Tanım: eğer herkes N є N, uyumlu X N є N, sonra şunu söylüyorlar
biçim sayısal alt dizi.
- üyeler diziler
- genel üye diziler
Sunulan tanım, herhangi bir sayı dizisinin sonsuz olması gerektiğini ima eder, ancak tüm üyelerin farklı sayılar olması gerektiği anlamına gelmez.
Sayı dizisi dikkate alınır verildi, dizinin herhangi bir üyesinin bulunabileceği bir yasa belirtilmişse.
Üyeler veya dizi öğeleri (1) tüm doğal sayılarla artan sırada numaralandırılır. n+1 > n-1 için, sayının sayıdan büyük, küçük veya hatta eşit olmasına bakılmaksızın terim terimden sonra gelir (önce gelir).
Tanım: Bir diziyi alan bir x değişkeni (1) değerleri, biz - Meray'i (Böl. Meray) takip ederek - arayacağız seçenek.
Bir okul matematik dersinde seçenekler gibi tam olarak bu türden değişkenleri bulabilirsiniz.
Örneğin, şöyle bir dizi
(aritmetik) veya yazın
(geometrik ilerleme)
Bir veya başka bir ilerlemenin değişken terimi seçenek.
Bir dairenin uzunluğunun belirlenmesiyle bağlantılı olarak, genellikle, kenar sayısının art arda iki katına çıkarılmasıyla bir altıgenden elde edilen, daire içine yazılan normal bir çokgenin çevresini dikkate alırız. Dolayısıyla bu seçenek aşağıdaki değer sırasını alır:
Artan doğrulukla ondalık yaklaşımdan da (dezavantajlı olarak) bahsedelim. Bir dizi değer alır:
ve ayrıca seçeneği sunar.
(1) dizisinden geçen x değişkeni genellikle bu dizinin değişken ("ortak") üyesiyle tanımlanarak gösterilir.
Bazen xn seçeneği doğrudan xn ifadesinin belirtilmesiyle belirtilir; dolayısıyla aritmetik veya geometrik ilerleme durumunda sırasıyla x n =a+(n-1) d veya x n =aq n-1 elde ederiz. Bu ifadeyi kullanarak herhangi bir varyant değerini, önceki değerleri hesaplamadan, verilen sayısına göre anında hesaplayabilirsiniz.
Düzenli yazılı bir çokgenin çevresi için böyle bir genel ifade ancak p sayısının eklenmesiyle mümkündür; genel olarak, düzenli yazılı bir m-gon'un çevresi p m aşağıdaki formülle verilir
Tanım 1: Bir sayı dizisinin (xn) eğer böyle bir sayı varsa, yukarıdan (aşağıdan) sınırlı olduğu söylenir M (T), bu dizinin herhangi bir elemanı için bir eşitsizlik vardır ve M (m) sayısına denir tepe (daha düşük) kenar.
Tanım 2: Bir sayı dizisi (xn), hem üstünden hem de altından sınırlıysa sınırlı olarak adlandırılır; M, m vardır, öyle ki herhangi biri için
A = maksimum (|M|, |m|) olarak gösterelim, o zaman |x n |?A eşitliği için son eşitsizliğin sayısal dizinin koşulu olması durumunda sayısal dizinin sınırlı olacağı açıktır. sınırlı olmak.
Tanım 3: Bir sayı dizisi çağrılır sonsuza kadar büyük herhangi bir A>0 için, tüm n>N ||>A tutmaları için bir N sayısı belirleyebilirsiniz.
Tanım 4: sayı dizisine (b n) denir sonsuza kadar küçük dizisinde, herhangi bir e > 0 için, herhangi bir n > N(e) için eşitsizlik | bn |< е.
Tanım 5: Sayı dizisine (xn) denir yakınsak, (x n - a) dizisinin sonsuz küçük bir dizi olmasını sağlayacak bir a sayısı varsa. Aynı zamanda bir - sınır orijinal sayısal diziler.
Bu tanımdan, tüm sonsuz küçük dizilerin yakınsak olduğu ve bu dizilerin limitinin = 0 olduğu sonucu çıkar.
Yakınsak dizi kavramının sonsuz küçük dizi kavramıyla bağlantılı olması nedeniyle, yakınsak dizi tanımı başka bir biçimde verilebilir:
Tanım 6: sayı dizisine (xn) denir yakınsak a sayısına göre, herhangi bir keyfi küçüklük için, tüm n > N için eşitsizlik varsa
a dizinin limitidir
Çünkü eşdeğerdir ve bu, x n є (a - e; a+ e) aralığına ait olduğu veya aynı olan, e - a noktasının komşuluğuna ait olduğu anlamına gelir. O zaman yakınsak sayı dizisinin başka bir tanımını verebiliriz.
Tanım 7: sayı dizisine (xn) denir yakınsak, eğer bu noktanın yeterince küçük herhangi bir e-komşuluğunda, N sayısından başlayarak bu dizinin herhangi bir elemanının bulunduğu bir a noktası varsa.
Not: Tanımlar (5) ve (6)'ya göre, eğer a (x n) dizisinin limiti ise, o zaman x n - a sonsuz küçük bir dizinin elemanıdır, yani. x n - a = b n, burada b n sonsuz küçük bir dizinin elemanıdır. Sonuç olarak, x n = a + b n ve bu durumda, eğer bir sayısal dizi (x n) yakınsarsa, o zaman bunun her zaman limitinin toplamı ve sonsuz küçük bir dizinin bir öğesi olarak temsil edilebileceğini iddia etme hakkına sahibiz.
Tersi ifade de doğrudur: (xn) dizisinin herhangi bir öğesi, bir sabit sayının ve sonsuz küçük bir dizinin bir öğesinin toplamı olarak temsil edilebiliyorsa, o zaman bu sabit şu şekildedir: sınır verildi diziler.
Tanım 8. Sıra Olumsuz artar (değil azalır), eğer içinse.
Tanım 9. Sıra artar (azalan), eğer içinse.
Tanım 10. Kesinlikle artan veya kesinlikle azalan bir diziye denir monoton sekans.
Monoton bir dizinin limitine ilişkin Weierstrass teoreminin bir kanıtı verilmiştir. Sınırlı ve sınırsız dizilerin durumları dikkate alınır. Weierstrass teoremini kullanarak bir dizinin yakınsamasını kanıtlamanın ve limitini bulmanın gerekli olduğu bir örnek ele alınmıştır.
İçerikAyrıca bakınız: Monoton fonksiyonların limitleri
Herhangi bir monotonik sınırlı dizi (xn) tam üst limite eşit sonlu bir limite sahiptir, destek(xn) azalmayan ve kesin bir alt sınır için, inf(xn) Artmayan bir dizi için
Herhangi bir monotonik sınırsız dizi, azalmayan bir dizi için artı sonsuzluğa ve artmayan bir dizi için eksi sonsuzluğa eşit olan sonsuz bir limite sahiptir.
Kanıt
1) azalmayan sınırlı dizi.
(1.1)
.
Dizi sınırlı olduğundan sonlu bir üst sınırı vardır
.
Bu şu anlama gelir:
- tüm n'ler için,
(1.2) ; - Herhangi bir pozitif sayı için ε'ya bağlı bir sayı vardır, böylece
(1.3) .
.
Burada da (1.3)'ü kullandık. (1.2) ile birleştirildiğinde şunu buluruz:
.
O zamandan beri
,
veya
.
Teoremin ilk kısmı kanıtlandı.
2)
Şimdi sıra şöyle olsun artmayan sınırlı dizi:
(2.1)
hepsi için
Dizi sınırlı olduğundan sonlu bir alt sınırı vardır
.
Bu şu anlama gelir:
- tüm n'ler için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:
(2.2) ; - Herhangi bir pozitif sayı için ε'ya bağlı olarak bir sayı vardır;
(2.3) .
.
Burada da (2.3)'ü kullandık. (2.2)’yi hesaba katarak şunu buluruz:
.
O zamandan beri
,
veya
.
Bu, sayının dizinin limiti olduğu anlamına gelir.
Teoremin ikinci kısmı kanıtlanmıştır.
Şimdi sınırsız dizileri düşünün.
3)
Sıra şöyle olsun sınırsız azalmayan dizi.
Dizi azalmadığı için aşağıdaki eşitsizlikler tüm n'ler için geçerlidir:
(3.1)
.
Dizi azalmayan ve sınırsız olduğundan sağ tarafta sınırsızdır. O zaman herhangi bir M sayısı için, M'ye bağlı olarak bir sayı vardır;
(3.2)
.
Dizi azalmayan olduğundan, o zaman elimizde:
.
Burada da (3.2)'yi kullandık.
.
Bu, dizinin limitinin artı sonsuz olduğu anlamına gelir:
.
Teoremin üçüncü kısmı kanıtlanmıştır.
4) Son olarak, şu durumu düşünün: sınırsız artan olmayan dizi.
Bir öncekine benzer şekilde, dizi artmadığından, o zaman
(4.1)
hepsi için
Dizi artmayan ve sınırsız olduğundan sol tarafta sınırsızdır. O zaman herhangi bir M sayısı için, M'ye bağlı olarak bir sayı vardır;
(4.2)
.
Dizi artmayan olduğundan, o zaman elimizde:
.
Dolayısıyla, herhangi bir M sayısı için M'ye bağlı bir doğal sayı vardır, dolayısıyla tüm sayılar için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:
.
Bu, dizinin limitinin eksi sonsuz olduğu anlamına gelir:
.
Teorem kanıtlandı.
Sorun çözümü örneği
Tüm örnekler Weierstrass teoremini kullanarak dizinin yakınsaklığını kanıtlayın:
,
,
. . . ,
,
. . .
Daha sonra limitini bulun.
Diziyi yinelenen formüller biçiminde temsil edelim:
,
.
Verilen dizinin yukarıdan sınırlandığını kanıtlayalım
(P1) .
Kanıt matematiksel tümevarım yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir.
.
İzin vermek . Daha sonra
.
Eşitsizlik (A1) kanıtlanmıştır.
Dizinin monoton olarak arttığını kanıtlayalım.
;
(P2) .
O zamandan beri kesrin paydası ve paydaki ilk faktör pozitiftir. Dizinin terimlerinin eşitsizlikle (A1) sınırlandırılmasından dolayı ikinci faktör de pozitiftir. Bu yüzden
.
Yani dizi kesinlikle artıyor.
Dizi artan ve yukarıdan sınırlı olduğundan sınırlı bir dizidir. Dolayısıyla Weierstrass teoremine göre bir limiti vardır.
Bu sınırı bulalım. Bunu a ile gösterelim:
.
Şu gerçeği kullanalım
.
Yakınsak dizilerin limitlerinin aritmetik özelliklerini kullanarak bunu (A2)'ye uygulayalım:
.
Koşul kök tarafından sağlanır.