Geometrik ilerlemeleri çevrimiçi çözme. Geometrik ilerleme

Geometrik ilerleme- sıfır olmayan sayı dizisi, sonraki her terimin sıfıra eşit olmayan belirli bir katsayı ile çarpılması sonucu oluşur.

Sıralama

İlerlemeyi anlamadan önce sayısal dizinin tanımını ve onu yöneten yasayı anlamalısınız. Doğal seriyi hatırlayalım - daha önce incelediğimiz ilk sayı dizisi anaokulu. Bunlar öğeleri saymak için kullanılan tam sayılardır. Başlangıç ​​şuna benzer:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...n

Doğal serideki her sayıyı belirli bir formüle göre oluşturulmuş başka bir sayıyla ilişkilendirirsek yeni bir dizi elde ederiz:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 ... ve

An sayısı, dizinin genel bir üyesi ve serinin elemanlarını oluşturan yasadır. Açıkçası, doğal seriyi belirleme formülü basitçe n'dir. Çift sayılar dizisi için, her öğe ve ortak terim 2n formülüyle ve tek sayılar için - 2n − 1 formülüyle verilir.

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler

Geometrik ilerleme çalışmasının bir başka örneği de gribin salgın yayılmasıdır. Örneğin bir hasta günde 12 kişiye virüsü bulaştırıyor, 12 kişiden her biri 12 kişiye daha bulaştırıyor, yani ikinci gün 144 hasta, üçüncü gün 1.728 ve dördüncü gün 20.736 hasta olacak.

Programımız seçilen değerin geometrik ilerlemesini oluşturur. Bunu yapmak için “İlk Sayı” hücresine ilk terimin değerini, “Fark (Adım)” hücresine ilerlemenin paydasını ve “Son” hücresine dizinin eleman sayısını girmeniz gerekecektir. Sayı” hücresi. Bundan sonra program geometrik ilerleme yasasına karşılık gelen sayıları sağlayacaktır.

Bir örneğe bakalım

Postayla nakit oyunu

Sovyet döneminde geometrik ilerleme ilkesine dayanan bir dolandırıcılık vardı. Dolandırıcılığın özü aşağıdaki gibidir. İnsanlar 5 adres ve talimat içeren mektuplar aldı:

  • 1 ruble karşılığında adreslere gönder;
  • İlk adresin üzerini çizin ve beşinci olarak kendi adresinizi girin;
  • arkadaşlarınıza ve tanıdıklarınıza belirtilen adresleri içeren davet mektupları gönderin.

Maceracılar zenginleşme mekanizmasına mantıklı bir açıklama getirdiler. Nitekim davet ettiğiniz kişilerin her biri 1 ruble gönderirse harcanan parayı iade edersiniz. Oyuna davet edilen beş katılımcı, arkadaşlarına adresinizin 4 numara olarak belirtildiği mektuplar gönderecek. Bu tür mektupların sayısı zaten 25 ve bir sonraki davetli dalgası size toplam 25 ruble gönderecek. Bundan sonra 25 kişiye 5 mektup gönderilecek, burada üçüncüsü sizin adresiniz ve bu zaten her biri 1 ruble olan 125 zarf.

Dolandırıcılar davet turu sonunda ne kadar para sözü verdi? Cevap basit bir geometrik ilerlemede yatmaktadır. Versiyonlarına göre adresinizin yer aldığı 5 davetiye dalgası olacak. Birimi dikkate almadığımız ve 5 harfle başladığımız için son sayı 6 olacaktır. İlki doğal olarak 1'dir. Geometrik ilerlememizin adımı 5'tir. Bu verileri hücrelerine giriyoruz. hesap makinesini kullanın ve sırayı alın:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

dizinin unsurlarının toplamı 3906'dır. Dolandırıcıların saf vatandaşlara vaat ettiği 3906 ruble kârdı. Doğal olarak, pratikte tüm para oyunun organizatörlerine gitti, çünkü ilk adımda dolandırıcılar bir değil, kendi adreslerinin belirtildiği yüzlerce mektup gönderdiler. İlk adımda dolandırıcılar yalnızca 200 mektup gönderse bile, beşinci adımda oyuna 625.000 kişinin katılması gerekiyor ve organizatörler onlardan 700.000'den fazla ruble alacak. Daha ileri adımlar artık mantıklı değil.

Çözüm

Geometrik ilerleme sıklıkla gerçekte bulunur. İlginç problemleri çözmek veya eğitici örnekleri test etmek için hesap makinesi kataloğumuzu kullanın.

Geometrik ilerleme matematikte aritmetikten daha az önemli değildir. Geometrik ilerleme, her bir sonraki terimi bir öncekiyle çarpılarak elde edilen b1, b2,..., b[n] sayılarından oluşan bir dizidir. sabit sayı. Aynı zamanda büyüme oranını veya ilerlemenin azalmasını da karakterize eden bu sayıya denir. geometrik ilerlemenin paydası ve belirtmek

İçin görevi tamamla Geometrik ilerlemenin paydasına ek olarak ilk terimini de bilmek veya belirlemek gerekir. İçin pozitif değer payda ilerlemesi monoton diziÜstelik bu sayı dizisi monoton olarak azalıyorsa ve monoton olarak artıyorsa. Paydanın olduğu durum bire eşit pratikte dikkate alınmaz çünkü diziye sahibiz aynı sayılar ve bunların toplamının pratik bir önemi yok

Geometrik ilerlemenin genel terimi formülle hesaplanır

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı formülle belirlenir

Çözümleri düşünelim klasik problemler geometrik ilerlemeye Anlaşılması en basit olanlarla başlayalım.

Örnek 1. Geometrik ilerlemenin ilk terimi 27 ve paydası 1/3'tür. Geometrik ilerlemenin ilk altı terimini bulun.

Çözüm: Sorunun durumunu forma yazalım.

Hesaplamalar için geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülünü kullanırız

Buna dayanarak ilerlemenin bilinmeyen terimlerini buluyoruz

Gördüğünüz gibi geometrik ilerlemenin terimlerini hesaplamak zor değil. İlerlemenin kendisi şöyle görünecek

Örnek 2. Geometrik ilerlemenin ilk üç terimi verilmiştir: 6; -12; 24. Paydayı ve yedinci terimini bulun.

Çözüm: Geomitrik ilerlemenin paydasını tanımına göre hesaplıyoruz.

Paydası -2'ye eşit olan alternatif bir geometrik ilerleme elde ettik. Yedinci terim aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

Bu sorunu çözer.

Örnek 3. Bir geometrik ilerleme, iki terimiyle verilmektedir. . İlerlemenin onuncu terimini bulun.

Çözüm:

Haydi yazalım değerleri belirle formüller aracılığıyla

Kurallara göre, paydayı bulup sonra aramamız gerekirdi. istenen değer ama onuncu dönem için elimizde

Aynı formül, giriş verileriyle yapılan basit manipülasyonlara dayanarak elde edilebilir. Serinin altıncı terimini diğerine bölersek sonuç olarak şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan değer altıncı terimle çarpılırsa onuncu terimi elde ederiz.

Bu nedenle, bu tür görevler için basit dönüşümleri kullanarak hızlı yol doğru çözümü bulabilirsiniz.

Örnek 4. Geometrik ilerleme yinelenen formüllerle verilmektedir

Geometrik ilerlemenin paydasını ve ilk altı terimin toplamını bulun.

Çözüm:

Verilen verileri bir denklem sistemi biçiminde yazalım

Paydayı ikinci denklemi birinciye bölerek ifade edin

İlk denklemden ilerlemenin ilk terimini bulalım

Geometrik ilerlemenin toplamını bulmak için aşağıdaki beş terimi hesaplayalım.

Giriş seviyesi

Geometrik ilerleme. Kapsamlı rehberörneklerle (2019)

Numara dizisi

O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.

Örneğin dizimiz için:

Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.

Sayıyı taşıyan sayıya dizinin n'inci üyesi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Bizim durumumuzda:

En yaygın ilerleme türleri aritmetik ve geometriktir. Bu başlıkta ikinci tip hakkında konuşacağız - geometrik ilerleme.

Geometrik ilerlemeye neden ihtiyaç duyulur ve tarihi?

Antik çağda bile, İtalyan matematikçi keşiş Pisalı Leonardo (daha çok Fibonacci olarak bilinir) ticaretin pratik ihtiyaçlarıyla ilgileniyordu. Keşiş, hangi şeyin yardımıyla belirlenmesi göreviyle karşı karşıya kaldı. en az miktar ağırlıklar malları tartabilir misiniz? Fibonacci, çalışmalarında böyle bir ağırlık sisteminin optimal olduğunu kanıtlıyor: Bu, insanların geometrik bir ilerlemeyle karşı karşıya kaldığı ilk durumlardan biridir; muhtemelen bunu zaten duymuşsunuzdur ve en azından duymuşsunuzdur. genel konsept. Konuyu tam olarak anladıktan sonra böyle bir sistemin neden optimal olduğunu düşünün.

Şu anda, hayat pratiği Geometrik ilerleme, bir bankaya para yatırırken, önceki dönemde hesapta biriken tutara faiz tahakkuk ettiğinde kendini gösterir. Başka bir deyişle, bir tasarruf bankasındaki vadeli mevduata para yatırırsanız, bir yıl sonra mevduat orijinal miktarı kadar artacaktır, yani. yeni miktar katkısının çarpımına eşit olacaktır. Bir sonraki yıl bu miktar artacak, yani. o sırada elde edilen miktar tekrar çarpılacaktır vb. Benzer durum sözde hesaplama problemlerinde açıklanmıştır bileşik faiz- Yüzde, önceki faiz dikkate alınarak her seferinde hesaptaki tutardan alınır. Bu görevlerden biraz sonra bahsedeceğiz.

Çok daha fazlası var basit vakalar geometrik ilerlemenin uygulandığı yer. Örneğin, gribin yayılması: bir kişi başka bir kişiye bulaştırdı, o da başka bir kişiye bulaştırdı ve dolayısıyla ikinci enfeksiyon dalgası bir kişiye dönüştü ve o da bir başkasına bulaştırdı... ve böyle devam etti. .

Bu arada, aynı MMM olan finansal piramit, geometrik ilerlemenin özelliklerine dayanan basit ve kuru bir hesaplamadır. İlginç? Hadi çözelim.

Geometrik ilerleme.

Diyelim ki bir sayı dizimiz var:

Hemen bunun kolay olduğunu ve böyle bir dizinin adının terimlerinin farkıyla aritmetik bir dizi olduğunu söyleyeceksiniz. Buna ne dersiniz:

Bir önceki sayıdan bir öncekini çıkarırsanız, her seferinde şunu göreceksiniz: yeni fark(vb.), ancak bu sıra kesinlikle mevcuttur ve fark edilmesi kolaydır - her biri sonraki numaraöncekinden kat daha fazla!

Bu tür sayı dizisine denir geometrik ilerleme ve belirlenir.

Geometrik ilerleme (), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekine eşit olan ve aynı sayıyla çarpılan sayısal bir dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

İlk terimin ( ) eşit olmadığı ve rastgele olmadığı kısıtlamaları. Diyelim ki orada değiller ve ilk terim hala eşit ve q eşittir, hmm.. öyle olsun, o zaman ortaya çıkıyor:

Bunun artık bir ilerleme olmadığını kabul edin.

Anladığınız gibi sıfır a'dan başka bir sayı varsa aynı sonuçları elde edeceğiz. Bu durumlarda hiçbir ilerleme olmayacaktır çünkü tüm süreç sayı serisi ya hepsi sıfır olacak ya da bir sayı ve geri kalanların hepsi sıfır olacak.

Şimdi geometrik ilerlemenin paydası yani o hakkında daha detaylı konuşalım.

Tekrarlayalım: - bu sayı birbirini takip eden her terim kaç kez değişir? geometrik ilerleme.

Sizce ne olabilir? Bu doğru, olumlu ve olumsuz, ancak sıfır değil (bunun hakkında biraz daha yukarıda konuştuk).

Bizimkinin olumlu olduğunu varsayalım. Bizim durumumuzda a. İkinci terimin değeri nedir ve? Buna kolayca cevap verebilirsiniz:

Bu doğru. Buna göre, eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işaret- Onlar olumlu.

Ya olumsuzsa? Örneğin, a. İkinci terimin değeri nedir ve?

Bu tamamen farklı bir hikaye

Bu ilerlemenin şartlarını saymaya çalışın. Ne kadar aldın? Ben var. Böylece, geometrik ilerlemenin terimlerinin işaretleri değişiyorsa. Yani, üyeleri için değişen işaretlerin olduğu bir ilerleme görürseniz, paydası negatiftir. Bu bilgi, bu konudaki sorunları çözerken kendinizi test etmenize yardımcı olabilir.

Şimdi biraz pratik yapalım: hangi sayı dizilerinin geometrik ilerleme, hangilerinin aritmetik ilerleme olduğunu belirlemeye çalışın:

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:

  • Geometrik ilerleme - 3, 6.
  • Aritmetik ilerleme - 2, 4.
  • Bu ne aritmetik ne de geometrik bir ilerlemedir - 1, 5, 7.

Son ilerlememize dönelim ve tıpkı aritmetikte olduğu gibi üyesini bulmaya çalışalım. Tahmin edebileceğiniz gibi onu bulmanın iki yolu var.

Her terimi art arda ile çarpıyoruz.

Yani açıklanan geometrik ilerlemenin inci terimi eşittir.

Zaten tahmin ettiğiniz gibi, artık geometrik ilerlemenin herhangi bir üyesini bulmanıza yardımcı olacak bir formülü kendiniz türeteceksiniz. Yoksa zaten kendiniz için geliştirdiniz mi, adım adım üyeyi nasıl bulacağınızı anlatıyorsunuz? Eğer öyleyse, gerekçenizin doğruluğunu kontrol edin.

Bunu bu ilerlemenin inci terimini bulma örneğiyle açıklayalım:

Başka bir deyişle:

Verilen geometrik ilerlemenin teriminin değerini kendiniz bulun.

İşe yaradı mı? Cevaplarımızı karşılaştıralım:

Geometrik ilerlemenin önceki her terimiyle sıralı olarak çarptığımızda, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Haydi "kişiliksizleştirmeye" çalışalım bu formül- Bunu genel forma koyalım ve şunu elde edelim:

Türetilen formül hem pozitif hem de negatif tüm değerler için geçerlidir. Geometrik ilerlemenin şartlarını hesaplayarak bunu kendiniz kontrol edin. aşağıdaki koşullar: , A.

Saydın mı? Sonuçları karşılaştıralım:

Bir terimle aynı şekilde bir ilerleme terimi bulmanın mümkün olacağını kabul edin, ancak yanlış hesaplama olasılığı vardır. Ve eğer geometrik ilerlemenin inci terimini zaten bulduysak, formülün "kesilmiş" kısmını kullanmaktan daha basit ne olabilir?

Sonsuz azalan geometrik ilerleme.

Daha yakın zamanlarda neyin sıfırdan büyük veya sıfırdan küçük olabileceğinden bahsettik, ancak özel anlamlar geometrik ilerleme buna denir sonsuz azalan.

Sizce bu isim neden verildi?
Öncelikle terimlerden oluşan bazı geometrik dizileri yazalım.
O halde şöyle diyelim:

Sonraki her terimin bir öncekinden bir kat daha az olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir sayı olacak mı? Hemen cevap vereceksiniz - "hayır". Bu yüzden sonsuza kadar azalıyor; azalıyor, azalıyor ama asla sıfır olmuyor.

Bunun görsel olarak nasıl göründüğünü net bir şekilde anlamak için ilerlememizin bir grafiğini çizmeye çalışalım. Dolayısıyla bizim durumumuz için formül aşağıdaki formu alır:

Grafiklerde bağımlılığı çizmeye alışkınız, bu nedenle:

İfadenin özü değişmedi: ilk girdide geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerinin sıra numarasına bağımlılığını gösterdik ve ikinci girdide basitçe geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerini şu şekilde aldık: ve sıra sayısını olarak değil, olarak belirledi. Geriye kalan tek şey bir grafik oluşturmaktır.
Bakalım ne almışsın. İşte bulduğum grafik:

Görüyor musun? Fonksiyon azalır, sıfıra yaklaşır ama asla onu geçmez, yani sonsuz azalandır. Grafik üzerinde noktalarımızı ve aynı zamanda koordinat ve ne anlama geldiğini işaretleyelim:

İlk terimi de eşitse, geometrik ilerlemenin grafiğini şematik olarak göstermeye çalışın. Analiz edin, önceki grafiğimizle arasındaki fark nedir?

Başarabildin mi? İşte bulduğum grafik:

Artık geometrik ilerleme konusunun temellerini tam olarak anladığınıza göre: ne olduğunu biliyorsunuz, terimini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz ve aynı zamanda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin ne olduğunu da biliyorsunuz, hadi onun ana özelliğine geçelim.

Geometrik ilerlemenin özelliği.

Üyelerin mallarını hatırlıyor musun? aritmetik ilerleme? Evet evet, değer nasıl bulunur? belli bir sayı ilerleme, bu ilerlemenin üyelerinin önceki ve sonraki değerleri olduğunda. Hatırlıyor musun? İşte:

Şimdi geometrik ilerlemenin terimleri için tamamen aynı soruyla karşı karşıyayız. Geri çekilmek benzer bir formül, hadi çizmeye ve akıl yürütmeye başlayalım. Göreceksiniz, çok kolay, eğer unutursanız kendiniz de çıkarabilirsiniz.

İçinde bildiğimiz başka bir basit geometrik ilerlemeyi ele alalım ve. Nasıl bulunur? Aritmetik ilerlemeyle bu kolay ve basittir, peki ya burada? Aslında geometrik olarak da karmaşık bir şey yok - bize verilen her değeri formüle göre yazmanız yeterli.

Şimdi bu konuda ne yapmamız gerektiğini sorabilirsiniz. Evet, çok basit. Öncelikle bu formülleri bir resim üzerinde gösterelim ve değere ulaşmak için onlarla çeşitli manipülasyonlar yapmaya çalışalım.

Bize verilen rakamlardan soyutlayalım, sadece formül üzerinden ifadelerine odaklanalım. Vurgulanan değeri bulmamız gerekiyor turuncu, yanındaki üyeleri tanıyor. Onlarla üretmeye çalışalım çeşitli eylemler bunun sonucunda elde edebiliriz.

Ek.
İki ifade eklemeye çalışalım ve şunu elde edelim:

İtibaren verilen ifade Gördüğünüz gibi bunu hiçbir şekilde ifade edemiyoruz, bu nedenle başka bir seçeneği deneyeceğiz - çıkarma.

Çıkarma.

Gördüğünüz gibi bunu da ifade edemiyoruz o yüzden bu ifadeleri birbiriyle çarpmaya çalışalım.

Çarpma.

Şimdi bize verilen geometrik ilerlemenin terimlerini bulunması gerekenle karşılaştırarak elde ettiğimiz şeye dikkatlice bakın:

Bilin bakalım neden bahsediyorum? Bu doğru, bulmamız için almamız gerekenler karekök istenilen sayıya bitişik geometrik ilerleme sayılarının birbirleriyle çarpılmasından:

Hadi bakalım. Geometrik ilerleme özelliğini kendiniz elde ettiniz. Bu formülü yazmayı deneyin genel görünüm. İşe yaradı mı?

Koşulu unuttunuz mu? Bunun neden önemli olduğunu düşünün, örneğin bunu kendiniz hesaplamaya çalışın. Bu durumda ne olacak? Bu doğru, tamamen saçmalık çünkü formül şöyle görünüyor:

Bu nedenle bu sınırlamayı unutmayın.

Şimdi neye eşit olduğunu hesaplayalım

Doğru cevap! Hesaplarken ikinciyi unutmadıysanız olası anlam, o zaman harika bir insansınız ve hemen eğitime geçebilirsiniz ve eğer unutursanız, aşağıda tartışılanları okuyun ve cevapta her iki kökü de yazmanın neden gerekli olduğuna dikkat edin.

Her iki geometrik ilerlememizi de (biri değerle, diğeri değerle) çizelim ve her ikisinin de var olma hakkına sahip olup olmadığını kontrol edelim:

Böyle bir geometrik ilerlemenin var olup olmadığını kontrol etmek için tüm ülkeler arasında aynı olup olmadığına bakmak gerekir. verilen üyeler? Birinci ve ikinci durumlar için q'yu hesaplayın.

Neden iki cevap yazmamız gerektiğini anladınız mı? Çünkü aradığınız terimin işareti olumlu ya da olumsuz olmasına bağlıdır! Ve ne olduğunu bilmediğimiz için her iki cevabı da artı ve eksi olarak yazmamız gerekiyor.

Artık ana noktalarda uzmanlaştığınıza ve geometrik ilerleme özelliğinin formülünü türettiğinize göre, bulma, bilme ve

Cevaplarınızı doğru olanlarla karşılaştırın:

Ne düşünüyorsunuz, ya bize istenen sayıya bitişik geometrik ilerleme terimlerinin değerleri değil de ondan eşit uzaklıkta verilseydi. Örneğin, bulmamız ve vermemiz gerekiyor ve. Bu durumda elde ettiğimiz formülü kullanabilir miyiz? Formülü orijinal olarak türettiğinizde yaptığınız gibi, her bir değerin nelerden oluştuğunu açıklayarak bu olasılığı aynı şekilde doğrulamaya veya çürütmeye çalışın.
Ne aldın?

Şimdi tekrar dikkatlice bakın.
ve buna göre:

Buradan formülün işe yaradığı sonucuna varabiliriz. sadece komşularla değil geometrik ilerlemenin istenen terimleriyle, aynı zamanda eşit uzaklıktaüyelerin aradıklarından.

Böylece ilk formülümüz şu şekli alır:

Yani, ilk durumda bunu söylediysek, şimdi bunun herhangi bir şeye eşit olabileceğini söylüyoruz. doğal sayı, daha küçüktür. Önemli olan, verilen her iki sayı için de aynı olmasıdır.

Üzerinde pratik yapın spesifik örnekler, son derece dikkatli olun!

  1. , . Bulmak.
  2. , . Bulmak.
  3. , . Bulmak.

Karar verilmiş? Umarım son derece dikkatli davranmışsınızdır ve küçük bir yakalamayı fark etmişsinizdir.

Sonuçları karşılaştıralım.

İlk iki durumda yukarıdaki formülü sakince uygularız ve aşağıdaki değerleri elde ederiz:

Üçüncü durumda, daha yakından incelendiğinde seri numaraları Bize verilen sayıların aradığımız sayıya eşit uzaklıkta olmadığını anlıyoruz: önceki tarih, ancak konumda kaldırıldığından formülün uygulanması mümkün değildir.

Nasıl çözülür? Aslında göründüğü kadar zor değil! Bize verilen her sayının ve aradığımız sayının nelerden oluştuğunu yazalım.

Yani elimizde ve var. Bakalım onlarla neler yapabiliriz? Bölmeyi öneriyorum. Şunu elde ederiz:

Verilerimizi formülde yerine koyarız:

Bulabileceğimiz bir sonraki adım - bunun için atmamız gerekiyor küp kökü ortaya çıkan sayıdan.

Şimdi elimizdekilere tekrar bakalım. Elimizde var ama bulmamız gerekiyor ve bu da şuna eşit:

Hesaplama için gerekli tüm verileri bulduk. Formülde yerine koyun:

Cevabımız: .

Başka bir benzer sorunu kendiniz çözmeyi deneyin:
Verilen: ,
Bulmak:

Ne kadar aldın? bende - .

Gördüğünüz gibi aslında ihtiyacınız var sadece bir formülü hatırla- . Geri kalanını istediğiniz zaman hiçbir zorlukla karşılaşmadan kendiniz çekebilirsiniz. Bunu yapmak için, bir parça kağıda en basit geometrik ilerlemeyi yazmanız ve yukarıda açıklanan formüle göre her bir sayısının neye eşit olduğunu yazmanız yeterlidir.

Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı.

Şimdi belirli bir aralıktaki geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını hızlı bir şekilde hesaplamamızı sağlayan formüllere bakalım:

Sonlu bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü elde etmek için yukarıdaki denklemin tüm kısımlarını ile çarpın. Şunu elde ederiz:

Dikkatlice bakın: Son iki formülün ortak noktası nedir? Bu doğru, örneğin ortak üyeler vb., ilk ve son üye hariç. 2. denklemden 1.yi çıkarmaya çalışalım. Ne aldın?

Şimdi geometrik ilerlemenin terimini formül aracılığıyla ifade edin ve elde edilen ifadeyi son formülümüzde yerine koyun:

İfadeyi gruplandırın. Almalısınız:

Geriye sadece şunu ifade etmek kalıyor:

Buna göre bu durumda.

Farzedelim? O zaman hangi formül işe yarıyor? Geometrik bir ilerleme hayal edin. O nasıl biri? Bir dizi aynı sayı doğrudur, dolayısıyla formül şöyle görünecektir:

Hem aritmetik hem de geometrik ilerlemeyle ilgili birçok efsane vardır. Bunlardan biri de satrancın yaratıcısı Set efsanesidir.

Birçok kişi satranç oyununun Hindistan'da icat edildiğini biliyor. Hindu kralı onunla tanıştığında onun zekasından ve sahip olabileceği pozisyonların çeşitliliğinden çok memnun kaldı. Bunun tebaasından biri tarafından icat edildiğini öğrenen kral, onu bizzat ödüllendirmeye karar verdi. Mucidi yanına çağırdı ve ona istediği her şeyi istemesini emretti, en yetenekli arzuyu bile yerine getireceğine söz verdi.

Seta düşünmek için zaman istedi ve ertesi gün Seta kralın huzuruna çıktığında, bu isteğinin benzeri görülmemiş alçakgönüllülüğüyle kralı şaşırttı. Satranç tahtasının ilk karesine bir buğday tanesi, ikinci karesine bir buğday tanesi, üçüncü karesine bir buğday tanesi, dördüncü karesine bir buğday tanesi vb. verilmesini istedi.

Kral sinirlendi ve hizmetkarın isteğinin kralın cömertliğine yakışmadığını söyleyerek Seth'i uzaklaştırdı, ancak hizmetkarın tahtanın tüm kareleri için tahıllarını alacağına söz verdi.

Ve şimdi soru şu: Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünü kullanarak Seth'in kaç tane tane alması gerektiğini hesaplayın?

Mantık yürütmeye başlayalım. Koşula göre Seth satranç tahtasının ilk karesi için, ikincisi için, üçüncüsü için, dördüncüsü için vb. bir buğday tanesi istediğine göre, problemde bunu görüyoruz. hakkında konuşuyoruz Geometrik ilerleme hakkında. Bu durumda neye eşittir?
Sağ.

Satranç tahtasının toplam kareleri. Sırasıyla . Tüm verilere sahibiz, geriye sadece bunları formüle ekleyip hesaplamak kalıyor.

En azından yaklaşık olarak “ölçeği” hayal etmek verilen numara, derecenin özelliklerini kullanarak dönüştürün:

Elbette, isterseniz bir hesap makinesi alıp hangi sayıya ulaşacağınızı hesaplayabilirsiniz, değilse de benim sözüme güvenmek zorunda kalacaksınız: ifadenin son değeri şu olacaktır.
Yani:

kentilyon katrilyon trilyon milyar milyon bin.

Phew) Bu sayının büyüklüğünü hayal etmek istiyorsanız, tahıl miktarının tamamını barındırmak için ne kadar büyük bir ahırın gerekli olacağını tahmin edin.
Ahır m yüksekliğinde ve m genişliğinde ise uzunluğunun km kadar uzaması gerekir. Dünya'dan Güneş'e olan uzaklığın iki katı.

Kral matematikte güçlü olsaydı, bilim adamını tahılları saymaya davet edebilirdi, çünkü bir milyon tane saymak için en az bir gün yorulmak bilmeden sayması gerekirdi ve kentilyonları saymak gerektiği göz önüne alındığında, tahılları saymak gerekirdi. hayatı boyunca sayılması gerekirdi.

Şimdi geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını içeren basit bir problemi çözelim.
5A sınıfı öğrencisi Vasya gribe yakalandı ancak okula gitmeye devam ediyor. Vasya her gün iki kişiye bulaştırıyor, o da iki kişiye daha bulaştırıyor ve bu böyle devam ediyor. Sınıfta sadece insanlar var. Kaç gün sonra tüm sınıf gripten hasta olacak?

Yani geometrik ilerlemenin ilk terimi Vasya yani kişidir. Geometrik ilerlemenin üçüncü terimi, geldiği ilk gün enfekte ettiği iki kişidir. Toplam tutar ilerlemenin üyeleri 5A'daki öğrenci sayısına eşittir. Buna göre şöyle bir ilerlemeden bahsediyoruz:

Verilerimizi geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünde yerine koyalım:

Birkaç gün içinde tüm sınıf hastalanacak. Formüllere ve sayılara inanmıyor musunuz? Öğrencilerin “enfeksiyonunu” kendiniz tasvir etmeye çalışın. İşe yaradı mı? Bakın benim için nasıl görünüyor:

Her biri bir kişiye bulaşırsa ve sınıfta yalnızca bir kişi varsa, öğrencilerin gripten kaç gün sonra hastalanacağını kendiniz hesaplayın.

Hangi değeri aldın? Bir gün sonra herkesin hastalanmaya başladığı ortaya çıktı.

Gördüğünüz gibi benzer görev ve çizimi, her birinin yeni insanları "getirdiği" bir piramidi andırıyor. Ancak er ya da geç öyle bir an gelir ki ikincisi kimseyi çekemez. Bizim durumumuzda sınıfın izole olduğunu hayal edersek, gelen kişi zinciri () kapatır. Dolayısıyla eğer bir kişi bu işe karışmışsa mali piramit, diğer iki katılımcıyı da getirirseniz paranın verildiği kişi (veya genel durum) kimseyi getirmeyecek ve bu nedenle bu mali dolandırıcılığa yatırdıkları her şeyi kaybedeceklerdi.

Yukarıda söylenenlerin hepsi azalan veya artan bir geometrik ilerlemeyi ifade ediyor, ancak hatırlayacağınız gibi, özel tür- sonsuz azalan geometrik ilerleme. Üyelerinin toplamı nasıl hesaplanır? Ve neden bu tür bir ilerleme var? belirli özellikler? Hadi birlikte çözelim.

Öncelikle örneğimizden sonsuz azalan geometrik ilerlemenin çizimine tekrar bakalım:

Şimdi biraz daha önce türetilen geometrik ilerlemenin toplamı formülüne bakalım:
veya

Ne için çabalıyoruz? Doğru, grafik sıfıra doğru yöneldiğini gösteriyor. Yani at, neredeyse elde edeceğimiz ifadeyi hesaplarken sırasıyla neredeyse eşit olacaktır. Bu bakımdan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını hesaplarken bu parantez eşit olacağından ihmal edilebileceğine inanıyoruz.

- formül sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamıdır.

ÖNEMLİ! Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülü yalnızca koşulun toplamı bulmamız gerektiğini açıkça belirtmesi durumunda kullanırız. sonsuzüye sayısı.

Belirli bir n sayısı belirtilirse, o zaman veya olsa bile n terimin toplamı için formülü kullanırız.

Şimdi pratik yapalım.

  1. Ve ile geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun.
  2. Ve ile sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını bulun.

Umarım çok dikkatli davranmışsınızdır. Cevaplarımızı karşılaştıralım:

Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz ve teoriden pratiğe geçme zamanı geldi. Sınavda karşılaşılan en yaygın geometrik ilerleme problemleri bileşik faiz hesaplama problemleridir. Bunlar konuşacaklarımız.

Bileşik faiz hesaplamasında karşılaşılan sorunlar.

Muhtemelen bileşik faiz formülünü duymuşsunuzdur. Ne anlama geldiğini anlıyor musun? Değilse, hadi çözelim, çünkü sürecin kendisini anladığınızda, geometrik ilerlemenin bununla ne ilgisi olduğunu hemen anlayacaksınız.

Hepimiz bankaya gidiyoruz ve orada olduğunu biliyoruz. farklı koşullar mevduatlarda: bu terim ve ek hizmet ve iki faizli çeşitli şekillerde hesaplamaları basit ve karmaşıktır.

İLE basit faiz her şey az çok açıktır: faiz, mevduat vadesinin sonunda bir kez tahakkuk ettirilir. Yani yılda 100 ruble yatırdığımızı söylersek, bunlar ancak yıl sonunda kredilendirilecektir. Buna göre depozito sonunda ruble alacağız.

Bileşik faiz- bu, meydana geldiği bir seçenektir faiz kapitalizasyonu yani bunların depozito tutarına eklenmesi ve daha sonra gelirin başlangıçtan değil, birikmiş depozito tutarından hesaplanması. Büyük harf kullanımı sürekli olarak gerçekleşmez, ancak belirli bir sıklıkta gerçekleşir. Kural olarak, bu tür süreler eşittir ve çoğu zaman bankalar bir ay, üç aylık dönem veya yılı kullanır.

Her yıl aynı rubleyi yatırdığımızı, ancak depozitonun aylık kapitalizasyonunu yaptığımızı varsayalım. Ne yapıyoruz?

Buradaki her şeyi anlıyor musun? Değilse, adım adım çözelim.

Bankaya ruble getirdik. Ay sonuna kadar hesabımızda ruble artı faizinden oluşan bir miktar olmalı, yani:

Kabul etmek?

Bunu parantezlerin dışına çıkarabiliriz ve şunu elde ederiz:

Katılıyorum, bu formül zaten başlangıçta yazdıklarımıza daha çok benziyor. Geriye kalan tek şey yüzdeleri hesaplamak

Sorun bildiriminde bize yıllık oranlar anlatılıyor. Bildiğiniz gibi çarpma yapmıyoruz, yüzdeleri dönüştürüyoruz ondalık sayılar, yani:

Sağ? Şimdi sorabilirsiniz, bu sayı nereden geldi? Çok basit!
Tekrar ediyorum: sorun bildirimi şunu söylüyor YILLIK tahakkuk eden faiz AYLIK. Bildiğiniz gibi, buna göre bir yıl içinde banka bizden aylık yıllık faizin bir kısmını tahsil edecek:

Anladın mı? Şimdi faizin günlük olarak hesaplandığını söyleseydim formülün bu kısmının nasıl görüneceğini yazmaya çalışın.
Başarabildin mi? Sonuçları karşılaştıralım:

Tebrikler! Görevimize dönelim: Birikmiş mevduat tutarına faiz tahakkuk ettiğini de dikkate alarak ikinci ayda hesabımıza ne kadar yatırılacağını yazın.
İşte elde ettiklerim:

Veya başka bir deyişle:

Sanırım zaten bir model fark ettiniz ve tüm bunlarda geometrik bir ilerleme gördünüz. Üyesinin neye eşit olacağını, yani ay sonunda ne kadar para alacağımızı yazın.
Yaptı mı? Hadi kontrol edelim!

Gördüğünüz gibi, bir yıl boyunca bir bankaya basit faiz oranıyla para koyarsanız ruble, bileşik faiz oranıyla ise ruble alırsınız. Faydası küçüktür, ancak bu yalnızca onuncu yılda olur, daha fazlası için uzun süre kapitalizasyon çok daha karlı:

Başka bir sorun türüne bakalım: bileşik faiz. Anladığınız şeyden sonra, bu sizin için temel olacaktır. Yani görev:

Zvezda şirketi 2000 yılında dolar cinsinden sermayeyle sektöre yatırım yapmaya başladı. 2001 yılından bu yana her yıl bir önceki yılın sermayesine eşit kâr elde etmektedir. Karlar dolaşımdan çekilmeseydi Zvezda şirketi 2003 yılı sonunda ne kadar kar elde edecek?

2000 yılında Zvezda şirketinin başkenti.
- 2001 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
- 2002 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
- 2003 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.

Veya kısaca şunu yazabiliriz:

Bizim durumumuz için:

2000, 2001, 2002 ve 2003.

Sırasıyla:
ruble
Yüzde YILLIK olarak verildiğinden ve YILLIK olarak hesaplandığından, bu problemde ne ile ne de ile bölme işlemimizin olmadığını lütfen unutmayın. Yani bileşik faizle ilgili bir problemi okurken, yüzde kaç verildiğine ve hangi dönemde hesaplandığına dikkat edin ve ancak ondan sonra hesaplamalara geçin.
Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz.

Eğitim.

  1. Eğer biliniyorsa geometrik ilerlemenin terimini bulun ve
  2. Eğer biliniyorsa, geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun ve
  3. MDM Capital şirketi 2003 yılında dolar cinsinden sermayeyle sektöre yatırım yapmaya başladı. 2004 yılından bu yana her yıl bir önceki yılın sermayesine eşit kâr elde etmektedir. MSK şirketi Nakit akışları"Sektöre 2005 yılında 10.000$ tutarında yatırım yapmaya başladık, 2006 yılında ise 10.000$ tutarında kar elde etmeye başladık. Karlar dolaşımdan çekilmemişse, 2007 yılı sonunda bir şirketin sermayesi diğerinden kaç dolar daha fazladır?

Cevaplar:

  1. Problem ifadesi ilerlemenin sonsuz olduğunu söylemediğinden ve toplamı bulmanız gerektiğinden belirli sayıüyeleri, daha sonra hesaplama aşağıdaki formüle göre yapılır:

  2. MDM Sermaye Şirketi:

    2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
    - %100 yani 2 kat artar.
    Sırasıyla:
    ruble
    MSK Nakit Akışları şirketi:

    2005, 2006, 2007.
    - kat kat artar.
    Sırasıyla:
    ruble
    ruble

Özetleyelim.

1) Geometrik ilerleme ( ), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olan bir sayısal dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

2) Geometrik ilerlemenin terimlerinin denklemi .

3) ve dışında her değeri alabilir.

  • eğer, o zaman ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - onlar olumlu;
  • eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm koşulları alternatif işaretler;
  • ne zaman - ilerlemeye sonsuz azalma denir.

4) , - geometrik ilerleme özelliğine sahip (bitişik terimler)

veya
, (eşit mesafeli terimler)

Bulduğunda bunu unutma iki cevap olmalı.

Örneğin,

5) Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır:
veya

İlerleme sonsuza kadar azalıyorsa, o zaman:
veya

ÖNEMLİ! Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülü yalnızca koşulun toplamı bulmamız gerektiğini açıkça belirtmesi durumunda kullanırız. sonsuz sayıüyeler.

6) Bileşik faiz içeren problemler aynı zamanda geometrik ilerlemenin üçüncü terimi için formül kullanılarak da hesaplanır; şu şartla: peşin dolaşımdan çekilmedi:

GEOMETRİK İLERLEME. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Geometrik ilerleme( ), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olan bir sayısal dizidir. Bu numara denir geometrik ilerlemenin paydası.

Geometrik ilerlemenin paydası ve dışında herhangi bir değer alabilir.

  • Eğer ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - bunlar pozitiftir;
  • eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm üyeleri alternatif işaretler;
  • ne zaman - ilerlemeye sonsuz azalma denir.

Geometrik ilerleme terimlerinin denklemi - .

Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülle hesaplanır:
veya