Sırayı tanımlayın. Sayı dizileri

Eğer herkes doğal sayı n bazılarına atanır gerçek sayı x n ise verildiğini söylüyorlar sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

Sayı X 1'e dizinin bir üyesi denir 1 numara ile veya dizinin ilk terimi, sayı X 2 - dizinin üyesi 2 numara ile veya dizinin ikinci üyesi vb. xn sayısına denir numaralı dizinin üyesi N.

Sayı dizilerini belirtmenin iki yolu vardır - ile ve ile tekrarlanan formül.

Sıra kullanımı bir dizinin genel terimi için formüller– bu bir sıralı görevdir

X 1 , X 2 , … xn , …

xn teriminin n sayısına bağımlılığını ifade eden bir formül kullanarak.

Örnek 1. Numara dizisi

1, 4, 9, … N 2 , …

ortak terim formülü kullanılarak verilir

xn = N 2 , N = 1, 2, 3, …

Bir diziyi, x n dizi üyesini önceki sayıları içeren dizi üyeleri aracılığıyla ifade eden bir formül kullanarak belirtmeye, kullanarak bir dizi belirtme adı verilir. tekrarlanan formül.

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde artan sırayla, Dahaönceki üye

Başka bir deyişle herkes için N

X N + 1 >X N

Örnek 3. Doğal sayılar dizisi

1, 2, 3, … N, …

öyle artan dizi.

Tanım 2. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde azalan dizi eğer bu dizinin her bir üyesi azönceki üye

Başka bir deyişle herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

X N + 1 < X N

Örnek 4. Alt sıra

formül tarafından verilen

öyle azalan dizi.

Örnek 5. Numara dizisi

1, - 1, 1, - 1, …

formül tarafından verilen

xn = (- 1) N , N = 1, 2, 3, …

değil ne artıyor ne de azalıyor sekans.

Tanım 3. Artan ve azalan sayı dizilerine denir monoton diziler.

Sınırlı ve Sınırsız Diziler

Tanım 4. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde yukarıda sınırlanmış, eğer bu dizinin her bir üyesini sağlayacak bir M sayısı varsa az sayılar M.

Başka bir deyişle herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

Tanım 5. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde aşağıda sınırlı eğer bu dizinin her bir üyesini sağlayacak bir m sayısı varsa Daha sayılar m.

Başka bir deyişle herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

Tanım 6. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

eğer sınırlıysa denir hem üstü hem de altı sınırlıdır.

Başka bir deyişle, M ve m sayıları vardır, öyle ki herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

M< x n < M

Tanım 7. Sayı dizileri sınırlı değil, isminde sınırsız diziler.

Örnek 6. Numara dizisi

1, 4, 9, … N 2 , …

formül tarafından verilen

xn = N 2 , N = 1, 2, 3, … ,

aşağıda sınırlı, örneğin 0 sayısı. Ancak bu dizi yukarıdan sınırsız.

Örnek 7. Alt sıra

formül tarafından verilen

öyle sınırlı dizi , çünkü herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

Web sitemizde ayrıca Resolventa eğitim merkezi öğretmenleri tarafından Birleşik Devlet Sınavı ve matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlık için geliştirilen eğitim materyallerini de öğrenebilirsiniz.

İyi hazırlanmak ve başarılı olmak isteyen okul çocukları için Matematik veya Rus dilinde Birleşik Devlet Sınavı Açık yüksek puan, eğitim merkezi"Resolventa" yönetiyor

10 ve 11. sınıflardaki okul çocukları için hazırlık kursları

vida sen= F(X), X HAKKINDA N, Nerede N– bir dizi doğal sayı (veya doğal bir argümanın bir fonksiyonu), belirtilen sen=F(N) veya sen 1 ,sen 2 ,…, e-n,…. Değerler sen 1 ,sen 2 ,sen 3 ,… sırasıyla dizinin birinci, ikinci, üçüncü, ... üyeleri olarak adlandırılır.

Örneğin, fonksiyon için sen= N 2 yazılabilir:

sen 1 = 1 2 = 1;

sen 2 = 2 2 = 4;

sen 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Dizileri belirleme yöntemleri. Sıralar belirtilebilir çeşitli şekillerde Bunlardan üçü özellikle önemlidir: analitik, tanımlayıcı ve tekrarlayan.

1. Bir dizinin formülü verilmişse analitik olarak verilmiştir Nüye:

e-n=F(N).

Örnek. e-n= 2N - 1 – tek sayılar dizisi: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Açıklayıcı ayarlama yolu sayı dizisi dizinin hangi unsurlardan oluştuğunu açıklamasıdır.

Örnek 1. "Dizinin tüm terimleri 1'e eşittir." Bu şu anlama gelir, hakkında konuşuyoruz 1, 1, 1, …, 1, … durağan dizisi hakkında.

Örnek 2. “Bir dizi aşağıdakilerden oluşur: asal sayılar artan sırada." Dolayısıyla verilen dizi 2, 3, 5, 7, 11,… şeklindedir. Sırayı belirtmenin bu yöntemiyle bu örnekte Dizinin 1000'inci elemanının neye eşit olduğunu cevaplamak zordur.

3. Bir sırayı belirlemenin yinelenen yöntemi, hesaplamanıza izin veren bir kural belirlemektir. NÖnceki üyeleri biliniyorsa dizinin -th üyesi. Tekrarlayan yöntemin adı şu kaynaktan gelir: Latince kelime tekrarlayan- geri gelmek. Çoğu zaman, bu gibi durumlarda, kişinin ifade etmesine izin veren bir formül belirtilir. N dizinin inci üyesini öncekiler arasında değiştirin ve dizinin 1-2 başlangıç üyesini belirtin.

Örnek 1. sen 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ise N = 2, 3, 4,….

Burada sen 1 = 3; sen 2 = 3 + 4 = 7;sen 3 = 7 + 4 = 11; ….

Bu örnekte elde edilen dizinin analitik olarak da belirlenebileceğini görebilirsiniz: e-n= 4N - 1.

Örnek 2. sen 1 = 1; sen 2 = 1; e-n = e-n –2 + e-n–1 eğer N = 3, 4,….

Burada: sen 1 = 1; sen 2 = 1; sen 3 = 1 + 1 = 2; sen 4 = 1 + 2 = 3; sen 5 = 2 + 3 = 5; sen 6 = 3 + 5 = 8;

Bu örnekte oluşturulan dizi, çok sayıda diziye sahip olduğundan matematikte özel olarak incelenmiştir. ilginç özellikler ve uygulamalar. Adını 13. yüzyıl İtalyan matematikçisinden alan Fibonacci dizisi denir. Fibonacci dizisini tekrarlı olarak tanımlamak çok kolaydır, ancak analitik olarak çok zordur. N Fibonacci sayısı şu şekilde ifade edilir: seri numarası aşağıdaki formül.

İlk bakışta formülü N inci Fibonacci sayısı mantıksız görünüyor, çünkü doğal sayıların dizisini tek başına belirten formül şunu içeriyor: karekökler, ancak bu formülün geçerliliğini ilk birkaç kez "manuel olarak" kontrol edebilirsiniz. N.

Sayı dizilerinin özellikleri.

Numara dizisi – özel durum sayısal fonksiyon bu nedenle diziler için fonksiyonların bazı özellikleri de dikkate alınır.

Tanım . Alt dizi ( e-n} Terimlerinin her biri (birincisi hariç) bir öncekinden büyükse artan denir:

sen 1 y 2 y 3 y n y n +1

Tanım.Sıra ( e-n} Terimlerinin her biri (ilki hariç) bir öncekinden küçükse buna azalan denir:

sen 1 > sen 2 > sen 3 > … > e-n> e-n +1 > … .

Artan ve azalan diziler birleştirilir genel terim– monotonik diziler.

Örnek 1. sen 1 = 1; e-n= N 2 – artan dizi.

Dolayısıyla aşağıdaki teorem doğrudur (aritmetik ilerlemenin karakteristik bir özelliği). Bir sayı dizisinin aritmetik olması ancak ve ancak ilki (ve bu durumda sonuncusu hariç) terimlerinin her birinin geçerli olması durumunda mümkündür. sonlu dizi), önceki ve sonraki terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir.

Örnek. Hangi değerde X sayılar 3 X + 2, 5X– 4 ve 11 X+ 12 sonlu bir aritmetik ilerleme oluşturur mu?

Buna göre karakteristik özellik verilen ifadeler ilişkiyi karşılamalıdır

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Bu denklemi çözmek şunu verir X= –5,5. Bu değerde X verilen ifadeler 3 X + 2, 5X– 4 ve 11 X+12 sırasıyla –14,5 değerlerini alır, –31,5, –48,5. Bu - aritmetik ilerleme farkı -17'dir.

Geometrik ilerleme.

Tüm terimleri sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her bir terimi bir önceki terimden aynı sayı ile çarpılarak elde edilen sayısal dizi Q, isminde geometrik ilerleme ve numara Q- geometrik ilerlemenin paydası.

Dolayısıyla geometrik ilerleme bir sayı dizisidir ( bn), ilişkiler tarafından yinelemeli olarak tanımlanır

B 1 = B, bn = bn –1 Q (N = 2, 3, 4…).

(B Ve Q - Verilen sayılar, B ≠ 0, Q ≠ 0).

Örnek 1. 2, 6, 18, 54, ... – artan geometrik ilerleme B = 2, Q = 3.

Örnek 2. 2, –2, 2, –2, … – geometrik ilerleme B= 2,Q= –1.

Örnek 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrik ilerleme B= 8, Q= 1.

Geometrik ilerleme artan bir dizidir, eğer B 1 > 0, Q> 1 ve eğer azalıyorsa B 1 > 0, 0q

Geometrik ilerlemenin belirgin özelliklerinden biri, eğer dizi geometrik bir ilerleme ise, o zaman kareler dizisi de öyledir;

B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, bn 2,... birinci terimi şuna eşit olan geometrik bir ilerlemedir: B 1 2 ve payda Q 2 .

Formül N- geometrik ilerlemenin inci terimi şu şekildedir

bn= B 1 qn– 1 .

Sonlu bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için bir formül elde edebilirsiniz.

Sonlu bir geometrik ilerleme verilsin

B 1 ,B 2 ,B 3 , …, bn

izin vermek Sn –üyelerinin toplamı, yani

Sn= B 1 + B 2 + B 3 + … +bn.

Öyle kabul ediliyor Q 1 numara. Belirlemek Sn geçerlidir yapay resepsiyon: bazıları idam edildi geometrik dönüşümler ifadeler Snq.

Snq = (B 1 + B 2 + B 3 + … + bn –1 + bn)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ bn+ bnq = Sn+ bnq– B 1 .

Böylece, Snq= Sn +b n q – b 1 ve dolayısıyla

Bu formül ümmet geometrik ilerleme terimlerişu durumda Q≠ 1.

Şu tarihte: Q= 1 formülün ayrı olarak türetilmesi gerekmez; bu durumda; Sn= A 1 N.

İlerlemeye geometrik denir çünkü içindeki her terim, birinci hariç, önceki ve sonraki terimlerin geometrik ortalamasına eşittir. Gerçekten de o zamandan beri

bn=bn- 1 Q;

bn = milyar+ 1 /Q,

buradan, bn 2=bn– 1 bn+ 1 ve aşağıdaki teorem doğrudur (geometrik ilerlemenin karakteristik bir özelliği):

bir sayı dizisi, ilki (ve sonlu bir dizi durumunda sonuncusu) hariç, yalnızca her bir teriminin karesi varsa geometrik bir ilerlemedir, ürüne eşitönceki ve sonraki üyeler.

Tutarlılık sınırı.

Bir sıra olsun ( cn} = {1/N}. Bu diziye harmonik denir, çünkü ikinciden başlayarak terimlerinin her biri önceki ve sonraki terimler arasındaki harmonik ortalamadır. Ortalama geometrik sayılar A Ve B bir numara var

İÇİNDE aksi takdirde diziye ıraksak denir.

Bu tanıma dayanarak örneğin bir limitin varlığı kanıtlanabilir. bir=0 harmonik dizi için ( cn} = {1/N). ε keyfi olarak küçük olsun pozitif sayı. Fark dikkate alınır

Böyle bir şey var mı? N bu herkes için n ≥ N eşitsizlik 1 geçerli /N ? olarak alırsak N bundan büyük herhangi bir doğal sayı 1/ε , o zaman herkes için n ≥ N eşitsizlik 1 geçerli /n ≤ 1/ N ε , Q.E.D.

Belirli bir dizi için bir limitin varlığını kanıtlamak bazen çok zor olabilir. En sık meydana gelen diziler iyi çalışılmış ve referans kitaplarında listelenmiştir. Mevcut önemli teoremler, önceden çalışılmış dizilere dayanarak belirli bir dizi için bir sınırın varlığı hakkında bir sonuca varılmasına (ve hatta hesaplanmasına) olanak tanır.

Teorem 1. Bir dizinin bir limiti varsa, o zaman sınırlıdır.

Teorem 2. Eğer bir dizi monoton ve sınırlıysa bir limiti vardır.

Teorem 3. Eğer dizi ( BİR} bir sınırı var A, ardından diziler ( olabilmek}, {BİR+c) ve (| BİR|} sınırları var CA, A +C, |A| buna göre (burada C– isteğe bağlı sayı).

Teorem 4. Eğer diziler ( BİR} Ve ( bn) eşit sınırlara sahip A Ve B tava + qbn)'in bir sınırı var pA+ qB.

Teorem 5. Eğer diziler ( BİR) Ve ( bn)eşit sınırlara sahip A Ve B buna göre, dizi ( bir n b n)'in bir sınırı var AB.

Teorem 6. Eğer diziler ( BİR} Ve ( bn) eşit sınırlara sahip A Ve B buna göre ve buna ek olarak, bn ≠ 0 ve B≠ 0, ardından sıra ( bir n / b n)'in bir sınırı var A/B.

Anna Chugainova

Sayısal dizinin tanımı verilmiştir. Sonsuz artan, yakınsak ve ıraksak dizilerin örnekleri dikkate alınır. Tüm rasyonel sayıları içeren bir dizi dikkate alınır.

Tanım .
Sayısal dizi (xn) her doğal sayı için n ='yi öngören bir yasadır (kuraldır). 1, 2, 3, . . . belirli bir sayı x n atanır.
xn elemanına denir n'inci terim veya bir dizinin bir öğesi.

Dizi, küme parantezleri içine alınmış n'inci terim olarak gösterilir: .
, , .

Aşağıdaki tanımlamalar da mümkündür: . Bunlar, n indeksinin doğal sayılar kümesine ait olduğunu ve dizinin kendisinin sonsuz sayıda terime sahip olduğunu açıkça belirtirler. İşte bazı örnek diziler: Başka bir deyişle sayı dizisi, tanım alanı doğal sayılar kümesi olan bir fonksiyondur. Dizinin eleman sayısı sonsuzdur. Unsurlar arasında ayrıca sahip üyeler de olabilir.

aynı değerler

. Ayrıca bir dizi, sonsuz sayıda üyeden oluşan numaralı bir sayı kümesi olarak düşünülebilir.

Biz esas olarak n sonsuza doğru yöneldiğinde dizilerin nasıl davrandığı sorusuyla ilgileneceğiz: .

Bu materyal Bir dizinin limiti - temel teoremler ve özellikler bölümünde sunulmaktadır. Burada bazı dizi örneklerine bakacağız.
.
Sıra Örnekleri Sonsuz artan dizi örnekleri Sırayı düşünün.

Şimdi ortak terimli bir dizi düşünün.
.
İşte ilk birkaç üyesi: N sayısı arttıkça bu dizinin elemanları süresiz olarak artar. mutlak değer , ama yok sabit işaret

. Yani, bu dizi şu eğilimdedir: at .

Sonlu bir sayıya yakınsan dizi örnekleri
.
Sırayı düşünün. = 0 Onun ortak üyesi. = 0 İlk terimler aşağıdaki forma sahiptir: > 0 N sayısı arttıkça bu dizinin elemanlarının sınır değerlerine a yaklaştığı görülmektedir.

: . Yani sonraki her terim sıfıra bir öncekinden daha yakındır. Bir anlamda a sayısı için yaklaşık bir değer olduğunu düşünebiliriz.
.
hata ile. = 0 n arttıkça bu hatanın sıfıra doğru yöneldiği, yani n seçilerek hatanın istenildiği kadar küçük yapılabileceği açıktır. Ayrıca verilen herhangi bir hata için ε
.
N:'den büyük sayılara sahip tüm elemanlar için, sayının a sınır değerinden sapması ε: hatasını aşmayacak şekilde bir N sayısı belirleyebilirsiniz. > 0 Sonra sırayı düşünün. = 0 Onun ortak üyesi. = 0 İşte ilk üyelerinden bazıları:

Bu dizide çift sayılı terimler sıfıra eşittir. Tek n'li terimler eşittir.

Bu nedenle n arttıkça değerleri a sınır değerine yaklaşır.

.

.
Bu aynı zamanda şu gerçeğin de sonucudur:
,
Tıpkı önceki örnekte olduğu gibi, keyfi olarak küçük bir hata ε belirleyebiliriz 1 = 0 N'den büyük sayılara sahip elemanların a sınır değerinden sapacağı şekilde bir N sayısı bulmak mümkündür. belirtilen hatayı aşmayan bir miktarda. Bu nedenle bu dizi a değerine yakınsar:
,
Tıpkı önceki örnekte olduğu gibi, keyfi olarak küçük bir hata ε belirleyebiliriz 2 = 2 : .

Iraksak dizi örnekleri

Aşağıdaki ortak terime sahip bir dizi düşünün:
.
İşte ilk üyeleri:
.
Çift sayılı terimlerin olduğu görülebilir:

.
a değerine yakınsama

. Üyeler (0; 1) tek sayılar , bu noktaya keyfi olarak yakın olacak veya onunla çakışacak dizinin üyelerini her zaman bulabiliriz.

Daha sonra orijinal diziden, yakınsayacak bir alt dizi seçilebilir. keyfi nokta aralıktan .

Yani n sayısı arttıkça alt dizinin üyeleri önceden seçilen noktaya giderek yaklaşacaktır. = 0 Örneğin, a noktası için
.
= 0 .

aşağıdaki alt diziyi seçebilirsiniz: = 1 a noktası için
.
Aşağıdaki alt diziyi seçelim: = 1 .

Bu alt dizinin terimleri a değerine yakınsar Yakınsayan alt diziler olduğundan farklı anlamlar

, bu durumda orijinal dizinin kendisi herhangi bir sayıya yakınsamaz.

Tüm rasyonel sayıları içeren dizi

Şimdi tüm rasyonel sayıları içeren bir dizi oluşturalım. Üstelik her rasyonel sayı böyle bir dizide sonsuz sayıda görünecektir. Bir rasyonel sayı r şu şekilde temsil edilebilir::
,
aşağıdaki form
bir tamsayı nerede; - doğal.

Her n doğal sayısını bir p ve q sayı çiftiyle ilişkilendirmemiz gerekir, böylece herhangi bir p ve q çifti dizimize dahil edilir. Bunu yapmak için p ve q eksenlerini düzlemde çizin. P ve q'nun tamsayı değerleri üzerinden ızgara çizgileri çiziyoruz. (0; 0) Daha sonra bu ızgaranın her düğümü karşılık gelecektir < 1 rasyonel sayı

. Rasyonel sayılar kümesinin tamamı bir dizi düğüm tarafından temsil edilecektir. Hiçbir düğümü kaçırmamak için tüm düğümleri numaralandırmanın bir yolunu bulmamız gerekiyor. Düğümleri merkezleri noktada bulunan karelerle numaralandırırsanız bunu yapmak kolaydır.
.
(resme bakın). Bu durumda q olan karelerin alt kısımları buna ihtiyacımız yok. Bu nedenle şekilde gösterilmemiştir. Yani, ilk karenin üst tarafı için elimizde:

.
Sonraki numarayı veriyoruz

.
a değerine yakınsama

üst kısım

aşağıdaki kare: Aşağıdaki karenin üst kısmını numaralandırıyoruz:, bu durumda dizi herhangi bir sayıya yakınsamaz.

Çözüm

Burada sayı dizisinin kesin bir tanımını verdik. Sezgisel fikirlere dayanarak yakınsama konusunu da gündeme getirdik. Tam tanım yakınsama Bir Dizinin Limitinin Belirlenmesi sayfasında tartışılmıştır. İlgili özellikler ve teoremler sayfada belirtilmiştir.

Sayı dizisi kavramı.

Her n doğal sayısının bir n sayısına karşılık geldiğini varsayalım, o zaman sayı dizisi adı verilen bir a n =f(n) fonksiyonunun verildiğini söyleriz. Bir n ,n=1,2,… veya (a n ) ile gösterilir.

a 1 , a 2 , ... sayılarına dizinin üyeleri veya elemanları denir, a n dizinin genel üyesidir, n ise an üyesinin sayısıdır.

Tanım gereği herhangi bir dizi şunları içerir: sonsuz küme unsurlar.

Sayı dizilerine örnekler.

Aritmetik ilerleme - formun sayısal ilerlemesi:

yani, her biri ikinciden başlayarak öncekinden ona sabit bir d sayısı (ilerleme adımı veya farkı) eklenerek elde edilen bir sayı dizisi (ilerleme koşulları):
.

İlerlemenin herhangi bir terimi genel terim formülü kullanılarak hesaplanabilir:

Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir üyesi, ikinciden başlayarak, ilerlemenin önceki ve sonraki üyelerinin aritmetik ortalamasıdır:

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı aşağıdaki formüllerle ifade edilebilir:

k terimiyle başlayan bir aritmetik ilerlemenin ardışık n teriminin toplamı:

Aritmetik ilerlemenin toplamına bir örnek, n'ye kadar olan bir dizi doğal sayının toplamıdır:

Geometrik ilerleme - sayı dizisi
(bir ilerlemenin üyeleri), burada ikinciden başlayarak sonraki her sayı, bir öncekinden belirli bir sayı q (ilerlemenin paydası) ile çarpılarak elde edilir; burada
,
:

Geometrik ilerlemenin herhangi bir terimi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Eğer b 1 > 0 ve q > 1 ise ilerleme artan bir dizidir, eğer 0 ise

İlerleme, adını karakteristik özelliğinden almıştır:
yani her terim komşularının geometrik ortalamasına eşittir.

Bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin çarpımı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

K'inci terimle başlayıp n'inci terimle biten bir geometrik ilerlemenin terimlerinin çarpımı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı:

Eğer

, o zaman ne zaman
, Ve

en
.

Tutarlılık sınırı.

Her üye bir öncekinden büyükse diziye artan denir. Her bir üye bir öncekinden küçükse bu diziye azalan dizi adı verilir.

Herhangi bir n doğal sayısı için koşulu sağlayacak şekilde m ve M sayıları varsa, xn dizisine sınırlı dizi denir
.

(a n) dizisinin tüm üyelerinin, n sayısının sınırsız büyümesiyle bir m sayısına yaklaşması mümkündür.

Her Ε>0 için (Ε'ye bağlı olarak) n 0 =n o (Ε) şeklinde bir sayı varsa, a sayısına X n dizisinin limiti denir.
eşitsizlik geçerli
hepsi için (doğal)n>n 0 .

Bu durumda yazıyorlar
veya

Dizilerin yakınsaklığı.

Limiti sonlu olan bir dizinin a'ya yakınsadığı söylenir:

Bir dizinin sonlu (sayılabilir) bir sınırı yoksa, ıraksak olarak adlandırılacaktır.

Geometrik anlamı.

Eğer
ise, bu dizinin tüm üyeleri, son sayı haricinde, a noktasının keyfi bir Ε komşuluğuna düşecektir. Geometrik olarak bir dizinin sınırlılığı, tüm değerlerinin belirli bir segmentte yer alması anlamına gelir.