İfadeyi çevrimiçi olarak bir çözümle çarpanlarına ayırın. Faktorizasyon

Bir polinomun çarpanlara ayrılması. Bölüm 1

Faktorizasyon- bu, çözmeye yardımcı olan evrensel bir tekniktir karmaşık denklemler ve eşitsizlikler. Sağ tarafında sıfır bulunan denklem ve eşitsizlikleri çözerken akla gelmesi gereken ilk düşünce, açmaya çalışmaktır. sol tarafçarpanlara göre.

Başlıcalarını listeleyelim bir polinomu çarpanlarına ayırmanın yolları:

• ortak çarpanı parantez dışına koymak
• kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma
• çarpanlara ayırma formülüne göre ikinci dereceden üç terimli
• gruplama yöntemi
• bir polinomun binomla bölünmesi
• belirsiz katsayılar yöntemi

Bu yazıda ilk üç yöntem üzerinde ayrıntılı olarak duracağız; geri kalanını sonraki makalelerde ele alacağız.

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak için önce onu bulmalısınız. Ortak çarpan faktörü tüm katsayıların en büyük ortak bölenine eşittir.

Mektup kısmı ortak faktör, her terimin içerdiği ifadelerin en küçük üsle çarpımına eşittir.

Ortak bir çarpan atama şeması şuna benzer:

Dikkat!
Parantez içindeki terim sayısı orijinal ifadedeki terim sayısına eşittir. Eğer terimlerden biri eşleşiyorsa ortak faktör, ortak bir çarpana bölündüğünde bir elde ederiz.

Örnek 1.

Polinomu çarpanlara ayırın:

Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım. Bunu yapmak için önce onu bulacağız.

1. En büyüğünü bulun ortak bölen polinomun tüm katsayıları, yani 20, 35 ve 15 sayıları. 5'e eşittir.

2. Değişkenin tüm terimleri kapsadığını ve üslerinin en küçüğünün 2'ye eşit olduğunu tespit ederiz. Değişken tüm terimleri içerir ve üslerinin en küçüğü 3'tür.

Değişken yalnızca ikinci terimde yer alır, dolayısıyla ortak faktörün parçası değildir.

Yani toplam faktör

3. Yukarıda verilen diyagramı kullanarak çarpanı parantezlerden çıkarıyoruz:

Örnek 2. Denklemi çözün:

Çözüm. Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım. Parantez içindeki çarpanı çıkaralım:

Böylece denklemi elde ederiz

Her faktörü sıfıra eşitleyelim:

İlk denklemin kökünü elde ederiz.

Kökler:

Cevap: -1, 2, 4

2. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak çarpanlara ayırma.

Çarpanlarına ayıracağımız polinomdaki terim sayısı üçten küçük veya eşitse kısaltılmış çarpma formüllerini uygulamaya çalışırız.

1. Polinom iseiki terimin farkı, sonra başvurmaya çalışıyoruz kare fark formülü:

veya küp formülü farkı:

İşte harfler ve bir sayıyı veya cebirsel ifadeyi belirtir.

2. Bir polinom iki terimin toplamıysa, o zaman belki de şu şekilde çarpanlara ayrılabilir: küp formüllerinin toplamı:

3. Bir polinom üç terimden oluşuyorsa, o zaman uygulamaya çalışırız kare toplamı formülü:

veya kare fark formülü:

Veya çarpanlara ayırmaya çalışıyoruz İkinci dereceden bir trinomial çarpanlarına ayırma formülü:

Burada ve ikinci dereceden denklemin kökleri

Örnek 3.İfadeyi çarpanlarına ayırın:

Çözüm. Önümüzde iki terimin toplamı var. Küp toplamı formülünü uygulamaya çalışalım. Bunu yapmak için, önce her terimi bir ifadenin küpü olarak temsil etmeniz ve ardından küplerin toplamına ilişkin formülü uygulamanız gerekir:

Örnek 4.İfadeyi çarpanlarına ayırın:

Karar. Burada iki ifadenin kareleri farkını görüyoruz. Birinci ifade: , ikinci ifade:

Kareler farkı formülünü uygulayalım:

Parantezleri açıp benzer terimleri ekleyelim, şunu elde ederiz:

Faktoring polinomları kimlik dönüşümü bunun sonucunda polinom çeşitli faktörlerin (polinomlar veya monomiyaller) ürününe dönüştürülür.

Polinomları çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır.

Yöntem 1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.

Bu dönüşüm, dağıtım çarpma kanununa dayanmaktadır: ac + bc = c(a + b). Dönüşümün özü, söz konusu iki bileşendeki ortak faktörü izole etmek ve onu parantezlerden "çıkarmaktır".

28x3 – 35x4 polinomunu çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. 28x3 ve 35x4 elemanları için ortak bölen bulun. 28 ve 35 için 7; x 3 ve x 4 – x 3 için. Yani ortak çarpanımız 7x3'tür.

2. Her bir unsuru faktörlerin bir ürünü olarak temsil ederiz; bunlardan biri
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Parantezlerin ortak çarpanını çıkarıyoruz
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Yöntem 2. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması. Bu yöntemi kullanmanın “ustalığı”, ifadedeki kısaltılmış çarpma formüllerinden birini fark etmektir.

Polinom x 6 – 1'i çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. Kareler farkı formülünü bu ifadeye uygulayabiliriz. Bunu yapmak için x 6'yı (x 3) 2 ve 1'i 1 2 olarak hayal edin, yani. 1. İfade şu şekli alacaktır:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Küplerin toplamı ve farkı formülünü elde edilen ifadeye uygulayabiliriz:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Bu yüzden,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Yöntem 3. Gruplandırma. Gruplandırma yöntemi, bir polinomun bileşenlerinin, üzerlerinde işlem yapılmasını kolaylaştıracak şekilde birleştirilmesini içerir (toplama, çıkarma, ortak bir faktörün çıkarılması).

Polinom x 3 – 3x 2 + 5x – 15'i çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. Bileşenleri şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.
(x3 – 3x2) + (5x – 15).

2. Ortaya çıkan ifadede, ortak çarpanları parantezlerden çıkarıyoruz: ilk durumda x 2, ikinci durumda 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Ortak faktör x – 3'ü parantezlerden çıkarırız ve şunu elde ederiz:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Bu yüzden,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Malzemeyi güvence altına alalım.

a 2 – 7ab + 12b 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

1. 7ab tek terimlisini 3ab + 4ab toplamı olarak temsil edelim. İfade şu şekli alacaktır:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Parantezleri açalım ve şunu elde edelim:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Polinomun bileşenlerini şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.. Şunu elde ederiz:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Parantez içindeki ortak faktörleri çıkaralım:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Ortak çarpanı (a – 3b) parantezlerden çıkaralım:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Bu yüzden,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Çarpanlarına ayırma polinomlarına 8 örnek verilmiştir. İkinci dereceden ve ikinci dereceden çözüm örnekleri içerirler. iki ikinci dereceden denklemler, tekrarlayan polinomlara ilişkin örnekler ve üçüncü ve dördüncü dereceden polinomların tamsayı köklerinin bulunmasına ilişkin örnekler.

1. İkinci dereceden denklem çözme örnekleri

Örnek 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

Çözüm

x'i çıkarıyoruz 2 parantezlerin dışında:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Denklemin kökleri:
, .

.

Cevap

Örnek 1.2

Üçüncü derece polinomu çarpanlarına ayırın:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.

Çözüm

X'i parantezden çıkaralım:
.
İkinci dereceden denklem x'in çözümü 2 + 6 x + 9 = 0:
Ayırt edicisi: .
Diskriminant olduğundan sıfıra eşit, bu durumda denklemin kökleri katlardır: ;
.

Bundan polinomun çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:
.

Cevap

Örnek 1.3

Beşinci derece polinomu çarpanlarına ayırın:
X 5 - 2x4 + 10x3.

Çözüm

x'i çıkarıyoruz 3 parantezlerin dışında:
.
İkinci dereceden denklem x'in çözümü 2 - 2 x + 10 = 0.
Ayırt edicisi: .
Diskriminant sıfırdan küçük olduğundan denklemin kökleri karmaşıktır: ;
, .

Polinomun çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.

Gerçek katsayılarla çarpanlara ayırmayla ilgileniyorsak, o zaman:
.

Cevap

Formülleri kullanarak polinomları çarpanlara ayırma örnekleri

Biquadratic polinomlara örnekler

Örnek 2.1

Biquadratic polinomu çarpanlarına ayırın:
X 4 + x 2 - 20.

Çözüm

Formülleri uygulayalım:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Cevap

Örnek 2.2

Biquadratic'e indirgenen polinomu çarpanlarına ayırın:
X 8 + x 4 + 1.

Çözüm

Formülleri uygulayalım:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Cevap

Tekrarlayan polinom ile Örnek 2.3

Karşılıklı polinomu çarpanlarına ayırın:
.

Çözüm

Karşılıklı bir polinomun derecesi tektir. Bu nedenle kökü x = -'dir. 1 . Polinomu x'e bölün -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Cevap

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Bir değişiklik yapalım:

Tamsayı kökleri olan polinomların çarpanlarına ayrılması örnekleri
.

Çözüm

Örnek 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Polinomu çarpanlara ayırın:;
Diyelim ki denklem;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
X 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
Böylece üç kök bulduk:
.

Cevap

, X

Tamsayı kökleri olan polinomların çarpanlarına ayrılması örnekleri
.

Çözüm

Örnek 3.1

Orijinal polinom üçüncü dereceden olduğundan üçten fazla kökü yoktur. Üç kök bulduğumuza göre bunlar basit. Daha sonra Örnek 3.2 en az bir tane var 2 bütün kök
-2, -1, 1, 2 .
. O halde bu sayının böleni
(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir: 6 ;
Bu değerleri tek tek değiştiriyoruz: 0 ;
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = .
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12 2 bütün kök
1, 2, -1, -2 .
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 -1 :
.

Bu denklemin bir tamsayı köküne sahip olduğunu varsayarsak, o zaman bu sayının böleni olur 2 = -1 x = yerine koyalım
.

Yani başka bir x kökü bulduk 2 + 2 = 0 . Önceki durumda olduğu gibi polinomu ile bölmek mümkün olabilir, ancak terimleri gruplandıracağız: Denklemden beri x

sahip değil

Birçok kişi kare trinomialin nasıl çarpanlara ayrılacağını ve bunun neden yapıldığını anlamıyor. İlk başta faydasız bir egzersiz gibi görünebilir. Ama matematikte hiçbir şey boşuna yapılmaz. İfadeyi basitleştirmek ve hesaplamayı kolaylaştırmak için dönüşüm gereklidir.

– ax²+bx+c biçiminde bir polinom, ikinci dereceden trinomial denir."A" terimi negatif veya pozitif olmalıdır. Uygulamada bu ifadeye ikinci dereceden denklem denir. Bu nedenle bazen farklı söylüyorlar: ikinci dereceden bir denklemin nasıl genişletileceği.

İlginç! Bir polinomun kare olarak adlandırılmasının nedeni, büyük ölçüde- kare. Ve bir trinomial - 3 bileşenden dolayı.

Diğer bazı polinom türleri:

• doğrusal binom (6x+8);
• kübik dörtgen (x³+4x²-2x+9).

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

Öncelikle ifade sıfıra eşit, ardından x1 ve x2 köklerinin değerlerini bulmanız gerekiyor. Kökü olmayabilir, bir veya iki kökü olabilir. Köklerin varlığı diskriminant tarafından belirlenir. Formülünü ezbere bilmeniz gerekiyor: D=b²-4ac.

D sonucu negatif ise kök yoktur. Pozitif ise iki kök vardır. Sonuç sıfır ise kök birdir. Kökler ayrıca formül kullanılarak hesaplanır.

Diskriminant hesaplanırken sonuç sıfırsa formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz. Uygulamada formül basitçe kısaltılmıştır: -b / 2a.

için formüller farklı anlamlar diskriminantlar farklıdır.

D pozitif ise:

D sıfır ise:

Çevrimiçi hesap makineleri

İnternette var çevrimiçi hesap makinesi. Çarpanlara ayırma işlemi yapmak için kullanılabilir. Bazı kaynaklar çözümü adım adım görüntüleme fırsatı sağlar. Bu tür hizmetler konunun daha iyi anlaşılmasına yardımcı olur ancak konuyu iyi anlamaya çalışmanız gerekir.

Faydalı video: İkinci dereceden bir trinomialin çarpanlara ayrılması

Örnekler

Sizi görmeye davet ediyoruz basit örnekler, ikinci dereceden bir denklemin nasıl çarpanlara ayrılacağı.

Örnek 1

Bu açıkça sonucun iki x olduğunu gösteriyor çünkü D pozitif. Formülde değiştirilmeleri gerekir. Kökler negatif çıkarsa formüldeki işaret ters yönde değişir.

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırma formülünü biliyoruz: a(x-x1)(x-x2). Değerleri parantez içine alıyoruz: (x+3)(x+2/3). Kuvvette terimden önce sayı yoktur. Demek ki orada biri var, aşağı iniyor.

Örnek 2

Bu örnek, tek kökü olan bir denklemin nasıl çözüleceğini açıkça göstermektedir.

Ortaya çıkan değeri değiştiriyoruz:

Örnek 3

Verilen: 5x²+3x+7

Öncelikle önceki durumlarda olduğu gibi diskriminantı hesaplayalım.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant negatiftir, yani kökleri yoktur.

Sonucu aldıktan sonra parantezleri açıp sonucu kontrol etmelisiniz. Orijinal trinomial görünmelidir.

Alternatif çözüm

Bazı insanlar ayrımcıyla hiçbir zaman arkadaşlık kuramadı. İkinci dereceden bir trinomial'i çarpanlara ayırmanın başka bir yolu var. Kolaylık sağlamak için yöntem bir örnekle gösterilmiştir.

Verilen: x²+3x-10

2 parantez almamız gerektiğini biliyoruz: (_)(_). İfade şu şekilde göründüğünde: x²+bx+c, her parantezin başına x: (x_)(x_) koyarız. Kalan iki sayı "c"yi veren çarpımdır, yani bu durumda -10. Bunların hangi sayılar olduğunu bulmanın tek yolu seçimdir. Değiştirilen sayılar kalan süreye karşılık gelmelidir.

Örneğin çarpma aşağıdaki sayılar-10 verir:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. HAYIR.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. HAYIR.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. HAYIR.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Uyar.

Bu, x2+3x-10 ifadesinin dönüşümünün şu şekilde göründüğü anlamına gelir: (x-2)(x+5).

Önemli!İşaretleri karıştırmamaya dikkat etmelisiniz.

Karmaşık bir trinomiyalin genişletilmesi

Eğer "bir" birden fazla, zorluklar başlıyor. Ancak her şey göründüğü kadar zor değil.

Çarpanlara ayırmak için öncelikle herhangi bir şeyin çarpanlara ayrılıp ayrılamayacağını görmeniz gerekir.

Örneğin şu ifade verilmiştir: 3x²+9x-30. Burada 3 rakamı parantezden çıkarılmıştır:

3(x²+3x-10). Sonuç zaten iyi bilinen üçlü terimdir. Cevap şuna benzer: 3(x-2)(x+5)

Karedeki terim negatif ise nasıl ayrıştırılır? İÇİNDE bu durumda-1 sayısı parantezlerden çıkarılmıştır. Örneğin: -x²-10x-8. Daha sonra ifade şu şekilde görünecektir:

Şema öncekinden çok az farklı. Sadece birkaç yeni şey var. Diyelim ki ifade verildi: 2x²+7x+3. Cevap ayrıca (_)(_) doldurulması gereken 2 parantez içinde yazılmıştır. 2. parantez içinde x, 1. parantez içinde kalan şey yazılır. Şuna benzer: (2x_)(x_). Aksi takdirde önceki şema tekrarlanır.

3 sayısı sayılarla verilmektedir:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Denklemleri bu sayıları değiştirerek çözüyoruz. uyar son seçenek. Bu, 2x²+7x+3 ifadesinin dönüşümünün şu şekilde göründüğü anlamına gelir: (2x+1)(x+3).

Diğer durumlar

Bir ifadeyi dönüştürmek her zaman mümkün değildir. İkinci yöntemle denklemin çözülmesine gerek yoktur. Ancak terimlerin ürüne dönüştürülme olasılığı yalnızca diskriminant aracılığıyla kontrol edilir.

Karar vermek için pratik yapmaya değer ikinci dereceden denklemler böylece formülleri kullanırken hiçbir zorluk yaşanmaz.

Faydalı video: bir trinomial'ı çarpanlarına ayırma

Çözüm

Bunu herhangi bir şekilde kullanabilirsiniz. Ancak her ikisi de otomatik hale gelinceye kadar pratik yapmak daha iyidir. Ayrıca hayatını matematikle birleştirmeyi planlayanlar için ikinci dereceden denklemleri ve faktör polinomlarını iyi çözmeyi öğrenmek gereklidir. Aşağıdaki matematik konularının tümü bunun üzerine inşa edilmiştir.

Cebirde “polinom” ve “polinomun çarpanlara ayrılması” kavramlarıyla çok sık karşılaşılır, çünkü büyük hesaplamaları kolayca yapabilmek için bunları bilmeniz gerekir. çok basamaklı sayılar. Bu makale birkaç ayrıştırma yöntemini açıklayacaktır. Hepsinin kullanımı oldukça basittir; yalnızca her özel durum için doğru olanı seçmeniz gerekir.

Polinom kavramı

Bir polinom, tek terimlilerin, yani yalnızca çarpma işlemini içeren ifadelerin toplamıdır.

Örneğin, 2 * x * y bir monomdur, ancak 2 * x * y + 25, 2 monomdan oluşan bir polinomdur: 2 * x * y ve 25. Bu tür polinomlara binom denir.

Bazen örnekleri çözme kolaylığı için çok değerli anlamlar ifadenin dönüştürülmesi, örneğin belirli sayıda faktöre, yani aralarında çarpma işleminin gerçekleştirildiği sayılara veya ifadelere ayrıştırılması gerekir. Bir polinomu çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır. İlkokulda kullanılan en ilkel olandan başlayarak bunları dikkate almaya değer.

Gruplandırma (genel biçimde kayıt)

Gruplandırma yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlarına ayırma formülü genel görünümşuna benziyor:

ac + bd + bc + reklam = (ac + bc) + (reklam + bd)

Tek terimlileri, her grubun ortak bir çarpanı olacak şekilde gruplandırmak gerekir. İlk parantez içinde bu c faktörüdür ve ikincisinde - d. Bu, daha sonra onu braketten çıkarmak ve böylece hesaplamaları basitleştirmek için yapılmalıdır.

Belirli bir örnek kullanarak ayrıştırma algoritması

Gruplandırma yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlarına ayırmanın en basit örneği aşağıda verilmiştir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

İlk parantez içinde ortak olacak a faktörü ve ikincisinde b faktörü ile terimleri almanız gerekir. Bitmiş ifadedeki + ve - işaretlerine dikkat edin. Tek terimlinin önüne ilk ifadedeki işareti koyduk. Yani 25a ifadesiyle değil -25 ifadesiyle çalışmanız gerekiyor. Eksi işareti, arkasındaki ifadeye "yapıştırılmış" gibi görünüyor ve hesaplama sırasında her zaman dikkate alınıyor.

Açık sonraki adım ortak olan faktörü parantezlerin dışına çıkarmanız gerekir. Gruplandırmanın amacı da tam olarak budur. Parantez dışına koymak, parantez içindeki tüm terimlerde tam olarak tekrarlanan tüm faktörleri parantezden önce (çarpma işaretini atlayarak) yazmak anlamına gelir. Bir parantez içinde 2 değil 3 veya daha fazla terim varsa, bunların her birinde ortak çarpan bulunmalıdır, aksi takdirde parantez dışına çıkarılamaz.

Bizim durumumuzda parantez içinde sadece 2 terim var. Genel çarpan hemen görülebilir. İlk parantezde a, ikincide b. Burada dijital katsayılara dikkat etmeniz gerekiyor. Birinci parantezdeki her iki katsayı da (10 ve 25) 5'in katıdır. Bu sadece a'nın değil, 5a'nın da parantezden çıkarılabileceği anlamına gelir. Parantezden önce 5a yazın ve ardından parantez içindeki terimlerin her birini çıkarılan ortak faktöre bölün ve + ve - işaretlerini unutmadan bölümü parantez içine yazın. Aynısını ikinci parantez için de yapın, 7b'yi ve 14 ile 7'nin katı olan 35'i çıkarın.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

2 terimimiz var: 5a(2c - 5) ve 7b(2c - 5). Her biri ortak bir faktör içerir (parantez içindeki ifadenin tamamı burada aynıdır, yani ortak bir faktördür): 2c - 5. Onun da parantezden çıkarılması gerekir, yani 5a ve 7b terimleri kalır ikinci parantez içinde:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Yani tam ifade şu şekildedir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Böylece, 10ac + 14bc - 25a - 35b polinomu 2 faktöre ayrıştırılır: (2c - 5) ve (5a + 7b). Yazarken aralarındaki çarpım işareti atlanabilir

Bazen bu türden ifadeler vardır: 5a 2 + 50a 3, burada yalnızca a veya 5a'yı değil, 5a 2'yi bile parantezlerin dışına çıkarabilirsiniz. Her zaman en büyük ortak çarpanı parantez dışında tutmaya çalışmalısınız. Bizim durumumuzda, her terimi ortak bir faktöre bölersek şunu elde ederiz:

5a2 / 5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(birkaç kuvvetin bölümünü hesaplarken eşit olarak Taban korunur ve üs çıkarılır). Böylece birim parantez içinde kalır (parantez içindeki terimlerden birini çıkarırsanız hiçbir durumda yazmayı unutmazsınız) ve bölme bölümü: 10a. Şu ortaya çıkıyor:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kare formüller

Hesaplama kolaylığı için çeşitli formüller türetilmiştir. Bunlara kısaltılmış çarpma formülleri denir ve oldukça sık kullanılır. Bu formüller derece içeren polinomların çarpanlarına ayrılmasına yardımcı olur. Bu başka bir tane etkili yolçarpanlara ayırma. İşte buradalar:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -“toplamın karesi” adı verilen bir formül, çünkü kareye ayrıştırma sonucunda parantez içindeki sayıların toplamı alınır, yani bu toplamın değeri kendisiyle 2 kez çarpılır ve bu nedenle a çarpan.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - Farkın karesi formülü öncekine benzer. Sonuç, parantez içine alınmış ve karenin kuvvetinin içerdiği farktır.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- bu, kareler farkı için bir formüldür, çünkü başlangıçta polinom, aralarında çıkarma işleminin yapıldığı 2 kare sayı veya ifadeden oluşur. Belki de bahsedilen üçünden en sık kullanılanıdır.

Kare formülleri kullanan hesaplama örnekleri

Onlar için hesaplamalar oldukça basittir. Örneğin:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - “toplamın karesi” formülünü kullanın.
2. 25x2, 5x'in karesidir. 20xy, 2*(5x*2y)'nin çift çarpımıdır ve 4y 2, 2y'nin karesidir.
3. Böylece, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Bu polinom 2 faktöre ayrıştırılır (faktörler aynıdır, dolayısıyla kare kuvveti olan bir ifade olarak yazılır).

Kareler fark formülü kullanılarak yapılan işlemler de bunlara benzer şekilde gerçekleştirilir. Geriye kalan formül kareler farkıdır. Bu formülün örneklerini tanımlamak ve diğer ifadeler arasında bulmak çok kolaydır. Örneğin:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). 25a 2 = (5a) 2 ve 400 = 20 2 olduğundan
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 = (6x) 2 ve 25y 2 = (5y 2) olduğundan
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 olduğundan

Terimlerin her birinin bir ifadenin karesi olması önemlidir. Daha sonra bu polinomun kareler farkı formülü kullanılarak çarpanlara ayrılması gerekir. Bunun için ikinci derecenin sayının üzerinde olması şart değildir. içeren polinomlar vardır. büyük dereceler, ancak yine de bu formüller için uygundur.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

İÇİNDE bu örnekte ve 8 (a 4) 2 olarak, yani belirli bir ifadenin karesi olarak temsil edilebilir. 25, 5 2'dir ve 10a, 4'tür - bu 2 * a 4 * 5 terimlerinin çift çarpımıdır. yani bu ifade, büyük üslü derecelerin varlığına rağmen, daha sonra onlarla çalışmak için 2 faktöre ayrıştırılabilir.

Küp formülleri

Küp içeren polinomları çarpanlara ayırmak için aynı formüller mevcuttur. Kareli olanlardan biraz daha karmaşıktırlar:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- bu formüle küplerin toplamı denir, çünkü başlangıç ​​formu Bir polinom, iki ifadenin veya sayının küpünün toplamıdır.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) -öncekinin aynısı olan bir formül küplerin farkı olarak tanımlanır.
• bir 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - bir toplamın küpü, hesaplamalar sonucunda sayıların veya ifadelerin toplamı parantez içine alınır ve kendisiyle 3 kez çarpılır, yani bir küpün içine yerleştirilir
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -öncekine benzetilerek derlenen ve yalnızca bazı işaretlerin değiştirildiği bir formül matematiksel işlemler(artı ve eksi), “fark küpü” adını taşır.

Son iki formül, karmaşık oldukları için bir polinomu çarpanlara ayırmak amacıyla pratikte kullanılmaz ve bu formüller kullanılarak çarpanlara ayrılabilmeleri için tam olarak bu yapıya tam olarak karşılık gelen polinomları bulmak yeterince nadirdir. Ama yine de onları bilmeniz gerekiyor çünkü oyunculuk yaparken gerekli olacaklar. ters yön- parantezleri açarken.

Küp formüllerine örnekler

Bir örneğe bakalım: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Burada oldukça basit sayılar alınmıştır, böylece 64a 3'ün (4a) 3 ve 8b 3'ün (2b) 3 olduğunu hemen görebilirsiniz. Böylece bu polinom küp farkı formülüne göre 2 faktöre genişletilir. Küplerin toplamı formülünü kullanan eylemler analoji yoluyla gerçekleştirilir.

Tüm polinomların en az bir şekilde genişletilemeyeceğini anlamak önemlidir. Ancak kare veya küpten daha büyük kuvvetler içeren ifadeler vardır, ancak bunlar aynı zamanda kısaltılmış çarpma biçimlerine de genişletilebilir. Örneğin: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Bu örnek 12. derece kadar içeriyor. Ancak küplerin toplamı formülü kullanılarak bile çarpanlara ayrılabilir. Bunu yapmak için x 12'yi (x 4) 3 olarak, yani bir ifadenin küpü olarak hayal etmeniz gerekir. Şimdi formülde a yerine onu kullanmanız gerekiyor. 125y 3 ifadesi 5y'nin küpüdür. Daha sonra formülü kullanarak ürünü oluşturmanız ve hesaplamalar yapmanız gerekir.

İlk başta veya şüphe durumunda her zaman kontrol edebilirsiniz. ters çarpma. Ortaya çıkan ifadede parantezleri açıp işlemleri gerçekleştirmeniz yeterlidir. benzer terimler. Bu yöntem listelenen tüm indirgeme yöntemleri için geçerlidir: hem ortak bir faktörle ve gruplandırmayla çalışmak hem de küp formülleri ve ikinci dereceden kuvvetlerle çalışmak için.