Tanım.Bilinmeyen bir X'in belirli sayısal katsayılarla alınan negatif olmayan tamsayı kuvvetlerinin toplamına polinom denir.
Burada: 
- gerçek sayılar.
N- polinomun derecesi.
Polinomlar üzerinde işlemler.
1). İki polinom toplanırken (çıkarılırken), katsayılar toplanır (çıkarılır) eşit derece bilinmeyen x.
2). İki polinom, X'in aynı kuvvetlerine sahip, aynı derecede ve eşit katsayılara sahipse eşittir.
3). İki polinomun çarpılmasıyla elde edilen bir polinomun derecesi, çarpılan polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
4). Polinomlar üzerindeki doğrusal işlemler birleşebilirlik, değişebilirlik ve dağılabilirlik özelliklerine sahiptir.
5) Bir polinomun bir polinoma bölünmesi “köşeye bölme” kuralı kullanılarak yapılabilir.
Tanım. X=a sayısına, bir polinomun yerine konulması onu sıfıra çeviriyorsa polinomun kökü denir;
Bezout'un teoremi. Bir polinomu bölerken kalan
binom (x-a) ile polinomun x=a'daki değerine eşittir, yani.
Kanıt.
Nerede olsun
X=a'yı eşitliğe koyarsak, şunu elde ederiz:
1). Bir polinomu bir binom (x-a) ile böldüğünüzde, kalan her zaman bir sayı olacaktır.
2). Eğer a bir polinomun kökü ise, bu durumda polinom binom (x-a) ile kalansız bölünebilir.
3) n dereceli bir polinomu bir binom (x-a) ile böldüğümüzde, (n-1) dereceli bir polinom elde ederiz.
Cebirin temel teoremi.Herhangi bir derece polinomuN (N>1) en az bir kökü var(kanıt olmadan sunulmuştur).
Sonuçlar.Herhangi bir derece polinomu
N
tam olarak var
N
kökler ve karmaşık sayılar alanı üzerinde ürüne ayrıştırılır
N
doğrusal faktörler, yani.
Polinomun kökleri arasında 
tekrar eden sayılar (birden fazla kök) olabilir. Gerçek katsayılı polinomlar için karmaşık kökler yalnızca eşlenik çiftlerde görünebilir. Son ifadeyi kanıtlayalım.
İzin vermek 
- karmaşık kök polinom, ardından Dayalı genel mülk bu nedenle karmaşık sayılar belirtilebilir 
- aynı zamanda bir kök.
Bir polinomun her bir karmaşık eşlenik kök çifti, gerçek katsayılara sahip bir kare trinomiye karşılık gelir.
Burada P, Q- gerçek sayılar (örneği göster).
Çözüm.Herhangi bir polinomu, doğrusal faktörlerin ve gerçek katsayılı kare üç terimlilerin çarpımı olarak temsil edebiliriz.
Rasyonel kesirler.
Rasyonel kesir iki polinomun oranıdır.
Eğer 
, o zaman rasyonel kesir uygun olarak adlandırılır. İÇİNDE aksi takdirde kesir yanlıştır. Herhangi bir uygunsuz kesir, paydaki polinomun paydadaki polinomla bölünmesiyle bir polinom (bölüm) ve uygun bir rasyonel kesirin toplamı olarak temsil edilebilir.
- uygunsuz rasyonel kesir.
Bu uygunsuz rasyonel kesir artık aşağıdaki biçimde temsil edilebilir.
Gösterilenleri dikkate alarak gelecekte yalnızca uygun rasyonel kesirleri ele alacağız.
Basit rasyonel kesirler denir - bunlar hiçbir şekilde basitleştirilemeyen kesirlerdir. Bu en basit kesirler şöyle görünür:
Daha karmaşık bir formun uygun bir rasyonel kesri her zaman en basit rasyonel kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir. Kesirlerin kümesi, uygun indirgenemez rasyonel kesirin paydasında görünen polinomun kökleri kümesiyle belirlenir. Bir kesri en basit haline ayırmanın kuralı aşağıdaki gibidir.
Rasyonel kesir aşağıdaki biçimde temsil edilsin.
Burada, en basit kesirlerin payı, her zaman yöntemle belirlenebilen bilinmeyen katsayılar içerir. belirsiz katsayılar. Yöntemin özü, orijinal kesirin payındaki polinom için X'in aynı güçlerindeki katsayıları ve en basit kesirleri ortak bir paydaya indirdikten sonra elde edilen kesrin payındaki polinomu eşitlemektir.
X'in aynı kuvvetleri için katsayıları eşitleyelim.
Bilinmeyen katsayılar için denklem sistemini çözerek elde ederiz.
Bu yüzden, verilen kesir aşağıdaki basit kesirlerden oluşan bir küme ile temsil edilebilir.
Yol açan ortak payda Sorunun doğru şekilde çözüldüğünden emin oluyoruz.
Herhangi bir kesirli ifade (madde 48), P ve Q'nun rasyonel ifadeler olduğu ve Q'nun mutlaka değişkenler içerdiği formda yazılabilir. Böyle bir kesire rasyonel kesir denir.
Rasyonel kesir örnekleri:
Kesirin temel özelliği, buradaki koşullar altında adil olan bir özdeşlik ile ifade edilir - tamamen rasyonel bir ifade. Bu, rasyonel bir kesrin pay ve paydasının sıfırdan farklı aynı sayıyla (tek terimli veya polinom) çarpılabileceği veya bölünebileceği anlamına gelir.
Örneğin bir kesrin özelliği, bir kesrin terimlerinin işaretlerini değiştirmek için kullanılabilir. Bir kesrin pay ve paydası -1 ile çarpılırsa, elde edilen sonuç; yani pay ve paydanın işaretleri aynı anda değiştirilirse kesrin değeri değişmeyecektir. Yalnızca payın veya yalnızca paydanın işaretini değiştirirseniz kesrin işareti değişir:
Örneğin,
60. Rasyonel kesirlerin azaltılması.
Bir kesri azaltmak, kesrin payını ve paydasını ortak bir faktöre bölmek anlamına gelir. Böyle bir azalmanın olasılığı kesrin temel özelliğinden kaynaklanmaktadır.
Rasyonel bir kesri azaltmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırmanız gerekir. Pay ve paydanın ortak faktörleri olduğu ortaya çıkarsa kesir azaltılabilir. Ortak faktörler yoksa, bir kesri indirgeme yoluyla dönüştürmek imkansızdır.
Örnek. Bir kesri azaltın
Çözüm. Sahibiz
Bir fraksiyonun indirgenmesi koşulu altında gerçekleştirilir.
61. Rasyonel kesirleri ortak bir paydaya indirgemek.
Birkaç rasyonel kesirin ortak paydası, her kesrin paydasına bölünen rasyonel ifadenin tamamıdır (bkz. paragraf 54).
Örneğin, kesirlerin ortak paydası bir polinomdur çünkü hem ve ile hem de polinom ve polinom ve polinom vb. ile bölünebilir. Genellikle öyle bir ortak payda alırlar ki, diğer herhangi bir ortak payda Echosen tarafından bölünebilir. Çok en basit payda bazen en düşük ortak payda olarak da adlandırılır.
Yukarıda tartışılan örnekte ortak payda şudur:
Bu kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi, birinci kesrin pay ve paydasının 2 ile çarpılmasıyla elde edilir ve ikinci kesirin pay ve paydasına Polinomlar sırasıyla birinci ve ikinci kesir için ek faktörler denir. Belirli bir kesir için ek faktör, ortak paydayı verilen kesrin paydasına bölme bölümüne eşittir.
Birkaç rasyonel kesri ortak bir paydaya indirmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
1) her kesrin paydasını çarpanlara ayırın;
2) açılımların 1) adımında elde edilen tüm faktörleri faktör olarak dahil ederek ortak bir payda oluşturun; birden fazla genişletmede belirli bir faktör mevcutsa, mevcut olanların en büyüğüne eşit bir üs ile alınır;
3) kesirlerin her biri için ek faktörler bulun (bunun için ortak payda kesrin paydasına bölünür);
4) Her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarparak kesri ortak bir paydaya getirin.
Örnek. Bir kesri ortak paydaya indirgemek
Çözüm. Paydaları çarpanlarına ayıralım:
Ortak paydaya aşağıdaki faktörler dahil edilmelidir: ve 12, 18, 24 sayılarının en küçük ortak katı, yani. Bu, ortak paydanın şu şekilde olduğu anlamına gelir:
Ek faktörler: İlk kesir için ikinci için üçüncü için şunu elde ederiz:
62. Rasyonel kesirlerin toplanması ve çıkarılması.
İkisinin toplamı (ve genel olarak herhangi sonlu sayı) rasyonel kesirler aynı paydalar paydası ve payı aynı olan bir kesire tamamen eşittir, miktara eşit eklenen kesirlerin payları:
Paydaları benzer olan kesirlerin çıkarılması durumunda da durum benzerdir:
Örnek 1: Bir ifadeyi basitleştirme
Çözüm.
Rasyonel kesirleri eklemek veya çıkarmak için farklı paydalarÖnce kesirleri ortak bir paydaya indirgemeli, ardından aynı paydalarla elde edilen kesirler üzerinde işlemler yapmalısınız.
Örnek 2: Bir ifadeyi basitleştirme
Çözüm. Sahibiz
63. Rasyonel kesirlerin çarpımı ve bölünmesi.
İki (ve genel olarak herhangi bir sonlu sayıda) rasyonel kesirin çarpımı, payı ürüne eşit pay ve payda - çarpılmış kesirlerin paydalarının çarpımı:
İki rasyonel kesri bölme bölümü, payı birinci kesirin payı ile ikinci kesrin paydasının çarpımına eşit olan bir kesire tamamen eşittir ve payda, birinci kesrin paydasının çarpımıdır. ikinci kesrin payı:
Formüle edilmiş çarpma ve bölme kuralları aynı zamanda bir polinomla çarpma veya bölme durumu için de geçerlidir: bu polinomu paydası 1 olan bir kesir şeklinde yazmak yeterlidir.
Rasyonel kesirlerin çarpılması veya bölünmesi sonucu elde edilen bir rasyonel kesri azaltma olasılığı göz önüne alındığında, genellikle bu işlemleri yapmadan önce orijinal kesirlerin pay ve paydalarını çarpanlara ayırmaya çalışırlar.
Örnek 1: Çarpmayı gerçekleştirin
Çözüm. Sahibiz
Kesirlerde çarpma kuralını kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 2: Bölmeyi gerçekleştirin
Çözüm. Sahibiz
Bölme kuralını kullanarak şunu elde ederiz:
64. Rasyonel kesri tam kuvvete çıkarmak.
Rasyonel bir kesri yükseltmek için - doğal derece, kesrin payını ve paydasını ayrı ayrı bu güce yükseltmeniz gerekir; ilk ifade sonucun payını, ikinci ifade ise sonucun paydasını gösterir:
Örnek 1: Gücün kesrine dönüştürün 3.
Çözüm Çözüm.
Bir kesri tam sayıya çevirirken negatif derece değişkenlerin tüm değerleri için geçerli olan bir kimlik kullanılır.
Örnek 2: Bir ifadeyi kesire dönüştürme
65. Rasyonel ifadelerin dönüşümü.
Herhangi bir rasyonel ifadeyi dönüştürmek, rasyonel kesirlerin toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesinin yanı sıra bir kesrin doğal kuvvetine yükseltilmesi anlamına gelir. Herhangi bir rasyonel ifade, pay ve paydanın tamamı rasyonel ifadelerden oluşan bir kesre dönüştürülebilir; bu, kural olarak, kimlik dönüşümlerinin hedefidir rasyonel ifadeler.
Örnek. Bir ifadeyi basitleştirme
66. Aritmetik köklerin (radikallerin) en basit dönüşümleri.
Aritmetik koriaları dönüştürürken özellikleri kullanılır (bkz. paragraf 35).
Özelliklerin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım aritmetik kökler radikallerin en basit dönüşümleri için. Bu durumda tüm değişkenlerin yalnızca negatif olmayan değerler almasını dikkate alacağız.
Örnek 1. Bir ürünün kökünü çıkarın
Çözüm. 1° özelliğini uyguladığımızda şunu elde ederiz:
Örnek 2. Kök işaretinin altındaki çarpanı kaldırın
Çözüm.
Bu dönüşüme çarpanın kök işaretinin altından çıkarılması denir. Dönüşümün amacı radikal ifadeyi basitleştirmektir.
Örnek 3: Basitleştirin.
Çözüm. 3°'nin özelliği ile genellikle radikal ifadeyi basitleştirmeye çalışırlar, bunun için çarpanları corium işaretinden çıkarırlar. Sahibiz
Örnek 4: Basitleştirin
Çözüm. Kök işaretinin altına bir çarpan ekleyerek ifadeyi dönüştürelim: 4° özelliğiyle şunu elde ederiz:
Örnek 5: Basitleştirin
Çözüm. 5° özelliği sayesinde kökün üssü ile radikal ifadenin üssünü aynı şeye bölme hakkına sahibiz doğal sayı. Söz konusu örnekte belirtilen göstergeleri 3'e bölersek, elde ederiz.
Örnek 6. İfadeleri basitleştirin:
Çözüm, a) 1° özelliğine göre, aynı dereceden kökleri çarpmak için köklü ifadeleri çarpmanın ve elde edilen sonuçtan aynı derecenin kökünü çıkarmanın yeterli olduğunu buluyoruz. Araç,
b) Öncelikle radikalleri tek bir göstergeye indirgemeliyiz. 5° özelliğine göre kök üssü ile köklü ifadenin üssünü aynı doğal sayıyla çarpabiliriz. Dolayısıyla Next, artık kök üslerini ve köklü ifadenin derecesini 3'e bölerek elde ettiğimiz sonucu elde ediyoruz.
Bazı tanımlarla başlayalım. Polinom n'inci derece(veya n'inci dereceden) $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n) formundaki bir ifadeyi çağıracağız )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Örneğin $4x^(14)+87x^2+4x-11$ ifadesi, derecesi $14$ olan bir polinomdur. Şu şekilde gösterilebilir: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
İki polinomun oranına $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ denir rasyonel fonksiyon veya rasyonel kesir. Daha kesin olmak gerekirse bu rasyonel fonksiyon bir değişken (yani değişken $x$).
Rasyonel kesir denir doğru, eğer $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, daha az derece paydadaki polinom. Aksi takdirde (eğer $n ≥ m$ ise) kesir denir yanlış.
Örnek No.1
Aşağıdaki kesirlerden hangilerinin rasyonel olduğunu belirtiniz. Kesir rasyonel ise doğru olup olmadığını öğrenin.
- $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
- $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
- $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
- $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.
1) Bu kesir $\sin x$ içerdiğinden rasyonel değildir. Rasyonel bir kesir buna izin vermez.
2) İki polinomun oranına sahibiz: $5x^2+3x-8$ ve $11x^9+25x^2-4$. Dolayısıyla tanıma göre $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ ifadesi rasyonel bir kesirdir. Paydaki polinomun derecesi $2$'a ve paydadaki polinomun derecesi $9$'a eşit olduğundan, bu kesir uygundur (çünkü $2)< 9$).
3) Bu kesrin hem payı hem de paydası polinomlar içerir (faktörlere ayrılmış). Pay ve payda polinomlarının hangi biçimde sunulduğu bizim için hiç önemli değil: çarpanlara ayrılmış olup olmadıkları. İki polinomun oranı olduğundan, tanıma göre $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x) ifadesi ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ rasyonel bir kesirdir.
Belirli bir kesrin uygun olup olmadığı sorusunu cevaplamak için pay ve paydadaki polinomların kuvvetlerinin belirlenmesi gerekir. Pay ile başlayalım, yani. $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$ ifadesinden. Bu polinomun derecesini belirlemek için elbette parantezleri açabilirsiniz. Ancak rasyonel davranmak çok daha kolaydır çünkü biz yalnızca en yüksek derece değişken $x$. Her parantezden $x$ değişkenini en büyük dereceye kadar seçiyoruz. $(2x^3+8x+4)$ parantezinden $x^3$ alırız, $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ parantezinden $(x^4) alırız ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$ ve $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ parantezinden $x^7$ öğesini seçiyoruz. Daha sonra parantezleri açtıktan sonra $x$ değişkeninin en büyük kuvveti şu şekilde olacaktır:
$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$
Payda yer alan polinomun derecesi 46$'dır. Şimdi paydaya dönelim, yani. $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$ ifadesine. Bu polinomun derecesi payla aynı şekilde belirlenir, yani.
$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$
Payda 41. dereceden bir polinom içerir. Paydaki polinomun derecesi (yani 46), paydadaki polinomun derecesinden (yani 41) küçük olmadığı için rasyonel kesir $\frac((2x^3+8x+4)(8x) olur. ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ yanlış.
4) $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ kesirinin payı $3$ sayısını içerir, yani. polinom sıfır derece. Pay, resmi olarak şu şekilde yazılabilir: $3x^0=3\cdot1=3$. Paydada derecesi $6\cdot 4=24$'a eşit olan bir polinomumuz var. İki polinomun oranı rasyonel bir kesirdir. 0$'dan beri< 24$, то данная дробь является правильной.
Cevap: 1) kesir rasyonel değildir; 2) rasyonel kesir (uygun); 3) rasyonel kesir (düzensiz); 4) rasyonel kesir (uygun).
Şimdi temel kesirler kavramına geçelim (bunlara en basit rasyonel kesirler de denir). Dört tür temel rasyonel kesir vardır:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Not (metnin daha iyi anlaşılması için arzu edilir): show\hide
$p^2-4q koşuluna neden ihtiyaç duyulur?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим ikinci dereceden denklem$x^2+px+q=0$. Bu denklemin diskriminantı $D=p^2-4q$'dır. Temel olarak, $p^2-4q koşulu< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет gerçek kökler. Onlar. $x^2+px+q$ ifadesi çarpanlara ayrılamaz. Bizi ilgilendiren şey bu ayrıştırılamazlıktır.
Örneğin, $x^2+5x+10$ ifadesi için şunu elde ederiz: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 olduğundan< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Bu arada, bu kontrol için $x^2$ katsayısının 1'e eşit olması hiç de gerekli değil. Örneğin, $5x^2+7x-3=0$ için şunu elde ederiz: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. $D > 0$ olduğundan, $5x^2+7x-3$ ifadesi çarpanlara ayrılabilir.
Görev şu şekildedir: verilen doğru rasyonel bir kesri temel rasyonel kesirlerin toplamı olarak temsil eder. Bu sayfada sunulan materyal bu sorunun çözümüne ayrılmıştır. Öncelikle tamamladığından emin olmalısın sonraki koşul: uygun bir rasyonel kesirin paydasındaki polinom, bu genişletmenin yalnızca $(x-a)^n$ veya $(x^2+px+q)^n$ ($p) formundaki parantezleri içerecek şekilde çarpanlarına ayrılır ^2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:
- Paydada yer alan $(x-a)$ formundaki her bir parantez, $\frac(A)(x-a)$ kesrine karşılık gelir.
- Paydada bulunan $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) formundaki her bir parantez, $n$ kesirlerin toplamına karşılık gelir: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
- $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q biçimindeki her bir parantez< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
- $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q) formundaki her bir parantez< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.
Kesir uygunsuzsa, yukarıdaki şemayı uygulamadan önce, onu tam sayı kısmının (polinom) ve uygun rasyonel kesrin toplamına bölmelisiniz. Bunun tam olarak nasıl yapıldığına daha sonra bakacağız (bkz. örnek 2, nokta 3). Paylardaki harf gösterimleri hakkında birkaç kelime (ör. $A$, $A_1$, $C_2$ ve benzeri). Zevkinize uygun herhangi bir harfi kullanabilirsiniz. Sadece bu harflerin olması önemlidir. çeşitli tüm temel kesirlerde. Bu parametrelerin değerlerini bulmak için belirlenmemiş katsayılar yöntemini veya kısmi değerleri değiştirme yöntemini kullanın (bkz. Örnek No. 3, No. 4 ve No. 5).
Örnek No.2
Verilen rasyonel kesirleri temel olanlara ayırın (parametreleri bulmadan):
- $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
- $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
- $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.
1) Rasyonel bir kesirimiz var. Bu kesrin payı 4. dereceden bir polinom içerir ve paydası derecesi 17$'a eşit olan bir polinom içerir (bu derecenin nasıl belirleneceği 1 numaralı örneğin 3 numaralı noktasında ayrıntılı olarak açıklanmaktadır). Paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük olduğundan bu kesir doğrudur. Bu kesrin paydasına dönelim. Tamamen $(x-a)^n$ biçiminin altına giren $(x-5)$ ve $(x+2)^4$ parantezleriyle başlayalım. Ayrıca $(x^2+3x+10)$ ve $(x^2+11)^5$ parantezleri de vardır. $(x^2+3x+10)$ ifadesi $(x^2+px+q)^n$ biçimindedir, burada $p=3$; $q=10$, $n=1$. $p^2-4q=9-40=-31 olduğundan< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем sonraki çıktı: paydadaki polinom, bu çarpanlara ayırmanın yalnızca $(x-a)^n$ veya $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q) formundaki parantezleri içerecek şekilde çarpanlara ayrılır< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:
$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$
Sonuç şu şekilde yazılabilir:
$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$
O halde $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ kesri başka bir biçimde temsil edilebilir:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2) +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+) 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$
$\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ kesri uygun bir rasyonel kesirdir, çünkü paydaki polinomun derecesi (yani 2) şundan küçüktür: paydadaki polinomun derecesi (yani 3). Şimdi bu kesrin paydasına bakalım. Payda, çarpanlara ayrılması gereken bir polinom içerir. Bazen Horner'ın şeması çarpanlara ayırma için kullanışlıdır, ancak bizim durumumuzda terimleri gruplandırmanın standart "okul" yöntemiyle idare etmek daha kolaydır:
$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$
Aynı yöntemleri kullanarak önceki paragraflar, şunu elde ederiz:
$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$
Sonunda elimizde:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$
Bu konuya ikinci bölümde devam edilecektir.
Cebir dersinden okul müfredatı Ayrıntılara inelim. Bu yazımızda detaylı olarak inceleyeceğiz özel tür rasyonel ifadeler – rasyonel kesirler ve ayrıca hangi özelliğin aynı olduğunu düşünün rasyonel kesirlerin dönüşümleri gerçekleşecek.
Aşağıda tanımladığımız anlamdaki rasyonel kesirlerin bazı cebir ders kitaplarında cebirsel kesirler olarak adlandırıldığını hemen belirtelim. Yani bu yazımızda rasyonel ve cebirsel kesirleri aynı şey olarak anlayacağız.
Her zamanki gibi bir tanım ve örneklerle başlayalım. Daha sonra rasyonel bir kesri yeni bir paydaya getirmekten ve kesrin üyelerinin işaretlerini değiştirmekten bahsedeceğiz. Bundan sonra kesirlerin nasıl azaltılacağına bakacağız. Son olarak, rasyonel bir kesri birkaç kesirin toplamı olarak temsil etmeye bakalım. Tüm bilgileri örneklerle sunacağız detaylı açıklamalar kararlar.
Sayfada gezinme.
Rasyonel kesirlerin tanımı ve örnekleri
Rasyonel kesirler 8. sınıfta cebir derslerinde işlenmektedir. Yu N. Makarychev ve diğerleri tarafından 8. sınıf cebir ders kitabında verilen rasyonel kesir tanımını kullanacağız.
İÇİNDE bu tanım rasyonel bir kesirin pay ve paydasındaki polinomların polinom olması gerekip gerekmediği belirtilmemiştir standart görünüm ya da değil. Bu nedenle rasyonel kesirlerin notasyonlarının hem standart hem de standart olmayan polinomlar içerebileceğini varsayacağız.
İşte birkaçı rasyonel kesir örnekleri. Yani, x/8 ve 
- rasyonel kesirler. Ve kesirler 
ve rasyonel bir kesirin belirtilen tanımına uymuyor, çünkü birincisinde pay bir polinom içermiyor ve ikincisinde hem pay hem de payda polinom olmayan ifadeler içeriyor.
Rasyonel Bir Kesrin Payını ve Paydasını Dönüştürme
Herhangi bir kesrin payı ve paydası kendine yeterlidir matematiksel ifadeler rasyonel kesirler söz konusu olduğunda bunlar polinomlardır, tek terimli sayılar ve sayılardır; Dolayısıyla herhangi bir ifadede olduğu gibi rasyonel bir kesrin pay ve paydasında da aynı dönüşümler yapılabilir. Başka bir deyişle, rasyonel bir kesirin payındaki ifade, tıpkı payda gibi, tamamen eşit bir ifadeyle değiştirilebilir.
Rasyonel bir kesirin pay ve paydasında aynı dönüşümleri gerçekleştirebilirsiniz. Örneğin, payda gruplandırabilir ve azaltabilirsiniz. benzer terimler ve paydada birkaç sayının çarpımını değeriyle değiştirin. Ve rasyonel bir kesirin payı ve paydası polinomlar olduğundan, polinomların karakteristik dönüşümlerini onlarla gerçekleştirmek mümkündür, örneğin standart bir forma indirgemek veya bir ürün biçiminde temsil etmek mümkündür.
Açıklık sağlamak için birkaç örneğin çözümlerini ele alalım.
Örnek.
Rasyonel kesri dönüştür 
böylece pay standart biçimde bir polinom içerir ve payda polinomların çarpımını içerir.
Çözüm.
Rasyonel kesirlerin yeni bir paydaya indirgenmesi esas olarak rasyonel kesirlerin toplanmasında ve çıkarılmasında kullanılır.
Bir kesrin önündeki, pay ve paydadaki işaretleri değiştirme
Bir kesrin temel özelliği, kesrin üyelerinin işaretlerini değiştirmek için kullanılabilir. Aslında rasyonel bir kesrin payını ve paydasını -1 ile çarpmak, işaretlerini değiştirmekle eşdeğerdir ve sonuç, verilen kesirle tamamen aynı olan bir kesirdir. Rasyonel kesirlerle çalışırken bu dönüşümün oldukça sık kullanılması gerekir.
Böylece, bir kesrin pay ve paydasının işaretlerini aynı anda değiştirirseniz, orijinaline eşit bir kesir elde edersiniz. Bu ifadeye eşitlikle cevap verilir.
Bir örnek verelim. Rasyonel bir kesir, formun pay ve paydasının işaretleri değiştirilmiş, aynı şekilde eşit bir kesirle değiştirilebilir.
Kesirlerle bir şey daha yapabilirsiniz: kimlik dönüşümü payın ya da paydanın işareti değişir. İlgili kuralı belirtelim. Bir kesrin işaretini pay veya paydanın işaretiyle değiştirirseniz, orijinal kesirle tamamen aynı olan bir kesir elde edersiniz. Yazılı beyan eşitliklere karşılık gelir ve .
Bu eşitlikleri kanıtlamak zor değil. İspat sayıların çarpımının özelliklerine dayanmaktadır. Bunlardan ilkini kanıtlayalım: . Benzer dönüşümler kullanılarak eşitlik kanıtlanır.
Örneğin, bir kesir veya ifadesi ile değiştirilebilir.
Bu noktayı sonuçlandırmak için iki kullanışlı eşitlik daha sunuyoruz ve . Yani sadece payın veya sadece paydanın işaretini değiştirirseniz kesrin işareti değişecektir. Örneğin, 
Ve 
.
Bir kesrin terimlerinin işaretini değiştirmeye izin veren dikkate alınan dönüşümler, kesirli rasyonel ifadeleri dönüştürürken sıklıkla kullanılır.
Rasyonel kesirlerin azaltılması
Rasyonel kesirlerin indirgenmesi adı verilen aşağıdaki dönüşüm, bir kesrin aynı temel özelliğine dayanmaktadır. Bu dönüşüm, a, b ve c'nin bazı polinomlar olduğu ve b ve c'nin sıfır olmadığı eşitliğe karşılık gelir.
Yukarıdaki eşitlikten, rasyonel bir kesri azaltmanın, kurtulmak anlamına geldiği açıkça ortaya çıkıyor. ortak çarpan payı ve paydasında.
Örnek.
Rasyonel bir kesri iptal edin.
Çözüm.
Ortak faktör 2 hemen görülebilir, hadi onunla bir azaltma yapalım (yazarken azaltılan ortak faktörlerin üzerini çizmek uygundur). Sahibiz 
. x 2 =x·x ve y 7 =y 3 ·y 4 olduğundan (gerekirse bakın), x'in, y 3 gibi, elde edilen kesrin pay ve paydasının ortak bir çarpanı olduğu açıktır. Bu faktörleri azaltalım: 
. Bu azalmayı tamamlar.
Yukarıda rasyonel kesirlerin indirgenmesini sırayla gerçekleştirdik. Veya indirgemeyi tek adımda gerçekleştirmek, kesri hemen 2 x y 3 oranında azaltmak mümkündü. Bu durumda çözüm şöyle görünecektir: 
.
Cevap:
.
Rasyonel kesirleri azaltırken asıl sorun pay ve paydanın ortak faktörünün her zaman görünmemesidir. Üstelik her zaman mevcut değildir. Ortak bir faktör bulmak veya yokluğunu doğrulamak için rasyonel bir kesrin payını ve paydasını çarpanlara ayırmanız gerekir. Ortak bir faktör yoksa, orijinal rasyonel kesirin azaltılmasına gerek yoktur, aksi takdirde azaltma yapılır.
Rasyonel kesirlerin azaltılması sürecinde çeşitli nüanslar ortaya çıkabilir. Makalede cebirsel kesirlerin azaltılmasının ana incelikleri örnekler kullanılarak ve ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.
Rasyonel kesirlerin azaltılması hakkındaki konuşmayı sonlandırırken, bu dönüşümün aynı olduğunu ve uygulanmasındaki ana zorluğun pay ve paydadaki polinomları çarpanlara ayırmada yattığını not ediyoruz.
Rasyonel bir kesirin kesirlerin toplamı olarak gösterimi
Oldukça spesifik, ancak bazı durumlarda çok yararlı olan, birkaç kesirin toplamı veya tüm ifadenin ve kesirin toplamı olarak temsil edilmesinden oluşan rasyonel bir kesirin dönüşümüdür.
Payı birkaç tek terimlinin toplamını temsil eden bir polinom içeren rasyonel bir kesir, her zaman payları karşılık gelen tek terimlileri içeren aynı paydalara sahip kesirlerin toplamı olarak yazılabilir. Örneğin, 
. Bu gösterim, benzer paydalara sahip cebirsel kesirlerin toplanması ve çıkarılması kuralıyla açıklanmaktadır.
Genel olarak herhangi bir rasyonel kesir, kesirlerin toplamı olarak birçok farklı şekilde ifade edilebilir. Örneğin, a/b fraksiyonu iki fraksiyonun toplamı olarak temsil edilebilir - keyfi bir c/d fraksiyonu ve a/b ve c/d fraksiyonları arasındaki farka eşit bir fraksiyon. Bu ifade doğrudur çünkü eşitlik geçerlidir 
. Örneğin rasyonel bir kesir, kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir. çeşitli şekillerde: Orijinal kesri bir tam sayı ifadesi ile bir kesrin toplamı olarak düşünelim. Payı paydaya bir sütunla bölerek eşitliği elde ederiz 
. Herhangi bir n tamsayısı için n 3 +4 ifadesinin değeri bir tamsayıdır. Ve bir kesrin değeri ancak ve ancak paydası 1, −1, 3 veya −3 ise tam sayıdır. Bu değerler sırasıyla n=3, n=1, n=5 ve n=−1 değerlerine karşılık gelmektedir.
Cevap:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Referanslar.
- Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. Saat 14:00'te 1. Bölüm. Öğrenciler için ders kitabı eğitim kurumları/ A. G. Mordkovich. - 13. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.