Konuyla ilgili ders ve sunum:
"Karekökün özellikleri. Formüller. Çözüm örnekleri, cevaplı problemler"
Ek malzemeler
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
8. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
8. sınıf için interaktif ders kitabı "10 dakikada Geometri"
Eğitim kompleksi "1C: Okul. Geometri, 8. sınıf"
Karekökün özellikleri
Karekökleri incelemeye devam ediyoruz. Bugün köklerin temel özelliklerine bakacağız. Tüm temel özellikler sezgiseldir ve daha önce yaptığımız tüm işlemlerle tutarlıdır.Özellik 1. Negatif olmayan iki sayının çarpımının karekökü, bu sayıların kareköklerinin çarpımına eşittir: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.
Herhangi bir özelliği kanıtlamak gelenekseldir, hadi yapalım.
$\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ olsun. O zaman $x=y*z$ olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Her ifadenin karesini alalım.
Eğer $\sqrt(a*b)=x$ ise, o zaman $a*b=x^2$.
Eğer $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ ise, her iki ifadenin karesini alırsak şunu elde ederiz: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, yani $x^2=(y*z)^2$. Negatif olmayan iki sayının kareleri eşitse, sayıların kendisi de eşittir ve bunun kanıtlanması gerekir.
Özelliğimizden şu sonuç çıkıyor, örneğin, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.
Not 1. Bu özellik, kökün altında ikiden fazla negatif olmayan faktörün bulunduğu durum için de geçerlidir.
Mülk 2. $a≥0$ ve $b>0$ ise aşağıdaki eşitlik sağlanır: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$
Yani bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.
Kanıt.
Tabloyu kullanıp kısaca mülkiyetimizi ispatlayalım.
Kareköklerin özelliklerini kullanma örnekleri
Örnek 1.Hesaplayın: $\sqrt(81*25*121)$.
Çözüm.
Elbette bir hesap makinesi alıp kökün altındaki tüm sayıları çarpabilir ve karekök çıkarma işlemini gerçekleştirebiliriz. Elinizde bir hesap makinesi yoksa ne yapmalısınız?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
Cevap: 495.
Örnek 2. Hesaplayın: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.
Çözüm.
Radikal sayıyı uygunsuz bir kesir olarak temsil edelim: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Özellik 2'yi kullanalım.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 dolar.
Cevap: 3.4.
Örnek 3.
Hesaplayın: $\sqrt(40^2-24^2)$.
Çözüm.
İfademizi doğrudan değerlendirebiliriz ancak hemen hemen her zaman basitleştirilebilir. Bunu yapmaya çalışalım.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Yani, $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Cevap: 32.
Arkadaşlar köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerinin formüllerinin bulunmadığını ve aşağıda sunulan ifadelerin doğru olmadığını lütfen unutmayın.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.
Örnek 4.
Hesaplayın: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Çözüm.
Yukarıda sunulan özellikler hem soldan sağa hem de ters sırada çalışır; yani:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Bunu kullanarak örneğimizi çözelim.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$
B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.
Cevap: a) 16; 2.
Mülk 3. $а≥0$ ve n bir doğal sayıysa eşitlik sağlanır: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.
Örneğin. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ vb.
Örnek 5.
Hesaplayın: $\sqrt(129600)$.
Çözüm.
Bize sunulan sayı oldukça büyük, hadi onu asal çarpanlara ayıralım.
Aldık: $129600=5^2*2^6*3^4$ veya $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Cevap: 360.
Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
1. Hesaplayın: $\sqrt(144*36*64)$.2. Hesaplayın: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Hesaplayın: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Hesaplayın:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.
Kareköklerin özellikleri
Şu ana kadar sayılar üzerinde beş aritmetik işlem gerçekleştirdik: toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma ve hesaplamalarda bu işlemlerin çeşitli özellikleri aktif olarak kullanılmıştır, örneğin a + b = b + a, an-bn = (ab)n, vb.
Bu bölümde, negatif olmayan bir sayının karekökünü alan yeni bir işlem tanıtılmaktadır. Başarılı bir şekilde kullanmak için bu bölümde yapacağımız bu işlemin özelliklerine aşina olmanız gerekir.
Kanıt. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Eşitlik" width="120" height="25 id=">!}.
Bir sonraki teoremi tam olarak bu şekilde formüle edeceğiz.
(Pratikte kullanımı daha uygun olan kısa bir formülasyon: bir kesrin kökü, köklerin kesrine eşittir veya bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.)
Bu sefer ispatın sadece kısa bir özetini vereceğiz ve siz de Teorem 1'in ispatının özünü oluşturan yorumlara benzer uygun yorumlar yapmaya çalışacaksınız.
Not 3. Elbette bu örnek, özellikle elinizde bir mikro hesap makinesi varsa farklı şekilde çözülebilir: 36, 64, 9 sayılarını çarpın ve ardından ortaya çıkan çarpımın karekökünü alın. Ancak yukarıda önerilen çözümün daha kültürel göründüğünü kabul edeceksiniz.
Not 4.
İlk yöntemde hesaplamaları “kafa kafaya” yaptık. İkinci yol daha zariftir:
başvurduk formül a2 - b2 = (a - b) (a + b) ve karekök özelliğini kullandı.
Not 5. Bazı "ateşli kafalar" bazen örnek 3'e bu "çözüm"ü sunar:
Bu elbette doğru değil: Görüyorsunuz - sonuç örnek 3'teki ile aynı değil. Gerçek şu ki hiçbir özellik yok https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Görev" width="148" height="26 id=">!} Yalnızca kareköklerin çarpma ve bölünmesiyle ilgili özellikler vardır. Dikkatli ve dikkatli olun, arzulu düşüncelere kapılmayın.
Bu bölümü sonuçlandırmak için oldukça basit ve aynı zamanda önemli bir özelliğe daha değinelim:
eğer a > 0 ve n - doğal sayı, O
Karekök İşlemi İçeren İfadeleri Dönüştürme
Şu ana kadar yalnızca dönüşümler gerçekleştirdik rasyonel ifadeler Bunun için polinomlar ve cebirsel kesirler üzerindeki işlem kurallarını, kısaltılmış çarpma formüllerini vb. kullanarak. Bu bölümde yeni bir işlemi tanıttık - karekök çıkarma işlemi; bunu tespit ettik
burada, geri çağırma, a, b negatif olmayan sayılardır.
Bunları kullanmak formüller karekök işlemi içeren ifadeler üzerinde çeşitli dönüşümler gerçekleştirebilirsiniz. Birkaç örneğe bakalım ve tüm örneklerde değişkenlerin yalnızca negatif olmayan değerler aldığını varsayacağız.
Örnek 3.Çarpanı karekök işaretinin altına girin:
Örnek 6. Çözüm ifadesini basitleştirin. Sıralı dönüşümler gerçekleştirelim:
Kök formülleri. Kareköklerin özellikleri.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Önceki derste karekökün ne olduğunu çözdük. Hangilerinin var olduğunu bulmanın zamanı geldi kökler için formüller ne var köklerin özellikleri ve tüm bunlarla ne yapılabilir?
Kök formülleri, köklerin özellikleri ve köklerle çalışma kuralları- bu aslında aynı şeydir. Karekökler için şaşırtıcı derecede az sayıda formül vardır. Bu beni kesinlikle mutlu ediyor! Daha doğrusu pek çok farklı formül yazabilirsiniz, ancak köklerle pratik ve kendinden emin çalışma için yalnızca üçü yeterlidir. Diğer her şey bu üçünden akıyor. Pek çok insanın üç kök formül konusunda kafası karışsa da, evet...
En basitinden başlayalım. İşte:
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Gerçek 1.
\(\bullet\) Negatif olmayan bir sayı \(a\) alalım (yani, \(a\geqslant 0\) ). O zaman (aritmetik) karekök\(a\) sayısından negatif olmayan bir sayı \(b\) olarak adlandırılır, karesi alındığında \(a\) sayısını elde ederiz: \[\sqrt a=b\quad \text(aynı ile )\quad a=b^2\] Tanımdan şu sonuç çıkıyor \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Bu kısıtlamalar karekökün varlığının önemli bir koşuludur ve hatırlanması gerekir!
Herhangi bir sayının karesi alındığında negatif olmayan bir sonuç vereceğini unutmayın. Yani, \(100^2=10000\geqslant 0\) ve \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) neye eşittir? \(5^2=25\) ve \((-5)^2=25\) olduğunu biliyoruz. Tanım gereği negatif olmayan bir sayı bulmamız gerektiğinden, \(-5\) uygun değildir, dolayısıyla \(\sqrt(25)=5\) (çünkü \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) değerini bulmaya \(a\) sayısının karekökünü almaya, \(a\) sayısına ise köklü ifade denir.
\(\bullet\) Tanıma göre, \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), vb. ifadesi. mantıklı değil.
Gerçek 2.
Hızlı hesaplamalar için \(1\) ile \(20\) arasındaki doğal sayıların kareler tablosunu öğrenmek yararlı olacaktır: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]
Gerçek 3.
Kareköklerle hangi işlemler yapılabilir?
\(\madde işareti\) Kareköklerin toplamı veya farkı, toplamın veya farkın kareköküne EŞİT DEĞİLDİR, yani \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Bu nedenle, örneğin \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) hesaplamanız gerekiyorsa, başlangıçta \(\sqrt(25)\) ve \(\ sqrt(49)\ ) ve ardından katlayın. Buradan, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] \(\sqrt a\) veya \(\sqrt b\) değerleri \(\sqrt a+\sqrt b\ eklenirken bulunamıyorsa), o zaman böyle bir ifade daha fazla dönüştürülmez ve olduğu gibi kalır. Örneğin, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) toplamında \(\sqrt(49)\)'ın \(7\) olduğunu bulabiliriz, ancak \(\sqrt 2\) dönüştürülemez her neyse, bu yüzden \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Maalesef bu ifade daha fazla basitleştirilemez\(\bullet\) Kareköklerin çarpımı/bölümü, çarpımın/bölümün kareköküne eşittir, yani \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (eşitliğin her iki tarafının da anlamlı olması şartıyla)
Örnek: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
\(\bullet\) Bu özellikleri kullanarak, büyük sayıları çarpanlarına ayırarak kareköklerini bulmak uygundur.
Bir örneğe bakalım. \(\sqrt(44100)\) bulalım. \(44100:100=441\) olduğundan, \(44100=100\cdot 441\) . Bölünebilme kriterine göre \(441\) sayısı \(9\)'a bölünebilir (rakamlarının toplamı 9 olduğundan ve 9'a bölünebildiğinden), dolayısıyla \(441:9=49\), yani, \(441=9\ cdot 49\) . Böylece şunu elde ettik:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Başka bir örneğe bakalım:
\[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\] \
\(\bullet\) \(5\sqrt2\) ifadesi örneğini kullanarak karekök işaretinin altına sayıların nasıl girileceğini gösterelim (\(5\cdot \sqrt2\) ifadesinin kısa gösterimi). \(5=\sqrt(25)\) olduğundan, o zaman
Şunu da unutmayın, örneğin,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
Bu neden böyle? Örnek 1)'i kullanarak açıklayalım. Zaten anladığınız gibi, \(\sqrt2\) sayısını bir şekilde dönüştüremiyoruz. \(\sqrt2\) öğesinin bir \(a\) sayısı olduğunu düşünelim. Buna göre, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifadesi \(a+3a\)'dan (bir sayı \(a\) artı aynı sayıdan üç tane daha \(a\)) başka bir şey değildir. Ve bunun \(a\) gibi dört sayıya eşit olduğunu biliyoruz, yani \(4\sqrt2\) .
Gerçek 4.
\(\bullet\) Bir sayının değerini bulurken kökün (radikal) \(\sqrt()\\) işaretinden kurtulamadığınızda sıklıkla “kökü çıkaramazsınız” derler . Örneğin \(16\) sayısının kökünü alabilirsiniz çünkü \(16=4^2\) , dolayısıyla \(\sqrt(16)=4\) . Ancak \(3\) sayısının kökünü çıkarmak, yani \(\sqrt3\'ü bulmak imkansızdır çünkü karesi \(3\) verecek bir sayı yoktur.
Bu tür sayılar (veya bu sayıları içeren ifadeler) irrasyoneldir. Örneğin sayılar \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) vesaire. mantıksızdır.
Ayrıca \(\pi\) ("pi" sayısı, yaklaşık olarak \(3.14\)'e eşittir), \(e\) sayıları da irrasyoneldir (bu sayıya Euler sayısı denir, yaklaşık olarak \(2.7'ye eşittir) \)) vesaire.
\(\bullet\) Herhangi bir sayının ya rasyonel ya da irrasyonel olacağını lütfen unutmayın. Ve tüm rasyonel ve tüm irrasyonel sayılar birlikte, adı verilen bir küme oluşturur. bir dizi gerçek sayı. Bu küme \(\mathbb(R)\) harfiyle gösterilir.
Bu, şu anda bildiğimiz tüm sayılara gerçek sayılar denildiği anlamına gelir.
Gerçek 5.
\(\bullet\) Bir \(a\) gerçel sayısının modülü, \(|a|\) noktasından \(a\) noktasından \(0\) noktasına olan mesafeye eşit, negatif olmayan bir sayıdır \(|a|\) gerçek çizgi. Örneğin, \(|3|\) ve \(|-3|\) 3'e eşittir, çünkü \(3\) ve \(-3\) ile \(0\) arasındaki mesafeler aynı ve eşit \(3 \) .
\(\bullet\) Eğer \(a\) negatif olmayan bir sayıysa, o zaman \(|a|=a\) .
Örnek: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) Eğer \(a\) negatif bir sayıysa, o zaman \(|a|=-a\) . Örnek: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Negatif sayılar için modülün eksiyi “yer” olduğunu, pozitif sayıların ve \(0\) sayısının modül tarafından değişmeden kaldığını söylüyorlar. Bu kural yalnızca sayılar için geçerlidir. Modül işaretinizin altında bilinmeyen bir \(x\) (veya başka bir bilinmeyen), örneğin \(|x|\) varsa ve bunun pozitif mi, sıfır mı yoksa negatif mi olduğunu bilmediğimiz bir şey varsa, o zaman kurtulun yapamadığımız modül. Bu durumda bu ifade aynı kalır: \(|x|\) . \(\bullet\) Aşağıdaki formüller geçerlidir: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\large((\sqrt(a))^2=a))), \text( sağlanan ) a\geqslant 0\]
Çoğu zaman şu hata yapılır: \(\sqrt(a^2)\) ve \((\sqrt a)^2\)'nin tek ve aynı olduğunu söylerler. Bu yalnızca \(a\) pozitif bir sayı veya sıfır ise doğrudur. Ancak eğer \(a\) negatif bir sayı ise bu yanlıştır. Bu örneği dikkate almanız yeterli. \(a\) yerine \(-1\) sayısını alalım. O halde \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ancak \((\sqrt (-1))^2\) ifadesi hiç mevcut değil (sonuçta, Negatif sayıları koyan kök işaretini kullanmak imkansızdır!). Bu nedenle, \(\sqrt(a^2)\)'nin \((\sqrt a)^2\)'ye eşit olmadığı gerçeğine dikkatinizi çekeriz! Örnek: 1)\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)<0\)
;
, Çünkü \(-\sqrt2 \(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) olduğundan, \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(\(2n\) ifadesi çift sayıyı belirtir)
Yani bir dereceye kadar olan bir sayının kökü çıkarıldığında bu derece yarıya iner.
Örnek:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (modül sağlanmazsa sayının kökünün \(-25\'e eşit olduğunu unutmayın) ) ); ancak kökün tanımı gereği bunun olamayacağını hatırlıyoruz: bir kökü çıkarırken her zaman pozitif bir sayı veya sıfır almalıyız)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (çift kuvvete giden herhangi bir sayı negatif olmadığından)
Gerçek 6.<\sqrt b\)
, то \(a
İki karekök nasıl karşılaştırılır? \(\bullet\) Karekökler için bu doğrudur: if \(\sqrt a 1) \(\sqrt(50)\) ve \(6\sqrt2\)'yi karşılaştırın. Öncelikle ikinci ifadeyi şuna dönüştürelim:<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)
. Böylece \(50) beri<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
2) \(\sqrt(50)\) hangi tam sayılar arasında yer alır? Çünkü \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ve \(49) 3) \(\sqrt 2-1\) ile \(0.5\)'ı karşılaştıralım. Diyelim ki \(\sqrt2-1>0.5\) :<0,5\)
.
Eşitsizliğin her iki tarafına belirli bir sayının eklenmesinin işaretini etkilemediğini unutmayın. Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayıyla çarpmak/bölmek de işaretini etkilemez, ancak negatif bir sayıyla çarpmak/bölmek eşitsizliğin işaretini tersine çevirir!
Bir denklemin/eşitsizliğin her iki tarafının karesini YALNIZCA her iki tarafın da negatif olmaması durumunda alabilirsiniz. Örneğin, önceki örnekteki eşitsizlikte, \(-3) eşitsizliğinde her iki tarafın karesini alabilirsiniz.<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Unutulmamalıdır ki \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Bu sayıların yaklaşık anlamlarını bilmek, sayıları karşılaştırırken size yardımcı olacaktır!
\(\bullet\) Kareler tablosunda yer almayan büyük bir sayıdan kökü çıkarmak için (çıkarılabilirse), önce bunun hangi “yüzler” arasında, sonra – hangi “ arasında olduğunu belirlemelisiniz. onlarca” yazın ve ardından bu sayının son rakamını belirleyin. Bunun nasıl çalıştığını bir örnekle gösterelim.
\(\sqrt(28224)\) alalım. \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), vb. olduğunu biliyoruz. \(28224\) öğesinin \(10\,000\) ile \(40\,000\) arasında olduğunu unutmayın. Bu nedenle, \(\sqrt(28224)\) \(100\) ile \(200\) arasındadır.
Şimdi sayımızın hangi “onlar” arasında (yani \(120\) ile \(130\) arasında yer aldığını belirleyelim. Ayrıca kareler tablosundan şunu biliyoruz: \(11^2=121\) , \(12^2=144\) vb., sonra \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Böylece \(28224\) öğesinin \(160^2\) ile \(170^2\) arasında olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla \(\sqrt(28224)\) sayısı \(160\) ile \(170\) arasındadır.
Son rakamı belirlemeye çalışalım. Hangi tek basamaklı sayıların karesi alındığında sonunda \(4\) geldiğini hatırlayalım. Bunlar \(2^2\) ve \(8^2\)'dir. Bu nedenle \(\sqrt(28224)\) ya 2 ya da 8 ile bitecektir. Bunu kontrol edelim. \(162^2\) ve \(168^2\)'yi bulalım:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Matematikte Birleşik Devlet Sınavını yeterince çözebilmek için öncelikle sizi çok sayıda teorem, formül, algoritma vb. ile tanıştıran teorik materyali incelemeniz gerekir. İlk bakışta bu oldukça basit görünebilir. Ancak matematikte Birleşik Devlet Sınavı teorisinin herhangi bir eğitim seviyesindeki öğrenciler için kolay ve anlaşılır bir şekilde sunulduğu bir kaynak bulmak aslında oldukça zor bir iştir. Okul ders kitapları her zaman el altında tutulamaz. Ve matematikte Birleşik Devlet Sınavı için temel formülleri bulmak internette bile zor olabilir.
Matematikte teoriyi incelemek sadece Birleşik Devlet Sınavına girenler için neden bu kadar önemli?
- Çünkü ufkunuzu genişletir. Matematikte teorik materyali incelemek, etrafındaki dünyanın bilgisiyle ilgili çok çeşitli sorulara yanıt almak isteyen herkes için faydalıdır. Doğada her şey düzenlidir ve açık bir mantığı vardır. Bu tam olarak bilime yansıyan ve onun sayesinde dünyayı anlamanın mümkün olduğu şeydir.
- Çünkü zekayı geliştirir. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı için referans materyallerini inceleyerek ve çeşitli problemleri çözerek, kişi mantıklı düşünmeyi ve akıl yürütmeyi, düşünceleri yetkin ve net bir şekilde formüle etmeyi öğrenir. Analiz etme, genelleme ve sonuç çıkarma yeteneğini geliştirir.
Sizi, eğitim materyallerinin sistemleştirilmesi ve sunumuna yönelik yaklaşımımızın tüm avantajlarını kişisel olarak değerlendirmeye davet ediyoruz.