Burada bir dizinin sonlu limitinin tanımına bakacağız. Bir dizinin sonsuza yakınsaması durumu “Sonsuz büyük bir dizinin tanımı” sayfasında tartışılmıştır.
Tanım .
(xn), eğer herhangi bir pozitif sayı için ε > 0
ε'ya bağlı olarak bir N ε doğal sayısı vardır, öyle ki tüm doğal sayılar için n > N ε eşitsizliği
| x n - a|< ε
.
Sıra sınırı şu şekilde gösterilir:
.
Veya adresinde.
Eşitsizliği dönüştürelim:
;
;
.
Açık aralığa (a - ε, a + ε) denir ε - a noktasının komşuluğu.
Limiti olan diziye denir yakınsak dizi. Sıranın da olduğu söyleniyor yakınsar a. Limiti olmayan diziye denir.
farklı
Tanımdan, eğer bir dizinin bir limiti a varsa, a noktasının hangi ε-komşuluğunu seçersek seçelim, bunun dışında dizinin yalnızca sonlu sayıda elemanı olabilir veya hiç olmayabilir (boş küme). . Ve herhangi bir ε-komşusu sonsuz sayıda eleman içerir. Aslında belirli bir ε sayısını verdikten sonra elimizde .
Yani sayıların yer aldığı dizinin tüm elemanları tanım gereği a noktasının ε-komşuluğunda yer alır.
(1)
.
İlk elemanlar herhangi bir yere yerleştirilebilir. Yani, ε-komşusu dışında elementlerden, yani sonlu bir sayıdan fazlası olamaz.
Ayrıca farkın monoton bir şekilde sıfıra doğru yönelmesinin, yani her zaman azalmasının gerekmediğini de not ediyoruz. Monoton olmayan bir şekilde sıfırlanma eğiliminde olabilir: yerel maksimumlara sahip olarak artabilir veya azalabilir. Bununla birlikte, bu maksimumlar, n arttıkça sıfıra doğru yönelmelidir (muhtemelen aynı zamanda monoton olarak da değil).
Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak limitin tanımı şu şekilde yazılabilir: a'nın bir limit olmadığını belirlemekŞimdi a sayısının dizinin limiti olmadığı yönündeki ters ifadeyi düşünün. a numarası dizinin limiti değil
.
, eğer herhangi bir n doğal sayısı için böyle bir doğal m varsa
(2)
.
> n , Ne, şu anlama geliyor
a noktasının böyle bir ε - komşuluğunu seçebilirsiniz, bunun dışında dizinin sonsuz sayıda elemanı olacaktır.
Bir örneğe bakalım. Ortak elemanlı bir dizi verilsin
(3)
Bir noktanın herhangi bir komşuluğu sonsuz sayıda eleman içerir. Ancak bu nokta dizinin limiti değildir, çünkü noktanın herhangi bir komşuluğu aynı zamanda sonsuz sayıda eleman içerir. ε - ε = olan bir noktanın komşuluğunu alalım 1
. (-1, +1)
Bu aralık olacak > 2
.
N'si çift olan ilk eleman dışındaki tüm elemanlar bu aralığa aittir. Ancak tek n'li tüm öğeler bu aralığın dışındadır çünkü x n eşitsizliğini sağlarlar.
.
.
Tek elemanların sayısı sonsuz olduğundan seçilen mahallenin dışında da sonsuz sayıda eleman olacaktır. Dolayısıyla nokta dizinin limiti değildir.
Şimdi bunu (2) numaralı ifadeye sıkı sıkıya bağlı kalarak göstereceğiz. Bu nokta (3) dizisinin bir limiti değildir, çünkü herhangi bir doğal n için eşitsizliğin geçerli olduğu tek bir sayı vardır.
Herhangi bir a noktasının bu dizinin limiti olamayacağı da gösterilebilir. Her zaman a noktasının ne 0 ne de 2 noktasını içermeyen bir ε komşuluğunu seçebiliriz. Ve seçilen mahallenin dışında dizinin sonsuz sayıda elemanı olacaktır.
Eşdeğer tanımε - komşuluk kavramını genişletirsek bir dizinin limitine eşdeğer bir tanım verebiliriz. Eğer ε-komşuluğu yerine a noktasının herhangi bir komşuluğunu içeriyorsa eşdeğer bir tanım elde edeceğiz. 1
Bir noktanın komşuluğunun belirlenmesi 2
a noktasının mahallesi
Bu noktayı içeren herhangi bir açık aralığa denir. Matematiksel olarak mahalle şu şekilde tanımlanır: burada ε
ve ε
- keyfi pozitif sayılar. O halde limitin tanımı aşağıdaki gibi olacaktır.
Sıra sınırının eşdeğer tanımı
- keyfi pozitif sayılar. a sayısına dizinin limiti denir
.
, eğer herhangi bir komşuluğu için, sayıların bulunduğu dizinin tüm elemanları bu mahalleye ait olacak şekilde bir N doğal sayısı varsa.
Bu tanım genişletilmiş biçimde de sunulabilir.
İlk tanıma göre a sayısı dizinin limiti olsun. Bu, herhangi bir pozitif sayı için ε aşağıdaki eşitsizliklerin karşılandığı bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir:
(4)
.
İkinci tanımla a sayısının dizinin limiti olduğunu gösterelim. Yani herhangi bir pozitif sayı için ε şeklinde bir fonksiyonun var olduğunu göstermemiz gerekir. 1
ve ε 2
aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
(5)
.
İki pozitif sayı alalım: ε 1
ve ε 2
.
.
Ve bunların en küçüğü ε olsun: .
Daha sonra ; ; 1
ve ε 2
.
.
Bunu (5)'te kullanalım: 1
ve ε 2
aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
(5)
.
Ancak eşitsizlikler tatmin edicidir.
.
O zaman eşitsizlik (5) de sağlanır.
Yani, herhangi bir pozitif sayı için (5) eşitsizliklerinin karşılandığı bir fonksiyon bulduk ε
İlk kısım kanıtlandı.
Şimdi a sayısı ikinci tanıma göre dizinin limiti olsun. Bu, herhangi bir pozitif sayı için ε şeklinde bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir.
İlk tanıma göre a sayısının dizinin limiti olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için koymanız gerekir.
Daha sonra aşağıdaki eşitsizlikler geçerli olduğunda:
(1)
.
Bu, ile ilk tanıma karşılık gelir.
.
.
Tanımların denkliği kanıtlanmıştır.
.
.
Örnekler
.
Burada belirli bir a sayısının bir dizinin limiti olduğunu kanıtlamamız gereken birkaç örneğe bakacağız. Bu durumda, keyfi bir pozitif sayı ε belirtmeniz ve eşitsizliğin herkes için karşılanacağı şekilde bir N/ε fonksiyonu tanımlamanız gerekir.
.
Örnek 1
Bunu kanıtla.
.
Bizim durumumuzda;
(1)
.
Eşitsizliklerin özelliklerini kullanalım. O zaman ve ise
.
Daha sonra
.
Tanımların denkliği kanıtlanmıştır.
.
Bu, sayının verilen dizinin limiti olduğu anlamına gelir:
.
Örnekler
.
.
Örnek 2
.
Bir dizinin limitinin tanımını kullanarak şunu kanıtlayın:
Bir dizinin limitinin tanımını yazalım:
.
Bizim durumumuzda; = 1, 2, 3, ...
Pozitif sayıları girin ve:
.
Bizim durumumuzda;
(1)
.
Yani, herhangi bir pozitif için, aşağıdakilerden büyük veya ona eşit olan herhangi bir doğal sayıyı alabiliriz:
.
Örnek 3
.
Bu, sayının verilen dizinin limiti olduğu anlamına gelir:
.
, notasyonunu tanıtıyoruz.
.
Farkı dönüştürelim:
.
Doğal n için
sahibiz:
.
Bizim durumumuzda;
(1)
.
Eşitsizliklerin özelliklerini kullanalım. O zaman ve ise
.
Daha sonra
.
Örnek 3
.
Bu, sayının verilen dizinin limiti olduğu anlamına gelir:
.
Örnekler
.
Farkı dönüştürelim:
.
Pozitif sayıları girin ve:
O zaman ve ise
Aynı zamanda
Bu, sayının dizinin limiti olduğu anlamına gelir:Örnek 4 Bir dizinin limitinin tanımını kullanarak şunu kanıtlayın: Kullanılan literatür: Bir dizinin limitinin tanımını kullanarak şunu kanıtlayın:.
L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 2003. SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.İşlev sınırı - sayı bu noktada x 0, eğer fonksiyonun tanım kümesindeki herhangi bir nokta dizisi eşit değilse x 0 ve bu noktaya yakınlaşan x 0 (lim x n = x0), karşılık gelen fonksiyon değerlerinin sırası sayıya yakınsar SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983..
Sonsuza giden bir argüman verildiğinde limiti şuna eşit olan bir fonksiyonun grafiği: L:
Anlam Aöyle fonksiyonun limiti (sınır değeri) f(x) bu noktada x 0 herhangi bir nokta dizisi olması durumunda 
, birleşen x 0, ancak içermeyen x 0 unsurlarından biri olarak (yani delinmiş bölgede) x 0), fonksiyon değerleri dizisi 
yakınsar SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983..
Cauchy fonksiyonunun limiti.
Anlam SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983. olacak fonksiyonun sınırı f(x) bu noktada x 0 negatif olmayan herhangi bir sayı için önceden alınmışsa ε karşılık gelen negatif olmayan sayı bulunacaktır δ = δ(ε) öyle ki her argüman için X, koşulu karşılayan 0 < | x - x0 | < δ eşitsizlik giderilecek | f(x)A |< ε .
Limitin özünü ve onu bulmanın temel kurallarını anlarsanız çok basit olacaktır. Fonksiyonun limiti nedir F (X) en X için çabalamak Bir dizinin limitinin tanımını kullanarak şunu kanıtlayın: eşittir SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983., şu şekilde yazılır:
Ayrıca değişkenin yöneldiği değer X, yalnızca bir sayı değil aynı zamanda sonsuz (∞) olabilir, bazen +∞ veya -∞ olabilir ya da hiç limit olmayabilir.
Nasıl olduğunu anlamak için bir fonksiyonun sınırlarını bulmaÇözüm örneklerine bakmak en iyisidir.
Fonksiyonun limitlerini bulmak gerekiyor F (x) = 1/Xşurada:
X→ 2, X→ 0, X→ ∞.
İlk limite bir çözüm bulalım. Bunu yapmak için basitçe değiştirebilirsiniz X eğilimi olan sayı, yani 2, şunu elde ederiz:
Fonksiyonun ikinci limitini bulalım. Burada bunun yerine saf 0'ı kullanın X imkansız çünkü 0'a bölemezsiniz. Fakat sıfıra yakın değerler alabiliriz örneğin 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 vb. ve fonksiyonun değeri F (X) artacak: 100; 1000; 10000; 100.000 vb. Böylece, ne zaman olduğu anlaşılabilir. X→ 0 limit işaretinin altındaki fonksiyonun değeri sınırsız olarak artacaktır yani. sonsuzluğa doğru çabala. Bunun anlamı:
Üçüncü sınıra gelince. Önceki durumda olduğu gibi aynı durum, ikame edilemez ∞ en saf haliyle. Sınırsız artış durumunu dikkate almamız gerekiyor X. 1000'i birer birer yerine koyuyoruz; 10000; 100000 ve benzeri, fonksiyonun değerine sahibiz F (x) = 1/X azalacak: 0,001; 0,0001; 0,00001; ve benzeri, sıfıra doğru yönelerek. Bu yüzden:
Fonksiyonun limitini hesaplamak gerekir 
İkinci örneği çözmeye başladığımızda belirsizlik görüyoruz. Buradan pay ve paydanın en yüksek derecesini buluyoruz - bu x 3, pay ve paydadaki parantezlerden çıkarırız ve ardından şu şekilde azaltırız:
Cevap 
İlk adım bu sınırı bulmak, bunun yerine 1 değerini değiştirin X bu da belirsizliğe yol açıyor. Bunu çözmek için payı çarpanlara ayıralım ve bunu ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma yöntemini kullanarak yapalım. x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ d=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x 2= 1.
Yani pay şöyle olacaktır:
Cevap 
Bu, onun belirli değerinin veya fonksiyonun düştüğü, sınırla sınırlı olan belirli bir alanın tanımıdır.
Sınırları çözmek için kuralları izleyin:
Özünü ve ana noktasını anladıktan sonra limit çözme kuralları, bunları nasıl çözeceğinize dair temel bir anlayışa sahip olacaksınız.
Matematik dünyayı inşa eden bilimdir. Hem bilim adamı hem de sıradan insan - hiç kimse onsuz yapamaz. Önce küçük çocuklara sayma, sonra toplama, çıkarma, çarpma ve bölme öğretilir; ortaokula gelindiğinde harf sembolleri devreye girer ve lisede artık bunlardan kaçınılamaz.
Ancak bugün bilinen tüm matematiğin neye dayandığından bahsedeceğiz. "Sıra sınırları" adı verilen bir sayı topluluğu hakkında.
Diziler nedir ve limitleri nerededir?
“Sıra” kelimesinin anlamını yorumlamak zor değildir. Bu, birisinin veya bir şeyin belirli bir sırada veya sırada yer aldığı şeylerin bir düzenlemesidir. Örneğin hayvanat bahçesine bilet kuyruğu bir dizidir. Ve sadece bir tane olabilir! Örneğin mağazadaki sıraya bakarsanız, bu bir sıradır. Ve eğer bu kuyruktan bir kişi aniden ayrılırsa, o zaman bu farklı bir kuyruk, farklı bir düzendir.
"Sınır" kelimesi de kolayca yorumlanır - bu bir şeyin sonudur. Ancak matematikte dizilerin sınırları, sayı dizisinin yöneldiği sayı doğrusu üzerindeki değerlerdir. Neden çabalıyor ve bitmiyor? Çok basit, sayı doğrusunun sonu yok ve ışınlar gibi çoğu dizinin yalnızca bir başlangıcı var ve şöyle görünüyor:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Dolayısıyla bir dizinin tanımı doğal argümanın bir fonksiyonudur. Daha basit bir deyişle, bu belirli bir kümenin bir dizi üyesidir.
Sayı dizisi nasıl oluşturulur?
Basit bir sayı dizisi örneği şu şekilde görünebilir: 1, 2, 3, 4, …n…
Çoğu durumda, pratik amaçlar için, diziler sayılardan oluşturulur ve dizideki her bir sonraki üyenin, X olarak gösterelim, kendi adı vardır. Örneğin:
x1 dizinin ilk üyesidir;
x 2 dizinin ikinci terimidir;
x 3 üçüncü terimdir;
x n n'inci terimdir.
Pratik yöntemlerde sıra, belirli bir değişkenin bulunduğu genel bir formülle verilir. Örneğin:
X n =3n ise sayı dizisi şu şekilde görünecektir:
Genel olarak dizileri yazarken yalnızca X değil, herhangi bir Latin harfini kullanabileceğinizi hatırlamakta fayda var. Örneğin: y, z, k, vb.
Dizilerin bir parçası olarak aritmetik ilerleme
Dizilerin sınırlarını aramadan önce, herkesin ortaokulda karşılaştığı böyle bir sayı dizisi kavramının derinliklerine dalmanız tavsiye edilir. Aritmetik ilerleme, bitişik terimler arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisidir.
Problem: “a 1 = 15 olsun ve sayı serisinin ilerleme adımı d = 4 olsun. Bu serinin ilk 4 terimini oluşturun"
Çözüm: a 1 = 15 (koşula göre), ilerlemenin (sayı serisi) ilk terimidir.
ve 2 = 15+4=19 ilerlemenin ikinci terimidir.
ve 3 =19+4=23 üçüncü terimdir.
ve 4 =23+4=27 dördüncü terimdir.
Ancak bu yöntemi kullanarak örneğin 125'e kadar büyük değerlere ulaşmak zordur. Özellikle bu tür durumlar için uygulamaya uygun bir formül türetildi: a n =a 1 +d(n-1). Bu durumda 125 =15+4(125-1)=511 olur.
Dizi türleri
Çoğu sekans sonsuzdur, hayatınızın geri kalanında hatırlamaya değer. İki ilginç sayı serisi türü vardır. Birincisi a n =(-1) n formülüyle verilir. Matematikçiler bu diziye sıklıkla flaşör adını verirler. Neden? Sayı serisini kontrol edelim.
1, 1, -1, 1, -1, 1 vb. Böyle bir örnekle dizilerdeki sayıların kolaylıkla tekrarlanabileceği açıkça ortaya çıkıyor.
Faktöriyel dizi. Tahmin etmesi kolaydır; diziyi tanımlayan formül bir faktöriyel içerir. Örneğin: a n = (n+1)!
Daha sonra sıra şöyle görünecek:
a 2 = 1x2x3 = 6;
ve 3 = 1x2x3x4 = 24 vb.
Aritmetik ilerlemeyle tanımlanan bir diziye, tüm terimleri için -1 eşitsizliği gözlemleniyorsa sonsuz azalan dizi denir ve 3 = - 1/8 vb. Aynı sayıdan oluşan bir dizi bile var. Yani n=6 sonsuz sayıda altılı sayılardan oluşur. Dizi limitleri matematikte uzun süredir mevcuttur. Elbette kendi yetkin tasarımlarını hak ediyorlar. Artık dizi sınırlarının tanımını öğrenmenin zamanı geldi. Öncelikle doğrusal bir fonksiyonun limitine ayrıntılı olarak bakalım: Bir dizinin limitinin tanımının şu şekilde formüle edilebileceğini anlamak kolaydır: bu, dizinin tüm üyelerinin sonsuz olarak yaklaştığı belirli bir sayıdır. Basit bir örnek: a x = 4x+1. O zaman dizinin kendisi şöyle görünecek. 5, 9, 13, 17, 21…x… Dolayısıyla bu dizi sonsuza kadar artacaktır, yani x→∞ kadar limiti sonsuza eşittir ve şu şekilde yazılmalıdır: Benzer bir dizi alırsak ancak x 1'e eğilimliyse şunu elde ederiz: Ve sayı dizisi şu şekilde olacaktır: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, vb. Her seferinde bire daha yakın olan sayıyı değiştirmeniz gerekir (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Bu seriden fonksiyonun limitinin beş olduğu açıktır. Bu bölümden sayısal dizinin limitinin ne olduğunu, basit problemleri çözmenin tanımını ve yöntemini hatırlamakta fayda var. Sayı dizisinin limitini, tanımını ve örneklerini inceledikten sonra daha karmaşık bir konuya geçebilirsiniz. Kesinlikle dizilerin tüm sınırları, genellikle ilk yarıyılda analiz edilen tek bir formülle formüle edilebilir. Peki bu harf, modül ve eşitsizlik işaretleri kümesi ne anlama geliyor? ∀ evrensel bir niceleyicidir ve “herkes için”, “her şey için” vb. ifadelerin yerine geçer. ∃ varoluşsal bir niceleyicidir, bu durumda doğal sayılar kümesine ait bir N değerinin olduğu anlamına gelir. N'yi takip eden uzun dikey çubuk, verilen N kümesinin "öyle" olduğu anlamına gelir. Pratikte "öyle ki", "öyle ki" vb. anlamına gelebilir. Materyali güçlendirmek için formülü yüksek sesle okuyun. Yukarıda tartışılan dizilerin limitini bulma yöntemi, kullanımı basit olmasına rağmen pratikte o kadar rasyonel değildir. Bu fonksiyonun sınırını bulmaya çalışın: Farklı “x” değerlerini değiştirirsek (her seferinde artar: 10, 100, 1000, vb.), o zaman payda ∞, paydada da ∞ elde ederiz. Bu oldukça garip bir kesirle sonuçlanır: Peki bu gerçekten böyle mi? Bu durumda bir sayı dizisinin limitini hesaplamak oldukça kolay görünmektedir. Her şeyi olduğu gibi bırakmak mümkün olacaktır çünkü cevap hazırdır ve makul koşullar altında alınmıştır, ancak bu tür durumlar için özel olarak başka bir yol daha vardır. Öncelikle kesrin payındaki en yüksek dereceyi bulalım - bu 1'dir, çünkü x, x 1 olarak temsil edilebilir. Şimdi paydanın en yüksek derecesini bulalım. Ayrıca 1. Hem payı hem de paydayı değişkene en yüksek dereceye kadar bölelim. Bu durumda kesri x 1'e bölün. Daha sonra değişken içeren her bir terimin hangi değere yöneldiğini bulacağız. Bu durumda kesirler dikkate alınır. X→∞ olduğundan her kesrin değeri sıfıra doğru yönelir. Çalışmanızı yazılı olarak teslim ederken aşağıdaki dipnotları vermelisiniz: Bu, aşağıdaki ifadeyle sonuçlanır: Elbette x içeren kesirler sıfır olmadı! Ancak değerleri o kadar küçüktür ki, hesaplamalarda dikkate alınmamasına tamamen izin verilir. Aslında bu durumda x hiçbir zaman 0'a eşit olmayacaktır çünkü sıfıra bölemezsiniz. Profesörün, açıkça eşit derecede karmaşık bir formülle verilen karmaşık bir diziyi elinde bulundurduğunu varsayalım. Profesör cevabı buldu ama doğru mu? Sonuçta bütün insanlar hata yapar. Auguste Cauchy bir zamanlar dizilerin sınırlarını kanıtlamanın mükemmel bir yolunu buldu. Onun yöntemine mahalle manipülasyonu adı verildi. Diyelim ki belirli bir a noktası var ve bu noktanın sayı doğrusu üzerinde her iki yöndeki komşuluğu ε'ya (“epsilon”) eşit. Son değişken mesafe olduğundan değeri her zaman pozitiftir. Şimdi bir x n dizisi tanımlayalım ve dizinin onuncu teriminin (x 10) a'nın komşuluğunda yer aldığını varsayalım. Bu gerçeği matematik dilinde nasıl yazabiliriz? Diyelim ki x 10 a noktasının sağında, o zaman x 10 -a mesafesi<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Şimdi yukarıda tartışılan formülü pratikte açıklamanın zamanı geldi. Herhangi bir limiti için ε>0 eşitsizliği geçerliyse ve tüm komşuluğun kendi doğal sayısı N varsa, belirli bir sayıyı bir dizinin bitiş noktası olarak adlandırmak doğru olur, öyle ki dizinin daha yüksek sayılara sahip tüm üyeleri |x n - a| dizisinin içinde olmalıdır< ε. Böyle bir bilgiyle dizi sınırlarını çözmek ve hazır bir cevabı kanıtlamak veya çürütmek kolaydır. Dizilerin limitlerine ilişkin teoremler teorinin önemli bir bileşenidir ve bunlar olmadan pratik yapmak imkansızdır. Çözme veya kanıtlama sürecini büyük ölçüde kolaylaştırabilecek yalnızca dört ana teorem vardır: Bazen bir sayısal dizinin belirli bir limitini kanıtlamak için ters bir problemi çözmeniz gerekir. Bir örneğe bakalım. Formülde verilen dizinin limitinin sıfır olduğunu kanıtlayın. Yukarıda tartışılan kurala göre, herhangi bir dizi için |x n - a| eşitsizliği<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Belirli bir sayının varlığını göstermek ve dizinin bir limitinin varlığını kanıtlamak için n'yi "epsilon" aracılığıyla ifade edelim. Bu noktada “epsilon” ve “en”in pozitif sayılar olduğunu ve sıfıra eşit olmadığını unutmamak gerekir. Artık lisede eşitsizliklerle ilgili kazanılan bilgileri kullanarak daha fazla dönüşüme devam etmek mümkün. n > -3 + 1/ε olduğu nasıl ortaya çıkıyor? Doğal sayılardan bahsettiğimizi hatırlamakta fayda var, köşeli parantez içine alınarak sonuç yuvarlanabilir. Böylece a = 0 noktasının “epsilon” komşuluğunun herhangi bir değeri için başlangıç eşitsizliğini sağlayacak bir değerin bulunduğu kanıtlanmıştır. Buradan a sayısının belirli bir dizinin limiti olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Q.E.D. Bu kullanışlı yöntem, ilk bakışta ne kadar karmaşık olursa olsun, sayısal bir dizinin limitini kanıtlamak için kullanılabilir. Önemli olan görevi gördüğünüzde paniğe kapılmamak. Pratikte bir tutarlılık sınırının varlığı gerekli değildir. Gerçekten sonu olmayan sayı dizilerine kolaylıkla rastlayabilirsiniz. Örneğin aynı “yanıp sönen ışık” x n = (-1) n. Döngüsel olarak tekrarlanan yalnızca iki rakamdan oluşan bir dizinin limitinin olamayacağı açıktır. Aynı hikaye, tek sayıdan oluşan, kesirli olan, hesaplamalar sırasında herhangi bir sıranın belirsizliği olan (0/0, ∞/∞, ∞/0 vb.) dizilerle tekrarlanır. Ancak yanlış hesaplamaların da meydana geldiğini unutmamak gerekir. Bazen kendi çözümünüzü tekrar kontrol etmek dizi sınırını bulmanıza yardımcı olabilir. Yukarıda birkaç dizi örneği ve bunları çözme yöntemleri tartışılmıştı; şimdi daha spesifik bir durumu ele almaya çalışalım ve buna "monotonik dizi" adını verelim. Tanım: Herhangi bir dizi, eğer katı xn eşitsizliği geçerliyse, haklı olarak monoton artan olarak adlandırılabilir.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Bu iki koşulun yanı sıra benzer katı olmayan eşitsizlikler de vardır. Buna göre x n ≤ x n +1 (azalan olmayan dizi) ve x n ≥ x n +1 (artan olmayan dizi). Ancak bunu örneklerle anlamak daha kolaydır. x n = 2+n formülüyle verilen dizi aşağıdaki sayı dizisini oluşturur: 4, 5, 6 vb. Bu monoton olarak artan bir dizidir. Ve x n =1/n alırsak şu diziyi elde ederiz: 1/3, ¼, 1/5, vb. Bu monoton olarak azalan bir dizidir. Sınırlı dizi, limiti olan bir dizidir. Yakınsak bir dizi, sonsuz küçük bir limite sahip bir sayı dizisidir. Dolayısıyla sınırlı bir dizinin limiti herhangi bir gerçek veya karmaşık sayıdır. Yalnızca bir sınırın olabileceğini unutmayın. Yakınsak bir dizinin limiti sonsuz küçük (gerçek veya karmaşık) bir miktardır. Bir dizi diyagramı çizerseniz, belirli bir noktada birleşiyor gibi görünecek, belirli bir değere dönüşme eğiliminde olacaktır. Bu nedenle adı - yakınsak dizi. Böyle bir dizinin bir sınırı olabilir veya olmayabilir. Öncelikle limitin ne zaman var olduğunu anlamakta fayda var; limitin yokluğunu ispatlamaya buradan başlayabilirsiniz. Monotonik diziler arasında yakınsak ve ıraksak olanlar ayırt edilir. Yakınsak, x kümesi tarafından oluşturulan ve bu kümede gerçek veya karmaşık bir limiti olan bir dizidir. Iraksak, kümesinde sınırı olmayan (ne gerçek ne de karmaşık) bir dizidir. Ayrıca, geometrik gösterimde üst ve alt limitleri yakınsa, dizi yakınsar. Yakınsak bir dizinin limiti birçok durumda sıfır olabilir, çünkü herhangi bir sonsuz küçük dizinin bilinen bir limiti (sıfır) vardır. Hangi yakınsak diziyi alırsanız alın, bunların hepsi sınırlıdır, ancak tüm sınırlı diziler yakınsak değildir. İki yakınsak dizinin toplamı, farkı ve çarpımı da bir yakınsak dizidir. Ancak bölüm, eğer tanımlanmışsa yakınsak da olabilir! Sıra sınırları (çoğu durumda) rakamlar ve sayılar kadar önemlidir: 1, 2, 15, 24, 362 vb. Bazı işlemlerin sınırlarla gerçekleştirilebildiği ortaya çıktı. Birincisi, sayılar ve sayılar gibi, herhangi bir dizinin sınırları da toplanıp çıkarılabilir. Dizilerin limitlerine ilişkin üçüncü teoreme dayanarak aşağıdaki eşitlik geçerlidir: Dizilerin toplamının limiti, limitlerinin toplamına eşittir. İkinci olarak, dizilerin limitlerine ilişkin dördüncü teoreme göre aşağıdaki eşitlik doğrudur: n'inci sayıdaki dizilerin çarpımının limiti, limitlerinin çarpımına eşittir. Aynı durum bölme için de geçerlidir: İki dizinin bölümünün limiti, limitin sıfır olmaması koşuluyla limitlerinin bölümüne eşittir. Sonuçta, eğer dizilerin limiti sıfıra eşitse, sonuç sıfıra bölünme olacaktır ki bu imkansızdır. Sayısal dizinin limiti zaten ayrıntılı olarak tartışılmış gibi görünüyor, ancak "sonsuz derecede küçük" ve "sonsuz derecede büyük" sayılar gibi ifadelerden birden fazla kez bahsediliyor. Açıkçası, eğer x→∞ olmak üzere 1/x dizisi varsa, o zaman böyle bir kesir sonsuz küçüktür ve eğer aynı dizi ancak limit sıfıra doğru yöneliyorsa (x→0), o zaman kesir sonsuz büyük bir değer haline gelir. Ve bu miktarların kendine has özellikleri vardır. Herhangi bir küçük veya büyük değere sahip bir dizinin limitinin özellikleri aşağıdaki gibidir: Aslında, eğer basit bir algoritma biliyorsanız, bir dizinin limitini hesaplamak o kadar da zor bir iş değildir. Ancak tutarlılığın sınırları azami dikkat ve azim gerektiren bir konudur. Elbette bu tür ifadelerin çözümünün özünü basitçe kavramak yeterlidir. Küçükten başlayarak zamanla büyük boyutlara ulaşabilirsiniz. Limitler tüm matematik öğrencilerine pek çok sorun yaşatır. Bir limiti çözmek için bazen çok sayıda hile kullanmanız ve çeşitli çözüm yöntemleri arasından tam olarak belirli bir örnek için uygun olanı seçmeniz gerekir. Bu yazıda yeteneklerinizin sınırlarını anlamanıza veya kontrolün sınırlarını anlamanıza yardımcı olmayacağız, ancak şu soruyu cevaplamaya çalışacağız: Yüksek matematikte sınırlar nasıl anlaşılır? Anlamak deneyimle birlikte gelir, bu nedenle aynı zamanda açıklamalarla birlikte limit çözme konusunda birkaç ayrıntılı örnek vereceğiz. İlk soru şu: Bu sınır nedir ve neyin sınırı? Sayısal dizilerin ve fonksiyonların limitlerinden bahsedebiliriz. Bir fonksiyonun limiti kavramıyla ilgileniyoruz çünkü öğrencilerin en sık karşılaştığı şey bu. Ama önce limitin en genel tanımı: Diyelim ki bazı değişken değerler var. Değişim sürecindeki bu değer sınırsız olarak belirli bir sayıya yaklaşıyorsa Bir dizinin limitinin tanımını kullanarak şunu kanıtlayın:
, O Bir dizinin limitinin tanımını kullanarak şunu kanıtlayın:
– bu değerin sınırı. Belirli bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyon için f(x)=y
böyle bir sayıya limit denir SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.
, fonksiyonun yöneldiği zaman X
belli bir noktaya doğru yönelen A
. Nokta A
fonksiyonun tanımlandığı aralığa aittir. Kulağa hantal gelebilir ama çok basit bir şekilde yazılmıştır: Lim- İngilizce'den sınır- sınır. Limitin belirlenmesine ilişkin geometrik bir açıklama da var ancak konunun teorik yönünden ziyade pratik tarafıyla ilgilendiğimiz için burada teoriye girmeyeceğiz. Bunu söylediğimizde X
bir değere eğilimlidir; bu, değişkenin bir sayının değerini almadığı, ancak ona sonsuz derecede yaklaştığı anlamına gelir. Spesifik bir örnek verelim. Görev sınırı bulmaktır. Bu örneği çözmek için değeri yerine koyarız x=3
bir fonksiyona dönüşür. Şunu elde ederiz: Bu arada, eğer ilgileniyorsanız, bu konuyla ilgili ayrı bir makale okuyun. Örneklerde X
herhangi bir değere yönelebilir. Herhangi bir sayı veya sonsuz olabilir. İşte bir örnek: X
sonsuza doğru yönelir: Sezgisel olarak paydadaki sayı ne kadar büyük olursa fonksiyonun alacağı değer o kadar küçük olur. Yani sınırsız büyümeyle X
Anlam 1/x
azalacak ve sıfıra yaklaşacaktır. Gördüğünüz gibi, limiti çözmek için, çaba göstereceğiniz değeri fonksiyona koymanız yeterlidir. X
. Ancak bu en basit durumdur. Çoğu zaman sınırı bulmak o kadar açık değildir. Sınırlar dahilinde türde belirsizlikler var 0/0
veya sonsuzluk/sonsuzluk
. Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hileler kullanın! Bir sınır olsun: Fonksiyonun yerine sonsuzu koymaya çalışırsak hem payda hem de paydada sonsuzluk elde ederiz. Genel olarak, bu tür belirsizlikleri çözmenin belli bir sanat unsurunun olduğunu söylemekte fayda var: işlevi belirsizliği ortadan kaldıracak şekilde nasıl dönüştürebileceğinize dikkat etmeniz gerekiyor. Bizim durumumuzda pay ve paydayı şuna böleriz: X
son sınıfta. Ne olacak? Yukarıda tartışılan örnekten, paydasında x bulunan terimlerin sıfıra yöneleceğini biliyoruz. O halde limitin çözümü: Tür belirsizliklerini çözmek için sonsuzluk/sonsuzluk pay ve paydayı şuna böl: X en yüksek derecede. Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var. Her zaman olduğu gibi, değerleri fonksiyona koymak x=-1
verir 0
pay ve paydada. Biraz daha yakından baktığınızda payda ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu fark edeceksiniz. Kökleri bulalım ve yazalım: Azaltalım ve elde edelim: Dolayısıyla, tür belirsizliğiyle karşı karşıya kalırsanız 0/0
– pay ve paydayı çarpanlarına ayırın. Örnekleri çözmenizi kolaylaştırmak için bazı fonksiyonların limitlerini içeren bir tablo sunuyoruz: Her iki belirsizlik türünü de ortadan kaldırmanın bir başka güçlü yolu. Yöntemin özü nedir? Limitte belirsizlik varsa belirsizlik ortadan kalkana kadar pay ve paydanın türevini alın. L'Hopital kuralı şuna benzer: Önemli nokta
: Pay ve payda yerine pay ve paydanın türevlerinin bulunması gereken limit. Ve şimdi - gerçek bir örnek: Tipik bir belirsizlik var 0/0
. Pay ve paydanın türevlerini alalım: Voila, belirsizlik hızlı ve zarif bir şekilde çözülür. Bu bilgiyi pratikte faydalı bir şekilde uygulayabileceğinizi ve "yüksek matematikte limitlerin nasıl çözüleceği" sorusunun cevabını bulabileceğinizi umuyoruz. Bir dizinin limitini veya bir fonksiyonun bir noktadaki limitini hesaplamanız gerekiyorsa ancak bu iş için kesinlikle zamanınız yoksa, hızlı ve ayrıntılı bir çözüm için profesyonel bir öğrenci servisiyle iletişime geçin. (X) x noktasında 0
: burada x 0
ve a sonlu sayılar veya sonsuzdaki noktalar olabilir. Mahalle iki taraflı olabileceği gibi tek taraflı da olabilir. a sayısına f fonksiyonunun limiti denir (X) x noktasında 0
: Puan x 0
ve a sonlu sayılar veya sonsuzdaki noktalar olabilir. Mahalle aynı zamanda çift yönlü veya tek yönlü de olabilir. Bu tanımı varoluş ve evrensellik mantıksal sembollerini kullanarak yazalım: Bu tanımda uçları eşit uzaklıkta olan mahalleler kullanılmaktadır. Noktaların rastgele komşulukları kullanılarak eşdeğer bir tanım verilebilir. Rastgele mahalleleri kullanan tanım Varlık ve evrensellik mantıksal simgeleri kullanılarak bu tanım şu şekilde yazılabilir: Yukarıdaki tanımlar her türlü mahalle için kullanılabilmesi açısından evrenseldir. Bitiş noktasının sol taraftaki delinmiş komşuluğunu kullanırsak, sol taraftaki bir limitin tanımını elde ederiz. Sonsuzdaki bir noktanın komşuluğunu komşuluk olarak kullanırsak, sonsuzdaki limitin tanımını elde ederiz. Heine sınırını belirlemek için bu, keyfi bir diziye yakınsayan ek bir kısıtlamanın getirilmesi gerçeğine iner: elemanları noktanın karşılık gelen delinmiş mahallesine ait olmalıdır. A noktasının bir fonksiyonun limiti olmadığını belirlemek (X)Çoğu zaman, a noktasının fonksiyonun 'deki limiti olmadığı koşulunu kullanmak gerekli hale gelir. 0
Yukarıdaki tanımlara olumsuzlamalar oluşturalım. Bunlarda f fonksiyonunun olduğunu varsayıyoruz. 0
x noktasının bazı delinmiş komşuluklarında tanımlanır .. unsurları mahalleye ait olan,. Elbette a noktası bir fonksiyonun daki limiti değilse bu onun limiti olamayacağı anlamına gelmez. Bir limit olabilir ama a'ya eşit değildir. Fonksiyonun noktanın delinmiş bir komşuluğunda tanımlanmış olması ancak noktasında bir limitinin olmaması da mümkündür. İşlev f(x) = sin(1/x) x → 0 olduğundan limiti yoktur. 0
Örneğin, bir fonksiyon 'da tanımlıdır ancak herhangi bir limit yoktur. Bunu kanıtlamak için diziyi ele alalım. Aynı zamanda şu noktaya da yaklaşıyor: Ama o zamandan beri. O halde limit herhangi bir a sayısına eşit olamaz. Bu nedenle sıfırdan farklı herhangi bir sayı sınır değildir. Ancak bu aynı zamanda bir sınır da değildir, çünkü bir dizi vardır. Teorem Bir fonksiyonun limitinin Heine ve Cauchy tanımları eşdeğerdir. Kanıt Heine'nin kanıtı ⇒ Cauchy'nin kanıtı dizinin limiti a'dır: Tam tersini varsayalım. (1) ve (2) koşullarının karşılanmasına izin verin, ancak fonksiyonun Cauchy limiti yoktur. Yani herkes için var olan bir şey vardır. Delinmiş mahalleye ait olan ve 'ye yakınsayan keyfi bir diziyi alalım. Bu herkes için geçerli olduğuna göre, Pozitif sayıları girin ve: Sıra Limitinin Belirlenmesi
Dizilerin limiti için genel tanım
Sınırın belirsizliği ve kesinliği
Mahalle nedir?
Teoremler
Dizilerin kanıtı
Ya da belki orada değildir?
Monoton dizi
Yakınsak ve sınırlı bir dizinin limiti
Monotonik bir dizinin limiti
Sınırlı çeşitli eylemler
Sıra miktarlarının özellikleri
Matematikte limit kavramı
İçerideki belirsizlikler
Sonsuzluk/sonsuzluk formunun belirsizliği
Başka bir belirsizlik türü: 0/0
L'Hopital'in kuralı içeride
,
Eğer
1) x noktasının böyle delinmiş bir komşuluğu var 0
2) herhangi bir dizi için (xn), x'e yakınsıyor 0
:
Unsurları mahalleye ait olan,
alt dizi (f(xn))şuna yakınsar:
.
.
Bir fonksiyonun limitinin ikinci tanımı (Cauchy'ye göre)
,
Eğer
1) x noktasının böyle delinmiş bir komşuluğu var 0
işlevin tanımlandığı yer;
2) herhangi bir pozitif sayı için ε > 0
öyle bir sayı var ki δ ε > 0
ε'ya bağlı olarak, x noktasının delinmiş δ ε - mahallesine ait tüm x'ler için 0
:
,
fonksiyon değerleri f (X) a noktasının ε-komşuluğuna aittir:
.
.
a sayısına f fonksiyonunun limiti denir (X) x noktasında 0
:
,
Eğer
1) x noktasının böyle delinmiş bir komşuluğu var 0
işlevin tanımlandığı yer;
2) herhangi bir U mahallesi için (A) a noktasının x noktasının delikli bir komşuluğu var 0
x noktasının delinmiş mahallesine ait tüm x'ler için 0
:
,
fonksiyon değerleri f (X) U mahallesine ait (A) puan a:
.
.
Tek taraflı ve iki taraflı limitler
Cauchy limitini belirlemek için her durumda bir noktanın komşuluğunun uygun tanımlarını kullanarak ifadeleri eşitsizliklere dönüştürmek gerekir.Bkz. "Bir noktanın komşuluğu".
a ve x noktaları sonlu sayılar veya sonsuz uzaklıkta olabilir. Aşağıda belirtilenler hem ikili hem de tek taraflı sınırlar için geçerlidir. Heine'e göre (X) x noktasında 0
:
,
a numarası (xn) değil 0
:
,
f fonksiyonunun limiti
eğer böyle bir dizi mevcutsa (f(xn)), x'e yakınsıyor
.
.
a ve x noktaları sonlu sayılar veya sonsuz uzaklıkta olabilir. Aşağıda belirtilenler hem ikili hem de tek taraflı sınırlar için geçerlidir. Heine'e göre (X) x noktasında 0
:
,
eğer böyle bir pozitif sayı varsa ε > 0
yani herhangi bir pozitif sayı için δ > 0
x noktasının delinmiş δ-komşuluğuna ait bir x vardır 0
:
,
f fonksiyonunun değeri (X) a noktasının ε-komşuluğuna ait değildir:
.
.
Bir noktada birleşiyor 0
: .
Çünkü o zaman.Sırayı ele alalım.
: .Gerçekten de , için bir dizi var.
(1)
,
Limitin Heine ve Cauchy tanımlarının eşdeğerliği
(2)
.
.
.
İspatta, fonksiyonun bir noktanın delinmiş bir komşuluğunda (sonlu veya sonsuzda) tanımlandığını varsayıyoruz. a noktası sonlu veya sonsuzda da olabilir.İlk tanıma göre (Heine'e göre) fonksiyonun bir noktada limiti olsun. Yani bir noktanın komşuluğuna ait olan ve limiti olan herhangi bir dizi için
(3)
Fonksiyonun bir noktada Cauchy limitine sahip olduğunu gösterelim. Yani herkes için herkes için bir şeyler vardır.
n'nin bir doğal sayı olduğu durumunu ele alalım. O zaman var ve
.
Yakınsak bir dizinin tanımı gereği, herhangi biri için mevcut olan
.
O halde (3)'ten şu sonuç çıkar:
.
O zaman ve ise