Düzlem çiftlerinin kesişimiyle oluşan dihedral açıları belirleyin. Problem: Bir düzlem bir doğruyla kesişiyor

Bu makale düzlemler arasındaki açı ve bunun nasıl bulunacağı hakkındadır. Öncelikle iki düzlem arasındaki açının tanımı ve grafiksel gösterimi verilmiştir. Bundan sonra koordinat yöntemini kullanarak kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulma prensibi analiz edildi ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin bilinen koordinatlarını kullanarak kesişen düzlemler arasındaki açıyı hesaplamanıza olanak tanıyan bir formül elde edildi. Sonuç olarak gösterilmiştir detaylı çözümler karakteristik görevler.

Sayfada gezinme.

Düzlemler arasındaki açı - tanım.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının belirlenmesine kademeli olarak yaklaşmamızı sağlayacak argümanlar sunalım.

Bize kesişen iki düzlem verilsin. Bu düzlemler, c harfiyle gösterdiğimiz düz bir çizgi boyunca kesişir. C doğrusunun M noktasından geçen ve c doğrusuna dik bir düzlem çizelim. Bu durumda düzlem düzlemlerle kesişecektir ve. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi a, düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi b olarak gösterelim. Açıkçası, a ve b doğruları M noktasında kesişiyor.

Kesişen a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği c doğrusu üzerindeki M noktasının konumuna bağlı olmadığını göstermek kolaydır.

c doğrusuna dik ve düzlemden farklı bir düzlem çizelim. Düzlem, sırasıyla 1 ve b 1 olarak gösterdiğimiz düzlemlerle ve düz çizgiler boyunca kesişir.

Düzlem oluşturma yönteminden, a ve b çizgilerinin c çizgisine dik olduğu ve a 1 ve b 1 çizgilerinin c çizgisine dik olduğu sonucu çıkar. a ve a 1 doğruları aynı düzlemde olduklarından ve c doğrusuna dik olduklarından paraleldirler. Benzer şekilde, b ve b 1 çizgileri aynı düzlemde bulunur ve c doğrusuna diktir, dolayısıyla paraleldirler. Yani yapabilirsin paralel aktarım düzlemden düzleme, burada a 1 düz çizgisi a düz çizgisiyle ve b düz çizgisi b 1 düz çizgisiyle çakışır. Bu nedenle, kesişen iki çizgi a 1 ve b 1 arasındaki açı açıya eşit kesişen a ve b çizgileri arasında.

Bu, kesişen düzlemlerde yer alan a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği M noktasının seçimine bağlı olmadığını kanıtlar. Bu nedenle bu açıyı kesişen iki düzlem arasındaki açı olarak almak mantıklıdır.

Artık kesişen iki düzlem arasındaki açının tanımını seslendirebilirsiniz.

Tanım.

Düz bir çizgide kesişen iki düzlem arasındaki açı ve- bu, düzlemlerin c çizgisine dik düzlemle kesiştiği, kesişen iki çizgi a ve b arasındaki açıdır.

İki düzlem arasındaki açının tanımı biraz farklı verilebilir. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgi c üzerinde, bir M noktasını işaretleyin ve bunun içinden, düz çizgi c'ye dik ve düzlemlerde yatan düz çizgiler a ve b çizin ve sırasıyla düz çizgiler a arasındaki açı ve b, düzlemler arasındaki açıdır ve. Genellikle pratikte düzlemler arasındaki açıyı elde etmek için bu tür yapılar yapılır.

Kesişen çizgiler arasındaki açı aşmadığından belirtilen tanımdan şu sonuç çıkar: derece ölçüsü kesişen iki düzlem arasındaki açı ifade edilir gerçek sayı aralıktan. Bu durumda kesişen düzlemlere denir. dik aralarındaki açı doksan derece ise. Paralel düzlemler arasındaki açı ya hiç belirlenmez ya da sıfıra eşit kabul edilir.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının bulunması.

Genellikle, kesişen iki düzlem arasında bir açı bulurken, önce aralarındaki açı istenen açıya eşit olan kesişen düz çizgileri görmek için ek yapılar yapmanız ve ardından eşitlik testleri, benzerlik testleri kullanarak bu açıyı orijinal verilerle ilişkilendirmeniz gerekir. testler, kosinüs teoremi veya sinüs, kosinüs ve açının tanjantının tanımları. Geometri dersinde lise benzer sorunlar yaşanıyor.

Örnek olarak, 2012 Matematik Birleşik Devlet Sınavından Problem C2'nin çözümünü verelim (koşul kasıtlı olarak değiştirildi, ancak bu, çözümün ilkesini etkilemez). Burada sadece kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmanız gerekiyordu.

Örnek.

Çözüm.

İlk önce bir çizim yapalım.

Düzlemler arasındaki açıyı “görmek” için ek yapılar yapalım.

Öncelikle ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği düz bir çizgi tanımlayalım. B noktası ortak noktalarından biridir. İkinciyi bulalım ortak nokta bu uçaklar. DA ve D 1 E çizgileri aynı ADD 1 düzleminde yer alır ve paralel değildirler ve bu nedenle kesişirler. Öte yandan, DA çizgisi ABC düzleminde ve D 1 E çizgisi - BED 1 düzleminde yer alır, bu nedenle DA ve D 1 E çizgilerinin kesişme noktası ortak bir nokta olacaktır. ABC uçakları ve YATAK 1. Öyleyse DA ve D 1 E çizgilerini F harfiyle kesiştikleri noktayı belirten kesişme noktasına kadar devam ettirelim. O halde BF, ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği düz çizgidir.

Sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinde uzanan, BF çizgisi üzerindeki bir noktadan geçen ve BF çizgisine dik olan iki çizgi oluşturmaya devam ediyor - bu çizgiler arasındaki açı, tanım gereği, aralarında istenen açıya eşit olacaktır. ABC ve BED 1 uçakları. Hadi bunu yapalım.

Nokta A, E noktasının ABC düzlemine izdüşümüdür. M noktasında dik açıyla BF çizgisiyle kesişen bir düz çizgi çizelim. O halde AM düz çizgisi, EM düz çizgisinin ABC düzlemine izdüşümüdür ve üç dik teoremine göredir.

Böylece ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir.

Eğer iki kenarının uzunluğunu biliyorsak, AEM dik üçgeninden bu açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını (ve dolayısıyla açının kendisini) belirleyebiliriz. Koşuldan AE uzunluğunu bulmak kolaydır: E noktası AA 1 kenarını A noktasından itibaren sayarak 4'e 3 oranında böldüğüne ve AA 1 kenarının uzunluğu 7 olduğuna göre AE = 4 olur. AM uzunluğunu bulalım.

Bunu yapmak için şunu düşünün dik üçgen AM'nin yükseklik olduğu A dik açılı ABF. AB = 2 koşuluna göre. AF kenarının uzunluğunu DD 1 F ve AEF dik üçgenlerinin benzerliğinden bulabiliriz:

Pisagor teoremini kullanarak ABF üçgenini buluyoruz. AM uzunluğunu ABF üçgeninin alanı boyunca buluyoruz: bir tarafta ABF üçgeninin alanı şuna eşittir: , diğer tarafta , Neresi .

Böylece, AEM dik üçgeninden elimizdeki .

Bu durumda ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir (not edin ki ).

Cevap:

Bazı durumlarda kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmak için Oxyz'i ayarlamak ve koordinat yöntemini kullanmak uygundur. Orada duralım.

Görevi belirleyelim: kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulun. İstenilen açıyı olarak gösterelim.

Belirli bir Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde kesişen düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatlarını bildiğimizi ve veya bunları bulma fırsatına sahip olduğumuzu varsayacağız. İzin vermek düzlemin normal vektörüdür ve düzlemin normal vektörüdür. Kesişen düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla göstereceğiz.

Düzlemlerin kesiştiği doğruyu c olarak gösterelim. C doğrusu üzerindeki M noktasından c doğrusuna dik bir düzlem çiziyoruz. Düzlem düzlemleri keser ve sırasıyla a ve b çizgileri boyunca a ve b çizgileri M noktasında kesişir. Tanım gereği, kesişen düzlemler arasındaki açı, kesişen a ve b çizgileri arasındaki açıya eşittir.

Düzlemdeki M noktasından itibaren normal vektörleri ve düzlemleri çizelim. Bu durumda, vektör a doğrusuna dik bir doğru üzerinde, vektör de b doğrusuna dik bir doğru üzerinde yer alır. Dolayısıyla düzlemde vektör a doğrusuna ait normal vektördür, b doğrusuna ait normal vektördür.

Kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulma yazımızda normal vektörlerin koordinatlarını kullanarak kesişen çizgiler arasındaki açının kosinüsünü hesaplamamızı sağlayan bir formül aldık. Böylece, a ve b çizgileri arasındaki açının kosinüsü ve sonuç olarak, kesişen düzlemler arasındaki açının kosinüsü ve formülle bulunur, burada Ve sırasıyla düzlemlerin normal vektörleridir ve. Daha sonra şu şekilde hesaplanır .

Önceki örneği koordinat yöntemini kullanarak çözelim.

Örnek.

Dan küboid ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, burada AB=2, AD=3, AA 1 =7 ve E noktası AA 1 kenarını A noktasından itibaren sayılarak 4'e 3 oranında böler. ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm.

Dikdörtgensel bir paralelyüzün bir tepe noktasındaki kenarları çiftler halinde dik olduğundan, dikdörtgen sistem Oxyz'i şu şekilde koordine edin: başlangıcı C tepe noktasıyla hizalayın ve Ox, Oy ve Oz koordinat eksenlerini sırasıyla CD, CB ve CC 1 kenarları boyunca yönlendirin.

ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açı, bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir; burada ve sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinin normal vektörleridir. Normal vektörlerin koordinatlarını belirleyelim.

Düzlemler arasındaki açının ölçüsü dar açı bu düzlemlerde uzanan ve kesişme çizgisine dik olarak çizilen iki düz çizgiden oluşan.

İnşaat algoritması

Rasgele bir K noktasından, verilen düzlemlerin her birine dikler çizilir.
Seviye çizgisi etrafında döndürülerek, K noktasındaki tepe noktasıyla γ° açısı belirlenir.
γ° > 90° olmak koşuluyla, ϕ° = 180 – γ° düzlemleri arasındaki açıyı hesaplayın. Eğer γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Şekil α ve β düzlemlerinin izlerle verildiği durumu göstermektedir. Gerekli tüm yapılar algoritmaya göre yapılmış olup aşağıda açıklanmıştır.

Çözüm

Çizimde rastgele bir yerde K noktasını işaretleyin. Buradan sırasıyla m ve n dik noktalarını α ve β düzlemlerine indiriyoruz. m ve n projeksiyonlarının yönü şu şekildedir: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
M ve n çizgileri arasındaki ∠γ° gerçek boyutunu belirliyoruz. Bunu yapmak için, ön f çevresinde, K tepe noktasıyla açının düzlemini ön projeksiyon düzlemine paralel bir konuma döndürüyoruz. K noktasının dönüş yarıçapı R değere eşit Kenarı K""K 0 = y K – y O olan O""K""K 0 dik üçgeninin hipotenüsü.
∠γ° dar açı olduğundan istenen açı ϕ° = ∠γ°'dir.

Aşağıdaki şekil, sırasıyla paralel ve kesişen çizgilerle verilen α ve β düzlemleri arasındaki γ° açısını bulmanın gerekli olduğu bir problemin çözümünü göstermektedir.

Çözüm

Yatay h 1, h 2 ve ön f 1, f 2'nin çıkıntılarının yönünü belirleriz, uçaklara aitα ve β, oklarla gösterilen sırayla. Kare üzerindeki keyfi bir K noktasından. α ve β'da e ve k dik açılarını atlıyoruz. Bu durumda, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 ve k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
e ve k doğruları arasında ∠γ° tanımlıyoruz. Bunu yapmak için, yatay bir h 3 çizgisi çizin ve onun etrafında K noktasını K 1 konumuna döndürün; burada △CKD yatay düzleme paralel olacak ve doğal boyutunda yansıtılacaktır - △C"K" 1 D ". O" dönme merkezinin izdüşümü, K"O"ya dik h" 3'e çizilen üzerinde bulunur. R yarıçapı, tarafı K"K 0 = olan O"K"K 0 dik üçgeninden belirlenir. Z O – Z K.
γ° açısı dar olduğundan istenilen değerin değeri ∠ϕ° = ∠γ°'dir.

Makale düzlemler arasındaki açının bulunmasından bahsediyor. Tanımı verdikten sonra grafiksel bir gösterim vereceğiz ve bu yöntemi kullanarak koordinatları bulmanın ayrıntılı bir yöntemini ele alacağız. Kesişen düzlemler için normal vektörlerin koordinatlarını içeren bir formül elde ederiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materyalde daha önce uzaydaki düzlem ve çizgiyle ilgili makalelerde incelenen veri ve kavramlar kullanılacak. Öncelikle kesişen iki düzlem arasındaki açıyı belirlemede belirli bir yaklaşıma sahip olmamızı sağlayan akıl yürütmeye geçmemiz gerekiyor.

Kesişen iki düzlem γ 1 ve γ 2 verilmiştir. Bunların kesişimi c adını alacaktır. χ düzleminin yapısı bu düzlemlerin kesişimiyle ilişkilidir. χ düzlemi M noktasından c düz bir çizgisi olarak geçiyor. γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin kesişimi χ düzlemi kullanılarak yapılacaktır. γ 1 ve χ'yi kesen çizgiyi a doğrusu, γ 2 ve χ'yi kesen çizgiyi b doğrusu olarak alıyoruz. A ve b doğrularının kesişiminin M noktasını verdiğini görüyoruz.

M noktasının konumu, kesişen a ve b çizgileri arasındaki açıyı etkilemez ve M noktası, içinden χ düzleminin geçtiği c doğrusu üzerinde bulunur.

c doğrusuna dik ve χ düzleminden farklı bir χ 1 düzleminin inşa edilmesi gerekmektedir. γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin χ 1 yardımıyla kesişmesi, a 1 ve b 1 çizgilerinin gösterimini alacaktır.

χ ve χ 1'i oluştururken, a ve b çizgilerinin c çizgisine dik olduğu, ardından a 1, b 1'in c çizgisine dik olduğu görülebilir. γ 1 düzleminde c düz çizgisine dik olan a ve a 1 düz çizgilerini bulduğumuzda, bunların paralel olduğu düşünülebilir. Aynı şekilde b ve b 1'in γ 2 düzleminde c düz çizgisine dik konumu da paralelliklerini gösterir. Bu, χ 1 düzlemini χ'ye paralel olarak aktarmanın gerekli olduğu anlamına gelir; burada çakışan iki düz çizgi a ve a 1, b ve b 1 elde ederiz. Kesişen a ve b 1 çizgileri arasındaki açının, kesişen a ve b çizgilerinin açısına eşit olduğunu bulduk.

Aşağıdaki şekle bakalım.

Bu önerme, kesişen a ve b doğruları arasında M noktasının yani kesişme noktasının konumuna bağlı olmayan bir açının bulunmasıyla kanıtlanmaktadır. Bu çizgiler γ 1 ve γ 2 düzlemlerinde bulunur. Aslında ortaya çıkan açı, kesişen iki düzlem arasındaki açı olarak düşünülebilir.

Mevcut kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2 arasındaki açıyı belirlemeye geçelim.

Tanım 1

Kesişen iki düzlem arasındaki açı γ 1 ve γ 2γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin c çizgisine dik χ düzlemiyle kesiştiği a ve b çizgilerinin kesişmesiyle oluşan açı denir.

Aşağıdaki şekli düşünün.

Karar başka bir biçimde sunulabilir. γ 1 ve γ 2 düzlemleri kesiştiğinde, burada c, kesiştikleri çizgidir, içinden c çizgisine dik olan ve γ 1 ve γ 2 düzlemlerinde yer alan a ve b çizgilerini çizen bir M noktası işaretleyin, ardından aralarındaki açı a ve b çizgileri düzlemler arasındaki açı olacaktır. Pratikte bu, düzlemler arasındaki açının oluşturulması için geçerlidir.

Kesiştiğinde değeri 90 dereceden küçük bir açı oluşur, yani açının derece ölçüsü bu tip bir aralıkta (0, 90) geçerlidir. Aynı zamanda bu düzlemlere dik denirse kesişme noktasında dik açı oluşur. Paralel düzlemler arasındaki açının sıfıra eşit olduğu kabul edilir.

Kesişen düzlemler arasındaki açıyı bulmanın genel yolu ek yapılar yapmaktır. Bu, onu doğru bir şekilde belirlemeye yardımcı olur ve bu, bir üçgenin, sinüslerin ve bir açının kosinüslerinin eşitlik veya benzerlik işaretleri kullanılarak yapılabilir.

Bir örnek kullanarak sorunları çözmeyi düşünelim. Birleşik Devlet Sınavı sorunları C blok 2.

Örnek 1

Dikdörtgen paralel yüzlü bir A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 verildiğinde, burada A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, E noktası A A 1 kenarını 4: 3 oranında böler. A B C ve B E D 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

Netlik sağlamak için bir çizim yapmak gerekir. Bunu anlıyoruz

Düzlemler arasındaki açıyla çalışmayı daha uygun hale getirmek için görsel bir temsil gereklidir.

A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesişme noktasının oluştuğu düz çizgiyi belirleriz. B noktası ortak noktadır. Başka bir ortak kesişim noktası bulunmalıdır. Aynı A D D 1 düzleminde bulunan D A ve D 1 E düz çizgilerini ele alalım. Konumları paralellik göstermez; ortak bir kesişme noktasına sahip oldukları anlamına gelir.

Bununla birlikte, D A düz çizgisi A B C düzleminde ve D 1 E B E D 1 düzleminde bulunur. Bundan düz çizgilerin olduğunu anlıyoruz D bir Ve D 1 E A B C ve B E D 1 düzlemleri için ortak olan ortak bir kesişme noktasına sahiptir. Çizgilerin kesişme noktasını belirtir D bir ve D 1 E F harfi. Bundan B F'nin A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesiştiği düz çizgi olduğunu elde ederiz.

Aşağıdaki şekle bakalım.

Cevabı elde etmek için, A B C ve B E D 1 düzlemlerinde bulunan ve B F çizgisi üzerinde bulunan ve ona dik olan bir noktadan geçen düz çizgiler çizmek gerekir. Daha sonra bu düz çizgiler arasında ortaya çıkan açı, A B C ve B E D 1 düzlemleri arasında istenen açı olarak kabul edilir.

Buradan A noktasının, E noktasının A B C düzlemine izdüşümü olduğunu görebiliriz. M noktasında dik açıyla B F çizgisiyle kesişen düz bir çizgi çizmek gerekir. A M düz çizgisinin izdüşümü olduğu görülebilir. A M ⊥ B F dik açıları hakkındaki teoreme dayalı olarak, E M düz çizgisinin A B C düzlemi üzerine. Aşağıdaki resmi düşünün.

∠ A M E, A B C ve B E D 1 düzlemlerinin oluşturduğu istenen açıdır. Ortaya çıkan A E M üçgeninden açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını ve ardından yalnızca iki kenarı biliniyorsa açının kendisini bulabiliriz. Koşullu olarak, A E uzunluğunun şu şekilde bulunmasını sağlarız: A A 1 düz çizgisi E noktasına 4: 3 oranında bölünür, bu da düz çizginin toplam uzunluğunun 7 parça olduğu anlamına gelir, bu durumda A E = 4 parça olur. A M'yi buluyoruz.

Bir A B F dik üçgenini dikkate almak gerekir. A M yüksekliğinde bir dik açımız var. A B = 2 koşulundan, D D 1 F ve A E F üçgenlerinin benzerliğinden A F uzunluğunu bulabiliriz. Şunu elde ederiz: A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Pisagor teoremini kullanarak A B F üçgeninin B F kenarının uzunluğunu bulmak gerekir. B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 olduğunu anlıyoruz. A M tarafının uzunluğu A B F üçgeninin alanı boyunca bulunur. Alanın hem S A B C = 1 2 · A B · A F hem de S A B C = 1 2 · B F · A M'ye eşit olabileceğini biliyoruz.

Şunu elde ederiz: A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Daha sonra A E M üçgeninin açısının tanjantının değerini bulabiliriz. Şunu elde ederiz:

t g ∠ Bir M E = Bir E Bir M = 4 4 5 5 = 5

A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesişmesiyle elde edilen istenen açı a r c t g 5'e eşittir, daha sonra basitleştirmeyle a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 elde ederiz.

Cevap: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulmanın bazı durumları kullanılarak belirtilir. koordinat düzlemi O x y z ve koordinat yöntemi. Daha yakından bakalım.

Kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2 arasındaki açıyı bulmanız gereken bir problem verilirse, istenen açıyı α olarak gösteririz.

Daha sonra verilen sistem Koordinatlar, kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2'nin normal vektörlerinin koordinatlarına sahip olduğumuzu gösterir. Daha sonra n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z'nin γ 1 düzleminin normal vektörü olduğunu ve n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - olduğunu belirtiriz. düzlem γ 2. düşünelim ayrıntılı bulgu vektörlerin koordinatları boyunca bu düzlemler arasında bulunan açı.

γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin c harfiyle kesiştiği düz çizgiyi belirtmek gerekir. c doğrusu üzerinde c'ye dik bir χ düzlemi çizdiğimiz bir M noktası var. a ve b çizgileri boyunca uzanan χ düzlemi, γ 1 ve γ 2 düzlemlerini M noktasında kesiyor. tanımdan, kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2 arasındaki açının, sırasıyla bu düzlemlere ait kesişen a ve b çizgilerinin açısına eşit olduğu anlaşılmaktadır.

χ düzleminde M noktasından itibaren normal vektörleri çizeriz ve bunları n 1 → ve n 2 → olarak gösteririz. Vektör n 1 → a çizgisine dik bir çizgi üzerinde bulunur ve vektör n 2 → b çizgisine dik bir çizgi üzerinde bulunur. Buradan şunu anlıyoruz Verilen uçakχ, a çizgisinin n 1 →'ye eşit ve b doğrusu için n 2 →'ye eşit bir normal vektörüne sahiptir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Buradan vektörlerin koordinatlarını kullanarak kesişen doğruların açısının sinüsünü hesaplayabileceğimiz bir formül elde ederiz. Düz çizgiler a ve b arasındaki açının kosinüsünün, kesişen γ 1 ve γ 2 düzlemleri arasındaki kosinüs ile aynı olduğunu bulduk; çünkü formüllerα = çünkü n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, burada n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ve n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) koordinatlardır: temsil edilen düzlemlerin vektörleri.

Kesişen çizgiler arasındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

α = a r c çünkü n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Örnek 2

Koşula göre paralel yüzlü A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 verilmiştir. , burada A B = 2, AD = 3, A A 1 = 7 ve E noktası A A 1 4:3 kenarını böler. A B C ve B E D 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

Durumdan, kenarlarının ikili olarak dik olduğu açıktır. Bu, tepe noktası C noktasında ve koordinat eksenleri O x, O y, O z olan bir O x y z koordinat sisteminin tanıtılmasının gerekli olduğu anlamına gelir. Yönü uygun taraflara ayarlamak gerekir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Kesişen düzlemler ABC Ve YATAK 1α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n formülüyle bulunabilecek bir açı oluşturur 2 y 2 + n 2 z 2, burada n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ve n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) normal vektörlerdir. bu uçaklar. Koordinatları belirlemek gerekiyor. Şekilden şunu görüyoruz koordinat ekseni O x y, A B C düzlemiyle çakışır; bu, k → normal vektörünün koordinatlarının n 1 → = k → = (0, 0, 1) değerine eşit olduğu anlamına gelir.

B E D 1 düzleminin normal vektörü alınır vektör çarpımı B E → ve B D 1 → , koordinatlarının koordinatlarla bulunduğu yer uç noktalar Sorunun koşullarına göre belirlenen B, E, D 1.

Bunu B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7) olarak elde ederiz. A E E A 1 = 4 3 olduğundan, A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 noktalarının koordinatlarından E 2, 3, 4'ü buluruz. B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · ben → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Ark kosinüs boyunca açıyı hesaplamak için bulunan koordinatları formülde değiştirmek gerekir. Aldık

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinat yöntemi de benzer bir sonuç verir.

Cevap: a r c cos 6 6 .

Son problem, düzlemlerin bilinen denklemleri göz önüne alındığında, kesişen düzlemler arasındaki açının bulunması amacıyla ele alınmıştır.

Örnek 3

O x y z koordinat sisteminde tanımlanan ve 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ve 3 y - z denklemleriyle verilen, açının sinüsünü, kosinüsünü ve kesişen iki çizginin oluşturduğu açının değerini hesaplayın. -1 = 0.

Çözüm

Bir konuyu incelerken genel denklem A x + B y + C z + D = 0 formundaki düz çizgi, A, B, C'nin normal vektörün koordinatlarına eşit katsayılar olduğunu ortaya çıkardı. Bu, n 1 → = 2, - 4, 1 ve n 2 → = 0, 3, - 1'in verilen doğruların normal vektörleri olduğu anlamına gelir.

Kesişen düzlemlerin istenen açısını hesaplamak için düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatlarını formülde değiştirmek gerekir. O zaman bunu anlıyoruz

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Buradan açının kosinüsünün ne kadar olduğu elde edilir. çünkü görünüm a = 13,210. O halde kesişen çizgilerin açısı geniş değildir. Değiştirme trigonometrik özdeşlik, açının sinüs değerinin ifadeye eşit olduğunu buluyoruz. Bunu hesaplayıp bulalım

günah α = 1 - çünkü 2 α = 1 - 13,210 = 41,210

Cevap: sin α = 41,210, çünkü α = 13,210, α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

Dana doğru prizma ABCDA_1B_1C_1D_1, M ve N sırasıyla AB ve BC kenarlarının orta noktalarıdır, K noktası MN'nin orta noktasıdır.

A) KD_1 ve MN doğrularının dik olduğunu kanıtlayın.

B) Aşağıdaki durumda MND_1 ve ABC düzlemleri arasındaki açıyı bulun. AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Çözümü göster

Çözüm

A)\triangle DCN ve \triangle MAD'de elimizde: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

Dolayısıyla \triangle DCN=\triangle MAD iki ayak üzerindedir. Daha sonra MD=DN, \üçgen DMN ikizkenar. Bu, medyan DK'nin aynı zamanda yükseklik olduğu anlamına gelir. Bu nedenle DK \perp MN.

Koşula göre DD_1 \perp MND, D_1K - eğik, KD - projeksiyon, DK \perp MN.

Dolayısıyla teoreme göre üç dik MN\perp D_1K.

B) Kanıtlandığı gibi A), DK \perp MN ve MN \perp D_1K, ancak MN, MND_1 ve ABC düzlemlerinin kesişme çizgisidir, yani \angle DKD_1 - doğrusal açı MND_1 ve ABC düzlemleri arasındaki dihedral açı.

Pisagor teoremine göre \üçgen DAM'de DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2. Bu nedenle Pisagor teoremine göre DKM \üçgeninde DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2. Daha sonra \triangle DKD_1'de, tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

Bu, \angle DKD_1=45^(\circ) anlamına gelir.

Cevap

45^(\circ).

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

Sağda dörtgen prizma ABCDA_1B_1C_1D_1 tabanın kenarları 4'tür, yan kaburga 6'ya eşittir. M noktası CC_1 kenarının ortasıdır, N noktası BB_1 kenarı üzerinde BN:NB_1=1:2 olacak şekilde işaretlenir.

A) AMN düzlemi DD_1 kenarını hangi oranda böler?

B) ABC ve AMN düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözümü göster

Çözüm

A) AMN düzlemi, belirli bir prizmanın bu düzlem tarafından kesitinin dördüncü köşesi olan DD_1 kenarını K noktasında keser. Kesit bir paralelkenar ANMK'dir çünkü belirli bir prizmanın zıt yüzleri paraleldir.

BN =\frac13BB_1=2. KL \paralel CD çizelim, sonra ABN ve KLM üçgenleri eşittir, yani ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1. O halde KD_1=6-1=5.

B) Artık KD:KD_1=1:5 oranını bulabilirsiniz.

F, CD ve KM düz çizgilerinin kesişme noktasıdır. ABC ve AMN düzlemleri AF düz çizgisi boyunca kesişir. Açı \angle KHD =\alpha, bir dihedral açının doğrusal açısıdır (HD\perp AF, o halde üç dik teoreminin tersi teoremiyle, KH \perp AF) ve bir KHD dik üçgeninin dar açısıdır, bacak KD=1. FKD ve FMC üçgenleri benzerdir (KD \paralel MC), dolayısıyla FD:FC=KD:MC, FD:(FD+4)=1:3 oranını çözersek, FD=2 elde ederiz. Ayakları 2 ve 4 olan bir AFD dik üçgeninde (\açı D=90^(\circ)) hipotenüsü hesaplıyoruz AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF=

\frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5). KHD dik üçgeninde şunu buluruz: tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4,

Cevap

A) 1:5;

B) bu istenilen açı anlamına gelir

\alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4. arctg\frac(\sqrt 5)4. Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

Profil düzeyi " Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

A) F noktası MK kenarının ortası ise, piramidin, MP köşegenine paralel NF doğrusundan geçen bir düzlemi olan bir kesiti oluşturun.

B) Kesit düzlemi ile KMP düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözümü göster

Çözüm

A) KO piramidin yüksekliği olsun, F MK'nin orta noktası olsun; FE \paralel MP (PKM düzleminde) . FE olduğundan orta hat\triangle PKM, o zaman FE=\frac(MP)2.

Piramidin NF'den geçen ve MP'ye paralel bir düzlemi, yani NFE düzlemi olan bir kesitini oluşturalım. L, EF ve KO'nun kesişme noktasıdır. L ve N noktaları istenen kesite ait olduğundan ve KQN düzleminde yer aldığından, LN ve KQ'nun kesişimi olarak elde edilen T noktası aynı zamanda istenen kesit ile KQ kenarının kesişme noktasıdır. NETF gerekli bölümdür.

B) NFE ve MPK düzlemleri FE düz çizgisi boyunca kesişiyor. Bu, bu düzlemler arasındaki açının OFEN dihedral açısının doğrusal açısına eşit olduğu anlamına gelir, hadi bunu oluşturalım: LO\perpMP, MP\paralel FE, buradan, LO\perpFE;\triangle NFE - ikizkenar (karşılık gelen medyanlar olarak NE=NF) eşit üçgenler KPN ve KMN ), NL medyanıdır (PO=OM olduğundan EL=LF ve \triangle KEF \sim \triangle KPM). Dolayısıyla NL \perp FE ve \angle NLO arzu edilendir.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON - dikdörtgen.

Pisagor teoremine göre bacak KO eşittir KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\açı NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

ABCA_(1)B_(1)C_(1) düzgün üçgen prizmasının tüm kenarları 6'ya eşittir. AC ve BB_(1) kenarları ile A_(1) tepe noktasının orta noktalarından bir kesme düzlemi çizilir.

A) BC kenarının kesme düzlemine C noktasından başlayarak 2:1 oranında bölündüğünü kanıtlayın.

B) Kesme düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözümü göster

Çözüm

A) D ve E sırasıyla AC ve BB_(1) kenarlarının orta noktaları olsun.

AA_(1)C_(1) düzleminde, CC_(1) düz çizgisini K noktasında kesen, BB_(1)C_(1) düzleminde - düz bir çizgi olan A_(1)D düz çizgisini çiziyoruz BC kenarını F noktasında kesen KE. AA_(1)B_(1) düzleminde yer alan A_(1) ve E noktaları ile ABC düzleminde yer alan D ve F noktalarını birleştirerek A_(1)EFD kesitini elde ederiz.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK bacak boyunca AD=DC ve dar açı.

\angle ADA_(1)=\angle CDK - dikey olanlar gibi, AA_(1)=CK=6 şeklinde olur. \bigtriangleup CKF ve \bigtriangleup BFE iki açıda benzerdir\angle FBE=\angle KCF=90^\circ,

\angle BFE=\angle CFK - dikey olanlar gibi.\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2,

B) yani benzerlik katsayısı 2'dir, bu da CF:FB=2:1 anlamına gelir. AH \perp DF'yi gerçekleştirelim. Kesit düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açı AHA_(1) açısına eşittir.

Aslında, AH \perp DF parçası (DF, bu düzlemlerin kesişme çizgisidir) A_(1)H parçasının taban düzlemine izdüşümüdür, dolayısıyla üç dik teoremine göre, A_(1)H \perp DF.

\angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH).

AA_(1)=6. AH'yi bulalım. \angle ADH =\angle FDC (dikey ile aynı).

\bigtriangleup DFC'deki kosinüs teoremine göre:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2-

2DF\cdot DC\cdot\cos\açı FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

Temel trigonometrik özdeşliğin sonucu olarak \sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .

\bigtriangleup ADH'den AH'yi buluruz: AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)). \angle AHA_(1)=

Cevap

arctg\frac(AA_(1))(AH)=

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3). arctg\frac(\sqrt(39))(3).

A) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) dik prizmasının tabanı bir eşkenar dörtgendir.

B) geniş açı

Çözümü göster

Çözüm

A) B eşittir 120^\circ. Bu prizmanın tüm kenarları 10'a eşittir. P ve K noktaları sırasıyla CC_(1) ve CD kenarlarının orta noktalarıdır. PK ve PB_(1) doğrularının dik olduğunu kanıtlayın.

PKB_(1) ve C_(1)B_(1)B düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Koordinat yöntemini kullanacağız. Haydi bulalım nokta çarpım \vec(PK) ve \vec(PB_(1)) vektörlerini ve ardından bu vektörler arasındaki açının kosinüsünü bulun. Oy eksenini CD boyunca, Oz eksenini CC_(1) boyunca ve Ox eksenini \perp CD boyunca yönlendirelim. C kökendir. Daha sonra C (0;0;0);

C_(1)(0;0;10); P(0;0;5);

K(0;5;0);

B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), yani B(5\sqrt(3); 5;0),

\cos \alpha =0, \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) anlamına gelir ve PK ve PB_(1) doğruları diktir.

B) Düzlemler arasındaki açı, bu düzlemlere dik sıfır olmayan vektörler arasındaki açıya (veya açı genişse, ona bitişik açıya) eşittir. Bu tür vektörlere düzlemlerin normalleri denir. Onları bulalım.

\vec(n_(1))=\(x; y; z\) PKB_(1) düzlemine dik olsun. Sistemi çözerek bulalım

\begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(durumlar)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(durumlar)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(durumlar)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(durumlar) Hadi alalım y=1; z=1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)),

\vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \right \). \vec(n_(2))=\(x; y; z\) C_(1)B_(1)B düzlemine dik olsun.

Sistemi çözerek bulalım

\begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)) \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(durumlar)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(durumlar)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(durumlar) \begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(durumlar) \begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(durumlar)

x=1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).İstenilen açının kosinüsünü \beta bulalım (bu

\frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

Cevap

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4),

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

\beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4). \arccos\frac(\sqrt(10))(4) ABCD bir karedir ve

yan yüzler

- eşit dikdörtgenler. Kesit düzlemi AC köşegenine paralel M ve D noktalarından geçtiğinden, onu M noktasından geçen A_(1)AC düzleminde oluşturmak için AC'ye paralel bir MN doğru parçası çizeriz. Doğrunun ve düzlemin paralelliğine dayanarak AC \paralel (MDN) elde ederiz. MDN düzlemi A_(1)AD ve B_(1)BC paralel düzlemleriyle kesişir, bu durumda özellik gereği

paralel düzlemler

A_(1)ADD_(1) ve B_(1)BCC_(1) yüzlerinin MDN düzlemiyle kesişme çizgileri paraleldir.

B) Kesit düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulalım. Kesit düzleminin taban düzlemini D noktasından geçen bir p düz çizgisi boyunca kesmesine izin verin. AC \parallel MN, dolayısıyla AC \parallel p (eğer bir düzlem başka bir düzleme paralel bir çizgiden geçiyorsa ve bu düzlemle kesişiyorsa, o zaman düzlemlerin kesişme çizgisi bu çizgiye paraleldir). Bir karenin köşegenleri olarak BD \perp AC, yani BD \perp p.

BD, ED'nin ABC düzlemine izdüşümüdür, o halde üç dik açının ED \perp p teoremine göre, \angle EDB kesit düzlemi ile taban düzlemi arasındaki dihedral açının doğrusal açısıdır.

Dörtgen DMEN türünü ayarlayın. MD \parallel EN, ME \parallel DN'ye benzer, yani DMEN bir paralelkenardır ve MD=DN olduğundan (MAD ve NCD dik üçgenleri iki ayak üzerinde eşittir: karenin kenarları olarak AD=DC, AM=CN olarak) AC ve MN paralel çizgileri arasındaki mesafeler), dolayısıyla DMEN bir eşkenar dörtgendir. Dolayısıyla F, MN'nin orta noktasıdır. AM:MA_(1)=2:3 koşuluna göre, o zaman

AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6). AMNC bir dikdörtgendir, F, MN'nin ortasıdır, O, AC'nin ortasıdır. Araç, FO\paralel MA, FO\perp AC,

FO=MA=2\sqrt(6). Bir karenin köşegeninin olduğunu bilmek a\sqrt(2), a karenin kenarı nerede, şunu elde ederiz BD=4\sqrt(2).

OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2). Bir dik üçgende FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3).

Bu nedenle \angle FDO=60^\circ.

\(\blacktriangleright\) Dihedral açı, iki yarım düzlem ve bunların ortak sınırı olan bir düz çizgi \(a\) tarafından oluşturulan bir açıdır. \(\blacktriangleright\) \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemleri arasındaki açıyı bulmak için doğrusal açıyı bulmanız gerekir (ve baharatlı veya doğrudan

) \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açı : Adım 1: Let \(\xi\cap\pi=a\) (düzlemlerin kesişme çizgisi). \(\xi\) düzleminde şunu not ediyoruz: keyfi nokta

\(F\) ve \(FA\perp a\) komutunu uygulayın;

Adım 2: \(FG\perp \pi\) komutunu uygulayın;

Adım 3: TTP'ye göre (\(FG\) – dikey, \(FA\) – eğik, \(AG\) – projeksiyon) elimizde: \(AG\perp a\) ;

Adım 4: \(\angle FAG\) açısına \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısı denir.
\(AG\) üçgeninin dik açılı olduğuna dikkat edin. Ayrıca bu şekilde oluşturulan \(AFG\) düzleminin hem \(\xi\) hem de \(\pi\) düzlemlerine dik olduğuna dikkat edin. Bu nedenle farklı söyleyebiliriz:\(\xi\) ve \(\pi\), ve \(\xi\'ye dik bir düzlem oluşturan \(c\in \xi\) ve \(b\in\pi\) ile kesişen iki çizgi arasındaki açıdır. ) ve \(\pi\) .

Görev 1 #2875

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Dana dörtgen piramit tüm kenarları eşit ve tabanı karedir. \(6\cos \alpha\)'yı bulun; burada \(\alpha\), bitişik yan yüzleri arasındaki açıdır.

\(SABCD\) olsun – bu piramit(\(S\), kenarları \(a\)'ya eşit olan bir köşedir). Sonuç olarak, tüm yan yüzler eşit eşkenar üçgenlerdir. \(SAD\) ve \(SCD\) yüzleri arasındaki açıyı bulalım.

Hadi \(CH\perp SD\) yapalım. Çünkü \(\üçgen SAD=\üçgen SCD\) ise \(AH\) aynı zamanda \(\triangle SAD\)'nin yüksekliği olacaktır. Bu nedenle, tanım gereği, \(\angle AHC=\alpha\), \(SAD\) ve \(SCD\) yüzleri arasındaki dihedral açının doğrusal açısıdır.
Taban kare olduğundan \(AC=a\sqrt2\) olur. Ayrıca \(CH=AH\)'ın yükseklik olduğunu unutmayın eşkenar üçgen\(a\) tarafıyla, bu nedenle \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Daha sonra \(\triangle AHC\)'den kosinüs teoremine göre: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Cevap: -2

Görev 2 #2876

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri, kosinüsü \(0,2\)'ye eşit olan bir açıda kesişir. \(\pi_2\) ve \(\pi_3\) düzlemleri dik açılarda kesişir ve \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemlerinin kesişme çizgisi, düzlemler \(\pi_2\) ve \(\ pi_3\) . \(\pi_1\) ve \(\pi_3\) düzlemleri arasındaki açının sinüsünü bulun.

\(\pi_1\) ve \(\pi_2\)'nin kesişme çizgisi düz bir çizgi \(a\), \(\pi_2\) ve \(\pi_3\)'in kesişme çizgisi bir düz çizgi olsun \(b\) çizgisi ve \(\pi_3\) ile \(\pi_1\) kesişim çizgisi – \(c\) düz çizgisi. \(a\parallel b\) olduğundan, \(c\parallel a\parallel b\) (teorik referans “Uzayda Geometri” \(\rightarrow\) “Sterometriye giriş bölümündeki teoreme göre, paralellik”).

\(A\in a, B\in b\) noktalarını \(AB\perp a, AB\perp b\) olacak şekilde işaretleyelim (bu, \(a\parallel b\) olduğundan mümkündür). \(C\in c\)'yi \(BC\perp c\) olacak şekilde işaretleyelim, dolayısıyla \(BC\perp b\) . Sonra \(AC\perp c\) ve \(AC\perp a\) .
Aslında, \(AB\perp b, BC\perp b\) olduğundan, \(b\), \(ABC\) düzlemine diktir. \(c\paralel a\paralel b\) olduğundan, \(a\) ve \(c\) çizgileri de \(ABC\) düzlemine ve dolayısıyla bu düzlemden herhangi bir çizgiye diktir, özellikle , \ (AC\) satırı.

Şunu takip ediyor \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\açı BCA=\açı (\pi_3, \pi_1)\). \(\ABC üçgeni\)'nin dikdörtgen olduğu ortaya çıkıyor, bu da şu anlama geliyor: \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Cevap: 0,2

Görev 3 #2877

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir noktada kesişen \(a, b, c\) düz çizgileri verildiğinde ve bunlardan herhangi ikisi arasındaki açı \(60^\circ\) değerine eşittir. \(\cos^(-1)\alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(a\) ve \(c\) çizgilerinin oluşturduğu düzlem ile \( çizgilerinin oluşturduğu düzlem arasındaki açıdır. b\ ) ve \(c\) . Cevabınızı derece cinsinden verin.

Doğruların \(O\) noktasında kesişmesine izin verin. Bunlardan herhangi ikisi arasındaki açı \(60^\circ\)'a eşit olduğundan, üç düz çizginin tümü aynı düzlemde olamaz. \(a\) doğrusu üzerinde \(A\) noktasını işaretleyelim ve \(AB\perp b\) ve \(AC\perp c\) çizelim. Daha sonra \(\üçgen AOB=\üçgen AOC\) hipotenüs ve dar açı boyunca dikdörtgen şeklindedir. Bu nedenle, \(OB=OC\) ve \(AB=AC\) .
Hadi \(AH\perp (BOC)\) yapalım. Daha sonra teoreme göre yaklaşık üç dik \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . \(AB=AC\) olduğundan, o zaman \(\üçgen AHB=\üçgen AHC\) hipotenüs ve kenar boyunca dikdörtgen şeklindedir. Bu nedenle \(HB=HC\) . Bu, \(OH\)'nin \(BOC\) açısının açıortayı olduğu anlamına gelir (çünkü \(H\) noktası açının kenarlarından eşit uzaklıktadır).

Bu şekilde aynı zamanda \(a\) ve \(c\) doğrularının oluşturduğu düzlemin oluşturduğu dihedral açının ve \(b\) ve \(c\) doğrularının oluşturduğu düzlemin doğrusal açısını da oluşturduğumuza dikkat edin. \). Bu \(ACH\) açısıdır.

Bu açıyı bulalım. \(A\) noktasını keyfi olarak seçtiğimize göre \(OA=2\) olacak şekilde seçelim. Daha sonra dikdörtgen şeklinde \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]\(OH\) bir açıortay olduğundan, \(\angle HOC=30^\circ\) , dolayısıyla dikdörtgen bir \(\triangle HOC\) içinde: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Sonra dikdörtgen \(\üçgen ACH\)'den: \[\cos\açı \alpha=\cos\açı ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Cevap: 3

Görev 4 #2910

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri, üzerinde \(M\) ve \(N\) noktalarının bulunduğu \(l\) düz çizgisi boyunca kesişir. \(MA\) ve \(MB\) parçaları \(l\) düz çizgisine diktir ve sırasıyla \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemlerinde yer alır ve \(MN = 15) \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . \(3\cos\alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri arasındaki açıdır.

\(AMN\) üçgeni dik açılıdır, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), dolayısıyla \ \(BMN\) üçgeni dik açılıdır, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), bundan \(AMB\) üçgeni için kosinüs teoremini yazıyoruz: \ Daha sonra \ Düzlemler arasındaki \(\alpha\) açısı dar bir açı olduğundan ve \(\angle AMB\) geniş olduğu ortaya çıktığından, \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Daha sonra \

Cevap: 1.25

Görev 5 #2911

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) bir paralelyüzdür, \(ABCD\) kenarı \(a\) olan bir karedir, \(M\) noktası \(A_1\) noktasından \ düzlemine bırakılan dikmenin tabanıdır ((ABCD)\) ayrıca \(M\), \(ABCD\) karesinin köşegenlerinin kesişme noktasıdır. biliniyor ki \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). \((ABCD)\) ve \((AA_1B_1B)\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Şekilde gösterildiği gibi \(MN\)'yi \(AB\)'ye dik olarak oluşturalım.

\(ABCD\) kenarı \(a\) ve \(MN\perp AB\) ve \(BC\perp AB\) olan bir kare olduğundan, \(MN\parallel BC\) . \(M\) karenin köşegenlerinin kesişme noktası olduğundan, \(M\) \(AC\'nin ortasıdır), dolayısıyla \(MN\) orta çizgidir ve \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\), \(A_1N\)'nin \((ABCD)\) düzlemine izdüşümüdür ve \(MN\) \(AB\'ye diktir), o halde üç dik teoremine göre, \ (A_1N\), \(AB \)'ye diktir ve \((ABCD)\) ve \((AA_1B_1B)\) düzlemleri arasındaki açı \(\angle A_1NM\)'dir.
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Cevap: 60

Görev 6 #1854

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir karede \(ABCD\) : \(O\) – köşegenlerin kesişme noktası; \(S\) – karenin düzleminde yer almıyor, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ve \(AB = 10\) ise \(ASD\) ve \(ABC\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Dik üçgenler \(\triangle SAO\) ve \(\triangle SDO\) iki tarafta eşittir ve aralarındaki açı (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , çünkü \(O\) – karenin köşegenlerinin kesişme noktası, \(SO\) – ortak taraf) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) – ikizkenar. \(K\) noktası \(AD\'nin ortasıdır), bu durumda \(SK\) üçgendeki yüksekliktir \(\triangle ASD\) ve \(OK\) üçgendeki yüksekliktir \( AOD\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOK\) \(ASD\) ve \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) düzlemlerine diktir – istenene eşit doğrusal açı dihedral açı.

\(\triangle SKO\) içinde: \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – ikizkenar dik üçgen \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Cevap: 45

Görev 7 #1855

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir karede \(ABCD\) : \(O\) – köşegenlerin kesişme noktası; \(S\) – karenin düzleminde yer almıyor, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ve \(AB = 10\) ise \(ASD\) ve \(BSC\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

\(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) ve \(\triangle SOC\) dik üçgenlerinin iki tarafı eşittir ve aralarındaki açı (\(SO \perp ABC) \) \(\Sağok\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), çünkü \(O\) – karenin köşegenlerinin kesişme noktası, \(SO\) – ortak kenar) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \triangle ASD\) ve \(\triangle BSC\) ikizkenardır. \(K\) noktası \(AD\'nin ortasıdır), bu durumda \(SK\) üçgendeki yüksekliktir \(\triangle ASD\) ve \(OK\) üçgendeki yüksekliktir \( AOD\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOK\), \(ASD\) düzlemine diktir. \(L\) noktası \(BC\'nin ortasıdır), o zaman \(SL\) \(\üçgen BSC\) üçgenindeki yüksekliktir ve \(OL\) üçgendeki yüksekliktir \( BOC\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOL\) (aka \(SOK\)) düzlemi \(BSC\) düzlemine diktir. Böylece, \(\angle KSL\)'nin istenen dihedral açıya eşit bir doğrusal açı olduğunu elde ederiz.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – eşit yükseklikler ikizkenar üçgenler Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Şu fark edilebilir ki \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) bir üçgen için \(\üçgen KSL\) ters Pisagor teoremi şunu tutar: \(\Rightarrow\) \(\üçgen KSL\) – dik üçgen \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) .

Cevap: 90

Öğrencileri matematikte Birleşik Devlet Sınavına girmeye hazırlamak, kural olarak, düzlemler arasındaki açıyı belirlemenize izin verenler de dahil olmak üzere temel formüllerin tekrarlanmasıyla başlar. Geometrinin bu bölümünün yeterince ayrıntılı olarak kapsanmasına rağmen okul müfredatı, birçok mezunun temel materyalleri tekrarlaması gerekir. Düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını anlayan lise öğrencileri, bir sorunu çözerken doğru cevabı hızlı bir şekilde hesaplayabilecek ve birleşik devlet sınavını geçme sonuçlarında iyi puanlar alacaklarına güvenebilecekler.

Ana nüanslar

Dihedral açının nasıl bulunacağı sorusunun zorluğa neden olmamasını sağlamak için, Birleşik Durum Sınavı görevleriyle başa çıkmanıza yardımcı olacak bir çözüm algoritması izlemenizi öneririz.

Öncelikle düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi belirlemeniz gerekir.

Daha sonra bu doğru üzerinde bir nokta seçip ona iki dik çizgi çizmeniz gerekiyor.

Sonraki adım- bulma trigonometrik fonksiyon dik açıların oluşturduğu dihedral açı. Bunu yapmanın en uygun yolu, açının da bir parçası olduğu ortaya çıkan üçgenin yardımıyladır.

Cevap açının değeri veya trigonometrik fonksiyonu olacaktır.

Shkolkovo ile sınav testine hazırlanmak başarınızın anahtarıdır

Bir gün önce dersler sırasında Birleşik Devlet Sınavını geçmek Pek çok okul çocuğu, 2 düzlem arasındaki açıyı hesaplamalarına olanak tanıyan tanım ve formül bulma sorunuyla karşı karşıyadır. Okul ders kitabı Tam ihtiyacınız olduğu anda her zaman elinizin altında olmayabilir. Ve bulmak gerekli formüller ve bazen çok fazla zaman harcamayı gerektiren çevrimiçi olarak uçaklar arasındaki açıyı bulmak da dahil olmak üzere bunların doğru kullanımına ilişkin örnekler.

Matematik portalı "Shkolkovo" şunları sunuyor: yeni yaklaşım devlet sınavına hazırlanmak için. Web sitemizdeki dersler, öğrencilerin kendileri için en zor bölümleri belirlemelerine ve bilgi boşluklarını doldurmalarına yardımcı olacaktır.

Gerekli tüm materyali hazırladık ve net bir şekilde sunduk. Temel Tanımlar ve formüller “Teorik Bilgiler” bölümünde sunulmaktadır.

Materyali daha iyi anlamak için uygun alıştırmaları yapmanızı da öneririz. Geniş görev seçimi değişen derecelerörneğin karmaşıklık “Katalog” bölümünde sunulmaktadır. Tüm görevler, doğru cevabı bulmak için ayrıntılı bir algoritma içerir. Web sitesindeki egzersizlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.

Öğrenciler, iki düzlem arasındaki açıyı bulmayı gerektiren problemleri çözme alıştırmaları yaparken, istedikleri görevi çevrimiçi olarak "Favoriler" olarak kaydetme olanağına sahip oluyorlar. Bu sayede ona geri dönebilecekler gerekli miktar zaman ayırın ve kararının ilerleyişini onlarla tartışın okul öğretmeni veya bir öğretmen.