Weierstrass'ın limit teoreminin bir kanıtı verilmiştir monoton dizi. Sınırlı ve sınırsız dizilerin durumları dikkate alınır. Weierstrass teoremini kullanarak kanıtlamanın gerekli olduğu bir örnek ele alınmıştır. dizi yakınsaması ve limitini bulun.
Herhangi bir monoton sınırlı dizi (xn) sahip olmak son sınır, tam üst sınıra eşit, destek(xn) azalmayan ve kesin alt sınır, inf(xn) Artmayan bir dizi için
Herhangi bir monoton sınırsız dizi sahip olmak sonsuz sınır, azalmayan bir dizi için artı sonsuza ve artmayan bir dizi için eksi sonsuza eşittir.
Kanıt
1) azalmayan sınırlı dizi .
(1.1)
.
Dizi sınırlı olduğundan sıkı bir üst sınırı vardır
.
Bu şu anlama gelir:
- tüm n'ler için,
(1.2) ;
(1.3) .
.
Burada da (1.3)'ü kullandık. (1.2) ile birleştirildiğinde şunu buluruz:
.
O zamandan beri
,
veya
.
Teoremin ilk kısmı kanıtlandı.
2)
Şimdi sıra şöyle olsun artmayan sınırlı dizi:
(2.1)
hepsi için
Dizi sınırlı olduğundan sıkı bir alt sınırı vardır
.
Bu şu anlama gelir:
- tüm n'ler için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:
(2.2) ; - herkes için pozitif sayıε'ya bağlı olarak bir sayı vardır;
(2.3) .
.
Burada da (2.3)'ü kullandık. (2.2)’yi hesaba katarak şunu buluruz:
.
O zamandan beri
,
veya
.
Bu, sayının dizinin limiti olduğu anlamına gelir.
Teoremin ikinci kısmı kanıtlanmıştır.
Şimdi sınırsız dizileri düşünün.
3)
Sıra şöyle olsun sınırsız azalmayan dizi.
Dizi azalmadığı için aşağıdaki eşitsizlikler tüm n'ler için geçerlidir:
(3.1)
.
Dizi azalmayan ve sınırsız olduğundan sınırsızdır sağ taraf. O zaman herhangi bir M sayısı için, M'ye bağlı olarak bir sayı vardır;
(3.2)
.
Dizi azalmayan olduğundan, o zaman elimizde:
.
Burada da (3.2)'yi kullandık.
.
Bu, dizinin limitinin artı sonsuz olduğu anlamına gelir:
.
Teoremin üçüncü kısmı kanıtlanmıştır.
4) Son olarak, şu durumu düşünün: sınırsız artan olmayan dizi.
Bir öncekine benzer şekilde, dizi artmadığından, o zaman
(4.1)
hepsi için
Dizi artmayan ve sınırsız olduğundan sol tarafta sınırsızdır. O zaman herhangi bir M sayısı için, M'ye bağlı olarak bir sayı vardır;
(4.2)
.
Dizi artmayan olduğundan, o zaman elimizde:
.
Yani, herhangi bir M sayısı için böyle bir şey var doğal sayı M'ye bağlı olarak tüm sayılar için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:
.
Bu, dizinin limitinin eksi sonsuza eşit olduğu anlamına gelir:
.
Teorem kanıtlandı.
Sorun çözümü örneği
Weierstrass teoremini kullanarak dizinin yakınsaklığını kanıtlayın:
,
,
. . . ,
,
. . .
Daha sonra limitini bulun.
Diziyi yinelenen formüller biçiminde temsil edelim:
,
.
Hadi bunu kanıtlayalım verilen sıra yukarıda sınırlı
(P1) .
Yöntemi kullanarak ispatı gerçekleştiriyoruz matematiksel tümevarım.
.
İzin vermek . Daha sonra
.
Eşitsizlik (A1) kanıtlanmıştır.
Dizinin monoton olarak arttığını kanıtlayalım.
;
(P2) .
O zamandan beri kesrin paydası ve paydaki ilk faktör pozitiftir. Dizinin terimlerinin eşitsizlikle (A1) sınırlandırılmasından dolayı ikinci faktör de pozitiftir. Bu yüzden
.
Yani dizi kesinlikle artıyor.
Dizi artan ve yukarıdan sınırlı olduğundan sınırlı bir dizidir. Dolayısıyla Weierstrass teoremine göre bir limiti vardır.
Bu sınırı bulalım. Bunu a ile gösterelim:
.
Şu gerçeği kullanalım
.
Yakınsak dizilerin limitlerinin aritmetik özelliklerini kullanarak bunu (A2)'ye uygulayalım:
.
Koşul kök tarafından sağlanır.
Tanım 1. Dizinin adı azalan
(artmayan
), eğer herkes için 
eşitsizlik geçerli 
.
Tanım 2. Tutarlılık 
isminde artan
(azalmayan
), eğer herkes için 
eşitsizlik geçerli 
.
Tanım 3. Azalan, artmayan, artan ve azalmayan dizilere denir monoton azalan ve artan dizilere de denir kesinlikle monoton diziler.
Açıkçası, azalmayan bir dizi alttan, artmayan bir dizi ise yukarıdan sınırlanmıştır. Bu nedenle herhangi bir monoton dizi açıkça bir tarafta sınırlıdır.
Örnek 1. Tutarlılık 
artar, azalmaz, 
azalır 
artmaz 
– monotonik olmayan dizi.
Monotonik diziler için aşağıdakiler önemli bir rol oynar:
Teorem 1. Azalan (artmayan) bir dizi yukarıdan (aşağıdan) sınırlanmışsa yakınsar.
Kanıt. Sıraya izin ver 
azalmaz ve yukarıdan sınırlanır; 
ve birçok 
yukarıdan sınırlıdır. Teorem 1 § 2'ye göre 
. Hadi bunu kanıtlayalım 
.
Hadi alalım 
keyfi olarak. O zamandan beri A– tam üst sınır, bir sayı var N
Öyle ki 
. Dizi azalmayan bir dizi olduğundan herkes için 
bizde var, yani 
, Bu yüzden 
herkes için 
ve bu şu anlama geliyor 
.
Aşağıda sınırlı artmayan bir dizi için ispat şuna benzer: ( öğrenciler bu ifadeyi evde kendi başlarına kanıtlayabilirler). Teorem kanıtlandı.
Yorum. Teorem 1 farklı şekilde formüle edilebilir.
Teorem 2. Monoton bir dizinin yakınsak olabilmesi için sınırlı olması gerekli ve yeterlidir.
Yeterlilik Teorem 1'de, gereklilik ise § 5'in Teorem 2'sinde tesis edilmiştir.
Yakınsak bir dizinin mutlaka monoton olması gerekmediğinden, bir dizinin yakınsaması için monotonluk koşulu gerekli değildir. Örneğin, dizi 
monoton değildir ancak sıfıra yakınsar.
Sonuçlar. Eğer sıra 
artar (azalır) ve yukarıdan (aşağıdan) sınırlanırsa, o zaman 
(
).
Aslında Teorem 1'e göre 
(
).
Tanım 4. Eğer 
en 
, daha sonra dizi çağrılır iç içe geçmiş bölümlerin sözleşme sistemi
.
Teorem 3 (iç içe geçmiş bölümler ilkesi). İç içe geçmiş bölümlerden oluşan her sözleşme sisteminin benzersiz bir noktası vardır. İle, bu sistemin tüm bölümlerine aittir.
Kanıt. Asıl meselenin bu olduğunu kanıtlayalım İle var. O zamandan beri 
, O 
ve bu nedenle dizi 
azalmaz ama dizi 
artmaz. Aynı zamanda 
Ve 
sınırlı çünkü. O halde Teorem 1'e göre, 
Ve 
ama o zamandan beri 
, O 
=
. Bulunan nokta İle Teorem 1'in doğal sonucu olarak sistemin tüm bölümlerine aittir 
,
yani 
tüm değerler için N.
Şimdi asıl noktayı gösterelim İle- tek kişi. Böyle iki nokta olduğunu varsayalım: İle Ve D ve kesinlik için izin ver 
. Daha sonra segment 
tüm segmentlere ait 
yani 
herkes için N bu imkansız çünkü 
ve dolayısıyla belirli bir sayıdan başlayarak, 
. Teorem kanıtlandı.
Burada önemli olanın kapalı aralıkların dikkate alınması olduğunu unutmayın. segmentler. Eğer bir daralma aralıkları sistemi düşünürsek, o zaman prensip genel anlamda yanlıştır. Örneğin aralıklar 
belli ki bir noktaya kadar daralmış 
ancak nokta 
bu sistemin herhangi bir aralığına ait değildir.
Şimdi yakınsak monotonik dizilerin örneklerini ele alalım.
1) Sayı e.
Şimdi sırayı ele alalım 
. Nasıl davranıyor? Temel
derece 
, Bu yüzden 
? Diğer tarafta, 
, A 
, Bu yüzden 
? Yoksa herhangi bir sınır yok mu?
Bu soruları cevaplamak için yardımcı diziyi düşünün 
. Azaldığını ve aşağıda sınırlı olduğunu kanıtlayalım. Aynı zamanda ihtiyacımız olacak
Lemma. Eğer 
, o zaman tüm doğal değerler için N sahibiz
(Bernoulli eşitsizliği).
Kanıt. Matematiksel tümevarım yöntemini kullanalım.
Eğer 
, O 
yani eşitsizlik doğrudur.
için doğru olduğunu varsayalım. 
ve geçerliliğini kanıtlamak 
+1.
Sağ 
. Bu eşitsizliği şu şekilde çarpalım: 
:
Böylece, . Bu, matematiksel tümevarım ilkesine göre Bernoulli eşitsizliğinin tüm doğal değerler için geçerli olduğu anlamına gelir. N. Lemma kanıtlanmıştır.
Sıranın bu olduğunu gösterelim 
azalır. Sahibiz
Bernoulli eşitsizliği 
, ve bu da dizinin şu anlama geldiği anlamına gelir: 
azalır.
Aşağıdan sınırlılık eşitsizlikten kaynaklanır 
Bernoulli eşitsizliği 
tüm doğal değerler için N.
Teorem 1'e göre 
, harfle gösterilir e. Bu yüzden 
.
Sayı e irrasyonel ve aşkın, e= 2,718281828… . Bilindiği gibi doğal logaritmanın temelidir.
Notlar. 1) Bernoulli eşitsizliği şunu kanıtlamak için kullanılabilir: 
en 
. Gerçekten eğer 
, O 
. O zaman Bernoulli eşitsizliğine göre 
. Dolayısıyla, 
sahibiz 
yani 
en 
.
2) Yukarıda tartışılan örnekte derecenin temeli 
1'e eğilimlidir ve üs N- İle 
yani formda belirsizlik var 
. Bu tür bir belirsizlik, gösterdiğimiz gibi, dikkate değer sınırla ortaya çıkar. 
.
2)
(*)
Bu dizinin yakınsak olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için alttan sınırlı olduğunu ve artmadığını gösteriyoruz. Bu durumda eşitsizliği kullanırız. 
herkes için 
eşitsizliğin bir sonucu olan 
.
Sahibiz 
bakın eşitsizlik daha yüksek 
yani dizi aşağıda sayıyla sınırlanmıştır 
.
Sonraki, 
beri 
yani sıra artmaz.
Teorem 1'e göre 
, belirttiğimiz X. Eşitlik (*) ile limite geçilmesi 
, alıyoruz
yani 
, Neresi 
(dizideki tüm terimler pozitif olduğundan artı işaretini alıyoruz).
Hesaplamada (*) dizisi kullanılmıştır 
yaklaşık olarak. İçin 
herhangi bir pozitif sayıyı al. Örneğin, bulalım 
. İzin vermek 
. Daha sonra 
,. Böylece, 
.
3)
.
Sahibiz 
. O zamandan beri 
en 
, bir numara var Nöyle ki herkes için 
eşitsizlik geçerli 
. Yani sıra 
, bir sayıdan başlayarak N, azalır ve aşağıda sınırlanır, çünkü 
tüm değerler için N. Bu, Teorem 1'e göre şu anlama gelir: 
. O zamandan beri 
, sahibiz 
.
Bu yüzden, 
.
4)
, Sağ - N
kökler.
Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak şunu göstereceğiz: 
tüm değerler için N. Sahibiz 
. İzin vermek 
. Daha sonra buradan matematiksel tümevarım ilkesine dayanan bir ifade elde ederiz. Bu gerçeği kullanarak şunu buluyoruz: alt dizi 
artar ve yukarıdan sınırlanır. Bu nedenle var çünkü 
.
Böylece, 
.