Merhaba, Sevgili arkadaşlar! Bugün C kısmındaki göreve bakacağız. Bu iki denklemden oluşan bir sistemdir. Denklemler oldukça tuhaf. Burada sinüs ve kosinüs var, ayrıca kökler de var. İkinci dereceden ve basit problemleri çözme yeteneği gereklidir. Sunulan görevde onlar detaylı çözümler sunulmuyorsa, bunu zaten yapabiliyor olmanız gerekir. Sağlanan bağlantıları kullanarak ilgili teori ve pratik görevleri görüntüleyebilirsiniz.

Asıl zorluk benzer örnekler elde edilen çözümlerin, bulunan tanım alanıyla karşılaştırılması gerektiğidir; burada dikkatsizlik nedeniyle kolaylıkla hata yapılabilir.

Sistemin çözümü her zaman (x;y) şeklinde yazılan bir x ve y sayı çiftidir.Cevabı aldıktan sonra mutlaka kontrol edin.Size sunulan üç yol var, hayır, yollar değil ama kullanabileceğiniz üç muhakeme yolu var. Şahsen üçüncüsü bana en yakın olanı. Haydi başlayalım:

Denklem sistemini çözün:

İLK YOL!

Denklemin tanım tanım kümesini bulalım. Radikal ifadenin olumsuz olmayan bir anlamı olduğu bilinmektedir:

İlk denklemi düşünün:

1. x = 2'de veya x = 4'te sıfıra eşittir, ancak 4 radyan (3) ifadesinin tanımına ait değildir.

*Üçüncü çeyrekte 4 radyanlık (229.188 0) bir açı bulunmaktadır ve sinüs değeri negatiftir. Bu yüzden

Geriye kalan tek şey kök x = 2'dir.

X = 2 için ikinci denklemi düşünün.

Bu x değerinde, 2 – y – y 2 ifadesi sıfıra eşit olmalıdır, çünkü

2 – y – y 2'yi çözelim = 0 ise y = – 2 veya y = 1 elde ederiz.

Y = – 2 için cos y'nin kökünün bir çözümü olmadığını unutmayın.

*Üçüncü çeyrekte –2 radyanlık (– 114.549 0) bir açı bulunur ve burada kosinüs değeri negatiftir.

Bu nedenle geriye yalnızca y = 1 kalır.

Böylece sistemin çözümü (2;1) ikilisi olacaktır.

2. Birinci denklem de cos y = 0'da sıfıra eşittir, yani

Ancak (2) numaralı tanımın bulunan alanını hesaba katarak şunu elde ederiz:

Bu y için ikinci denklemi düşünün.

y = – Pi/2 ile 2 – y – y 2 ifadesi sıfıra eşit değildir; bu, bir çözüme sahip olması için aşağıdaki koşulun karşılanması gerektiği anlamına gelir:

Biz karar veriyoruz:

Tanımın (1) bulunan alanını dikkate alarak şunu elde ederiz:

Böylece sistemin çözümü bir çift daha olur:

İKİNCİ YOL!

İfadenin tanım tanım kümesini bulalım:

Kökün altındaki ifadenin olumsuz olmayan bir anlama sahip olduğu bilinmektedir.
6x – x 2 + 8 ≥ 0 eşitsizliğini çözerek 2 ≤ x ≤ 4 elde ederiz (2 ve 4 radyandır).

Durum 1'i düşünün:

X = 2 veya x = 4 olsun.

Eğer x = 4 ise sin x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Sin x ≠ 0 olduğu göz önüne alındığında, bu durumda sistemin ikinci denkleminde 2 – y – y 2 = 0 olduğu ortaya çıkıyor.

Denklemi çözdüğümüzde y = – 2 veya y = 1 olduğunu buluruz.

Elde edilen değerleri analiz ettiğimizde sin x elde ettiğimiz için x = 4 ve y = – 2'nin kök olmadığını söyleyebiliriz.< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

x = 2 ve y = 1'in tanım bölgesine dahil olduğu görülmektedir.

Dolayısıyla çözüm (2;1) çiftidir.

Durum 2'yi ele alalım:

Şimdi 2'ye izin ver< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Buna dayanarak ilk denklemde cos y'nin şu şekilde olması gerektiği sonucuna varabiliriz: sıfıra eşit.

Denklemi çözerek şunu elde ederiz:

İkinci denklemde ifadenin tanım tanım kümesini bulurken:

Şunu elde ederiz:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2 ≤ y ≤ 1

Cos y = 0 denkleminin tüm çözümlerinden bu koşul yalnızca şu şekilde sağlanır:

Şu tarihte: verilen değer y, ifade 2 – y – y 2 ≠ 0. Dolayısıyla ikinci denklemde sin x sıfıra eşit olacaktır:

Bu denklemin tüm çözümlerinden aralık 2< х < 4 принадлежит только

Bu, sistemin çözümünün başka bir çift olacağı anlamına gelir:

*Sistemdeki tüm ifadelerin tanım tanım kümesini bir anda bulamadık; ilk denklemdeki ifadeye baktık (2 durum) ve ardından bulduğumuz çözümlerin yazışmalarını belirledik. yerleşik alan tanımlar. Bana göre bu pek uygun değil, bir şekilde kafa karıştırıcı çıkıyor.

ÜÇÜNCÜ YOL!

İlkine benzer, ancak farklılıklar var. Ayrıca ifadelerin tanım alanı ilk olarak bulunur. Daha sonra birinci ve ikinci denklemler ayrı ayrı çözülerek sistemin çözümü bulunur.

Tanımın tanım kümesini bulalım. Radikal ifadenin olumsuz olmayan bir anlamı olduğu bilinmektedir:

6x – x 2 + 8 ≥ 0 eşitsizliğini çözersek 2 ≤ x ≤ 4 (1) elde ederiz.

2 ve 4 değerleri radyandır, bildiğimiz gibi 1 radyan ≈ 57,297 0

Derece olarak yaklaşık olarak 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0 yazabiliriz.

2 – y – y 2 ≥ 0 eşitsizliğini çözersek – 2 ≤ y ≤ 1 (2) elde ederiz.

Derece olarak şunu yazabiliriz: 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0.

Karar verme eşitsizlik günahı x ≥ 0 bunu anlıyoruz

y ≥ 0 olduğundan eşitsizliği çözersek şunu elde ederiz:

Faktörlerden biri sıfıra eşit olduğunda çarpımın sıfıra eşit olduğu (ve diğerlerinin anlamını kaybetmediği) bilinmektedir.

İlk denklemi düşünün:

Araç

cos y = 0'ın çözümü:

Çözüm 6x – x 2 + 8 = 0, x = 2 ve x = 4'tür.

İkinci denklemi düşünün:

Araç

sin x = 0'ın çözümü:

2 – y – y 2 = 0 denkleminin çözümü y = – 2 veya y = 1'dir.

Şimdi tanım alanını dikkate alarak analiz edelim.

elde edilen değerler:

114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0 olduğundan, o zaman bu bölüm Denklemin tek bir çözümü var sin x = 0, bu x = Pi'dir.

– 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0 olduğundan, bu parça denklemin yalnızca bir çözümünü içerirçünkü y = 0, bu

x = 2 ve x = 4 köklerini düşünün.

Sağ!

Böylece sistemin çözümü iki çift sayı olacaktır:

*Burada, bulunan tanım alanını dikkate alarak, ona ait olmayan elde edilen tüm değerleri hariç tuttuk ve ardından olası çiftler için tüm seçenekleri inceledik. Daha sonra bunlardan hangisinin sistemin çözümü olduğunu kontrol ettik.

Denklemleri, eşitsizlikleri ve bunların sistemlerini çözmenin en başında, eğer kökler, logaritmalar, trigonometrik fonksiyonlar varsa, mutlaka tanım tanım kümesini bulmanızı öneririm. Elbette hemen çözmenin ve ardından çözümü kontrol etmenin daha kolay olduğu örnekler vardır, ancak bunlar göreceli bir azınlıktır.

İşte bu. Size iyi şanslar!

Trigonometrik denklemlerin ve trigonometrik denklem sistemlerinin çözümü, en basit trigonometrik denklemlerin çözümüne dayanmaktadır.

En basit trigonometrik denklemleri çözmek için temel formülleri hatırlayalım.

sin(x) = a formundaki denklemlerin çözümü.

Ne zaman |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

|a|>1 için çözüm yoktur.

cos(x) = a formundaki denklemlerin çözümü.

Ne zaman |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

|a|>1 için çözüm yoktur.

tg(x) = a formundaki denklemlerin çözümü.

x = arktan(a) + π*k, burada k, Z'ye aittir.

cotg(x) = a formundaki denklemlerin çözümü.

x = arcctg(a)+ π*k, burada k, Z'ye aittir.

Bazı yaygın durumlar:

günah(x) =1; x = π/2 +2* π*k, burada k, Z'ye aittir.

günah(x) = 0; x = π*k, burada k, Z'ye aittir.

günah(x) = -1; x = - π/2 +2* π*k, burada k, Z'ye aittir.

cos(x) = 1; x = 2* π*k, burada k, Z'ye aittir.

cos(x) = 0; x= π/2 + π*k, burada k, Z'ye aittir.

cos(x) = -1; x = π+2* π*k, burada k, Z'ye aittir.

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1. 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0 trigonometrik denklemini çözün.

Bu tür denklemler, bir değişken değiştirilerek ikinci dereceden denklemlere indirgenerek çözülür.

y = sin(x) olsun. Sonra şunu elde ederiz:

2*y^2 + y - 1 = 0.

Ortaya çıkan uvadratik denklemi bilinen yöntemlerden birini kullanarak çözüyoruz.

y1 = 1/2, y2 = -1.

Sonuç olarak, yukarıda belirtilen formüller kullanılarak çözülebilecek iki basit trigonometrik denklem elde ediyoruz.

sin(x) = 1/2, x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k, herhangi biri için bütün k.

sin(x) = -1, x = - pi/2 +2* pi*n, burada n, Z'ye aittir.

Örnek 2. 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0 denklemini çözün.

Temel trigonometrik özdeşliği kullanarak (sin(x))^2'yi 1 - (cos(x))^2 ile değiştiririz

cos(x) için ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:

6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) - 4 = 0.

y=cos(x) değişimini tanıtıyoruz.

6*y^2 - 5*y - 4 = 0.

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi y1 = -1/2, y2 = 1(1/3) çözüyoruz.

Y = cos(x) olduğundan ve kosinüs olamaz birden fazla basit bir trigonometrik denklem elde ederiz.

x = ±2*pi/3+2*pi*k, herhangi bir k tamsayısı için.

Örnek 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

Şimdi y = tan(x) değişkenini tanıtalım. O zaman 1/y = karyola(x). Aldık

y ile çarp sıfıra eşit ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.

y^2 – 3*y + 2 = 0.

Hadi çözelim:

Herhangi bir k tamsayısı için tg(x) = 2, x = arctan(2)+pi*k.

tg(x) = 1, x = arctan(1) + pi*k, pi/4 +pi*k, herhangi bir k tamsayısı için.

Örnek 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.

Bu denklem (cos(x))^2 veya (sin(x))^2'ye bölünerek ikinci dereceden bir denkleme indirgenebilir. (cos(x)^2)'ye böldüğümüzde şunu elde ederiz:

3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, herhangi bir n tamsayısı için

tan(x) = 1/3, x = arctan(1/3) + pi*k, herhangi bir k tamsayısı için.

Örnek 4. Bir denklem sistemini çözün

( günah(x) = 2*sin(y)

Arı ekmeği denkleminden y'yi ifade ederiz,

O zaman şunu elde ederiz: 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)*sin(5* pi /3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

Dersler 54-55. Trigonometrik denklem sistemleri (isteğe bağlı)

09.07.2015 9098 895

Hedef: en fazlasını düşün tipik sistemler trigonometrik denklemler ve bunları çözme yöntemleri.

I. Dersin konusunun ve amacının aktarılması

II. İşlenen konunun tekrarı ve pekiştirilmesi

1. Şununla ilgili soruların yanıtları: Ev ödevi(çözülmemiş sorunların analizi).

2. Materyalin asimilasyonunun izlenmesi (bağımsız çalışma).

Seçenek 1

Eşitsizliği çözün:

Seçenek 2

Eşitsizliği çözün:

III. Yeni materyal öğrenme

Sınavlarda trigonometrik denklem sistemleri, trigonometrik denklemler ve eşitsizliklerden çok daha az yaygındır. Trigonometrik denklem sistemlerinin net bir sınıflandırması yoktur. Bu nedenle onları şartlı olarak gruplara ayıracağız ve bu sorunları çözmenin yollarını düşüneceğiz.

1. En basit denklem sistemleri

Bunlar, denklemlerden birinin doğrusal olduğu veya sistemin denklemlerinin birbirinden bağımsız olarak çözülebildiği sistemleri içerir.

Örnek 1

Denklem sistemini çözelim

İlk denklem doğrusal olduğundan değişkeni ondan ifade ediyoruzve ikinci denklemde yerine koyalım:İndirgeme formülünü ve ana trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz. Denklemi elde ederiz veya Yeni bir değişken tanıtalım t = günah sen. İkinci dereceden denklemimiz 3 var 2 - 7 ton + 2 = 0, kökleri t1 = 1/3 ve t2 = 2 (uygun değil çünkü günah y ≤ 1). Eski bilinmeyene dönelim ve denklemi bulalım günahkar = 1/3, çözümüArtık bilinmeyeni bulmak çok kolay:Yani denklem sisteminin çözümleri var burada n ∈ Z.

Örnek 2

Denklem sistemini çözelim

Sistemin denklemleri bağımsızdır. Bu nedenle her denklemin çözümlerini yazabiliriz. Şunu elde ederiz:Bu doğrusal denklem sisteminin denklemlerini terim terim toplayıp çıkarıyoruz ve şunu buluyoruz:Neresi

Denklemlerin bağımsızlığından dolayı x - y ve x + y'yi bulurken farklı tamsayıların belirtilmesi gerektiğini lütfen unutmayın. n ve k. k yerine ayrıca tedarik edildi N o zaman çözümler şöyle görünecektir:Bu durumda sonsuz sayıda çözüm kaybolacak ve ayrıca değişkenler arasında bir bağlantı ortaya çıkacaktır. X ve y: x = 3y (gerçekte durum böyle değildir). Örneğin, bunu kontrol etmek kolaydır bu sistem x = 5π ve y = n (elde edilen formüllere göre) çözümüne sahiptir; k = n bulmak imkansız. Bu yüzden dikkatli olun.

2. Tip sistemleri

Bu tür sistemler denklemlerin eklenmesi ve çıkarılmasıyla en basit hale getirilir. Bu durumda sistemleri elde ederiz.veya Açık bir sınırlamaya dikkat edelim: Ve Bu tür sistemlerin çözümü kendi başına herhangi bir zorluk yaratmaz.

Örnek 3

Denklem sistemini çözelim

Öncelikle sistemin ikinci denklemini eşitliği kullanarak dönüştürelim.Şunu elde ederiz: İlk denklemi bu kesrin payına koyalım:ve ifade et Artık bir denklem sistemimiz varBu denklemleri toplayıp çıkaralım. Sahibiz: veyaBu basit sistemin çözümlerini yazalım:Bunları ekleme ve çıkarma doğrusal denklemler, şunu buluyoruz:

3. Tip sistemleri

Bu tür sistemler en basit olarak kabul edilebilir ve buna göre çözülebilir. Ancak bunu çözmenin başka bir yolu daha var: Trigonometrik fonksiyonların toplamını bir çarpıma dönüştürün ve kalan denklemi kullanın.

Örnek 4

Denklem sistemini çözelim

İlk olarak, açıların sinüslerinin toplamı formülünü kullanarak ilk denklemi dönüştürüyoruz. Şunu elde ederiz:İkinci denklemi kullanarak şunu elde ederiz:Neresi Bu denklemin çözümlerini yazalım:Bu sistemin ikinci denklemini dikkate alarak bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.Bulduğumuz bu sistemden Bu tür çözümleri daha fazla yazmak uygundur rasyonel biçim. Üst işaretler için elimizde:alt işaretler için -

4. Tip sistemleri

Öncelikle sadece bir bilinmeyen içeren bir denklem elde etmek gerekir. Bunu yapmak için örneğin bir denklemden ifade edelim sin y, başkasından - çünkü sen. Bu oranların karesini alıp toplayalım. Sonra bilinmeyen x'i içeren bir trigonometrik denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim. Daha sonra bu sistemin herhangi bir denklemini kullanarak bilinmeyen y'yi bulmak için bir denklem elde ederiz.

Örnek 5

Denklem sistemini çözelim

şeklinde sistemi yazalım.Sistemin her denkleminin karesini alalım ve şunu elde edelim:Bu sistemin denklemlerini toplayalım: veya Temel trigonometrik özdeşliği kullanarak denklemi şu şekilde yazıyoruz: veya Bu denklemin çözümleriçünkü x = 1/2 (bu durumda ) ve cos x = 1/4 (buradan ), burada n, k ∈ Z . Bilinmeyenler arasındaki bağlantı göz önüne alındığında cos y = 1 – 3 cos x, şunu elde ederiz: çünkü cos x = 1/2 cos y = -1/2; cos x = 1/4 cos y için = 1/4. Bir denklem sistemini çözerken kare alma işleminin gerçekleştirildiği ve bu işlemin yabancı köklerin ortaya çıkmasına yol açabileceği unutulmamalıdır. Bu nedenle, bu sistemin ilk denklemini hesaba katmak gerekir; bundan çıkan miktarlar günah x ve günah aynı işarete sahip olmalısınız.

Bunu hesaba katarak bu denklem sisteminin çözümlerini elde ederiz.Ve burada n, m, k, l ∈ Z . Bu durumda bilinmeyen x ve y için üst veya alt işaretlerden biri aynı anda seçilir.

Özel bir durumdasistem, trigonometrik fonksiyonların toplamını (veya farkını) bir çarpıma dönüştürerek ve ardından denklemleri terime bölerek çözülebilir.

Örnek 6

Denklem sistemini çözelim

Her denklemde fonksiyonların toplamını ve farkını bir çarpıma dönüştürüyoruz ve her denklemi 2'ye bölüyoruz. Şunu elde ederiz:Denklemlerin sol taraflarında tek bir faktör sıfıra eşit olmadığından denklemleri terim terime bölüyoruz (örneğin ikinciyi birinciye). Şunu elde ederiz:Neresi Bulunan değeri yerine koyalımörneğin, ilk denklemde:Bunu dikkate alalım Daha sonra Neresi

Bir doğrusal denklem sistemi elde ettikBu sistemin denklemlerini toplayıp çıkararak şunu buluruz:Ve burada n, k ∈ Z.

5. Bilinmeyenlerin değiştirilmesiyle çözülen sistemler

Sistem yalnızca iki trigonometrik fonksiyon içeriyorsa veya bu forma indirgenebiliyorsa, bilinmeyenlerin değiştirilmesinin kullanılması uygundur.

Örnek 7

Denklem sistemini çözelim

Bu sistem yalnızca iki trigonometrik fonksiyon içerdiğinden, yeni değişkenleri tanıtıyoruz: a = tan x ve b = günah sen. Bir cebirsel denklem sistemi elde ediyoruzİlk denklemden a = olarak ifade ediyoruz B +3 ve ikincinin yerine şunu koyarız:veya Bu ikinci dereceden denklemin kökleri b 1 = 1 ve b 2 = -4. Karşılık gelen değerler a1 = 4 ve a2 = -1'dir. Eski bilinmeyenlere dönelim. İki basit trigonometrik denklem sistemi elde ederiz:

a) onun kararı burada n, k ∈ Z.

B) çözümü yok çünkü sin y ≥ -1.

Örnek 8

Denklem sistemini çözelim

Sistemin ikinci denklemini sadece fonksiyonları içerecek şekilde dönüştürelim. günah x ve cos sen. Bunu yapmak için indirgeme formüllerini kullanıyoruz. Şunu elde ederiz:(Neresi ) Ve (Daha sonra ). Sistemin ikinci denklemi şu şekildedir: veya Bir trigonometrik denklem sistemi elde ettikYeni değişkenleri tanıtalım a = sin x ve b = cos sen. Simetrik bir denklem sistemimiz var tek çözüm Hangi a = b = 1/2. Hadi eski bilinmeyenlere geri dönelim ve en basit sistem trigonometrik denklemler kimin çözümü burada n, k ∈ Z.

6. Denklem özelliklerinin önemli olduğu sistemler

Neredeyse herhangi bir denklem sistemini çözerken, özelliklerinden biri veya diğeri kullanılır. Özellikle en çok biri genel teknikler Sistemin çözümleri, yalnızca bir bilinmeyen içeren bir denklem elde etmeyi mümkün kılan özdeş dönüşümlerdir. Dönüşümlerin seçimi elbette sistem denklemlerinin özelliklerine göre belirlenir.

Örnek 9

Sistemi çözelim

Denklemlerin sol taraflarına dikkat edelim, örneğinİndirgeme formüllerini kullanarak bunu π/4 + x argümanına sahip bir fonksiyon haline getiririz. Şunu elde ederiz:O zaman denklem sistemi şöyle görünür:X değişkenini ortadan kaldırmak için denklemleri terim terimle çarparız ve şunu elde ederiz:veya 1 = sin 3 2у, dolayısıyla sin 2у = 1. Buluyoruz Ve Çift ve tek değerlerin durumlarını ayrı ayrı ele almak uygundur N. Çift n için (n = 2 k, burada k ∈ Z) Daha sonra bu sistemin ilk denkleminden şunu elde ederiz:burada m ∈ Z. Tek için Sonra elimizdeki ilk denklemden:Yani bu sistemin çözümleri var

Denklemlerde olduğu gibi, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının sınırlı yapısının önemli bir rol oynadığı denklem sistemleri sıklıkla bulunur.

Örnek 10

Denklem sistemini çözelim

Öncelikle sistemin ilk denklemini dönüştürüyoruz:veya veya veya veya Sinüs fonksiyonunun sınırlı doğası dikkate alındığında şunu görüyoruz: sol taraf denklem 2'den az değildir ve sağ taraf 2'den büyük değildir. Dolayısıyla böyle bir denklem şu koşullara eşdeğerdir: günah 2 2x = 1 ve günah 2 y = 1.

Sistemin ikinci denklemini formda yazıyoruz sin 2 y = 1 - cos 2 z veya sin 2 y = sin 2 z ve sonra sin 2 z = 1. Basit bir trigonometrik denklem sistemi elde ettikDereceyi azaltmak için formülü kullanarak sistemi şu şekilde yazıyoruz:veya Daha sonra

Elbette diğer trigonometrik denklem sistemlerini çözerken bu denklemlerin özelliklerine de dikkat etmek gerekir.

Malzemeyi indir

Materyalin tam metni için indirilebilir dosyaya bakın.
Sayfa materyalin yalnızca bir kısmını içeriyor.

Deşifre metni

1 I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Trigonometrik denklem sistemleri Bu makalede iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan trigonometrik sistemleri ele alıyoruz. Bu tür sistemlerin çözüm yöntemlerini ve çeşitli özel teknikleri hemen inceleyeceğiz. spesifik örnekler. Sistemin denklemlerinden biri bilinmeyen x ve y'nin trigonometrik fonksiyonlarını içerirken diğer denklem x ve y'de doğrusal olabilir. Bu durumda, açık bir şekilde hareket ediyoruz: bilinmeyenlerden birini doğrusal bir denklemden ifade ediyoruz ve onu sistemin başka bir denklemiyle değiştiriyoruz. Problem 1. Sistemi çözün: x + y =, sin x + sin y = 1. Çözüm. İlk denklemden y'yi x'e kadar ifade ederiz ve bunu ikinci denklemde yerine koyarız: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Sonuç, x için en basit trigonometrik denklemdir. Çözümlerini iki seri şeklinde yazıyoruz: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Geriye karşılık gelen y değerlerini bulmak kalıyor: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Denklem sistemlerinde her zaman olduğu gibi cevap, x çiftlerinin bir listesi olarak verilir; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. X ve y'nin n tamsayı parametresi aracılığıyla birbirleriyle ilişkili olduğuna dikkat edin. Yani, x ifadesinde +n görünüyorsa, y ifadesinde n otomatik olarak ve aynı n ile görünür. Bu, x + y = denklemiyle verilen, x ile y arasındaki "sert" ilişkinin bir sonucudur. Görev. Sistemi çözün: cos x + cos y = 1, x y =. Çözüm. Burada öncelikle sistemin ilk denklemini dönüştürmek mantıklıdır: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Dolayısıyla sistemimiz şu sisteme eşdeğerdir: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. İlk denklemde x y ='yi yerine koyun: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). Sonuç olarak şu sisteme ulaşıyoruz: x + y = n, x y =. Bu denklemleri toplayıp bölüyoruz ve x'i buluyoruz; ikinciyi birinci denklemden çıkarın, bölün ve y'yi bulun: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. Bazı durumlarda trigonometrik sistem, değişkenlerin uygun bir şekilde değiştirilmesiyle bir cebirsel denklemler sistemine indirgenebilir. Görev. Sistemi çözün: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Çözüm. u = sin x, v = cos y değişimi, u ve v için cebirsel bir sisteme yol açar: u + v = 1, u v = 1. Bu sistemi kendiniz kolayca çözebilirsiniz. Çözüm benzersizdir: u = 1, v = 0. Ters ikame iki en basit trigonometrik denkleme yol açar: sin x = 1, cos y = 0, dolayısıyla + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Artık yanıt kaydı iki tam sayı parametresi k ve n'yi içeriyor. Farkı önceki görevler bu sistemde x ile y arasında örneğin doğrusal bir denklem biçiminde "katı" bir bağlantı olmamasıdır, bu nedenle x ve y çok daha fazladır daha büyük ölçüde birbirinden bağımsız.

3V bu durumda Yalnızca bir tamsayı parametresi n kullanmak, cevabı + n;) + n olarak yazmak hata olur. Bu kayıplara yol açacaktır sonsuz sayı 5 sistem çözümü. Örneğin, k = 1 ve n = 0'da ortaya çıkan çözüm kaybolacaktır ;). Problem 4. Sistemi çözün: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Çözüm. İlk önce ikinci denklemi dönüştürüyoruz: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Şimdi yerine koyma işlemini yapıyoruz: u = sin x, v = sin y. Sistemi elde ederiz: u + v = 1, u + 4v = 1. Bu sistemin çözümleri iki çifttir: u 1 = 0, v 1 = 1/ ve u = /, v = 1/6. Geriye kalan tek şey ters yerine koyma işlemi yapmaktır: sin x = 0, sin x = sin y = 1 veya sin y = 1 6 ve cevabı yazın. k; 1) n6 + n), 1) k arksin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Problem 5. Sistemi çözün: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Çözüm. Burada cebirsel bir sistem elde etmek için daha da fazla çalışmanız gerekiyor. Sistemimizin ilk denklemini şu şekilde yazıyoruz: İkinci denklemde: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Böylece orijinal sistem şu sisteme eşdeğerdir: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 u = cos x y, v = cos x + y yerine koyarız ve cebirsel bir sistem elde ederiz: uv = 1, u v = 4. Bu sistemin çözümleri iki çifttir: u 1 = 1, v 1 = 1/ ve u = 1, v = 1/. İlk çift sistemi verir: x y = 1, = k, Dolayısıyla cos x y cos x + y İkinci çift sistemi verir: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + nk, nZ). = ± + nk). x y = + k, x + y = ± + nk, nZ). Dolayısıyla x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + nk), ± + n +k); ±) + n k), k, n Z. Bununla birlikte, bir trigonometrik denklem sistemini cebirsel denklemler sistemine indirgemek her zaman mümkün değildir. Bazı durumlarda çeşitli özel tekniklerin kullanılması gerekir. Bazen denklemleri toplayıp çıkararak bir sistemi basitleştirmek mümkündür. Problem 6. Sistemi çözün: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Çözüm. Bu denklemleri toplayıp çıkararak şunu elde ederiz: eşdeğer sistem: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. Ve bu sistem de iki sistemin birleşimine eşdeğerdir: x + y = + k, x + y = x y = + k veya 6 + n x y = nk, nZ). 4

5 Dolayısıyla x = + k + n), x = + k + n), y = veya + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Bazen denklemleri birbirleriyle çarparak çözüme ulaşabilirsiniz. Problem 7. Sistemi çözün: tg x = sin y, ctg x = cos y. Çözüm. Bir sistemin denklemlerini birbirleriyle çarpmanın “sol tarafların çarpımı sağ tarafların çarpımına eşittir” şeklinde bir denklem yazmak anlamına geldiğini hatırlayalım. Ortaya çıkan denklem orijinal sistemin bir sonucu olacaktır, yani orijinal sistemin tüm çözümleri sonuçtaki denklemi karşılayacaktır). Bu durumda sistemin denklemlerinin çarpılması şu denkleme yol açar: 1 = sin y cos y = sin y, dolayısıyla y = /4 + n n Z). Y'yi bu biçimde sistemde değiştirmek sakıncalıdır; onu iki seriye bölmek daha iyidir: y 1 = 4 + n. Sistemin ilk denkleminde y 1'i yerine koyun: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Sistemin ikinci denkleminde y 1'in yerine konulmasının aynı sonuca yol açacağını görmek kolaydır. Şimdi y'yi yerine koyuyoruz: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Bazen denklemleri birbirine bölmek sonuca yol açar. Problem 8. Sistemi çözün: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Çözüm. Haydi dönüştürelim: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Geçici olarak şu gösterimi tanıtalım: α = x + y, β = x y. Daha sonra ortaya çıkan sistem şu şekilde yeniden yazılacaktır: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Cos β 0 olduğu açıktır. Daha sonra ikinci denklemi birinciye bölerek sistemin bir sonucu olan tg α = denklemine ulaşırız. Elimizde: α = + n n Z) ve yine sisteme daha fazla ikame amacıyla), elde edilen kümeyi iki seriye bölmek bizim için uygundur: α 1 = + n, α = 4 + n. Sistemin herhangi bir denkleminde α 1'i değiştirmek şu denkleme yol açar: cos β = 1 β 1 = k k Z). Benzer şekilde, sistemin herhangi bir denkleminde α'yı değiştirmek şu denklemi verir: cos β = 1 β = + k k Z). Yani elimizde: α 1 = + n, β 1 = k veya α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y veya + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = veya + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. Bazı durumlarda temel trigonometrik özdeşlik kurtarmaya gelir. Problem 9. Sistemi çözün: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Çözüm. Her denklemin her iki tarafının karesini alalım: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Ortaya çıkan denklemleri toplayalım: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, dolayısıyla sin y = 0 ve y = n n Z). Bu orijinal sistemin bir sonucudur; yani herhangi bir x çifti için; Sistemin bir çözümü olan y), bu çiftin ikinci sayısı bir n tamsayısıyla n biçiminde olacaktır. Y'yi iki seriye ayırıyoruz: y 1 = n, y = + n. Orijinal sistemde y 1'i yerine koyarız: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Bu sistemin çözümü sin x = 1, cos x = 1 serisidir. x 1 = 4 + k k Z ). Şimdi sistemin denklemlerinden birinde y 1'i yazmanın yeterli olmayacağını lütfen unutmayın. Sistemin birinci ve ikinci denklemlerinde y 1 yerine iki denklemli bir sistem elde edilir farklı denklemler x'e göre.) Benzer şekilde, orijinal sistemde y'yi yerine koyarız: Dolayısıyla sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z)) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Bazen dönüşümler sırasında bilinmeyenler arasında basit bir ilişki elde etmek ve bu ilişkiden bir bilinmeyeni diğerine göre ifade etmek mümkündür. Problem 10. Sistemi çözün: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Çözüm. Sistemin ikinci denkleminde sinüslerin çift çarpımını kosinüs farkına dönüştürüyoruz: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Buradan y'yi x cinsinden ifade ederiz: y = x + n, 7

8 ve sistemin ilk denkleminde yerine şunu koyun: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Gerisi önemsizdir. Şunu elde ederiz: cos x = 1, dolayısıyla x = ± Yukarıda elde edilen ilişkiden y'yi bulmak kalır: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Elbette, ele alınan problemler trigonometrik denklem sistemlerinin tüm çeşitliliğini kapsamamaktadır. Herhangi bir zamanda zor durum yalnızca çözme pratiğiyle geliştirilen yaratıcılık gerektirir çeşitli görevler. Tüm cevaplar k, n Z olduğunu varsayar. Problemler 1. Sistemi çözün: x + y =, cos x cos y = 1. b) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4n); b) n; N). Sistemi çözün: x + y = 4, tg x tan y = 1 b) 6. x y = 5, sin x = sin y. arktan 1 + n; arktg 1 n), arktg 1 + n; arktg 1 n); b) + n; 6 + n). Sistemi çözün: sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n) ; b) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Sistemi çözün: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. b) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k6 + k; ± + n), 1) kk; ± + n) ; b) 1) k4 + k; + n) 5. Sistemi çözün: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = b) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; N) ; b) arktan 5 + k; arktan 1 + n), arktan 1 + k; arktan 5 + n) 6. Sistemi çözün: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. b) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k6 + k; ± + n) ; b) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Sistemi çözün: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k4 + kn)), 1) kk + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Sistemi çözün: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = b) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + kn)) ; b) ± + k + n); ± + k n)) 9. Sistemi çözün: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. b) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k1 + n + k)) ; b)) 4 + k; 4 + k + n 9

10 10. Sistemi çözün: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Sistemi çözün :) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Sistemi çözün: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Sistemi çözün: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Sistemi çözün: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Sistemi çözün: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Sistemi çözün: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. b) bebek karyolası x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; N); b)) 4 + k; n, + k; + n) 10

11 17. “Fiztekh”, 010) 5 sin x cos y =, sin y + cos x = denklem sistemini çözün. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. Moskova Devlet Üniversitesi, kopya. yabancılar için gr-n, 01) Denklem sistemini çözün: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6n), +n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) Sistemin tüm çözümlerini bulun günah denklemleri x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, burada xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. Moskova Devlet Üniversitesi, coğrafi. f-t, 005) 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y = denklem sistemini çözün. 1) n n, k), k, n Z 1. Moskova Devlet Üniversitesi, Devlet Fakültesi. kontrol, 005) Denklem sistemini çözün sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Denklem sistemini çözün 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x günah y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, nZ 11

12. MIPT, 199) tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y denklem sistemini çözün. arktan 4 + n, arkcos 4 + k) ; + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Denklem sistemini çözün sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k ) ; k, n Z 5. MIPT, 1996) Sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x denklem sistemini çözün. 1) n1 + n, 4 + 1)k4 + k) ; k, n Z 6. MIPT, 1997) 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4 denklem sistemini çözün. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, nZ 1

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Trigonometride Minimax problemleri Bu sayfada, çözümü için sağ ve sol taraf tahminlerinin kullanıldığı denklemler tartışılmaktadır. Olmak

I. V. Yakovlev Matematik üzerine materyaller MathUs.ru Trigonometrik denklemler modüllü Bu broşür, bilinmeyen bir niceliğin trigonometrik fonksiyonlarının aşağıdakileri içerdiği trigonometrik denklemlere ayrılmıştır:

Pratik çalışma: Trigonometrik denklemlerin çözümü çeşitli türler Geliştirici: I. A. Kochetkova, Zh. I. Timoshko İşin amacı: 1) Trigonometrik formülleri tekrarlayın çift ​​argüman, toplama formülleri,

I V Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUsru Trigonometrik eşitsizlikler Okuyucunun en basit denklemleri çözebileceği varsayılmaktadır. trigonometrik eşitsizlikler Daha fazlasına geçiyoruz karmaşık görevler Görev

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Trigonometrik dönüşümler ve hesaplamalar Trigonometrik dönüşümler ve hesaplamalarla ilgili problemler kural olarak karmaşık değildir ve bu nedenle nadirdir

İçindekiler I V Yakovlev Matematikle ilgili materyaller MathUsru İrrasyonel denklemler ve sistemler 1 Ev eşyaları muhasebesi 1 Eşdeğer dönüşümler 3 Değişkenin değişimi 6 4 Eşlenik ile çarpma 7 5 Denklem sistemleri

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru En basit trigonometrik denklemler Trigonometrik denklemleri incelemeye başlıyoruz ana tema tüm trigonometrik bölüm. izin ver

Eğitim Yönetim Ajansı Krasnoyarsk Bölgesi Krasnoyarsk devlet üniversitesi Krasnoyarsk Devlet Üniversitesi Matematik Yazışma doğa bilimleri okulu: 0. sınıf modülü Eğitimsel ve metodolojik kısım/ Kompozisyon:

G.I. parametreleriyle değişmezlik ve sorunlar Falin, A.I. Falin Lomonosov Moskova Devlet Üniversitesi http://mech.math.msu.su/ falin 1 Giriş B modern matematik önemli rol değişmezlik kavramını oynar, yani. değişmezlik

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MthUs.ru Trigonometrik fonksiyonların incelenmesi Tanım alanından herhangi bir x için bir T 0 sayısı varsa fx) fonksiyonunun periyodik olarak adlandırıldığını hatırlayın.

Konu 14 " Cebirsel denklemler ve sistemler doğrusal olmayan denklemler» N dereceli bir polinom, P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + an n biçiminde bir polinomdur; burada a 0, a 1, a n-1, an n verilen sayılar 0,

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Eğitim problemleri Parametreli problemlerde simetri 1. (MSU, Toprak Bilimi Fakültesi, 001) Denklemin hangi b değerleri için tam olarak bir kökü var? tan b = günlük

Bilim ve Eğitim Bakanlığı Rusya Federasyonu Moskova Devlet Jeodezi ve Haritacılık Üniversitesi T. M. Koroleva, E. G. Markaryan, Yu. M. Neiman BAŞVURULAR İÇİN MATEMATİK ELKİTABI

10. sınıf cebir dersi Ders konusu: Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri Dersin Amacı: Öğrencilerin konu hakkındaki bilgilerinin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi. Ders hedefleri: 1) Eğitimsel - Genişletme ve derinleştirme

L.I.'nin test çözümü örnekleri. Terekhina, I.I. Düzeltme 1 Test 1 Doğrusal cebir Karar vermek matris denklemi((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Önce matrisleri şu şekilde çarpalım:

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRASYONU Çeşitli argümanların sinüs ve kosinüslerinin çarpımının integrali Trigonometrik formüller km [ (m k (m k ], (km [ (m k (m k ]), (km [ (m k (m k)

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü(devlet üniversitesi) Yarı zamanlı fiziksel ve teknik okul MATEMATİK Kimlik dönüşümleri. Çözüm

İrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler İçerik İrrasyonel denklemler Bir denklemin her iki tarafını da aynı kuvvete yükseltme yöntemi Atama Atama Ödev İrrasyonel bir denklemin karma bir denklemle değiştirilmesi

Belarus Cumhuriyeti Molodechno Eyaleti Eğitim Bakanlığı politeknik okulu Pratik çalışma: En basitine indirgenmiş trigonometrik denklemlerin çözülmesi. Geliştirici: I.

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI TOMSK DEVLET ÜNİVERSİTESİ Uygulamalı Matematik ve Sibernetik Fakültesi Olasılık Teorisi ve Bölümü matematiksel istatistik LİMİTLER Metodik

10. sınıf, temel seviye Görev 1 Seçenek 0 (çözümlerle birlikte gösteri) Yazışma matematik okulu 009/010 akademik yıl 1 İfadeyi polinom olarak ifade edin standart görünüm ve onu bul

“BELİRSİZ İNTEGRAL” Dersleri Derleyen: VPBelkin Ders Belirsiz integral Temel kavramlar Belirsiz integralin özellikleri 3 Terstürevlerin temel tablosu 3 4 Tipik örnekler 3 5 Tek hücreliler

4. Trigonometri Artık trigonometrik fonksiyonların kesin tanımlarını vermeye hazırız. İlk bakışta muhtemelen oldukça tuhaf görünecekler; ancak şunu göstereceğiz:

Konu FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ A sayısına y = f fonksiyonunun limiti denir ve x sonsuza gider, eğer herhangi bir ε> sayısı için, ne kadar küçük olursa olsun, tüm >S'ler için pozitif bir s sayısı vardır,

Federal kurum Eğitime göre eyalet eğitim kurumu daha yüksek mesleki eğitim Ukhta Eyaleti teknik üniversite(USTU) LİMİT FONKSİYONU Metodolojik

DEMİDOV DEĞİL TRİGONOMETRİ TEMELLERİ Çalışma kılavuzu yabancı vatandaşlar Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Eğitim bütçe kurumu yüksek profesyonel

Konu 1 Gerçek sayılar ve bunlarla ilgili eylemler 4 saat 11 1 Sayı Kavramının Gelişimi Başlangıçta sayılar sadece anlaşılıyordu doğal sayılar saymak için bunlar yeterli bireysel öğeler Birçok

Trigonometrik denklemleri çözme Trigonometrik denklemleri çözme Hedefler: Trigonometrik denklem türlerine aşina olmak Denklem çözme yollarına aşina olmak. Uygulama becerilerini geliştirin

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Parametreli problemlerde simetri Simetri, anahtar kavramlar matematik ve fizik. aşina mısın geometrik simetri rakamlar ve genellikle çeşitli

Test. A, B ve D matrisleri veriliyor. Eğer: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 ise AB 9D'yi bulun. A 3 ve B 3 matrislerini çarpın. Sonuç: elemanlardan oluşan 3 3 boyutunda C olsun

Ders 13: Ural düzleminde kuadriklerin sınıflandırılması federal üniversite, Matematik Enstitüsü ve bilgisayar Bilimi, Cebir ve Ayrık Matematik Bölümü Giriş Açıklamaları Önceki üç bölümde

Sınıf. Rastgele bir gerçek üssü olan bir kuvvet, özellikleri. Güç fonksiyonu, özellikleri, grafikleri.. Derecenin özelliklerini şununla hatırlayın: rasyonel gösterge. a a a a a doğal zaman için

8.3. Sınıf, Matematik (ders kitabı Makarychev) 2016-2017 akademik yılı Modül 5'in konusu “ Karekök. Tamsayı göstergeli derece” Test teorik ve pratik kısımları test eder. KONU Bilmek Bilmek

VSTU-VGASU Yüksek Matematik Bölümü, Doç. Sedaev A.A. 06 ÜRETİLDİ?.. sıfırdan mı?.. C H A Y N I KO V İÇİN?... BU BASİT DEĞİL Sevgili okuyucu. Eğer bulma ihtiyacıyla karşılaşırsanız

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı ULUSAL ARAŞTIRMA MOSKOVA DEVLET SİVİL ÜNİVERSİTESİ Bölümü uygulamalı mekanik ve matematikçiler OLAĞAN DİFERANSİYEL

Konu: Dönüşüm trigonometrik ifadeler Trigonometrik denklemlerde ODZ'nin dikkate alınması Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık (görev 9; ; 8) Tanım: f g denkleminin veya bölgenin tanım alanı kabul edilebilir değerler

Moskova havacılık enstitüsü(ulusal araştırma üniversitesi) Departman " Yüksek matematik" Çeşitli Değişkenlerin Türev Fonksiyonlarını Limitler Yönergeler ve test seçenekleri

Bölüm 4 Bir Fonksiyonun Limiti 4 1 BİR FONKSİYONUN LİMİT KAVRAMI Bu bölüm bir fonksiyonun limit kavramına odaklanmaktadır. Bir fonksiyonun sonsuzda limitinin ne olduğu belirlenir ve ardından bir noktadaki limit, limitler belirlenir.

Konu 7 Bir matrisin rütbesi Temel minör Bir matrisin mertebesi teoremi ve sonuçları Bilinmeyen m doğrusal denklem sistemleri Kronecker-Capelli teoremi Temel sistemçözümler homojen sistem doğrusal

Konu 1-8: Karmaşık sayılar A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal Üniversitesi Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Enstitüsü Cebir ve Ayrık Matematik Bölümü Mekanik için cebir ve geometri (1 dönem)

MATEMATİKSEL ANALİZİN TEMEL KAVRAMLARI Tanımlanabilen ancak kesin olarak tanımlanamayan kavramlar, çünkü kesin bir tanım verme girişimi kaçınılmaz olarak tanımlanan kavramın yerine geçmesine neden olacaktır.

Değişkenleri ayırma yöntemi (Fourier yöntemi) Genel prensipler değişkenlerin ayrılması yöntemi En basit kısmi diferansiyel denklem için değişkenlerin ayrılması, yalnızca t formundaki çözümlerin aranmasıdır. u(x,t

64 7.sınıf Cebir (haftada 5 saat, 175 saat) Cebirsel bileşen (haftada 3 saat) 105 saat ve Geometrik bileşen (haftada 2 saat) 70 saat Kullanılan öğretim yardımcıları: 1. Arefieva, I. G. Cebir: ders kitabı. ödenek

Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı Rusya Devlet Petrol ve Gaz Üniversitesi IM Gubkin VI Ivanov “DİFERANSİYEL DENKLEMLER” konusunu incelemek için kılavuzlar (öğrenciler için)

Pratik ders Konu: Fonksiyon Bir fonksiyonun tanım alanı ve değer kümesi Hedef: Fonksiyonların tanım alanını bulma ve fonksiyonların kısmi değerlerini hesaplama konusunda becerilerin geliştirilmesi Tamamlamak

SEÇENEK 0 GÖREVLERİNİN ÇÖZÜMLERİ Yalnızca parçadan gelen görevlere yönelik çözümlerin test için sunulduğunu hatırlatalım. Parçalardan gelen görevlere yönelik çözümler taslak halinde gerçekleştirilir ve parçadan görevleri tamamlarken değerlendirmeyi hiçbir şekilde etkilemez.

57(07) D DG Demyanov BELİRSİZ İNTEGRAL Eğitim ve referans kılavuzu Chelyabinsk 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG Belirsiz integral: Eğitim ve referans kılavuzu / Düzenleyen: SA Ufimtsev Chelyabinsk: Yayınevi

Phystech 0, 0 sınıfı, biletin çözümleri cos x cosx Denklemi çözün = cos x sin x Cevap x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Çözüm İki olası durum vardır cos x cos x sin x sin x a) çünkü x 0 O halde = = tan x = x =

TRİGONOMETRİK FORMÜLLER Trigonometrik denklem ve eşitsizlikleri çözmede başarı, ispat trigonometrik özdeşlikler hesaplama problemlerinin çözümleri büyük ölçüde temel bilgi birikimiyle belirlenir.

Ders 14 Karmaşık sayılar. LODU ile sabit katsayılar. 14.1 Karmaşık sayılar Karmaşık sayı x R olmak üzere z = x+iy formunun bir ifadesi denir. Küme arasında bire bir yazışma vardır.

Soru: Hangi sayılara doğal sayılar denir? Cevap Doğal sayılar saymada kullanılan sayılardır. Sayıların gösteriminde sınıflar ve sıralar nelerdir? Toplama sırasında sayılara ne denir? Bir ünsüz formüle edin

AA KIRSANOV KOMPLEKS NUMARALARI PSKOV BBK 57 K45 Cebir ve Geometri Bölümü ve SM Kirov'un adını taşıyan PSPI Yayın ve Yayın Konseyi kararıyla yayınlandı Hakem: Medvedeva IN, Fizik ve Matematik Adayı, Doçent

Ders Diferansiyel denklemler-inci sıra (DU-) Genel görünüm n mertebesinden diferansiyel denklem şu şekilde yazılacaktır: (n) F, = 0 () n'inci mertebeden denklem (n =) F(,) = 0 formunu alacaktır Benzer denklemler

DİFERANSİYEL DENKLEMLER Habarovsk 01 FEDERAL EĞİTİM AJANSI Yüksek mesleki eğitimin devlet bütçeli eğitim kurumu "Pasifik Devleti

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı St. Petersburg Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi VB SMIRNOVA, L E MOROZOVA OLAĞAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitim

MATEMATİK, sınıf Cevaplar ve kriterler, Nisan Seçenek/görevler CEVAPLAR B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44.7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( log ;) + n, 8 49 8,7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Sorun koşulları 1 Belediye aşaması 8.sınıf 1. Tahtaya iki sayı yazılır. 2015 yılı için biri 6 kat artırılırken diğeri azaltılırken rakamların toplamı değişmedi. Bunlardan en az bir çift bulun

Belirsiz integral Giriş Tanım Bir F() fonksiyonuna, eğer F() f() ise veya aynı şey, df f d ise, belirli bir f() fonksiyonu için ters türev denir. Bu işlev f() farklı antiderivatiflere sahip olabilir,

Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü İrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler Metodik kılavuz Olimpiyatlara hazırlık hakkında Derleyen: Parkevich Egor Vadimovich Moskova 04 Giriş Bu çalışmada şunlara bakacağız:

VEKTÖR HESABININ TEMELLERİ Bir vektöre denir niceliksel özellik, sadece sayısal değer Bazen bir vektörün yönlendirilmiş bir segment olduğunu söylerler. Vektör sistemi.

Üstel denklemler. Çözüm yöntemleri. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Üstel denklem, yalnızca üstelde bir değişken içeren denklemdir. Birkaç türe bakalım üstel denklemler,

MAV(S)OU "TsO 1" Matematik 1. Sınıf Trigonometri TEST 1, Tablolar, testler, Öğretmen Nemova N.M.'yi test ediyor. İlk yeterlilik 15 öğretim yılı Açıklayıcı not. Verilen didaktik materyal amaçlanan

Ters türev ve belirsiz integral Temel kavramlar ve formüller 1. Ters türev ve belirsiz integralin tanımı. Tanım. F(x) fonksiyonuna, aralıktaki f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.

PRATİK DERS Rasyonel kesirlerin integrali Rasyonel kesir, P Q formunun bir kesridir; burada P ve Q polinomlardır Rasyonel kesir Polinom P'nin derecesi dereceden düşükse doğru denir.

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MthUs.ru Makale A. G. Malkova ile birlikte yazılmıştır. En basit trigonometrik denklemler. Önceki makale, en basit trigonometrik problemleri çözme ana fikrine ayrılmıştı.

Konu Belirsiz integral Temel integral yöntemleri Parçalara göre integral alma u ve v'nin aynı argümanın iki türevlenebilir fonksiyonu olmasına izin verin. d(u v) udv vdu (77) Her ikisinden de alın

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü (Devlet Üniversitesi) Yazışma Fizik ve Teknoloji Okulu MATEMATİK İkinci dereceden denklemler 8'li görevler

Tam sayılarla tek adımlı problemler (formel) sayfa 1 09/06/2012 1) Eşitsizliği çözün: x 7 17. 2) 612'yi 100000 ile çarpın. 3) 661 ile 752 sayıları arasındaki fark nedir? 4) İfadeleri karşılaştırın: 54 6 ve 7.

DERS N Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler, çözüm yöntemleri Cauchy problemi Yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklemler Homojen lineer denklemler Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler,