Karakteristik fonksiyon rastgele değişken X rastgele bir değişkenin dağılımının Fourier dönüşümü denir:

Özellikler

Kanıt.

Kanıt.

doğal olarak, bu özellik daha fazla sayıda terimi kapsar:

.

φ (T) düzgün süreklidir.

Kanıt.

Ortaya çıkan son ifade yalnızca şunlara bağlıdır: H. Sürekli bir rastgele değişken için şunu yazabiliriz:

.

Kanıt. Varsa k büyüklük anı X o zaman integral işareti altında farklılaşmayı kullanarak (ki bu mümkündür, çünkü P(X) var), şunu elde ederiz

Sonraki her farklılaşmayla birlikte “taşınır” Ben E[ X], yani sonra k elde ettiğimiz farklılaşmalar Ben k E[ X k] Bu sonuç şu şekilde gösterilebilir:

.

Karakteristik fonksiyon, bir rastgele değişkenin dağılımını benzersiz bir şekilde belirler.

Özel durumların kanıtı

İzin vermek X - tamsayı ayrık rastgele değişken ( k Z), sonra (ters Fourier dönüşümü)

(Katsayıları olan Fourier serileri P k), Daha sonra

Bunun için tüm şartlar k≠M 0 verir (diklik yoluyla) ve kalır

.

İzin vermek φ (T) gerçek çizgide kesinlikle integrallenebilir ve bir dağılım yoğunluğu vardır P(X) 11 .

Hadi deneyelim ifade etmek P(X) karakteristik fonksiyonu aracılığıyla. Fonksiyonun ters Fourier dönüşümünü yazalım φ :

.

Bunu akılda tutarak

O zamandan beri

Değişkenleri değiştirerek elde ederiz

ve bu nedenle

.

İkinci integralde (*)'de her iki integral limiti de aynı işaretlere sahipse 0 elde ederiz; farklıysa - sonlu bir sayı. Yani sıfırdan farklı bir sınır vardır. A<sen<B. Bu durumda, −∞'dan ∞'a kadar olan integral şuna eşit olarak görünecektir: π . Buradan

Kabul edilmiş:

,

buradan, P tamamen karakteristik fonksiyon tarafından belirlenir.

.

Kanıt..

Karakteristik fonksiyon kriteri

İşlev φ X (T) - rastgele bir değişkenin karakteristiği X ancak ve ancak:

φ X (0) = 1,

φ X (T) pozitif tanımlı.

İşlev φ (T) denir pozitif tanımlı(pozitif tanımlı), eğer

ve sıfıra eşitlik ancak şu durumlarda elde edilir: z Ben = 0Ben. Eşitliğe ulaşma koşulunu sıfıra indirirsek, şunu elde ederiz: negatif olmayan kesin işlev.

Hadi kontrol edelim karakteristik fonksiyonun pozitif tanımlı olduğu:

Gerekçe. Özellik 5'e göre),

Şu tarihte: k= 1, elde ederiz,

Şu tarihte: k= 2 -.

E ise X= 0.D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Örnekler

Çözüm. İfadeyi forma indirgeyelim

Bunu görmek zor değil
. Dönüşümden sonra yazabilirsiniz
.

Şimdi değerlere bakalım P Ben :

Çözüm:çünkü 2 T 1/2 olasılıkla 0 değerini, 1/4 olasılıkla 2 ve −2 değerlerini alan ayrık bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonudur.

Karakteristik fonksiyonu hesaplayın dejenere rastgele değişken: P(X= 0) = 1.

Çözüm..

Eğer P(X=C) = 1, elde ederiz.

Çözüm. İfadeyi forma indirgeyelim

.

Şimdi değerlere bakalım P Ben :

Kabul edilmiş: Bu, ayrık bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonudur.

Çözüm. İzin vermek e=X–X′ , Daha sonra

Çözüm: Herhangi bir karakteristik fonksiyonun modülünün karesi yine bir karakteristik fonksiyondur.

İzin vermek X,e - karakteristik fonksiyonlara sahip rastgele değişkenler φ X (T) Ve φ e (T);A,B> 0 - öyle sabitler ki A+B= 1. Fonksiyonu düşünün

Bu karakteristik midir ve eğer öyleyse hangi rastgele değişken için?

Cevap: evet öyle. Karşılık gelen dağıtım fonksiyonlarına izin verin X Ve e - F X (X) Ve F e (sen). Fonksiyonu ele alalım. Açıkçası bu bir dağıtım fonksiyonudur, çünkü

O zaman olasılık yoğunluğu

Eğer φ (T) - karakteristik fonksiyon X, O φ (−T) - karakteristik fonksiyon (– X).

İzin vermek φ (TX(örnek 4'ten)).

, o zaman (T F φ (T)]

Çözüm) =Yeniden[

İzin vermek φ (T. Açıkça, F X (X) dağıtım fonksiyonuna karşılık gelir φ (T)]:

İzin vermek φ (T), sonra Re[ için X(örnek 4'ten)).

, o zaman (T) - miktarın karakteristik fonksiyonu φ (T)]

) =Ben[

Çözüm bazı rastgele değişkenlerin karakteristik fonksiyonu? , o zaman (0) = 0.

. Hayır değil çünkü

1. X ~ Normal dağılımın karakteristik fonksiyonunu bulun.(0, 1):

N φ (T Haydi sayalım

), integral işareti altında farklılaşan:
Diferansiyel denklemi çözelim φ (0) = 1:

X~Normal dağılımın karakteristik fonksiyonunu bulun.(A,σ başlangıç ​​koşuluyla X 0 ~Normal dağılımın karakteristik fonksiyonunu bulun. 2): bu değeri şununla karşılaştırın: X=A+σ X(0, 1). Bunu görmek kolaydır

0.

Daha sonra, özelliğe göre 2)

Matematiksel beklenti ve özellikleri.

Rasgele değişkenlerin sayısal özellikleri.

Karakteristik fonksiyon.

Ders No.5. Bölüm 2. Rastgele değişkenler.

Konu 1 Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve sayısal özellikleri.

Dersin amacı:

Rastgele değişkenleri tanımlamanın yolları hakkında bilgi vermek.

Ders soruları:

Edebiyat:

L1 - Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Olasılık teorisi. Matematiksel istatistik. - 2. baskı. - M.: FİZMATLİT, 2005. - 296 s.

L2 - Gmurman, V. E. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik: Ders Kitabı. üniversiteler için el kitabı/V. E. Gmurman. - 9. baskı, silindi. - M.: Daha yüksek. okul, 2005. - 479 s.: hasta.

L3 - Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Satırlar. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik. Metodolojik gelişmeler. – Tambov: TSTU Yayınevi, 2009. L4 - Plotnikova S.V. Matematiksel istatistik. Metodolojik gelişmeler. – Tambov: TSTU Yayınevi, 2005. (pdf dosyası) Birçok problemi çözerken dağıtım fonksiyonu yerine F(x) karakteristik fonksiyonu uygulanır. Bu özelliğin yardımıyla, örneğin kelimenin bazı sayısal özelliklerinin belirlenmesi tavsiye edilebilir. ve z.r. işlevler

Karakteristik fonksiyon sl.v. a.e'nin Fourier dönüşümü denir. F(x):

, (2.6.1)

karakteristik fonksiyonun argümanı olan parametre nerede, - m.o. sl.v. (bkz. § 2.8.).

Ters Fourier dönüşümünü uygulayarak a.e.'yi belirleyen bir formül elde ederiz. sl.v. karakteristik fonksiyonu ile

. (2.6.2)

Boyuttan beri F(x) boyutun tersi X, o zaman miktar ve dolayısıyla boyutsuzdur. Argümanın ters boyutu var X.

Gösterimin kullanılması (2.5.7) a.e. F(x) delta fonksiyonlarının toplamı biçiminde, formül (1)'i ayrık r.v'ye genişletebiliriz.

. (2.6.3)

Bazen karakteristik fonksiyon yerine logaritmasını kullanmanın daha uygun olduğu ortaya çıkar:

e. (2.6.4)

İşlev e ikinci olarak adlandırılabilir ( logaritmik)karakteristik fonksiyon sl.v. .

Karakteristik fonksiyonun en önemli özelliklerini not edelim.

1. Karakteristik fonksiyon aşağıdaki koşulları karşılar:

. (2.6.5)

2. Simetrik dağılım için p(x)= p(-x)(1)'deki sanal kısım sıfırdır ve bu nedenle karakteristik fonksiyon gerçek bir çift fonksiyondur . Aksine, yalnızca gerçek değerleri alırsa o zaman eşit olur ve karşılık gelen dağılım simetrik olur.

3. Eğer s.v. r.v'nin doğrusal bir fonksiyonudur. , o zaman karakteristik fonksiyonu şu ifadeyle belirlenir:

, (2.6.6)

Nerede A Ve B- kalıcı.

4. Toplamın karakteristik fonksiyonu bağımsız s.v. terimlerin karakteristik fonksiyonlarının çarpımına eşittir, yani eğer

. (2.6.7)

Bu özellik özellikle kullanışlıdır, çünkü aksi takdirde a.e. sl.v miktarı bazen zorluklara neden olan evrişimin birden fazla tekrarıyla ilişkilidir.

Dolayısıyla, dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve karakteristik fonksiyon arasındaki kesin ilişki dikkate alındığında, karakteristik fonksiyon, r.v.'yi tanımlamak için eşit şekilde kullanılabilir.

Örnek 2.6.1.İki darbeden oluşan bir kod kombinasyonu, girişimli bir iletişim kanalı üzerinden iletilir. Bu darbeler üzerindeki parazitin bağımsız etkisi nedeniyle, bunların her biri belirli bir olasılıkla bastırılabilir. Q=0,2. Şunları belirlemek gerekir: I) c.v.'nin dağılım serisi. - girişim nedeniyle bastırılan darbelerin sayısı; 2) dağıtım işlevi; 3) olasılık yoğunluğu; 4) r.v.'nin karakteristik fonksiyonu. .

Ayrık s.v. üç değer alabilir (darbelerin hiçbiri bastırılmaz), (bir darbe bastırılır), (her iki darbe de bastırılır). Bu değerlerin olasılıkları sırasıyla eşittir:

Bu arada, az önce öğrencinin düzgün süreklilik hakkında hiçbir şey bilmemesi gerektiğini savundunuz ve şimdi ona delta fonksiyonları mı sunuyorsunuz? Neyse, hiçbir şey söylemeyeceğim.

Kişisel olarak beni ilgilendiren özellikler ne olursa olsun, sizi bu konuyu tartışma isteğiyle tekrar gördüğüme sevindim. Seninle ilgileniyorum. Öğrenci kendisine sorulabilecek her şeyi bilmelidir, ancak her şeyden önce kavramlar sistemine, bunların karakterizasyonuna ve aralarındaki ilişkilere hakim olmalı ve içinde bulunduğu disiplinin bölümünün dar çemberiyle sınırlı kalmamalıdır. şu anda çalışıyor ve aynı zamanda şu veya bu koşulu karşılamayan çok sayıda işlevi sürekli hatırlayan yürüyen bir referans kitabı olmamalıdır.
Orijinal problemde, verilen HF fonksiyonunun herhangi bir rastgele değişken olup olmadığının belirlenmesi gerekiyordu. HF kavramı tanıtıldığında öğrenci böyle bir görev alır. Ve bu tür sorunları çözmenin amacı, CP ile PR arasındaki ilişkiye dair anlayışın pekiştirilmesinin yanı sıra CP'nin özellikleri hakkındaki bilgilerin pekiştirilmesidir.
Belirli bir fonksiyonun HF olduğunu göstermenin iki yolu vardır: ya Fourier'e göre ona karşılık gelen fonksiyonu bulmalı ve normalizasyon koşulunu karşıladığını ve pozitif olduğunu kontrol etmelisiniz ya da verilenin negatif olmayan kesinliğini kanıtlamalısınız. fonksiyonu ve Bochner-Khinchin teoremine bakın. Aynı zamanda, bir SV'yi diğer Rademacher SV'lerin doğrusal kombinasyonu şeklinde temsil etmeye ilişkin teoremlerin kullanılması, yukarıda belirttiğim gibi, HF'nin temel özelliklerinin anlaşılmasına hiçbir şekilde katkıda bulunmaz; örtülü bir Fourier serisi içerir, yani aslında birinci yönteme karşılık gelir.
Belirli bir fonksiyonun herhangi bir SV'nin HF'si olamayacağını göstermek gerektiğinde, HF'nin özelliklerinden birinin başarısızlığını tespit etmek yeterlidir: sıfırda birim değer, modülün bir ile sınırlı olması, doğru değerlerin elde edilmesi ​​PDF anları için tekdüze süreklilik. Belirli bir fonksiyon aracılığıyla hesaplanan moment değerlerinin doğruluğunun kontrol edilmesi, bu özelliklerden herhangi birinin yerine getirilmemesinin, belirli bir fonksiyonun uygunsuzluğunun tanınması için aynı temel olarak hizmet edebilmesi anlamında, düzgün sürekliliğin matematiksel olarak eşdeğer bir kontrolüdür. Bununla birlikte, moment değerlerinin doğruluğunun kontrol edilmesi resmileştirilmiştir: farklılaştırın ve kontrol edin. Genel durumda tekdüze sürekliliğin kanıtlanması gerekir; bu, bir problemi çözme başarısını öğrencinin yaratıcı potansiyeline, "tahmin etme" yeteneğine bağlı kılar.
Bir SV'nin "inşası" tartışmasının bir parçası olarak, basit bir problemi düşünmeyi öneriyorum: Haydi, HF formunu kullanarak bir SV inşa edelim: Nerede

a k	(y)=	BENİM				+∞∫ ϕ k	(X)			(x)dx;
µk(y)				∫ (ϕ (x)						f(x)dx.
Rastgele bir değişkenin karakteristik fonksiyonu
Y = e itX olsun, burada			X -	bilinen bir yasaya sahip rastgele değişken
dağılım, t – parametre, i =				− 1.
Karakteristik fonksiyon rastgele değişkenİsminde
Y = e itX fonksiyonunun matematiksel beklentisi:
					∑ e itx k p k , DSV için,
				k = 1
υX(t)= M =
					∫ e itX f (x )dx , NSV için.
Böylece karakteristik								υX(t)		ve dağıtım kanunu

rastgele değişkenler benzersiz bir şekilde ilişkilidir Fourier dönüşümü. Örneğin, bir X rastgele değişkeninin dağılım yoğunluğu f(x), karakteristik fonksiyonu aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edilir. ters Fourier dönüşümü:

	f(x)=		+∞ υ (t) e− itX dt.
		2 π−∞ ∫
Karakteristik fonksiyonun temel özellikleri:
	Z = aX + b miktarının karakteristik fonksiyonu, burada X rastgeledir
karakteristik fonksiyonun değeri υ X (t) eşittir
	υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) .
	X rastgele değişkeninin k'inci mertebesinin başlangıç ​​momenti şuna eşittir:
	α k (x )= υ X (k ) (0)i - k ,

burada υ X (k) (0), t = 0'daki karakteristik fonksiyonun k'inci türevinin değeridir.

3. Toplamın karakteristik fonksiyonu	Y = ∑ X k bağımsız
	k = 1

rastgele değişkenler terimlerin karakteristik fonksiyonlarının çarpımına eşittir:

υ Y(t ) = ∏ υ Xi		(T).
ben = 1
4. Normalin karakteristik fonksiyonu			rastgele değişken
m ve σ parametreleri şuna eşittir:
υ X (t) = eitm –	t 2 σ 2

DERS 8 İki boyutlu rastgele değişkenler. İki boyutlu dağıtım yasası

İki boyutlu bir rastgele değişken (X,Y), aynı deney sonucunda değerler alan iki tek boyutlu rastgele değişkenin kümesidir.

İki boyutlu rastgele değişkenler, bileşenlerinin Ω X , Ω Y değer kümeleri ve ortak (iki boyutlu) dağılım yasasıyla karakterize edilir. X,Y bileşenlerinin türüne bağlı olarak ayrık, sürekli ve karışık iki boyutlu rastgele değişkenler ayırt edilir.

İki boyutlu bir rastgele değişken (X, Y), x0y düzleminde rastgele bir nokta (X, Y) olarak veya orijinden (X, Y) noktasına yönlendirilen rastgele bir vektör olarak geometrik olarak temsil edilebilir.

İki boyutlu dağıtım fonksiyonu iki boyutlu rastgele değişken

(X ,Y ) iki olayın (X) birlikte gerçekleşme olasılığına eşittir<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Geometrik olarak iki boyutlu dağılım fonksiyonu F(x, y)

rastgele bir noktanın (X,Y) vuruşu
sonsuz		ile çeyrek daire	en üstte
(x,y) noktası solda ve onun altında yer almaktadır.
Bileşen X değerleri aldı
x gerçek sayısından daha küçük, bu
	dağıtım		FX(x) ve
Y bileşeni – gerçekte olandan daha az
sayılar y,			dağıtım
Bilginize(y).

İki boyutlu dağılım fonksiyonunun özellikleri:

1. 0 ≤ F(x ,y )≤ 1.

olasılık

. (x,y)

Kanıt. Bu özellik, dağılım fonksiyonunun olasılık olarak tanımından kaynaklanmaktadır: olasılık, 1'i aşmayan, negatif olmayan bir sayıdır.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), eğer x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), eğer y 2 >y 1 ise.

Kanıt. F(x ,y )'nin azalan olmayan bir fonksiyon olduğunu kanıtlayalım.

değişken x. Olasılığı göz önünde bulundurun

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

p(X)'ten beri< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Aynı şekilde y için de.

4. Tek boyutlu özelliklere geçiş:

	F(x ,∞ )= p(X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x );
	F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ).
5. Dikdörtgen bir alana çarpma olasılığı
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) =
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ).										(β,γ)
Dağıtım işlevi - çoğu
evrensel
dağıtım
kullanılmış		nasıl olduğuna dair açıklamalar								(β,δ)
sürekli,		ve ayrık						(α,δ)
iki boyutlu rastgele değişkenler.

Dağıtım matrisi

İki boyutlu bir rastgele değişken (X,Y), Ω X ve Ω Y bileşenlerinin değer kümeleri sayılabilir kümeler ise ayrıktır. Bu tür niceliklerin olasılıksal özelliklerini tanımlamak için iki boyutlu bir dağılım fonksiyonu ve bir dağılım matrisi kullanılır.

Dağıtım matrisi X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ) bileşeninin değerlerini, Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 bileşeninin değerlerini içeren dikdörtgen bir tablodur. , …,y m ) ve p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m değerlerinin tüm olası çiftlerinin olasılıkları.

xi\yj
	X ben )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n .
	j= 1
3. Y bileşeninin olasılık dağılım serisine geçiş:
	p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m .

ben = 1

İki boyutlu dağıtım yoğunluğu

İki boyutlu bir rastgele değişken (X ,Y ), eğer sürekli ise

F(x,y) dağılım fonksiyonu her argüman için sürekli, türevlenebilir bir fonksiyondur ve ikinci bir fonksiyonu vardır.

karışık türev ∂ 2 F(x, y).

∂ x ∂y

İki boyutlu dağılım yoğunluğu f(x, y ) koordinatları olan bir noktanın yakınındaki olasılık yoğunluğunu karakterize eder ( x, y ) ve dağılım fonksiyonunun ikinci karma türevine eşittir:

∫∫ f(x, y) dxdy.

İki boyutlu yoğunluğun özellikleri:

1. f(x ,y )≥ 0.

2. Normalleştirme koşulu:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .