En küçük üst sınırın varlığına ilişkin teorem. Yukarıda sınırlı bir küme için tam bir üst sınırın varlığı

OPR1.

OPR2. kesin üst sınır ve belirlenmiş destek A.

OPR2'.

UTV. OPR2. ó OPR2'.

=> OPR2 yerine getirildi, yani M = sup A – tüm üst sınırların en küçüğü => M – A kümesinin üst sınırı => (yani 1) OPR2' tamamlandı).

Dm 2) çelişkili olarak, yani. A kümesinin üst sınırıdır ve M en küçük üst sınır değildir - bu bir çelişkidir, çünkü M üst sınırdır => özellik 2) OPR2' sağlanır.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

Çünkü M' üstte. A kümesinin yüzü, sl-but, M – A kümesinin en küçük üst sınırı => OPR2 sağlanır.

Bilet numarası 2 sayfa 2

OPR3.

OPR4. tam alt kenar ve belirlenmiş inf A.

OPR4'.

UTV. OPR4. ó OPR4'

Kanıt şununla benzer: UTV. OPR2. ó OPR2'.

TEOREM!!!

DOC-VO!!!

Yorum: eğer A kümesi yukarıdan sınırlı değilse => üst sınırı yoktur =>

Bilet No. 1 “SINIRLI VE SINIRSIZ SETLER. ÖRNEKLER".

OPR1: sayı Bir isim. yukarıda sınırlanmış, Eğer . Bu durumda M en üsttedir. mn-va A'nın kenarı.

Örnek: Ve yukarıdan sınırlıdır. M = 3 – üst sınır. 3'ten büyük herhangi bir sayı üst sınırdır.

OPR2: sayı Bir isim. aşağıda sınırlı, Eğer . Bu durumda m küçüktür. mn-va A'nın kenarı.

Örnek:

N – alttan sınırlanmıştır. m = 1 – alt sınır. 1'den küçük herhangi bir sayı alt sınır olacaktır.

OPR3: sayı Bir isim. sınırlı, eğer yukarıdan ve aşağıdan sınırlıysa, yani .

OPR3': sayı Bir isim. sınırlı, Eğer

OPR3 – OPR3’ÜN OLDUĞUNU KANITLIYORUZ

=> N.D. OPR3 => OPR3'

Elimizde: Let

Onlar. tamamlanmış OPR3'

<= Н.Д. ОПР3’ =>OPR3

Elimizde: ,yani. tamamlanmış OPR3.

OPR4. Mn – A’da denir sınırsız, Eğer

Bilet No. 3 “SAYISAL DİZİLER”.

OPR. Her doğal sayı için bir yasaya göre bir sayı yazarsak, o zaman bu sayı bir sayılar kümesidir. sayısal dizi denir. sonuncunun sayısını belirtelim. ; sayılar - dizinin elemanları

Örnek:

OPR. A sayısına sonun limiti denir. , if (herhangi bir pozitif sayı için)

Şununla belirtilir:

Örnek:

Tanım: mahalle t.a.

Bilet No. 4 “B.M. SON VE ONLARIN AZİZLERİ (2 TEOREM).”

OPR. Sonuncusu sonsuz küçük (sonsuz küçük) olarak adlandırılır, eğer

Örnek: b.m.son

SV-VA:

TEOREM_1!!! bırak öyle olsun - b.m. doğumdan sonra:

1) Doğum sonrası b.m.son

2) Doğum Sonrası b.m.son

DOC-VO!!!

1) verilen: b.m, yani.

Dm, ne b.m. doğum sonrası, yani

Seçip etiketleyelim.

Çünkü b.m. => sayı için ,

B.m. => sayı için

Çünkü numarayı koy =>

2) Hımm, ne b.m.son

Seçip etiketleyelim.

B.m. => sayı için,

B.m. => sayı için

Bilet No. 4 sayfa 2

Çünkü sayı koyma => def gerçekleştirilir. b.m. için, yani b.m.

TEOREM_2!!!

B.m.'nin sürmesine izin verin, sınırlı. pozitif doğum sonrası b.m.pozitif dizi

OPR. Doğum sonrası. sınırlı Eğer

DOC-VO!!!

Biz onu düzeltiriz.

Sınırla. =>

B.m.son => için

Sonuçlar:

Bırakın sürsün. Sonra için son sabah

Gerçekten, düşünün doğum sonrası.

Canavar doğum sonrası. b.m, çünkü b.m.

Örnek:

O. TEOREM_2'ye göre!!!

Yorum:

THEOREM_1'den!!! Şunu takip ediyor

1) herhangi bir sonlu sayıda b.m'nin toplamı. doğum sonrası. son bir b.m. var.

2) herhangi bir sonlu sayıda b.m'nin çarpımı. doğum sonrası. b.m var. doğum sonrası.

Bilet No. 5 “BB DİZİLERİ VE BM DİZİLERİ İLE İLİŞKİLERİ.”

OPR. eğer buna b.b.son denilse

Haydi belirtelim

TEOREM!!! Bırak b.b. sürsün., Sonra b.m. sürsün.

DOC-VO!!!

Sabit Doğum sonrası

O.
b.m. doğum sonrası.

BB'NİN BM DİZİLERİ İLE BAĞLANTISI.

B.b. doğum sonrası. b.m. doğum sonrası. Ters ilişki.

Bilet 18 fonksiyonların limitlerinin özellikleri (a) limitin tekliği. B) Sınırı olan sınırlı işlevler.)

Sınırın benzersizliği

TEOREM!!! Eğer f-i'nin K®0'da bir limiti varsa, o zaman benzersizdir

DOC-VO!!!(karşı taraftan)

İzin vermek Ve

Rassm X yok " N

Çünkü Þ verilen (Xn) dizisi için

Þ belirli bir (Xn) dizisi için

O. ( f(x)-ch.p-t)karşıt çünkü olamaz

b¹c 2 farklı limit Þ in = c

.İle

Sonuçlar

22. Soru 2. harika limit

Sonuçlar

(an-hayır a x =lna)

Bil22str4
Bilet 23 özellikleri bm fonksiyonları

ticket 24 bb fonksiyonları ve bb ile bağlantıları

Bilet 26.eşdeğer bm f-ii.(tablo, t.)

bilet 26 sayfa 2

Bilet 25. BM f-y'nin karşılaştırılması.

Bilet 28. Nepr-t f-ii noktada.

yendi.28

BİLET 30. Bir fonksiyonun süreksizlik noktalarının sınıflandırılması (tanım ve örnekler)

f(x) def olsun. bazılarında U(a) (m.b. ta'nın kendisi hariç). t.a. isminde kırılma noktası f(x) fonksiyonları, eğer f t.a'da sabit değilse. f(x) fonksiyonunun süreksizlik noktası t.a olsun.

Def. 1) t.a.-kırılma noktası 1. tür, if (yani isimler sonlu tek taraflıdır)

2) Ayrıca, o zaman t.a- çıkarılabilir kırılma noktası.

3) ta - kırılma noktası 2. tür 1. türden bir kopma değilse.

Örnekler. 1)y=sgn(x). x=0-t.r 1. türden, çünkü

2)y= , x=0 –t. cihaz bir kez, çünkü

3) y= x=0 – 2. türden t.r, çünkü

,

2. tür süreksizlik noktası.

3).

,

x=0 2. türden bir süreksizlik noktasıdır.

4).

Hiçbir x=0 noktası yoktur - 2. türden bir süreksizlik noktası.

, . x=0 noktası 2. türden bir süreksizlik noktasıdır.

Bilet No. 2 “SAYISAL SETİN ÜST VE ALT SINIRLARI. BİR KÜMENİN TAM ALT VE ÜST SINIRLARININ VARLIĞINA İLİŞKİN TEOREM.

OPR1. M – A ó kümesinin üst sınırı eğer .

OPR2. A kümesinin tüm üst yüzlerinin en küçüğüne denir kesin üst sınır ve belirlenmiş destek A.

OPR2'. M sayısına A sayısının tam üst kenarı denir, eğer

UTV. OPR2. ó OPR2'.

=> OPR2 yerine getirildi, yani M = sup A – tüm üst sınırların en küçüğü => M – A kümesinin üst sınırı => (yani 1) OPR2' tamamlandı).

Dm 2) çelişkili olarak, yani. A kümesinin üst sınırıdır ve M en küçük üst sınır değildir - bu bir çelişkidir, çünkü M üst sınırdır => özellik 2) OPR2' sağlanır.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

M'nin en küçük üst sınır olduğu açıktır.

Çelişkiyle DM, yani. En küçük olmayan üst yüz M olsun. Tanım St. 2'ye göre bu çelişki için.

Çünkü M' üstte. A kümesinin yüzü, sl-but, M – A kümesinin en küçük üst sınırı => OPR2 sağlanır.

Bilet numarası 2 sayfa 2

OPR3. m – A kümesinin alt sınırı eğer .

OPR4. A kümesinin tüm alt yüzlerinin en büyüğüne denir tam alt kenar ve belirlenmiş inf A.

OPR4'. m sayısına A kümesinin tam infimumu denir, eğer

UTV. OPR4. ó OPR4'

Kanıt şununla benzer: UTV. OPR2. ó OPR2'.

TEOREM!!! Yukarıdan (aşağıdan) sınırlanan her boş olmayan kümenin tam bir üst (alt) sınırı vardır.

DOC-VO!!! Boş olmayan A kümesi – sınırlı. yukarıdan bakıldığında A kümesinin en az bir üst sınırı vardır. A kümesinin tüm üst yüzlerinin kümesi Y olsun; ve Y kümesi boş değildir çünkü A kümesinin en az bir üst sınırı vardır.

O. boş olmayan A ve Y dizileri ve orijine göre sürekli. geçerli sayılar yani mn-va A'nın üst sınırı. M = sup A.

Yorum: eğer A kümesi yukarıda sınırlı değilse => üst sınırı yoktur => kesin bir üst sınır yoktur. Bu durumda bazen şöyle inanılır: . Benzer şekilde A kümesi sınırlı değilse. aşağıdan, bazen buna inanılıyor

Yukarıdan (aşağıdan) kesin bir üst (tam alt) sınırla sınırlı herhangi bir kümenin varlığı açık değildir ve kanıt gerektirir. Aşağıdaki ana teoremi kanıtlayalım.

Ana Teorem 2.1. Sonsuz ondalık kesirler olarak temsil edilebilen sayılar kümesi yukarıdan (sırasıyla aşağıdan) sınırlanmışsa ve en az bir öğe içeriyorsa, bu kümenin tam bir üst (sırasıyla tam alt) sınırı vardır.

Kanıt. Aşağıda sınırlı herhangi bir küme için tam bir alt sınırın varlığı tamamen benzer şekilde kanıtlandığından, yalnızca yukarıdan sınırlı herhangi bir küme için tam bir üst sınırın varlığının kanıtına odaklanacağız.

O halde kümenin yukarıdan sınırlı olmasına izin verin, yani kümenin her x elemanı eşitsizliği sağlayacak şekilde bir M sayısı vardır.

İki vaka kendilerini gösterebilir:

1°. Kümenin elemanları arasında en az bir negatif olmayan sayı vardır. 2°. Kümenin tüm elemanları negatif sayılardır. Bu durumları ayrı ayrı ele alacağız.

1°. Sadece kümenin parçası olan negatif olmayan sayıları ele alalım. Bu sayıların her birini sonsuz bir ondalık kesir olarak temsil edelim ve bu ondalık kesirlerin tam sayı kısımlarını ele alalım. Eşitsizlikten dolayı tüm tamsayı kısımlar M sayısını aşmamaktadır ve bu nedenle ile gösterdiğimiz tamsayı kısımlarından en büyüğü vardır. Kümenin negatif olmayan sayıları arasında tam kısmı eşit olanları tutalım ve atalım. diğer tüm numaralar. Saklanan sayılar için, virgülden sonraki ilk ondalık basamağı dikkate alın. Bu işaretlerden en büyüğünü, kümenin negatif olmayan sayıları arasında, tam sayı kısmı eşit ve ondalık basamağı eşit olan sayıların arasında tutalım, diğer sayıları atalım. Saklanan sayılar için, virgülden sonraki ikinci ondalık basamağı dikkate alın. Benzer akıl yürütmeyi daha da sürdürerek bu işaretlerin en büyüğünü belirtiyoruz, belirli bir sayının ondalık basamaklarını başarıyla belirleyeceğiz.

Bu x sayısının kümenin tam üst sınırı olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için iki ifadeyi kanıtlamak yeterlidir: 1) kümenin her x elemanı eşitsizliği karşılar 2) x sayısı x'ten küçük olursa olsun, kümesinin eşitsizliği sağlayan en az bir x elemanı vardır

Önce ifade 1)'i kanıtlayalım. X, yapısı itibarıyla negatif olmayan bir sayı olduğundan, kümenin herhangi bir negatif x elemanı eşitsizliği kesinlikle karşılar

Bu nedenle kümenin negatif olmayan herhangi bir x elemanının eşitsizliği sağladığını kanıtlamamız bizim için yeterlidir.

Negatif olmayan bazı öğelerin eşitsizliği karşılamadığını varsayalım. O zaman sıralama kuralına göre şöyle bir sayı vardır: Ama son ilişkiler çelişiyor

tamsayı kısmı ve ilk ondalık basamağı sırasıyla eşit olan elemanların ondalık basamaklarından en büyüğünün şu şekilde alınması gerçeğiyle çelişir:

Ortaya çıkan çelişki, ifade 1)'i kanıtlıyor.

Şimdi ifade 2)'yi kanıtlayalım. X koşulu sağlayan herhangi bir sayı olsun. Kümenin eşitsizliğini sağlayan en az bir x elemanının olduğunu kanıtlamak gerekir.

Eğer x sayısı negatifse, o zaman eşitsizlik kesinlikle kümenin negatif olmayan bir x elemanı tarafından karşılanır (varsayıma göre böyle bir elemanın mevcut olduğu varsayılır).

Geriye koşulu sağlayan x sayısının negatif olmadığı durumu dikkate almak kalıyor. Koşul ve sıralama kuralından öyle bir sayının olduğu sonucu çıksın:

Öte yandan, (2.9) sayısının yapısından, herhangi bir sayı için kümenin negatif olmayan bir elemanının olduğu, öyle ki tamsayı kısmı ve tüm ilk ondalık basamakların x sayısınınkilerle aynı olduğu sonucu çıkar. . Başka bir deyişle, bir sayı için öyle bir x elemanı vardır ki

Sınırlı set. Hassas kenarlar

Moivre'nin formülü

1707 yılında A. Moivre tarafından bulunmuştur; modern gösterimi 1748'de L. Euler tarafından önerildi.

z n =r n e içinde J =rn(çünkü N J + ben günah N J). (3)

Formül (3) tümevarımla kanıtlanmıştır N.

Karmaşık sayıları çarpma

Açıkçası haklı. Bazıları için bunun doğru olduğunu varsayalım. N, hadi bunu kanıtlayalım N+1. Sahibiz:

Verilen bir denklem için denklemi sağlayanı bulacağız. Başka bir deyişle kökü bulacağız. N Karmaşık bir sayının -inci kuvveti. Sahibiz içerdeyim j =r e ben sen n j=y+2p k, kÎZ , r= formülleri nereden alıyoruz

kök hesaplamak için kullanılır N Karmaşık bir sayının -inci kuvveti. Kök bulma süreci N karmaşık bir sayının -inci kuvveti z aşağıdaki gibi tarif edilebilir. Bu sayı 0'a eşit değilse, tam olarak böyle kökler olacaktır. N. Hepsi doğrunun zirvesi olacak N– yarıçaplı bir daire içine yazılmış bir kare . Bu çokgenin köşelerinden birinin argümanı eşittir.

Örnek. Hesaplamak. Bu durumda üç değer alır:

Pirinç. 1.7

Yorum: Karşılaştırma işaretleri küçüktür, büyüktür (<, >) içinde tanımlanmadı C .

1.3. Reel sayılar kümesinin üst ve alt sınırları

Sınırlama ve çokluğun sınırları.

E'yi yukarıda sınırlı olarak ayarlayın:$B"XÎ Eski£ B.

B - kümenin üst sınırı:"xÎE:x£ B.

Sınırlı küme:$A"XÎ e: X³ A.

A - kümenin sonsuz değeri:"xÎE: x ³ a.

Kümenin üstü: b = akşam yemeği E, iki özelliği karşılayan bir sayıdır:

1)(b - üst kenar)"XÎ Eski£ B.

2) (daha az değil) "e>0 $ XÎ E: x > b- e.

Kesin infimum benzer şekilde belirlenir bir = bilgi e.Sınırlı kümeE:$B"XÎ E: .

Yorum: Eğer b = akşam yemeği e, O -b= bilgi E¢, Nerede E¢- ayna e birçok, E¢={XÎR:(-X)ÎE} .

Teorem 1. Yukarıda sınırlı, boş olmayan bir kümenin bir üstünlüğü vardır.

Kanıt:İzin vermek B kümenin üst sınırı e Ve AÎ E.[ ile belirtelim A 1 ,B 1 ] segmenti, eğer noktalar içeriyorsa E. Aksi takdirde [ aracılığıyla A 1 ,B 1 ] segmenti belirtir

Pirinç. 1.8

Oluşturulan bu parçanın özelliklerine bakalım:

1) "xÎE: x£ B 1 .

2) eÇ[ A 1 ,B 1 ] ¹ Æ .

Bu prosedürü [ A 1 ,B 1 ] vb. Sonuç olarak, bir dizi iç içe geçmiş segment elde ederiz [ bir k, bk], aşağıdaki özellikleri karşılıyor:

1)"xÎE: x £ b k .

2) eÇ[ A k, B k ] ¹ Æ .

Bunun ispatı tümevarımla gerçekleştirilir. Segmentin [ bir k, bk]belirtilen özelliklere sahip. Bir nokta ile ikiye bölün. Başından sonuna kadar [ bir k + 1 ,b k + 1 ] segmentlerden birinin olduğunu belirtir , ile boş olmayan bir kesişimi olan e. Her ikisi de içeriyorsa

Pirinç. 1.9

gelen puanlar E, O [ bir k + 1 ,b k + 1 ] bir doğru bölüm olsun. Ortaya çıkan segment 1), 2) özelliklerine sahiptir. Bu bölümlerin uzunlukları b k - a k =(b-a)/ 2k 0'a eğilimlidir, dolayısıyla tek bir sayı vardır C tüm bu kesimlerin ortak noktası. Bu sayı bu setin tam üst sınırıdır. Gerçekten mi:

1) "XÎ E: x £ c.

Tam tersini varsayalım: $ XÎ E:x>c O zaman var olduğu için onu takip eden şeyi ele alalım bn< x , bu durumla çelişiyor XÎ[ bir n, b n].

Pirinç. 1.10

2)"e> 0$ xÎE: x > c - e.

Herhangi bir e için var n: b n - bir n< e . Herhangi birini seçelim XÎ[ bir n, b n] . Özellik 1 nedeniyle) doğru olacak X< c, Ayrıca

c-x£ b n - bir n< e . Böylece gerekli X.

Pirinç. 1.11

Benzer şekilde şu da kanıtlanabilir: Aşağıda sınırlanmış boş olmayan bir kümenin bir sonsuzluğu vardır.

Teorem 2. Kesin üstünlük (varsa) benzersizdir.

Kanıt: Tam iki yüz olsun B 2 ,B 1 , B 1 2 . e'yi al = B 2 - B 1 > 0. Tam üst sınırın belirlenmesi (için B 2)$XÎ E: x > b 2 - e = b 1, bu neyle çelişiyor B 1 üst kenar.

Pirinç. 1.12

Yorum. Infimum'un benzersiz olduğu da benzer şekilde kanıtlanmıştır.

E yukarıda sınırlı değilse, yazın akşam yemeği E = +¥, benzer şekilde, eğer E aşağıya sınırlı değilse, o zaman yazın bilgi e= -¥ .

Reel sayıların sürekliliği özelliğine dayanan başka bir teoremi ispatlayalım.

Üst (alt) yüzün varlığına ilişkin tema.Öncelikle birkaç tanımdan bahsedelim.

Tanım. Sayısal küme Xöyle bir M sayısı varsa yukarıda sınırlı olarak adlandırılır x ≤ M herhangi bir eleman için Xçoğundan X .

Tanım. Sayısal küme X bir sayı varsa alttan sınırlı olarak adlandırılır MÖyle ki x ≥m herhangi bir eleman için Xçoğundan X .

Tanım. Sayısal küme X Yukarıdan ve aşağıdan sınırlı ise sınırlı olarak adlandırılır.

Sembolik gösterimde bu tanımlar şöyle görünecektir:

birçok X yukarıda sınırlı ise ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

aşağıda sınırlıysa ∃m ∀x ∈ X: x ≥m Ve

eğer sınırlıysa ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Tanım. Herhangi bir sayı için A R negatif olmayan sayı

buna denir mutlak değer veya modül. Sayıların mutlak değerleri için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: |a+b| < |bir| bir sayının modülünün tanımından ve toplama ve sıralama aksiyomlarından çıkan bir sonuçtur.

Teorem 4.3.1. Sayısal küme X ancak ve ancak buradaki tüm x elemanları için eşitsizliği ayarlayacak şekilde bir C sayısı varsa sınırlıdır ≤ C.

Kanıt. Bırakın set X sınırlı. Hadi koyalım C =maks(m, M)- m ve M sayılarının en büyüğü. Daha sonra gerçek sayıların modülünün özelliklerini kullanarak eşitsizlikleri elde ederiz x ≤M≤M ≤C ve x≥m≥ −m≥ −C, bu da ≤ C anlamına gelir.

Tersine, eğer eşitsizlik ≤ C geçerliyse, o zaman −C ≤ x ≤ C olur. M = C ve m = −C koyarsak gerekli olan budur.◄

Sayı M, seti sınırlandırmak Xüstte, denir kümenin üst sınırı. Eğer M- kümenin üst sınırı X, ardından herhangi bir sayı M' hangisi daha büyük M, aynı zamanda bu kümenin üst sınırı olacaktır. Böylece kümenin üst sınır kümesinden bahsedebiliriz. X. Üst sınırlar kümesini ile gösterelim. Daha sonra, ∀x ∈ X ve ∀M ∈ eşitsizlik giderilecek x ≤M dolayısıyla süreklilik aksiyomuna göre öyle bir sayı vardır ki x ≤ ≤M. Bu numara bir X sayı kümesinin tam üst sınırı veya bu kümenin üst sınırı denir veya kümenin üstünlüğü X ve belirlenmiş =destek X. Böylece yukarıdan sınırlanan boş olmayan her sayı kümesinin her zaman bir üst sınırı olduğunu kanıtlamış olduk.

eşitliğin olduğu açıktır = destek X iki duruma eşdeğerdir:

1) ∀x ∈ X x ≤ eşitsizliği geçerlidir, yani. - kümenin üst sınırı X ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X böylece xε > −ε eşitsizliği sağlanır, yani. bu sınır artırılamaz (azaltılamaz).

Benzer şekilde, eğer bir küme aşağıdan sınırlıysa, o zaman bir infimumunun olduğu kanıtlanabilir. aynı zamanda X kümesinin infimum'u olarak da adlandırılır ve inf X ile gösterilir. =inf X eşitliği şu koşullara eşdeğerdir:

1) ∀x ∈ X eşitsizlik geçerli x ≥ ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X eşitsizliğin devam etmesi için xε< + ε .

Eğer bir X kümesi en büyük elemana sahipse buna X adını vereceğiz.

X kümesinin maksimum elemanıdır ve = max X'i belirtir. Daha sonra

supX =. Benzer şekilde, eğer bir kümede en küçük bir eleman varsa, o zaman buna minimum diyeceğiz, minX'i göstereceğiz ve bu kümenin infimum'u olacaktır. X .

Üst ve alt yüzlerin çeşitli özelliklerini formüle edelim:

Özellik 1. İzin vermek X- bazı sayısal kümeler. ile belirtelim −X birçok (− x| x ∈ X ). Daha sonra sup (− X) = − inf X Ve inf (− X) = − sup X .

Mülk 2.İzin vermek X- bazı sayı kümeleri λ – gerçek bir sayı. ile belirtelim λX birçok (λx | x ∈ X). O zaman eğer λ ≥ 0 ise, o zaman sup(λX) = λ supX , inf(λ X)= λ infX ve eğer λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .

Özellik 3. İzin vermek X1 ve X2- sayısal kümeler. ile belirtelim X1+X2 birçok ( x1+ x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 ) ve aracılığıyla X1 – X2 birçok (x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2). Daha sonra destek(X1 + X2)=destekX1+destekX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2 ve inf (X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .

Özellik 4. X1 ve X2, tüm elemanları negatif olmayan sayı kümeleri olsun. O zaman sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .

Örneğin Özellik 3'ün ilk eşitliğini kanıtlayalım. x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 ve x=x1+x2. Daha sonra x1 ≤ destek X1, x2 ≤ destek X2 Ve x ≤ destek X1 + destek X2, Neresi destek(X1 + X2) ≤ destek X1 + destek X2 .

Ters eşitsizliği kanıtlamak için sayıyı alın sen . Daha sonra elemanları bulabiliriz. ∈ X1 ve ∈ X2 öyle ki ^{sen . Bu, bir unsurun var olduğu anlamına gelir. = + ∈ X1+X2, y sayısından büyüktür ve destek X1 + destek X2 = destek (X1 + X2). Geriye kalan ilişkiler de benzer şekilde kanıtlanmıştır.}

Arşimed ilkesi ve üst ve alt sınırların varlığı süreklilik aksiyomu yerine bir aksiyom olarak varsayılabilirse, bu yeni aksiyomdan süreklilik aksiyomu çıkacaktır. (Bunu kendiniz kanıtlamaya çalışın).

MATEMATİKSEL ANALİZ

Bölüm I

LİMİT TEORİSİ. Sıra limiti ve fonksiyon limiti. Tam bir üstünlük için varoluş teoremi.

Değişkene izin ver X N sonsuz bir değer dizisi alır

X 1 , X 2 , ..., X N , ..., (1)

ve değişkenin değişim yasası biliniyor X N, yani her doğal sayı için N uygun değeri belirtebilirsiniz X N. Bu nedenle değişkenin olduğu varsayılmaktadır. X N bir fonksiyonudur N:

X N = f(n)

Matematiksel analizin en önemli kavramlarından birini tanımlayalım: bir dizinin limiti veya aynı anlama gelen bir değişkenin limiti X N, dizi boyunca koşuyor X 1 , X 2 , ..., X N , ... . .

Tanım. Sabit sayı A isminde dizinin limiti X 1 , X 2 , ..., X N , ... . veya bir değişkenin limiti X N, eğer keyfi olarak küçük bir pozitif sayı için e böyle bir doğal sayı varsa N(yani sayı N) değişkenin tüm değerleri X N, başlayarak X N, farklı A mutlak değer olarak e'den küçüktür. Bu tanım kısaca şu şekilde yazılır:

| X N -A |< (2)

herkesin önünde N  N veya aynı olan şey,

Cauchy limitinin belirlenmesi. Bir A sayısına, bir f(x) fonksiyonunun bir a noktasındaki limiti denir, eğer bu fonksiyon, a noktasının olası istisnası dışında, a noktasının bir komşuluğunda tanımlanıyorsa ve her ε > 0 için δ mevcutsa > 0 öyle ki tüm x koşulları için |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Heine limitinin belirlenmesi. Bir A sayısına, bir f(x) fonksiyonunun bir a noktasındaki limiti denir, eğer bu fonksiyon a noktasının olası istisnası dışında a noktasının bazı komşuluklarında tanımlanmışsa ve herhangi bir dizi için: a sayısına yakınsayan fonksiyon değerlerinin karşılık gelen dizisi A sayısına yakınsar.

Eğer f(x) fonksiyonunun a noktasında bir limiti varsa bu limit tektir.

Her ε > 0 için δ > mevcutsa, A 1 sayısına a noktasında soldaki f(x) fonksiyonunun limiti denir.

Eşitsizliğin herkes için geçerli olduğu her ε > 0 için δ > 0 varsa, A 2 sayısına f(x) fonksiyonunun a noktasında sağdaki limiti denir.

Soldaki limit sağdaki limit ile gösterilir - Bu limitler fonksiyonun a noktasının solundaki ve sağındaki davranışını karakterize eder. Bunlara genellikle tek yönlü limitler denir. X → 0 için tek taraflı limitlerin belirlenmesinde ilk sıfır genellikle atlanır: ve. Yani fonksiyon için

Her ε > 0 için, |x – a| koşulunu sağlayan tüm x'ler için bir noktanın δ-komşusu varsa< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε ise f(x) fonksiyonunun a noktasında sonsuz bir limiti olduğunu söylerler:

Dolayısıyla fonksiyonun x = 0 noktasında sonsuz bir limiti vardır. +∞ ve –∞'a eşit limitler sıklıkla ayırt edilir. Bu yüzden,

Her ε > 0 için bir δ > 0 varsa, öyle ki her x > δ için |f (x) – A| eşitsizliği< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Tam bir üstünlük için varoluş teoremi

Tanım:АR mR, m А'nın üst (alt) yüzüdür, eğer аА аm (аm).

Tanım: Eğer aA, am (am)'yi tutacak şekilde bir m varsa, bir A kümesi yukarıdan (aşağıdan) sınırlanmıştır.

Tanım: SupA=m, eğer 1) m, A'nın üstü ise

2) m': m' m’ A’nın üstü değil

InfA = n, eğer 1) n, A'nın infimumu ise

2) n': n'>n => n' A'nın infimumu değil

Tanım: SupA=m öyle bir sayıdır ki: 1)  aA am

2) >0 a  A, öyle ki a  a-

InfA = n öyle bir sayıdır ki: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, öyle ki a E a+

Teorem: Yukarıdan sınırlı, boş olmayan herhangi bir AR kümesinin tam bir üstünlüğü ve tek bir değeri vardır.

Kanıt:

Sayı doğrusunda m sayısını oluşturalım ve bunun A'nın üstü olduğunu kanıtlayalım.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A'nın üst sınırı

Segment [[m],[m]+1] - 10 parçaya bölünmüş

m 1 =maks:aA)]

m 2 =maks,m 1:aA)]

m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - üst kenar A

m=[m],m 1 ...m K'nin üstün olduğunu ve benzersiz olduğunu kanıtlayalım:

k: fonksiyonun maksimuma ulaştığı bir nokta vardır, fonksiyonun minimuma ulaştığı bir nokta vardır.

Kanıt:

f(x) fonksiyonu üzerinde sürekli olsun, o zaman Teorem 1'e göre bu aralıkta sınırlıdır. Sonuç olarak, fonksiyon değerleri kümesi sınırlıdır. O halde üstünlük ilkesi gereği bu kümenin tam bir üst ve tam bir alt sınırı vardır.

şunu belirtiriz ve bunun f(x) fonksiyonunun : segmentindeki en büyük değeri olacağını gösteririz.

Tam tersini varsayalım, yani.

'den beri f(x)< .

fonksiyonu tanıtalım . -f(x) 0 olduğundan fonksiyon üzerinde süreklidir. Bu durumda, Weierstrass'ın birinci teoremine göre fonksiyon -f(x) üzerinde sınırlıdır.

, burada >0

Bu eşitsizlik geçerli olduğundan sayı, fonksiyon değerleri kümesinin tam üst sınırı değildir. Bir çelişkiye varıyoruz, bu da varsayımımızın yanlış olduğu anlamına geliyor. Benzer şekilde sürekli bir fonksiyonun bir segment üzerinde minimum değerine ulaştığı kanıtlanabilir. Teorem kanıtlandı.

DİFERANSİYELEBİLİR FONKSİYONLAR Rolle ve Lagrange Teoremleri.Formül T

Eylor'un Lagrange formunda kalan terimi. Rolle'un teoremi.

Eğer f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında sürekli ise, aralığın içinde bir türevi vardır ve eğer

f(a) = f(b) 0 o zaman [a, b] aralığının içinde böyle en az bir x değeri vardır< x 0 < b), что

(A 0 ) = 0.

f "(x Kanıt.

İki durumu ele alalım. 1. İşlev f(x) aralıkta sabittir [ a, b ]; Daha sonra f"(x) = 0 herkes için< x < b) x(bir

, yani Rolle teoreminin ifadesi otomatik olarak gerçekleştirilir. 1. İşlev 2. İşlev sabit değildir (Şekil 1); daha sonra aralığın iç noktasında bu değerlerin en büyüğüne veya en küçüğüne veya her ikisine ulaşır, çünkü f(b) = f(a) ve eğer f(a) 1. İşlev aralık içerisinde alacaktır.

Örneğin f(x 0 ) - fonksiyonun en büyük değeri 1. İşlev aralıkta [ aralıkta sabittir [] Ve X 0 - bu aralığın iç noktası. Daha sonra f(x 0 ) fonksiyonun maksimumudur: f(x 0 )  1. İşlev herkes için X oldukça küçük bir mahalleden X 0 [ancak bu mahalle için aralık alınabilir ( aralıkta sabittir [)].

Çünkü koşul gereği, 1. İşlevşu noktada var X 0 türev, daha sonra bir ekstremum için gerekli kritere ilişkin teorem ile,

(A 0 ) = 0 ,

ve Rolle teoremi kanıtlandı.

Rolle teoreminin basit bir geometrik yorumu vardır: y = f(x) eğrisinin her noktasında bir teğet bulunan ve A ve B uçları Ox ekseninden aynı uzaklıkta olan bir AB yayı verilirse, o zaman bu yay üzerinde en az bir tane vardır. Eğrinin teğetinin yayı daraltan kirişe ve dolayısıyla Ox eksenine paralel olacağı bir nokta(bkz. şekil 1).

Koordinat eksenlerini a açısı kadar döndürürsek, uçlar A Ve B yaylar AB artık eksenden aynı uzaklıkta olmayacak Öküz", ancak teğet T hala akora paralel olacak AB(bkz. şekil 1). Bu nedenle teoremin geçerli olmasını beklemek doğaldır: Eğer bir y = f(x) eğrisinin sürekli değişen teğetli bir AB yayı verilirse, o zaman bu yay üzerinde teğetin onu destekleyen AB kirişine paralel olduğu en az bir nokta vardır.(Şekil 2).

Bu teorem, aşağıdaki teoremin geometrik bir açıklamasıdır. Lagrange teoremleri.

Lagrange teoremi. Eğer f(x) fonksiyonu kapalı bir aralıkta sürekli ise[aralıkta sabittir [] ve içinde bir f "(x) türevi varsa, o zaman böyle en az bir x değeri vardır 0 o zaman [a, b] aralığının içinde böyle en az bir x değeri vardır< x 0 < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f "(x).

f "(x Yardımcı işlevi düşünün

F(x) = f(x) - k(x - a),

Nerede - akorun açısal katsayısı AB(bkz. şekil 2).

Bu fonksiyon Rolle teoreminin tüm koşullarını karşılar.

Aslında ne zaman x = bir sahibiz F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), en x = b sahibiz

Üstelik fonksiyondan dolayı 1. İşlev Ve k(x - a) sürekli [ a, b] ve ('de türevlenebilir) a, b), ardından fonksiyon F(x) = f(x) - k(x - a)[ üzerinde süreklidir a, b] ve ('de türevlenebilir) a, b).

Bu nedenle, Rolle teoremine göre aralıkta ( a, b) böyle bir nokta var X 0 , Ne

F"(x 0 ) = 0 ,

(A 0 ) - k = 0

Buradan elimizde

f(b) - f(a) = (b - a)f " (x 0 ) ,

Q.E.D.

Çünkü a + (b - a) = b, ardından değer a+(b-a) burada Q uygun bir pozitif kesirdir (0 <  < 1) , aralıktaki bir sayıya eşittir ( a, b), dolayısıyla Lagrange formülü şu şekilde yazılabilir:

f(b) - f(a) = (b - a)f "

Eğer koyarsan a = x, b = x +X, Neresi b - a =X, daha sonra Lagrange formülü şu şekilde yazılacaktır:

y = f(x +x) - f(x) =xf"(x+X).

Daha önce bir fonksiyonun bir sabite eşit olması durumunda kanıtlanmıştı. C herhangi bir değerde X aralıkta (a, b), türevi sıfıra eşittir.

Şimdi Lagrange teoreminin bir sonucu olan ters teoremi kanıtlayalım:

Eğer f "(x) türevi (a, b) aralığındaki herhangi bir x değeri için sıfırsa, o zaman bu aralıkta f(x) = C.

Aslında eğer X 1 Ve X 2 - aralıktaki herhangi iki değer (a, b), o zaman Lagrange teoremine göre, elimizdeki

f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 -X 1 )f"(x 0 ),

Nerede, X 1 < x 0 < x 2 . Ama o zamandan beri f"(x 0 ) = 0 , O

f(x 2 ) - f(x 1 ) = 0,

bu da bizim teoremimizi kanıtlıyor.

Bundan doğrudan önemli bir teorem çıkar:

Eğer iki fonksiyon f 1 (x) ve f 2 (x) (a, b) aralığında aynı türevlere sahipse, bu aralıkta birbirlerinden sabit bir değerle farklılık gösterirler.

Gerçekten, işlevi düşünün

(x) = f 2 (x)-f 1 (X).

Daha sonra herhangi bir değer için X aralıktan (a, b)

"(x) = f 2 "(x)-f 1 "(x) = 0.

Ancak bu şu anlama gelir: (x) = C ve bu nedenle

F 2 (x)-f 1 (x) = C.

Taylor'ın formülü. Aralığa izin verf(x) fonksiyonu n defa türevlenebilir ve aşağıdaki eşitlikler sağlanır:

f(a) = f(b) = f "(a) = f ""(a)= ... = f (n-1) (bir)=0

Daha sonra aralığın içindeen az bir değer var,hangisinde

F (N) (c) = 0

f "(x İle Rolle teoremi sahibiz

f "(x 0 ) = 0 ,

Nerede A< x 0 < b . Daha sonra f "(x) aralıkta Rolle teoremini karşılar, çünkü koşula göre, f"(a) = 0 Ve f "(x 0 ) = 0 ve bu nedenle

f ""(x 1 ) = 0 ,

Nerede A< x 1 < x 0 .

Rolle teoremini fonksiyonlara art arda uygulamak f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (X) sonunda şunu buluyoruz:

F (N) (c) = 0,

Nerede A< c < x n-1 < b . Teorem kanıtlandı.

Şimdi türetelim Lagrange formunda kalan terimli Taylor formülü.

Fonksiyona izin ver f(x) türevlenebilir N aralıktaki zamanlar.

Yardımcı işlevi düşünün

(x) = f(x) - P(x),

Haydi farklılaşalım N fonksiyonun katı  (X). O zaman sahip olacağız

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 (n-1) (x) = f (n-1) (x)-A n-1 - A N (x - a),

 (N) (x) = f (N) (x)-A N

 fonksiyonunun olmasını istiyoruz (X) genelleştirilmiş Rolle teoreminin koşullarını sağladı. O zaman sahip olacağız

(1) .

 fonksiyonundan beri (X) genelleştirilmiş Rolle teoreminin koşullarını karşılıyorsa, o zaman böyle bir değer vardır (bir) ile< c < b) , Ne

 (N) (c) = f (N) (c) - Bir N = 0 (2)