iki kenarın oranına eşit bir oranda böler.

Üçgenin iç açılarının açıortayları bir noktada kesişir. Bu noktaya yazılı dairenin merkezi denir.

İç ve dış açıların açıortayları diktir.

Bir üçgende bir dış açının açıortayı karşı kenarın uzantısıyla kesişiyorsa ADBD=ACBC olur.

Bir iç ve iki açıortay dış köşelerüçgenler bir noktada kesişir. Bu nokta üç noktadan birinin merkezidir. dış çevreler bu üçgen.

Bir üçgenin iki iç ve bir dış açısının açıortaylarının tabanları, eğer dış açının açıortayı üçgenin karşı kenarına paralel değilse aynı düz çizgi üzerinde bulunur.

Bir üçgenin dış açılarının açıortayları karşı kenarlara paralel değilse tabanları aynı düz çizgi üzerindedir.

Üçgenin iç açılarına üçgenin açıortayı denir.
Bir üçgenin açısının açıortayı aynı zamanda köşe noktası ile açıortayın üçgenin karşı tarafıyla kesişme noktası arasındaki bölüm olarak da anlaşılır.
Teorem 8. Bir üçgenin üç açıortayı bir noktada kesişir.
Aslında, önce iki açıortayın, örneğin AK 1 ve VK 2'nin kesişim noktası P'yi ele alalım. Bu nokta, A açısının ortaortasında yer aldığı için AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıkta, B açısının ortaortasına ait olduğundan AB ve BC kenarlarından da eşit uzaklıkta. AC ve BC kenarlarıdır ve dolayısıyla üçüncü açıortay CK 3'e aittir, yani P noktasında üç açıortay da kesişir.
Bir üçgenin iç ve dış açılarının açıortaylarının özellikleri
Teorem 9. Açıortay iç köşe Bir üçgenin karşı tarafı bitişik kenarlarla orantılı parçalara bölünür.
Kanıt. ABC üçgenini ve onun B açısının açıortayını ele alalım. C köşesinden, BC açıortayına paralel, AB kenarının devamı ile M noktasında kesişene kadar bir CM düz çizgisi çizelim. VC, ABC açısının açıortayı olduğundan ∠ ABC = ∠ KBC olur. Ayrıca, paralel çizgiler için karşılık gelen açılar olarak ∠ АВК=∠ ВСМ ve paralel çizgiler için çapraz açılar olarak ∠ КВС=∠ ВСМ. Dolayısıyla ∠ ВСМ=∠ ВМС ve dolayısıyla ВСМ üçgeni ikizkenardır, dolayısıyla ВС=ВМ. Bir açının kenarlarını kesen paralel çizgilerle ilgili teoreme göre, AK:K C=AB:VM=AB:BC elde edilir ve bunun kanıtlanması gerekir.
Teorem 10 Dış açı B'nin açıortayı ABC üçgeni benzer bir özelliğe sahiptir: A ve C köşelerinden, açıortayın AC tarafının devamı ile kesiştiği L noktasına kadar olan AL ve CL bölümleri üçgenin kenarlarıyla orantılıdır: AL: C.L.=AB:BC.
Bu özellik öncekiyle aynı şekilde kanıtlanmıştır: şekilde bir yardımcı çizgi SM, açıortay BL'ye paralel olarak çizilmiştir. BMC ve BC açıları eşittir, yani BMC üçgeninin BM ve BC kenarları eşittir. Buradan AL:CL=AB:BC sonucuna varıyoruz.

Teorem d4. (ortaortay için ilk formül): Eğer ABC üçgeninde AL doğru parçası A açısının açıortayı ise, o zaman AL? = AB·AC - LB·LC.

Kanıt: AL doğrusu ile ABC üçgeninin çevrelediği çemberin kesişme noktası M olsun (Şekil 41). BAM açısı koşula göre MAC açısına eşittir. BMA ve BCA açıları, aynı kirişin oluşturduğu yazılı açılar olarak uyumludur. Bu, BAM ve LAC üçgenlerinin iki açıda benzer olduğu anlamına gelir.<=>Bu nedenle AL: AC = AB: AM. Yani AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC

AL mı? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Kanıtlanması gereken şey buydu. Not: Bir daire içinde kesişen kirişlerin parçaları ve yazılı açılar hakkındaki teorem için daire ve daire konusuna bakın.
Teorem d5.

Kanıt:(ortaortay için ikinci formül): Kenarları AB=a, AC=b ve A açısı 2'ye eşit olan bir ABC üçgeninde? ve açıortay l, eşitlik geçerlidir:<=>l = (2ab / (a+b)) çünkü?<=>ABC verilen üçgen olsun, AL onun açıortayı olsun (Şekil 42), a=AB, b=AC, l=AL. O halde S ABC = S ALB + S ALC. Bu nedenle absin2? = alsin? +blsin?

2absin?·çünkü? = (a + b) lsın?

l = 2·(ab / (a+b))· çünkü?. Teorem kanıtlandı. Geometri en karmaşık ve kafa karıştırıcı bilimlerden biridir. İlk bakışta bariz görünen şeyin çok nadiren doğru olduğu ortaya çıkıyor. Açıortaylar, yükseklikler, kenarortaylar, projeksiyonlar, teğetler - karıştırılması çok kolay olan çok sayıda gerçekten zor terim. Aslında, uygun arzuyla her karmaşıklıktaki bir teoriyi anlayabilirsiniz. Açıortaylar, kenarortaylar ve yükseklikler söz konusu olduğunda bunların üçgenlere özgü olmadığını anlamalısınız. İlk bakışta bu basit çizgiler, ancak her birinin kendi özellikleri ve işlevleri vardır; bunların bilgisi çözümü büyük ölçüde basitleştirir

geometrik problemler

. Peki bir üçgenin açıortayı nedir? Tanım"Ortaortay" teriminin kendisi şu kombinasyondan gelir: Latince kelimeler Zaten dolaylı olarak özelliklerini gösteren "iki" ve "kes", "kes". Genellikle çocuklar bu ışınla tanıştırıldığında onlara hatırlamaları için kısa bir cümle verilir: "Ortalayıcı, köşelerin etrafında koşan ve köşeyi ikiye bölen bir faredir." Doğal olarak böyle bir açıklama daha büyük okul çocukları için uygun değildir, üstelik onlara genellikle açı değil geometrik şekil sorulur. Yani bir üçgenin açıortayı, açıyı iki eşit parçaya bölerek üçgenin tepe noktasını karşı tarafa bağlayan bir ışındır. Açıortayın karşı tarafta geldiği nokta

keyfi üçgen

Bu ışının birkaç temel özelliği vardır. Birincisi, bir üçgenin açıortayı açıyı ikiye böldüğü için üzerinde bulunan herhangi bir nokta üçgenin üzerinde olacaktır. eşit mesafeüst kısmı oluşturan yanlardan. İkinci olarak, her üçgende, mevcut açı sayısına göre üç açıortay çizebilirsiniz (bu nedenle, aynı dörtgende zaten dört tane olacaktır, vb.). Üç ışının da kesiştiği nokta, üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir.

Özellikler daha karmaşık hale gelir

Teoriyi biraz karmaşıklaştıralım. Bir şey daha ilginç özellik: Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı parçalara ayırır; bu parçaların oranı tepe noktasını oluşturan kenarların oranına eşittir. İlk bakışta bu karmaşık görünse de aslında her şey basittir: Önerilen şekilde RL: LQ = PR: PK. Bu arada, bu özelliğe “İkiortay Teoremi” adı verildi ve ilk olarak antik Yunan matematikçi Öklid'in eserlerinde ortaya çıktı. Rus ders kitaplarından birinde ancak on yedinci yüzyılın ilk çeyreğinde hatırlanmıştı.

Biraz daha karmaşık. Bir dörtgende açıortay bir ikizkenar üçgeni keser. Bu şekil her şeyi gösteriyor eşit açılar medyan AF için.

Dörtgenlerde ve yamuklarda ise tek taraflı açıların açıortayları birbirine diktir. Gösterilen çizimde APB açısı 90 derecedir.

Bir ikizkenar üçgende

İkizkenar üçgenin açıortayı çok daha kullanışlı bir ışındır. Aynı zamanda sadece bir açıyı ikiye bölen değil, aynı zamanda ortanca ve yüksekliği de ifade eder.

Medyan, bir köşeden gelen ve karşı tarafın ortasına düşen ve böylece onu eşit parçalara bölen bir segmenttir. Yükseklik, bir tepe noktasından karşı tarafa doğru inen dik bir çizgidir; onun yardımıyla herhangi bir problem basit ve ilkel bir Pisagor teoremine indirgenebilir. Bu durumda üçgenin açıortayı, hipotenüsün karesi ile diğer kenar arasındaki farkın köküne eşittir. Bu arada, bu özelliğe en çok geometrik problemlerde rastlanır.

Birleştirmek için: bu üçgende, FB açıortayı ortancadır (AB = BC) ve yüksekliktir (FBC ve FBA açıları 90 derecedir).

Genel anlamda

Peki neyi hatırlamanız gerekiyor? Bir üçgenin açıortayı, tepe noktasını ikiye bölen ışındır. Üç ışının kesişme noktasında, belirli bir üçgenin içine yazılmış bir dairenin merkezi vardır (bu özelliğin tek dezavantajı, pratik değer ve yalnızca çizimin yetkili bir şekilde yürütülmesine hizmet eder). Ayrıca karşı tarafı, oranı bu ışının arasından geçtiği tarafların oranına eşit olan parçalara böler. Bir dörtgende özellikler biraz daha karmaşık hale gelir, ancak kabul etmek gerekir ki pratikte hiçbir zaman problemlerle karşılaşmazlar. okul seviyesi, dolayısıyla programda bunlara genellikle değinilmez.

İkizkenar üçgenin açıortayı her okul çocuğunun en büyük hayalidir. Hem ortancadır (yani karşı tarafı ikiye böler) hem de yüksekliktir (o tarafa dik). Böyle bir açıortay ile problemlerin çözümü Pisagor teoremine indirgenir.

Açıortayın temel fonksiyonlarının yanı sıra temel özelliklerinin bilgisi, hem ortalama hem de geometrik problemlerin çözümü için gereklidir. yüksek seviye karmaşıklık. Aslında bu ışın yalnızca planimetride bulunur, dolayısıyla onunla ilgili bilgileri ezberlemenin her türlü görevle başa çıkmanıza olanak sağlayacağı söylenemez.

Bir üçgenin bir açısının ortayağı nedir? Bu soruya bazıları ünlü farenin köşelerde koşup köşeyi ikiye böldüğünü düşünüyor." Eğer yanıt "mizahi" olacaksa, o zaman belki de doğrudur. bilimsel nokta Bir perspektiften bakıldığında, bu sorunun cevabı şöyle bir şey gibi görünmelidir: açının tepe noktasından başlayıp ikincisini iki eşit parçaya bölmek." Geometride bu şekil aynı zamanda açıortay ile kesişene kadar bir parça olarak da algılanır. Bu yanlış bir görüş değil. Peki bir açının açıortayı hakkında tanımı dışında başka neler biliniyor?

Başkaları gibi yer noktaları, kendine has özellikleri vardır. Bunlardan ilki daha ziyade bir işaret bile değil, kısaca şu şekilde ifade edilebilecek bir teoremdir: “Karşısındaki taraf bir açıortay ile iki parçaya bölünürse, bunların oranı orantıya karşılık gelecektir. büyük bir üçgenin kenarları.”

Sahip olduğu ikinci özellik: tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasına iç merkez denir.

Üçüncü işaret: Bir üçgenin bir iç ve iki dış açısının açıortayları, üç yazılı daireden birinin merkezinde kesişir.

Bir üçgenin açıortayının dördüncü özelliği, her biri eşitse ikincisinin ikizkenar olmasıdır.

Beşinci işaret aynı zamanda bir ikizkenar üçgenle ilgilidir ve açıortay çiziminde tanınması için ana kılavuzdur, yani: bir ikizkenar üçgende aynı anda medyan ve yükseklik görevi görür.

Açıortay bir pergel ve cetvel kullanılarak oluşturulabilir:

Altıncı kural, ikincisini yalnızca mevcut açıortaylarla kullanarak bir üçgen oluşturmanın imkansız olduğunu belirtir; tıpkı bir küpün ikiye katlanmasının, bir dairenin karesinin alınmasının ve bir açının üçe bölünmesinin bu şekilde inşa edilmesinin imkansız olduğu gibi. Kesin olarak konuşursak, bunların hepsi bir üçgenin açıortayının özellikleridir.

Önceki paragrafı dikkatlice okuduysanız, belki bir cümle ilginizi çekmiştir. "Bir açının üçe bölünmesi nedir?" - muhtemelen soracaksınız. Trisektör açıortay'a biraz benzer, ancak ikincisini çizerseniz açı iki eşit parçaya bölünecek ve bir üç bölüm oluştururken üçe bölünecektir. Doğal olarak bir açının açıortayını hatırlamak daha kolaydır çünkü üçe bölme okulda öğretilmemektedir. Ama tamlık adına, size de anlatacağım.

Daha önce de söylediğim gibi, bir trisektör yalnızca pergel ve cetvelle oluşturulamaz, Fujita kuralları ve bazı eğriler kullanılarak oluşturulabilir: Pascal salyangozları, dörtgenleri, Nicomedes konkoidleri, konik bölümler,

Bir açının üçe bölünmesiyle ilgili problemler nevsis kullanılarak oldukça basit bir şekilde çözülür.

Geometride açı üçektörleriyle ilgili bir teorem vardır. Buna Morley teoremi denir. Ortada yer alan her açının üç sektörlerinin kesişme noktalarının köşeler olacağını belirtmektedir.

Büyük bir üçgenin içindeki küçük siyah üçgen her zaman eşkenar olacaktır. Bu teorem 1904 yılında İngiliz bilim adamı Frank Morley tarafından keşfedildi.

Bir açıyı bölmeyle ilgili öğrenebileceğiniz şeyler şunlardır: Bir açının üçe bölücüsü ve ortayı her zaman ayrıntılı açıklamalar gerektirir. Ancak burada henüz açıklamadığım birçok tanım verildi: Pascal salyangozu, Nicomedes konkoidi vb. Emin olun onlar hakkında yazılacak daha çok şey var.