NNN editörleri yanlışlıkla xtsarx kullanıcısının blogunda teorinin unsurlarına adanmış çok ilginç bir materyalle karşılaştılar. fraktallar ve pratik uygulaması. Bilindiği gibi fraktal terya, nanosistemlerin fiziği ve kimyasında önemli bir rol oynamaktadır. Geniş bir okuyucu kitlesinin erişebileceği bir dilde sunulan, bol miktarda grafik ve hatta video materyalle desteklenen bu güzel materyale katkıda bulunarak dikkatlerinize sunuyoruz. NNN okuyucularının bu materyali ilginç bulacağını umuyoruz.
Doğa o kadar gizemli ki, onu ne kadar çok incelerseniz o kadar çok soru ortaya çıkıyor... Gece şimşekleri - dallanan deşarjların mavi "jetleri", penceredeki ayaz desenler, kar taneleri, dağlar, bulutlar, ağaç kabuğu - bunların hepsi olağanın ötesine geçiyor Öklid geometrisi. Bir kayayı ya da bir adanın sınırlarını düz çizgilerle, dairelerle, üçgenlerle anlatamayız. Ve burada yardımımıza geliyorlar fraktallar. Bu tanıdık yabancılar neler?
"Mikroskop altında pire üzerinde şunu keşfetti:
Hayatları ısıran bir pire;
O pirenin üzerinde minik bir pire var.
Bir diş öfkeyle pireyi deler
Küçük bir pire ve böylece sonsuza kadar.” D. Swift.
Biraz tarih
İlk fikirler fraktal geometri 19. yüzyılda ortaya çıktı. Cantor, basit bir özyinelemeli (tekrarlayan) prosedür kullanarak çizgiyi bağlantısız noktalardan oluşan bir koleksiyona (Cantor Tozu olarak adlandırılan) dönüştürdü. Bir çizgi alıp ortadaki üçte birlik kısmı kaldırıyor ve ardından aynı şeyi geri kalan bölümlerle tekrarlıyordu.
Pirinç. 1. Peano eğrisi 1,2–5 yineleme.
Peano özel bir çizgi çizdi. Peano şunları yaptı:: İlk adımda düz bir çizgi aldı ve onun yerine orijinal çizginin uzunluğundan 3 kat daha kısa 9 parça koydu. Daha sonra ortaya çıkan çizginin her bölümü için aynısını yaptı. Ve bu sonsuza kadar devam edecek. Benzersizliği tüm düzlemi doldurmasıdır. Düzlemdeki her nokta için Peano çizgisine ait bir noktanın bulunabileceği kanıtlanmıştır. Peano'nun eğrisi ve Cantor'un tozu sıradan geometrik nesnelerin ötesine geçti. Net bir boyutları yoktu. Cantor'un tozu tek boyutlu bir düz çizgi temelinde inşa edilmiş gibi görünüyordu, ancak noktalardan (boyut 0) oluşuyordu. Ve Peano eğrisi tek boyutlu bir çizgiye dayanarak oluşturuldu ve sonuç bir düzlemdi. Bilimin diğer birçok alanında, çözümleri yukarıda açıklananlara benzer garip sonuçlara (Brown hareketi, hisse senedi fiyatları) yol açan sorunlar ortaya çıktı. Her birimiz bu işlemi yapabiliriz...
Fraktalların Babası
20. yüzyıla kadar bu tür tuhaf nesnelere ilişkin veriler, onları sistemleştirmeye yönelik herhangi bir girişimde bulunulmadan biriktiriliyordu. Ben onları işe alana kadar öyleydi Benoit Mandelbrot – modern fraktal geometrinin ve fraktal kelimesinin babası.
Pirinç. 2. Benoit Mandelbrot.
IBM'de matematik analisti olarak çalışırken elektronik devrelerde istatistik kullanılarak tanımlanamayan gürültüyü inceledi. Gerçekleri yavaş yavaş karşılaştırarak matematikte yeni bir yön keşfetmeye başladı: fraktal geometri.
“Fraktal” terimi 1975 yılında B. Mandelbrot tarafından tanıtıldı. Mandelbrot'a göre, fraktal(Latince “fractus”tan - kesirli, kırık, kırık) denir Bütüne benzer parçalardan oluşan yapı. Kendine benzerlik özelliği, fraktalları klasik geometri nesnelerinden keskin bir şekilde ayırır. Terim kendine benzerlik araç Nesnenin hem en küçük ölçeklerinde hem de makro ölçekte ince, tekrar eden bir yapının varlığı.
Pirinç. 3. “Fraktal” kavramının tanımına doğru.
Kendi kendine benzerliğe örnekler:: Koch, Levy, Minkowski eğrileri, Sierpinski üçgeni, Menger süngeri, Pisagor ağacı vb.
Matematiksel açıdan bakıldığında, fraktal- bu, her şeyden önce, kesirli (ara, “tamsayı değil”) boyuta sahip küme. Pürüzsüz bir Öklid çizgisi tam olarak tek boyutlu uzayı doldururken, fraktal bir eğri tek boyutlu uzayın sınırlarının ötesine uzanarak iki boyutlu uzayın sınırlarını aşıyor. Böylece Koch eğrisinin fraktal boyutu 1 ile 2 arasında olacaktır. Bu, her şeyden önce şu anlama gelir: Fraktal bir nesne için uzunluğunu doğru bir şekilde ölçmek imkansızdır! Bu geometrik fraktallardan ilki çok ilginç ve oldukça ünlüdür. Koch'un kar tanesi.
Pirinç. 4. “Fraktal” kavramının tanımına doğru.
Temel üzerine inşa edilmiştir eşkenar üçgen. Her satırı, her biri orijinal uzunluğunun 1/3'ü olan 4 satırla değiştirilir. Böylece her yinelemede eğrinin uzunluğu üçte bir oranında artar. Ve eğer sonsuz sayıda yineleme yaparsak, bir fraktal elde ederiz - sonsuz uzunlukta bir Koch kar tanesi. Sonsuz eğrimizin sınırlı bir alanı kapsadığı ortaya çıktı. Öklid geometrisindeki yöntemleri ve rakamları kullanarak aynısını yapmaya çalışın.
Koch kar tanesi boyutu(Kar tanesi 3 kat arttığında uzunluğu 4 kat artar) D=log(4)/log(3)=1.2619.
Fraktalın kendisi hakkında
Fraktallar bilim ve teknolojide giderek daha fazla uygulama buluyor. Bunun temel nedeni, gerçek dünyayı bazen geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyi tanımlamalarıdır. Doğadaki fraktal nesnelere sonsuz sayıda örnek verebilirsiniz - bunlar bulutlar, kar taneleri, dağlar, bir şimşek çakması ve son olarak karnabahardır. Doğal bir nesne olarak fraktal, sonsuz ve sürekli bir hareket, yeni oluşum ve gelişmedir.
Pirinç. 5. Ekonomide fraktallar.
Ayrıca, Fraktallar merkezi olmayan bilgisayar ağlarında uygulama alanı buluyor Ve "fraktal antenler" . "Brown fraktalları" olarak adlandırılanlar çok ilginçtir ve çeşitli stokastik (deterministik olmayan) "rastgele" süreçleri modellemek için umut vericidir. Nanoteknoloji durumunda fraktallar da önemli bir rol oynamaktadır. çünkü hiyerarşik öz-örgütlenmeleri nedeniyle birçok kişi nanosistemlerin tamsayı olmayan bir boyutu vardır yani geometrik, fizikokimyasal veya fonksiyonel doğaları itibarıyla fraktallardır. Örneğin, Kimyasal fraktal sistemlerin çarpıcı bir örneği “dendrimer” molekülleridir. . Ek olarak, fraktallık ilkesi (kendine benzer, ölçeklenen yapı) sistemin hiyerarşik yapısının bir yansımasıdır ve bu nedenle nanosistemlerin yapısını ve özelliklerini tanımlamada standart yaklaşımlardan daha genel ve evrenseldir.
Pirinç. 6. “Dendrimer” molekülleri.
Pirinç. 7. Mimarlık ve inşaat sürecinde iletişimin grafik modeli. Mikro süreçler açısından birinci düzey etkileşim.
Pirinç. 8. Mimarlık ve inşaat sürecinde iletişimin grafik modeli. Makro süreçler açısından ikinci düzey etkileşim (modelin bir parçası).
Pirinç. 9. Mimarlık ve inşaat sürecinde iletişimin grafik modeli. Makro süreçler açısından ikinci düzey etkileşim (modelin tamamı)
Pirinç. 10. Grafik modelin düzlemsel gelişimi. İlk homeostatik durum.
Güzel ve sıradışı fraktalların fotoğraf galerisi
Pirinç. 11.
Pirinç. 12.
Pirinç. 13.
Pirinç. 14.
Pirinç. 15.
Pirinç. 16.
Pirinç. 17.
Pirinç. 18.
Pirinç. 19.
Pirinç. 20.
Pirinç. 21.
Pirinç. 22.
Pirinç. 23.
Pirinç. 24.
Pirinç. 25.
Pirinç. 26.
Pirinç. 27.
Pirinç. 28.
Pirinç. 29.
Pirinç. 30.
Pirinç. 31.
Pirinç. 32.
Pirinç. 33.
Pirinç. 34.
Pirinç. 35.
Düzeltme ve düzenleme tamamlandı Filippov Yu.P.
Fraktal
Fraktal (lat. kırık- ezilmiş, kırılmış, kırılmış) kendine benzerlik özelliğine sahip, yani her biri şeklin tamamına benzeyen birkaç parçadan oluşan geometrik bir şekildir. Matematikte fraktallar, Öklid'deki nokta kümeleri olarak anlaşılır. kesirli bir metrik boyuta (Minkowski veya Hausdorff anlamında) veya topolojik olandan farklı bir metrik boyuta sahip uzay. Fraktazma, fraktalları inceleyen ve oluşturan bağımsız bir kesin bilimdir.
Başka bir deyişle fraktallar kesirli boyuta sahip geometrik nesnelerdir. Örneğin bir çizginin boyutu 1, alanı 2, hacmi 3'tür. Bir fraktal için boyut değeri 1 ile 2 arasında veya 2 ile 3 arasında olabilir. Örneğin buruşuk bir çizginin fraktal boyutu Kağıt topu yaklaşık 2,5'tur. Matematikte fraktalların boyutunu hesaplamak için özel bir karmaşık formül vardır. Trakeal tüplerin dalları, ağaçlardaki yapraklar, eldeki damarlar, bir nehir - bunlar fraktallardır. Basit bir ifadeyle fraktal, belirli bir kısmı tekrar tekrar tekrarlanan, boyutu değişen geometrik bir şekildir - bu, kendi kendine benzerlik ilkesidir. Fraktallar kendilerine benzerler, her seviyede (yani her ölçekte) kendilerine benzerler. Pek çok farklı fraktal türü vardır. Prensip olarak, ister bulut ister oksijen molekülü olsun, gerçek dünyada var olan her şeyin bir fraktal olduğu iddia edilebilir.
“Kaos” kelimesi insana öngörülemeyen bir şeyi hatırlatıyor ama aslında kaos oldukça düzenli ve belirli kanunlara uyuyor. Kaos ve fraktallar üzerinde çalışmanın amacı, ilk bakışta öngörülemez ve tamamen kaotik görünebilecek kalıpları tahmin etmektir.
Bu bilgi alanındaki öncü Fransız-Amerikalı matematikçi Profesör Benoit B. Mandelbrot'du. 1960'ların ortalarında kırık, buruşuk ve bulanık şekilleri analiz etmeyi amaçlayan fraktal geometriyi geliştirdi. Mandelbrot kümesi (şekilde gösterilmiştir), bir kişide "fraktal" kelimesini duyduğunda ortaya çıkan ilk çağrışımdır. Bu arada Mandelbrot, İngiliz kıyı şeridinin fraktal boyutunun 1,25 olduğunu tespit etti.
Fraktallar bilimde giderek daha fazla kullanılmaktadır. Gerçek dünyayı geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyi tanımlıyorlar. Brownian hareketi örneğin suda asılı duran toz parçacıklarının rastgele ve kaotik hareketidir. Bu tür hareket belki de fraktal geometrinin en pratik kullanıma sahip yönüdür. Rastgele Brown hareketi, büyük miktarda veri ve istatistik içeren olayları tahmin etmek için kullanılabilecek bir frekans tepkisine sahiptir. Örneğin Mandelbrot, Brownian hareketini kullanarak yün fiyatlarındaki değişiklikleri tahmin etti.
"Fraktal" kelimesi sadece matematiksel bir terim olarak kullanılamaz. Basında ve popüler bilim literatüründe bir fraktal, aşağıdaki özelliklerden herhangi birine sahip olan bir şekil olarak adlandırılabilir:
Her ölçekte önemsiz olmayan bir yapıya sahiptir. Bu, normal şekillerin (daire, elips, düzgün fonksiyonun grafiği gibi) tam tersidir: eğer çok büyük ölçekte normal bir şeklin küçük bir parçasını düşünürsek, düz bir çizginin parçası gibi görünecektir. Bir fraktal için ölçeğin arttırılması yapının basitleştirilmesine yol açmaz; tüm ölçeklerde eşit derecede karmaşık bir resim göreceğiz.
Kendine benzer veya yaklaşık olarak kendine benzer.
Kesirli bir metrik boyutu veya topolojik olanı aşan bir metrik boyutu vardır.
Fraktalların bilgisayar teknolojisindeki en kullanışlı kullanımı fraktal veri sıkıştırmasıdır. Aynı zamanda görüntüler, geleneksel yöntemlerle yapıldığından çok daha iyi bir şekilde (600:1'e kadar) sıkıştırılır. Fraktal sıkıştırmanın bir başka avantajı da büyütüldüğünde görüntüyü önemli ölçüde kötüleştiren pikselleşme etkisinin olmamasıdır. Üstelik, fraktal olarak sıkıştırılmış bir görüntü, büyütüldükten sonra genellikle eskisinden daha iyi görünür. Bilgisayar bilimcileri ayrıca sonsuz karmaşıklık ve güzellikteki fraktalların basit formüllerle üretilebileceğini de biliyorlar. Film endüstrisi gerçekçi manzara öğeleri (bulutlar, kayalar ve gölgeler) oluşturmak için fraktal grafik teknolojisini yaygın olarak kullanıyor.
Akışlardaki türbülansın incelenmesi fraktallara çok iyi uyum sağlar. Bu, karmaşık akışların dinamiklerini daha iyi anlamamızı sağlar. Fraktalları kullanarak alevleri de simüle edebilirsiniz. Gözenekli malzemeler, çok karmaşık bir geometriye sahip olmaları nedeniyle fraktal biçimde iyi temsil edilir. Verileri mesafeler üzerinden iletmek için, boyutlarını ve ağırlıklarını büyük ölçüde azaltan fraktal şekilli antenler kullanılır. Fraktallar yüzeylerin eğriliğini tanımlamak için kullanılır. Pürüzlü bir yüzey, iki farklı fraktalın birleşimiyle karakterize edilir.
Doğadaki birçok nesne, örneğin kıyılar, bulutlar, ağaç taçları, kar taneleri, insan veya hayvanların dolaşım sistemi ve alveolar sistemi gibi fraktal özelliklere sahiptir.
Fraktallar, özellikle düzlem üzerinde, güzelliğin bilgisayar kullanılarak yapım kolaylığı ile birleşimi nedeniyle popülerdir.
Alışılmadık özelliklere sahip kendine benzer kümelerin ilk örnekleri 19. yüzyılda ortaya çıktı (örneğin, Bolzano işlevi, Weierstrass işlevi, Cantor kümesi). "Fraktal" terimi, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından icat edildi ve 1977'de "Doğanın Fraktal Geometrisi" adlı kitabının yayınlanmasıyla yaygın bir popülerlik kazandı.
Soldaki resim, birbirine ezilmiş bir grup beşgen gibi görünen Darer Pentagon fraktalının basit bir örneğini gösteriyor. Aslında, başlatıcı olarak bir beşgen ve büyük kenarın küçüğüne oranının tam olarak altın orana (1.618033989 veya 1/(2cos72°)) eşit olduğu ikizkenar üçgenler kullanılarak oluşturulur. bir jeneratör. Bu üçgenler her bir beşgenin ortasından kesilerek, bir büyük beşgene yapıştırılmış 5 küçük beşgen gibi görünen bir şekil elde edilir. 
Kaos teorisi, karmaşık doğrusal olmayan sistemlerin kalıtsal olarak öngörülemez olduğunu söyler, ancak aynı zamanda bu tür öngörülemeyen sistemleri ifade etmenin yolunun tam eşitliklerde değil, sistemin davranışının temsillerinde - garip çekicilerin grafiklerinde - doğru olduğunu iddia eder. fraktallar biçimindedir. Böylece pek çok kişinin öngörülemezlik olarak düşündüğü kaos teorisinin, en kararsız sistemlerde bile öngörülebilirliğin bilimi olduğu ortaya çıkıyor. Dinamik sistemlerin incelenmesi, basit denklemlerin, sistemin asla kararlı bir duruma dönmediği ve hiçbir modelin ortaya çıkmadığı kaotik davranışlara yol açabileceğini göstermektedir. Genellikle bu tür sistemler, bir anahtar parametrenin belirli bir değerine kadar oldukça normal davranır, daha sonra daha fazla gelişme için iki olasılığın, ardından dört olasılığın ve son olarak da kaotik bir dizi olasılığın olduğu bir geçiş deneyimi yaşarlar.
Teknik nesnelerde meydana gelen süreç şemaları açıkça tanımlanmış bir fraktal yapıya sahiptir. Minimal teknik sistemin (TS) yapısı, TS içinde iki tür sürecin (ana süreç ve destekleyici süreç) ortaya çıktığını ima eder ve bu bölünme koşullu ve görecelidir. Herhangi bir süreç, destekleyici süreçlerle ilgili olarak ana süreç olabilir ve destekleyici süreçlerden herhangi biri, "onun" destekleyici süreçleriyle ilgili olarak ana süreç olarak kabul edilebilir. Diyagramdaki daireler, özel olarak "kendi" araçlarınızı yaratmanın gerekli olmadığı süreçlerin gerçekleşmesini sağlayan fiziksel etkileri göstermektedir. Bu süreçler maddeler, alanlar, maddeler ve alanlar arasındaki etkileşimlerin sonucudur. Daha doğrusu fiziksel etki, çalışma prensibini etkileyemediğimiz, tasarımına müdahale etmek istemediğimiz veya müdahale etme imkanımızın olmadığı bir araçtır. 
Diyagramda gösterilen ana sürecin akışı, bunları üreten TS için ana süreçler olan üç destekleyici sürecin varlığıyla sağlanır. Adil olmak gerekirse, minimal bir TS'nin bile işleyişi için üç sürecin açıkça yeterli olmadığını belirtiyoruz; Plan çok ama çok abartılı.
Her şey şemada gösterildiği kadar basit olmaktan uzaktır. Faydalı (kişinin ihtiyaç duyduğu) bir işlem yüzde yüz verimle gerçekleştirilemez. Dağıtılan enerji, zararlı süreçlerin (ısıtma, titreşim vb.) yaratılmasına harcanır. Sonuçta faydalı sürece paralel olarak zararlılar da ortaya çıkar. “Kötü” bir süreci “iyi” bir süreçle değiştirmek her zaman mümkün olmadığından, sisteme zarar verecek sonuçları telafi etmeye yönelik yeni süreçlerin düzenlenmesi gerekmektedir. Tipik bir örnek, kişiyi ustaca yağlama planları düzenlemeye, pahalı sürtünme önleyici malzemeler kullanmaya veya bileşenlerin ve parçaların yağlanması veya bunların periyodik olarak değiştirilmesi için zaman harcamaya zorlayan sürtünmeyle mücadele ihtiyacıdır.
Değişken bir Ortamın kaçınılmaz etkisi nedeniyle yararlı bir sürecin yönetilmesi gerekebilir. Kontrol, otomatik cihazlar kullanılarak veya doğrudan bir kişi tarafından gerçekleştirilebilir. Süreç diyagramı aslında bir dizi özel komuttan oluşur; algoritma. Her komutun özü (açıklaması), tek bir yararlı sürecin, ona eşlik eden zararlı süreçlerin ve bir dizi gerekli kontrol sürecinin bütünlüğüdür. Böyle bir algoritmada, destekleyici süreçler kümesi düzenli bir alt rutindir ve burada ayrıca bir fraktal keşfederiz. Çeyrek yüzyıl önce oluşturulan R. Koller'in yöntemi, yalnızca 12 çift işlevden (süreçten) oluşan oldukça sınırlı bir diziye sahip sistemler oluşturmayı mümkün kılıyor.
Matematikte alışılmadık özelliklere sahip kendine benzer kümeler
19. yüzyılın sonlarından itibaren matematikte klasik analiz açısından patolojik özelliklere sahip kendine benzer nesnelerin örnekleri ortaya çıkmıştır. Bunlar aşağıdakileri içerir:
Cantor kümesi hiçbir yerde yoğun sayılamayan mükemmel bir kümedir. Prosedürü değiştirerek, hiçbir yerde yoğun olmayan bir pozitif uzunluk seti de elde edilebilir.
Sierpinski üçgeni ("masa örtüsü") ve Sierpinski halısı, düzlemde yer alan Cantor'un analoglarıdır.
Menger'in süngeri, Cantor'un üç boyutlu uzaydaki setinin bir benzeridir;
Hiçbir yerde türevlenemeyen sürekli fonksiyonun Weierstrass ve Van der Waerden örnekleri.
Koch eğrisi, herhangi bir noktada teğeti olmayan, kendisiyle kesişmeyen, sonsuz uzunlukta sürekli bir eğridir;
Peano eğrisi karenin tüm noktalarından geçen sürekli bir eğridir.
Bir Brown parçacığının yörüngesi de hiçbir yerde 1 olasılıkla türevlenemez.
Hausdorff boyutu ikidir
Koch eğrisinin inşası
Bir düzlemde fraktal eğriler elde etmek için basit bir özyinelemeli prosedür vardır. Jeneratör adı verilen, sınırlı sayıda bağlantıya sahip keyfi bir kesikli çizgi tanımlayalım. Daha sonra içindeki her parçayı bir jeneratörle (daha doğrusu jeneratöre benzer kesikli bir çizgiyle) değiştirelim. Ortaya çıkan kırık çizgide yine her segmenti bir jeneratörle değiştiriyoruz. Sonsuza kadar devam edersek limitte fraktal bir eğri elde ederiz. Sağdaki şekil Koch eğrisi için bu prosedürün ilk dört adımını göstermektedir.
Bu tür eğrilerin örnekleri şunlardır:
ejderha Eğrisi,
Koch eğrisi (Koch kar tanesi),
Lewy Eğrisi,
Minkowski eğrisi,
Hilbert eğrisi,
Bir ejderhanın kırık (eğrisi) (Harter-Haithway Fraktal),
Peano eğrisi.
Benzer bir prosedür kullanılarak Pisagor ağacı elde edilir.
Sıkıştırma eşlemelerinin sabit noktaları olarak fraktallar
Kendine benzerlik özelliği matematiksel olarak tam olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Düzlemin daralmalı haritalamaları olsun. Düzlemin tüm kompakt (kapalı ve sınırlı) alt kümelerinin kümesi üzerinde aşağıdaki eşlemeyi göz önünde bulundurun:
Haritalamanın kompakta kümesi üzerinde Hausdorff metriği ile bir daralma haritalaması olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla Banach teoremine göre bu eşlemenin tek bir sabit noktası vardır. Bu sabit nokta bizim fraktalımız olacak.
Yukarıda açıklanan fraktal eğrilerin elde edilmesine yönelik yinelemeli prosedür, bu yapının özel bir durumudur. İçinde, tüm eşlemeler benzerlik eşlemeleridir ve - oluşturucu bağlantıların sayısıdır.
Sierpinski üçgeni ve haritası için , merkezleri düzgün bir üçgenin köşelerinde olan ve katsayısı 1/2 olan homotetiklerdir. Haritalandığında Sierpinski üçgeninin kendine dönüştüğünü görmek kolaydır.
Eşlemelerin katsayılı benzerlik dönüşümleri olması durumunda, fraktalın boyutu (bazı ek teknik koşullar altında) denklemin çözümü olarak hesaplanabilir. Böylece Sierpinski üçgeni için şunu elde ederiz: 
.
Aynı Banach teoremine göre, herhangi bir kompakt kümeyle başlayıp haritanın yinelemelerini ona uygulayarak, fraktalımıza (Hausdorff metriği anlamında) yakınsak bir dizi kompakt küme elde ederiz.
Karmaşık dinamiklerde fraktallar
Julia seti
Başka bir Julia seti
Doğrusal olmayan dinamik sistemler incelenirken fraktallar doğal olarak ortaya çıkar. En çok çalışılan durum, dinamik bir sistemin düzlemde bir karmaşık değişkenin bir polinomunun veya holomorfik fonksiyonunun yinelemeleri ile tanımlanmasıdır. Bu alandaki ilk çalışmalar 20. yüzyılın başlarına kadar uzanıyor ve Fatou ve Julia isimleriyle ilişkilendiriliyor.
İzin vermek F(z) - polinom, z 0 karmaşık bir sayıdır. Aşağıdaki sırayı göz önünde bulundurun: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …
Biz bu dizinin davranışıyla ilgileniyoruz N sonsuza kadar. Bu sıra şunları yapabilir:
Sonsuzluğa doğru çabalamak,
nihai sınır için çabalamak
limitte döngüsel davranış sergiler, örneğin: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …
düzensiz davranırlar, yani bahsedilen üç davranış türünden hiçbirini göstermezler.
Değer kümeleri z Dizinin belirli bir tür davranış sergilediği ve farklı türler arasında birden fazla çatallanma noktası sergilediği 0, genellikle fraktal özelliklere sahiptir.
Böylece Julia kümesi polinom için çatallanma noktaları kümesidir. F(z)=z 2 +C(veya başka bir benzer işlev), yani bu değerler z 0 bunun için dizinin davranışı ( z N) keyfi küçük değişikliklerle çarpıcı biçimde değişebilir z 0 .
Fraktal kümeler elde etmek için başka bir seçenek de polinoma bir parametre eklemektir. F(z) ve dizinin ( z N) sabit bir noktada belirli bir davranış sergiler z 0. Dolayısıyla Mandelbrot kümesi hepsinin kümesidir, bunun için ( z N) İçin F(z)=z 2 +C Ve z 0 sonsuza gitmez.
Bu türün bir diğer ünlü örneği ise Newton havuzlarıdır.
Karşılık gelen dinamik sistemlerin davranışına bağlı olarak düzlem noktalarını renklendirerek karmaşık dinamiklere dayalı güzel grafik görüntüler oluşturmak popülerdir. Örneğin Mandelbrot setini tamamlamak için noktaları aspirasyon hızına göre renklendirebilirsiniz ( z N) sonsuza kadar (örneğin en küçük sayı olarak tanımlanır) N, hangi noktada | z N| sabit bir büyük değeri aşacak A.
Biyomorflar karmaşık dinamikler üzerine inşa edilmiş ve canlı organizmaları anımsatan fraktallardır.
Stokastik fraktallar
Julia setine dayalı rastgele fraktal
Doğal nesneler genellikle fraktal bir şekle sahiptir. Stokastik (rastgele) fraktallar bunları modellemek için kullanılabilir. Stokastik fraktallara örnekler:
düzlemde ve uzayda Brown hareketinin yörüngesi;
Bir düzlemde Brown hareketinin yörüngesinin sınırı. 2001 yılında Lawler, Schramm ve Werner, Mandelbrot'un boyutunun 4/3 olduğu hipotezini kanıtladılar.
Schramm-Löwner evrimleri, istatistiksel mekaniğin kritik iki boyutlu modellerinde, örneğin Ising modelinde ve süzülmede ortaya çıkan, uyumlu olarak değişmez fraktal eğrilerdir.
çeşitli tipteki rastgele fraktallar, yani her adımda rastgele bir parametrenin dahil edildiği yinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktallar. Plazma, böyle bir fraktalın bilgisayar grafiklerinde kullanılmasına bir örnektir.
Doğada
Trakea ve bronşların önden görünümü
Bronş ağacı
Kan damarları ağı
Başvuru
Doğa bilimleri
Fizikte fraktallar, türbülanslı sıvı akışı, karmaşık difüzyon-adsorpsiyon süreçleri, alevler, bulutlar vb. gibi doğrusal olmayan süreçleri modellerken doğal olarak ortaya çıkar. Fraktallar, örneğin petrokimyada gözenekli malzemeleri modellerken kullanılır. Biyolojide popülasyonları modellemek ve iç organ sistemlerini (kan damarı sistemi) tanımlamak için kullanılırlar.
Radyo mühendisliği
Fraktal antenler
Anten cihazlarının tasarımında fraktal geometrinin kullanımı ilk olarak, daha sonra binalara harici anten kurulumunun yasak olduğu Boston şehir merkezinde yaşayan Amerikalı mühendis Nathan Cohen tarafından kullanıldı. Nathan alüminyum folyodan bir Koch eğrisi şekli kesip bunu bir kağıt parçasına yapıştırdı ve ardından alıcıya yapıştırdı. Cohen kendi şirketini kurdu ve seri üretime başladı.
Bilişim
Görüntü sıkıştırma
Ana makale: Fraktal sıkıştırma algoritması
Fraktal ağaç
Fraktallar kullanan görüntü sıkıştırma algoritmaları vardır. Bunlar, görüntünün kendisi yerine, bu görüntünün (veya yakın bir görüntünün) sabit bir nokta olduğu bir sıkıştırma haritasının saklanabileceği fikrine dayanmaktadır. Bu algoritmanın varyantlarından biri kullanıldı [ kaynak belirtilmedi 895 gün] Microsoft tarafından ansiklopedisini yayınlarken kullanıldı, ancak bu algoritmalar yaygın olarak kullanılmıyordu.
Bilgisayar grafikleri
Başka bir fraktal ağaç
Fraktallar bilgisayar grafiklerinde ağaçlar, çalılar, dağ manzaraları, deniz yüzeyleri vb. doğal nesnelerin görüntülerini oluşturmak için yaygın olarak kullanılır. Fraktal görüntüler oluşturmak için kullanılan birçok program vardır, bkz. Fraktal Jeneratör (program).
Merkezi olmayan ağlar
Netsukuku ağındaki IP adresi atama sistemi, ağ düğümleri hakkındaki bilgileri kompakt bir şekilde depolamak için fraktal bilgi sıkıştırma ilkesini kullanır. Netsukuku ağındaki her düğüm, komşu düğümlerin durumu hakkında yalnızca 4 KB bilgi depolarken, herhangi bir yeni düğüm, örneğin IP adreslerinin dağıtımının merkezi olarak düzenlenmesine gerek kalmadan ortak ağa bağlanır. İnternet. Böylece, fraktal bilgi sıkıştırma ilkesi, tamamen merkezi olmayan ve dolayısıyla tüm ağın en istikrarlı çalışmasını garanti eder.
Matematik,
eğer doğru bakarsanız,
yalnızca gerçeği yansıtmaz,
ama aynı zamanda eşsiz bir güzellik.
Bertrand Russel.
Elbette fraktalları duymuşsunuzdur. Bryce3d'den gelen, gerçekliğin kendisinden daha gerçek olan bu nefes kesici resimleri mutlaka görmüşsünüzdür. Dağlar, bulutlar, ağaç kabuğu - bunların hepsi alışılagelmiş Öklid geometrisinin ötesine geçiyor. Bir kayayı ya da bir adanın sınırlarını düz çizgilerle, dairelerle, üçgenlerle anlatamayız. Ve burada fraktallar yardımımıza koşuyor. Bu tanıdık yabancılar neler? Ne zaman ortaya çıktılar?
Görünüş tarihi.
Fraktal geometrinin ilk fikirleri 19. yüzyılda ortaya çıktı. Cantor, basit bir özyinelemeli (tekrarlayan) prosedür kullanarak çizgiyi bağlantısız noktalardan oluşan bir koleksiyona (Cantor Tozu olarak adlandırılan) dönüştürdü. Bir çizgi alıp ortadaki üçte birlik kısmı kaldırıyor ve ardından aynı şeyi geri kalan bölümlerle tekrarlıyordu. Peano özel bir tür çizgi çizdi (Şekil No. 1). Peano bunu çizmek için aşağıdaki algoritmayı kullandı.
İlk adımda düz bir çizgi aldı ve onu orijinal çizginin uzunluğundan 3 kat daha kısa olan 9 parçayla değiştirdi (Şekil 1'in 1. ve 2. Kısmı). Daha sonra ortaya çıkan çizginin her bölümü için aynısını yaptı. Ve bu sonsuza kadar devam edecek. Benzersizliği tüm düzlemi doldurmasıdır. Düzlemdeki her nokta için Peano çizgisine ait bir noktanın bulunabileceği kanıtlanmıştır. Peano'nun eğrisi ve Cantor'un tozu sıradan geometrik nesnelerin ötesine geçti. Net bir boyutları yoktu. Cantor'un tozu tek boyutlu bir düz çizgi temelinde inşa edilmiş gibi görünüyordu, ancak noktalardan (boyut 0) oluşuyordu. Ve Peano eğrisi tek boyutlu bir çizgiye dayanarak oluşturuldu ve sonuç bir düzlemdi. Bilimin diğer birçok alanında, çözümleri yukarıda açıklananlara benzer garip sonuçlara (Brown hareketi, hisse senedi fiyatları) yol açan sorunlar ortaya çıktı.
Fraktalların Babası
20. yüzyıla kadar bu tür garip nesnelere ilişkin veriler, onları sistematikleştirmeye yönelik herhangi bir girişimde bulunulmadan biriktiriliyordu. Ta ki modern fraktal geometrinin ve fraktal kelimesinin babası Benoit Mandelbrot bunları ele alana kadar. IBM'de matematik analisti olarak çalışırken elektronik devrelerde istatistik kullanılarak tanımlanamayan gürültüyü inceledi. Gerçekleri yavaş yavaş karşılaştırarak matematikte yeni bir yön olan fraktal geometriyi keşfetti.
Fraktal nedir? Mandelbrot, fraktal kelimesini Latince parçalanmış (parçalara bölünmüş) anlamına gelen fractus kelimesinden türetmiştir. Fraktalın tanımlarından biri de parçalardan oluşan ve her biri bütünün daha küçük bir kopyasını (en azından yaklaşık olarak) temsil edecek parçalara bölünebilen geometrik bir şekildir.
Bir fraktalı daha net hayal etmek için, B. Mandelbrot'un klasik hale gelen "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabında verilen bir örneği ele alalım - "Britanya kıyılarının uzunluğu nedir?" Bu sorunun cevabı göründüğü kadar basit değil. Her şey kullanacağımız aletin uzunluğuna bağlıdır. Kıyıyı bir kilometre cetveli kullanarak ölçerek bir miktar uzunluk elde ederiz. Ancak bizim hattımızdan çok daha küçük birçok küçük koy ve yarımadayı özleyeceğiz. Cetvelin boyutunu örneğin 1 metreye düşürerek manzaranın bu detaylarını dikkate alacağız ve buna göre sahilin uzunluğu artacak. Daha ileri gidelim ve milimetre cetvel kullanarak kıyı uzunluğunu ölçelim, milimetreden büyük detayları dikkate alacağız, uzunluk daha da büyük olacaktır. Sonuç olarak, bu kadar basit görünen bir sorunun cevabı herkesi şaşırtabilir - Britanya kıyılarının uzunluğu sonsuzdur.
Boyutlar hakkında biraz.
Günlük hayatımızda sürekli boyutlarla karşılaşırız. Yolun uzunluğunu (250 m) tahmin ediyoruz, dairenin alanını (78 m2) buluyoruz ve etiketteki bira şişesinin hacmini (0,33 dm3) arıyoruz. Bu kavram oldukça sezgiseldir ve görünüşe göre açıklama gerektirmemektedir. Doğrunun boyutu 1'dir. Bu, bir referans noktası seçerek bu doğru üzerindeki herhangi bir noktayı 1 sayı kullanarak - pozitif veya negatif - tanımlayabileceğimiz anlamına gelir. Üstelik bu, tüm çizgiler için geçerlidir - daire, kare, parabol vb.
Boyut 2, herhangi bir noktayı iki sayıyla benzersiz şekilde tanımlayabileceğimiz anlamına gelir. İki boyutluluğun düz anlamına geldiğini düşünmeyin. Kürenin yüzeyi de iki boyutludur (genişlik ve boylam gibi açılar olmak üzere iki değer kullanılarak tanımlanabilir).
Matematiksel açıdan bakıldığında boyut şu şekilde belirlenir: tek boyutlu nesneler için doğrusal boyutların iki katına çıkarılması, boyutunda (bu durumda uzunlukta) iki kat (2^) artışa yol açar. 1).
İki boyutlu nesneler için doğrusal boyutların iki katına çıkarılması, boyutta (örneğin bir dikdörtgenin alanında) dört kat (2^2) artışa neden olur.
3 boyutlu nesneler için doğrusal boyutların iki katına çıkarılması hacimde (2^3) sekiz kat artışa yol açar ve bu böyle devam eder.
Böylece D boyutu, S nesnesinin "boyutunun" artmasının L doğrusal boyutlarındaki artışa bağlı olması temel alınarak hesaplanabilir. D=log(S)/log(L). D=log(2)/log(2)=1 satırı için. D=log(4)/log(2)=2 düzlemi için. Hacim için D=log(8)/log(2)=3. Biraz kafa karıştırıcı olabilir ama genel olarak kolay ve anlaşılır.
Bütün bunları neden anlatıyorum? Ve fraktalların örneğin sosislerden nasıl ayrılacağını anlamak için. Peano eğrisinin boyutunu hesaplamaya çalışalım. Böylece, X uzunluğunda üç parçadan oluşan orijinal çizginin yerini üç kat daha kısa 9 parça aldı. Böylece minimum parça 3 kat arttığında tüm doğrunun uzunluğu 9 kat artar ve D=log(9)/log(3)=2 iki boyutlu bir nesnedir!!!
Yani bazı basit nesnelerden (parçalardan) elde edilen bir şeklin boyutu bu nesnelerin boyutundan büyük olduğunda bir fraktalla karşı karşıyayız demektir.
Fraktallar gruplara ayrılır. En büyük gruplar şunlardır:
Geometrik fraktallar.
Fraktalların tarihi burada başladı. Bu tür fraktal basit geometrik yapılarla elde edilir. Genellikle, bu fraktalları oluştururken şunu yaparlar: Fraktalın inşa edileceği temel alınarak bir "tohum" - bir aksiyom - bir dizi bölüm alırlar. Daha sonra bu “tohum”a, onu bir tür geometrik şekle dönüştüren bir dizi kural uygulanır. Daha sonra bu şeklin her bir parçasına aynı kurallar dizisi tekrar uygulanır. Her adımda şekil giderek daha karmaşık hale gelecek ve (en azından zihnimizde) sonsuz sayıda dönüşüm gerçekleştirirsek geometrik bir fraktal elde edeceğiz.
Yukarıda tartışılan Peano eğrisi geometrik bir fraktaldır. Aşağıdaki şekil geometrik fraktalların diğer örneklerini göstermektedir (soldan sağa Koch'un Kar Tanesi, Liszt, Sierpinski Üçgeni).
Kar Tanesi Koch
Çarşaf
Sierpinski üçgeni
Bu geometrik fraktallardan ilki olan Koch kar tanesi oldukça ilginç ve oldukça ünlüdür. Eşkenar üçgen temelinde inşa edilmiştir. ___'nin her biri orijinal _/\_ uzunluğunun 1/3'ü kadar 4 satırla değiştirilen her satır. Böylece her yinelemede eğrinin uzunluğu üçte bir oranında artar. Ve eğer sonsuz sayıda yineleme yaparsak, bir fraktal elde ederiz - sonsuz uzunlukta bir Koch kar tanesi. Sonsuz eğrimizin sınırlı bir alanı kapsadığı ortaya çıktı. Öklid geometrisindeki yöntemleri ve rakamları kullanarak aynısını yapmaya çalışın.
Koch kar tanesinin boyutu (Kar tanesi 3 kat arttığında uzunluğu 4 kat artar) D=log(4)/log(3)=1.2619...
L-Sistemleri geometrik fraktallar oluşturmak için çok uygundur. Bu sistemlerin özü, her biri belirli bir eylemi ve sembolleri dönüştürmek için bir dizi kuralı ifade eden belirli bir dizi sistem sembolü bulunmasıdır. Örneğin Fractint programında L-Systems kullanılarak Koch'un kar tanesinin açıklaması
; Mandelbrot'un Doğanın Fraktal Geometrisi kitabından Adrian Mariano Koç1 ( ;dönme açısını 360/6=60 derece olarak ayarlayın Açı 6 ; İnşaat için ilk çizim Aksiyom F--F--F ; Karakter Dönüşüm Kuralı F=F+F--F+F )Bu açıklamada sembollerin geometrik anlamları şu şekildedir:
F, bir çizgi çizin + saat yönünde çevirin - saat yönünün tersine çevirin anlamına gelir
Fraktalların ikinci özelliği kendine benzerliktir. Örneğin Sierpinski üçgenini ele alalım. Bunu oluşturmak için eşkenar üçgenin merkezinden bir üçgen "keseriz". Aynı işlemi oluşan üç üçgen için (merkezi olan hariç) tekrarlayalım ve bu şekilde sonsuza kadar devam edelim. Şimdi ortaya çıkan üçgenlerden herhangi birini alıp büyütürsek, bütünün tam bir kopyasını elde edeceğiz. Bu durumda tam bir kendine benzerlikle karşı karşıyayız.
Hemen şunu belirteyim ki bu yazıdaki fraktal çizimlerin büyük bir kısmı Fractint programı kullanılarak elde edilmiştir. Fraktallarla ilgileniyorsanız, bu sizin için mutlaka sahip olunması gereken bir programdır. Onun yardımıyla yüzlerce farklı fraktal oluşturabilir, bunlar hakkında kapsamlı bilgi edinebilir ve hatta fraktalların nasıl ses çıkardığını dinleyebilirsiniz;).
Programın iyi olduğunu söylemek hiçbir şey söylememektir. Tek bir şey dışında harika - en son sürüm 20.0 yalnızca DOS sürümünde mevcuttur:(. Bu programı (en son sürüm 20.0) http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html adresinde bulabilirsiniz. .
Yorum bırakın
Yorumlar
Peki, yeni başlayanlar için Microsoft Excel'den ilginç bir örnek: A2 ve B2 hücreleri 0 ile 1 arasında aynı değerlere sahiptir. 0,5 değeriyle hiçbir etkisi yoktur.
Fratal resim kullanarak program yapmayı başaran herkese merhaba. 2800 mH'lik bir taş üzerinde 100.000 dt yinelemeli 3d max destekli fraktal eğrelti otlarından oluşan bir açıklık oluşturmak için hangi döngü yönteminin benim için en iyi olduğunu kim söyleyebilir?
Yine bir fraktal olan Dragon eğrisini çizmek için bir program içeren bir kaynak kodu var.
Makale harika. Ve Excel muhtemelen bir yardımcı işlemci hatasıdır (son düşük sıradaki basamaklarda)
Herkese merhaba! benim adım Ribenek Valeria, Ulyanovsk ve bugün bilimsel makalelerimin birçoğunu LCI web sitesinde yayınlayacağım.
Bu blogdaki ilk bilimsel makalem şu konuya ayrılacak: fraktallar. Makalelerimin neredeyse her kitleye yönelik tasarlandığını hemen söyleyeceğim. Onlar. Umarım hem okul çocukları hem de öğrenciler için ilgi çekici olurlar.
Son zamanlarda matematik dünyasının fraktallar gibi ilginç nesnelerini öğrendim. Ancak bunlar yalnızca matematikte mevcut değildir. Her yerde bizi kuşatıyorlar. Fraktallar doğaldır. Bu yazımda fraktalların ne olduğundan, fraktal türlerinden, bu nesnelerin örneklerinden ve uygulamalarından bahsedeceğim. Başlangıç olarak size fraktalın ne olduğunu kısaca anlatacağım.
Fraktal(Latince fractus - ezilmiş, kırılmış, kırılmış), kendine benzerlik özelliğine sahip, yani her biri şeklin tamamına benzeyen birkaç parçadan oluşan karmaşık bir geometrik şekildir. Daha geniş anlamda fraktallar, Öklid uzayında kesirli bir metrik boyuta (Minkowski veya Hausdorff anlamında) veya topolojik olandan farklı bir metrik boyuta sahip nokta kümeleri olarak anlaşılır. Örnek olarak dört farklı fraktalı gösteren bir resim ekleyeceğim.
Size fraktalların tarihçesinden biraz bahsedeceğim. 70'li yılların sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'li yılların ortalarından itibaren matematikçiler ve programcılar arasında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. "Fraktal" kelimesi, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından ilgilendiği düzensiz fakat kendine benzeyen yapılara atıfta bulunmak için icat edildi. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle Mandelbrot'un 1977'de Doğanın Fraktal Geometrisi kitabının yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Eserlerinde 1875-1925 yılları arasında aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) bilimsel sonuçlarından yararlanılmıştır. Ancak çalışmalarını tek bir sistemde birleştirmek ancak bizim zamanımızda mümkün oldu.
Fraktalların pek çok örneği var çünkü dediğim gibi bizi her yerde kuşatıyorlar. Benim düşünceme göre, Evrenimizin tamamı bile devasa bir fraktaldır. Sonuçta atomun yapısından Evrenin yapısına kadar içindeki her şey birbirini tam olarak tekrarlıyor. Ancak elbette farklı alanlardan daha spesifik fraktal örnekleri de var. Örneğin fraktallar karmaşık dinamiklerde mevcuttur. Orada doğal olarak doğrusal olmayan çalışmalarda ortaya çıkıyorlar dinamik sistemler. En çok çalışılan durum, dinamik sistemin yinelemelerle belirlendiği durumdur. polinom veya holomorfik değişkenler kompleksinin fonksiyonu bir uçakta. Bu türden en ünlü fraktallardan bazıları Julia seti, Mandelbrot seti ve Newton havuzlarıdır. Aşağıdaki resimler, yukarıdaki fraktalların her birini sırayla göstermektedir.
Fraktalların bir başka örneği de fraktal eğrilerdir. Fraktal eğriler örneğini kullanarak bir fraktalın nasıl oluşturulacağını açıklamak en iyisidir. Bu eğrilerden biri Koch Kar Tanesi olarak adlandırılan eğridir. Bir düzlemde fraktal eğriler elde etmek için basit bir prosedür vardır. Jeneratör adı verilen, sınırlı sayıda bağlantıya sahip keyfi bir kesikli çizgi tanımlayalım. Daha sonra, içindeki her segmenti bir jeneratörle (daha doğrusu jeneratöre benzer kesikli bir çizgi) değiştiriyoruz. Ortaya çıkan kırık çizgide yine her segmenti bir jeneratörle değiştiriyoruz. Sonsuza kadar devam edersek limitte fraktal bir eğri elde ederiz. Aşağıda Koch Kar Tanesi (veya Eğrisi) bulunmaktadır.
Ayrıca çok çeşitli fraktal eğriler vardır. Bunlardan en ünlüleri, daha önce bahsedilen Koch Kar Tanesi'nin yanı sıra Levy eğrisi, Minkowski eğrisi, Dragon'un kırık çizgisi, Piyano eğrisi ve Pisagor ağacıdır. İsterseniz bu fraktalların ve geçmişlerinin görselini Wikipedia'da kolaylıkla bulabileceğinizi düşünüyorum.
Üçüncü örnek veya fraktal türü stokastik fraktallardır. Bu tür fraktallar, Brownian hareketinin bir düzlemde ve uzayda yörüngesini, Schramm-Löwner evrimini, çeşitli rastgele fraktal türlerini, yani her adımda rastgele bir parametrenin dahil edildiği yinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktalları içerir.
Tamamen matematiksel fraktallar da vardır. Bunlar, örneğin Cantor kümesi, Menger süngeri, Sierpinski Üçgeni ve diğerleridir.
Ama belki de en ilginç fraktallar doğal olanlardır. Doğal fraktallar, doğadaki fraktal özelliklere sahip nesnelerdir. Ve burada liste zaten büyük. Her şeyi listelemeyeceğim çünkü hepsini listelemek muhtemelen imkansızdır, ancak size bazılarını anlatacağım. Örneğin canlı doğada bu tür fraktallar arasında dolaşım sistemimiz ve akciğerlerimiz de yer alıyor. Ve ayrıca ağaçların taçları ve yaprakları. Buna denizyıldızı, deniz kestanesi, mercanlar, deniz kabukları ve lahana veya brokoli gibi bazı bitkiler de dahildir. Canlı doğadan elde edilen bu tür doğal fraktalların birçoğu aşağıda açıkça gösterilmektedir.
Cansız doğayı ele alırsak, orada yaşayan doğadan çok daha ilginç örnekler vardır. Şimşekler, kar taneleri, herkesin bildiği bulutlar, soğuk günlerde pencerelerdeki desenler, kristaller, dağ sıraları - bunların hepsi cansız doğadan gelen doğal fraktalların örnekleridir.
Fraktal örneklerine ve türlerine baktık. Fraktalların kullanımına gelince, bunlar çeşitli bilgi alanlarında kullanılmaktadır. Fizikte fraktallar, türbülanslı sıvı akışı, karmaşık difüzyon-adsorpsiyon süreçleri, alevler, bulutlar vb. gibi doğrusal olmayan süreçleri modellerken doğal olarak ortaya çıkar. Fraktallar, örneğin petrokimyada gözenekli malzemeleri modellerken kullanılır. Biyolojide popülasyonları modellemek ve iç organ sistemlerini (kan damarı sistemi) tanımlamak için kullanılırlar. Koch eğrisinin oluşturulmasından sonra kıyı şeridinin uzunluğunun hesaplanmasında kullanılması önerildi. Fraktallar ayrıca radyo mühendisliği, bilgi bilimi ve bilgisayar teknolojisi, telekomünikasyon ve hatta ekonomi alanlarında da aktif olarak kullanılmaktadır. Ve elbette fraktal görüş modern sanat ve mimaride aktif olarak kullanılıyor. İşte fraktal desenlere bir örnek:
Ve böylece, fraktal gibi sıra dışı bir matematik fenomeni hakkındaki hikayemi bununla tamamlamayı düşünüyorum. Bugün fraktalın ne olduğunu, nasıl ortaya çıktığını, fraktal türlerini ve örneklerini öğrendik. Ayrıca uygulamalarından bahsettim ve bazı fraktalları görsel olarak gösterdim. Umarım şaşırtıcı ve etkileyici fraktal nesnelerin dünyasına yaptığımız bu küçük geziden keyif almışsınızdır.
Fraktal örnek
"Fraktal" matematikçiler tarafından yarım asırdan daha kısa bir süre önce kullanılmaya başlandı ve çok geçmeden sinerji ve çekiciyle birlikte genç Deterministik Kaos Teorisinin "üç sütunundan" biri haline geldi ve bugün şimdiden en iyilerden biri olarak kabul ediliyor. Evrenin yapısının temel unsurları.
İLE Latince fractus kelimesi tercüme edilmiştir"kırık" olarak modern Latin dilleri ona "yırtık" anlamını vermiştir. Fraktal, parçası olduğu bütünün aynısı/daha büyüğü olan ve aynı zamanda kendisini oluşturan parçaların her birini kopyalayan bir şeydir. Dolayısıyla “fraktallık”, “her şeyin” bileşenlerine sonsuz benzerliğidir, yani her düzeyde kendine benzerliktir. Fraktal dalın her düzeyine "yineleme" adı verilir; tanımlanan veya grafiksel olarak gösterilen sistem ne kadar gelişmişse, gözlemci o kadar çok fraktal yineleme görür. Bu durumda, bölünmenin meydana geldiği noktaya (örneğin, bir gövdenin dallara ayrılması, bir nehrin iki akıntıya ayrılması vb.) çatallanma noktası denir.
Fraktus terimi 1975 yılında matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından bilimsel bir keşfi tanımlamak için seçildi ve birkaç yıl sonra konuyu Doğanın Fraktal Geometrisi adlı kitabında daha geniş bir kitleye yönelik olarak geliştirdikten sonra popüler oldu.
Günümüzde fraktal, bilgisayar programları tarafından oluşturulan ve “fraktal sanatı” olarak adlandırılan fantastik desenler olarak biliniyor. Ancak bir bilgisayarın yardımıyla sadece güzel soyut resimler değil, aynı zamanda çok inandırıcı doğal manzaralar da (dağlar, nehirler, ormanlar) oluşturabilirsiniz. Aslında bilim ile gerçek hayat arasındaki geçiş noktası da burasıdır, ya da genel olarak onları ayırmanın mümkün olduğunu varsayarsak tam tersi.
Önemli olan şu ki fraktal prensibi yalnızca kesin bilimlerdeki keşifleri tanımlamak için uygun değildir. Bu, her şeyden önce doğanın yapısının ve gelişiminin ilkesidir. Etrafımızdaki her şey fraktaldır! En belirgin örnek grubu, kolları olan nehirler, kılcal damarlı toplardamar sistemi, yıldırımlar, don desenleri, ağaçlar... Son zamanlarda bilim insanları, testler fraktal teori, bir ağacın diyagramına dayanarak, bu ağaçların yetiştiği orman alanı hakkında sonuçlar çıkarılabileceğini deneysel olarak doğruladılar. Fraktal grupların diğer örnekleri: atom - molekül - gezegen sistemi - güneş sistemi - galaksiler - evren... Dakika - saat - gün - hafta - ay - yıl - yüzyıl... Hatta bir insan topluluğu bile kendisini şu prensiplere göre organize eder: fraktallık: ben - aile - klan - milliyet - milliyetler - ırklar... Birey - grup - parti - devlet. Çalışan - departman - departman - işletme - endişe... Farklı dinlerin ilahi panteonları bile, Hıristiyanlık da dahil olmak üzere aynı prensip üzerine inşa edilmiştir: Baba Tanrı - Üçlü - azizler - kilise - inananlar, ilahi panteonların organizasyonundan bahsetmeye bile gerek yok. pagan dinleri.
Hikaye kendine benzer kümelerin ilk kez 19. yüzyılda Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff gibi bilim adamlarının çalışmalarında fark edildiğini belirtiyor, ancak gerçek şu ki pagan Slavlar bize insanların bireysel varoluşu küçük bir ayrıntı olarak anladıklarına dair kanıt bıraktılar. evrenin sonsuzluğunda. Bu, Belarus ve Ukrayna sanat tarihçileri tarafından incelenen, "örümcek" adı verilen bir halk kültürü nesnesidir. Modern "hareketli" tarzda bir tür heykel prototipidir (parçalar birbirine göre sürekli hareket halindedir). "Örümcek" genellikle samandan yapılır ve her küçük parçanın büyük parçayı ve bir bütün olarak tüm yapıyı tam olarak tekrarlaması için birbirinden asılan aynı şekle sahip küçük, orta ve büyük elemanlardan oluşur. Bu tasarım sanki kişinin evini tüm dünyanın bir unsuru olarak ifade ediyormuşçasına evin ana köşesine asıldı.
Fraktallık teorisi bugün her yaşamda ve bir bütün olarak yaşamın fraktal olduğunu söyleyen felsefe de dahil olmak üzere her yerde işe yarar, gelişimin daha yüksek seviyelere farklı yollar alabildiği "çatallanma noktaları" vardır ve bir an vardır. kişinin “kendini bir seçimle karşı karşıya bulması”, hayatının fraktallarında gerçek bir “çatallanma noktası”dır.
Deterministik Kaos teorisi, her fraktalın gelişiminin sonsuz olmadığını söylüyor. Bilim adamları, belirli bir anda, yinelemelerin büyümesinin durduğu ve fraktalın "daralmaya" başladığı, yavaş yavaş orijinal birim ölçüsüne ulaştığı ve ardından sürecin tekrar bir daire içine girdiğine - nefes alma ve nefes vermeye benzer şekilde - bir sınır geldiğine inanıyor. Doğada sabah ve gecenin, kış ve yazın değişimleri.