Sayı modülü A orijinden noktaya olan mesafedir A(A).

Bu tanımı anlamak için değişkenin yerine koyalım A herhangi bir sayı, örneğin 3 ve tekrar okumayı deneyin:

Sayı modülü 3 orijinden noktaya olan mesafedir A(3 ).

Modülün sıradan bir mesafeden başka bir şey olmadığı ortaya çıkıyor. Başlangıç ​​noktasından A noktasına olan mesafeyi görmeye çalışalım( 3 )

Başlangıç ​​noktasından A noktasına olan mesafe ( 3 ) 3'e eşittir (üç birim veya üç adım).

Bir sayının modülü iki dikey çizgiyle gösterilir, örneğin:

3 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |3|

4 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |4|

5 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |5|

3 sayısının modülünü aradık ve 3'e eşit olduğunu gördük. Bunu yazıyoruz:

Şöyle okur: "Üç sayısının modülü üçtür"

Şimdi -3 sayısının modülünü bulmaya çalışalım. Tekrar tanıma dönüyoruz ve -3 rakamını yerine koyuyoruz. Yalnızca nokta yerine A yeni bir nokta kullan B. Tam durak Aİlk örnekte zaten kullanmıştık.

Sayının modülü - 3 orijinden bir noktaya olan mesafedir B(—3 ).

Bir noktadan diğerine olan mesafe negatif olamaz. Bu nedenle herhangi bir negatif sayının modülü, uzaklık olduğundan, negatif olmayacaktır. -3 sayısının modülü 3 sayısı olacaktır. Orijinden B(-3) noktasına olan mesafe de üç birime eşittir:

Şöyle okur: "Eksi üçün modülü üçtür."

0 sayısının modülü 0'a eşittir, çünkü 0 koordinatına sahip nokta koordinatların orijini ile çakışır, yani. başlangıç ​​noktasından noktaya uzaklık Ç(0) sıfıra eşittir:

"Sıfır modülü sıfırdır"

Sonuç çıkarıyoruz:

• Bir sayının modülü negatif olamaz;
• Pozitif bir sayı ve sıfır için modül, sayının kendisine eşittir ve negatif bir sayı için - zıt sayı;
• Karşıt sayıların modülleri eşittir.

Zıt sayılar

Yalnızca işaretleri farklı olan sayılara denir zıt. Örneğin -2 ve 2 sayıları zıttır. Sadece işaretlerde farklılık gösterirler. −2 sayısının bir eksi işareti, 2'nin de bir artı işareti vardır, ancak biz onu göremiyoruz çünkü artı, daha önce de söylediğimiz gibi, geleneksel olarak yazılmaz.

Zıt sayılara daha fazla örnek:

Karşıt sayıların modülleri eşittir. Örneğin -2 ve 2'nin modüllerini bulalım

Şekil, başlangıç ​​noktasından noktalara olan mesafeyi göstermektedir. A(−2) Ve B(2) eşit olarak iki adıma eşittir.

Dersi beğendin mi?
Yeni VKontakte grubumuza katılın ve yeni derslerle ilgili bildirimler almaya başlayın

Modül herkesin duymuş gibi göründüğü fakat gerçekte kimsenin gerçekten anlamadığı şeylerden biridir. Bu nedenle bugün denklemleri modüllerle çözmeye adanmış büyük bir ders olacak.

Hemen söyleyeceğim: ders zor olmayacak. Ve genel olarak modüller nispeten basit bir konudur. “Evet, elbette karmaşık değil! Aklımı başımdan alıyor!” - birçok öğrenci şunu söyleyecektir, ancak tüm bu beyin kırılmaları çoğu insanın kafasında bilginin değil, bir tür saçmalığın olması nedeniyle meydana gelir. Ve bu dersin amacı saçmalığı bilgiye dönüştürmektir :)

Küçük bir teori

Hadi gidelim. En önemli şeyle başlayalım: Modül nedir? Bir sayının modülünün basitçe aynı sayı olduğunu ancak eksi işareti olmadan alındığını hatırlatmama izin verin. Bu, örneğin $\left| -5 \sağ|=5$. Veya $\left| -129,5 \right|=129,5$.

Bu kadar basit mi? Evet, basit. O halde pozitif bir sayının mutlak değeri nedir? Burada her şey daha da basit: Pozitif bir sayının modülü bu sayının kendisine eşittir: $\left| 5 \sağ|=5$; $\sol| 129,5 \right|=$129,5, vb.

İlginç bir şey ortaya çıkıyor: farklı sayılar aynı modüle sahip olabilir. Örneğin: $\sol| -5 \sağ|=\sol| 5 \sağ|=5$; $\sol| -129.5 \sağ|=\sol| 129,5\sağ|=129,5$. Aynı modüllere sahip olanların ne tür sayılar olduğunu görmek kolaydır: bu sayılar zıttır. Böylece, zıt sayıların modüllerinin eşit olduğunu kendimiz not ediyoruz:

\[\sol| -a \sağ|=\sol| a\sağ|\]

Bir başka önemli gerçek: modül asla negatif değildir. Hangi sayıyı alırsak alalım - pozitif ya da negatif - modülü her zaman pozitif (veya aşırı durumlarda sıfır) olur. Bu nedenle modüle genellikle bir sayının mutlak değeri denir.

Ek olarak, pozitif ve negatif bir sayı için modül tanımını birleştirirsek, tüm sayılar için global bir modül tanımı elde ederiz. Yani: bir sayının modülü, sayı pozitifse (veya sıfırsa) sayının kendisine, sayı negatifse karşıt sayıya eşittir. Bunu formül olarak yazabilirsiniz:

Ayrıca sıfır modülü vardır, ancak her zaman sıfıra eşittir. Ayrıca zıttı olmayan tek sayı sıfırdır.

Dolayısıyla $y=\left| fonksiyonunu düşünürsek x \right|$ ve grafiğini çizmeye çalıştığınızda şunun gibi bir şey elde edeceksiniz:

Modül grafiği ve denklem çözme örneği

Bu resimden $\left| olduğu hemen anlaşılıyor. -m \sağ|=\sol| m \right|$ ve modül grafiği hiçbir zaman x ekseninin altına düşmez. Ancak hepsi bu kadar değil: kırmızı çizgi $y=a$ düz çizgisini işaret ediyor, bu da pozitif $a$ için bize aynı anda iki kök veriyor: $((x)_(1))$ ve $((x) _(2)) $, ama bunu daha sonra konuşacağız :)

Tamamen cebirsel tanıma ek olarak geometrik bir tanım da var. Diyelim ki sayı doğrusunda iki nokta var: $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))$. Bu durumda $\left| ifadesi ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ basitçe belirtilen noktalar arasındaki mesafedir. Veya isterseniz bu noktaları birleştiren doğru parçasının uzunluğu:

Modül, sayı doğrusu üzerindeki noktalar arasındaki mesafedir

Bu tanım aynı zamanda modülün her zaman negatif olmadığını da ima eder. Ancak yeterli tanım ve teori - hadi gerçek denklemlere geçelim :)

Temel formül

Tamam, tanımı çözdük. Ama bu durumu hiç kolaylaştırmadı. Bu modülü içeren denklemler nasıl çözülür?

Sakin ol, sadece sakin ol. En basit şeylerle başlayalım. Bunun gibi bir şeyi düşünün:

\[\sol| x\sağ|=3\]

Yani $x$'ın modülü 3'tür. $x$ neye eşit olabilir? Tanıma bakılırsa $x=3$'dan oldukça memnunuz. Gerçekten mi:

\[\sol| 3\sağ|=3\]

Başka numaralar var mı? Cap bunun var olduğunu ima ediyor gibi görünüyor. Örneğin, $x=-3$ aynı zamanda $\left| -3 \right|=3$, yani gerekli eşitlik sağlanır.

Peki belki araştırıp düşünürsek daha fazla sayı bulabiliriz? Ama şunu kabul edelim: artık sayı yok. Denklem $\sol| x \right|=3$'ın yalnızca iki kökü vardır: $x=3$ ve $x=-3$.

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. $f\left(x \right)$ fonksiyonunun $x$ değişkeni yerine modül işaretinin altında kalmasına izin verin ve sağdaki üçlünün yerine rastgele bir $a$ sayısını koyun. Denklemi elde ederiz:

\[\sol| f\left(x \sağ) \sağ|=a\]

Peki bunu nasıl çözebiliriz? Size hatırlatmama izin verin: $f\left(x \right)$ isteğe bağlı bir işlevdir, $a$ herhangi bir sayıdır. Onlar. Herhangi bir şey! Örneğin:

\[\sol| 2x+1 \sağ|=5\]

\[\sol| 10x-5 \sağ|=-65\]

İkinci denkleme dikkat edelim. Onun hakkında hemen şunu söyleyebilirsiniz: Kökleri yok. Neden? Her şey doğrudur: çünkü modülün negatif bir sayıya eşit olması gerekir ki bu asla gerçekleşmez, çünkü modülün her zaman pozitif bir sayı veya aşırı durumlarda sıfır olduğunu zaten biliyoruz.

Ancak ilk denklemle her şey daha eğlenceli. İki seçenek vardır: Ya modül işaretinin altında pozitif bir ifade vardır ve sonra $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ veya bu ifade hala negatiftir ve sonra $\left| 2x+1 \sağ|=-\sol(2x+1 \sağ)=-2x-1$. İlk durumda denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\sol| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Ve aniden $2x+1$ alt modüler ifadesinin gerçekten pozitif olduğu ortaya çıktı - 5 sayısına eşit. Bu denklemi güvenli bir şekilde çözebiliriz; ortaya çıkan kök, cevabın bir parçası olacaktır:

Özellikle güvensiz olanlar, bulunan kökü orijinal denklemin yerine koymayı deneyebilir ve modülün altında gerçekten pozitif bir sayı olduğundan emin olabilirler.

Şimdi negatif bir alt modüler ifadenin durumuna bakalım:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Sağ ok 2x+1=-5\]

Hata! Yine her şey açık: $2x+1 \lt 0$ olduğunu varsaydık ve sonuç olarak $2x+1=-5$ sonucunu elde ettik - aslında bu ifade sıfırdan küçüktür. Ortaya çıkan denklemi, bulunan kökün bize uyacağından emin olarak çözüyoruz:

Toplamda yine iki yanıt aldık: $x=2$ ve $x=3$. Evet, hesaplama miktarının çok basit $\left| denkleminden biraz daha büyük olduğu ortaya çıktı. x \right|=3$, ancak temelde hiçbir şey değişmedi. Yani belki bir tür evrensel algoritma vardır?

Evet böyle bir algoritma var. Ve şimdi onu analiz edeceğiz.

Modül işaretinden kurtulmak

Bize $\left| denklemi verilsin f\left(x \right) \right|=a$ ve $a\ge 0$ (aksi halde, zaten bildiğimiz gibi, kök yoktur). Daha sonra aşağıdaki kuralı kullanarak modül işaretinden kurtulabilirsiniz:

\[\sol| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Böylece modüllü denklemimiz modülsüz olarak ikiye ayrılıyor. Teknoloji bu kadar! Birkaç denklemi çözmeye çalışalım. Bununla başlayalım

\[\sol| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Sağda on artı olduğunda ayrı, eksi olduğunda ayrı ayrı ele alalım. Sahibiz:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\bit(hizala)\]

İşte bu! İki kökümüz var: $x=1.2$ ve $x=-2.8$. Çözümün tamamı kelimenin tam anlamıyla iki satır sürdü.

Tamam, hiç şüphe yok, biraz daha ciddi bir şeye bakalım:

\[\sol| 7-5x\sağ|=13\]

Yine artı ve eksi ile modülü açıyoruz:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\bit(hizala)\]

Tekrar birkaç satır - ve cevap hazır! Dediğim gibi modüllerde karmaşık bir şey yok. Sadece birkaç kuralı hatırlamanız gerekiyor. Bu nedenle, gerçekten daha karmaşık görevlere devam ediyoruz ve başlıyoruz.

Sağ taraftaki değişkenin durumu

Şimdi bu denklemi düşünün:

\[\sol| 3x-2 \sağ|=2x\]

Bu denklem öncekilerden temel olarak farklıdır. Nasıl? Ve eşittir işaretinin sağında $2x$ ifadesinin olması gerçeği - ve bunun pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu önceden bilemeyiz.

Bu durumda ne yapmalı? Öncelikle şunu kesin olarak anlamalıyız Denklemin sağ tarafı negatif çıkarsa denklemin kökleri olmaz- modülün negatif bir sayıya eşit olamayacağını zaten biliyoruz.

İkincisi, eğer sağ kısım hala pozitifse (veya sıfıra eşitse), o zaman tamamen aynı şekilde hareket edebilirsiniz: modülü ayrı ayrı artı işaretiyle ve ayrı olarak eksi işaretiyle açın.

Böylece, $f\left(x \right)$ ve $g\left(x \right)$ rastgele işlevleri için bir kural formüle ederiz:

\[\sol| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Denklemimize göre şunu elde ederiz:

\[\sol| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Peki, bir şekilde $2x\ge 0$ gereksinimiyle başa çıkacağız. Sonunda, ilk denklemden aldığımız kökleri aptalca yerine koyabilir ve eşitsizliğin geçerli olup olmadığını kontrol edebiliriz.

O halde denklemin kendisini çözelim:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\bit(hizala)\]

Peki, bu iki kökten hangisi $2x\ge 0$ gereksinimini karşılıyor? Evet ikisi de! Bu nedenle cevap iki sayı olacaktır: $x=(4)/(3)\;$ ve $x=0$. Çözüm bu :)

Bazı öğrencilerin şimdiden sıkılmaya başladığından şüpheleniyorum. Peki, daha da karmaşık bir denkleme bakalım:

\[\sol| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Her ne kadar kötü görünse de aslında “modül eşittir fonksiyon” şeklindeki denklem hala aynı:

\[\sol| f\left(x \sağ) \sağ|=g\sol(x \sağ)\]

Ve tamamen aynı şekilde çözüldü:

\[\sol| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Eşitsizlikle daha sonra ilgileneceğiz - bu bir şekilde çok kötü (aslında basit ama çözmeyeceğiz). Şimdilik ortaya çıkan denklemlerle uğraşmak daha iyi. İlk durumu ele alalım - bu, modülün artı işaretiyle genişletildiği zamandır:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Soldaki her şeyi toplamanız, benzerlerini getirmeniz ve ne olacağını görmeniz hiç de akıllıca değil. Ve şöyle oluyor:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\bit(hizala)\]

$((x)^(2))$ ortak faktörünü parantezlerden çıkarırız ve çok basit bir denklem elde ederiz:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(hizala) \sağ.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Burada çarpımın önemli bir özelliğinden yararlandık ve bunun için orijinal polinomu çarpanlara ayırdık: çarpanlardan en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpım sıfıra eşittir.

Şimdi modülün eksi işaretiyle genişletilmesiyle elde edilen ikinci denklemi de aynı şekilde ele alalım:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\sol(-3x+2 \sağ)=0. \\\bit(hizala)\]

Yine aynı şey: Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir. Sahibiz:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Üç kökümüz var: $x=0$, $x=1.5$ ve $x=(2)/(3)\;$. Peki, bu setten hangisi son cevaba girecek? Bunu yapmak için eşitsizlik biçiminde ek bir kısıtlamamız olduğunu unutmayın:

Bu gereklilik nasıl dikkate alınır? Bulunan kökleri yerine koyalım ve eşitsizliğin bu $x$ için geçerli olup olmadığını kontrol edelim. Sahibiz:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\bit(hizala)\]

Dolayısıyla $x=1.5$ kökü bize uymuyor. Ve yanıt olarak yalnızca iki kök olacak:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Gördüğünüz gibi bu durumda bile karmaşık bir şey yoktu; modüllü denklemler her zaman bir algoritma kullanılarak çözülür. Polinomlar ve eşitsizlikler hakkında iyi bir anlayışa sahip olmanız yeterlidir. Bu nedenle, daha karmaşık görevlere geçiyoruz - zaten bir değil iki modül olacak.

İki modüllü denklemler

Şimdiye kadar yalnızca en basit denklemleri inceledik - bir modül ve başka bir şey vardı. Bu "başka bir şeyi" eşitsizliğin başka bir kısmına, modülden uzağa gönderdik, böylece sonunda her şey $\left| biçiminde bir denkleme indirgenecekti. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ veya daha basiti $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Ancak anaokulu bitti; daha ciddi bir şey düşünmenin zamanı geldi. Şöyle denklemlerle başlayalım:

\[\sol| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \sağ) \sağ|\]

Bu, “modül eşittir modül” biçiminde bir denklemdir. Temel olarak önemli olan nokta, başka terimlerin ve faktörlerin olmamasıdır: solda yalnızca bir modül, sağda bir modül daha - ve daha fazlası değil.

Artık birileri bu tür denklemleri çözmenin şu ana kadar incelediklerimizden daha zor olduğunu düşünecektir. Ama hayır: bu denklemleri çözmek daha da kolaydır. İşte formül:

\[\sol| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Tüm! Basitçe alt modüler ifadeleri birinin önüne artı veya eksi işareti koyarak eşitleriz. Ve sonra ortaya çıkan iki denklemi çözüyoruz - ve kökler hazır! Hiçbir ek kısıtlama, eşitsizlik vb. yok. Çok basit.

Bu sorunu çözmeye çalışalım:

\[\sol| 2x+3 \sağ|=\sol| 2x-7 \sağ|\]

İlköğretim, Watson! Modüllerin genişletilmesi:

\[\sol| 2x+3 \sağ|=\sol| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Her durumu ayrı ayrı ele alalım:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\bit(hizala)\]

Birinci denklemin kökleri yoktur. Çünkü ne zaman $3=-7$? Hangi $x$ değerlerinde? “$x$ nedir ki? Taşlandın mı? Orada hiç $x$ yok” diyorsunuz. Ve haklı olacaksın. $x$ değişkenine bağlı olmayan bir eşitlik elde ettik ve aynı zamanda eşitliğin kendisi de yanlış. Bu yüzden kökleri yok :)

İkinci denklemde her şey biraz daha ilginç ama aynı zamanda çok çok basit:

Gördüğünüz gibi her şey birkaç satırda tam anlamıyla çözüldü - doğrusal bir denklemden başka bir şey beklemiyorduk :)

Sonuç olarak son cevap: $x=1$.

Peki nasıl? Zor? Tabii ki değil. Başka bir şey deneyelim:

\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|\]

Yine $\left| formunda bir denklemimiz var. f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Bu nedenle, modül işaretini ortaya çıkararak hemen yeniden yazıyoruz:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Belki birileri şimdi şunu soracaktır: “Hey, ne saçmalık? Neden “artı-eksi” ifadesi solda değil de sağdaki ifadede görünüyor?” Sakin olun, şimdi her şeyi açıklayacağım. Aslında denklemimizi iyi anlamda şu şekilde yeniden yazmamız gerekirdi:

Daha sonra parantezleri açmanız, tüm terimleri eşittir işaretinin bir tarafına taşımanız gerekir (çünkü denklem her iki durumda da kare olacaktır) ve sonra kökleri bulun. Ancak şunu kabul etmelisiniz: "artı-eksi" üç terimden önce göründüğünde (özellikle bu terimlerden biri ikinci dereceden bir ifade olduğunda), "artı-eksi"nin yalnızca iki terimden önce göründüğü durumdan bir şekilde daha karmaşık görünüyor.

Ancak hiçbir şey bizi orijinal denklemi şu şekilde yeniden yazmaktan alıkoyamaz:

\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|=\sol| x-1 \sağ|\]

Ne oldu? Özel bir şey yok: sadece sol ve sağ tarafları değiştirdiler. Hayatımızı biraz daha kolaylaştıracak küçük bir şey :)

Genel olarak bu denklemi artı ve eksi seçenekleri dikkate alarak çözeriz:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\bit(hizala)\]

İlk denklemin kökleri $x=3$ ve $x=1$'dır. İkincisi genellikle tam bir karedir:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Bu nedenle tek bir kökü vardır: $x=1$. Ancak bu kökü daha önce elde etmiştik. Böylece nihai cevaba yalnızca iki sayı girecektir:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Görev tamamlandı! Raftan bir pasta alıp yiyebilirsiniz. 2 tane var, ortadaki seninki :)

Önemli Not. Modülün farklı genişleme varyantları için aynı köklerin varlığı, orijinal polinomların çarpanlara ayrıldığı anlamına gelir ve bu faktörler arasında kesinlikle ortak bir tane olacaktır. Gerçekten mi:

\[\begin(hizala)& \left| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|; \\& \sol| x-1 \sağ|=\sol| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\bit(hizala)\]

Modül özelliklerinden biri: $\left| a\cdot b \sağ|=\sol| a \right|\cdot \left| b \right|$ (yani çarpımın modülü, modüllerin çarpımına eşittir), dolayısıyla orijinal denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| x-1 \sağ|\cdot \sol| x-2 \sağ|\]

Gördüğünüz gibi aslında ortak bir faktörümüz var. Şimdi tüm modülleri bir tarafta toplarsanız bu faktörü parantezden çıkarabilirsiniz:

\[\begin(hizala)& \left| x-1 \sağ|=\sol| x-1 \sağ|\cdot \sol| x-2 \sağ|; \\& \sol| x-1 \sağ|-\sol| x-1 \sağ|\cdot \sol| x-2 \sağ|=0; \\& \sol| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\bit(hizala)\]

Şimdi, faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpımın sıfıra eşit olduğunu unutmayın:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \sağ|=0, \\& \sol| x-2 \sağ|=1. \\\end(hizala) \sağ.\]

Böylece iki modüllü orijinal denklem, dersin başında bahsettiğimiz en basit iki denkleme indirgenmiş oldu. Bu tür denklemler tam anlamıyla birkaç satırda çözülebilir :)

Bu açıklama gereksiz derecede karmaşık ve pratikte uygulanamaz görünebilir. Ancak gerçekte bugün incelediklerimizden çok daha karmaşık sorunlarla karşılaşabilirsiniz. İçlerinde modüller polinomlar, aritmetik kökler, logaritmalar vb. ile birleştirilebilir. Ve bu gibi durumlarda, bir şeyi parantez dışına alarak denklemin genel derecesini düşürme yeteneği çok ama çok faydalı olabilir :)

Şimdi ilk bakışta çılgınca görünebilecek başka bir denkleme bakmak istiyorum. Birçok öğrenci, hatta modülleri iyi anladıklarını düşünenler bile bu konuda takılıp kalıyor.

Ancak bu denklemi çözmek daha önce baktığımız şeyden çok daha kolaydır. Ve nedenini anlarsanız, modüllü denklemleri hızlı bir şekilde çözmek için başka bir numara bulacaksınız.

Yani denklem şu:

\[\sol| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \sağ|=0\]

Hayır, bu bir yazım hatası değil: modüller arasında bir artıdır. Ve iki modülün toplamının sıfıra eşit olduğu $x$ değerini bulmamız gerekiyor :)

Sorun ne bu arada? Ancak sorun şu ki, her modül pozitif bir sayıdır veya aşırı durumlarda sıfırdır. İki pozitif sayıyı toplarsanız ne olur? Açıkçası yine pozitif bir sayı:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(hizala)\]

Son satır size bir fikir verebilir: Modüllerin toplamının sıfır olduğu tek durum, her modülün sıfır olduğu zamandır:

\[\sol| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

Peki modül ne zaman sıfıra eşit olur? Yalnızca bir durumda - alt modüler ifade sıfıra eşit olduğunda:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Böylece, ilk modülün sıfırlandığı üç noktamız var: 0, 1 ve −1; ve ayrıca ikinci modülün sıfırlandığı iki nokta: −2 ve 1. Bununla birlikte, her iki modülün de aynı anda sıfıra sıfırlanmasına ihtiyacımız var, bu nedenle bulunan sayılar arasından aşağıdakilere dahil olanları seçmemiz gerekiyor: her iki set. Açıkçası, böyle tek bir sayı var: $x=1$ - bu son cevap olacak.

Bölünme yöntemi

Zaten bir sürü problemi ele aldık ve bir sürü teknik öğrendik. Hepsi bu kadar mı sanıyorsun? Ama hayır! Şimdi son tekniğe ve aynı zamanda en önemlisine bakacağız. Denklemlerin modül ile bölünmesinden bahsedeceğiz. Ne hakkında konuşacağız ki? Biraz geriye gidelim ve basit bir denkleme bakalım. Örneğin bu:

\[\sol| 3x-5 \sağ|=5-3x\]

Prensip olarak böyle bir denklemin nasıl çözüleceğini zaten biliyoruz çünkü bu $\left| formunun standart bir yapısıdır. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Ancak bu denkleme biraz farklı bir açıdan bakmaya çalışalım. Daha doğrusu, modül işaretinin altındaki ifadeyi düşünün. Herhangi bir sayının modülünün o sayının kendisine eşit olabileceğini ya da bu sayının tersi olabileceğini de hatırlatayım:

\[\sol| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Aslında bütün sorun bu belirsizlikten kaynaklanıyor: Modülün altındaki sayı değiştiği için (değişkene bağlı), pozitif mi negatif mi olduğu bizim için net değil.

Peki ya başlangıçta bu sayının pozitif olmasını isterseniz? Örneğin, $3x-5 \gt 0$'a ihtiyacımız var - bu durumda modül işareti altında pozitif bir sayı almamız garanti edilir ve bu modülden tamamen kurtulabiliriz:

Böylece denklemimiz kolayca çözülebilecek doğrusal bir denklem haline gelecektir:

Doğru, tüm bu düşünceler yalnızca $3x-5 \gt 0$ koşulu altında anlamlıdır - modülü açık bir şekilde ortaya çıkarmak için bu gereksinimi kendimiz belirledik. Bu nedenle, bulunan $x=\frac(5)(3)$ değerini bu koşula koyalım ve kontrol edelim:

Belirtilen $x$ değeri için gereksinimimizin karşılanmadığı ortaya çıktı, çünkü ifadenin sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı ve bunun kesinlikle sıfırdan büyük olmasına ihtiyacımız var. Üzgün. :(

Ama sorun değil! Sonuçta başka bir seçenek daha var $3x-5 \lt 0$. Üstelik: $3x-5=0$ durumu da var - bunun da dikkate alınması gerekiyor, aksi takdirde çözüm eksik kalacaktır. Yani, $3x-5 \lt 0$ durumunu düşünün:

Açıkçası modül eksi işaretiyle açılacaktır. Ancak daha sonra garip bir durum ortaya çıkıyor: Orijinal denklemin hem solunda hem de sağında aynı ifade ortaya çıkacak:

$5-3x$ ifadesinin $x$ ifadesinin $5-3x$ ifadesine ne kadar eşit olacağını merak ediyorum. Kaptan Apaçıklık bile bu tür denklemler yüzünden tükürüğünde boğulurdu ama biliyoruz ki bu denklem bir özdeşliktir, yani. değişkenin herhangi bir değeri için doğrudur!

Bu, herhangi bir $x$'ın bize uygun olacağı anlamına gelir. Ancak bir sınırlamamız var:

Başka bir deyişle cevap tek bir sayı değil, tam bir aralık olacaktır:

Son olarak dikkate alınması gereken bir durum daha kaldı: $3x-5=0$. Burada her şey basit: modülün altında sıfır olacaktır ve sıfırın modülü de sıfıra eşittir (bu doğrudan tanımdan gelir):

Ama sonra orijinal denklem $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ şu şekilde yeniden yazılacaktır:

Yukarıda $3x-5 \gt 0$ durumunu ele aldığımızda bu kökü zaten elde etmiştik. Üstelik bu kök $3x-5=0$ denkleminin bir çözümüdür - bu, modülü sıfırlamak için bizim koyduğumuz kısıtlamadır :)

Böylece aralığa ek olarak bu aralığın en sonunda yer alan sayıyla da yetineceğiz:

Modülo denklemlerde köklerin birleştirilmesi

Toplam son cevap: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Modüllü oldukça basit (esasen doğrusal) bir denklemin cevabında bu tür saçmalıkları görmek çok yaygın değildir, gerçekten mi? Peki, buna alışın: Modülün zorluğu, bu tür denklemlerdeki cevapların tamamen tahmin edilemez olmasıdır.

Çok daha önemli olan başka bir şey var: Az önce modüllü bir denklemi çözmek için evrensel bir algoritmayı analiz ettik! Ve bu algoritma aşağıdaki adımlardan oluşur:

1. Denklemdeki her modülü sıfıra eşitleyin. Birkaç denklem elde ederiz;
2. Tüm bu denklemleri çözün ve kökleri sayı doğrusunda işaretleyin. Sonuç olarak, düz çizgi, her birinde tüm modüllerin benzersiz bir şekilde ortaya çıktığı birkaç aralığa bölünecektir;
3. Her aralık için orijinal denklemi çözün ve cevaplarınızı birleştirin.

İşte bu! Geriye tek bir soru kaldı: 1. adımda elde edilen köklerle ne yapmalı? Diyelim ki iki kökümüz var: $x=1$ ve $x=5$. Sayı doğrusunu 3 parçaya bölecekler:

Noktaları kullanarak sayı doğrusunu aralıklara bölme

Peki aralıklar nelerdir? Bunlardan üçünün olduğu açıktır:

1. En soldaki: $x \lt 1$ — birimin kendisi aralığa dahil değildir;
2. Merkezi: $1\le x \lt 5$ - burada aralığa bir dahildir, ancak beşi dahil değildir;
3. En sağdaki: $x\ge 5$ - beş yalnızca buraya dahildir!

Sanırım modeli zaten anladınız. Her aralık sol ucu içerir ve sağ ucu içermez.

İlk bakışta böyle bir giriş uygunsuz, mantıksız ve genel olarak bir tür çılgınlık gibi görünebilir. Ama inanın bana: Biraz pratik yaptıktan sonra bu yaklaşımın en güvenilir olduğunu ve modüllerin açık bir şekilde açılmasını engellemediğini göreceksiniz. Her seferinde böyle bir şema kullanmak daha iyidir: sol/sağ ucunu mevcut aralığa verin veya onu bir sonrakine "atın".

Denklemleri ve eşitsizlikleri modülle çözmeçoğu zaman zorluklara neden olur. Ancak ne olduğunu iyi anlarsanız sayı modülü, Ve modül işareti içeren ifadelerin doğru şekilde nasıl genişletileceği, o zaman denklemdeki varlık modül işareti altındaki ifadeçözümüne engel olmaktan çıkıyor.

Küçük bir teori. Her sayının iki özelliği vardır: Sayının mutlak değeri ve işareti.

Örneğin, +5 veya kısaca 5 sayısının "+" işareti vardır ve mutlak değeri 5'tir.

-5 sayısının "-" işareti vardır ve mutlak değeri 5'tir.

5 ve -5 sayılarının mutlak değerleri 5'tir.

Bir x sayısının mutlak değerine sayının modülü denir ve |x| ile gösterilir.

Görüldüğü gibi bir sayının modülü, eğer bu sayı sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse o sayının kendisine, eğer bu sayı negatifse ters işaretli bu sayıya eşittir.

Aynı durum modül işaretinin altında görünen tüm ifadeler için de geçerlidir.

Modül genişletme kuralı şuna benzer:

|f(x)|= f(x) eğer f(x) ≥ 0 ise ve

|f(x)|= - f(x), eğer f(x)< 0

Örneğin |x-3|=x-3, eğer x-3≥0 ve |x-3|=-(x-3)=3-x, eğer x-3 ise<0.

Modül işareti altında bir ifade içeren bir denklemi çözmek için önce şunları yapmalısınız: bir modülü modül genişletme kuralına göre genişletin.

O zaman denklemimiz veya eşitsizliğimiz olur iki farklı sayısal aralıkta bulunan iki farklı denkleme dönüştürülür.

Modül işareti altındaki ifadenin negatif olmadığı sayısal bir aralıkta bir denklem mevcuttur.

İkinci denklem ise modül işareti altındaki ifadenin negatif olduğu aralıkta mevcuttur.

Basit bir örneğe bakalım.

Denklemi çözelim:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Modülü açalım.

|x-3|=x-3, eğer x-3≥0 ise, yani eğer x≥3 ise

|x-3|=-(x-3)=3-x eğer x-3 ise<0, т.е. если х<3

2. İki sayısal aralık aldık: x≥3 ve x<3.

Orijinal denklemin her aralıkta hangi denklemlere dönüştürüldüğünü düşünelim:

A) x≥3 |x-3|=x-3 için, yaramız şu şekildedir:

Dikkat! Bu denklem yalnızca x≥3 aralığında mevcuttur!

Parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım:

ve bu denklemi çözelim.

Bu denklemin kökleri vardır:

x 1 =0, x 2 =3

Dikkat! x-3=-x 2 +4x-3 denklemi yalnızca x≥3 aralığında mevcut olduğundan, yalnızca bu aralığa ait köklerle ilgileniyoruz. Bu koşul yalnızca x 2 =3 ile sağlanır.

B) x'te<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Dikkat! Bu denklem yalnızca x aralığında mevcuttur<3!

Parantezleri açıp benzer terimleri sunalım. Denklemi elde ederiz:

x 1 =2, x 2 =3

Dikkat! 3-x=-x 2 +4x-3 denklemi yalnızca x aralığında mevcut olduğundan<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Yani, ilk aralıktan yalnızca x=3 kökünü, ikinci aralıktan ise x=2 kökünü alıyoruz.

Modül, ifadenin mutlak değeridir. Bir modülü bir şekilde belirtmek için düz parantezlerin kullanılması gelenekseldir. Çift parantez içindeki değer modulo olarak alınan değerdir. Herhangi bir modülü çözme süreci, matematik dilinde modüler parantez olarak adlandırılan çok düz parantezlerin açılmasından oluşur. Açıklanmaları belirli sayıda kurala göre gerçekleşir. Ayrıca modüllerin çözüm sırasına göre modüler parantez içindeki ifadelerin değer kümeleri bulunur. Çoğu durumda modül, alt modüler ifadenin sıfır değeri de dahil olmak üzere hem pozitif hem de negatif değerler alacağı şekilde genişletilir. Modülün yerleşik özelliklerinden başlarsak, süreçte orijinal ifadeden çeşitli denklemler veya eşitsizlikler derlenir ve bunların daha sonra çözülmesi gerekir. Modüllerin nasıl çözüleceğini bulalım.

Çözüm süreci

Bir modülün çözümü, orijinal denklemin modülle yazılmasıyla başlar. Modüllü denklemlerin nasıl çözüleceği sorusunu cevaplamak için onu tamamen açmanız gerekir. Böyle bir denklemi çözmek için modül genişletilir. Tüm modüler ifadeler dikkate alınmalıdır. Bileşiminde yer alan bilinmeyen miktarların hangi değerlerinde parantez içindeki modüler ifadenin sıfır olacağını belirlemek gerekir. Bunu yapabilmek için modüler parantez içindeki ifadeyi sıfıra eşitlemek ve ardından ortaya çıkan denklemin çözümünü hesaplamak yeterlidir. Bulunan değerlerin kaydedilmesi gerekmektedir. Aynı şekilde bu denklemdeki tüm modüller için tüm bilinmeyen değişkenlerin değerini de belirlemeniz gerekiyor. Daha sonra, sıfır değerinden farklı olduklarında ifadelerdeki değişkenlerin varlığının tüm durumlarını belirlemek ve dikkate almak gerekir. Bunu yapmak için orijinal eşitsizliğin tüm modüllerine karşılık gelen bazı eşitsizlik sistemlerini yazmanız gerekir. Eşitsizlikler, sayı doğrusunda bulunan bir değişken için mevcut ve olası tüm değerleri kapsayacak şekilde yazılmalıdır. Daha sonra görselleştirme için aynı sayı doğrusunu çizmeniz gerekir; daha sonra elde edilen tüm değerlerin üzerine çizilir.

Artık neredeyse her şey internet üzerinden yapılabiliyor. Modül kuralın bir istisnası değildir. Bunu birçok modern kaynaktan birini kullanarak çevrimiçi olarak çözebilirsiniz. Sıfır modülünde bulunan değişkenin tüm bu değerleri, modüler denklemin çözümü sürecinde kullanılacak özel bir kısıtlama olacaktır. Orijinal denklemde, ifadenin işaretini değiştirirken mevcut tüm modüler parantezleri açmanız gerekir, böylece istenen değişkenin değerleri sayı doğrusunda görünen değerlerle çakışır. Ortaya çıkan denklemin çözülmesi gerekir. Denklemin çözümü sırasında elde edilecek değişkenin değeri, modülün kendisi tarafından belirlenen sınırlamaya göre kontrol edilmelidir. Değişkenin değeri koşulu tam olarak sağlıyorsa doğrudur. Denklemin çözümü sırasında elde edilecek ancak kısıtlamalara uymayan tüm köklerin atılması gerekir.

Bu çevrimiçi matematik hesaplayıcısı size yardımcı olacaktır Bir denklemi veya eşitsizliği modüllerle çözme. Programı Denklemleri ve eşitsizlikleri modüllerle çözme yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda açıklamalarla ayrıntılı çözüm

Bu program, genel eğitim okullarındaki lise öğrencileri için test ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavı öncesinde bilgileri test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir.

Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

|x|

Modüllerle bir denklem veya eşitsizlik girin

x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Bir denklemi veya eşitsizliği çözme
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.

AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.

Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı. Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.

Lütfen bekleyin saniye... eğer sen
çözümde bir hata fark ettim , ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz. unutma hangi görevi belirtin.

ne olduğuna sen karar ver

alanlara girin

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Modüllü denklemler ve eşitsizlikler

Temel bir okul cebir dersinde modüllü en basit denklemler ve eşitsizliklerle karşılaşabilirsiniz. Bunları çözmek için, \(|x-a| \)'nin sayı doğrusu üzerinde x ve a noktaları arasındaki mesafe olduğu gerçeğine dayanan geometrik bir yöntem kullanabilirsiniz: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Örneğin, \(|x-3|=2\) denklemini çözmek için sayı doğrusu üzerinde 3. noktadan 2 uzaklıkta olan noktaları bulmanız gerekir. Böyle iki nokta vardır: \(x_1=1 \) ve \(x_2=5\) .
Eşitsizliği çözme \(|2x+7|
Ancak denklemleri ve eşitsizlikleri modüllerle çözmenin ana yolu, "modülün tanımı gereği ortaya çıkarılması" ile ilişkilidir:

if \(a \geq 0 \), ardından \(|a|=a \);
1) Eğer \(c > 0\), o zaman \(|f(x)|=c \) denklemi şu denklem grubuna eşdeğerdir: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(dizi)\sağ.
2) Eğer \(c > 0 \), o zaman eşitsizlik \(|f(x)| 3) Eğer \(c \geq 0 \), o zaman \(|f(x)| > c \) eşitsizliği şöyledir: bir eşitsizlikler kümesine eşdeğerdir: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Eşitsizliğin her iki tarafı \(f(x) ise ÖRNEK 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) denklemini çözün.

Eğer \(x-1 \geq 0\), o zaman \(|x-1| = x-1\) ve verilen denklem şu formu alır:
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Eğer \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Bu nedenle, verilen denklem belirtilen iki durumun her birinde ayrı ayrı ele alınmalıdır.
1) \(x-1 \geq 0 \) olsun, yani. \(x\geq 1\). \(x^2 +2x -8 = 0\) denkleminden \(x_1=2, \; x_2=-4\) bulunur.
\(x \geq 1 \) koşulu yalnızca \(x_1=2\) değeri tarafından karşılanır.

2) \(x-1 Cevap: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \) olsun

ÖRNEK 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) denklemini çözün.İlk yol
(tanım gereği modül genişletme).

Örnek 1'deki gibi akıl yürüterek, verilen denklemin iki koşulun karşılanması durumunda ayrı ayrı dikkate alınması gerektiği sonucuna varıyoruz: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) veya \(x^2-6x+7)
1) Eğer \(x^2-6x+7 \geq 0 \), o zaman \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ve verilen denklem \(x) formunu alır ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Bu ikinci dereceden denklemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6\) değerinin \(x^2-6x+7 \geq 0\) koşulunu karşılayıp karşılamadığını bulalım. Bunu yapmak için belirtilen değeri ikinci dereceden eşitsizliğin yerine koyun. Şunu elde ederiz: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), yani. \(7 \geq 0 \) gerçek bir eşitsizliktir.

Bu, \(x_1=6\)'nın verilen denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

\(x_2=\frac(5)(3)\) değerinin \(x^2-6x+7 \geq 0\) koşulunu karşılayıp karşılamadığını bulalım. Bunu yapmak için belirtilen değeri ikinci dereceden eşitsizliğin yerine koyun. Şunu elde ederiz: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), yani. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) yanlış bir eşitsizliktir. Bu, \(x_2=\frac(5)(3)\) öğesinin verilen denklemin kökü olmadığı anlamına gelir. 2) Eğer \(x^2-6x+7 Değeri \(x_3=3\) koşulu sağlıyorsa \(x^2-6x+7 Değeri \(x_4=\frac(4)(3) \) karşılamıyor \ (x^2-6x+7 koşulu) Yani verilen denklemin iki kökü vardır: \(x=6, \; x=3 \).
Bu denklemlerin her ikisi de yukarıda çözüldü (verilen denklemin ilk çözümü kullanılarak), kökleri şu şekildedir: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Bu dört değerin \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) koşulu yalnızca iki tanesi tarafından karşılanır: 6 ve 3. Bu, verilen denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir: \(x=6 , \; x=3 \ ).

Üçüncü yol(grafik).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) fonksiyonunun grafiğini oluşturalım. İlk önce bir \(y = x^2-6x+7\) parabolünü oluşturalım.
\(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) elimizde. \(y = (x-3)^2-2\) fonksiyonunun grafiği, \(y = x^2\) fonksiyonunun grafiğinden 3 ölçek birim sağa kaydırılarak (yön boyunca) elde edilebilir. x ekseni) ve 2 ölçek birimi aşağı (y ekseni boyunca).
Düz çizgi x=3 ilgilendiğimiz parabolün eksenidir. Daha doğru çizim için kontrol noktaları olarak, parabolün tepe noktası olan (3; -2) noktasını, parabolün eksenine göre ona simetrik olan (0; 7) noktasını ve (6; 7) noktasını almak uygundur. .

Şimdi \(y = |x^2-6x+7| \) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için, oluşturulan parabolün x ekseninin altında olmayan kısımlarını değiştirmeden bırakmanız ve bu kısmı aynalamanız gerekir. x eksenine göre x ekseninin altında yer alan parabol.

2) Doğrusal fonksiyonun \(y = \frac(5x-9)(3)\) grafiğini oluşturalım. (0; –3) ve (3; 2) noktalarını kontrol noktası olarak almak uygundur. Düz çizginin apsis ekseni ile kesiştiği noktanın x = 1.8 noktasının, parabolün apsis ekseni ile kesiştiği sol noktanın sağında yer alması önemlidir - bu nokta \(x=3-\ sqrt(2) \) (çünkü \(3-\sqrt(2 ) 3) Çizime bakılırsa, grafikler iki noktada kesişiyor - A(3; 2) ve B(6; 7). Verilen denklemde x = 3 ve x = 6 noktalarında, her iki durumda da doğru sayısal eşitliğin elde edildiğine inanıyoruz; bu, hipotezimizin doğrulandığı anlamına gelir - denklemin iki kökü vardır: x = 3 ve. x = 6. Cevap: 3;

Yorum

ÖRNEK 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) denklemini çözün.
. Grafiksel yöntem tüm zarafetine rağmen pek güvenilir değildir. Ele alınan örnekte, denklemin kökleri tamsayı olduğu için işe yaradı.

ÖRNEK 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8\) denklemini çözün
2x–4 ifadesi x = 2 noktasında 0 olur, x + 3 ifadesi de x = –3 noktasında 0 olur. Bu iki nokta sayı doğrusunu üç aralığa böler: \(x
İlk aralığı düşünün: \((-\infty; \; -3) \).